人教版高中数学B版必修二向量的概念

知识图谱-向量的线性运算向量的概念向量的加减法及数乘向量向量共线的条件第01讲_平面向量的基本概念错题回顾向量的线性运算知识精讲一．向量的概念：1．我们把既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法：（1）用有向线段表示；（2）用字母，等表示；（3）用有向线段的起点与终点字母；（4）向量的长度称为向量的模，记作.2．有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段有向线段的三个要素：起点、方向、长度.3．零向量、单位向量概念：（1）长度为0的向量叫零向量，记作. 的方向是任意的.（2）长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4．共线向量定义：方向相同或相反的非零向量叫共线向量；说明：我们规定与任一向量共线.5．相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.6．共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二．平面向量的加减法方法：向量的加法可以运用三角形法则，要求两个向量首尾相对应，理解方法，比如说一个物体从A点运动到B点，再从B点运动到C点，那么就相当于这个物体从A点直接运动到C点．或者运用平行四边形法则，这个类似于物理里两个分力求合力的方法一样．向量的减法要求两个向量首首相对应，然后方向指向被减向量（前头那个向量）．三．两个向量共线的条件1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：；当时与方向相同；时与方向相反；当时.2．运算定律结合律：；分配律：，3．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使三点剖析一. 注意事项1. 零向量的方向是任意的，与任意向量都共线.2. 因为我们研究的平面向量是自由向量，所以在平面向量里，向量的共线和平行可以理解为一个概念，这不同于直线的共线和平行，是两个完全不一样的概念.3. 向量的加法是首尾相对应，就类似于人走路，从A点走到B 点，再从B 点走到C 点，就相当于直接从A 点走到C 点，因此，向量的减法是首首相对应，指向被减向量.4. 两个向量共线的条件:实数与向量的积是一个向量，记作：,当时与方向相同；时与方向相反.二. 必备公式题模精讲题模一向量的概念例1.1、下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个例1.2、以下说法错误的是（）A、零向量与任一非零向量平行B、零向量与单位向量的模不相等C、平行向量方向相同D、平行向量一定是共线向量例1.3、下列说法正确的是（）向量就是的基线平行于A、B、长度相等的向量叫相等向量的基线C、零向量的长度等于0D、共线向量是在一条直线上的向量题模二向量的加减法及数乘向量例2.1、在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则必有（）A、=B、=或=C、ABCD是矩形D、ABCD是正方形例2.2、在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则=（）A、-B、+C、-+D、--例2.3、下面给出四个命题：①对于实数和向量、恒有：②对于实数、和向量，恒有③若，则有④若，则其中正确命题的个数是（）A、1B、2C、3D、4题模三向量共线的条件例3.1、，是平面内不共线两向量，已知=-k，=2+，=3 -，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A、1B、2C、3D、4例3.2、下列命题：（1）若向量||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；（2）对于任意非零向量若||=||且与的方向相同，则=；（3）非零向量与非零向量满足∥，则向量与方向相同或相反；（4）向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；（5）若∥，且∥，则∥正确的个数（）A、0B、1C、2D、3例3.3、在四边形中，，，，求证：四边形是梯形.随堂练习随练1.1、下列命题正确的是（）A、方向不同的两个向量不可能是共线向量B、长度相等，方向相同的向量是相等向量C、平行且模相等的两个向量是相等向量D、若，则随练1.2、设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述说法中，不正确的个数是（）A、0个B、1个C、2个D、3个随练1.3、P为四边形ABCD所在平面上一点，+++=+，则P 为（）A、四边形ABCD对角线交点B、AC中点C、BD中点D、CD边上一点随练1.4、如图，正六边形ABCDEF的中心为O，若=，=，则=____（用，来表示）．随练1.5、如图，△ABC为等腰三角形，∠A=∠B=30°，设=，=，AC边上的高为BD．若用，表示，则表达式为（）A、+B、-C、+D、-随练1.6、下列命题中正确的是（）A、与共线，与共线，则与也共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C、向量与不共线，则与都是非零向量D、有相同起点的两个非零向量不平行随练1.7、已知向量是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为________．随练1.8、设是不共线的两个非零向量，(1)若，求证:三点共线;(2)若与共线，求实数的值．自我总结课后作业作业1、下列关于向量的命题，正确的是（）A、零向量是长度为零，且没有方向的向量B、若=-2（≠），则是的相反向量C、若=-2，则||=2||D、在同一平面上，单位向量有且仅有一个作业2、判断下列四个命题：①若则②若则③若则；④若则正确的个数是（）A、1B、2C、3D、4作业3、给出下列命题：①若||=||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//；⑤若//，//，则//；作业4、已知a，b为两个非零向量，（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；（2）与5a的方向相反，且的模是5a的模的；（3）与2a是一对相反向量；（4）与是一对相反向量．以上说法中正确的有_________．作业5、若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状为__________．作业6、设，是两个不共线的向量，且向量=2-与向量=+λ是共线向量，则实数λ=____．作业7、如图，已知D，E，F是正△ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与共线（除外）的向量个数为（）A、2B、4C、5D、7作业8、已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD=2DB，延长BA到C，使BA=AC．设=，=．（1）用，表示向量，；（2）若向量与+k共线，求k的值．。

向量必修二知识点总结一、向量的基本概念1. 定义向量是具有大小和方向的量，通常用带箭头的线段表示。

在平面直角坐标系中，一个向量可以用一个有序数对表示。

如表示向量$\overrightarrow{AB}$，可以写成$\overrightarrow{AB}=(x,y)$，其中$x$和$y$分别是向量的横坐标和纵坐标。

2. 向量的模向量的模表示向量的大小，可以用两点间距离的数值来表示。

在平面直角坐标系中，向量$\overrightarrow{AB}=(x,y)$的模记为$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2}$。

3. 向量的方向角在平面直角坐标系中，向量$\overrightarrow{AB}=(x,y)$的方向角记为$\alpha$，其计算公式为$\tan \alpha=\frac{y}{x}$，其中$\alpha$是向量与$x$轴的夹角的正切值。

4. 平行向量若两向量的方向相同或相反，则这两向量是平行向量。

若向量$\overrightarrow{A}=(x_,y_)$和$\overrightarrow{B}=(x_2,y_2)$是平行向量，则有$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$。

5. 单位向量模为1的向量称为单位向量。

单位向量可以由任意非零向量除以其模得到。

如$\overrightarrow{A}=(x,y)$的单位向量记为$\vec{u}=\frac{\overrightarrow{A}}{|\overrightarrow{A}|}$。

6. 零向量模为0的向量称为零向量，记作$\overrightarrow{0}$。

零向量的方向是任意的。

二、向量的运算规则1. 向量的加法设有向量$\overrightarrow{A}=(x_,y_)$和$\overrightarrow{B}=(x_2,y_2)$，则它们的和记作$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。

专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

6．1 平面向量的概念考点学习目标核心素养 平面向量的相关概念了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象平面向量的几何表示 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( )(5)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定答案：C如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED →相等的向量有________．答案：AB →，DC →向量的相关概念给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．1．下列说法中正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量与任一向量平行D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C.向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．用有向线段表示向量的步骤已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；(2)问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？ 解：(1)由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°，所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.2．[变问法]本例条件不变，与AD →共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B.根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B.2．如图，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与BC →相等的向量； (2)写出与BC →共线的向量．解：(1)因为四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，所以BC ∥AD ∥DE ，BC ＝AD ＝DE ，所以BC →＝AD →＝DE →.故与BC →相等的向量为AD →，DE →.(2)与BC →共线的向量共有7个，分别是AD →，DE →，DA →，ED →，AE →，EA →，CB →.1.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ；④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量． 解：画出图形，如图所示． (1)易知BC ∥AD ，BC ＝AD ， 所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ， 所以与OB →长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →. (3)与DA →共线的向量为AD →，BC →，CB →.[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D. 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图．(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量； (2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE 綊FD ，所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形；(2)四边形ABCD 是平行四边形．解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C ．BD →的模恰为DA →模的3倍D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E .因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|.因为△ADE ∽△BDC ， 所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC→|，故|DB →|＝32. 答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．。

第六章平面向量初步6．1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念【自主学习】知识点一向量及其表示1．定义既有又有的量叫作向量．2．有向线段具有和的线段叫作有向线段．其方向是由指向，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→，线段AB的长度也叫作有向线段AB→的，记作|AB→|.3．向量的长度|AB→|(或|a|)表示向量AB→(或a)的，即长度(也称模)．4．向量的表示法(1)向量可以用来表示，有向线段的长度表示向量的，箭头所指的方向表示向量的方向．(2)向量也可以用黑体斜体小写字母如a，b，c等来表示．知识点二几种特殊向量续表【思考探究】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意函数都有反函数．( )(2)互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称．( )(3)函数y＝f(x)的反函数为x＝f－1(y)．( )(4)函数y＝f－1(x)的反函数为y＝f(x)．( )(5)函数y＝f(x)与y＝f－1(x)的定义域与值域互为倒置．( )【互动课堂】题型一向量的有关概念【例1】下列命题中，正确的是( )A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“a＝b”的充要条件是|a|＝|b|且a∥bC．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量[跟踪训练1]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB→，CD→满足|AB→|＞|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→＞CD→；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中说法正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4题型二向量与平面几何【例2】如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO→，BO→相等的向量；(2)写出与AO→共线的向量；(3)写出与AO→的模相等的向量．[跟踪训练2]如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→长度相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．【随堂检测】1．下列量不是向量的是( )A．力 B．速度 C．质量 D．加速度2．如图，在圆O中，向量OB→，OC→，AO→是( )A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量3．下列说法正确的是( )A．若|a|＞|b|，则a＞b B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a∥b D．若a≠b，则a，b不是共线向量4．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝( )A．1 B． 3 C．2 D．2 35．下列说法中正确的是( )A．|AB→|与线段BA的长度不相等 B．对任一向量a，|a|＞0总是成立的C．|AB→|＝|BA→| D．若a∥b，且|a|＝1 001，|b|＝1 010，则|a＋b|＝2 011 6．(多选题)下列说法错误的是( )A．有向线段AB→与BA→表示同一向量 B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量 D．单位向量都相等7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积等于________．8．设点O是△ABC所在平面上一点，若|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则O是△ABC的________心．9．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有A，B两个定点，点C为小正方形的顶点，且|AC→|＝ 5.(1)作出所有的向量AC→；(2)求|BC→|的最大值与最小值．10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；(3)|a|＝42，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.6.1.2 向量的加法【自主学习】知识点向量求和法则及运算律图示几何意义三角形法则平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，作出向量AC→，则向量AC→称为向量a与b的 (也称AC→为向量a与b的和向量)，记作___，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→平行四边形法则平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作AB→＝a，AC→＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量AD→，因为BD→＝AC→，因此AD→＝交换律a＋b＝结合律(a＋b)＋c＝【思考探究】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )(2)|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a∥b.( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )(4)|AB→|＋|BC→|＝|AC→|.( )【互动课堂】题型一向量加法的三角形法则与平行四边形法则【例1】如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.(2)如图，在平面内任意取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，BC→＝c，则OC→＝a＋b＋c.[跟踪训练1]如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．(1)OA→＋OC→＝________；(2)BC→＋FE→＝________；(3)OA→＋FE→＝________.题型二向量加法运算律的应用【例2】化简：(1)BC→＋AB→； (2)DB→＋CD→＋BC→； (3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.[跟踪训练2] (AB→＋PB→)＋(BO→＋BM→)＋OP→化简后等于( )A．BC→ B．AB→ C．AP→D．AM→题型三求和向量模的最大(小)值【例3】已知|a|＝3，|b|＝4，求|a＋b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b 的关系．[跟踪训练3]已知|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求|a＋b＋c|的最大值．【随堂检测】1．下列三个命题：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②AB→＝CD→的等价条件是点A与点C重合，点B 与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．02．向量AB→＋MB→＋BO→＋BC→＋OM→＝( )A．AC→ B．AB→ C．BC→ D．AM→3．若向量a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )A．a∥b且a与b方向相同 B．a，b是共线向量，且方向相反C．a＋b＝0 D．a与b无论什么关系均可4．如图，在矩形ABCD中，AO→＋OB→＋AD→＝( )A．AB→ B．AC→ C．AD→ D．BD→5．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )A．AB→＋CD→＝0 B．AD→＋AB→＝AC→ C．AD→＋BD→＝AB→D．AD→＋CB→＝06．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB→＋FE→＋CD→|＝( )A．1 B．2 C．3 D．2 37．设a，b都是单位向量，则|a＋b|的取值范围是________．8．在平行四边形ABCD中，若|BC→＋BA→|＝|BC→＋AB→|，则四边形ABCD是________．9. 逻辑推理如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．求证：AB→＋AC→＝AP→＋AQ→.10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且|AB→|＝|AD→|＝1，OA→＋OC→＝OB→＋OD→＝0，cos∠DAB＝1.求|DC→＋BC→|与|CD→＋BC→|.26．1.3 向量的减法【自主学习】知识点一向量减法定义平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，记作x＝向量减法的三角形法则在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，作出向量BA→，注意到OB→＋BA→＝OA→，因此向量BA→就是向量a和b的差(也称BA→为向量a与b的差向量)，即OA→－OB→＝结论知识点二定义把与a大小，方向向量，叫做a的相反向量，记作 __性质(1)零向量的相反向量仍是，于是－0＝；(2)互为相反向量的两个向量的和为，即a＋(－a)＝(－a)＋a ＝；(3)若a＋b＝0，则a＝—－b，b＝—－a【思考探究】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相反向量就是方向相反的向量．( )(2)向量AB→与BA→是相反向量．( )(3)－AB→＝BA→，－(－a)＝a.( ) (4)两个相等向量之差等于0.( )【互动课堂】题型一化简向量式【例1】化简下列各式：(1)(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→； (2)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)．[跟踪训练1] 化简下列各式：(1)AB→－AC→－DB→； (2)AB→＋BC→－AD→； (3)AB→－CD→－DB→.题型二用已知向量表示未知向量【例2】如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用a，b，c表示向量BD→，BE→，CE→.[跟踪训练2] 如图所示，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，OF→＝f，试用a，b，c，d，e，f 表示AC→，AD→，BF→－BD→，DF→＋FE→＋ED→.题型三向量模的计算问题【例3】(1)若菱形ABCD的边长为2，求|AB→－CB→＋CD→|.(2)已知|AB→|＝6，|CD→|＝9，求|AB→－CD→|的取值范围．[跟踪训练3]在△OAB中，已知OA→＝a，OB→＝b，|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．【随堂检测】1．化简PM→－PN→＋MN→所得的结果是( )A．MP→ B．NP→ C．0 D．MN→2．在平行四边形ABCD中，AB→＋CB→－DC→等于( )A．BC→ B．AC→ C．DA→ D．BD→3．在边长为1的正三角形ABC中，|AB→－BC→|的值为( )A．1 B．2 C．32D． 34.数学运算下列四个式子中可以化简为AB→的是( )①AC→＋CD→－BD→；②AC→－CB→；③OA→＋OB→；④OB→－OA→.A．①④ B．①② C．②③ D．③④5．在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则必有( )A．AD→＝0 B．AB→＝0或AD→＝0 C．四边形ABCD为矩形 D．四边形ABCD为正方形6．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )A．AD→＋BE→＋CF→＝0 B．BD→－CF→＋DF→＝0C．AD→＋CE→－CF→＝0 D．BD→－BE→－FC→＝07．在矩形ABCD中，|AB→|＝2，|BC→|＝4，则|CB→＋CA→－DC→|＝________，|CB→＋CA→＋DC→|＝________.8．已知OA→＝a，OB→＝b，若|OA→|＝12，|OB→|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.9.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设AB→＝a，DA→＝b，OC→＝c，求证：b＋c －a＝OA→.10.如图，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OF→＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)AC →； (2)AD →； (3)AD →－AB →； (4)AB →＋CF →； (5)BF →－BD →.6.1.4 数乘向量【自主学习】知识点一 数乘向量1．定义：一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a ，规定它们的乘积是 ，记作λa ，当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λa |＝——-|.若a ≠0，当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向 ．当λ＝0或a ＝0时，λa ＝——2．数乘向量的几何意义：把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向 ． 3．数乘向量的运算律 设λ，μ为实数，则 (1)(λ＋μ)a ＝ ； (2)λ(μa )＝ ； (3)λ(a ＋b )＝ 4．向量的线性运算向量的 、 和 以及它们的混合运算，通常叫作向量的线性运算． 知识点二 向量共线一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有 ，从而A ，B ，C 三点一定共线．【思考探究】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a 的积还是向量．( )(2)对于非零向量a ，向量－6a 与向量2a 方向相反．( ) (3)若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( ) (4)若λa ＝0，则a ＝0.( )【互动课堂】题型一 向量的线性运算【例1】 计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13b ；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a＋2b－⎝⎛⎭⎪⎫a＋12b－2⎝⎛⎭⎪⎫12a＋38b；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.[跟踪训练1]若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.题型二用已知向量表示未知向量【例2】(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )A．12a－b B．12a＋b C．a＋12b D．a－12b(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.[跟踪训练2] 已知点D是△ABC所在平面上一点，满足＝14，则＝( )A．14＋34B．34＋14C．45＋15D．15＋45题型三向量共线条件的应用【例3】已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．[跟踪训练3] 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线；(2)若＝e 1＋e 2，＝2e 1＋8e 2，＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．【随堂检测】1．已知实数m ，n 和向量a ，b ，有下列说法： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中，正确的说法是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 2．如图所示，已知在△ABC 中，D 是边AB 上的中点，则＝( )A.－12 B ．－＋12 C ．－－12 D.＋123．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为( ) A ．2 B.32C ．3D ．64．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2 D ．k ＝125.直观想象在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若＝2，＝13＋λ，则λ＝( )A.13B.23C.12D.346．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线7．已知O是线段AB外一点，C是线段AB上靠近A点的三等分点，D是线段AB上靠近B点的三等分点．如果＝3e1，＝3e2，那么＝________.8．已知实数x，y，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.9.在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且CDDA＝AEEB＝12，设＝a，＝b.求证：＝13(b－a)．．10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.(1)将用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．。

人民教育出版社B版高中数学目录(全)高中数学（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（I）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）整合提升高中数学（B版）必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学（B版）必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学（B版）必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学（B版）必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学（人教B）选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测（二）高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结。

1.数量与向量(1)概念：在数学中，既有大小又有方向的量叫做向量，而只有大小没有方向的量称为数量 2.向量的两个要素向量由大小与方向两个要素组成，大小是代数的特征，方向是几何特征 3.有向线段 （1）有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示. (3)向量的表示以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度记作|AB →|. 4.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →， b →， c →). 3.模、零向量、单位向量向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（平行向量也可叫做共线向量） 用有向线段表示向量的a 与b 是两个平行向量，如若平行。

则记作a ∥b .2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 用有向线段表示向量的a 与b 是相等，记作a ＝b .注意向量相关概念的注意点(1)表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面. (2)要注意0与0的区别及联系,0是一个实数,0是一 向量，且有|0|=0.一、向量的加法运算1.定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法2.向量加法的运算法则：（1）向量加法的三角法则+，已知非零向量a，b在平面内任取一点A，做AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a b +=+=,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则即a b AB BC AC三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点（2）平行四边形法则以同一O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边做OACB，则以O为起点的向量OC，（OC 是OACB的对角线）就是向量a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则规定：对于零向量与任意向量a，我们规定a+0=0+a=a3.向量加法的运算律（1），交换律：a+b=b+a(2):结合律：（a+b）+c=a+(b+c)平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同二、向量的减法运算1.相反向量：与向量a,长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作﹣a规定：零向量的相反向量仍是零向量2. 向量的减法向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，则a -b=a+(-b).求两个向量差的运算则是向量的减法3.向量减法的几何意义已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =- 即a b -可以表示为从b 的终点指向向量a 的终点的向量 三、向量的数乘运算 1.向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ， 它的长度与方向规定如下；a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当γ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. 2.向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义是把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地，一个向量的相反向量可以看成-1与这个向-a)=lt 量的乘积，即-a=(-1 )a. 3.向量数乘的运算律 设λ，μ是实数，a,b 是向量 （1）结合律：λ（μa ）=（λμ）+a （2）第一分配律：（λμ）a=λa+μa （3）第二分配律：λ（a+b ）=λa+λb 四.向量的数量积 两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a 和b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 3. 垂直：如果a 与b 的夹角是π2，则称a 与b 垂直，记作a向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 平面向量数量积的运算律 1.a ·b ＝b ·a (交换律).2.(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律).3.(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).2.在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 平面向量数乘运算的坐标表示已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ. 则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|a |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)a ∥b ∥x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.余弦定理三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即；,cos 2222A bc c b a -+=B ca a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=余弦定理得推论；cosA=bc a c b 2222-+，cosB=ca b a c 2222-+,cosC=ab c b a 2222-+正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；.sin sin sin Cc B b A a == 正弦定理的变形公式：1.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2.sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(其中R 是∥ABC 外接圆的半径).。

一、教材内容分析6.2.1平面向量基本定理本节内容是人教 B 版普通高中课程标准实验教科书必修 2 第六章第 2 节向量基本定理与向量的坐标的第一课时，本课时的内容为“平面向量基本定理”。

平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平面推广的结果。

定理实际上又是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，为学生后续学习向量坐标表示及空间向量基本定理打下基础。

定理的学习也提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标1、知识和能力：1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。

2、掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式3、能用平面向量基本定理进行简单的应用。

2、过程和方法：通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。

通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。

3、情感态度价值观目标：经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

三、学习者特征分析（1）本节课的授课对象是高一学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（2）学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几何表示及几何运算有了初步的认知。

同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。

（3）学生有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.（4）让学生通过对课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高，所以这部分将作为本节课的重点内容四、教学重点、难点教学重点：（1）掌握判断基底的方法和用基底表示向量的方法；（2）掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式；教学难点：平面向量的基本定理探究以及理解；五、教学方法探究式，小组合作学习六、教学过程1共线向量基本定理【设计意图】知识的复习回顾不但巩固了上几节课所学，也给学生留下了思维空间，为本节课知识的学习和应用做好充分的铺垫，探究 ：小组讨论下列问题，然后交流分享成果。