2018学年福建省宁德市福安一中高三上学期期中数学试卷及参考答案(理科)

2018届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，满分150．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}223A x x x =-≤，{}21xB x =>，则A B =A ．[0,3]B ．(0,3]C ．[1,)-+∞D ．[1,1)-2．已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足12z z =-则2|2i |z +=AB ．2CD ．103．若1tan()43απ-=-，则cos 2α=A ．35B ．35-C ．45-D ．454．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为A ．10B ．lg99C ．2D ．lg1015．设,x y 满足约束条件210,10,0x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y =-的最小值大于5-，则m 的取值范围为A ．111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．113,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．[)3,2- D ．(),2-∞6．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将,,,,A B C D,E F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求,A B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有 A ．15种 B ．18种 C ．20种 D ．22种7．一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A ．342πB ．542πC ．522πD ．312π 8．已知20.62log 2,log 0.6,0.6a b c ===，则正视图侧视图俯视图A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 9．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过F 点且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A,B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,2)2p-，则该抛物线的方程为 A ．x y 22= B ．x y 42= C ．x y 82= D ．x y 162=10．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：―今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？‖ 意思是：―一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？‖假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有 A ．58 B ．59 C ．60 D ．61 11．函数()sin cos f x a x b x ωω=+(,,0a b ω∈>R )，满足2()()3f x f x π-+=--，且对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，则以下结论正确的是A ．max ()||f x a =B ．()()f x f x -=C ．aD ．3ω=12．设函数1()e 1e ln(1)x x f x a x -=--+存在零点0x ，且01x >，则实数a 的取值范围是A ．(,1eln 2)-∞+B ．(eln 2,)-+∞C ．(,eln 2)-∞-D ．(1eln 2,)++∞2018年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理 科 数 学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答． 在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，2=a ，2=a +b =b __________．14．若双曲线C 的右焦点F 关于其中一条渐近线的对称点P 落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率e =________．15．若正三棱台ABC A B C '''-，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．16．设函数2()|21|f x x x =--，若1a b >≥，()()f a f b =，则对任意的实数c ，22()()a c b c -++的最小值为______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，AD =F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得D B '=（Ⅰ）求证：当AF =D F BC '⊥；（Ⅱ）试求CF 的长，使得二面角A DFB '--的大小为4π．19．（本小题满分12分）如图，岛A 、C相距9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市． （Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为 (21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市， 则至少需要多少费用？正北方向ABCD EABCDF •⇒ACD 'BF20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ．过)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于点M ,N ．当0k =时，四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若37PM PN MN ⋅=，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数2()ln (R)f x ax x a =+∈有最大值12-，2()2()g x x x f x =-+，且()g x '是()g x 的导数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：当12x x <，12()()30g x g x ++=时，121()2g x x '+>．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，M 为曲线1C 上异于极点的动点，点P 在射线OM 上，且,OP OM 成等比数列．（Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知(0,3)A ,B 是曲线2C 上的一点且横坐标为2，直线AB 与1C 交于,D E 两点，试求AD AE -的值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知2()()f x x a a =+∈R ，()12g x x x =++-（Ⅰ）若4a =- ，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若[0,3]x ∈时，()()f x g x >的解集为空集，求a 的取值范围．2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． 13．2 14．2 15．20π 16．8 附部分试题解答：10．小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60．11．2()()3f x f x π-+=--可知，函数()f x 的对称中心为(,0)3π-. 对任意x ∈R ，都有()()6f x f π≤-，知对称轴是6x π=-，可知(0)0f =，故b =0．12． 令1e 1e ln(1)0x x a x ---+=，得11ln(1)x x ae e-++=，设1()ln(1)x h x x e =++，条件转化为()y h x =与1y ae -=的图象在(1,)+∞上有交点，111()01(1)x x x e x h x e x e x --'=-+=≥++ ，得()h x 在[0,)+∞上为增函数，1(1)h ae -∴<，得1eln 2a >+.16．依题意可知：2221(21)a a b b --=---，整理得2(1)(1)4a b -+-=，1a b >≥ ，∴方程表示如图一段弧AB ，22()()a c b c -++可表示弧上一点到直线y=-x 的距离的平方，22()()a c b c ∴-++的最小值是8．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．解法一：（Ⅰ）1n a = ， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分 2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 设11111(21)()[(1)](232)3333n n n n nb n An B A n B An A B -=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩1111111(21)(1)()(1)33333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅，………………………………9分12n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+01121111111(12)(23)[(1)]333333n n n n -=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅ 113nn +=-.………………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解:（Ⅰ）连结DF ，BF ．在矩形ABCD中，6AD CD ==,030AC CAB ∴=∠=, 060DAC ∠=．………………………………1分在ADF ∆中，∵AF =2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，．………………………………2分∵22293DF AF DA +=+=，DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．………………………………3分 又在ABF ∆中，2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，………………………………4分 ∴在DFB'∆中，222223D F FB D B ''+=+=, BF DF '∴⊥,………………………………5分 又AC FB F = ,∴DF'⊥平面ABC ． ∴D F BC '⊥．………………………………6分 （Ⅱ）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E . 沿着对角线AC 翻折后，由（Ⅰ）可知，,,OE OC OD '两两垂直，以O 为原点，OE的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),O E (0,0,3),D B ',………………………………7分 EO ⊥ 平面AD F ',(1,0,0)OE ∴=为平面AD F '的一个法向量． ………………………………8分 设平面BD F '的法向量为(,,),x y z =n(0,,0)F t ， (3,(3,BD BF t '∴=--=--,由0,0,BD BF ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得3303(0x z x t y ⎧--+=⎪⎨-+-=⎪⎩，，取3,y =则x t z t =-= , ()t t ∴=-n ．………………………………10分A COE D 'F ACDF||cos ,4||||OE OE π⋅∴= n n =t ∴=．∴当CF =A DFB '--的大小是4π． …………………12分 19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分． 解：（Ⅰ）如图，根据题意得：10CD =，CE =AC =000704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得，DE ==10=, ………………………………2分所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）． ………………………………3分因为CD DE =，所以030DEC DCE ∠=∠=， 所以00018030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠， 整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）． ………………………………5分 所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A 所用的时间至少为2t ==小时． 由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮………………………………6分（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=,所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠=．………………………………7分所以0sin sin[180()]B BAC ACB =-∠+∠sin()BAC ACB =∠+∠sin cos cos sin BAC ACB BAC ACB =∠∠+∠∠3455==．………………………………8分 由正弦定理得，sin sin BC ACBAC B=∠,所以3BC ==,………………………………9分所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为21150()(50)1)22f V V V V V=++=++≥((0,30]V ∈),………………………………10分 当且仅当1502V V=，即10V =时，min ()f V =（元）………………………………11分所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需元． ………………………………12分…20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）当0k =时，直线//l x 轴， 又四边形12MNF F 恰在以1MF 为直径，面积为2516π的圆上， ∴四边形12MNF F 为矩形，且152MF =．………………………………………………………1分 ∴点M 的坐标为2(,)b c a．………………………………………………………2分又2b a =，∴b a =．………………………………………………………3分设2,a k b ==，则c k =．在12Rt MF F ∆中，232MF k =，122F F k =，∴15522MF k ==，∴1k =．∴2,a b ==………………………………………………………5分∴椭圆C 的方程为22143x y +=．………………………………………………………6分（Ⅱ）将3:2l y kx =+与椭圆方程联立得22(34)1230k x kx ++-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，得1221234k x x k +=-+，122334x x k =-+．故1200PM PN x x ⋅--221223+3(1)=34k k x x k =++．………………………………9分 又12MN x =-==，……………………… 10分∴223+33347k k =+，即 解得k = ∴直线l 的方程为32y =+．………………………………12分 21．本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x'=+．………………………………1分 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)∞上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；………………………………2分当0a <时，令()0f x '=，得x = 当x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，………………………………3分 max 1()2f x f ∴==-+1122∴-+-,………………………………4分 12a ∴=-．………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，21()2ln 2g x x x x =-+, 1()2g x x x '∴=+-． 12x x+≥ ，()0g x '∴≥, ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增． ………………………………6分又12x x < ，12()()3g x g x +=-且3(1)2g =-, 1201x x ∴<<<．………………………………7分22211()1x g x x x-''=-= , ∴当1x >时，()0g x ''>，()g x '单调递增, 要证121()2g x x '+>，即12()(2)g x x g ''+>，只要证122x x +>，即212x x >-．……………………8分11x < ，121x ∴->,所以只要证121(2)()3()g x g x g x -<=--⇔11()(2)3g x g x +-<-————（*）, ……………9分设()()(2)G x g x g x =+-222ln ln(2)x x x x =--++-（其中01x <<）,11()222G x x x x '∴=-+-- 12(1)[1](2)x x x =--- 32(1)0(2)x x x -=>-, ()G x ∴在（0，1）上为增函数, ………………………………11分()(1)3G x G ∴<=-，故（*）式成立，从而121()2g x x '+>．………………………………………12分22．选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：（1）设(,)P ρθ，1(,)M ρθ，则由OP OM 成等比数列，可得20OP OM ⋅=，………………………………1分 即1=20ρρ⋅，120=ρρ．………………………………2分又1(,)M ρθ满足14sin ρθ=，即204sin θρ=，………………………………3分 ∴sin 5ρθ=，………………………………4分化为直角坐标方程为5y =．………………………………5分 （Ⅱ）依题意可得(2,5)B ，故1AB k =，即直线AB 倾斜角为4π，………………………………6分 ∴直线AB的参数方程为,3,x y ⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩………………………………7分 代入圆的直角坐标方程22(2)4x y +-=，得230t +-=，………………………………8分故12t t +=1230t t =-<，………………………………9分∴12AD AE t t -=+=．………………………………10分23．选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：(1)当4a =-时，()()f x g x ≥化为2412x x x -≥++-，…………1分当1x ≤-，不等式化为2+250x x -≥，解得1x ≤-1x ≥-故1x ≤-…………2分当12x -<<时，不等式化为27x ≥，解得x ≤x ≥，故x ∈∅； …………3分当2x≥，不等式化为2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥故3x ≥； …………4分所以()f x x ≤解集为{|1x x x ≤-}3x ≥． …………5分(2) 由题意可知，即为[0,3]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立． …………6分当02x ≤≤时，23x a +≤，得()2min 31a x ≤-=-；…………8分当23x ≤≤时，221x a x +≤-，得()2min +214a x x ≤--=-， 综上，4a ≤-．…………10分。

2018——2018学年度第一学期期中检测试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1. 设复数i z +在映射f 下的象为i z ⋅_，则i 21+-的原象为 A ．i -2 B ．2 C ．i +-2 D ．i 31+-2．设}2,1,0,1{},0)2(|1||),{(2-==-++=B y x y x A ，则A 、B 两个集合的关系是 A ．B A ⊃ B ．B A ⊂ C ．B A ∈ D ．以上都不对3．某科技小组有6名同学，现在从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目是A ．2B ．3C ．4D ．5 4．设231)(--=x xx f 与)(x g 的图象关于直线x y =对称，则)(x g = A ．321++x x B ．231--x x C ．x x 213++ D ．xx 312--5．已知A （0，0），B （a,b ），1P 是AB 的中点，12BP P 是的中点，213P P P 是的中点，……，12++n n n P P P 是的中点，则n P 的极限位置A ．)2,2(ba B ．)3,3(b a C ．)32,32(b a D ．)43,43(ba 6．函数)21(1)(2-≤+=x x x x f 的值域是A ．]47,(--∞B ．]223,(3--∞ C ．),47[+∞- D ．),223[3+∞- 7．假设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,2)(x a x x x f 在R 上处处连续，则常数a =A ．0B ．1C ．2D ．任何实数8． 4312lim 4--+→x x x 的值是A ．0B ．31 C ．32D ．不存在 9．函数)(),(x g x f 都不是常数且定义域是R ，“)(),(x g x f 同是奇函数或同是偶函数”是“)(),(x g x f 的积是偶函数”的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设函数)(),(x g x f 是大于零的可导函数，且0)()()()(//<+x g x f x g x f ，则当b x a <<时有A ．)()()()(x g b f b g x f >B ．)()()()(x g a f a g x f >C ．)()()()(b g b f x g x f >D ．)()()()(a g a f x g x f >11．已知函数))((A x x f y ∈=，若对于任意A b a ∈,，当b a <时都有)()(b f a f <，则方程0)(=x f 的根有A ．有且只有1个B ．可能有2个C ．至多有1个D ．有2个以上 12．已知定义域为),0()0,(+∞⋃-∞的函数)(x f 是偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，若0)3(=-f ，则0)(<x f x的解集是 A ．)3,0()0,3(⋃- B ．),3()3,(+∞⋃--∞ C ．)3,0()3,(⋃--∞ D ．),3()0,3(+∞⋃-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2018届高三数学上学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试时间120分钟.满分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质化简集合，求出，利用交集的定义运算求出结果．【详解】，，解得，则，故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查对数不等式，属于基础题．2. 下列四个命题中真命题的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③“，则为偶函数”的逆命题为真命题；④命题，命题，则为真命题A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范围可推出大范围判断①；利用全称量词命题的否定为存在量词命题判断②；利用正弦函数的奇偶性判断③；利用对数的性质和二次函数的图象判断④．【详解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要条件，正确；②命题“”的否定是“”，正确；③“，则为偶函数”的逆命题为“为偶函数，则”，命题错误，当函数为偶函数时，；④，命题正确；，命题错误；则为假命题，错误；故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查充分必要条件的应用，考查全程量词命题和存在量词命题，考查三角函数的性质，属于中档题．3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、 CC1 的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】本题考查两条异面直线所成的角.取线段的中点，连结，则且，则四边形是矩形，故.所以即为与所成的角.设正方体的棱长为，则，所以；连结，则；则；又，所以在中，由余弦定理得故正确答案为5. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算法则直接表示即可得解.【详解】由题意作出图形，如图：则.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则的应用，属于基础题.6. 已知实数x，y满足条件，则的最小值为（）A. B. 4 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入计算，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可互为直线，当直线过点时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7. 在等比数列中，首项，公比，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算可求出的值．【详解】数列为等比数列，且首项，公比，又，，故故选：A【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查学生计算能力，属于基础题．8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向右平移个单位长B. 向右平移个单位长C. 向左平移个单位长D. 向左平移个单位长【答案】A【解析】【分析】化简得到，根据平移法则得到答案.【详解】.故向右平移个单位长可以得到的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况.9. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A. 24B. 30C. 10D. 60【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10. 已知函数，，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件判断的奇偶性和单调性，把不等式转化为进行求解即可.【详解】当时，，则，当时，，则，∴函数为偶函数，∴.又当时，函数单调递增，∴可转化为，则，∴，解得.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11. 在△中，是上的点，平分，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作，延长与交于点，可证明△∽△，结合平分，可得，，从而可知.【详解】过点作，延长与交于点，则，所以△∽△，且，又因为平分，所以，故△是等腰三角形，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查角分线、相似三角形的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.12. 定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导可判断是上的减函数，不等式可转化为，从而可求出的取值范围.【详解】令，求导得，∵，∴，则是上的减函数，又等价于，而，∴，∴.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量夹角为,,则 .【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为,,所以,.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 14. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案4．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15. 已知、是球的球面上两点，，球的表面积为，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】计算出球的半径的值，并计算出的面积，进而可求得体积的最大值为，即可得解.【详解】如下图所示：设球的半径为，球的表面积为，可得，，，是边长为的等边三角形，则的面积为，当平面时，三棱锥体积取得最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的计算，确定点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16. 若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【解析】【分析】根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.【详解】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到，再由，则，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，进而得到三角形周长.【详解】（1）在中，因为由正弦定理得，，可得，即，可得，又因为，则，因此.（2）由，可得，又，故，因为，根据余弦定理，可得，所以，即，所以周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18. 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）证明：；（3）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由，，可得平面，由此能证明平面平面；（2）先证明，可得平面，再由线面平行的性质可得；（3）过作直线，分别以FA，FE， l，为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用夹角公式可得结果.【详解】（1）因为平面为正方形，所以，又因为，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）证明：∵，面，面平面平面，平面平面；（3）过作直线，∵平面平面，∴面，所以l，FA，FE两两垂直，分别以FA，FE， l为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.，，，设面的法向量，，取，求得，，，∴FA与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查面面垂直、线线平行的证明，线面角的向量法，是中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 已知数列的前项和为，，，.（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；；（2）.【解析】【分析】(1)由知，当时：，两式作差化简，可证明数列是等差数列；利用等差数列的通项公式可求得；(2)由(1)求出，利用裂项相消法求和可得结果．【详解】(1)证明：由知，当时：，即，∴，对成立.又，∴是首项为1，公差为1的等差数列.∴(2)∴=【点睛】本题考查定义法证明等差数列，考查数列求和，考查数列递推关系式，属于中档题．20. 设函数.（1）若曲线在点处的切线与垂直，求函数的解析式；（2）如果对于任意的，都有成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导，由已知得，求出得解（2）求导得到在上的最大值为转化得到在恒成立.构造函数求得的最大值为，得解【详解】（1），∵曲线在点处的切线与垂直，∴，.（2），∴，，，，∴在上递减，在上递增，∴在上的最大值为较大者，即，∵对于任意的，都有成立，∴即对任意的成立.令，，∴，，，，∴在上递增，在上递减，的最大值为，∴，.【点睛】本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.21. 如图，在多面体中，平面平面，平面，，∥，且.（1）求证：平面；（2）求证：∥平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据平面∥平面，利用面面平行的性质定理得，再由，得到四边形为平行四边形，从而∥，然后结合平面得证.（2）连接，根据平面∥平面，利用面面平行的性质定理得∥，再由∥，且，得到四边形为平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明.（3）根据两两垂直，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，然后由求解.【详解】（1）平面∥平面，平面平面，平面平面，∴又，四边形为平行四边形，∥面，平面（2）连接，平面∥平面，平面平面，平面平面，∴∥，∥，∴∥，，∴四边形为平行四边形，∴，又，∴∥平面.（3）由已知，两两垂直，建立如图的空间坐标系，设，则∴设平面的一个法向量为，则，令，则，而平面的一个法向量，∴，由图形可知，二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，线面平行的判定定理以及空间向量法求二面角问题，还考查了转化化归的思想，逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.22. 已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）将函数求导后，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，当时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当时，利用函数的最小值小于零，求得的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得点的取值范围.【详解】（1）若，，在上单调递减；若，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增.（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意.若，由（1）可知，的最小值为令，，所以在上单调递增，又，当时，，至多一个零点，不符合题意，当时，又因为，结合单调性可知在有一个零点令，，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以当时，结合单调性可知有一个零点综上所述，若有两个零点，的范围是【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数零点个数问题，往往转化为函数最值来解决.2018届高三数学上学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试时间120分钟.满分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质化简集合，求出，利用交集的定义运算求出结果．【详解】，，解得，则，故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查对数不等式，属于基础题．2. 下列四个命题中真命题的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③“，则为偶函数”的逆命题为真命题；④命题，命题，则为真命题A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范围可推出大范围判断①；利用全称量词命题的否定为存在量词命题判断②；利用正弦函数的奇偶性判断③；利用对数的性质和二次函数的图象判断④．【详解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要条件，正确；②命题“”的否定是“”，正确；③“，则为偶函数”的逆命题为“为偶函数，则”，命题错误，当函数为偶函数时，；④，命题正确；，命题错误；则为假命题，错误；故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查充分必要条件的应用，考查全程量词命题和存在量词命题，考查三角函数的性质，属于中档题．3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、 CC1 的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】本题考查两条异面直线所成的角.取线段的中点，连结，则且，则四边形是矩形，故.所以即为与所成的角.设正方体的棱长为，则，所以；连结，则；则；又，所以在中，由余弦定理得故正确答案为5. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的线性运算法则直接表示即可得解.【详解】由题意作出图形，如图：则.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则的应用，属于基础题.6. 已知实数x，y满足条件，则的最小值为（）A. B. 4 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入计算，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可互为直线，当直线过点时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7. 在等比数列中，首项，公比，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算可求出的值．【详解】数列为等比数列，且首项，公比，又，，故故选：A【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查学生计算能力，属于基础题．8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向右平移个单位长B. 向右平移个单位长C. 向左平移个单位长D. 向左平移个单位长【答案】A【解析】【分析】化简得到，根据平移法则得到答案.【详解】.故向右平移个单位长可以得到的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况. 9. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A. 24B. 30C. 10D. 60【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10. 已知函数，，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件判断的奇偶性和单调性，把不等式转化为进行求解即可.【详解】当时，，则，当时，，则，∴函数为偶函数，∴.又当时，函数单调递增，∴可转化为，则，∴，解得.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11. 在△中，是上的点，平分，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作，延长与交于点，可证明△∽△，结合平分，可得，，从而可知.【详解】过点作，延长与交于点，则，所以△∽△，且，又因为平分，所以，故△是等腰三角形，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查角分线、相似三角形的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.12. 定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导可判断是上的减函数，不等式可转化为，从而可求出的取值范围.【详解】令，求导得，∵，∴，则是上的减函数，又等价于，而，∴，∴.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量夹角为,,则 .【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积公式以及数量积的运算法则，求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为,,所以,.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案4．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15. 已知、是球的球面上两点，，球的表面积为，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】计算出球的半径的值，并计算出的面积，进而可求得体积的最大值为，即可得解.【详解】如下图所示：设球的半径为，球的表面积为，可得，，，是边长为的等边三角形，则的面积为，当平面时，三棱锥体积取得最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的计算，确定点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16. 若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【解析】【分析】根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.【详解】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到，再由，则，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，进而得到三角形周长.【详解】（1）在中，因为由正弦定理得，，可得，即，可得，又因为，则，因此.（2）由，可得，又，故，因为，根据余弦定理，可得，所以，即，所以周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余。

福建省福州市第一中学2018届高三上学期期中考试数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，，故答案为C.2. 已知命题：“，都有成立”，则命题为（）A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】D【解析】试题分析：全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，的否定为．3. 已知直线，，且，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】当时，直线，直线，两直线不平行；当时，等价于，解得，故选B.4. 设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意，，，显然，因此有．故选A．5. 已知，若的必要条件是，则之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，即，按题意，因此．故选B．6. 已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点（）A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由题意可知，，，∵，∴，，∵，∴，可得：，∴将的图象先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，故选A.7. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则弦长（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图所示∵分别为圆的切线，∴∵，，∴，又∵，在中，，故选．8. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，B函数均为单调增函数，故不符合；对于C：，令，得到，与，则其图象没有交点，即没有零点，故C不符合；对于D：，令，得到与，则其图象有两个交点，故D符合，故选D.9. 已知函数，，若，下列说法错．误．的是（）A. 是以为最小正周期的周期函数B. 关于直线对称C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】C【解析】∵，，当即，解得；当，即，解得，故，故函数在上单调递减，在上单调递增，故选C.10. 已知关于的方程有唯一实数解，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】设，则函数在定义域上为偶函数，若关于的方程有唯一实数解，则等价为，即，则，得或，当时，方程等价为，即，作出函数和的图象如图，此时两个函数有3个交点，不满足条件．当时，方程等价为，即，作出函数和的图象如图，此时两个函数有1个交点，满足条件，综上，故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．11. 若函数，则与轴围成封闭图形的面积为____________.【答案】【解析】试题分析：．12. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】∵在定义域内为减函数，也为减函数，故要使在区间上是减函数，只需满足在内恒成立即可，即，可得，故答案为.13. 函数的图象在上至少有三个最大值点，则的最小值为______. 【答案】【解析】∵，∴，要使函数的图象在上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得，解得，即的最小值为，故答案为.14. 椭圆与抛物线有一个公共焦点，椭圆的另一个焦点为，且椭圆与抛物线交于两点，若三角形是直角三角形，则椭圆的离心率为______. 【答案】三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、，已知.(1)求角C的大小；(2)若，，求△ABC的面积．解：(1)由得，根据正弦定理得，所以，整理得，所以，又因为，所以.(1)由正弦定理得，所以，因为，所以，所以角为锐角，所以，，所以..16. 已知函数（）.(1)若，求函数的极大值；(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围．解：(1)时，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以，当时，取得极大值，.(2)当，即时，，所以单调递增，所以；当时，，所以单调递增，，，所以有唯一零点，记为，当时，，单调递减，且，即不恒成立；综上所述，的取值范围是.17. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且与轴交点恰为中点. （1）求椭圆的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点和．求四边形的面积的最小值．解：（1）依题意，，另一焦点坐标为，，所以，，所以，所以椭圆的方程为．（2）当垂直于坐标轴时，，，，当不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，，，由，得，，，，，，同理，，所以，因为，当且仅当，即时等号成立，所以.18. 已知函数，其中是实数。

2018 届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学本试卷分第I 卷和第 II卷两部分．第I 卷 1 至 2 页，第 II卷3至5页，满分150．第 I 卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】 B【解析】集合，，则.故选 B.2.已知复数对应复平面上的点，复数满足，则A. B. C. D.【答案】 C【解析】复数对应复平面上的点，所以.由得：.，所以.故选 C.3.若，则A. B. C. D.【答案】 B【解析】由，得，解得..................................故选 B.4.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为A. B. C. D.【答案】 D【解析】执行程序：,,,,.，不成立，输出.故选 D.5.设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】 B【解析】作出不等式组的可行域如图所示，由图可知.平移直线至点 A 处得的最小值，得, 即，代入 z 得.由题意知，解得.综上：.故选 B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想. 需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 福建省第十六届运动会将于2018 年在宁德召开．组委会预备在会议期间将这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有A. 15种B. 18种C. 20种D. 22种【答案】 D【解析】先从两个不同的地方选出一地分配两人，有种，有三人去A,B 外的另一地点，种；有二人去A,B 外的另一地点，种.综上：共有种，故选 D.7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A. B.C. D.【答案】 A【解析】如图所示三视图的还原图：左侧为三棱锥，右侧为半个圆锥.有：面 PBC,所以PB=PC=2,, 取 PC中点 D，则，所以.得表面积为.故选 A.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．8.已知，则A. B. C. D.【答案】 C【解析】.，且，即..所以.故选 C.9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B 两点，若以为直径的圆过点，则该抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】 B【解析】根据题意得：以为直径的圆过点，设的中点为C，则.由抛物线定义知：与准线垂直.设. 与抛物线联立得：.设，则，解得.所以.故选 B.10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有A. B. C. D.【答案】 C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20 ，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5 ，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-(8+6+5)+1=60 ．故选 C.11.函数() ，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是A. B. C. D.【答案】 A【解析】可知，函数的对称中心为.对任意，都有，知对称轴是，可知，故 b=0,.所以.故选 A.12.设函数存在零点，且，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】 D【解析】令，得，设，条件转化为与的图象在上有交点，，得在上为增函数，，得.故选 D.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，同时也可以转化为两个函数的图象关系.第 II卷注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13.已知向量，的夹角为，，，则__________ ．【答案】 2【解析】向量，的夹角为，，所以，解得.故答案为： 2.14.若双曲线的右焦点关于其中一条渐近线的对称点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率=________．【答案】 2【解析】设双曲线，左焦点为( -,0) ，F c渐近线方程为，设 F 关于的对称点为(m, -) ，由题意可得,( ?)且，可得 m= c,代入( ?)可得 b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率.故答案为： 2..15.若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为_______．【答案】【解析】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心O则在线上，连接并延长交于 D，连接 C并延长交 AB于 D，1∵等边三角形的边长为cm,∴，∵等边三角形的边长为, ∴==，ABC cm C CD cm若点在线段由上，则，得，无解 .若点在线段由外，则，得，，解得.则该正三棱台的外接球的表面积为.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16.设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为 ______．【答案】 8【解析】依题意可知：，整理得，，方程表示如图一段弧AB，可表示弧上一点到直线的距离的平方，的最小值是8．三、解答题：本大题共 6 小题，满分70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知数列的前和为，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件得，由得，当时，，两式作差得，整理得，由等差数列公式求通项即可；（Ⅱ）由，利用错位相减即可得解.试题解析：（Ⅰ），．当时，，得．当时，，，，即，．数列是等差数列，且首项为，公差为2，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，——①，——②①–②得，化简得．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，设，解得，∴. 18.如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理求得，进而得，所以有，即，同理可在中，得，进而得平面，从而得证；（Ⅱ）易证得两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，进而求得面和面的法向量，利用法向量求解即可.试题解析：解 : （Ⅰ）连结，．在矩形中，,,．在中，∵,，∵，，即．又在中，，∴在中，,,又,∴平面．∴．（Ⅱ）解：在矩形中，过作于，并延长交于.沿着对角线翻折后，由（Ⅰ）可知，两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则,平面,为平面的一个法向量．设平面的法向量为，,由得取则,．即,．当时，二面角的大小是．点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角. 建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19.如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得，．已知速度为海里/小时() 的小艇每小时的总费用为 () 元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？【答案】（Ⅰ）若小张 9 点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元 .【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，进而得客轮的航行速度，在中，由余弦定理得，分别求出客轮和小张到岛所用的时间，比较即可；（Ⅱ）根据条件求得，再由正弦定理得，，求得，进而求得总费用为，利用基本不等式求最值即可.试题解析：（Ⅰ）如图，根据题意得：，，，．在中，由余弦定理得，,所以客轮的航行速度（海里 / 小时）．因为，所以，所以．在中，由余弦定理得，，整理得：，解得或（不合舍去）．所以客轮从处到岛所用的时间小时，小张到岛所用的时间至少为小时．由于，所以若小张9 点半出发，则无法乘上这班客轮 .（Ⅱ）在中，，,所以为锐角，，．所以.由正弦定理得，,所以,所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为() ，当且仅当，即时，（元） .所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元．20.已知椭圆的左、右焦点分别为, ．过且斜率为的直线与椭圆相交于点, ．当时，四边形恰在以为直径，面积为的圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，直线轴，由圆的面积得半径，进而得，由得，设，则，进而得，利用椭圆定义即可求解；（Ⅱ）将与椭圆方程联立得，设，，进而由韦达定理代入求解即可 .试题解析：（Ⅰ）当时，直线轴，又四边形恰在以为直径，面积为的圆上，∴四边形为矩形，且．∴点的坐标为．又，∴．设，则．在中，，，∴，∴．∴，∴椭圆的方程为．。

宁德“同心顺”2018届高三上期中联考数学(理)试题（考试时间：120分钟；满分：150分） 命卷：茂华学校 审卷：福鼎二中一、选择题（12*5=60分）1.已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z =（ ）A B ． C ．10 D ．182.已知集合{}{}22|230,|,A x x x B y y x x R =--≤==∈,则AB =（ ）A ．∅B ．[]0,1C ．[]0,3D ．[)1,-+∞ 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差32,21d S =-=，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．54．将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值是 （ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且385618a a a a +=，则3132310l og l o g l o g a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ． 32log 5+ 6． 已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）7.设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 8．若1a xdx =⎰，10sin b xdx =⎰，1(1)x c e dx =-⎰则,,a b c 的大小关系( )A ．a b c <<B ．b a c << C.c b a << D ．b c a <<9．《张丘建算经》上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52C ．39D ．2610.已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A ．(2)()(3)f f e f >> B ．(3)()(2)f f e f >>C ．()(2)(3)f e f f >>D ．()(3)(2)f e f f >>11.平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=, 点P 在边CD 上，则PA PB ⋅的取值范 围是（ ）A ．[]1,8-B ．[)1,-+∞ C.[]0,8 D ．[]1,0-12.已知实数,a b 满足225ln 0,a a b c R --=∈,）A ．12BC. D ．92 二、填空题（4*5=20分）13．在△ABC 中，若b ＝5，∠B＝π4，cos 3A =，则a ＝________.14．已知向量,a b 满足()1,2,1,3a b a b ==+=，记向量,a b 的夹角为θ，则c o s θ=__________．15.已知函数()(),1ln 1,1a x f x x x ≥=-<⎪⎩，有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.16.已知()12n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则52b =_________. 三、解答题（70分） 17、（本题满分12分）在在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若tan 3,cos 45A C c === （1）求角B ；（2）求ABC ∆的面积。

福安市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β2． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（）A. B ．483C.D ．1632033． 若某几何体的三视图 （单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体积是（ ）cm3A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4． 已知圆方程为，过点与圆相切的直线方程为（ ）C 222x y +=(1,1)P -C A ． B ．C ．D ．20x y -+=10x y +-=10x y -+=20x y ++=5． 阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（）S A ．39B ．21C ．81D ．102班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________6． 在ABC ∆中，若60A ∠=o，45B ∠=o，BC =，则AC =（）A ．B ． C.D 7． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ）A ．（﹣1，2]B ．（﹣2，2]C ．[﹣2，2]D ．[﹣2，﹣1）8． 已知为的三个角所对的边，若，则,,a b c ABC ∆,,A B C 3cos (13cos )b C c B =-sin :sin C A =（）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．9． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A ．20种B ．24种C ．26种D ．30种10．数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣1D ．111．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量=（m ，n ），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）A ．2xB ．2x ln2C ．2x +ln2D ．二、填空题13．已知i是虚数单位，复数的模为 ．14．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x﹣1045f（x）1221下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．15．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当i=1，j=3时，x=2；②当i=3，j=1时，x=0；③当x=1时，（i，j）有4种不同取值；④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值；⑤M中的元素之和为0．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）16．（﹣）0+[（﹣2）3]= ．17．已知直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则ab的最大值是 ．18．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．三、解答题19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．20．如图所示，已知+=1（a＞＞0）点A（1，）是离心率为的椭圆C：上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值；（Ⅲ）设直线AB、AD的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k1+λk2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．21．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm ）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．22．已知、、是三个平面，且，，，且．求证：、αβc αβ=I a βγ=I b αγ=I a b O =I 、三线共点．23．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cos θ+sin θ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P （x ，y ）是圆C 上动点，试求x+y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．24．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，（1）求证：直线BC1∥平面D1AC；（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．福安市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】D【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误；在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误；在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确．故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　2． 【答案】【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－×2×2×1＝，故选D.132033． 【答案】B【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，∴此几何体的体积==2π．故选：B ．　4． 【答案】A 【解析】试题分析：圆心，由(0,0),C r =1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=，所以切线方程为，故选A.,1d r k =∴=20x y -+=考点：直线与圆的位置关系．5． 【答案】]【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：．结束循环，2,3==n S 3,21==n S 4,102==n S 输出．故选D. 1102=S考点：算法初步．6． 【答案】B 【解析】考点：正弦定理的应用.7． 【答案】C【解析】解：由f （x ）=x 2﹣6x+7=（x ﹣3）2﹣2，x ∈（2，5]．∴当x=3时，f （x ）min =﹣2．当x=5时，．∴函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．故选：C ．　8． 【答案】C【解析】由已知等式，得，由正弦定理，得，则3cos 3cos c b C c B =+sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，所以，故选C ．sin 3sin()3sin C B C A =+=sin :sin 3:1C A =9． 【答案】A【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，故选：A ．【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．　10．【答案】D【解析】解：∵a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，∴，得，，a 4=3，…∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3=﹣1，∵2016=3×672，∴A 2016 =（﹣1）672=1．故选：D ．　11．【答案】A【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m ，n ），有36种可能，而使⊥的m ，n 满足m=2n ，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；由古典概型公式可得⊥的概率是：；故选：A．【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．12．【答案】B【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，故选：B．【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．14．【答案】　①②⑤　．【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．15．【答案】　①③⑤　【解析】解：建立直角坐标系如图：则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），∴•=1；•=1；•=1；•=1；∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，∴M中的元素之和为0，故⑤正确．综上所述，正确的序号为：①③⑤，故答案为：①③⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．16．【答案】 ．【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．17．【答案】 ．【解析】解：∵直线l：ax﹣by﹣1=0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），∴a+b﹣1=0，即a+b=1，∴ab≤=当且仅当a=b=时取等号，故ab的最大值是故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．18．【答案】　180　【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r可知r=2，所以系数为C102×4=180，故答案为：180．【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，∴这2人成绩均不低于90分的概率P==．【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵，∴a=c，∴b2=c2∴椭圆方程为+=1又点A（1，）在椭圆上，∴=1，∴c2=2∴a=2，b=，∴椭圆方程为=1 …（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，D（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，可得4x2+2bx+b2﹣4=0△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2x1+x2=﹣b，x1x2=∴|BD|==，设d为点A到直线y=x+b的距离，∴d=∴△ABD面积S=≤=当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为…（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣，0）时，k1==2﹣，k2==﹣2此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立．证明如下：k1+k2=+=2+m=2﹣2=0当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件…【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．【答案】【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．22．【答案】证明见解析．【解析】考点：平面的基本性质与推论．23．【答案】【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…24．【答案】【解析】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB=C1D1，故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，故直线BC1平行于平面DA1C；（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h）以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得而△AD1C中，，故所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积，即直线BC1到平面D1AC的距离为．【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．　。

福安一中2017-2018学年高三第一学期期中考试理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共14页。

满分300分。

考试限定用时150分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

可能用到的相对原子质量：H 1 O 16 N 14 Al 27第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列关于生物大分子的叙述，不正确．．．的是A. 淀粉、糖原、纤维素都是由葡萄糖聚合而成的多糖B. 蛋白质在细胞膜行使功能时起重要作用C. 同一细胞中两种RNA的合成有可能同时发生D. 蛋白质和核酸都能够通过核孔自由进出细胞核2.下列有关细胞生命历程的说法正确的是A. 细胞生长：核糖体的数量增加，物质运输效率升高B. 细胞分化：核遗传物质和mRNA种类均发生变化C. 细胞癌变：细胞膜上各种蛋白质均减少，多个基因发生突变D. 细胞凋亡：相关基因活动加强，为细胞编程性死亡3.下列有关生物学实验及研究的叙述正确的是A. 孟德尔的豌豆杂交试验中将母本去雄的目的是防止自花授粉B. 经健那绿染液处理，可以使活细胞中的线粒体呈灰绿色C. 用光学显微镜可观察表皮细胞染色体的形态和数目D. 酒精在“脂肪的检测和观察”与“观察DNA和RNA在细胞中的分布”中的作用相同行分4．蜜蜂种群中雌蜂是二倍体，雄蜂是单倍体。

宁德“同心顺”2018届高三上期中联考数 学(理)试题（考试时间：120分钟；满分：150分） 命卷：茂华学校 审卷：福鼎二中一、选择题（12*5=60分）1.已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z =（ ）A ．．10 D ．18 2.已知集合{}{}22|230,|,A x x x B y y x x R =--≤==∈,则AB =（ ）A ．∅B ．[]0,1C ．[]0,3D ．[)1,-+∞3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差32,21d S =-=，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．10B ．9C ．6D ．54．将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值是 （ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π 5．等比数列{a n }的各项均为正数，且385618a a a a +=，则3132310l o g l o g l o ga a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ． 32log 5+ 6． 已知函数()ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）7.设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 8．若1a xdx =⎰，10sin b xdx =⎰，1(1)x c e dx =-⎰则,,a b c 的大小关系( )A ．a b c <<B ．b a c << C.c b a << D ．b c a <<9．《张丘建算经》上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．2610.已知ln ()xf x x=，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A ．(2)()(3)f f e f >> B ．(3)()(2)f f e f >>C ．()(2)(3)f e f f >>D ．()(3)(2)f e f f >>11.平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=, 点P 在边CD 上，则PA PB ⋅的取值范 围是（ ）A ．[]1,8-B ．[)1,-+∞ C.[]0,8 D ．[]1,0- 12.已知实数,a b 满足225ln 0,a a b c R --=∈,）A．12 B．2 C. 2 D ．92二、填空题（4*5=20分）13．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，cos 3A =，则a ＝________.14．已知向量,a b 满足()1,2,1,3a b a b ==+=，记向量,a b 的夹角为θ，则c o s θ=__________．15.已知函数()(),1ln 1,1a x f x x x ≥=-<⎪⎩，有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.16.已知()12n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则52b =_________. 三、解答题（70分） 17、（本题满分12分）在在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若tan 3,cos 4A C c === （1）求角B ；（2）求ABC ∆的面积。

2015-2016学年福建省宁德市福安一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．）1．若集合A={x|x2﹣6x≤0，x∈N*}，则{x|∈N*，x∈A}中元素的个数（）A．3个B．4个C．1个D．2个2．已知复数z=1﹣i，则=（）A．﹣B．C．﹣ i D． i3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，其余的人做问卷B．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．15 B．16 C．17 D．184．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A． B．C． D．05．执行如图的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最大值是（）A．15 B．14 C．7 D．66．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A．32πB．4πC．48π D．12π7．已知等比数列{a n}的首项a1=2015，公比为q=，记b n=a1a2a3…a n，则b n达到最大值时，n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．138．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β9．若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3=（）A．15 B．5 C．10 D．2010．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．11．已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，1） D．（﹣∞，1）12．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A．B． C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ=．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=An2+Bn+C，若A=5，C=1，则B= ．15．已知α为第二象限角，，则cos2α=．16．已知函数f（x）=1﹣，g（x）=lnx，对于任意m≤，都存在n∈（0，+∞），使得f （m）=g（n），则n﹣m的最小值为．三.解答题：（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=，∠ADC=；E为AD边上一点，DE=1，EA=2，∠BEC=（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．18．已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？20．如图，A为椭圆（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．当AC垂直于x轴时，恰好|AF1|：|AF2|=3：1．（1）求该椭圆的离心率；（2）设，，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4（a∈R）．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求f（x）在[﹣1，1]上的最小值；（Ⅱ）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省宁德市福安一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．）1．若集合A={x|x2﹣6x≤0，x∈N*}，则{x|∈N*，x∈A}中元素的个数（）A．3个B．4个C．1个D．2个【考点】集合的表示法．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合A中的元素，从而求出集合{x|∈N*，x∈A}中的元素即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣6x≤0，x∈N*}={1，2，3，4，5，6}，x=1时： =4，x=2时： =2，x=4时： =1，则{x|∈N*，x∈A}中元素的个数是3个，故选：A．【点评】本题考察了集合的表示方法，是一道基础题．2．已知复数z=1﹣i，则=（）A．﹣B．C．﹣ i D． i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1﹣i，则===．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，其余的人做问卷B．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由1≤30n﹣21≤450，求得正整数n的个数，即为得出结论．【解答】解：∵960÷32=30，∴由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，由1≤30n﹣21≤450，n为正整数可得1≤n≤15，∴做问卷C的人数为32﹣15=17，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．4．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）A． B．C． D．0【考点】向量在几何中的应用；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．【解答】解：取AB的中点C，连接OC，，则AC=，OA=1∴sin =sin∠AOC==所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．【点评】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及向量的数量积公式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．5．执行如图的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最大值是（）A．15 B．14 C．7 D．6【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是 7 4第四圈是 15 5第五圈是 31 6第六圈否故S=15时，满足条件S＜pS=31时，不满足条件S＜p故p的最大值15．故选A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A．32πB．4πC．48π D．12π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】作出几何体的直观图，根据棱锥的结构特征计算外接球的半径，得出球的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，取BD中点O'，PB中点O，连结OO'，则OO'∥PA，∴OO'⊥平面ABCD，∴O为四棱锥P﹣ABCD的外接球球心，∵OO'==1，O'B==，∴OB==．∴棱锥外接球的面积S=4πOB2=12π．故选D．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥与球的关系，属于中档题．7．已知等比数列{a n}的首项a1=2015，公比为q=，记b n=a1a2a3…a n，则b n达到最大值时，n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知，b n达到最大值时，，由此能求出b n达到最大值时，n的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的首项a1=2015，公比为q=，∴，∵b n=a1a2a3…a n，∴b n达到最大值时，，∵=＞1，＜1，∴b n达到最大值时，n的值为11．故选：B．【点评】本题考查满足的等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．8．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面垂直的性质．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选B．【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．9．若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3=（）A．15 B．5 C．10 D．20【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由题意可得[﹣1+（x+1）]5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，故有a3=（﹣1）2•，计算可得结果．【解答】解：由题意可得 f（x）=[﹣1+（x+1）]5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，∴a3=（﹣1）2•=10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（0，1） D．（﹣∞，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】令f（x）在（﹣2，0]上有2个零点，在（0，+∞）上有1个零点，根据函数类型及零点范围及个数列出不等式组，解出a的范围．【解答】解：∵f（x）由3个零点，∴f（x）在（﹣2，0]上有2个零点，在（0，+∞）上有1个零点．∴，解得＜a＜1．故选：A．【点评】本题考查了函数零点的个数判断，分段函数的应用，属于中档题．12．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则a n=（）A．B． C．D．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设b n=nS n+（n+2）a n，由已知得b1=4，b2=8，从而b n=nS n+（n+2）a n=4n，进而得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出．【解答】解：设b n=nS n+（n+2）a n，∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a2=1，∴b1=4，b2=8，∴b n=b1+（n﹣1）×（8﹣4）=4n，即b n=nS n+（n+2）a n=4n当n≥2时，∴，即，∴是以为公比，1为首项的等比数列，∴，∴．故选：A．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ=﹣1 ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】先求得得和的坐标，再根据|+|=|﹣|，求得λ 的值．【解答】解：由题意可得=（2λ+2，2），=（﹣2，0），再根据|+|=|﹣|，可得=，解得λ=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查向量的模的定义和求法，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=An2+Bn+C，若A=5，C=1，则B= 16 ．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由数列{a n}为等差数列，设公差为d，表示出a n+S n，代入已知等式整理即可得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a n+S n=An2+Bn+C，得a1+（n﹣1）d+na1+n（n﹣1）d=An2+Bn+C，∴，∴3A﹣B+C=0．若A=5，C=1，则B=16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．15．已知α为第二象限角，，则cos2α=．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα的值是关键，属于中档题．16．已知函数f（x）=1﹣，g（x）=lnx，对于任意m≤，都存在n∈（0，+∞），使得f （m）=g（n），则n﹣m的最小值为 1 ．【考点】函数恒成立问题；全称命题．【专题】转化思想；换元法；导数的综合应用；简易逻辑．【分析】由题意可得1﹣=lnn；从而可得n=；令1﹣=t，t＜1；则m=t ﹣，从而得到y=n﹣m=e t﹣t+；求导求函数的最小值即可．【解答】解：由m≤知，1﹣≤1；由f（m）=g（n）可化为1﹣=lnn；故n=；令1﹣=t，t≤1；则m=t﹣，则y=n﹣m=e t﹣t+；故y′=e t+t﹣1在（﹣∞，1]上是增函数，且y′=0时，t=0；故y=n﹣m=e t﹣t+在t=0时有最小值，故n﹣m的最小值为1；故答案为：1．【点评】本题考查了函数恒成立问题，利用导数法以及换元法转化为求函数的最值是解决本题的关键．三.解答题：（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=，∠ADC=；E为AD边上一点，DE=1，EA=2，∠BEC=（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）设∠CED=α．在△CED中，由余弦定理，可解得CD=2，在△CED中，由正弦定理可解得sin∠CED的值．（Ⅱ）由题设知α∈（0，），先求cos，而∠AEB=，即可求cos∠AEB=cos （）的值．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）设∠CED=α．在△CED中，由余弦定理，得CE2=CD2+DE2﹣2CD×DE×cos∠CDE，…得CD2+CD﹣6=0，解得CD=2（CD=﹣3舍去）．…在△CED中，由正弦定理，得sin∠CED=．…（Ⅱ）由题设知α∈（0，），所以cos，…而∠AEB=，所以cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=﹣cosα+sinα=﹣=．…在Rt△EAB中，BE==4．…【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．18．已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O﹣PM﹣D的正切值为，求a：b的值．【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题；空间向量及应用．【分析】（I）根据线面垂直的判定，证明B D⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．（II）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为，即可求a：b的值．【解答】解：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．（II）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角又，且从而∴所以9a2=16b2，即．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出面面角．19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，由此能求出这2人的累计得分X≤3的概率．（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，由已知得X1的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X1的分布列和E（X1）；小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X2，由已知得X2的所有可能取值为0，3，6，分别求出相应的概率，由此能求出X2的分布列和E（X2），从而得到他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．【解答】（本题满分12分）解：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，…因为P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）=，P（X=2）=×（1﹣）=，P（X=3）=（1﹣）×=，所以P（A）=P（X=0）+P（X=2）+P（X=3）=，即这2人的累计得分X≤3的概率为．…（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，由已知得X1的所有可能取值为0，2，4，P（X1=0）==，P（X1=2）==，P（X1=4）==，∴X1的分布列如下：X10 2 4PE（X1）=0×+2×+4×=，…小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X2，由已知得X2的所有可能取值为0，3，6，P（X2=0）==，P（X2=3）==，P（X2=6）==，∴X2的分布列如下：X20 3 6PE（X2）=0×+3×+6×=．…∵E（X1）＞E（X2），∴他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．如图，A为椭圆（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．当AC垂直于x轴时，恰好|AF1|：|AF2|=3：1．（1）求该椭圆的离心率；（2）设，，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题．【分析】（1）由|AF1|：|AF2|=3：1，及椭圆定义|AF1|+|AF2|=2a，可求AF1，AF2，在Rt△AF1F2中，利用勾股定理可求（2）由（1）可得b=c．椭圆方程为，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直线AC⊥x轴容易求解②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程，结合韦达定理可求，从而可求，同理可得，代入可求【解答】解：（1）当AC垂直于x轴时，|AF1|：|AF2|=3：1，由|AF1|+|AF2|=2a，得，在Rt△AF1F2中，|AF1|2=|AF2|2+（2c）2解得 e=．…（2）由e=，则，b=c．焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），则椭圆方程为，化简有x2+2y2=2b2．设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），①若直线AC⊥x轴，x0=b，λ2=1，∴λ1+λ2=6．…②若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为代入椭圆方程有（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0．由韦达定理得：，∴…所以，同理可得…故λ1+λ2=．综上所述：λ1+λ2是定值6．…【点评】本题主要考查了利用椭圆得性质及椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交中方程思想的应用，这是处理直线与椭圆位置关系的通法，但要注意基本运算的考查21．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4（a∈R）．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求f（x）在[﹣1，1]上的最小值；（Ⅱ）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解出a，再求出f′（x）=0，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调性，进而来确定极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最值．（II）存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，即f（x）在（0，+∞）上的最大值大于0，故先求导，然后分a＞0和a≤0两种情况分别讨论f（x）在（0，+∞）上的最大值情况即可．【解答】解：（I）∵f'（x）=﹣3x2+2ax，由已知f′（x）=tan=1，即﹣3+2a=1，∴a=2；…此时，知f（x）=﹣x3+2x2﹣4，f′（x）=﹣3x2+4x=﹣3x（x﹣），x∈[﹣1，1]时，如下表：…．∴x∈[﹣1，1]时，f（x）最小值为f（0）=﹣4，…（II）∵f′（x）=﹣3x（x﹣），（1）若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，从而f（x）在（0，+∞）上是减函数，又f（0）=﹣4，则当x＞0时，f（x）＜﹣4．∴当a≤0时，不存在x0＞0使f（x0）＞0；（2）若a＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0．当x＞时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，]上单增，在[，+∞）单减；∴x∈（0，+∞）时，f（x）max=f（）=﹣4，由已知，必须﹣4＞0∴a3＞27，a＞3 …综上，a的取值范围是（3，+∞）．【点评】本题考查了导数的运算，导数的几何意义，利用导数求函数的最值等知识点，涉及了分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所以：，t1t2=32+8a，①则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a=1．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，利用根和系数的关系建立方程组求解，等比数列的应用．23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．【考点】带绝对值的函数；其他不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

福安高级中学、霞浦七中、周宁十中2018--2018学年第一学高三期中考试 数学理科试卷（总分150分，考试时间120分钟，）一、选择题（共60分. 本大题共12个小题，每个小题都有四个选项，其中只有一个选项正确，请将正确选项的题号填在答题卡的相应位置上，答对一个小题得5分） 1. 若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 2. 已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|0}B x x =<，则B A ⋂=( )A ．{|12}x x -<< B ．{|1x x <}C ．{|20}x x -<<D ．{|10}x x -<<3. 下列命题中，真命题是（ ）A ．0,00≤∈∃xe R x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件4. 若集合A=｛-1， 1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z ︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（ ）A ．5 B.4 C.3D.25. 已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠是定义在R 上的单调递减函数，则函数)1(log )(+=x a x g 的图象大致是 （ ）6. 在△ABC 中，已知错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+λ错误！未找到引用源。

，则λ= ( )A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C.31- D. 32-错误！未找到引用源。

7. 已知3sin 5α=，则=+)22sin(απ( )A ．1225-B ．257C ．1225D ．257-8．已知函数1,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．(,2]-∞- C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞9. 若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b 与a-b 的夹角等于 ( )A.4π- B.错误！未找到引用源。

2018届高三上学期数学（理科）期中考试（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）注意事项：非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（每小题5分，总50分）1．已知集合，，则（）．．．．2．已知命题P是：“对任意的，”，那么是（）A．不存在，B．存在，C．存在， D．对任意的，3.是（）A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数4．设则“且”是“”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件5若，则的定义域为( )A. B. C. D.6.函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0,)的部分图象如图所示，则f(0)的值是（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（）．A．B． C．D．8.已知，则的值等于( )A ．B ．C ．D ．9. 已知函数（，且）的图象恒过定点A，若点A 在函数的图象上，其中，则的最小值为A．1 B．4 C． D．210. ,若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)二、填空题（每小题5分，总20分,其中14、15题为选做题）11.已知函数, 则= _____________.12. 的值等于________.13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是14．（坐标系与参数方程选做题）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为__．15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点，,，则圆的面积为．PABO C三、解答题（共80分）16.（本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）求的最大值和最小值；（3）若，求的值17．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.（1）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；（2）若第一次随机抽1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字2的概率．18.（14分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；19．(本小题满分14分)已知函数f(x) =x2—lnx.(1)求曲线f(x)在点（1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调递减区间：(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax, a>0，若x∈ (O，e]时，g(x)的最小值是3,求实数a的值. (e是为自然对数的底数）20．(本小题满分14分)在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月生产台某种产品的收入为元，成本为元，且，，现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润=收入－成本）（1）求利润函数以及它的边际利润函数；（2）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差。

福建省宁德市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知集合,,则（）A .B .C .D .2. （2分）已知x,y满足,且目标函数z=2x+y的最大值是最小值的8倍,则实数a的值是（）A .B .C .D .3. （2分）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（）A .B .C .D .4. （2分）设,是两个集合，则“="是""的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条5. （2分） (2019高一下·包头期中) 等差数列与的前项和分别为与，若，则（）A .B .C .D .6. （2分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A .B .C .D . 47. （2分） (2018高二上·淮北月考) 淮北一中艺术节对摄影类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）.A . A作品B . B作品C . C作品D . D作品8. （2分） y=sin（ωx+φ）（ω＞0）与y=a函数图象相交于相邻三点，从左到右为P、Q、R，若PQ=3QR，则a的值为（）A . ±B . ±C . ±D . ±1二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2019高二上·荔湾期末) 执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是________．10. （1分） (2016高一下·吉安期末) 若正数a、b满足a+2b=1，则 + 的最小值是________．11. （1分）方程2x=10﹣x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=________12. （1分） (2019高二下·常州期中) 若一次函数满足，则 ________．13. （1分）若幂函数的图像过点，则的解析式为________．14. （1分）已知集合A={1，2，3}，B={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，则A∪B=________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （10分）已知数列的前项和为，， .（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和 .16. （10分）(2014·江苏理) 已知函数f0（x）= （x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N* ．（1）求2f1（）+ f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N* ，等式|nfn﹣1（）+ fn（）|= 都成立．17. （10分）(2018·中原模拟) 如图所示，中，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求的值以及的面积．18. （5分） (2017高三上·张家口期末) 已知函数f（x）= +lnx﹣3有两个零点x1 ， x2（x1＜x2）（Ⅰ）求证：0＜a＜e2（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．19. （10分）(2020·南昌模拟) 已知函数，（其中e为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数有最小值，求函数的值域.20. （15分） (2016高二上·普陀期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am ，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

2018—2019学年福安一中第一学期期中考高一数学试卷一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合. 则集合=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集的定义先求出C I N，再利用交集的定义求出M∩（C I N），得到选项．【详解】因为I={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，4}，所以C I N={1，5，6}，所以M∩（C I N）={1，6}，故选：C．【点睛】本题考查求集合的交、并、补集，一般先化简各个集合，然后利用定义进行计算，属于基础题．2.函数的定义域是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分式及对数成立的条件可得，解不等式可求答案．【详解】由题意可得，解不等式可得，﹣1＜x≤1∴函数的定义域为（﹣1，1]故选：C.【点睛】本题考查了含有对数与分式的函数的定义域的求解，是基础题．3.下列各组函数中，表示同一函数的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【详解】A．f（x）、g（x）的定义域均为R，但解析式不同，所以不是同一函数．B．f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为[0，+∞），所以定义域不同，所以不是同一函数．C．f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），而g（x）的定义域为R，所以定义域不同，所以不是同一函数．D．因为f（x）=，所以两个函数的定义域和对应法则一致，所以表示同一函数．故选D.【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．4.已知函数, 若则实数的值为A. B. C. 或 D. 或或【答案】C【解析】【分析】由x＜0时，f（x）=；x≥0时，f（x）=，利用f（x）=3，直接求出x的值即可．【详解】∵函数，若f（x）=3，∴当x≥0时，=3，可得x=1；当x＜0时，=3，解得x=﹣3或x=3（舍去）．综上：实数x=1或﹣3．【点睛】本题考查了函数解析式的应用，函数的零点的求法，注意x的范围是解本题的关键．5.下列函数是奇函数且在上单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、不是奇函数；对于B、y=x3不符合单调性的要求，对于C、y=不是奇函数，不符合题意，对于D、由反比例函数的性质可得其符合题意；综合可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、；对于B、y=x是奇函数但其在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于C、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D、y=，是奇函数，且其在（0，+∞）上单调递减，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是熟悉常见函数的奇偶性、单调性．6.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意易知函数f（x）=3x+2x﹣7在定义域上是连续增函数，再由函数零点的判定定理求解．【详解】易知函数f（x）=3x+2x﹣7在定义域上是连续增函数，f（1）=3+2﹣7=﹣2＜0，f（2）=9+4﹣7=6＞0，f（1）f（2）＜0；由零点判定定理，可知函数f（x）=3x+2x﹣7的零点所在的区间为（1，2）；【点睛】本题考查了函数的零点的判断，属于基础题．7.三个数的大小顺序是A. a>c>bB. a>b>cC. b>a>cD. c>a>b【答案】A【解析】【分析】根据指数函数，对数函数的性质求出a，b，c的取值范围即可比较大小．【详解】∵30.6＞1，log30.6＜0，0＜0.63＜1，∴a＞1，b＜0，0＜c＜1，故a＞c＞b．故选：A．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质确定a，b，c的取值范围是解决本题的关键．8.函数与且在同一坐标系中的图象只可能是（）．A.B. C. D.【答案】C【解析】讨论、两种情况，根据指数函数与对数函数的单调性，结合选项，利用排除法可得结果. 【详解】因为，，当时，，所以指数函数单调递减，对数函数单调递增，四个选项都不合题意；当时，，所以指数函数单调递增，对数函数单调递减，只有符合题意，故选．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象9.已知定义在上的函数满足:，若, 则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可令x=y=4，求得f（4）；再令x=y=2，即可得到f（2）的值．【详解】f（x+y）=f（x）+f（y）+1，且f（8）=15，令x=y=4，可得f（8）=2f（4）+1=7，解得f（4）=3，再令x=y=2，可得f（4）=2f（2）+1=3，解得f（2）=1．【点睛】本题考查抽象函数的运用：求函数值，注意运用赋值法，考查运算能力，属于基础题．10.双“十一”要到了，某商品原价为元，商家在节前先连续次对该商品进行提价且每次提价.然后在双“十一”期间连续次对该商品进行降价且每次降价.则最后该商品的价格与原来的价格相比A. 相等B. 略有提高C. 略有降低D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】由题意列出商品最后的价格，利用指数幂的运算性质计算结果.【详解】==<1，故选C.【点睛】本题考查了指数幂的实际应用，考查了指数的运算性质，属于中等题.11.已知是定义域为的奇函数, 当时, ，那么不等式的解集是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知利用f（x）在上单调递减，不等式等价于，解不等式组即可得出结论．【详解】当时, ，可得f（x）在上为减函数，又是奇函数,所以f(x)在上单调递减，∴等价于∴解得．∴故选B.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.已知方程的两根为，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数与的图象相交问题，利用数形结合进行比较即可．【详解】方程的两根为，即与两个图象交点的横坐标为，由图不难发现：，，排除B，Ｃ，Ｄ，下面证明：由图可知：，又∴，又，∴，即故选：A【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数的图象的交点问题，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13.已知幂函数的图像过点，则．【答案】4【解析】试题分析：由于幂函数的图象过，则，，所以，考点：1.幂函数定义；2.待定系数法；14.函数的单调递减区间为____________．【答案】【解析】【分析】令t=，可得函数f（x）=，由t＞0 求得函数的定义域，本题即求函数t在定义域内的增区间，可得结论．【详解】令t=，可得函数f（x）=，∴t＞0，∴x＜﹣3，或x＞3，∴函数的定义域为{x|x＜﹣3，或x＞3}．即求函数t在定义域内的增区间．∴利用二次函数的图象可得t在定义域内的增区间为，故答案为.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质，属于中档题．15.设实数满足：，则_________.【答案】1【解析】【分析】，可得x=，y=，代入即可得出．【详解】∵，∴x=，y=则+===1．故答案为1．【点睛】本题考查了指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题．16.给出下列说法①函数为偶函数；②函数与是互为反函数；③函数在上单调递减；④函数的值域为.其中所有正确的序号是___________ .【答案】①②③【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的图象和性质，反函数，函数的奇偶性，逐一分析5个命题的真假，可得答案．【详解】①函数f（x）=f(-x),故正确；②函数与是互为反函数，故正确；③令t=则f（x）=，由t＞0∴函数的定义域为{x|x＜0，或x＞0}, t=在上单调递减，所以函数在上单调递减，故正确；④函数的值域为，故错误；故答案为：①②③.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，反函数，复合函数，函数的奇偶性，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值：（Ⅰ）（Ⅱ） .【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用指数幂的运算法则即可得出；（Ⅱ）利用对数的运算法则即可得出．【详解】（Ⅰ）原式=+ ++1=+ ++1=（Ⅱ）原式===2-=【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知全集，集合，集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若集合，且, 求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）求出集合B，从而求出C U B，由此能求出（∁U B）∪A．（Ⅱ）由C∩A=C，得C⊆A，由此能求出实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）.【点睛】本题考查并集、补集、实数的取值范围的求法，考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.已知是定义在上的偶函数，当时，（Ⅰ）在给定的坐标系中画出函数在上的图像（不用列表）；（Ⅱ）直接写出当时的解析式；（Ⅲ）讨论直线与的图象的交点个数．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）直接描点作图即可.（Ⅱ）根据函数奇偶性的性质利用对称性进行转化求解即可．（Ⅲ）由函数f（x）的图象，结合数形结合进行求解即可．【详解】（Ⅰ）解：函数图象如图：（Ⅱ）（Ⅲ）设交点个数为当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上所述，【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数与方程的应用，根据函数奇偶性的对称性的性质进行转化求解是解决本题的关键．20.已知定义在上的函数是奇函数.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）判断的单调性，并用定义证明.【答案】（1）（2）单调递减【解析】【分析】（Ⅰ）利用函数是奇函数，建立方程关系解a，b．（Ⅱ）利用定义法证明函数的单调性．【详解】（I）由得,（II）在上单调递减.证明如下：由（I）知设是上的任意两个实数，且，则，.即在上单调递减.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性问题，属于中等题．21.水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.（参考数据：）（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.【答案】（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.【解析】【分析】（Ⅰ）判断两个函数y=ka x（k＞0，a＞1），在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=ka x（k ＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．（Ⅱ）利用 x=0时，，若经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍则有，求解即可．【详解】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.则有，解得，（Ⅱ）当时，该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识.22.已知函数的图象过点.（Ⅰ）求实数的值;（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（Ⅰ）根据图象过点，代入函数解析式求出k的值即可；（Ⅱ）令，则命题等价于，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅲ）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可．【详解】（I）函数的图象过点（II）由（I）知恒成立即恒成立令，则命题等价于而单调递增即（III），令当时，对称轴①当，即时，不符舍去.②当时,即时.符合题意.综上所述：【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题．。

宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{2,3,4,5}A =，{|3}B x x =>，则满足m A ∈且m B ∉的实数m 所组成的集合为 A ．{2}B ．{3}C ．{4,5}D ．{2,3}2．命题“若1x =-，则220xx --=”的逆否命题是A ．若1x ≠-，则220x x --≠ B ．若220x x --≠，则1x ≠- C ．若1x =-，则220xx --≠ D ．若220x x --≠，则1x =-3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：2χ28.12χ≈．根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A ．97.5%B ．99%C ．99.5％D ．99.9% 4．某公司将4配方法的总数为A ．6B ．12 Ｃ．5(,)x y 所对应的点都在函数A ．1y x =-的图象上B ．1y=的图象上C ．121xy -=-的图象上 D ．2log y x =的图象上6．若变量,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -等于A ．8B ．7C ．6D ．5 7．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．53πB ．43πC ．πD ．3π8．已知函数2())cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是俯视图侧视图正视图A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 9．已知O 为坐标原点，向量(1,0)OA =，(1,2)OB =-．若平面区域D 由所有满足OC OA OB λμ=+（22λ-≤≤，11μ-≤≤）的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是 A ．1y x= B ．cos y x x =+C ．5ln 5x y x-=+ D ．ee 1xx y -=+-10．斜率为(0)k k ≠的两条直线分别切函数32()(1)1f x xt x =+--的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方程为21y x =-，则t k +的值为 A ．8 B ．7 C ．6 D ．5第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．已知复数i(1i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的模z =_______．12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中乙种产品有30件，则样本容量n ＝________．13．如图，直线(0)y kx k =>与函数2y x =的图象交于点O ，P ，过P 作PA x ⊥轴于A ．在OAP ∆中任取一点，则该点落在阴 影部分的概率为________．14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为,,a b c ，且,,2ba c成等差数列．若其对角线长为，则b 的最大值为________．15．如图，011A B A ∆，122A B A ∆，L ，1n n nAB A -∆均为等腰直角三角形，其直角顶点1B ，2B ，L ，nB*()n ∈N在曲线1(0)y x x=>上，0A 与坐标原点O 重合，i A *()i ∈N 在x 轴正半轴上．设n B 的纵坐标为n y ，则12n y y y +++=L ________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出n 条鱼称其重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频 率分布表．（Ⅰ）求频率分布表中的n ，x ，y 的值；（Ⅱ）从捞出的重量不超过100克的鱼中，随机抽取3条 作病理检测，记这3条鱼中，重量不超过90克的鱼的条 数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．(本小题满分13分)已知数列{}na 满足：123a =，且11112()33n n n aa ++=+⨯．（Ⅰ）求证：数列{}3nn a ⋅是等差数列；（Ⅱ）求数列{}na 的前n 项和nS ．18．(本小题满分13分)如图（1）所示，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=，//AD BC ，6AD =，3DC BC ==．过B 作BE AD ⊥于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将ABE ∆沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC （如图（2））．（Ⅰ）取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得//PQ 平面AEB ？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由；（Ⅱ）当23EP ED =时，求平面AEB 和平面APC 所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分13分）某供货商拟从码头A 发货至其对岸l 的两个商场B ，C 处， 通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A 至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、图（1）图（2）A BE CDADCBEPQP•A BC D l4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元．（Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围； （Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．20． (本小题满分14分) 已知函数2()2ln ()f x axx x a =+-∈R ．（Ⅰ）若4a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x '在(0,1)有唯一的零点0x ，求a 的取值范围；（Ⅲ）若1(,0)2a ∈-，设2()(1)21ln(1)g x a x x x =-----，求证：()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，且对（Ⅱ）中的0x ，满足011xx +>．21．(本小题满分14分)本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分） 已知二阶矩阵A 有特征值11λ=，22λ=，其对应的一个特征向量分别为111⎛⎫= ⎪⎝⎭e，210⎛⎫= ⎪⎝⎭e ． （Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求圆22:1C x y +=在矩阵A 所对应的线性变换作用下得到曲线C '的方程．（2）选修4-4 参数方程与极坐标（本小题满分7分）已知倾斜角为6π，过点(1,1)P 的直线l 与曲线C ：2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩(α是参数)相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求PA PB ⋅的值．（3）选修4-5：不等式选讲（本小题满分7分）在空间直角坐标系O xyz -中，坐标原点为O ，P 点坐标为(,,)x y z ．（Ⅰ）若点P 在x 轴上，且坐标满足253x -≤，求点P 到原点O 的距离的最小值；（Ⅱ）若点P 到坐标原点O 的距离为，求x y z ++的最大值．宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1. D2. B3. C4. A5. D6. C7. A8. B9.C 10. B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.14. 211.90 13. 13三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本小题主要考察概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．解：（Ⅰ）依题意，30.03n=， ………………………………………1分∴100n =． ………………………………………………2分 ∴1000.1010x =⨯=， …………………………………………3分 200.20100y ==． ……………………………………………4分（Ⅱ）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， …………5分3731035(0)120C P Cξ===， 123731063(1)120C C P C ξ===，213731021(2)120C C P C ξ=== ， 333101(3)120C P C ξ===， (9)分（说明：以上4个式子，每个1分）故ξ的分布列为分所以ξ的数学期望63211()0123120120120E =+⨯+⨯+⨯ξ…………12分．910=. …………………………………13分 17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分. 解法一：（Ⅰ）令3n n n b a =⋅， (1)分则11133n n n n n n b b a a +++-=⋅-⋅ (2)分11113(2())333n n n n n a a ++=+⨯-⋅ ......... (3)分3232n n n n a a =⋅+-⋅= ………………………………………4分∴数列{}nb 为公差为2的等差数列.即数列{}3nn a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{}nb 为公差为2的等差数列， 1132b a=⋅=，∴1(1)22nb b n n =+-⋅= ……………………………………………6分 ∴23n nna =． …………………………………………………………7分 ∴2324623333nn nS =++++ ，……………① …………………8分 ∴23411246233333n n nS+=++++ ，...............② (9)分①-②得231222222333333nn n nS+=++++- ，……………………10分∴2111113333nn nnS-=++++-A DCBE PMQ11(13313n n n ⨯-=-- ……………………………………12分332233n n n=--⨯323223nn +=-⨯． ………………………………………13分解法二：（Ⅰ）∵11112()33n n n aa ++=+⨯， ∴11332n n n n a a ++⋅=⋅+，……………………………………3分 ∴11332n n n n a a ++⋅-⋅=， …………………………………4分 ∴数列{}3nn a ⋅是公差为2的等差数列. (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列{}3nn a ⋅是公差为2的等差数列，∴133(1)22nn a a n n ⋅=+-⨯=，∴23nnna=．……………………7分以下同法一18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. 解：（Ⅰ）存在．当P 为DE 的中点时，满足//PQ 平面AEB ．………1分取AB 的中点M ，连结EM ，QM ．由Q 为AC 的中点，得//MQ BC ，且12MQ BC =，……2分 又//PE BC ，且12PE BC =，所以//PE MQ ，=PE MQ ，所以四边形PEMQ 为平行四边形，……………………3分 故//ME PQ ．……………………………………………4分 又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ，所以//PQ 平面AEB ． ………………………………5分 从而存在点P ，使得//PQ 平面AEB ，此时3=2PD ． (6)分（Ⅱ）由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE 所以AE ⊥平面BCDE ，又BE DE ⊥分以E 为原点，分别以,,EB ED EA为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则(0,0,0)E ，(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，(0,2,0)P ，(3,3,0)C ． (8)分(3,1,0)PC = ，(0,2,3)PA =-． (9)分平面AEB 的一个法向量为1(0,1,0)=n ， (10)分设平面APC 的法向量为2(,,)x y z =n，由220,0,PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得30,230.x y y z +=⎧⎨-+=⎩ ………………………………………11分 取3y =，得2(1,3,2)=-n ， ……………………………………………12分所以12cos,==n n即面AEB和平面APC所成的锐二面角的余弦值为13分19. 本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）依题意，在Rt ABC∆中，22220AB=，∴AB=． (1)分又∵在ABD∆中，224ABDππ-π∠==,ADBα∠=，由sinsin4AD AB=α，得10sinADα=………………………………2分由sinsin[()]4BD AB=ππ-+αα，得)4sinBDααπ+=，…………3分∴)420sinCDααπ+=-．…………………………………4分∴100252254S AD BD CD=⨯+⨯⨯+⨯⨯………………………5分))104410050[20]100sin sin sinαααααππ++=⨯+⨯+-⨯1000)42000sinααπ-+=+………………………6分其中α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭． …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）1000)42000sin S π-+=+αα2cos 1500500sin -=+⨯αα， …………………………8分令2cos ()sin f ααα-=，∴22sin sin cos (2cos )12cos ()sin sin f αααααααα⋅---'==，……………9分 由()0f α'=得：1cos 2α=，又∵3,44αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3απ=． …………………………………………………………10分当,43αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'<， 当3,34αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'>， …………………………………11分∴min12()()3f f α-π==． (12)分∴min1500S =+，∴当3απ=时，运输费用S 的最小值为(1500+元．……………13分20. 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解法一：（Ⅰ）当4a =时，2()42ln f x xx x=+-，(0,)x ∈+∞，21821(41)(21)()82x x x x f x x x x x+--+'=+-==．…………………1分由(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得14x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：故函数()f x 在1(0,)4单调递减，在1(,)4+∞单调递增，…………………3分()f x 有极小值13()=+ln 444f ，无极大值．………………………………4分 （Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=， 令()0f x '=，得22210axx +-=，设2()221h x axx =+-．则()f x '在(0,1)有唯一的零点0x 等价于()h x 在(0,1)有唯一的零点0x 当0a =时，方程的解为12x =，满足题意；…………………………5分当0a >时，由函数()h x 图象的对称轴102x a=-<，函数()h x 在(0,1)上单调递增，且(0)1h =-，(1)210h a =+>，所以满足题意；……………………6分 当0a <，0∆=时，12a =-，此时方程的解为1x =，不符合题意；当0a <，0∆≠时，由(0)1h =-，只需(1)210h a =+>，得102a -<<．……………7分综上，12a >-．…………………8分（说明：0∆=未讨论扣1分） （Ⅲ）设1t x =-，则(0,1)t ∈，2()(1)23ln p t g t at t t=-=+--，…………………9分21221()22at t p t at t t+-'=+-=， 由1(,0)2a ∈-，故由（Ⅱ）可知， 方程22210att +-=在(0,1)内有唯一的解0x ，且当0(0,)t x ∈时，()0p t '<，()p t 单调递减；0(,1)t x ∈时，()0p t '>，()p t 单调递增．…………………11分又(1)=10p a -<，所以0()0p x <．…………………12分 取32e (0,1)at -+=∈，则326432326432(e)=e 2e 3ln e e 2e 332aa a a a a p a a a -+-+-+-+-+-++--=+-+-6432(e 2)2e 0a a a -+-+=-+>，从而当0(0,)t x ∈时，()p t 必存在唯一的零点1t ，且10tx <<，即101xx <-<，得1(0,1)x ∈，且011xx +>，从而函数()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，满足011xx +>．……14分解法二：（Ⅰ）同解法一；………………4分 （Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=， 令()0f x '=，由22210axx +-=，得2112a x x=-．………5分 设1m x=，则(1,)m ∈+∞，22111(1)222a mm m =-=--，………6分问题转化为直线y a =与函数211()(1)22h m m =--的图象在(1,)+∞恰有一个交点问题．又当(1,)m ∈+∞时，()h m 单调递增，………7分 故直线y a=与函数()h m 的图象恰有一个交点，当且仅当12a >-．……8分（Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用0t →时，()p t →+∞进行证明，扣1分）21. （1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）设矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭, 依题意，得111222,,A A λλ=⎧⎨=⎩ee e e …………………1分∴1,1,02,00.a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ………………………………2分解得2,1,0,1.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ …………………………3分∴2101A -⎛⎫=⎪⎝⎭.…………………4分（Ⅱ）设圆C 上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''',∴2,.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩ …………………5分解得,2.x y x y y ''+⎧=⎪⎨⎪'=⎩…………………6分又∵221xy += ,∴2212x y y ''+⎛⎫'+= ⎪⎝⎭, ∴曲线C ′的方程为22254xxy y ++=.…………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分． （Ⅰ）依题意，得直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，，（t 为参数）………1分即111.2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t为参数）…①…………………………………………2分∵曲线C 的参数方程为2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩，∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=.………②………………4分（Ⅱ）把①代入②得2211(1)42t ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴21)20tt +-=，………………5分∴21)80∆=+>，122t t =-， (6)分∴12||||||2PA PB t t⋅== (7)分（3）本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分7分解：（Ⅰ）由点P 在x 轴上，所以(,0,0)P x ， 又坐标满足253x -≤，所以3253x -≤-≤，………………2分 解得14x ≤≤，…………………………………………………3分 所以点P 到原点O 的距离的最小值为 1.. …………………4分（Ⅱ）由点P 到坐标原点O 的距离为， 故22212x y z ++=， (5)分 由柯西不等式，得2222222()(111)()xy z x y z ++++≥++，………6分 即2()36x y z ++≤， 所以x y z ++的最大值为6，当且仅当2x y z ===时取最大. …………7分。

福安一中2018届高三上学期期中考试数学（理）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试 时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|90},{|lg(1)}A x x B x y x =-<=-，则A ∩B = A ．{x | x ＞1}B ．{|3}<x xC ．{|13}<<x xD ．{|13}x x -<<2. 命题"x R ∃∈ 使得sin cos "x x ≥的否定是A ．x R ∀∈都有sin cos x x ≤B ．x R ∀∈都有sin cos x x <C ．x R ∃∈使得sin cos x x ≤D ．x R ∃∈使得sin cos x x <3.若|||b a =r r ，且()a b a ⊥-r r r ，则向量,a b r r的夹角为A. 45°B. 60°C. 120°D.135° 4. 设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s 等于 A ．13 B. 35 C. 49 D. 635. 已知)(x f 是R 上的奇函数，且在()+∞,0上是增函数，若121()0,(log )02f f t =>，则t 的取值范围是 A．(0,(1,2UB. )2+∞C. (1,D. (0,)2+∞U 6. 要得到函数sin()y x π=+的图像，只需将函数cos y x =的图像 A ．右移2π个单位 B ．右移π个单位 C ．左移π个单位D ．左移2π个单位 7. 已知函数2ln(1),0()23,0x x f x x x x +>⎧=⎨--+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是A ．(,4)-∞B ．(,4]-∞C ．[3,4)D ．[3,4]8. 已知R ω∈，则函数()sin f x x ω=的导函数的图像可能是9. 已知函数)0(tan >=ωωx y 与直线a y =相交于A 、B 两点,且AB 最小值为π,则函数x x x f ωωcos sin 3)(-=的单调增区间是A ． )(62,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ B ． )(322,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C ． )(32,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ D ． )(652,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 10. 三角形的角平分线定理：在△ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D ，则AB BDAC DC=. 已知点O 在AD 上，满足2AO OD =u u u r u u u r ， AC = 2，BC = 4，AB = 3．且AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，利用三角形的角平分线定理可求得x + y 的值为 A ．415 B ．25C ．815D ．2311. 定义在R 上的()f x 满足2,0()(1)(2),0x x f x f x f x x ⎧≤=⎨--->⎩，则(2017)f =A ．12B ．14C ．1D ．212. 定义：若函数()f x 的图像经过变换T 后所得图像对应的函数与()f x 的值域相同，则称变换T 是()f x 的同值变换。