高中数学必修精选范文第章《圆的方程》综合检测题

圆的方程单元测试一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4 解析：选A ∵AB 的中点坐标为(0,0)，|AB |＝[1－ －1 ]2＋ －1－1 2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0) D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：选D 由圆的定义知，若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23. 3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析：选A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋ x ＋2y ＝－ 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．解析：圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34 2＋1. 所以，当 ＝0时圆C 的面积最大，即圆心C 的坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，则该圆的方程为________；若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |，得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2.半径r ＝|CA |＝ 2＋1 2＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.答案：(x －2)2＋y 2＝10 (0,4)二保高考，全练题型做到高考达标1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )A ．上半圆B ．下半圆C ．圆D ．抛物线解析：选A 由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．2．(2018·嘉兴七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析：选A 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是() A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 因为直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)，所以圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.4．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，故曲线C 是圆心为(－a,2a )，半径为2的圆，要使圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，得a >2.5．(2018·浙江名校联盟调研)已知直角三角形ABC 的斜边AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角边BC 的中点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0(y ≠0)C ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)解析：选D 设直角边BC 的中点为P (x ，y )，因为B (3,0)，所以C (2x －3,2y )．因为AC ⊥BC ，所以AC ―→·BC ―→＝(2x －2)·(2x －6)＋4y 2＝0，化简得x 2＋y 2－4x ＋3＝0.因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.即x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)．6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为__________．解析：设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝ 2－3 2＋ －3－4 2＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.故|PM |＋|PN |的最小值为52－4.答案：52－47．(2018·丽水调研)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵ CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 由于直线过圆心C (2,1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0.答案：x ＋y －1＝0 x －y －1＝08．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________；其面积为____________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5，所以其面积为S ＝5π.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5 5π9．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值；(2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22， 解上式得，16－210≤t ≤16＋210，所以所求的最大值为16＋210.(2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率 ， 所以直线MQ 的方程为y －3＝ (x ＋2)，即 x －y ＋2 ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤ ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0.又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2，解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，则m 的取值范围为________．解析：曲线C ：x ＝－4－y 2是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋AQ ―→＝0，则A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P 2∈[2,3]． 答案：[2,3]2．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则 x＋3 2＋y2＝2 x－3 2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．(2)由(1)知曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|＝|5＋3|2＝42，故|QM|的最小值为32－16＝4.。

高中数学必修2圆的方程单元检测题一、 知识要点1、 圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：2、 .特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为： .3、 圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点 ，半径r = ，其中0422>-+F E D .4、 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：5、设圆222)()(γ=-+-b y a x ；直线0=++C By Ax判断直线与圆的位置关系的两种方法分别是 ；6、设两圆的半径分别为R ，γ)(γ>R 、圆心距为d ，判断两圆的位置关系的两种方法分别是 ；7、过圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和直线0=++C By Ax 的交点的圆系方程是8、过圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆2C ：022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是 11122F y E x D y x +++++0)(22222=++++F y E x D y x λ)1(-≠λ，1-≠λ时，消去22,y x 得过两圆交点的直线方程．基础训练1.以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是（ ）A 、100)2()1(22=++-y xB 、100)2()1(22=-+-y xC 、25)2()1(22=-+-y xD 、25)2()1(22=+++y x2.0≠=C A 且0=B 是方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的（ ）A.充分非必要条件 B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件3.圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为 ． 4.圆1)1()2(22=-+-y x 关于A (1,2)对称的圆的方程为 。

圆的方程测试题及答案命题人：伍文基础练习1、圆心在)3,8(-，半径为5的圆的方程为()()53822=++-y x 2、圆22220x y x y +-+=的圆心是 (1，-1) ，周长是22π3、方程x 22+20表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ B ）（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-44、以点A(1,4)、B(32)为直径的两个端点的圆的方程为()()101222=-+-y x . 5、方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的条件是 （B ）A ．141<<mB ．141><m m 或C ．41<mD ．1>m 6、过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线2=0上的圆的方程是（C ）A 、(3)2+(1)2=4B 、(3)2+(1)2=4C 、(1)2+(1)2=4D 、(1)2+(1)2=47、点)5,(m 与圆2422=+y x 的位置关系是（ A ）A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不确定8、两圆x 22－460和x 22－60的连心线方程为（ C ）A ．3=0B ．2x －y －5=0C ．3x －y －9=0D ．4x －37=0典型例题例1．、已知△的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求△外接圆的方程．解：设所求圆的方程是222()()x a y b r -+-=．①因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是222222222(4)(1),(6)(3),(3)(0).a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩ 可解得21,3,25.a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以△的外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．例2.圆与直线2310=0相切于点P(2,2)，并且过点M(-3,1)，求圆的方程。

【优化方案】2013-2014学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合检测（含解析）新人教A 版必修2(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的范围是( )A ．m <12B ．m <2C ．m ≤12D ．m ≤2 解析：选A.由(－1)2＋12－4m >0得m <12.故选A. 2．圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0与圆x 2＋y 2＝64的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切解析：选C.圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0可化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝9.圆心距为42＋(－3)2＝5，由于8－3＝5，故两圆内切．3．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心， ∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1.4．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34C ．2 5D .655解析：选D.该圆的圆心为A (2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4，又原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35， 所以S ＝12×4×35＝655. 5．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：选C.由题意知，圆的半径r ＝|3×2＋(－4)×(－1)＋5|32＋(－4)2＝3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.6．与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝6x －3B ．y 2＝2x －3C ．x 2＝6y －3D ．x 2－4x －2y ＋3＝0解析：选A.设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2－1＝x ，移项平方得y 2＝6x －3.7．设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12 B.33C.32D. 3 解析：选D.如图所示，设过原点的直线方程为y ＝kx ，则与圆有交点的直线中，k max ＝3，∴y x的最大值为 3.故选D.8．设点P (a ，b ，c )关于原点的对称点为P ′，则|PP ′|＝( )A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋b ＋c |D ．2|a ＋b ＋c |解析：选 B.P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′(－a ，－b ，－c )，则|PP ′|＝(2a )2＋(2b )2＋(2c )2＝2a 2＋b 2＋c 2，故选B.9．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x －1对称，则( )A ．D ＋E ＝2B ．D －E ＝－1C ．D －E ＝－2 D ．D ＋E ＝1解析：选C.圆的对称轴是圆的直径所在的直线，这是圆的性质，也是题中的隐含条件，所以圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x －1上，所以－E 2＝－D 2－1，D －E ＝－2，故选C. 10．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2解析：选A.设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.如图，当已知圆与所求圆圆心连接垂直于已知直线时，半径最小，此时2r ＋32等于已知圆圆心到已知直线的距离， 即|6＋6－2|2＝2r ＋32， 解得：r ＝2，则⎩⎨⎧ b －6a －6＝1，|a ＋b －2|2＝2，解得：a ＝2，b ＝2.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)11．直线l ：y ＝k (x ＋3)与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，|AB |＝22，则实数k ＝________.解析：由已知可求出圆心O 到直线l 的距离d ＝2，即|3k |1＋k 2＝2，解得k ＝±147. 答案：±14712．点P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10＝0的距离的最小值为________． 解析：点P 到直线3x －4y －10＝0距离的最小值为圆心到直线的距离减半径．d min ＝1032＋42－1＝105－1＝1. 答案：113．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2.又C 1(3,0)，C 2(0,3)，所以C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝014．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆心C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1， 又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)， 因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝0.15．若圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，则半径R 的取值范围是________．解析：圆心到直线的距离为2，又圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝R 2上有且仅有两个点到直线4x ＋3y ＝11的距离等于1，结合图形(图略)可知，半径R 的取值范围是1<R <3.答案：(1,3)三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．过点P (－1,2)作圆x 2＋y 2－2x ＋4y －15＝0的切线，求切线方程．解：因为(－1)2＋22－2×(－1)＋4×2－15＝0，所以P (－1,2)在圆上，所以该圆过点P 的切线有且只有一条．因为圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝20，所以圆心坐标为C (1，－2)，所以k pc ＝2＋2－1－1＝－2，所以k 切＝12，所以切线方程为x －2y ＋5＝0. 17．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)， 即x ＋2y －6＝0.18．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近点A 1，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.19．已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．解：(1)将两圆方程配方化为标准方程， C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10.则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52； 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10.∴r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)法一：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0 ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0 ② 两式相减得x ＝2y －4③，把③代入②得y 2－2y ＝0，∴y 1＝0，y 2＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0y 2＝2， 所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5.法二：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0 ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0 ②， 两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35，设公共弦长为2l ，由勾股定理r 2＝d 2＋l 2，得50＝45＋l 2，解得l ＝5，所以公共弦长2l ＝2 5.20．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：圆C 化成标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝32.假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ，b )，由于CM ⊥l ，∴k CM ·k l ＝－1，∴k CM ＝b ＋2a －1＝－1， 即a ＋b ＋1＝0，得b ＝－a －1.①直线l 的方程为y －b ＝x －a ，即x －y ＋b －a ＝0，|CM |＝|b －a ＋3|2. ∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴|MA |＝|MB |＝|OM |，|MB |2＝|CB |2－|CM |2＝9－(b －a ＋3)22，|OM |2＝a 2＋b 2，∴9－(b －a ＋3)22＝a 2＋b 2.②把①代入②得2a 2－a －3＝0.∴a ＝32或a ＝－1.当a ＝32时，b ＝－52，此时直线l 的方程为x －y －4＝0；当a ＝－1时，b ＝0，此时直线l 的方程为x －y ＋1＝0.故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4＝0或x －y ＋1＝0.。

《圆与方程》测试题知识梳理：1．圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为： 。

特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：2．圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，圆心为点 ，半径 ，其中 。

3.点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心A(a ，，b)，半径r ，若点M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2 ；若点M(x 0，y 0)在圆外，则x 0－a)2＋(y 0－b)2 ；若点M(x 0，y 0)在圆内，则x 0－a)2＋(y 0－b)2 ；一、选择题标准方程：1、点M （3，－6）在圆：16)2()3(22=++-y x 的（ ）A 、圆上B 、圆外C 、圆内D 、以上都不是2、圆心在),4,3(-C 且经过点M （5，1）的方程为（ ）A.73)4()3(22=++-y xB.73)1()5(22=-+-y xC.73)4()3(22=-++y xD.73)1()5(22=+++y x以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为:3、过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=4分析：看选项找答案4、圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 5、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ C ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)2分析：涉及都弦长的要注意那个直角三角形（由半径、圆心距、弦长的一半组成的那个）。

A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y xD. 052=--y x一般方程：7、 圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ） A21 B 23 C 1 D 3 分析：2200B A C By Ax d +++= 8、方程x 2+y 2－4x+4y+4=0的圆心、半径分别是：（ C ）（A ）圆心（2，4）； 半径：2； （B ）圆心（－4，4）；半径：4；（C ）圆心（2，－2）；半径：2； （D ）圆心（2，4）； 半径：4； 9 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 2 B 21+ C 221+ D 221+ 分析：最大距离，就是圆心到直线的距离加上半径10、过圆0422=-+y x 与圆0124422=-+-+y x y x 交点的直线为（ ）A 、03=-+y xB 、03=+-y xC 、 02=+-y xD 、04=-+y x分析：两个方程相减，整理得所求直线11、两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A 相离 B 相交 C 内切 D 外切 分析： 设圆O 1的半径为r 1，圆O 2的半径为r 2，则两圆相离 ⇔|O 1O 2|＞r 1+ r 2， 外切⇔ |O 1O 2|= r 1+ r 2，内切 ⇔|O 1O 2| =|r 1 - r 2 |， 内含⇔ |O 1O 2|＜|r 1- r 2|，相交 ⇔|r 1 -r 2|＜|O 1O 2|＜|r 1+ r 2|12、点P(1,2，3)关于x 轴对称的点的坐标（ ）A 、(－1,2，-3)B 、(1,－2，-3)C 、(-1,-2， 3)D 、(－1,－2，－3)分析：关于什么轴对称，什么轴就不变，其他都变。

圆的方程A级——基础达标1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5解析：A圆心为(2,1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A．2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆，则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A．3．(2022·黄冈模拟)若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．5解析：C设2x＋y＝t，则y＝t－2x，当直线y＝t－2x与x2＋y2＝8相切时，t取到最值，所以|t|5≤22，解得－210≤t≤210，所以2x＋y的最大值为210，故选C．4．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]解析：D圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心C(3，1)，半径为1，因为圆心C到O(0,0)的距离为2，所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB＝90°，则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得|PO|＝12|AB|＝t，所以有1≤t≤3，故选D．5．(2022·青岛质检)点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为( )A ．2 3B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有( ) A ．关于点(2,0)对称 B ．关于直线y ＝0对称 C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称 D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABC x 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A 项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －332＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB 由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43． 8．(2022·东莞模拟)已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，20＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－6，F ＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h ＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210． 所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．B 级——综合应用11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x －y ＋2＝0上，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 的重心⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43，y ＋43在欧拉线上，即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联立⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＋(y －1)2＝10，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，x 2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0．又易得|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离为812＋32＝4105，|PM |＝ 2(22)2－⎝⎛⎭⎫41052＝4105，所以△POM 的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M (x ，y )，由|OM |＝|OP |＝22得x 2＋y 2＝8，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8， ①(x －1)2＋(y －3)2＝2， ②①－②得直线l 方程为x ＋3y －8＝0，将x ＝8－3y 代入①得5y 2－24y ＋28＝0，解得y 1＝145，y 2＝2．从而x 1＝－25，x 2＝2．所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－25，145，|PM |＝⎝⎛⎭⎫2＋252＋⎝⎛⎭⎫2－1452＝4105． 又点O 到l 距离d ＝812＋32＝4105， 所以△POM 的面积S ＝12|PM |·d＝12×4105×4105＝165． C 级——迁移创新15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是( ) A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上 B ．所有圆C k 均不经过点(3,0) C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D ．所有圆的面积均为4π解析：ABD 圆心坐标为(k ，k )，在直线y ＝x 上，A 正确；令(3－k )2＋(0－k )2＝4，化简得2k 2－6k ＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k 2－6k ＋5＝0无实数根，B 正确；由(2－k )2＋(2－k )2＝4，化简得k 2－4k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k 有两个，C 错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D 正确．故选A 、B 、D ．16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5) 4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y ＝kx ，则F (x ，y )＝kx －y ＝0， 因为A (－1,1)，B (2,3)，线段AB 上所有点都在直线l 同侧， 则F [A ]·F [B ]＝(－k －1)(2k －3)>0， 解得－1<k <32．(2)因为F [O ]<0，所以F [P ]＝(3x ＋4y －5)·4－x 2－y 2<0，故⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5<0，x 2＋y 2<4，点集S 为圆x 2＋y 2＝4在直线3x ＋4y －5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A ，B ，则O 到AB 的距离为1， 故∠AOB ＝2π3，因此，所求面积为S ＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。

（数学2必修）第四章 圆与方程一、选择题1．若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ）A ．1-或3B ．1或3C ．2-或6D ．0或42．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ）Ａ．23Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．556 3．直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时， 斜率k 的取值范围是( )A ．），（2222-B ．），（22-C ．），（4242-D ．），（8181- 4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x5．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ） A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k６．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A ．1±B ．21±C ．33± D ．3±二、填空题1．直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于2．圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的外有一点00(,)P x y ，由点P 向圆引切线的长______2． 对于任意实数k ，直线(32)20k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系是_________4．动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 .５．P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为_______.三、解答题１．求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程。

圆与方程单元综合测试题一．选择题1．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A.12 B.32 C ．1 D. 32．过三点A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝03．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝04．直线x －y －4＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系( )A ．相交B ．相切C ．相交且过圆心D ．相离5．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)6.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．23 C. 3 D ．17．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( )A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离8．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝19．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3，3] C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 10．已知直线ax －by ＋c ＝0(ax ≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形( )A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在二、填空题11．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 上，则实数m ＝________.12．已知点A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，则m 的取值范围是________．13．已知直线5x ＋12y ＋m ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则m ＝________.14．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方 程是三、解答题15.已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程； （2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．16．求经过点P (3,1)且与圆x 2＋y 2＝9相切的直线方程．17．已知直线l ：y ＝2x －2，圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0，请判断直线l 与圆C 的位置关系，若相交，则求直线l 被圆C 所截的线段长．18．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0，（1）求实数m 的取值范围；（2）若直线l ：x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。

高一圆方程试题及答案一、选择题1. 圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆的______。

A. 圆心坐标B. 半径C. 直径D. 切线答案：A2. 若圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0，则该圆的半径为______。

A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B3. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D^2 + E^2 - 4F > 0，则该圆的圆心坐标为______。

A. (-D/2, -E/2)B. (D/2, E/2)C. (-D, -E)D. (D, E)答案：A二、填空题4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 9，该圆的圆心坐标为______，半径为______。

答案：(2, -3)，35. 圆x^2 + y^2 = 25与直线x + y - 7 = 0相交于两点，这两点之间的距离为______。

答案：5√2三、解答题6. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 24 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为(2, -3)，半径为7。

7. 圆x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0与圆x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0相交于两点，求这两圆的交点坐标。

答案：交点坐标为(1, 3)和(3, 1)。

8. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y + 16 = 0，求过点(1, 2)且与圆C相切的直线方程。

答案：直线方程为x + y - 3 = 0或x - y + 1 = 0。

四、计算题9. 圆的方程为x^2 + y^2 - 10x - 6y + 25 = 0，求该圆与x轴的交点坐标。

答案：交点坐标为(5, 0)和(-5, 0)。

10. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0，求该圆的切线方程，切线过点(3, 4)。

圆的方程测试题及答案命题人：伍文基础练习1、圆心在)3,8(-，半径为5的圆的方程为()()53822=++-y x 2、圆22220x y x y +-+=的圆心是 (1，-1)，周长是3、方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ B ）（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-44、以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为()()101222=-+-y x .5、方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的条件是 （B ）A ．141<<mB ．141><m m 或C ．41<m D ．1>m 6、过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（C ）A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=47、点)5,(m 与圆2422=+y x 的位置关系是（ A ）A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不确定8、两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2－6x =0的连心线方程为（ C ）A ．x +y +3=0B ．2x －y －5=0C ．3x －y －9=0D ．4x －3y +7=0典型例题例1．、已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求△ABC 外接圆的方程． 解：设所求圆的方程是222()()x a y b r -+-=．①因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是 222222222(4)(1),(6)(3),(3)(0).a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩可解得21,3,25.a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以△ABC 的外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．例2.圆与直线2x+3y-10=0相切于点P(2,2)，并且过点M(-3,1)，求圆的方程。

第4章《圆的方程》综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或24．直线l ：y ＝k (x ＋12)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交[答案] D[解析] 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k (x ＋12)的距离d ＝|12k |k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k (x ＋12)过定点(－12，0)，而点(－12，0)在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l与圆C 相交．5．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )∴切线方程为x －3y ＋2＝0.7．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4 [答案] D[解析] 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d 所形成的直角三角形，可得d ＝2，故?a －2?2＝2，解得a ＝4，或a ＝0.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 2[答案] A[解析] 方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝1－?32?2＝12，( ) 2，所垂直，．12[答案] C[解析] 易知点P (2,2)在圆上，由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.11．(2013·山东)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.12．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是( )A ．[－22，22]B ．(－22，22)． 的公共弦的长为23，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay －1＝0，又因公共弦长为23，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即|0－1|a 2＝1.又a ＞0，所以a ＝1.15．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] ∵(－1)2＋22－2×2－3＝－2<0， ∴点P 在圆内，∴当AB ⊥CP 时，|AB |最小． ∵k CP ＝－1，∴k l ＝1，则y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.16．由直线y ＝x ＋1上一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________． [答案]7[解析] 当直线上的点到圆心的距离最小切线长最短，直线y ＝x ＋1上的点到(3,0)的最短距离) a ，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点， 故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得：|MN |＝?a 2－a 4?2＋?a 2－34a ?2＋?a2－a ?2 ＝64a . 19．(本小题满分12分)由动点P 引圆x 2＋y 2＝10的两条切线P A ，PB ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k 2满足k 1＋k 2＋k 1k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由点(0,0)到切线的距离为|kx 0－y 0|1＋k 22⎩⎪⎨⎪⎧C 台风对该市的影响持续时间为10小时．21．(本小题满分12分)已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)由题意可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的圆心为(3,1)，半径长为?3－0?2＋?1－1?2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0?x －3?2＋?y －1?2＝9消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝0② C a .(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8， 解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q (45，125)符合题意．。

圆的方程单元练习高二数学组 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知圆22:4C x y +=，若点()00,P x y 在圆外，则直线00:4l x x y y +=与圆C 的位置关系为 （ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定 2．圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点()3,1A ，则直线l 的方程为（ ）． A. 250x y --= B. 210x y --= C. 20x y --= D. 40x y +-=3．若220x y x y m +-+-=，表示一个圆的方程，则m 的取值范围是（ ）. A. 12m <- B. 12m ≥- C. 12m >- D. 2m >- 4．直线30x y -+=被圆()()22222x y ++-=截得的弦长等于（ ）A. B. C. D.5．已知点()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）．A. 30x y --=B. 230x y +-=C. 210x y +-=D. 250x y --=6．圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系是（ ）A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切7．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A. 1⎡-+⎣B. 1⎡⎤-⎣⎦C. 1,1⎡-+⎣D. 1⎡⎤-⎣⎦8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( )A. B. 5 D. 109．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10．已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为 ( )A. x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0B. x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0C. x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D. x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝011．若圆222660x y x y ++-+=有且仅有三个点到直线10x ay ++=的距离为1，则实数a 的值为（ ）A. 1±B. 4±C.D. 2±（2）过点⎫⎪⎪⎝⎭的直线l 交垂足Q 的轨迹于A B 、两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求直线l 的方程. 21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线l ： 24y x =-与直线m ： 1y x =-的交点为圆C 的圆心，圆C 的半径为1．（1）过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）过点A 作斜率为12-的直线l 交圆于A ， B 两点，求弦AB 的长．22．（12分）已知与曲线22:2210C x y x y +--+=相切的直线I ，与x 轴，y 轴交于,A B 两点，O 为原点OA a =， OB b =，（ 2,2a b >>）.（1）求证:： I 与C 相切的条件是： ()()222a b --=.（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求三角形AOB 面积的最小值.参考答案1．C2．D3．C4．D5．A6．C7．D8．B9．D10．A11．B12．B13．414．9415．)+∞ 16．[﹣6.10]17． 解：（1）由题意设圆C 的方程为()224,(0)x a y a -+=>，∵ 圆与直线3440x y ++=相切，∴ 圆心(),0a到直线的距离2d ==，解得2a =或143a =-（舍去），∴ 圆C 的方程为()2224x y -+=．（2）圆心()2,0到直线:210L x y -+=距离1d =所以弦长为5=．18．解：（1）将曲线C 的方程化为22420x y ax y a +--=，整理得()222224x a y a a a ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，可知曲线C 是以点2,a a ⎛⎫⎪⎝⎭为半径的圆.（2）AOB ∆的面积S 为定值.证明如下：在曲线C 的方程中令0y =，得()20ax x a -=，得()2,0A a ，在曲线C 方程中令0x =，得()40y ay -=，得40,B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以1142422S OA OB a a =⋅=⋅=（定值）.（3）直线l 与曲线C 方程联立得()225216816160ax a a x a -+-+-=，设()11,M x y ， ()22,N x y ，则21221685a a x x a +-+=， 1216165a x x a-=， ()12121212858165OM ON x x y y x x x x ⋅=+=-++=-， 即28080161286480855a a a a a ---++=-，即22520a a -+=，解得2a =或12a =， 当2a =时，满足0∆>；当12a =时，满足0∆>. 故2a =或12a =.19．解：（1）由条件知点M 在圆O 上，所以214a +=，则a =当a =M 为(， OM k =， k =切，此时切线方程为)1y x =-，即40x +-=.当a =M 为(1,， OM k =， k =切.此时切线方程为)13y x +=-，即40x -=.所以所求的切线方程为40x +-=或40x -= （2）设O 到直线,AC BD 的距离分别为()1212,,0d d d d ≥，则222123d d OM +==.又有AC BD ==所以AC BD +=.则()(22212444AC BD d d +=⨯-+-+(45=⨯+. 因为22121223d d d d ≤+=，所以221294d d ≤，当且仅当12d d ==52≤，所以()25452402AC BD ⎛⎫+≤⨯+⨯= ⎪⎝⎭.所以AC BD +≤AC BD +的最大值为20． 解：（1）设垂足(),Q x y ，则(),2P x y 因为(),2P x y 在224x y +=上， 所以2244x y +=，所以2214x y +=故垂足Q 的轨迹方程为2214x y +=（2）设直线l的方程为()()1122,,,3x my A x y B x y =+， 则有21AB y y ==-，又因为圆与x 轴相切，所以12212y y y +=-即()()()()22121222212121214y y y y m y y y y y y +++==-+-（*）由223{ 14x my x y =++=消去x 整理得()224409m y ++=，因为直线l 与椭圆交于A B 、两点， 所以()22241446444099m m ⎫-∆=-⨯+⨯=>⎪⎪⎝⎭，解得249m>。

高中数学必修第章圆的方程综合检测题Last revised by LE LE in 2021第4章《圆的方程》综合检测题时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4 D ．6或－2[答案] D[解析] 由空间两点间的距离公式得x －22＋1－32＋2－42＝26，解得x ＝6或x ＝－2.2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ＜12B ．m ＜0C ．m ＞12D ．m ≤12[答案] A[解析] (－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12，故选A.3．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)，5 C ．(－1,2)，5 D ．(－1,2)，5[答案] D[解析] 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为 5. 4．直线l ：y ＝k (x ＋12)与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交[答案] D[解析] 方法一：圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k (x ＋12)的距离d ＝|12k |k 2＋1，∵d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，∴所判断的位置关系为相交．方法二：直线l ：y ＝k (x ＋12)过定点(－12，0)，而点(－12，0)在圆C ：x 2＋y 2＝1内部，故直线l 与圆C 相交．5．直线x －2y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．25 D ．655[答案] D[解析] 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为29－5＝4，原点到直线的距离为|0＋0＋3|1＋4＝355，所以S ＝12×4×355＝655.6．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0[答案] D[解析] ∵点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k ， 又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1，解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0.7．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4[答案] D[解析] 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d 所形成的直角三角形，可得d ＝2，故a －22＝2，解得a ＝4，或a ＝0.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( )A ．－3或 3B ．3C ．－2或 2D ．2[答案] A[解析] 方法1：∵|PQ |＝2×1×sin60°＝3，圆心到直线的距离d ＝1－322＝12，∴1k 2＋1＝12，解得k ＝± 3. 方法2：利用数形结合．如图所示，∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，故不妨设P (0,1)，在等腰三角形POQ 中，∠POQ ＝120°，∴∠QPO ＝30°，故∠PAO ＝60°，∴k ＝3，即直线PA 的斜率为 3.同理可求得直线PB 的斜率为－ 3.9．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2[答案] B[解析] |PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.10．(2013·天津)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．12[答案] C[解析] 易知点P (2,2)在圆上，由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2.11．(2013·山东)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[答案] A[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.12．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是( )A ．[－22，22]B ．(－22，22)C ．[－2,2]D ．(－2,2)[答案] C[解析] 圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为32，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知点A (1,2,3)，B (2，－1,4)，点P 在y 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标是________． [答案] －76[解析] 设点P (0，b,0)，则 1－02＋2－b 2＋3－02＝2－02＋－1－b 2＋4－02，解得b ＝－76.14．(2013～2014·江苏扬州安宜高中期中)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________.[答案] 1[解析] 由(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay －1＝0，又因公共弦长为23，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即|0－1|a2＝1.又a ＞0，所以a ＝1. 15．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB |最小，则直线l 的方程是________．[答案] x －y ＋3＝0[解析] ∵(－1)2＋22－2×2－3＝－2<0， ∴点P 在圆内，∴当AB ⊥CP 时，|AB |最小．∵k CP ＝－1，∴k l ＝1，则y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.16．由直线y ＝x ＋1上一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________． [答案]7[解析] 当直线上的点到圆心的距离最小切线长最短，直线y ＝x ＋1上的点到(3,0)的最短距离为|3＋1|2＝22，此时切线长为222－1＝7. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心C 在y 轴上的圆的方程． [解析] ∵AB 的中点是(1,3)，k AB ＝4－2－1－3＝－12，∴AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0. 令x ＝0，得y ＝1， 即圆心C (0,1)．∴所求圆的半径为|AC |＝12＋4－12＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．(本小题满分12分)(2013～2014·宁波高一检测)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．[解析] 以D 为原点建立如图所示坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M (a 2，a 2，a 2)，取A 1C 1中点O 1，则O 1(a 2，a2，a )，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N (a 4，34a ，a )．由两点间的距离公式可得： |MN |＝a 2－a 42＋a 2－34a 2＋a2－a 2＝64a .19．(本小题满分12分)由动点P 引圆x 2＋y 2＝10的两条切线PA ，PB ，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k 2满足k 1＋k 2＋k 1k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由点(0,0)到切线的距离为|kx 0－y 0|1＋k2＝10.化简，得(x 20－10)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－10＝0.由韦达定理及k 1＋k 2＋k 1k 2＝－1，得2x 0y 0x 20－10＋y 20－10x 20－10＝－1.化简，得(x 0＋y 0)2＝20，则点P 的轨迹方程是x ＋y ±25＝0.由⎩⎨⎧x ＋y ＋25＝0，x 2＋y 2＝10.解得⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－ 5.由⎩⎨⎧x ＋y －25＝0，x 2＋y 2＝10，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝ 5.∴点P 的轨迹方程为x ＋y ＋25＝0(x ≠－5)或x ＋y －25＝0(x ≠5)．20．(本小题满分12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km 处，以40 km/h 的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km 的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．[解析] 以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．21．(本小题满分12分)已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)由题意可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的圆心为(3,1)，半径长为3－02＋1－12＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0x －32＋y －12＝9消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，此时判别式Δ＝56－16a －4a 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－a x 1x 2＝a 2－2a ＋12①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0② 由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8， 解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q (45，125)符合题意．。