重庆市南开中学高考数学考前模拟考试试题 文

2006—2007学年度重庆南开中学高三年级第一次模拟考试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量)3,(),2,4(x ==向量，且∥，则x = （ ）A ．9B ．6C ．5D ．12．已知集合},22|{2R x x x y y M ∈++==，集合})4(log |{2R y x y x N ∈-==，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．φ=N MD ．N N M =3．求以抛物线y 2 = 8x 的焦点为焦点，且离心率为21的椭圆的标准方程为 （ ）A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．141622=+y x D ．116422=+y x 4．已知等差数列{a n }满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{b n }满足,,4311a b a b ==则 5b 为 （ ）A ．16B ．32C ．64D ．27 5．x x y 52sin 52cos3+=的图象相邻两对称轴之间的距离为 （ ）A ．52πB ．45πC ．25πD ．π56．抛物线y = x 2 + bx + c 在点（1，2）处的切线与其平行直线bx + y + c = 0间的距离是（ ）A ．42 B ．22 C ．223 D ．27．在△OAB （O 为原点）中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==，若5-=⋅，则S △AOB 的值为 （ ）A ．3B ．23 C ．35D ．235 8．若函数),()10()(+∞-∞≠>-=-在且a a a ka x f xx是既是奇函数，又是增函数，则 )(l o g )(k x x g a +=的图像是（ ）1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 59．已知△ABC 的三个角分别为A ，B ，C ，满足4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则A sin 的值为（ ）A ．815B ．87 C ．1611 D ．1615 10．设双曲线M ：1222=-y ax ，过点C （0，1）且斜率为1的直线，交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若2|AC | = |CB |，则双曲线的离心度为 （ ）A ．10B ．5C ．310 D ．2511．已知+∈R b a ,，且满足ab b a S b a 2,222++==+设的最大值是 （ ）A ．27 B ．4 C ．29 D ．512．函数))((R x x f y ∈=满足：对一切[)1,0;)(7)1(,0)(,2∈-=+>∈x x f x f x f R x 当 时，,)125(5)250(2)(⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤+=x x x x f 则=-)32007(f（ ）A ．3322-B ．32-C ．32+D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．以坐标原点为圆心且与直线3x －4y + 5 = 0相切的圆方程为14．已知22)1()1(,2420-++⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-y x x y x y x 则的最小值为15．已知函数)(x f y =的反函数为)10)(1(log 1≠>-+=a a x y a 且，则函数)2(+=x f y 必过定点 16．如右图，它满足①第n 行首尾两数均为n②表中的递推关系如杨辉三角，则第n 行(n ≥2)的第二个数是三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（13分）已知向量x f x x x ⋅=-++=-=)(),3,2cos 2sin 1(),1,tan 1(记 （1）求f (x )的周期； （2）若)42()2()(παα+-=f f a g ，则求)(a g 的最小值.18．（13分）解不等式)00(2log |2log 3|2≠>+<-a a x x a a 且19．（12分）已知偶函数f (x )，对任意R x x ∈21,，恒有12)()()(212121+++=+x x x f x f x x f ，求 （1）f (0)的值； （2）f (x )的表达式； （3）令)10()()(2)]([2≠>=-a a a x F x f x f 且，求),0()(+∞在x F 上的最值.20．（12分）某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少51。

南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。

甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。

南开中学高三数学模拟试卷（文科）参考答案一、选择题:（共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 67 8答案D C D C C A B B二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号9 10 11 12 13 14答案611兀+471?兀292[9,+ 8)三、解答题：（本大题共6小题，共80分）. （15）（本小题满分13分）解:(I) /(兀)=V^sin2兀一cos2x = 2sin(2x --------------- )67T TT S(II ) ill 2k7T + — < 2x ------- < lk7l + —7l伙W z),2 6 271 5得k/r——< x < k7r + — 7r(k e z)3 6n5/r•••单调递减区间为[尿+ =、k兀七—](k ez). ................................... 8分3 6(III)因为-~^x^~，贝ij-兰W2x —兰 W兰，6 4 2 6 3当2x-- = -,即x =-时，/(兀)取得最大值为馆；6 3 4当2%--=--,即兀―仝时,/⑴取得最小值为_2 •.................................. 13分6 2 3（16）（木小题满分13分）解：（I ）由条形图得第七组频率为1-（0.04x2 + 0.08x2 + 0.2x2 + 0.3） = 0.06,0.06x50 = 3 1 分・••第七组的人数为3人组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本中人数 2 4 10 10 15 4 3 2 (II )由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)x5=0.82,.......................................................... 4分=71后三组频率为1一0.82=0.18 ................................................... 5分估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800x0.18=144 （人）. 7分（皿）第二组四人记为a、b、c、d,其中a为男生,b、c、d为女生,第七组三人记为1、2、3,其屮1、2为男生，3为女生，基木事件列表如下：abed1\a \b \c \d22a 2b 2c 2d3 3 a 3b 3c 3d所以基本事件有12个...................................... 10分恰为一男一女的事件有",lc, Id, 2b, 2c, 2d, 3a；共7个..... 12分7因此实验小组中，恰为一男一女的概率是一................... 13分12（17）（本小题满分13分）（I）证明：因为菱形ABCD,所以3D丄AC,又因为平而ACEF丄平面ABCD ,EC丄AC，平面ACEF Q平面ABCD = AC故EC丄平面ABCDEC 丄BD所以BD丄平面ACEF-------------- 5分BDu平面BDE,所以平面BDE丄平面ACEF ；---------------- 6分（II）连结EO, EO//AM ,ZBEO为界面直线BE与AM所成的角或补角，由（I）知，AEOB = 90°,在直角三角形EOB 中，EO = AM=4i,BO = &所以界而直线BE与4M所成的角的正切值心. -------------- 10分2（III）由已知易得BF = FD,BE = ED，所以EO丄BD, FO丄BD,ZEOF为二面角E-BD-F的平而角13分所以二面角E-BD-F为90°.（18）（本小题满分13分）解：（I ）点A （0,2）代入圆C 方程， 得.（2-加尸=9*.* m < 2 ,・*. m = -1 .......... 1 分圆 C ：异+（〉，+ 1）2 =9,圆心（0,-1）・ 设直线的斜率为心，P （3,8）当K 不存在时，PF I ：x = 3,显然不合题意舍去. 当人存在时，PF“ y -8 = k l （x-3）f 即 k }x- y-3« + 8 = 0 .・••号f .解得k }=- ..................................................... 3分W + 1 3 直线 PF ]: 4x-3.y + 12 = 0总线PF 】与x 轴的交点横他标为一3,・・・c=3. F| (—3, 0), F 2(3, 0)............................... 4 分2« = P4F|| + |AF 2|= VB + V13 =2>/13 , a =屈,«2=13, //=4.椭圆E 的方程为：—+ ^- = 1............................. 6分13 4(II)由|丽冃丽|知点A 在线段MN 的垂直平分线上， y = kx-2由]兀2 2 消去y 得(4 + 13/)兀2 一52也=0 (*) —+ —= 1 〔13 4由Id 得方程（*）的A = （52^）2 >0,即方程（*）有两个不相等的实数根…8分 设N （兀2小），线段MN 的中点卩（兀0，儿），26k 4 + 13 衣52k 4 + 13f•宀0,直线仲的斜率为宁=桔由AP 丄MN,得 土竺 xk = _l,解得：k = ±—f……12分13R13・・・存在直线/满足题意，方程为：V5x-V13y-2ji3 =0«KV5x + V13y + 2Vi3 =0 -------------------------------- 13 分 (19) (本小题满分14分)解：(I)方法一：由S 曲=3S “得：数列｛S”｝是等比数列，公比为3,首项为1…2分.•.S” =1・3心=3心 ......... 3分当 n>2 时,a n = S n - S n _{ = 3 心 一 3W '2 = 2 • 3n '2................... 4 分fl (n = 1)•5=\.................. 5 分[2・3心(n > 2)方法一：•** S“+] = 3S“，「. S n = 3S”](M ' 2) 以上两式相减得：Q “+]=3% (n > 2),.................. 2分在 S n+[ = 3S n 中,取 〃 =1 得：a {+a 2= 3a }即 a 2 = 2a } = 2 ,.................. 3 分.・.｛%｝为第二项起的等比数列，公比为3 .................. 4分fl (n = l)/. ci = \.................. 5 分26k 24 + 13p—8 4 + 13/即卩為為)10分2・3宀(n > 2)由(I )知：⑺”｝为第二项起的等比数列，公比为3, s=2t0? + 1)(72 + 2) n(n +1)(/? + 1)(1-/?)① 若r 〉0,则 b n+i -b n <0 HP b n+i < b n (n > 2) .・.数列｛仇｝是从第二项起的递减数列ifij b 、= —, b 2 = — t b 2 >b } 3•••(—b2「 ..................................... 9 分•・•对任意 n e TV * ,都冇 A>/7(Z7 + 1)a“t②若/v0,则b n+} - b n > 0即b n+x > b n (n > 2)・•・数列{仇}是从第二项起的递增数列・・・11 分Ifij/, =-<0,当n >2 时，化=W o't n2r-3w_2b n e (-oo, 0).................. 12 分•• •对任意n e TV * ,都有2>/7(Z7 + 1), > 0 ...................13 分%3综合上面：若/>0,则A>-；若/<0,则A>0o .............................................. 14分t(20) (木小题满分14分)解：(I )当 a = -3ll 寸，/(x) = —x 3 -兀2-3X + 3,所以 广(兀)=x 2 -2x-3 = (x-3)(x + l).令/'(兀) = 0,得 比=_1,兀2=3.当xv-l 时，广(x)〉0,则/(x)在(-oo,-l) ±单调递增； 当一1 v 尢<3时,/'(X )<0 ,则f (x)在(-1,3)上单调递减;・••当心2时,廿2心巴汗畔 “ “ It • 3n_2b n +l ~b n 2r3n-I『•3"10分当x>3时，广(兀)>0 , /(兀)在(3,+00)上单调递增. 所以，当x = -\时，/&)取得极大值为/(-1)=-1-1 + 3 + 3 =—； 当*3时,/(x)取得极小值为/*(3)=丄x27-9-9 + 3 =-6.(II )广(兀)=/-2x + d , △ = 4-4° = 4(1-°) •⑴若dhl,则在心上恒有广(兀)》0,于⑴在R 上单调递增，且值域为R.函 数/(x)的图象少兀轴有且只有一个交点.(2)若a<l,则△>(), /'(%) = 0有两个不等的实根，不妨设为x l9x 2 (x t <x 2).当x 变化吋，广(x)J(x)的取值情况如下表：X(-°°眄)(西，兀2)厶（兀2，+°°）广(刃+—+极大值极小值由兀]2—2 兀]+a = 0 ,得兀]+兀2=2, x l x 2 = a , JL x ）2= 2x, - <7.f （xj = £ 兀1‘ _ X |2 + ax \ 一 a = * £ （2旺 _ d ） — 壬2 + ax }-同理/(x 2) =|［(n-l)x 2-t/_ •函数子(x)的图象与x 轴有且只有一个交点，等价于/(x 2)< f (x,) <0或0</(X2)</(X l)» 即 /(壬)丁(兀2)>0 •又/(西)丁(兀2)=害［(。

南开中学高三数学模拟试卷(文科)说明：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分, 考试时间120分钟.2.请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上. 参考公式：・如果事件久〃互斥，那么P(AU〃) = P(4)+P(B) •如果事件右B相互独立,那么関锥侧面积公式S= Tirl其屮厂为底血関半径，/为母线长第I卷(选择题共40分)一.选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.頊将等家填徐在登題卡上!)-3-1(1)i是虚数单位，复数一「=l + 2i-l-7i 1(A)l-3i (B) (C) -- + i (D) -1 + i5 5(2)已知集合S = [x\x2<2x]t集合T^Lllogj 则S^T =2(A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,1] (D) (0,2](3)已知a,b,c分别是\ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a = 2, b = g , B = 60"则c -(A) 5 (B) 77 (C) 2 (D) 1(4)已知直线厶：2x +紗-7 = 0,若过定点(0,2)与已知直线厶垂直的直线厶与x轴、)，轴正半轴所围成的三角形而积为6,则实数k值为3 2(A) -- (B)-2 32 4(C) -- (D)--（5）阅读如图给出的程序框图，运行相应的程序, 输出的结果S为（A） 1008 （B） 1007（C） -1007 （D） -3022（第5颗）（6）通过随机询问110名性别不同的人学牛是否爱好某项运动，得到如下的列联农:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110〃(加一加)2 争 2 - 110X(40X30-20X20)2 〜(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‘心寸'K =6() X 5() X 6() X 5() 〜附表:P（K?汶）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）（A）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”（B）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别育关”（0）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”（第7顾）(C)-I3(D)--2（8）己知函数/（x）是定义在［-1,1］上的奇函数，且/（1） = 1 ,当以引-1,1］, a+bHO时有/⑷+ /少）>0・若f（x）tn2- a+ b则实数〃7的取值范围是-2am +1 (m e R,/n h 0)对所有XG[-1 ,1] , ae[-\, 1J 恒成立,(A) (-oo,-2]U(2, + oo)(B) (一oc,-2]U[2, + oo)(C) (YO,—2]U(0,+8)(D) (YO,0)U[2,+ OO)第II卷（非选择题共110分）二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上!）y >0（9）设变量兀,），满足约束条件< % +1 > 0 ,则z = 2x+ y的最大值为________x+y-3<Q分别为A"两点，以4B为直径的圆恰好过双曲线右焦点场，则双曲线的离心率为____________（11）将一个圆柱体挖掉一个圆锥后，所得几何体的（12）如图，已知是圆的-条直径，点C是圆上-点满足"=»,43为圆的切线，C为切点，过点B作切线CZ）的垂线BF,交圆于点E-则线段EF的长为___________ ・（10）已知过双曲线与0~9_21 =1（G > 0』> 0）左焦点F\且垂直于A-轴的直线交双曲线两渐近线三视图如图所示, 则该几何体的萄輻积为___________（第11题）（第12题）I m(13)已知不等式(x + 2y)(—+ —)216对任意止实数x,y恒成立，则止实数血的最小值兀 >?为____ .(14)已知: “ 14一入IW 6 ”，g: "I X-IIW Q”(awR,a>0),若非“是非q的必要不充分条件，则实数。

2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第1题5分已知集合A={x||x|⩽1,x∈Z}，B={1,2,3}，则A∩B为（）．A. {−1}B. {1}C. {−1,0,1}D. ∅2、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第2题5分设i是虚数单位，若复数z=i1+i，则z的共轭复数为（）．A. 12+12iB. 12−12iC. 1−12iD. 1+12i3、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第3题5分下列函数中，值域是R且是奇函数的是（）．A. y=x3+1B. y=sin⁡xC. y=x−x3D. y=2x4、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第4题5分向量a →=(3,m )，b →=(1,2)，若(a →+b →)⊥b →，则m =（ ）．A. −4B. −32C. 0D. 65、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第5题5分已知x ，y ∈R ，命题“若x 2+y 2=0 ，则x =0 或y =0 ”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ）．A. 0B. 2C. 3D. 46、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第6题5分2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（石家庄二中教育集团）第3题5分2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5G ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（ ）．A. 相关活动是5G 信息走势的关键性节点B. 月均信息量超过600万条C. 第四季度信息量呈直线增长态势D. 月信息量未出现持续下降态势7、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第7题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区四川大学附属中学（成都市第十二中学）高二上学期月考第7题5分椭圆x 27+y 2b 2=1，过原点O 斜率为√3的直线与椭圆交于C ，D ，若|CD|=4，则椭圆的标准方程为（ ）．A.x 27+y 24=1 B. x 27+y 23=1 C. x 27+y 26=1 D. x 27+2y 27=18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第8题5分如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）．A. 43B. 83C. 4D. 89、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第9题5分定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +1)=f (1−x )，且x ∈[0,1]时，f (x )=2x −1，则f (log 28)=（ ）．A. −1B. 1C. 7D. −1210、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第10题5分 点P 在函数y =ln⁡x 的图象上，若满足到直线y =x +a 的距离为√2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ）．A. 1B. −3C. 2D. −2√211、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第11题5分重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）．A. y=0.45cos⁡23xB. y=4.5cos⁡23xC. y=0.9cos⁡32xD. y=9cos⁡32x12、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第12题5分若P是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a,b>0)在第一象限上一点，F1，F2为双曲线C的左右焦点，|PF2|=2b，点Q(a2,0)到直线PF1，PF2距离相等，则双曲线C的离心率为（）．A. 53B. 32C. 43D. 54二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第13题5分若变量x，y满足约束条件{x+y−1⩽03x−y+1⩾0x−y−1⩽0，则z=2x+3y的最大值为．14、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第14题5分已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=1，c=√7，则BC边上的高为．15、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第15题5分《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由右图的直角梯形以底边AB为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为立方米．16、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第16题5分已知f(x)=4sin⁡x+3cos⁡x，f(x)向右平移α(0<α<π)个单位后为奇函数，则tan⁡α=，若方程f(x)−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第17题12分正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 求数列{a n+n}的前n项和T n．18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第18题12分在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．(1) 计算a，b，c．(2)在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．①写出各组中抽取人数．②访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．19、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第19题12分正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为CC1中点，AB=2．(1) 求证：平面ADB1⊥平面ABB1A1．(2) 若AD与平面ABB1A1所成角为π4，求四棱锥A−BCDB1的体积．20、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第20题12分已知圆C:x2+(y−3)2=8和动圆P:(x−a)2+y2=8交于A，B两点．(1) 若直线AB过原点，求a．(2) 若直线AB交x轴于Q，当△PQC面积最小时，求|AB|．21、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第21题12分已知f(x)=−12x2+x−cos⁡x−k．(1) 若f(x)的一条切线为y=x，求此时的k．(2) 求使得f(x)>0有解的最大整数k．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第22题10分在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：{x=tcos⁡αy=2√33+tsin⁡α(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]，直线l与曲线C交于两不同的点M，N．(1) 写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程，并求α的范围．(2) 求MN中点P轨迹的参数方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第23题10分已知对于任意x⩾−1，不等式(1+x)3⩾1+3x成立．(1) 求证：对于任意x⩾−1，(1+x)4⩾1+4x．(2) 若a >0，b >0，求证：(a +b )4⩾a 4+4a 3b ．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】 3;14 、【答案】 √32;15 、【答案】 15π;16 、【答案】 34;[245，5);17 、【答案】 (1) a n =2n−1． ;(2) T n =2n −1+n(n+1)2．;18 、【答案】 (1) {a =9c =6b =6．;① 3，2，2．② 121．;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) √6．;20 、【答案】 (1) ±3．;(2) √14．;21 、【答案】 (1) −1．;(2) 0．;22 、【答案】 (1) 直线l 的普通方程为：sin⁡α⋅x =cos⁡α(y −2√33)， 曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2=4(y ⩾0)， 求α的范围：α∈[0,π6]∪[5π6,π)． ; (2) {x =−2√33sin⁡αcos⁡αy =2√33−2√33sin 2α（α为参数，α∈[0,π6]∪[5π6,π))． ;23 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) 证明见解析．。

2020年重庆市南开中学高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 是虚数单位，则复数i 3+1i =( )A. −iB. iC. −2iD. 2i2. “函数f(x)=log a x 在(0,+∞)上是增函数”是“函数g(x)=x 2+2ax +1在(1,+∞)上是增函数”的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 正方形ABCD 的边长为12，PA ⊥平面ABCD ，且PA =12，则点P 到BD 的距离为( )A. 6√6B. 6√3C. √2D. 6√54. 已知α∈(0,π4)，cos2α=45，则sin 2(α+π4)=( )A. 15B. 25C. 35D. 455. 已知△ABC 中，a =2，sinA ：sinB =√3：3，则边b =( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 36. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3，则z =yx 的最大值为( )A. 12B. 54C. 2D. 47. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 12B. 15C. 18D. 218. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 9. 某一算法框图如图，输出的S 值为( )A. √32B. −√32C. √3D. 010. 设偶函数f(x)在R 上存在导数f′(x)，且在(−∞,0)上f′(x)<x ，若f(1−2m)−f(m)≥12[(1−2m)2−m 2]，则实数m 的取值范围为( )A. [1,+∞)∪(−∞,13] B. [13,1]C. [13,+∞)D. (−∞,−12]∪[12,+∞)11. 在△ABC 中，D 是边BC 上一点，AB =AD =√22AC ，cos∠BAD =13，则sinC =( )A. √23B. √33C. √63D. √3212. 正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点，则异面直线BE 与PC 所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知集合A ={x |0<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =______．14. 若数列{a n }中a n =−n 2+6n +7，则其前n 项和S n 取最大值时，n = ______ ． 15. 已知椭圆x 216+y 29=1，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|F 1F 2|= ______ ．16. 先将函数f(x)=sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[20,25)之间的工人有6位．(Ⅰ)求m；(Ⅱ)工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？18.如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB=π，3点D是线段BC的中点．(Ⅰ)求证：A1C//平面AB1D；(Ⅱ)当三棱柱ABC−A1B1C1的体积最大时，求三棱锥A1−AB1D的体积．19.已知数列{a n}满足a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，设b n=a n，n∈N∗．n(Ⅰ)证明：{b n}是等差数列；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{b n2n20.如图，已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|=16．(1)求抛物线C的方程．(2)试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=ax −lnx −1(a ∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a =0，令g(x)=f(tx +1)+3x+2x+2，若x 1，x 2是g(x)的两个极值点，且g (x 1)+g (x 2)>0，求正实数t 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+cosαy =3+sinα，(α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(3,π2)． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过A 作曲线C 的切线，切点为M ，过O 作曲线C 的切线，切点为N ，求|ON||AM|．23.已知函数f(x)=|ax−2|．(1)当a=4时，求不等式f(x)+|4x+2|≥8的解集；(2)若x∈[2,4]时，不等式f(x)+|x−3|≤x+3成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题．用复数的运算即可求解．=−i−i=−2i，解：由i 3+1i故选C．2.答案：A解析：根据函数单调性的性质求出对应的a的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质求出a的取值范围是解决本题的关键．解：若函数f(x)=log a x在(0,+∞)上是增函数，则a>1．若函数g(x)=x2+2ax+1在(1,+∞)上是增函数，则对称轴x=−a≤1，即a≥−1，∴“函数f(x)=log a x在(0,+∞)上是增函数”是“函数g(x)=x2+2ax+1在(1,+∞)上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．3.答案：A解析：本题经过正方形ABCD的顶点A作正方形所在平面的垂线，求垂线上一点P到正方形对角线BD的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和空间距离的求法等知识，属于中档题．连结AC交BD于O，由线面垂直的判定与性质证出BD⊥平面PAC，从而得到PO⊥BD，可得PO长就是点P到BD的距离．在Rt△PAO中，利用勾股定理算出PO，即可得到点P到BD的距离．解：如图，连结AC交BD于O，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴结合AC 、PA 是平面PAC 内的相交直线，得BD ⊥平面PAC ， ∵PO ⊂平面PAC ，∴PO ⊥BD ，可得PO 长就是点P 到BD 的距离， ∵Rt △PAO 中，PA =12，AO =√22AB =6√2，∴PO =√PA 2+AO 2=√122+(6√2)2=6√6． 故选：A ．4.答案：D解析：解：∵α∈(0,π4)， ∴2α∈(0,π2)，又∵cos2α=45，∴sin2α=√1−cos 22α=√1−(45)2=35． ∴sin 2(α+π4)=1−cos(2α+π2)2=1+sin2α2=1+352=45． 故选：D ．由已知条件可求出sin2α，再由三角函数的诱导公式化简计算即可得答案． 本题考查了三角函数的诱导公式，考查了三角函数基本关系式的应用，是基础题．5.答案：B解析：解：已知△ABC 中，a =2，sinA ：sinB =√3：3，则a ：b =√33，∴b =2√3，故选B ．△ABC 中，根据a =2，sinA ：sinB =√3：3，利用正弦定理可得a ：b =√33，从而求得b 的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6.答案：C解析：解：作出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3对应的平面区域如图：则z =yx 的几何意义为动点P 到原点的斜率， 由图象可知当P 位于A 时，直线AO 的斜率最大，由{x +y =3x −y =−1解得A(1,2) 此时z =21=2， 故选：C ．作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．7.答案：C解析：本题主要考查由三视图还原几何体，求几何体的体积． 解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的， 如图所示：其体积为：12×4×3×3=18， 故选C ．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的线性运算，属基础题．由平面向量的加减法得：：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解．解：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选A ．9.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S =sin π3+sin 2π3+sinπ+⋯+sin2016π3的值，由于y =sinnπ3的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336， 故S =sin π3+sin 2π3+sinπ+⋯+sin2016π3=336×0=0，故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．10.答案：A解析：解：令g(x)=f(x)−12x 2， 则g′(x)=f′(x)−x ，由在(−∞,0)上，f′(x)<x ，f(x)是偶函数， 则g(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增， 若f(1−2m)−f(m)≥12[(1−2m)2−m 2]， 则g(1−2m)≥g(m)， 则|1−2m|≥|m|， 解得：x ≥1或x ≤13， 故选：A ．令g(x)=f(x)−12x 2，根据函数的单调性问题转化为|1−2m|≥|m|，解出即可．本题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．11.答案：B解析：【试题解析】解：如图所示，不妨设AC=2，∵AB=AD=√22AC，∴AB=AD=√2．∵cos∠BAD=13，∴13=cos(π−2B)=−cos2B，∴13=2sin2B−1，解得sinB=√63．∵bsinB =csinC，∴sinC=csinBb =√2×√632=√33．故选：B．如图所示，不妨设AC=2，由AB=AD=√22AC，可得AB=AD=√2.由cos∠BAD=13，可得13=cos(π−2B)=−cos2B，解得sinB.再利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用、三角形内角和定理、倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．连接AC、BD，交于点O，连接PO，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与PC所成的角．解：连接AC、BD，交于点O，连接PO，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，∵正四棱锥的侧棱长为√2，底面的边长为√3，E 是PA 的中点， ∴OA =OB =√3+32=√62， OP =√2−64=√22， ∴A(√62,0，0)，P(0,0，√22)，E(√64,0，√24)，B(0,√62,0)，C(−√62,0，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√64,−√62,√24)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,0，−√22)， 设异面直线BE 与PC 所成的角为θ， 则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=12，∴θ=π3，∴异面直线BE 与PC 所成的角为π3． 故选：C ．13.答案：(0,+∞)解析：本题考查并集的运算，属基础题． 根据并集定义求解即可．解：集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x >1}， 根据并集定义得A ∪B =(0,+∞)， 故答案为(0,+∞)．14.答案：6或7解析：解：数列{a n}中，∵a n=−n2+6n+7=−(n−3)2+16，∴由a n≥0，得n−3≤4．∴a6=7，a7=0，a8=−9，∴前n项和S n取最大值时，n=6，或n=7．故答案为：6或7．数列{a n}中，由a n=−n2+6n+7=−(n−3)2+16，知a6=7，a7=0，a8=−9，由此能求出前n项和S n取最大值时，n的值．本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．15.答案：2√7解析：解：椭圆x216+y29=1的a=4，b=3，c=√a2−b2=√7，即有|F1F2|=2√7．故答案为：2√7．求出椭圆的a，b，再由c=√a2−b2，即可得到所求焦距2c．本题考查椭圆的方程，主要考查椭圆的焦距的求法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：g(x)=sin (x−π6)解析：本题考查三角函数的变换，属于基础题．由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得答案．解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象，故答案为．17.答案：解：(Ⅰ)根据直方图可知产品件数在[20,25)内的人数为m×5×0.06=6，则m=20(位).(6分)(Ⅱ)根据直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)，[20,25)组内的人数分别为2，4．设这2位工人不在同一组为A事件，低于20件产品的工人选取2位有C62=15种，这2位工人不在同一组的有2×4=8，．则P(A)=815.(12分)答：选取这2人不在同组的概率为815，由此计算产品件数在[20,25)内的人数；解析：(1)由频率的意义可知，每小组的频率=频数总人数(2)根据概率公式计算，事件“低于20件产品的工人选取2位”有15种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件“这2位工人不在同一组”可能种数是8，那么即可求得事件A的概率．此题考查了对频数分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且．这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn18.答案：(Ⅰ)证明：设A1B∩AB1=O，连接OD，则OD为三角形A1BC的中位线，∴A1C//OD，OD在平面AB1D内，A1C不在平面AB1D内，∴A1C//平面AB1D.(Ⅱ)解：当三棱柱ABC−A1B1C1的底面积最大时，体积最大，≥2AC⋅BC−AC⋅BC=AC⋅BC，4=AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosπ3当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值，∵A1C//平面AB1D，∴点A1和C到平面AB1D的距离相等，∴V A1−AB1D =V C−AB1D=V B1−ACD=13S△ACD⋅BB1=√33．解析：(Ⅰ)设A1B∩AB1=O，连接OD，利用三角形的中位线定理可得：A1C//OD，利用线面平行的判定定理即可证明；(Ⅱ)当三棱柱ABC−A1B1C1的底面积最大时，体积最大，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值．由于A1C//平面AB1D，可得点A1和C到平面AB1D 的距离相等，利用三棱锥的体积计算公式即可得出．本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、余弦定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．19.答案：解：(I)∵a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，∴a n+1n+1−a nn=2，∴b n+1−b n=2，又b1=a11=1．∴{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．(Ⅱ)由(I)可得：b n=1+2(n−1)=2n−1．∴b n2n =2n−12n．∴数列{b n2n }的前n项和T n=12+322+523+⋯…+2n−12n．1 2T n=122+323+⋯…+2n−32n+2n−12n+1，∴12T n=12+2(122+123+⋯…+12n)−2n−12n+1=12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1，∴T n=3−2n+32n．解析：(I)由a1=1，na n+1−2n(n+1)−(n+1)a n=0，化为a n+1n+1−a nn=2，即b n+1−b n=2，又b1=a11=1.即可证明．(Ⅱ)由(I)可得：b n=2n−1.可得b n2n =2n−12n.利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)当l的斜率为1时，∵F(p2,0)，∴l的方程为y=x−p2．由{y =x −p2,y 2=2px,得x 2−3px +p 24=0． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p ， ∴|MN|=x 1+x 2+p =4p =16，p =4， ∴抛物线C 的方程为y 2=8x ．(2)假设满足条件的点P 存在，设P(a,0)，由(1)知F(2,0)， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为y =k(x −2)(k ≠0)， 由{y =k(x −2),y 2=8x,得k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0， △=(4k 2+8)2−4⋅k 2⋅4k 2=64k 2+64>0，x 1+x 2=4k 2+8k 2，x 1x 2=4．∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴k PM +k PN =0，k PM =k(x 1−2)x 1−a，k PN =k(x 2−2)x 2−a．∴k(x 1−2)(x 2−a)+k(x 2−2)(x 1−a)=k[2x 1x 2−(a +2)(x 1+x 2)+4a]=−8(a+2)k=0，∴a =−2时，此时P(−2,0)．②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可． 综上，存在唯一的点P(−2,0)，使直线PM ，PN 关于x 轴对称．解析：考查抛物线的性质及直线与抛物线综合应用，属于中档题．(1)由直线l 的斜率及过的点写出直线方程与抛物线联立求出两根之和，根据抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，再由相交弦长的值求出p 值，进而求出抛物线的方程；(2)分直线MN 的斜率存在和不存在两种情况，假设存在这样的P 点，设P 的坐标，设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出PM ，PN 的斜率，由直线PM ，PN 关于x 轴对称，可得斜率之和为0，求出P 的坐标．21.答案：解：(1)x∈(0,+∞)，f′(x)=a−1x =ax−1x，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上为减函数，当a>0时，x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，综上所述，当a≤0时，f(x)减区间为(0,+∞)，当a>0时，f(x)减区间为(0,1a )，f(x)增区间为(1a,+∞)．(2)g(x)=f(tx+1)+3x+2x+2=2xx+2−ln(tx+1)，g′(x)=4(x+2)2−ttx+1=−tx2+4(t−1)(tx+1)(x+2)2，当t≥1时，g′(x)<0恒成立，故g(x)在x∈(0,+∞)上为减函数，不成立．∴0<t<1，令g′(x)=0，得x1=−2√1−tt ，x2=2√1−tt，∵g(x)有两个极值点，∴g′(x)=0有2个根，故必有−2√1−tt >−1t且−2√1−tt≠−2，得0<t<12或12<t<1，且x1为极小值点，x2为极大值点，g(x1)+g(x2)=2x1x1+2−ln(tx1+1)+2x2x2+2−ln(tx2+1)=4x1x2+4(x1+x2)x1x2+2(x1+x2)+4−ln[t2x1x2+t(x1+x2)+1]=4(t−1)2t−1−ln(2t−1)2=2−22t−1−ln(2t−1)2，令u=2t−1，0<t<1且t≠12，当0<t<12时，−1<u<0，12<t<1时，0<u<1，令ℎ(u)=2−2u −lnu2(0<t<1且t≠12)，当−1<u<0时，ℎ(u)=2−2u −2ln(−u)，ℎ′(u)=2−2uu2>0，∴ℎ(u)在u∈(−1,0)上为增函数，∴ℎ(u)>ℎ(−1)=4>0，故当0<t<12时，g(x1)+g(x2)>0成立，当0<u <1时，ℎ(u)=2−2u −2lnu ，ℎ′(u)=2−2u u 2>0，ℎ(u)在u ∈(0,1)上单调递增，∴ℎ(u)<ℎ(1)=0， 故当12<t <1时，g(x 1)+g(x 2)<0， 综上所述，t ∈(0,12)．解析：本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出0<t <12或12<t <1，得到x 1为极小值点，x 2为极大值点，求出g(x 1)+g(x 2)=2−22t−1−ln(2t −1)2，令u =2t −1，0<t <1且t ≠12，根据函数的单调性求出t 的具体范围即可．22.答案：解：(1)由{x =2+cosαy =3+sinα消去α得曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=1，即x 2+y 2−4x −6y +12=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2得曲线C 的极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ−6ρsinθ+12=0 (2)点A 的极坐标为(3,π2).所以点A 的极坐标为A(0,3)， |AC|=2，|OC|=√22+32=√13，∴|AM =√|AC|2−1=√4−1√3，|ON|=√|OC|2−1=√13−1=2√3， ∴|ON||AM|=√3√3=2．解析：(1)由{x =2+cosαy =3+sinα消去α得曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=1，即x 2+y 2−4x −6y +12=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2得曲线C 的极坐标方程为：ρ2−4ρcosθ−6ρsinθ+12=0(2)利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(1)当a =4时，原不等式即|4x −2|+|4x +2|≥8，即|2x −1|+|2x +1|≥4，当x ≥12时，原不等式等价于(2x −1)+(2x +1)≥4，解得x ≥1， 当−12<x <12时，原不等式等价于(1−2x)+(2x +1)≥4，不等式无解；当x≤−12时，原不等式等价于(1−2x)−(2x+1)≥4，解得x≤−1．综上，原不等式的解集为(−∞,−1]∪[1,+∞)(2)由f(x)+|x−3|≤x+3得|ax−2|+|x−3|≤x+3(∗)，当x∈[2,3]时，(∗)等价于|ax−2|+3−x≤x+3，即|ax−2|≤2x，即|a−2x |≤2，所以−2+2x≤a≤2+2x，因为13≤1x≤12，所以2+2x的最小值为83，−2+2x最大值为−1．所以−1≤a≤83，当x∈(3,4]时，原不等式等价于|ax−2|+(x−3)≤x+3，所以|ax−2|≤6，所以−6≤ax−2≤6，即−4≤ax≤8．所以−4x ≤a≤8x，因为14≤1x≤13，所以8x的最小值为2，−4x的最大值为−1，所以−1≤a≤2，综上，a的取值范围是[−1,2]．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，考查推理论证能力，运算求解能力，化归与转化能力，分类与整合思想，属中档题．(1)分3段去绝对值解不等式，再相并；(2)按照2种情况分类讨论去绝对值可得．。

2020届重庆市南开中学高三高考模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|||1,},{1,2,3}A x x x Z B =∈=，则A B 为（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{1,0,1}-D ．∅答案：B先求出集合A ，再求A B .解：解：由||1x 得，11x -， 因为x ∈Z ，所以{1,0,1}A =-， 因为{1,2,3}B =，所以{}1A B ⋂=， 故选：B 点评：此题考查了集合的交集运算，考查绝对值不等式，属于基础题. 2．设i 是虚数单位，若复数1z ii=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．1122i + B ．112i +C ．112i -D ．1122i - 答案：D利用复数的四则运算化简z ，再得出z 的共轭复数. 解：(1)111(1)(1)222i i i z i i i -+===++-1122z i ∴=- 故选：D 点评：本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题. 3．下列函数中，值域是R 且是奇函数的是（ ） A ．31y x =+ B ．sin y x =C ．3y x x =-D ．2x y =答案：C根据基本函数的值域及其奇偶性一一分析选项中的函数即可. 解：A 项中，31y x =+的值域是R ，但不是奇函数；B 项中，sin y x =的值域是[]1,1-，是奇函数；C 项中，3y x x =-的值域是R ，且是奇函数；D 项中，2x y =的值域是()0,∞+，不是奇函数. 故选：C. 点评：本题主要考查基本函数的值域和奇偶性，属于简单题.4．向量(3,),(1,2)a m b ==，若()a b b +⊥，则m =（ ） A ．4- B ．32-C ．0D ．6答案：A由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求出m 的值． 解： 解：向量(3,),(1,2)a m b ==，()(4a b ∴+=，2)m +，若()a b b +⊥，则()(4a b b +=，2)(1m +，2)4240m =++=， 则4m =-， 故选：A ． 点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5．已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．4答案：B根据四种命题真假性的相互关系，判断出真命题的个数. 解：由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B点评：本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题.6．2019年被誉为“5G商用元年”．6月，5G商用牌照正式发放；9月，5G套餐开启预约；11月，5G套餐公布；12月，5G手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（）A．相关活动是5G信息走势的关键性节点B．月均信息量超过600万条C．第四季度信息量呈直线增长态势D．月信息量未出现持续下降态势答案：B根据信息量走势图的信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.解：A. 由图可知6月，9月，12月都是图象的走势变化的关键点，所以判断正确.B. 2019年与“5G”相关的信息量高达6875.4万条，则月均信息量不超过600万条，所以判断不正确.C. 由图可知10月、11月、12月的信息量呈直线增长态势，所以判断正确.D. 由图可知月信息量未出现连续几个月持续下降态势，所以判断正确.故选：B.本题考查对图表信息的处理，关键是读懂图表，属于基础题.7．椭圆22217x y b+=，过原点O 斜率为3的直线与椭圆交于C ，D ，若||4CD =，则椭圆的标准方程为（ ）A ．22174x y +=B ．22173x y +=C ．22176x y +=D ．222177x y +=答案：D先利用直线斜率和弦长求出C 点的坐标，然后将点C 代入椭圆方程，解出2b ，从而得到椭圆方程. 解：由题意可知，直线CD 的方程为3y x =，直线倾斜角为3π， 不妨设C 点在第一象限，则2OC =，因此可得(1,3)C ，又点C 在椭圆22217x y b+=上，所以22137172b b +=⇒=，所以椭圆的标准方程为222177x y +=，故选：D. 点评：本题主要考查了椭圆方程的求法，结合了直线与弦长等相关知识，难度不大. 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）A ．43B ．83C ．4D ．8首先把三视图转换为直观图，进一步求几何体的体积. 解：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示的三棱锥， 所以11822222323V =⨯⨯⨯⨯=， 故选：B点评：此题考查三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题.9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则()2log 8f =（ ） A ．1- B ．1C ．7D ．12-答案：A由题可得2(log 8)(3)(1)f f f ==-，然后结合奇偶性，即可利用解析式求出答案. 解：(1)(1)f x f x +=-， 2(log 8)(3)(1)f f f ∴==-，又()f x 是奇函数，且[]0,1x ∈时，()21xf x =-，1(1)(1)211f f ∴-=-=-+=-， 2(log 8)1f ∴=-，故选：A. 点评：本题综合考查了函数奇偶性和对称性的应用，考查简单的指、对数计算，难度不大. 10．点P 在函数ln y x =的图象上，若满足到直线y x a =+2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．3-C ．2D ．22-答案：B利用导数求得函数ln y x =导数为1处的切点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，由此求得a 的值. 解：对于函数ln y x =，定义域为()0,∞+，'1y x =在()0,∞+上为减函数，令'11y x==，解得1x =，故函数ln y x =导数为1处的切点坐标为1,0A ，点1,0A 到直线0x y a -+=的距离为122a +=，解得1a =或3a =-.结合图象可知，要使满足到直线y x a =+的距离为2的点P 有且仅有3个，则1a =不符合，所以3a =-. 故选：B点评：本小题主要考查利用导数求与切线有关的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11．重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m ，两端引桥各有190m ，主桁最高处距离桥面89.5m ，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（ ）A ．20.45cos 3y x =B ．24.5cos 3y x = C ．30.9cos 2y x =D ．39cos2y x = 答案：A设余弦函数为()cos f x A wx =，结合三角函数的图象与性质，求得()c 89.52466os f x x π=，再结合选项，即可求解. 解：设主桁（图中粗线）部分对应的余弦函数为()cos f x A wx =， 可得函数的周期为5521902932T =+⨯=，即2932466w ππ==， 又由289.5A =，解得89.52A =， 所以函数的解析式为()c 89.52466os f x x π=， 按1:100的比例等比变换，可得()co 89.5100200s 466f x x π=， 对比选项，可得与函数20.45cos 3y x =相似.故选：A. 点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.12．若P 是双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>在第一象限上一点，12,F F 为双曲线C 的左右焦点，22PF b =，,02a Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．54答案：D先根据双曲线的定义得122PF b a =+，22PF b =，再,02a Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等得Q 在12F PF ∠的角平分线上，在根据等面积法，有12=F PQ F PQS S222a b b +22a c a c +=-，化简即可求解. 解：如图，由双曲线的定义得12=2PF PF a -，22PF b =，所以122PF b a =+，又因为,02a Q ⎛⎫⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等， 所以Q 在12F PF ∠的角平分线上，即12F PQ F PQ ∠=∠，所以1211221sin 22212sin 2F PQ F PQ F P PQ F PQ S a bS b F P PQ F PQ ⋅∠+==⋅∠， 另一方面，设P 到12F F 的距离为d ，则1212122122F PQ F PQ a QF d c S aS QF d c ⋅+==⋅-， 所以222a b b +22a c a c +=-，整理得54a c =，所以54c e a ==. 故选：D. 点评：本题考查双曲线的离心率的求解，注重利用定义和合理的转化问题是关键，是中档题.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则23z x y =+的最大值为__________．答案：3画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 解：如图所示：画出可行域，23z x y =+，即233zy x =-+，z 表示直线在y 轴截距的3倍， 根据图象知，当直线过点()0,1，即0,1x y ==时，z 最大为3. 故答案为：3.点评：本题考查了线性规划问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图象是解题的关键.14．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2,1,7a b c ===则BC 边上的高为________． 答案：32先利用余弦定理求出角C ，然后利用面积法可求出BC 边上的高. 解：解：由余弦定理得，2224171cos 242a b c C ab +-+-===-，213sin 1sin 14C C =-=-=, 设BC 边上的高为h ，则11sin 22BC h ab C ⋅=,所以sin 3sin 2ab C h b C a ===, 故答案为：3 点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题.15．《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边AB 为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．答案：21π由题意可知此几何体是由一个圆柱和一个圆锥组合而成的，其体积是两个几何体的体积之和. 解：解：由题意可知，此几何体是底面半径为3，高为2的圆柱和底面半径为3，高为1的圆锥组合而成的， 所以其体积为22132+31=213πππ，故答案为：21π 点评：此题考查求组合体的体积，利用了圆柱和圆锥的体积公式，属于基础题.三、双空题16．已知()4sin 3cos f x x x =+，()f x 向右平移(0)ααπ<<个单位后为奇函数，则tan α=________，若方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，则m 的取值范围是________． 答案：34 24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭化简函数()5sin()f x x ϕ=+，其中3tan 4ϕ=，根据三角函数的图象变换和三角函数的性质，求得αϕ=，求得3tan tan 4αϕ==，把方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，转化为函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 解：由题意，函数()4sin 3cos 5sin()f x x x x ϕ=+=+，其中3tan 4ϕ=， 因为()f x 向右平移α个单位后，可得()5sin[()]5sin()g x x x αϕαϕ=-+=-+， 又由()5sin()g x x αϕ=-+为奇函数，所以,k k Z ϕαπ-=∈，即,k k Z αϕπ=-∈， 又因为0απ<<，所以αϕ=，所以3tan tan 4αϕ==. 由方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根， 即方程()f x m =在[,]απ上恰有两个不等的根，即函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点， 因为[,]x απ∈，即[,]x ϕαϕπϕ+∈++， 又由3tan tan 14αϕ==<，且0απ<<，且αϕ=，所以02παϕ<+<， 所以当2x πϕ+=，函数()f x 取得最大值，最大值为5；当x ϕπϕ+=+，即x π=，函数()f x 取得最小值，最小值为3-； 当x ϕαϕ+=+，即x αϕ==，函数()34244sin 3cos 43555f ϕϕϕ+=⨯+⨯==， 要使得函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点，则2455m ≤<，即实数m 的取值范围是24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：34，24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 点评：本题主要考查了三角恒等变换的化简，三角函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题17．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 答案：（1）12n na ；（2）n T (1)212nn n +=-+. （1）首先判断公比不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）可得12n n a n n -+=+，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 解：解：（1）若公比1111,2166q a a a =+=，不成立； 则()()()2461111,1411111a a aq q q q q q q≠-+-=---- 由于正项等比数列，210q -≠，所以()2241411qqq ++=++，所以42340q q --=所以24q =，解得2q或2q =-（舍去）所以12n na ；（2）()1122(12)n n T n -=+++++++(1)212n n n +=-+点评：本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和化简运算能力，属于中档题．18．在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．（1）计算a ，b ，c ；（2）在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人． （i ）写出各组中抽取人数；（ii ）访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．答案：（1）966a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）（i ）3，2，2；（ii ）121. （1）根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案. （2）（i ）首先求出抽样比，再每层抽取即可. （ii ）利用古典概型求概率即可. 解：（1）由题知：274463044918434a b a c b c +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：966a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩.（2）（i ）记同时观看了《机长》和《祖国》的为A 组，共有9人， 同时观看了《机长》和《攀登者》为B 组，共有6人， 同时观看《祖国》和《攀登者》为C 组，共有6人. 抽样比719663==++所以A 组抽取3人，设为123,,A A A ，B 组抽取2人，设为12,B B ，C 组抽取2人，设为12,C C .（ii ）在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，为12,B B . 从7人中选2人共有12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，11A C ，12A C ，23A A ，21A B ，22A B ，21A C ，22A C ，31A B ，32A B ，31A C ，32A C ，12B B ，11B C ，12B C ，21B C ，22B C ，12C C ，共21种，则2人都没有观看《我和我的祖国》的只有12B B一种，概率是121. 点评：本题主要考查古典概型，同时考查了分层抽样，考查了学生分析问题的能力，属于简单题.19．正三棱柱111ABC A B C -中，D 为1CC 中点，2AB =．（1）求证：平面1ADB ⊥平面11ABB A ； （2）若AD 与平面11ABB A 所成角为4π，求四棱锥1A BCDB -的体积． 答案：（1）证明见解析；（26.（1）取1AB 和11A B 中点,E F ，连接1,,DE EF FC ，根据等腰三角形的性质，证得1DE AB ⊥，在线面垂直的性质，证得1AA DE ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得DE ⊥面11ABB A ，进而证得平面1ADB ⊥平面11ABB A ； （2）由（1），得到AD 与平面11ABB A 所成角，即为4EAD π∠=，进而求得1132A BCDB A BCB V V --=，再利用三棱锥的体积公式，求得1A BCB V -，即可求解. 解：（1）取1AB 中点E ，连接DE ，取11A B 中点F ，连接1,EF FC ， 由于是正棱柱，1CC ⊥面111A B C ，从而11CC FC ⊥ 由于D 为1CC 中点，1111,CC AC CC B C ⊥⊥，所以2222112,2AD CD B D C D =+=+，1AD B D =，在1AB D ∆中，因为E 为1AB 的中点，所以1DE AB ⊥又因为E ，F 分别为111,AB A B 中点，所以1//EF DC 且1EF DC =， 则四边形1EFC D 为平行四边形，所以1//DE FC ，由正棱柱111ABC A B C -，可得1AA ⊥面111A B C ，所以11AA FC ⊥，所以1AA DE ⊥， 又由11AA AB A =，所以DE ⊥面11ABB A ，又因为DE ⊂面1ADB ，所以平面1ADB ⊥平面11ABB A .（2）由（1）知DE ⊥面11AA B B ，可得AD 与平面11ABB A 所成角，即为4EAD π∠=，又由13DE FC ==，则264AD CD ==+，所以12,22CD CC ==所以11(222)2322BCDB S =+⋅⋅=，11222222BCB S =⋅⋅=， 则1132A BCDB A BCB V V --=， 又由而11111112222363323A BCBC ABB ABB V V S CF --==⋅=⋅⋅⋅⋅=， 所以1236632A BCDB V -=⋅=点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及四棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的体积公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.20．已知圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=交于A ，B 两点． （1）若直线AB 过原点，求a ；（2）若直线AB 交x 轴于Q ，当PQC △面积最小时，求||AB ．答案：（1）3a =±；（2（1）由圆C 和动圆P 交于A ，B 两点，得到PC <解得a 的范围，再由两圆相减，求得公共弦直线方程，根据直线AB 过原点，即可求得实数a 的值； （2）由公共弦的直线方程，求得点Q 的坐标，求得PQCS 取最小值时a 的值，得到AB额方程，再结合圆的弦长公式，即可求解. 解：（1）由圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=，可得圆心坐标分别为(0,3),(,0)C P a ，半径都是r =因为圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=交于A ，B 两点，可得圆心距小于半径之和，PC <即229a +<，解得a << 又由两圆相减，可得公共弦直线2:692AB y ax a -+=-+， 因为直线AB 过原点，可得29a =，解得3a =±，检验成立， 所以实数a 的值为3±.（2）由直线2:692AB y ax a -+=-+，令0y =，即292ax a -+=，解得192Q x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即19((),0)2Q a a- 则1919||22PQ a a a a a⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭， 所以139||3922PQCSPQ a a=⋅=+≥当且仅当3a =±时取得等号，且满足(a ∈，此时直线:AB y x =±，又由圆心到直线距离为d =，所以弦长为=点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系，以及直线与圆的弦长公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 21．已知21()cos 2f x x x x k =-+--． （1）若()f x 的一条切线为y x =，求此时的k ； （2）求使得()0f x >有解的最大整数k ． 答案：（1）1k =-；（2）0.（1）若设切点横坐标为t ，则()1f t '=，化简得sin 0t t -=，通过构造函数得0t =，从而可得切点坐标为(0,0)，再将切点坐标代入函数式中可得k 的值； （2）()0f x >等价于21cos 2x x x k -+->，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值，而()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤，所以()h x '单减，通过赋值得到()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，进而有()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，然后利用导数求()0h x 范围即可. 解： 解：（1）设切点横坐标为t ，()1sin 1,sin 0f t t t t t '=-++=-=()sin ,()cos 10g x x x g x x '=-=-≤，所以()g x 恒单减，而()00g =所以0t =，从而()00f =得1k =- （2）由题意，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤，从而()h x '单减，而22220,120223233h h πππππ⎛⎫⎛⎫''=->=+-<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，所以()h x 在()0,x -∞单增，()0,x +∞单减 则()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，而()0001sin 0h x x x '=-++=所以()()2000011sin 1sin cos 2h x x x x =-+++- ()2220000001111sin 1cos 2cos 1cos cos cos 222x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-++-=--+-=-⎣⎦⎣⎦ 由于0021,,cos ,0232x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()200113cos 10,224h x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以整数k 最大值为0．点评：此题考查导数的几何意义及综合应用，通过导数研究函数的单调性、零点等，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：cos sin 3x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2[0,]ρθπ=∈，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围； （2）求MN 中点P 轨迹的参数方程． 答案：（1）sin cos cos 3x y ααα⋅-⋅=-；224(0)x y y +=≥；50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭；（2）2cos sin 33x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数，50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（1）利用加减消元法求得直线l 的普通方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线C 的直角坐标方程，结合图象求得α的范围.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据根与系数关系求得P点对应的参数P t ，将P t 代入直线l 的参数方程，求得P 轨迹的参数方程. 解：（1）由cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩①②，sin cos αα⨯-⨯①②得直线l的普通方程为：23 sin cos cos3x yααα⋅-⋅=-；由2ρ=，两边平方得224x y+=，由于[0,]θπ∈，所以曲线C的直角坐标方程为：224(0)x y y+=≥，直线l过20,33A⎛⎫⎪⎝⎭，倾斜角α，与曲线C有两个公共点，由图可知在直线过()()2,0,2,0C B-时为临界情况，33,33AB ACk k=-=，所以倾斜角50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（2）直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程：2124423sin0,3sin3323Pt tt t tαα++⋅+===，将P t代入直线l的参数方程并化简得到中点P轨迹的参数方程：223cos2323xyααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭）.点评：本小题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的运用，属于中档题.23．已知对于任意1x-，不等式3(1)13x x++成立．（1）求证：对于任意1x -，4(1)14x x ++； （2）若0a >，0b >，求证：443()4a b a a b ++．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）由1x -得10x +≥，然后给不等式3(1)13x x ++同乘以1x +，化简后再利用放缩法可得结论；（2）利用分析法可得只需4114b b a a ⎛⎫+≥+⋅ ⎪⎝⎭成立即可，再结合（1）得到的结论可证明. 解： 解：（1）因为1x ≥-，所以10x +≥ 因为3(1)13x x ++，所以32(1)(1)(13)(1)14314x x x x x x x ++≥++=++≥+， 所以原不等式成立；（2）欲证443()4a b a a b +≥+只需43414a b a b a a +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭4114b b a a ⎛⎫⇐+≥+⋅ ⎪⎝⎭（）由于,0a b >，所以01ba>>-， 由（1）知取bx a=时（）式成立，从而原不等式得证． 点评：此题考查不等式的证明，考查分析法证明不等式，属于中档题.。

2022年重庆市南开中学高考数学模拟试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ＝{x |x ﹣6≤0}，B ＝{x |x ＜2}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．[2，6]B ．（﹣∞，2]C ．（2，6]D ．[6，+∞）2．（5分）已知命题P ：“∃x ∈[12，4]，x 2−ax +4＞0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜4B ．a ＜172C ．a ＜133D ．a ＞53．（5分）已知tan(θ+π4)=−3，则sin2θ＝（ ） A ．45B ．−45C ．35D ．−354．（5分）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是（5，6），（3，﹣4），则这个圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2+4x ﹣2y +7＝0 B ．x 2+y 2﹣8x ﹣2y ﹣9＝0 C ．x 2+y 2+8x +2y ﹣6＝0D ．x 2+y 2﹣4x +2y ﹣5＝05．（5分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．78B ．−78C ．−725D ．7256．（5分）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，……，则下列选项不正确的是（ ）A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第n （n ≥5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有2n+1−(−1)n4个数D ．在第11条斜线上，最大的数是C 737．（5分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝3，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在三角形A 1BD 内有一动点P （包括边界），则|P A |+|PE |的最小值是（ ） A ．2B ．2√2C ．3D ．3√38．（5分）已知函数f(x)=e xx 4−klnx ，当x ＞1时，不等式f （x ）≥x +1恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣e ]B ．（﹣∞，﹣4]C ．（﹣∞，﹣e 2]D ．（﹣∞，0]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年重庆南开中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，把的图象按平移后得到的函数图象，则函数的对称中心坐标为（）A. B.C. D.参考答案：答案:B2. （5分）（2015?钦州模拟）一个袋子中有号码为1、2、3、4、5大小相同的5个小球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：先求出第一次取得号码为奇数的概率，再求出第二次取得号码为偶数球的概率，根据概率公式计算即可．解：1、2、3、4、5大小相同的5个小球，从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数的概率为，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率为=，故选：D．【点评】：本题考查了条件概率的求法，属于基础题．3. 已知集合，，则=（）A．{0,1,2} B．{1,2} C．{1,2,3} D．{2,3}参考答案：B4. 如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是( )A．i≤7B．i>7 C．i≤9D．i>9参考答案：B解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S＝720，则应是10×9×8＝720，所以i＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体．5. 设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 已知集合，.则（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 下列各对向量中，共线的是（）A.a=（2,3），b=（3，-2）B.a=（2,3）,b=（4，-6）C.a=（，-1），b=（1，)D.a=(1,),b=(,2)参考答案：D略8. 位同学每人从甲、乙、丙门课程中选修门，则恰有人选修课程甲的概率是A. B. C.D.参考答案：A9. 在平面直角坐标系中，过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段的中点．设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值等于参考答案：答案：10. 设集合，，若，则（）A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 己知是虚数单位,若，则__________.参考答案：2+i12. 函数f（x）=的定义域是．参考答案：（1，2）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴，解得﹣＜x＜2；∴函数f（x）的定义域是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题的关键是列出使解析式有意义的关于自变量的不等式组，是容易题．13. 若，则的最大值▲。

2016年重庆市南开中学高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x 2﹣x=0}，集合B={y|﹣1＜y ＜1}，则A ∩B=（ ） A ．0 B ．∅ C ．{0} D ．{∅}2．已知i 为虚数单位，zi=2i ﹣z ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．从编号为1，2，3，4的四个小球中任选两个球，则选出的两个球数字之和大于等于5的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，bc=4，则△ABC 的面积为（ ） A ．B ．1C ．D ．25．已知cos （α+）=，则sin2α=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．7．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果s=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．118．若定义在R 的函数f （x ）=ln （ax+）为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．09．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=45°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（）A．2：1 B．2：C．：1 D．1：110．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果•=﹣12，那么抛物线C的方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．y2=8x D．y2=4x11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，若f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，则的取值范围是（）A．（0，） B．（，e） C．（e，+∞）D．（0，）∪（e，+∞）12．若存在实数m，n，使得的解集为[m，n]，则a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分．）13．已知平面向量=（1，﹣2），2﹣=（﹣1，0），则||=______．14．设x，y满足，则z=x+y的最小值为______．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面为12π，则球心O到平面ACD1的距离为______．16．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，则φ=______．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．数列{an }的前n项和为An=n2+bn，数列{bn}是等比数列，公比q＞0，且满足a1=b1=2，b2，a 3，b3成等差数列；（1）求数列{an }和{bn}的通项公式；（2）若数列{cn }满足cn=bn+，求cn的前n项和．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）设AB的中点为D，且CD=A1D，求三棱锥A1﹣AEF的体积．19．我国大力提倡足球运动，从2013年开始高校的体考生招生也向招收足球项目的考生倾斜，某高校（四年制）为了解近四年学校招收体考生中足球项目考生的情况，做了如下统计，现以2012年为统计起始年，记为x=0，以足球项目考生占所有体考生的比例为y ． 2012级 2013级 2014级 2015级 x 0 1 2 3 体考生 250 260 300 300 足球项目考生 35 39 45 48 y 0.14 0.15（1）已知y 关于变量x 的变化关系满足线性回归方程=x+，其中=0.141，求出回归方程；2016级计划足球项目考生60人，根据线性回归方程2016级总的体考生将招收多少人（人数四舍五入）；（2）开学后举行了一次新生足球见面赛，由15级16级的足球项目考生共同组成一支18人足球队，按分层抽样确定15级，16级的足球队员人数． （i ）求足球队中，15级和16级的足球队员各有多少人？（ii ）比赛上场队员有11人，其余7人在场外替补，已知在场上有6名16级学生，在比赛过程中有2名替补队员被替换上场，求替换上场的选手中恰好有1名16级的新生的概率． 20．已知圆F 的方程为x 2+y 2﹣2x=0，与x 轴正半轴交于点A ，椭圆C 的中心在原点，焦点在圆心F ，顶点为A ． （1）求椭圆的方程；（2）如图D ，C 是椭圆上关于y 轴对称的两点，在x 轴上存在点B ，使得四边形ABCD 为菱形，求B 点坐标．21．已知函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，g （x ）=f （x ）+﹣bx ．（1）求实数a 的值；（2）设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若|g （x 1）﹣g （x 2）|≥﹣ln2，求b 的范围．[选做题：几何选讲]22．如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，过内圆上一点M ，做内圆的切线，交外圆于C ，D 两点，TC ，TD 分别交内圆于A ，B 两点．（1）证明：AB∥CD；（2）证明：AC•MD=BD•CM．选做题：坐标及参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ﹣3ρ2sin2θ=30，圆O的圆心在原点，经过曲线C的右焦点F．（1）求曲线C和圆O的标准方程；（2）已知直线l的参数方程为（t为参数）与圆O交于B，C两点，其中B在第四象限，C在第一象限，若|BC|=5，∠FOC=α，求sin（﹣α）的值．[选做题：不等式选讲]24．已知命题“∀a＞b＞c，”是真命题，记t的最大值为m，命题“∀n∈R，”是假命题，其中．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求n的取值范围．2016年重庆市南开中学高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣x=0}，集合B={y|﹣1＜y＜1}，则A∩B=（）A．0 B．∅C．{0} D．{∅}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x=0}={0，1}，集合B={y|﹣1＜y＜1}，则A∩B={0}，故选：C2．已知i为虚数单位，zi=2i﹣z，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵zi=2i﹣z，∴z（1+i）=2i，则，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．3．从编号为1，2，3，4的四个小球中任选两个球，则选出的两个球数字之和大于等于5的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出选出的两个球数字之和大于等于5包含的基本事件个数，由此能求出选出的两个球数字之和大于等于5的概率．【解答】解：从编号为1，2，3，4的四个小球中任选两个球，基本事件总数n==6，选出的两个球数字之和大于等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共有m=4个，∴选出的两个球数字之和大于等于5的概率p==．故选：B．4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cosA ，从而可求sinA 的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2﹣bc ， ∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A ＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4， ∴S △ABC =bcsinA==．故选：C ． 5．已知cos （α+）=，则sin2α=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值． 【分析】利用诱导公式与倍角公式即可得出． 【解答】解：∵cos （α+）=， 则sin2α=﹣cos =﹣=﹣=﹣，故选：D ．6．已知F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），通过|F 1F 2|=2|PF 2|，求出椭圆的离心率e ． 【解答】解：F 1，F 2分别为椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），（c ＞0），P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|， 可得2c=2，即ac=b 2=a 2﹣c 2．可得e 2+e ﹣1=0． 解得e=．故选：D ．7．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果s=（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s，a的值，当n=3时，不满足条件n＜3，输出s的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件n＜3，n=2，s=4，a=5满足条件n＜3，n=3，s=9，a=7不满足条件n＜3，输出s的值为9．故选：B．8．若定义在R的函数f（x）=ln（ax+）为奇函数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可得到结论．【解答】解：∵定义在R的函数f（x）=ln（ax+）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则ln（ax+）+ln（﹣ax+）=ln（ax+）•（﹣ax+）=ln（x2+1﹣a2x2）=0，则x2+1﹣a2x2=1，即x2﹣a2x2=0，则1﹣a2=0，则a=±1，故选：C9．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=45°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（）A．2：1 B．2：C．：1 D．1：1【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由条件可知△VAC，△ABC为等腰直角三角形，故主视图面积为S△VAC，左视图面积为S△BOV．【解答】解：取AC的中点O，连接OB，OV，∵VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=45°，∴△VAC，△ABC为等腰直角三角形，∴OV⊥AC，OB⊥AC，又侧面VAC⊥底面ABC，侧面VAC∩底面ABC=AC，∴OV⊥平面ABC，OB⊥平面VAC．设AC=x，OV=h，则OB=．则几何体的主视图面积为S△VAC ==．左视图的面积为S△BOV==．∴=2．故选：A．10．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果•=﹣12，那么抛物线C的方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．y2=8x D．y2=4x【考点】轨迹方程．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），焦点坐标为（，0），直线AB的方程为y=k（x﹣），与抛物线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y 2）两点坐标，•=x1•x2+y1•y2，由韦达定理可以求得答案．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），焦点坐标为（，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣），由直线与抛物线方程联立，得k2x2﹣（pk2+2p）x+p2k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=p+，x1•x2=p2，y1•y2=k（x1﹣）•k（x2﹣）=k2[x1•x2﹣（x1+x2）+p2]=﹣p2，∴•=x1•x2+y1•y2=p2﹣p2=﹣12，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x．故选：C．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，若f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，则的取值范围是（）A．（0，） B．（，e） C．（e，+∞）D．（0，）∪（e，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由函数为定义在R上的偶函数且在区间[0，+∞）上是单调减函数，则不等式可转化为f（ln）＜f（1），求解对数不等式即可解得答案．【解答】解：∵f（x）定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调减函数∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，∴f（ln）＜f（1），∴|ln|＞1，∴ln＞1或ln＜﹣1，可以解得，的取值范围是（0，）∪（e，+∞）．故选：D．12．若存在实数m，n，使得的解集为[m，n]，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】转化为a≤，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到a的取值范围．【解答】解：ae x≤x（e是自然对数的底数），转化为a≤，令y=，则y′=，令y′=0，可得x=1，当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．则当x=1时函数y取得最大值，由于存在实数m、n，使得f（x）≤0的解集为[m，n]，则由右边函数y=的图象可得a的取值范围为（0，）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分．）13．已知平面向量=（1，﹣2），2﹣=（﹣1，0），则||= 5 ．【考点】向量的模．【分析】设出的坐标，求出2﹣=（2﹣x，﹣4﹣y）=（﹣1，0），根据对应关系求出x，y的值，从而求出向量的模即可．【解答】解：设=（x，y），∵=（1，﹣2），2﹣=（﹣1，0），∴2﹣=（2﹣x，﹣4﹣y）=（﹣1，0），∴，解得：，∴||==5，故答案为：5．14．设x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面为12π，则球心O到平面ACD1的距离为．【考点】球内接多面体．【分析】利用球O的表面积为12π，可得球的半径，正方体的对角线长为2，即可求出球心O到平面ACD1的距离．【解答】解：∵球O的表面积为12π，∴4πR2=12π∴R=，∴正方体的对角线长为2，∴球心O到平面ACD1的距离为OD﹣OO1=﹣=．故答案为：．16．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，则φ= ﹣．【考点】正弦函数的对称性；余弦函数的对称性．【分析】由条件利用正弦函数、余弦函数的周期性以及它们的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：∵函数f （x ）=2sin （ωx+）（ω＞0）与函数g （x ）=cos （2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，∴它们的周期相同，即=，∴ω=2． 令2x+=k π+，可得x=+，k ∈Z ，即f （x ）=2sin （ωx+）的图象的对称轴为x=+，k ∈Z ．故函数g （x ）=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称轴为x=+，k ∈Z ，即 2•（+）+φ=n π，即k π++φ=n π，n ∈Z ，故φ=﹣，故答案为：﹣．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．数列{a n }的前n 项和为A n =n 2+bn ，数列{b n }是等比数列，公比q ＞0，且满足a 1=b 1=2，b 2，a 3，b 3成等差数列；（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若数列{c n }满足c n =b n +，求c n 的前n 项和．【考点】数列的概念及简单表示法． 【分析】（1）令n=1得出b ，于是a n =A n ﹣A n ﹣1，根据b 2，a 3，b 3成等差数列求出q ，从而得出b n ；（2）使用分项求和与列项求和计算c n 的前n 项和． 【解答】解：（1）∵A n =n 2+bn ， ∴当n=1时，a 1=1+b=2，∴b=1．∴当n ≥2时，a n =A n ﹣A n ﹣1=n 2+n ﹣（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=2n ． 显然当n=1时，上式仍成立． ∴a n =2n ．∵数列{b n }是等比数列，公比为q ，b 1=2．∴b 2=2q ，b 3=2q 2．又a 3=6，b 2，a 3，b 3成等差数列， ∴2q+2q 2=12．解得q=2或q=﹣3（舍）． ∴b n =2•2n ﹣1=2n ． （2）c n =2n +=2n +﹣．设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n =2+22+23+…+2n +（1﹣）+（）+（）+…+（）=+（1﹣）=2n+1﹣﹣1．18．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．（1）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（2）设AB 的中点为D ，且CD=A 1D ，求三棱锥A 1﹣AEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，可得侧棱垂直于底面，得到AE ⊥BB 1，再由E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，可得AE ⊥BC ，利用线面垂直的判定得到AE ⊥平面B 1BCC 1，再由面面垂直的判定得答案；（2）△CA 1D 是等腰直角三角形，解直角三角形得到直三棱柱的高，由三棱锥体积公式，利用等体积转换，即可求得三棱锥A 1﹣AEF 的体积． 【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴B 1B ⊥底面ABC ，则AE ⊥BB 1，又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点， ∴AE ⊥BC ， 又B 1B ∩BC=B ，因此AE ⊥平面B 1BCC 1，而AE ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1； 解：（2）在正三角形ABC 中，由AB=BC=AC=2，得CD=， ∵CD=A 1D ， ∴A 1D=，在Rt △AA 1D 中，AA 1==， ∴三棱锥A 1﹣AEF 的体积=三棱锥E ﹣A 1AF 的体积==．19．我国大力提倡足球运动，从2013年开始高校的体考生招生也向招收足球项目的考生倾斜，某高校（四年制）为了解近四年学校招收体考生中足球项目考生的情况，做了如下统计，现以2012年为统计起始年，记为x=0，以足球项目考生占所有体考生的比例为y．2012级2013级2014级2015级x 0 1 2 3体考生250 260 300 300足球项目考生35 39 45 48y 0.14 0.15（1）已知y关于变量x的变化关系满足线性回归方程=x+，其中=0.141，求出回归方程；2016级计划足球项目考生60人，根据线性回归方程2016级总的体考生将招收多少人（人数四舍五入）；（2）开学后举行了一次新生足球见面赛，由15级16级的足球项目考生共同组成一支18人足球队，按分层抽样确定15级，16级的足球队员人数．（i）求足球队中，15级和16级的足球队员各有多少人？（ii）比赛上场队员有11人，其余7人在场外替补，已知在场上有6名16级学生，在比赛过程中有2名替补队员被替换上场，求替换上场的选手中恰好有1名16级的新生的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（1）由已知求出=1.5， =0.15，由线性回归方程=x+0.141过点（1.5，0.15），能求出线性回归方程=0.006x+0.141．根据线性回归方程能求出2016级总的体考生将招收的人数．（2）（i）15级有足球项目考生48人，16级有足球项目考生60人，由15级16级的足球项目考生共同组成一支18人足球队，按分层抽样能确定15级足球队员人数和16级的足球队员人数．（ii）由题意知7名替补队员中有15级学生3名，16级新生4名，由此利用等可能事件概率计算公式能求出替换上场的选手中恰好有1名16级的新生的概率．【解答】解：（1）==1.5，=0.15，∵=0.141，∴ =x+0.141，∵线性回归方程=x+0.141过点（1.5，0.15），∴0.15=1.5+0.141，解得=0.006，∴线性回归方程=0.006x+0.141．2016级时， =0.006×4+0.141=0.165，∵2016级计划足球项目考生60人，∴根据线性回归方程2016级总的体考生将招收：≈364（人）．（2）（i）∵15级有足球项目考生48人，16级有足球项目考生60人，由15级16级的足球项目考生共同组成一支18人足球队，∴按分层抽样确定15级足球队员人数为：48×=8人，16级的足球队员人数为：60×=10．（ii）由题意知7名替补队员中有15级学生3名，16级新生4名，在比赛过程中有2名替补队员被替换上场，基本事件总数n==21，替换上场的选手中恰好有1名16级的新生包含的基本事件个数m==12，∴替换上场的选手中恰好有1名16级的新生的概率p===．20．已知圆F的方程为x2+y2﹣2x=0，与x轴正半轴交于点A，椭圆C的中心在原点，焦点在圆心F，顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）如图D，C是椭圆上关于y轴对称的两点，在x轴上存在点B，使得四边形ABCD为菱形，求B点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）圆的方程出A（2，0），圆心F（1，0），设椭圆方程为，（a＞b＞0），则a=2，c=1，由此能求出椭圆方程．（2）设D（m，n），则C（﹣m，n），B（2﹣2m，0），m＞0，n＞0，由题意得，由此能求出点B坐标．【解答】解：（1）∵圆F的方程为x2+y2﹣2x=0，与x轴正半轴交于点A，∴令y=0，得A（2，0），圆心F（1，0），∵椭圆C的中心在原点，焦点在圆心F（1，0），顶点为A（2，0），设椭圆方程为，（a＞b＞0），则a=2，c=1，∴b2=4﹣1=3，∴椭圆方程为．（2）设D（m，n），则C（﹣m，n），B（2﹣2m，0），m＞0，n＞0，由题意得，由m＞0，解得m=.2﹣2m=2﹣=，∴B （，0）．21．已知函数f （x ）=x+alnx 在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，g （x ）=f （x ）+﹣bx ．（1）求实数a 的值；（2）设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若|g （x 1）﹣g （x 2）|≥﹣ln2，求b 的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a 的值． （2）求出g （x 1）﹣g （x 2）=ln﹣（﹣），通过换元得到g （x 1）﹣g （x 2）＞0，得到0＜≤，从而求出b 的范围即可．【解答】解：（1）∵f （x ）=x+alnx ， ∴f ′（x ）=1+，∵f （x ）在x=1处的切线l 与直线x+2y=0垂直， ∴k=f ′（x ）|x=1=1+a=2， 解得a=1．（2）∵g （x ）=lnx+x 2﹣（b ﹣1）x ，∴g ′（x ）==0，∴x 1+x 2=b ﹣1，x 1x 2=1∴g （x 1）﹣g （x 2）=ln ﹣（﹣）∵0＜x 1＜x 2， ∴设t=，0＜t ＜1，令h （t ）=lnt ﹣（t ﹣），0＜t ＜1，则h ′（t ）=﹣＜0，∴h （t ）在（0，1）上单调递减， ∴h （t ）＞h （1）=0， ∴g （x 1）﹣g （x 2）＞0， 若|g （x 1）﹣g （x 2）|≥﹣ln2， 即g （x 1）﹣g （x 2）≥﹣ln2， 即lnt ﹣（t ﹣）≥﹣ln2， ∴0＜t ≤，∴0＜≤，由x 1•x 2=1，得：x 2=， ∴≤，0＜x 1≤， 而x 1+x 2=b ﹣1即x 1+=b ﹣1，∴b=+x 1+1，（0＜x 1＜），令p （x ）=x++1，（0＜x ＜），p ′（x ）=1﹣=＜0，p （x ）在（0，）递减， ∴p （x ）＞p （）=1+，故b ＞1+．[选做题：几何选讲]22．如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，过内圆上一点M ，做内圆的切线，交外圆于C ，D 两点，TC ，TD 分别交内圆于A ，B 两点． （1）证明：AB ∥CD ；（2）证明：AC •MD=BD •CM ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明∠TCD=∠TAB，即可证明AB∥CD；（2）证明：∠MTD=∠ATM，利用正弦定理证明=，由AB∥CD知=，即可证明AC•MD=BD•CM．【解答】证明：（1）由弦切角定理可知，∠NTB=∠TAB，…同理，∠NTB=∠TCD，所以，∠TCD=∠TAB，所以，AB∥CD．…（2）连接TM、AM，因为CD是切内圆于点M，所以由弦切角定理知，∠CMA=∠ATM，又由（Ⅰ）知AB∥CD，所以，∠CMA=∠MAB，又∠MTD=∠MAB，所以∠MTD=∠ATM．…在△MTD中，由正弦定理知，，在△MTC中，由正弦定理知，，因∠TMC=π﹣∠TMD，所以=，由AB∥CD知=，所以=，即AC•MD=BD•CM．…选做题：坐标及参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ﹣3ρ2sin2θ=30，圆O的圆心在原点，经过曲线C的右焦点F．（1）求曲线C和圆O的标准方程；（2）已知直线l的参数方程为（t为参数）与圆O交于B，C两点，其中B在第四象限，C在第一象限，若|BC|=5，∠FOC=α，求sin（﹣α）的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ﹣3ρ2sin2θ=30，把y=ρsinθ，x=ρcos θ代入即可化为标准方程．可得c=5．得到圆O的半径为5，即可得出标准方程．（2）把直线l的参数方程（t为参数），可知：直线l经过点B（4，﹣3），点B在圆O上，而|BC|=5，可得△OBC是等边三角形．得出sin∠xOB即可得出sin（﹣α）．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ﹣3ρ2sin2θ=30，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为2x2﹣3y2=30，∴标准方程为：．∴c==5．可得曲线C的右焦点F（5，0）．∴圆O的标准方程为：x2+y2=25．（2）把直线l的参数方程（t为参数），可知：直线l经过点B（4，﹣3），点B在圆O上，而|BC|=5，∴△OBC是等边三角形．∵sin∠xOB=∴sin（﹣α）=．[选做题：不等式选讲]24．已知命题“∀a＞b＞c，”是真命题，记t的最大值为m，命题“∀n∈R，”是假命题，其中．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求n的取值范围．【考点】全称命题．【分析】（Ⅰ）问题转化为，利用基本不等式的性质求出即可；（Ⅱ）问题转化为∃n∈R，”是真命题，根据三角函数以及绝对值的意义求出n的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）因为“∀a＞b＞c，”是真命题，所以∀a＞b＞c，恒成立，又a＞b＞c，所以恒成立，所以，．…又因为=，“=”成立当且仅当b﹣c=a﹣b时．因此，t≤4，于是m=4．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“∀n∈R，”是假命题，所以“∃n∈R，”是真命题．…因为|n+sinγ|﹣|n﹣cosγ|=|n+sinγ|﹣|cosγ﹣n|≤|sinγ+cosγ|（），因此，，此时，即时．…∴，由绝对值的意义可知，．…& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考& 2016年10月5日鑫达捷。

重庆南开中学高2021级高考模拟考试试题卷数学（文）数学试题卷（文史类），总分值150分。

考试时刻120分钟。

注意事项：一、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

二、答选择题时，必需利用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3、答非选择题时，必需利用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

五、考试终止后，将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

一、复数1i i +（i 为虚数单位）的模等于（ ） A 、2 B 、2C 、22D 、12 二、已知全集{}{},21,ln 0x U R A y y B x x ===+=<，那么()U C A B =（ ） A 、φ B 、112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C 、{}1x x < D 、{}01x x << 3、在等差数列{}n a 中，912162a a =+，那么6a =（ ） A 、10 B 、11C 、12D 、13 4、假设函数()f x 为偶函数，0x >时，()f x 单调递增，()()(),,2P f Q f e R fπ=-==，那么,,P Q R 的大小为（ ）A 、R Q P >>B 、P Q R >>C 、P R Q >>D 、Q R P >>五、已知三棱锥的三视图如题（5）图所示，那么它的体积为（ ）A 、36B 、33C 、32D 、3六、执行如题（6）图所示程序框图，那么输出的S 的值为（ ） A 、21 B 、25 C 、45 D 、937、已知函数()2x f x e x a =-+有零点，那么实数a 的取值范围是（ ）A 、[)2ln 22,-+∞B 、(],2ln 22-∞-C 、[)2ln 2,+∞D 、[]2ln 22,2ln 2-八、已知(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA 是圆22:20C x y y +-=的一条切线，A 是切点，假设PA 长度最小值为2，那么k 的值为（ ）A 、3B 、212C 、22D 、2九、已知ABC ∆三个内角,,A B C 对应的边别离为,,a b c ，且知足2,2cos 2a b C c a =+=，3sin 2cos 262A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，那么ABC S ∆=（ ） A 、23 B 、3 C 、2 D 、210、已知点A 、B 、C 为椭圆2214x y +=上三点，其中31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且ABC ∆的内切圆圆心在直线1x =上，那么ABC ∆三边斜率和为（ ）A 、36-B 、36C 、2-D 、2二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。

一、单选题二、多选题1.设抛物线的焦点为F ，C 的准线与x 轴交于点A ，过A 的直线与C 在第一象限的交点为M ，N，且，则直线MN 的斜率为（ ）A．B．C．D．2. 从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）A ．20B ．55C ．30D ．253. 已知，为两个不重合平面，l ，m 为两条不同直线，则的充分条件是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，，4. 是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点,则的最小值为A ．1B．C．D．5. 在三棱锥中，为等边三角形，平面，，，点G 是P 在平面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．6. 已知随机变量的可能取值为，若，，则（ ）．A．B．C．D ．和的大小不能确定7. 某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，点、点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则、两点在水平方向的距离约为（）A．B．C．D．8.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，的面积为，则（ ）A．B ．4C ．2D．9. 已知，则下列说法正确的是（ ）A．的最小值为B ．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为10.已知函数部分图像如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位到的图像，则下列关于的成立是（ ）重庆市南开中学2022届高三下学期高考模拟数学试题(1)重庆市南开中学2022届高三下学期高考模拟数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．图像关于y 轴对称B．图像关于中心对称C．在上单调递增D ．在最小值为11. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O的球面上，，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AD 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．过点E ，F ，G 作四面体ABCD 的截面，则该截面的面积为2B ．四面体ABCD的体积为C ．AC 与BD的公垂线段的长为D ．过E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：412.已知长方体中，点P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，BC ，，的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．平面B．平面C ．平面D．平面13. 在正四面体中，M 为PA 边的中点，过点M 作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R ，最小的截面半径为r，则_________；若记该正四面体和其外接球的体积分别为和，则_________．14. 某单位使用的圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（到达底面圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于__________.15.已知立方体分别是棱，中点，从中任取两点确定的直线中，与平面平行的有__________条．16. 已知数列是等差数列且公差不为0，数列是等比数列，且，记的前n项和为，(1)求数列和的通项；(2)设数列，求证：．17. 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求（I）所取的2道题都是甲类题的概率；（II）所取的2道题不是同一类题的概率.18. 已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的值域．19. 《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》合计男生15女生15合计已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4（I）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；（II）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：，参考数据：，，，.20. 如图，三棱锥中，为等边三角形，．（1）证明：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．21. 在面积为的中，，.（1）求的长；（2）求的值.。