组合的性质

组合一、基本定义及性质1、组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2、组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3、组合数公式：(1)(2)(1)!m mnnmmA n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n-=,,(n m N m n ≤∈*且4、组合数的性质1：mn n m n C C -=．规定：10=n C ；5、组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC二、典型例题 例1、（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？例3、100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例5、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：例6、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？例7、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例8、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本例9、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？例10、（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？例11、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？例12、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？例13、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前问：此考生共有多少种不同的填表方法？例14．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？例15．在一次象棋比赛中，进行单循环比赛其中有2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，问：比赛开始时参赛者有多少人？三、课堂练习：1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）A ．42B ．21C ．7D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对4．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）A ．42B ．21C ．7D ．35．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n 五边形有 条对角线9．计算：（1）315C ；（2）3468C C ÷．10．,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13．写出从,,,,a b c d e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合14．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ； 16．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；17．集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ．18、从1,2,3,,20 这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法19．正12边形的对角线的条数是 ．20．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？ 21．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个22．有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）A ．70B ．80C ．82D ．8423．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 （ ）种A ．4441284C C C B ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A24．5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9625．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能26．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有 种不同的选法27．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数28．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个 29．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法30．在200件产品中，有2件次品从中任取5件，（1）“其中恰有2件次品”的抽法有 种； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有 种； （3）“其中没有次品”的抽法有 种；（4）“其中至少有1件次品”的抽法有 种 四、课后作业：1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个 2．以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对3．⑴6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？⑵5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ⑶5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？4．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ）A ．42B ．30C ．20D ．125．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A 6．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A7．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ．8．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法9．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个10．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成 ___________个平行四边形11．空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有n 个，第三组有t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体12．在某次数学考试中，学号为(1,2,3,4)i i =的同学的考试成绩(){85,87,88,90,93}f i ∈，且满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种 13．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览如果其中的城市A 、B 必选，并且在旅游过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则不同的游览路线有 种14．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有 种不同的调换方法15．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法16．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是（）A．64B．20C．18D．1017．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90B．180C．270D．54018．公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共有种19．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起；（2）女生互不相邻；（3）男女生相间；（4）女生按指定顺序排列．20．有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有种不同的坐法21．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有种选法22．,,,,A B C D E5位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第5名的名次A、B两位同学去询问名次，主考官对A说：“很遗憾，你和B都未拿到冠军”；对B说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5位同学的名次排列共可能有种不同的情况23．学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备种不同的素菜种24．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到测出1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种25．圆周上有12个等分点，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为个。

组合数公式组合数公式什么是组合数？组合数是数学中一个重要的概念，表示从一个元素集合中取出若干元素而不考虑元素的顺序的方式的总数。

组合数经常在概率论、统计学以及组合数学等领域中使用，并有许多相关的公式。

公式一：组合数的定义公式组合数的定义公式如下：C(n,k)=n!k!(n−k)!其中，n表示元素集合中的元素个数，k表示从中取出的元素个数，n!表示n的阶乘。

公式二：组合数的递推公式组合数的递推公式可以通过组合数的定义公式化简得到：C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)这个公式表示从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n−1个元素中选取k−1个元素的方式数加上从n−1个元素中选取k个元素的方式数。

公式三：组合数的性质公式组合数有以下两个性质公式：1.C(n,k)=C(n,n−k)，即从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n个元素中选取n−k个元素的方式数。

2.C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)，即组合数的递推公式。

例子解释假设有一箱子里有红球和蓝球，其中分别有5个红球和3个蓝球。

现在要从箱子中选取2个球，问有多少种不同的选取方式？根据组合数的定义公式，可以计算出结果：C(8,2)=8!2!(8−2)!=8!2!6!=8∗72∗1=28所以，从这个箱子中选取2个球的方式有28种。

再假设箱子里的球数稍有不同，有5个红球和4个蓝球。

现在要从箱子中选取3个球，问有多少种不同的选取方式？根据组合数的递推公式，可以将问题化简：C(9,3)=C(8,2)+C(8,3)=8!2!(8−2)!+8!3!(8−3)!=28+56=84所以，从这个箱子中选取3个球的方式有84种。

综上所述，组合数公式能够帮助我们计算从一个元素集合中选取若干元素的不同方式数。

无论是组合问题还是概率问题，组合数公式都具有重要的应用价值。

公式四：组合数的乘法公式组合数有一个重要的乘法公式：C(n,k)=C(n−1,k−1)∗n k这个公式可以通过组合数的定义公式推导得到。

高三排列组合知识点大全排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对对象进行选择、安排和组合的方式。

在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点，既存在于基础知识的学习中，也存在于解决实际问题的应用中。

在本文中，将介绍高三排列组合知识点的大全，帮助同学们更好地掌握这一内容。

一、排列与组合的基本概念排列是指从若干不同元素中按照一定的顺序选择出一部分元素进行排列。

比如从数字1、2、3中选择两个数字进行排列，有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)和(3,2)共6种排列方式。

组合是指从若干不同元素中无顺序地选择出一部分元素进行组合。

比如从数字1、2、3中选择两个数字进行组合，有(1,2)、(1,3)和(2,3)共3种组合方式。

二、排列与组合的计算公式1. 排列的计算公式排列的计算公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

2. 组合的计算公式组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。

三、排列与组合的性质和应用1. 唯一性在排列和组合中，每个元素只能被选择一次，保证了每种排列和组合的唯一性。

这个性质在实际问题中很重要，可以避免重复计算或重复选择。

2. 应用于实际问题排列组合在实际问题中有广泛的应用。

比如在概率中，排列与组合可以求解事件发生的可能性；在密码学中，排列与组合可以用于计算密码的强度；在组织活动中，排列与组合可以用于计算可能的活动安排等。

四、高阶排列组合问题除了基本的排列组合问题之外，高三数学中还会涉及到一些高阶的排列组合问题。

下面将介绍一些常见的高阶排列组合问题。

1. 重复元素的排列组合当有重复的元素存在时，排列与组合的计算公式需要进行相应的调整。

比如从数字1、1、2、3中选择两个数字进行排列，存在重复元素1，这时排列的总数为4!/2! = 12种。

组合图形的知识点总结一、基本图形在讨论组合图形之前，我们需要先了解一些基本的几何图形，包括：正方形、长方形、圆形、三角形等。

1. 正方形：四边相等、四角相等的四边形。

2. 长方形：有两对相等的对边，并且四个角都是直角的四边形。

3. 圆形：平面上全体离中心的距离都相等的点的集合。

4. 三角形：有三条边和三个角的多边形。

这些基本图形是组合图形的组成部分，我们可以通过组合这些基本图形来构造复杂的图形。

二、组合图形的概念组合图形是由基本图形通过一定的方式组合而成的新图形。

在组合图形中，每个基本图形都是组成组合图形的一个部分。

组合图形可以通过平移、旋转、翻转等操作来组合，从而形成新的图形。

例如，我们可以通过两个相同的长方形组合而成一个正方形；或者通过一个长方形和一个三角形组合而成一个复合图形。

这些组合图形可以进一步应用到解决各种几何问题中。

三、组合图形的性质组合图形具有一些特殊的性质，这些性质帮助我们更好地理解和应用组合图形。

1. 组合图形的周长：组合图形的周长等于所有基本图形的周长之和。

例如，一个由两个相同的长方形组合而成的正方形，其周长等于两个长方形的周长之和。

2. 组合图形的面积：组合图形的面积等于所有基本图形的面积之和。

例如，一个由一个长方形和一个三角形组合而成的复合图形，其面积等于长方形的面积加上三角形的面积。

3. 组合图形的对称性：组合图形通常具有一定的对称性，可以通过对称性来简化分析和计算。

例如，一个由两个相同的基本图形组合而成的组合图形，通常具有一定的对称性。

四、组合图形的应用组合图形广泛应用于解决各种几何问题和实际问题中。

下面我们来看几个实际问题的例子。

例1：一个篮球场的形状是一个长方形，上面有一个半圆形的篮球场地，求篮球场地的面积。

解：篮球场地的形状可以分解成一个长方形和一个半圆形的组合图形。

首先计算长方形的面积，然后计算半圆形的面积，最后将两者相加即可得到篮球场地的总面积。

例2：一个房间的地板是一个正方形，中间有一个圆形地毯，求地毯的面积。

组合c的性质
组合C是一种新型的组合，它由三种不同的元素组成：硅、铝和锰。

它的特点是，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境。

组合C的组成元素有硅、铝和锰，它们的特性是：硅具有良好的耐热性和耐腐蚀性，可以抵抗高温和酸碱环境；铝具有良好的耐热性和耐腐蚀性，可以抵抗高温和腐蚀性环境；锰
具有良好的耐热性和耐磨性，可以抵抗高温和磨损环境。

组合C的优点是，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境，因此可以用于制造各种耐腐蚀、耐热、耐磨的零件和装置。

例如，它可以用于制
造汽车发动机的燃烧室、排气管、排气系统等，也可以用于制造火箭发动机的燃烧室、排
气管、排气系统等。

组合C的缺点是，它的成本比其他组合要高，而且它的加工性能也不是很好，因此在加工过程中可能会出现一些问题。

总之，组合C是一种新型的组合，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境，因此可以用于制造各种耐腐蚀、耐热、耐磨的零件和装置。

但是，它的成本比其他组合要高，而且它的加工性能也不是很好，因此在加工过程中可能会出现
一些问题。

组合数公式大全组合数是数学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中选取r个元素的组合的数量。

在组合数的计算中，有多种公式和方法可供选择。

本文将介绍一些常用的组合数公式，帮助读者理解和计算组合数。

1. 乘法公式：组合数的一个基本性质是乘法公式。

当n和r为非负整数时，组合数C(n, r)可以通过以下公式计算：C(n, r) = n! / ((n-r)! * r!)其中，n!表示n的阶乘。

2. 递推公式：递推公式是一种常见的计算组合数的方法，通过逐步递推得到结果。

C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)如果r为0或r等于n，则C(n, r)为1。

3. Pascal三角形：Pascal三角形是一种展示组合数的图形表示方法，利用递推公式来计算组合数。

Pascal三角形的第n行第r个数表示C(n, r)。

例如，Pascal三角形的第4行为：1 3 3 1，表示C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1。

4. 二项式定理：二项式定理是组合数的一个重要公式，将一个二项式展开为一系列项的和。

(x + y)^n = C(n, 0) * x^n + C(n, 1) * x^(n-1) * y + ... + C(n, n-1) * x * y^(n-1) + C(n, n) * y^n5. 组合数的性质：- C(n, r) = C(n, n-r)，即从n个元素中选择r个等于从n个元素中选择n-r个。

- C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)，符合递推公式的性质。

- 对于任意正整数n，有C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n，表示从n个元素中选择0个到n个元素的所有组合数之和等于2的n次方。

6. Lucas定理：Lucas定理是组合数的一个重要定理，用于计算模p的组合数。

对于非负整数n和p，设n = nk * pk + ... + n1 * p + n0，其中0 <= ni < p，0 <= i <= k。

组合公式性质
组合公式性质是指使用组合公式来分析和计算某种系统或情形的
性质。

它是数学计算中一个非常重要的工具，应用在各个领域：物理、药学、生物学、经济学等。

组合公式可以有效解决在无限系统中的变
化问题，甚至在连续的情况下处理抽象性质的问题。

组合公式可以用来求解复杂的数学问题，它们可以把一系列立即
可解的子问题合并起来，可以产生更简单、更快速的结果。

例如当研
究一个大规模的组合时，可以使用组合公式来计算它们之间的层级关系，或者可以用组合公式来计算超大的数的因式分解结果。

组合公式性质还可以极大地简化解决不断变化的系统的计算工作。

例如，组合公式可以用来计算多项式的值，可以用来求解复杂函数的
极值问题，可以用来计算多维曲面的曲率、抛物线的焦点位置，也可
以用来求解难以解决的概率问题等。

此外，组合公式性质还可以应用于分析复杂的系统的行为，以得
出可靠的结论，从而帮助我们深入地理解系统的运作机制。

例如，在
研究复杂的初等函数系统时，可以使用组合公式性质来推断函数的定
性性质，比如说它是否可以达到最小值或最大值，又或者它是否是一
个周期函数等等。

总之，组合公式性质可以帮助我们更有效地解决许多复杂的数学
问题，并且在不断变化的现实环境中，可以帮助我们更准确地分析复
杂的系统的行为，推断出更可靠的结论。

组合与组合数公式1．组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质2．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C m n组合数公式乘积式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！阶乘式C m n＝n！m！（n－m）！性质C m n＝C n－mn，C mn＋1＝Cmn＋Cm－1n备注①n，m∈N*且m≤n；②规定：C0n＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C24个积．( )(3)C35＝5×4×3＝60.( )(4)C2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√若A3n＝8C2n，则n的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A计算：(1)C37＝________；(2)C1820＝________．答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －mC mn －1＝nn －m ·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．2．若C n 12＝C 2n －312，则n 等于( )A ．3B ．5C ． 3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150. (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.[A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种D ．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 2．方程C x28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9D ．5解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种D ．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( ) A ．C 9799 B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100解析：选B.由组合数的性质知，C 9798＋2C 9698＋C 9598 ＝(C 9798＋C 9698)＋(C 9698＋C 9598) ＝C 9799＋C 9699＝C 97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人D ．4人解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，C mn C m ＋1n ＝45， 由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x .解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， 所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 能力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m10(m ∈N *)的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8，所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010. 当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910， 故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种D ．65种解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。

数学的排列组合排列组合是现代数学中的一个重要分支，它是计算和分析事物数量关系的一种数学方法。

在生活和工作中，排列组合广泛应用于数据分析、桥牌、科学研究等领域。

下面将系统地介绍一些排列组合的概念和性质。

一、排列排列是对一个集合中所有元素的一种有序的排列方式。

例如，排列“ABC”和排列“ACB”是不同的排列。

排列的总数可以用阶乘来表示。

即n个不同元素的排列数为n!。

二、组合组合是在一个集合中，选取一些元素组成一个子集的方式。

不同于排列，组合的顺序是无关紧要的。

例如，从集合{A,B,C}中选取两个元素的组合有{A,B}、{A,C}和{B,C}。

组合的总数可以用二项式系数表示。

即从n个不同元素中选取k个元素的组合数为C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)。

三、二项式定理二项式定理是代数中的一个重要公式，它描述了多项式的幂和二项式系数之间的关系。

对于任何实数a和b以及非负整数n，我们有(a+b)^n = Σ(i=0到n)C(n,i)a^(n-i)b^i。

其中，C(n,i)是从n个元素中选择i个元素的组合数。

四、握手定理握手定理是图论中的一个简单而常用的定理。

在一个会议中，每个人都会和其他人握手，一共握手了k次。

则k的数量等于节点数n-1的和，即k = (n-1)+(n-2)+...+1=n(n-1)/2。

五、鸽巢原理鸽巢原理也称为抽屉原理，它是数学中的一种基本原理。

在一些情况下，如果把n个物品放入m个箱子中，且n>m，则至少有一个箱子里必然含有两个或两个以上的物品。

六、斯特林数斯特林数是一种组合数，它们用于计算把n个不同的物体划分成m个不同集合的方案数。

第一类斯特林数计算的是n个不同物品划分为m个环的方案数，第二类斯特林数计算的是n个不同物品划分为m个非空集合的方案数。

以上是排列组合的一些基本概念和性质，它们在数学中有着不可替代的作用。

无论是从理论上还是实践上，排列组合都为我们开辟了广阔的研究领域和应用前景。