全等三角形 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 专题检测题 含答案

全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、△ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是等边三角形.求证：△ A3c是等边三角形.【例2】、如图，已知BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。

求证：ZA+ZC=180°.线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。

1、倍长中线法【例.3］如图，己知在△ABC中，ZC = 90°, ZB = 30°, A。

平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90°A AC ± CDVCD=CEAD=AEVZB=30° ZC=90°ZBAC=60°YAD 平分NBACJ ZBAD=30°A DB=DA ZADE=60°VDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4B D笫3题•/ ZADE=60° AD=AEA △ ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。

是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。

求证：AC = 2AEo 证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.△ABE 也AFDE (SAS) A AB=FD ZABE=ZFDE VAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBAD ZADB = ZBAD，ZADC=ZABD+ZBDA VZABE=ZFDE・・・NADONADB+NFDE即ZADC= ZADF ffiAADF 和AADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC・•・△ ADF也ADC(SAS) AAF=ACAC=2AE【变式练习】、如图，AABC中，BD二DOAC, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法, 倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。

初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题数学专题——三角形中的常用辅助线课程解读一、学习目标：归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点：1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。

2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。

三、考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。

判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。

典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：ΔABC 是等腰三角形。

思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。

解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

DCB A全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

专题05 全等三角形中的常见辅助线【举一反三】【人教版】【考点1 角分线上点向角两边作垂线构全等】【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；【例1】如图，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°．【变式1-1】（2019秋•汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎样的数量关系是．（2）请你证明（1）得出的结论．【变式1-2】（2019•北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【变式1-3】（2019秋•东区校级月考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【考点2 截取法构全等】【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；【例2】（2019秋•黄浦区校级期中）已知：在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC．【变式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【变式2-2】（2019秋•邵阳期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB＝AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取AE＝AC，连接DE，得到△ADE≌△ADC，从而易证AB＝AC+CD（1）请你根据以上解思路写出证明过程；（2）如图②，若AD为△ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D＝25°，其他条件不变，求∠B的度数．【变式2-3】（2019•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【考点3 延长垂线段构全等】【方法点拨】题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；【例3】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【变式3-2】（2019秋•通州区期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD＝2CE．【变式3-3】（2019•成都校级期中）如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：（1）ED∥BC；（2）ED＝（AB+AC+BC）．【考点4 倍长中线法构全等】【方法点拨】遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.【例4】（2019秋•津南区校级期中）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【变式4-1】（2019秋•闵行区期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E，D是BC边上点，且DE＝CE，点F在AE上，联结DF，满足DF＝AC，求证：DF∥AB．【变式4-2】（2019春•富阳市校级期中）如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．【变式4-3】（2019秋•启东市校级月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【考点5 作平行线构全等】【方法点拨】有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．【例5】若两个三角形的一边及其对角对应相等，并有一对角互补（不是直角），则这两个三角形为友好三角形．如图1，点D在AB边上，CD＝CB，则△ABC和△ACD就是友好三角形．（1）两个友好三角形全等．（从下面选择一个正确的填入）A．一定B．不一定C．一定不（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，连结DE交BC于其中BD≠BF，若△BDF和△CEF是友好三角形，求证：DF＝EF．（3）如图3，CE是△ABC的中线，点D在AC上，BD与CE交于点F，CF＝AE，DF＝DC，图中与△ACE 成友好三角形的是．【变式5-1】（2019秋•建湖县期末）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．【变式5-2】（2019春•河口区校级期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC 交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．【变式5-3】△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP＝BQ+AQ．（有多种辅助线作法）【考点6 旋转法构全等】【方法点拨】对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

全等三角形辅助线举例试题与解析答案一．选择题（共1小题）1．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（）A．5 B．6C．7D．8考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°，∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠DBA=∠DCA=90°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在△BDF和△CND中，∵，∴△BDF≌△CND（SAS），∴∠BDF=∠CDN，DF=DN，∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠BDM+∠BDF=60°，在△DMN和△DMF中，∵，∴△DMN≌△DMF（SAS）∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．二．填空题（共1小题）2．△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是2＜AD＜5．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．菁优网版权所有分析：如图，延长AD至E，使DE=AD，就可以得出△ADB≌△EDC，就可以得出CE=AB，在△ACE中，由三角形的三边关系就可以得出结论．解答：解：如图，延长AD至E，使DE=AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB．∵AC=3，∴EB=3．∴7﹣3＜AE∠7+3，∴4＜2AD＜10，∴2＜AD＜5．故答案为：2＜AD＜5．点评：本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系的运用，解答时运用三角形全等将线段转化在同一三角形中是关键．三．解答题（共13小题）3．以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是AM⊥DE，线段AM与DE的数量关系是DE=2AM；（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延长MG交DE于H，因为∠BAG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°这样就证明了AM⊥ED；（2）延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF，证出△FAB≌△EAD，利用全等三角形的性质得到BF=DE，∠F=∠AEN，从而证出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB⊥DE，根据AM∥FB，可得到AM=FB．解答：（1）ED=2AM，AM⊥ED；证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H．∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°又∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠ABG=∠DAE．再证：△DAE≌△ABG∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．延长MA交DE于H，∵∠BAG+∠DAH=90°，∴∠HDA+∠DAH=90°．∴AM⊥ED．（2）结论仍然成立．证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．∵DA⊥BA，EA⊥AF，∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．∵在△FAB和△EAD中，∴△FAB≌△EAD（SAS）∴BF=DE，∠F=∠AEN，∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．∴FB⊥DE．又∵CA=AF，CM=MB．∴AM∥FB，且AM=FB，∴AM⊥DE，AM=DE．点评：本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件．此题综合性较强，要注意观察图象的特点．4．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．解答：解：过D作DE⊥AB于E，∵AD=BD DE⊥AB∴AE=AB，∠DEA=90°，∵AC=AB∴AE=AC∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴∠ACD=∠AED，∴∠ACD=90°，∴AC⊥DC．点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．5．如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．考点：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：先过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，因为EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC．解答：解：过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，∴AF=EF=FB，又∵EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=，∴AF+FB=2EF，∴AB=AD+BC．点评：主要考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的判定和梯形中位线定理，解题的关键是要灵活运用已知条件求出EF=．6．如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC 的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．由已知条件不难算出：∠1=∠2=30°，∠3=∠4=40°=∠C．于是QB=QC．又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，故∠D=40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，等量代换即可得证．解答：证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C．∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，AP=AP，∠1=∠2，∠D=∠C=40°∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．点评：本题实际是以角平分线AP为对称轴将△APC翻折成△APD．利用对称变换解题常常选择角平分线，某一线段的垂直平分线作为对称轴．作辅助线构造全等三角形是关键．7．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得：∠A+∠C=180°．解答：解：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．点评：此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上的一个动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．菁优网版权所有专题：动点型．分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题．解答：解：有BC=AD+AE．连接AC，过E作EF∥BC交AC于F点．∵∠B=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∵EF∥BC，∴△AEF为等边三角形．即AE=EF，∠AEF=∠AFE=60°．所以∠CFE=120°．（3分）又∵AD∥BC，∠B=60°故∠BAD=120°．又∵∠DEC=60°，∠AEF=60°．∴∠AED=∠FEC．（1分）在△ADE与△FCE中，∴△ADE≌△FCE．∴AD=FC．（1分）则BC=AD+AE．（1分）点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形解决问题．9．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB+AC＞AD+AE．考点：三角形三边关系．菁优网版权所有专题：证明题．分析：先连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE．可知四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，延长AD至H，交BG于H．运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可进行证明．解答：证明：连接AF并延长至G，使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB，GC，GD，GE，∵BD=CE，∴DF=EF，∴四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，∴BG=AC，DG=AE，延长AD至H，交BG于H，∵AB+BH＞AD+DH，DH+HG＞DG，∴AB+BH+DH+HG＞AD+DH+DG，∴AB+BG＞AD+DG，即AB+AC＞AD+AE．点评：本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键．本题借助辅助线DH起枢纽作用．10．已知：如图△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点F．求证：（1）∠BFE=60°；（2）FE=FD．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）证明∠EBF=∠CBF=α，∠DCF=∠BCF=β，求出α+β=60°，证明∠BFE=α+β=60°问题即可解决．（2）证明∠A+∠EFD=180°，得到A、E、F、D四点共圆；证明∠EAF=∠DAF，故FE=FD．解答：证明：（1）∵BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠EBF=∠CBF=α，∠DCF=∠BCF=β；又∵∠A=60°，∴2α+2β=180°﹣60°=120°，∴α+β=60°，∴∠BFE=α+β=60°．（2）如图，连接AF；∵∠BFE=60°，∴∠EFD=120°，∴∠A+∠EFD=180°，∴A、E、F、D四点共圆，设为⊙O；由题意知在⊙O中，∠EAF=∠DAF，∴FE=FD（相等的圆周角所对的弦相等）．点评：该题主要考查了三角形角平分线的性质、三角形外角的性质、四点共圆的判定及其应用等几何知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=12，AC=8，求AE的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有分析：（1）连接DB、DC，证明Rt△BDE≌Rt△CFD即可得出结论；（2）由（1）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB﹣AE，代入可求得结果．解答：（1）证明：连接DB、DC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵DG⊥BC且平分BC于点G，∴DB=DC，在Rt△BDE和Rt△CFD中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE=CF；（2）解：由（1）知BE=CF，且在△ADE和△ADF中∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB﹣AE，∴AE=AC+AB﹣AE，∴2AE=AC+AB=8+12=20，∴AE=10．点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．12．如图，点E为正方形ABCD的边AB上一点，点F为边BC上一点，EF=AE+CF，试求∠EDF的度数．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由四边形ABCD为正方形，可得DA=DC，∠A=∠DCB=90°，然后把△DAE绕点D顺时针旋转90°得到△DCM，易证得△DFM≌△DFE（SSS），继而求得答案．解答：解：四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠A=∠DCB=90°，∴把△DAE绕点D顺时针旋转90°得到△DCM，如图，∴∠A=∠DCM=90°，DE=DM，∠EDM=90°，AE=CM，∴点M在BC的延长线上，∴MF=CF+CM，∵EF=AE+CF，∴MF=EF，在△DFM和△DFE中，∴△DFM≌△DFE（SSS），∴∠MDF=∠EDF，∴∠EDF=∠EDM=45°．点评：此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM=DN；（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：（1）连接AD，可得∠ADM=∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM=DN；（2）连接AD，可得∠ADM=∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM=DN．解答：解：（1）连接AD，∵D为BC中点，∴AD=BD，∠BAD=∠C，∵∠ADM+∠ADN=90°，∠ADN+∠CDN=90°，∴∠ADM=∠CDN，在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM=DN．（2）连接AD，∵D为BC中点，∴AD=BD，∠BAD=∠C，∵∠ADM+∠MDC=90°，∠MDC+∠CDN=90°，∴∠ADM=∠CDN，∵∠MAD=MAC+DAC=135°，∠NCD=180°﹣∠ACD=135°在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴DM=DN．点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMD≌△CND是解题的关键．14．（2007•牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．考点：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题．分析：根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF．同理图2可证明是成立的，图3不成立．解答：解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=BE，CF=BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在△BAE和△BCK中，则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．点评：本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用．15．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN；此时=；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN，此时；（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM=MN．解答：解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时．（2分）．理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BDC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，∵DM=DN，BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN；∴AM=AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB=AM+BM，∴AM：AB=2：3，∴=；（2）猜想：结论仍然成立．（3分）．证明：在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．（4分）∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∴=；（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．（4分）可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，（5分）可证∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，（7分）．∴NC﹣BM=MN．（8分）．点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．。

初中数学证明三角形全等添加辅助线的6道精选经典考题！第1题，连接AC和AD，构造两个全等三角形，对应边相等得到一个等
腰三角形。

根据等腰三角形的三线合一的性质，证明出结论。

第2题，
等腰直角三角形，斜边上的中点，一般连接斜边的中线，得到三条边相等，得几个45°角相等。

这是这一类题型的辅助线添加的方法。

第3题，这个辅助线的作法和倍长法有点类似，但若只是倍长，就找不到角相等。

那么做平行线，就有内错角相等，再根据题意的其他条件，得出两个三角形全等。

第4题，要求证明BD平分∠ABC，第一想到的是角平分线的性质的逆定理。

过点D做角两边的垂线，构造两个三角形全等，得到点到角两边的距离相等。

第5题，这类证明一条线段等于几条线段之和的题型，就是想办法添加辅助线，进行相等的线段进行代换，把几条线段放到一条线段上。

那么线段相等，一般就是需要构造三角形全等。

第6题，就是我们最常见的倍长中线法，构造三角形全等。

这个倍长中线的辅助线添加方法，在很多的题型中，都用得到。

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全基础模型:△ABC 中, AD 是BC 边中线思路1：延长AD 到E，使DE=AD，连接BE思路2：间接倍长,延长MD 到N，使DN=MD，连接CN思路3, 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E1．如图，在△AB C 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（）A．1＜AB＜29B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜192．如图，△AB C 中，AB=AC，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE．3．如图，在△AB C 中，AD 为中线，求证：AB+AC＞2AD．4．小明遇到这样一个问题，如图1，△AB C 中，AB=7，AC=5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE，构造△B ED≌△C AD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明△B ED≌△C AD用到的判定定理是：（用字母表示）（2）AD的取值范围是小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD，BC 边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF 的长．5．已知：在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于F，求证：AF=EF．6．已知：如图，△AB C（AB≠AC）中，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE 平分∠BA C．7-10,换汤不换药(多题一解)7．如图，D 是△AB C 的BC 边上一点且CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．求证：∠C=∠BAE．8．如图，已知D 是△AB C 的边BC 上的一点，CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．（1）若∠B=60°，求∠C 的值；（2）求证：AD 是∠E A C 的平分线．9．如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠B D A，AE是△AB D 的中线，求证：AC=2AE．10．已知，如图，AB=AC=BE，CD 为△AB C 中AB 边上的中线，求证：CE=2CD．11．已知：如图，△AB C 中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT 平分∠BA C 交CM 于D，交BC 于T，过D 作DE∥AB交BC 于E，求证：CT=BE．12．如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O，且PM∥NQ，可证△PM O≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形ABCD 中，AB∥DC，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC 的延长线相交于点F．试探究线段AB 与AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论；(图3 是原题的第2 问)13．如图，在△AB C 中，AD 交BC 于点D，点E 是BC 的中点，EF∥AD交CA 的延长线于点F，交EF 与于点G．若BG=CF，求证：AD 为△AB C 的角平分线．14．如图，已知在△AB C 中，∠C AE=∠B，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE．（1）求证：AC=BD；（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x 的取值范围．15．已知在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF=2A D．1.解：如图，延长AD 至E，使DE=AD，∵AD 是△AB C 的中线，∴B D=CD，在△AB D 和△ECD 中，，∴△AB D≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，2．证明：如图，过点D 作DG∥AE，交BC 于点G；3．证明：4．解：（1）如图2 中，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE．在△B ED 和△C AD中，，∴△B ED≌△C AD（SAS）．（2）∵△B ED≌△C AD，∴B E=A C=5，∵AB=7，∴2＜AE＜12，∴2＜2A D＜12，∴1＜AD＜6．解决问题：如图3 中，解：延长GE 交CB 的延长线于M．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥CM，∴∠A GE=∠M，在△AEG和△B EM 中，，∴△AEG≌△B EM，∴GE=EM，AG=BM=2，∵EF⊥MG，∴FG=FM，∵B F=4，∴M F=B F+BM=2+4=6，∴GF=F M=6．5．证明：如图，延长AD 到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC=D B，在△AD C 和△GD B中，∴△AD C≌△GD B（SAS），∴∠C AD=∠G，BG=A C又∵B E=A C，∴B E=BG，∴∠B ED=∠G，∵∠B ED=∠AEF，∴∠AEF=∠C AD，即：∠AEF=∠F AE，∴A F=EF．6．证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF 和△CE G中，∵，∴△DEF≌△CE G．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=A C，∴GC=A C．∴∠G=∠C AE．∴∠BA E=∠C AE．即AE 平分∠BA C．7．证明：延长AE 到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△AB D 的中线∴B E=ED，在△AB E 与△FDE 中∵，∴△AB E≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，∵∠ADB 是△AD C 的外角，∴∠D A C+∠A CD=∠ADB=∠BAD，∴∠BAE+∠E AD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠E A D=∠D A C+∠A CD，∴∠AD F=∠A DC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△AD F 与△AD C 中∵，∴△AD F≌△AD C（SAS）∴∠C=∠AFD=∠BAE．8．（1）解：∵∠B=60°，∠B D A=∠BAD，∴∠BAD=∠B D A=60°，∴AB=AD，∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠D A C=∠C，∴∠B D A=∠D A C+∠C=2∠C，∵∠BAD=60°，∴∠C=30°；（2）证明：延长AE 到M，使EM=AE，连接DM，在△AB E 和△MDE 中，，∴△AB E≌△MDE，∴∠B=∠MDE，AB=D M，∵∠AD C=∠B+∠BAD=∠MDE+∠B D A=∠A D M，在△MAD与△C AD，，∴△MAD≌△C AD，∴∠MAD=∠C A D，∴AD 是∠E A C 的平分线．9．证明：延长AE 至F，使AE=EF，连接BF，在△AD E 与△B FE 中，，∴△AED≌△FEB，∴B F=D A，∠FBE=∠AD E，∵∠AB F=∠AB D+∠FBE，∴∠AB F=∠AB D+∠ADB=∠AB D+∠BAD=∠A DC，在△AB F 与△AD C 中，，∴△AB F≌△CD A，∴A C=AF，∵AF=2A E，∴A C=2AE．10．证明：取AC 的中点F，连接BF；∵B为AE 的中点，∴BF 为△AE C 的中位线，∴EC=2B F；在△AB F 与△A CD 中，，∴△AB F≌△A CD（SAS），∴CD=BF，∴CE=2CD．11．证明：过T 作TF⊥AB 于F，∵AT 平分∠BA C，∠A C B=90°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠A C B=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠D AM=90°，∠A TC+∠C A T=90°，∵AT 平分∠BA C，∴∠D AM=∠C A T，∴∠ADM=∠A TC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，在△CDE 和△TF B中，，∴△CDE≌△TF B（AAS），∴CE=TB，∴CE﹣TE=T B﹣TE，即CT=BE．12．解：（1）AB=AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G 点，根据图①得△AB E≌△GCE，∴AB=C G，又AB∥DC，∴∠BAE=∠G而∠BAE=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AF=GF，∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；13．解：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E 是BC 中点，∴B E=CE，∴∠B E G=∠CEH，在△B E G和△CEH 中，，∴△B E G≌△CEH（SAS），∴∠B GE=∠H，∴∠BG E=∠F GA=∠H，∴B G=CH，∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠F GA，∵EF∥AD，∴∠F=∠C A D，∠BAD=∠F GA，∴∠C AD=∠BAD，∴AD 平分∠BA C．14．（1）证明：延长AE 到F，使EF=EA，连接DF，∵点E 是CD 的中点，∴EC=ED，在△DEF 与△CE A中，，∴△DEF≌△CE A，∴A C=FD，∴∠AFD=∠C AE，∵∠C AE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD 平分∠BAE，∴∠BAD=∠F AD，在△AB D 与△AFD 中，，∴△AB D≌△AFD，∴B D=FD，∴A C=BD；（2）解：由（1）证得△AB D≌△AFD，△DEF≌△CE A，∴AB=AF，∵AE=x，∴AF=2A E=2x，∴AB=2x，∵B D=3，AD=5，∴在△AB D 中，，解得：1＜x＜4，∴x 的取值范围是1＜x＜4．15 证明：延长AD 至点G，使得AD=DG，连接BG，CG，∵AD=D G，B D=CD，∴四边形ABGC 是平行四边形，∴A C=AF=BG，AB=AE=C G，∠BA C+∠ABG=180°，∵∠EAF+∠BA C=180°，∴∠EAF=∠ABG，在△EAF 和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF=AG，∵AG=2AD，∴EF=2A D．。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一” 的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” ．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．A一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是_________.B DC 2：如图，△ ABC中， E、F 分别在 AB、 AC上， DE⊥DF，D 是中点，试比较BE+CF与 EF 的大A 小.EFBD CAB D E C3：如图，△ ABC中，BD=DC=AC，E 是 DC的中点，求证：AD平分∠ BAE.中考应用1 、以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BAD CAE 90 ,连接 DE ，M、N 分别是 BC、DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系．（ 1 ）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段 AM 与 DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90) 后，如图②所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．A二、截长补短1. 如图，ABC中， AB=2AC，AD平分BAC ，且AD=BD，求证：CD⊥AC CBDA D2：如图， AD∥ BC， EA,EB 分别平分∠ CAB,∠ DBA， CD过点 E，求证 ;AB＝ AD+BCEBC 3：如图，已知在VABC内，BAC0 C 40 0，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，60 ，ABQ分别是BAC ，ABC 的角平分线。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明DCBA全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

八年级上册数学第十二章 全等三角形 检测题 (8)一、单选题1．如图，AB CD ∥，CE 平分ACD ∠，交A 于点E ，20AEC ∠=，点F 在CA 延长线上，则BAF ∠的度数为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50 2．如图，在Rt△ACB 中，∠C＝90°，BE 平分∠ABC，ED 垂直平分AB 于点D ，若AC ＝9，则AE ＝( )A ．6B ．5C ．4.5D ．33．如图,∠ABC=∠DCB=70°, ∠ABD=40°, AB=DC , 则∠BAC= （ ）A ．70°B ．80°C ．100°D ．90°4．直线AB 上有一点O ，射线OD 和射线OC 在AB 同侧，60AOD ∠=，30BOC ∠=，则AOD ∠与BOC ∠的平分线的夹角的度数是( )A ．75B ．90C ．135D ．以上都不对5．如图，已知点 B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF =，ACB DFE ∠=∠，要使 ABC DEF ≌，不可以添加的条件是（ ）A ．BE CF =B ．A D ∠=∠C ．B DEF ∠=∠D ．AB DE =6．在△ABC 中， ∠C=∠B ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC 中与这个角对应的角是 ( )A ．∠BB ．∠AC ．∠CD ．∠B 或∠C 7．如图，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，下列条件不能判断△ABE ≌△ACD 的是（ ）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．AD＝AE D．BD＝CE8．在△ABC与△DEF中，下列六个条件中：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）A．①②④B．①②③C．④⑥①D．②③⑥9．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于12MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．6010．如果两个图形全等，则这个图形必定是（）A．形状相同，但大小不同B．形状大小均相同C．大小相同，但形状不同D．形状大小均不相同11．如图，在等腰直角△ABC中，B＝90°，以点A为圆心任意长为半径画弧，与AB，AC分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心大于12MN长为半径画弧，两弧交于点P，且点P刚好落在边BC上，AB＝10cm，下列说法中：①AB＝AD；②AP平分∠BAC；③△PDC的周长是102cm；④AN＝ND；正确的是（）．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④12．画△ABC中AC上的高，下列四个画法中正确的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知∠α与∠β互余，且∠α＝40°，则∠β为_____.14．三角形其中两边的长是3和4，则第三边上的中线长x 的范围是__________．15．如图，在ABC ∆中，90C =∠，AD 平分BAC ∠，已知5AB =，2CD =，则ABD ∆的面积是____．16．如图，△ABC 是等边三角形，点D 为 AC 边上一点，以BD 为边作等边△BDE ， 连接CE ．若CD ＝1，CE ＝3，则BC ＝_____．17．如图:四边形ABDC 中,CD=BD,E 为AB 上一点,连接DE,且∠CDE=∠B ．若∠CAD=∠BAD=30°,AC=5,AB=3,则EB=______________。

《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

一、倍长中线（线段）造全等（一）例题讲解例1、（“希望杯”试题）已知，如图中，，，求中线AD 的取值范围。

ABC ∆5=AB 3=AC 分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。

解:延长AD 到E ，使，连接BE DA DE =又∵，CD BD =CDA BDE ∠=∠∴，()SAS CDA BDE ∆≅∆3==AC BE ∵ (三角形三边关系定理)BE AB AE BE AB +- 即822 AD ∴41 AD 经验总结：见中线，延长加倍。

例2、如图，中，E 、F 分别在AB 、AC 上，，D 是中点，试比较ABC ∆DF DE ⊥与EF 的大小。

D CB AEDFCBA全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折〞． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转〞． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折〞，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移〞或“翻转折叠〞；〔遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形〕 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线〔线段〕造全等1：，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，那么中线AD 的取值X 围是_________.2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比拟BE+CF 与EF 的大小.3：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A中考应用1、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，EDCBADCBAPQCBA90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．〔1〕如图①当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；〔2〕将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，〔1〕问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC3：如图，在ABC ，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

全等三角形中的辅助线的作法在《全等三角形》的解题中，在解决一些复杂的全等三角形问题中往往需要构造辅助线，本文将对添加辅助线的一些常用方法进行介绍，通常有连线构全等、截长补短法、倍长中线法、角平分线构全等等四种常见辅助线。

一、连线构全等例1：已知，如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：D C ∠=∠分析：此题是一道易错的全等三角形证明题，很多学生会错误地认为需要证明的是ADO ∆和BCO ∆，但条件明显是不能证明的，所以本题的正确解法是连结AB （或者CD ）构造ADB ∆和BCA ∆全等，再得到D C ∠=∠证明：连结AB在ADB ∆和BCA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===BA AB BD AC BC ADADB ∆∴≌BCA ∆ （SSS ）D C ∠=∠∴练习1：如图，CD AB =，DC BC =，求证：D B ∠=∠.练习2：如图，CD AB //，CD AB =，求证：BC AD =练习3：如图，AB=AC ，BD=CD ，M 、N 分别是BD 、CD 的中点，求证：ANC AMB ∠=∠二、截长补短法截长补短法：在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：已知在ABC ∆，B C ∠=∠2，21∠=∠，求证：CD AC AB +=分析：本题证明的是线段的和差问题，可考虑利用截长或补短法。

方法一（截长法）：如图1，在AB 上截取AE=AC ，连结BE ，易证ADE ∆≌ADC ∆，从而得DC DE =，AED C ∠=∠，AC AE =又因为B C ∠=∠2所以得B AED ∠=∠2，又因为BDE B AED ∠+∠=∠所以得BDE B ∠=∠可得DE BE =从而得CD AC AB +=方法二（补短法）：如图2，延长AC 到点E ，使得AE=AB ，易证ADE ∆≌ADB ∆，从而得AE AB =，E B ∠=∠又因为B ACB ∠=∠2所以得E ACB ∠=∠2，又因为E CDE ACB ∠+∠=∠所以得E CDE ∠=∠可得CE CD =从而得CD AC AB +=练习1：如图所示，已知BC AD //，AE 平分DAB ∠，BE 平分ABC ∠，线段CD 经过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：AB BC AD =+图1图2练习2：如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点，若AC 平分BAE ∠，︒=∠90ACE ，猜想线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系，并证明。