从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联

本科生毕业论文高等代数知识在初等数学中的应用摘要 (I)Abstract (I)第一章绪论 (1)第二章高等代数与初等数学的联系 (1)2.1知识方面的区别与联系 (2)2.2思想方法方面的区别与联系 (2)2.3观念方面的区别与联系 (4)第三章多项式理论在初等数学中的应用 (5)3.1去重因式分解多项式 (5)3.2 利用因数定理分解多项式 (5)3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式 (6)3.4多项式的一些应用 (6)第四章行列式在初等数学中的应用 (8)4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 (8)4.2应用行列式分解因式 (9)4.3应用行列式解决数列问题 (9)第五章线性方程组在初等数学中的应用 (12)5.1 在平面解析几何上的应用 (12)5.2在空间解析几何中的应用 (13)5.3在求解二元方程组上的应用 (14)第六章柯西不等式在初等数学中的应用 (15)6.1柯西不等式在解析几何中的应用 (15)6.2柯西不等式在解其它题方面的应用 (15)第七章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充．高等代数是初等数学的进化．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系．另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用．如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维．用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准．教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维．关键词：高等代数多项式行列式柯西不等式初等代数应用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra is the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can often get twice the result with find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one the other the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problemsolution, but a mastery of knowledge and the development of students' divergent and associative thinking. In view of the new century of see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of第一章绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙．在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然．通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展．这样学生学习高等代数的难度就会大大降低．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”．高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。

中学数学论文题目一、最新中学数学论文选题参考1、中学数学教育中情感目标的分类与实施2、中学数学教学中开展探究性学习的几点思考3、国家基础教育课程改革中信息技术与中学数学课程整合的若干思考4、中学数学课程与教学中的函数及其思想——数学教育热点问题系列访谈录之三5、改进中学生数学观的策略研究6、关于计算机辅助中学数学教学的问题及其解决7、关于中学数学教学模式的几点思考8、中、美两国中学生数学观的调查分析9、认识建构与中学数学课堂教学模式10、新中国中学数学教材建设51年11、中学数学探究课选材的四个视角12、论信息技术与中学数学课程整的意义和存在的问题13、信息技术与中学数学课程整合的本质探究:从内容到课程14、中学数学教师能力素质的调查与分析15、中学生数学解题表征的一次调查测试16、中学数学学困生题后反思的元认知技能培训17、中学生数学焦虑及相关因素的调查研究18、中学数学教师的教师知识来源的调查研究19、中学数学课堂教学评价表20、中国当代中学数学课程发展的历程及其启示二、中学数学论文题目大全1、探索数学教学规律提高教师专业水平——第十五届学术年会暨第九次全国中学数学教育优秀论文评比活动综述2、与中学青年教师谈谈数学教育理论对中学数学教学工作的帮助3、日本新编中学数学教材的特点评析4、中学生数学学习态度发展的研究5、中学数学课堂教学评价现状调查研究6、浅谈电脑辅助中学数学教学的误区7、中学数学困难生的元认知技能干预效应研究8、图形计算器与中学数学创新教育──几个值得思考的问题9、对中学数学探究性活动的研究10、中学生数学归纳推理的发展研究11、建模与中学数学教育12、重视数学思想方法的教学——"中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践"初中第六次课题会议成果综述13、谈谈数学的应用与中学数学教育14、构建中学数学创新教育教学模式体系15、中学数学思想方法及其教学研究16、浅谈中学数学教学导入新课的方法17、对“中学数学教材教法”课程改革的实践与探究18、中学生数学学习方式的调查分析19、中学数学学案教学的研究与展望20、20世纪中国中学数学课程的发展(1901-1949)三、热门中学数学专业论文题目推荐1、20世纪中国中学数学课程的发展(1950-2000)2、图形计算器在中学数学探究性学习活动中的应用3、中学数学教师的学科知识4、"中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践"第七次课题研讨会成果综述——追求数学课堂的本来面目5、提高中学数学教师课堂行为效能的研究6、中学数学教师知识结构的调查与分析7、中学生数学信念系统与数学学习兴趣关系的研究8、谈谈习题的配备与处理——介绍几本外国中学数学课本中的习题配备9、中学生数学学习自我决定及其与数学学习投入的关系10、中学数学思想方法教学应遵循的原则11、日本教科书《中学数学》中的“勾股定理”12、中学数学课堂探究水平现状调查及分析13、对提高中学数学教师数学修养的思考和尝试14、深入开展中学生数学知识应用活动15、关于中学数学教材编写的几点思考16、中学生数学学习态度刍议17、中学生数学学习选择能力与学习成绩相关性研究18、我国中学数学教材的建设与发展19、中学生数学探究能力结构模型的构建20、中学数学课堂教学环境的有效性研究四、关于中学数学毕业论文题目1、中学数学课改的十个论题2、中学生数学学科自我监控能力的发展3、淡化形式,注重实质——兼论《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》4、中学生数学学习元认知水平的调查分析5、中学生数学学习中的性别差异研究6、新课程理念下中学数学学习过程评价的探究7、大学与中学数学学习衔接问题的研究8、关于中学数学应用研究的几点思考9、“理解数学”是教好数学的前提——“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第五次课题会议成果综述10、中学数学教师专业内在结构的现状调查及分析11、研究性学习在中学数学教学中的体现与应用探析12、中学数学课程教材与信息技术整合的思考13、中学数学课堂师生话语权的量化研究——基于LPS项目课堂录像资料14、从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系15、关于中学生数学信念和数学学习行为调查16、中学数学多媒体教学的误区17、数学史融入中学数学教材的原则方式与问题18、数学史如何融入中学数学教材19、中学数学教学中融入数学史的行动研究20、中学数学教学中的向量(续2)五、比较好写的中学数学论文题目1、试论小学数学教学中学生数学思维能力的培养2、中学生数学问题提出能力的研究3、中学数学教科书中的开放题4、美国《中学数学教与学》教材的特点及其对中国数学教师教育的启示5、20世纪以来中国中学数学课程内容综合化的历程及其启示6、中学数学课堂探究水平的构建与实证研究7、贵阳地区信息技术在中学数学教学中应用的调查与思考8、图形计算器与中学数学创新教育——课题研究中几个值得思考的问题9、福建省中学数学三项教改实验评介10、中学数学教学中开展探究性学习的实践研究11、新课程标准下中学数学教学之特征12、数学文化在中学数学教学中的渗透13、中学生数学提问意识与能力现状分析及思考14、中学数学教学中开展说题活动的实践与认识15、中学数学中的向量方法16、对我国中学数学课程改革的几个问题的几点思考17、关于中学数学课程改革的探讨18、大、中学数学教学衔接问题的研究综述19、浅析中学数学教学的课堂引入方法20、沪港澳中学数学课堂教学之比较。

浅谈高等代数在中学数学中的活跃性探究高等代数是学习数学与研究数学的基础必备科目之一，它是初等代数的延伸。

其中，高等代数的一些思想、方法和理论观点都可以运用到中学数学中来解题；从知识方面和思想方面来讲，高等数学与中学数学的联系是紧密的，可以将高等代数中浅显的知识点直接运用到中学数学中，起到简化运算的目的，例如多项式的理论应用与矩阵等，本文笔者将从几道典例来浅析高等代数与中学数学的實质联系。

运用高等代数的视角去剖析高等数学与中学数学之间的联系是很有必要的策略，进而能使学生以中学式思维方式向高等数学思维方式转变。

作为教师，应该熟知中学教学的所有内容，能利用高等数学的一些观点灌输给学生一些思想和方法，进而能促进知识的深化。

1 高等代数与中学数学在知识方面的联系1.1 行列式的应用虽然矩阵与变换为人教版新课标高中数学课本选修模块系列中，但是，对于一些典型的问题，在许多考试中有着命题基础，例如求函数的解析式，因式分解等等，笔者就给出一道例题，已知函数，满足，，，，求.分析由已知条件得把上式看成关于，，，的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式，由行列式与线性方程组的理论，可得，，，，即.1.2 柯西不等式的应用在欧氏空间里，取，时，就有柯西不等式：对任意实数组和，有.当且仅当时，上式的等号成立，特别的，时，有.例已知为内一点，，，，点到的三边，，的距离分别为，，.求证：.证明由题意知，要证明结论成立，只需证，由柯西不等式得，上式显然成立，所以.1.3 二次型的应用定理设元二次型，则在条件下的大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值.例设，且满足，求的最大值与最小值.分析：二次型的矩阵，则，解得，，于是由以上定理可得，在下的最大值为，最小值.2 教学启示现阶段中学教师很少在课堂教学上涉及到高等数学的知识和观点，这些教师在认知上存在一些误区，比如认为高等数学的知识用不到中学数学课堂教学中，而中学数学的程度抽象化是无法与高等代数相比拟的。

高等代数与代数学之间的关系
高等代数和代数学是数学中两个重要的分支，它们之间有着密切的联系和互相依存的关系。

高等代数是代数学的一个分支，它主要研究的是抽象代数结构，如群、环、域等，以及它们之间的关系和性质。

而代数学则更加广泛，它不仅包括高等代数，还包括线性代数、数论、代数几何等多个方面。

高等代数是代数学的一个重要组成部分，它是代数学的基础和核心。

高等代数的研究对象是抽象代数结构，这些结构是代数学中最基本的概念，也是其他分支的基础。

例如，线性代数中的向量空间就是一个基本的抽象代数结构，它可以用高等代数中的向量空间的概念来描述。

同样，数论中的整数环也是一个抽象代数结构，它可以用高等代数中的环的概念来描述。

高等代数的研究方法和技巧也为代数学的其他分支提供了重要的工具和思想。

例如，高等代数中的同态和同构的概念可以用来研究代数结构之间的关系和相似性，这对于代数几何和数论中的研究非常重要。

另外，高等代数中的范畴论和表示论等概念也为代数学的其他分支提供了新的研究方法和思路。

代数学的其他分支也为高等代数的研究提供了重要的应用和启示。

例如，代数几何中的代数簇和代数曲线等概念可以用高等代数中的理论来描述和研究。

另外，数论中的代数数和代数整数等概念也可
以用高等代数中的代数扩张和代数闭包等概念来描述和研究。

高等代数和代数学之间的关系是密不可分的。

高等代数是代数学的基础和核心，它为代数学的其他分支提供了重要的工具和思想。

而代数学的其他分支也为高等代数的研究提供了重要的应用和启示。

只有深入研究和理解高等代数和代数学之间的关系，才能更好地掌握代数学的核心和精髓。

浅析高等代数与中学数学的关联作者：方次军来源：《新校园·上旬刊》2013年第04期摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。

高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。

关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。

它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。

在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。

不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。

为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。

通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。

在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。

这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。

一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。

高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。

接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。

高师院校高等代数与中学数学知识教学的衔接问题作者：白秀琴来源：《神州·上旬刊》2020年第06期摘要：高等代数是师范院校数学与应用数学专业的一门重要的基础课程，也是中学数学的继续和提高。

在教学过程中利用中学数学知识启发引导学生探讨高等代数的相关内容，既有利于学生巩固中学数学知识，又有利于学生认识学习高等代数的重要性，同时为学生学习后继课程及今后从事中学数学教育教学工作奠定一定的基础。

关键词：高等代数;中学数学;教学高等代数在高师院校数学专业课程中占有重要地位，是现代数学的基础，在高等代数学习过程中，很多学生都反映很难，主要是因为高等代数非常的抽象，另一个重要的原因就是，高等代数和高中数学教学出现了脱节的问题。

如何处理好目前高等代数与高中数学两级教学脱节的问题，已经成为高师院校数学教育工作者必须解决的问题。

1.高等代数课程与高中数学脱节的主要体现1.1 课程在内容上的脱节在实行了新课标以后，高中数学教学在课程方面有了很大的变化，作为后续教学中的高等代数教材还是在使用以前的教材，这样在内容方面就会出现很大的变化，对高中教学中出现的变化没有及时进行更新，导致了教学中出现了严重脱节的问题。

在高中数学课程中，教师对于一些知识讲解的不详细，而大学教师在教学过程中认为学生在高中对这些知识点已经进行了学习，因此，在教学过程中只是进行简单的回顾，这样就导致了学生在学习过程中出现了知识结构断带的情况。

如中学新课标把复数的运算及性质这些知识点放在选修模块中，大部分中学老师仅仅讲解复数的概念，对于其运算和性质几乎不讲，这势必导致新课标下的大一新生在学习高等代数的多项式理论和欧氏空间理论时遇到困惑;1.2 课程在思想方法上的脱节高中数学教学中对静态的思想比较重视，对于动态的观念很少涉及。

在高中数学教学中，通常都是先进行定义的讲解，然后对例题进行分析，其思想是就事论事，在内容方面都是静态的理解。

高等代数这门课程在整体上却是动态的，但是，在具体内容方面却是静态的。

如何做好中学数学与大学数学的衔接工作摘要：从20世纪大、中学教育阶段的数学衔接教育问题的提出到现在，国内外的专家学者已经做出了深入的研究和分析，并且取得了许多优秀的成果。

中学数学老师应当从思想意识入手、从学习方法和思维方式入手做好中学数学与大学数学的衔接教育工作，能力为国家培养合格的能适应社会发展的人才。

关键词：中学数学大学数学衔接教育中图分类号：g632 文献标识码：a 文章编号：1673-9795（2013）05（c）-0211-0120世纪80年代就有专家提出了大、中学教育阶段的衔接问题，由于受当时各方面条件的制约没有做系统的研究。

但是大、中学各学科之间的联系与衔接的问题一直困扰着大家。

有一部分学校站在战略的高度，本着为社会培养合格人才的目标把教育科学研究与教育、教学改革结合起来，率先进行各学科大中学衔接改革试验。

衔接教育就是为了使学生更好更快的适应高一级的学习生活，老师在学习方法，思维策略等方面给予学生的指导工作。

1 国内外大、中学数学衔接教育现状大、中学数学衔接教育一直受到国际数学教育委员会的关注，在1997年在英国主办的关于“大学数学教与学的问题”的会上就讨论了中学到大学的过渡以及中学和大学之间的关系等问题。

1998年，在新加坡召开的关于“大学阶段的数学教学”国际研讨会上有对“中学向大学的过渡”进行了的主题研讨。

在国外，大、中学数学衔接教育引起了大家的重视，在国内也不例外。

张蕙兰老师在《大学数学教学与中学数学教学衔接问题研究》一文中提出“学生的学习应该从思想上进行转变，由被动接受变为主动求知；老师不应该事事管着学生，要放手让学生学会独立思考”。

侯维民老师又在《从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系》一文中将中学数学与大学数学从知识结构、思维方式等方面进行联系和分析，提出“高等数学是中学数学的继续和提高”。

2 大、中学数学衔接教育的应对措施如何做好大、中学数学衔接教育工作，降低学生学习的心理压力，让学生能尽快的适应大学的数学学习，成为数学教师的首要任务。

从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
首先，高等代数和中学数学都是数学的一部分，它们都基于数学的基
本概念和性质展开研究。

无论是高等代数还是中学数学，都涉及因式分解、运算规则、代数方程、几何图形等基本概念。

学习中学数学的时候，学生
们已经接触过代数方程的解法、数列的求和、几何图形的性质等知识，这
些知识都包含了高等代数的基础概念和性质。

其次，高等代数提供了更为抽象和一般化的数学方法，而中学数学则
更加注重具体问题的解决。

在高等代数中，通过引入向量空间、线性映射
等概念，可以将不同学科领域的问题抽象为一个个矩阵或向量的运算问题，从而用更通用的方法来解决。

而在中学数学中，更多地是通过具体的例子
和问题来引导学生学习，注重运用知识解决实际问题。

此外，高等代数的一些概念和方法在中学数学中也有所应用。

例如，
矩阵的乘法在高等代数中是一个重要的概念和运算方法，而在中学数学中，矩阵的乘法被应用于几何变换的研究中，如平移、旋转、缩放等。

同样，
高等代数中的行列式和特征值也有在中学数学中的应用，如解二元一次方
程组、矩阵的对角化等。

最后，学习高等代数可以加深对中学数学的理解和应用。

高等代数涉
及的概念和方法更加抽象和一般化，学习高等代数可以帮助学生更好地理
解和应用中学数学中的一些基本概念和性质。

通过学习高等代数，学生可
以更深入地了解中学数学中的代数、几何和概率等知识，从而提高数学素
养和解决实际问题的能力。

高等代数在中学数学中的一些应用高等代数是高中和大学数学教材中的一个重要部分，尤其是研究高等教育的学生，更应该了解高等代数的基础理论和一些常用的计算方法。

近年来，随着中学数学教育的不断更新，高等代数在中学数学中的应用越来越广泛，它已经成为中学数学教学的重要内容。

首先，高等代数在中学数学中的应用非常重要。

高等代数的主要课程内容包括多项式的计算、方程的求解以及曲线的研究。

由于这些课程内容都是有关数学的基础知识，所以学习者需要努力学习，并以正确的态度面对它们，以便更好地发挥其作用。

其次，高等代数在中学数学中的应用也包括抽象代数。

抽象代数是一门计算数学的分支，它涉及数论、群论、环论以及各种其他理论，对中学学生来说，学习这门课程可以让他们了解数学的抽象性，并开拓他们的思维方式。

此外，高等代数的一些基本概念也被应用到中学数学中。

首先是函数的概念，函数是一种关系，它可以把一个变量的取值和另一个变量的取值结合起来，它可以用来描述实际应用中遇到的一些数学模型，有助于学生更好地理解数学中的问题及其复杂性。

其次是极限概念，极限是指一个变量接近某个值时，该变量值的变化率趋近于零。

它可以帮助学生研究函数的行为趋势，因此可以研究函数的有效取值范围，从而推理出函数的解析解。

最后，高等代数在中学数学中的应用还包括高等数学的研究方法。

高等数学的研究方法包括专业的统计分析技术、立体几何的研究和多元函数分析等，可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。

同时，这些研究方法也可以把学生带到数学的前沿，让他们接触最新的数学理论和发展动态，这对促进学生数学思维能力的发展也是非常重要的。

综上所述，高等代数在中学数学教学中有着广泛而重要的应用，它可以不仅帮助学生更好地理解基础知识，还可以更深入地研究函数、极限和高等数学的研究方法，从而更好的运用数学概念，推动中学数学教学的发展。

高等代数在中学数学中的一些应用
高等代数是一门研究变量、函数和关系的数学，用于探索和解决复杂的问题，主要涉及分析、几何和代数的基本原理，是应用数学的有效工具之一。

高等代数在中学数学中有着广泛的应用。

高等代数在中学数学中最广泛的应用是分析函数。

函数是一种多变量表示内容，这种表示可以帮助学生更好地理解结构和语义，从而用来求解问题。

使用高等代数可以更好地应用函数。

例如，中学学生可以使用高等代数的技术来求函数的导数和定义域，以及了解函数的性质和行为。

此外，高等代数在中学数学中还有广泛的应用。

当学生学习几何时，可以使用高等代数的技术求解凸包和若干几何问题，进而推导几何变换。

在解非线性方程组问题时，学生也可以运用高等代数的技巧，有助于理解抽象性和复杂性道理。

另外，高等代数还可以让学生更好地理解统计和概率。

其中，概率理论是有多变量分布等复杂模型的数学建模，可以用线性代数和高等代数解决复杂问题。

此外，学生还可以学习多元分析中的多项式，从而帮助他们了解数据的方差和相关性等。

总之，高等代数是中学数学的重要组成部分，它的应用场景非常广泛，能够为学生解决许多问题。

当学生要求解复杂的函数、凸包或分析多变量分布时，都能使用高等代数的基本原理，有效的解决问题，辅助理解抽象性和复杂性的道理。

高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．2.1求代数式的取值范围初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．2.2解决某些二元不定方程例3利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？答:甲乙丙各购1件，共需105元．中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．3.1应用于因式分解从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．内容仅供参考。

高等代数课程与高中数学的教学衔接策略摘要：尽管高等代数课程和高中数学教学看似没有什么联系，其实，二者之间有着非常紧密的关联，所以当前我国许多大学数学教师在讲解高等代数课程时，也开始改变传统的教学方法，适当的引进高中有关数学知识，这对实现既定教学目标和激发学生学习热情都有着重要意义。

本文详细分析了高等代数课程与高中数学教学衔接的有效策略，以供大家参考。

关键词：高等代数课程；高中数学；教学衔接；策略近年来，我国越来越多的人重视基础教育体系变革，但是不同体系之间的教学衔接仍旧不受重视。

将高等代数课程和高中数学教学进行合理衔接，必定有利于加强学生的逻辑思维。

因此，作为大学数学教师，在高等代数课程教学中必须要融入高中数学教学内容，这样可以明显提高教学质量，也便于学生接受和学习。

一、准确把握课程在思想方式的衔接大学数学教师，尤其是大一年级的教师，在教学中必须要重视思想方法上大学数学和高中数学的衔接。

作为大学数学教师，在教学前应该熟练掌握学生在学习数学课程前形成的相关观念，而且将此当做衔接点[1]。

比如：对“行列式的定义”进行讲解时，可以预先对高中数学的消元法进行复习，利用消元法将二元线性方程组求解出来。

如果1122-1221≠0，利用消元法求解这个方程组的解是：这些能够写成：在这个前提下，将二阶行列式的定义引进，以讲解n阶行列式以及三阶行列式的基本定义。

在高中普遍应用的此教学思想方式在学习高等代数课程中是十分重要的。

并且在高等代数教学中长期贯穿将抽象转变成具体的思想方式。

比如：对“高等代数的线性空间以及二次型”等概念进行讲解时，由于这些概念比较抽象，可以将其变成具体的知识进行探讨，这样可以帮助学生掌握知识，以实现大学数学和高中数学在思想方式上的顺利衔接。

二、重视教学内容的衔接要想真正真正做到高等代数课程和高中数学教学内容之间的衔接，必须要充分理解高中数学课本和高中数学新课程标准，利用认真对比分析高等代数课本和高中数学课本，清楚认识到二者在内容方面的不同，还有彼此之间的连贯关系，实现教学中有的放矢，使学生可以科学建立全新的完整的数学认知结构。

高等代数拓展内容之十八从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系侯维民（天水师范学院数学系，甘肃天水，741001 ）摘要：本文以数学方法论为指导，发掘了高等代数与中学数学在数学知识、数学思想方法、数学观念诸方面的联系．以此说明：注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．关键词：高等代数；中学数学；数学知识；数学思想方法；数学观念中图分类号：G304，G642.42 文献标识码：A数学教育的双专业性不但要求数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力；还要求他们懂得系统的教育理论，练就娴熟的教育技能．为使未来的中学数学教师精通较多的数学知识，具备多种数学能力，高师数学系除开设“中学数学复习与研究”，“中学数学教材教法”等直接指导中学数学教学的课程外，还开设了“数学分析”、“高等代数”等高等数学类的课程．然而，在长期开设高等数学类课程的实践中，一直存在着两方面的问题．一方面由于中学数学知识难以与高等数学知识直接衔接，使不少大一学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课产生了为难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等数学理论指导中学数学教学感到茫然．为了【作者简介】侯维民（1947—），男，河南卫辉市人，天水师院教授，大学本科毕业，研究生课程结业，主要从事代数学，数学教育及周易数理研究.．解决上述长期存在的问题，笔者认为措施之一是用数学方法论[1]的望远镜和显微镜来剖析各门高等数学类课程与中学数学的联系．不但挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系．通过这些工作，使师生都清楚地看到：高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高、在思想方法上是中学数学的因袭和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展．[2]这样，学生学习高等数学类课程的难度就会大大降低，高等数学类课程对培养中学数学教师的指导作用也会显著增强．下面以高等代数[3]课为例，从数学知识，数学思想方法、数学观念三个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学[4、5、6]的联系．1 高等代数与中学数学在知识方面的联系这个问题至少可由以下6点说明．（1）中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则．高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论．（2）中学代数给出了多项式因式分解的常用方法．高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定．（3）中学代数讲一元一次、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系．高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介．（4）中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法，讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系．（5）中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子．中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子．（6）中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型．三角形的不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型．线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高．它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等；而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的．2 高等代数与中学数学在思想方法方面的联系以下就十种数学思想方法对照二者之间的联系．（1）抽象化思想．小学从具体事物的数量中抽象出数字，开创了算术运算的时期．中学用字母表示数，开创了在一般形式下研究数、式、方程的时期．高等代数用字母表示多项式、矩阵，开始研究具体的代数系统，进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素，开始研究抽象的代数系统——向量空间、欧氏空间．随着概念抽象化程度不断的提高，数学研究的对象急剧扩大．（2）化归思想．中学数学里，化无理方程为有理方程，化分式方程为整式方程，化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程，通过化归矩形推导平行四边形面积公式，这些都用到化归思想．在高等代数里，通过按行按列展开，将阶数较高的行列式化为阶数较低的行列式；通过分离系数，将线性方程组的研究转化为增广矩阵的研究；通过选定基，将向量之间的关系转化为向量坐标之间的关系，将线性变换的研究转化为矩阵的研究，将二次型的研究转化为实对称矩阵的研究等，这些也都用到化归思想．（3）分类思想．中学按概念对研究的对象分类，例如对数分类，对代数式分类等．高等代数除按概念分类，如将次数大于0的多项式分为可约与不可约两类，将二次型分为正定、负定、不定三类等，还按元素间的等价关系分类，例如分别依矩阵的等价关系、相似关系、合同关系对矩阵分类．利用向量空间的同构关系对向量空间、欧氏空间按维数分类，等．（4）结构思想．现代数学通过三种数学结构将数学各分支联系成一个整体．中学数学与高等代数都用现代数学的观点和语言组织教材，两者的许多概念、性质及运算律具有相似性．从负数到负多项式、负矩阵再到负元素，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到集合、多项式、矩阵的运算律再到代数系统的运算律，由数的大小关系到集合的包含关系、多项式的整除关系再到集合的偏序关系．这些内容全都反映了结构思想．（5）类比推理思想．在中学数学中，由分数的性质类比推理分式的性质．由两直线的位置关系类比推理两平面的位置关系．由直角三角形的勾股定理类比推理具有三直角顶点四面体的勾股定理．在高等代数中，由整数的整除理论类比推理数域F上的多项式的整除理论．由直角坐标系下，几何向量的长度、夹角、内积、距离公式类比推理规范正交基下，n维欧氏空间中向量的长度、夹角、内积、距离公式．（6）严格的逻辑推理方法．受中学生理解能力的限制，中学数学中严格的定义较少，定理和习题的推理过程较短，几何问题的推导还常常借助直观图形．但常用的证题方法，如反证法、同一法、综合法、分析法、数学归纳法等，学生已有接触．而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理，得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系．同中学数学相比，高等代数具有提出问题一般，理论推导严格，讨论问题深入，知识体系完备的优点．（7）公理化方法．中学平面几何将利用直觉经验不证自明的少数命题和推导原则作为公理，由此出发推证出大量新的命题，这已用到实质公理化方法．高等代数中的向量空间、线性变换、欧氏空间都将若干条假设作为公理，利用这些公理，再推导出各自的理论体系，这已用到形式公理化方法．由实质公理化方法到形式公理化方法体现了公理化方法的发展．（8）坐标方法．中学数学通过数轴建立了直线上点的坐标，通过平面坐标系建立了平面上点的坐标．高等代数通过向量空间的基建立了向量空间中各种向量的坐标，推导出了向量和及向量数乘的坐标计算公式，证明了坐标变换公式．欧氏空间一章还给出了在规范正交基下，向量的长度、内积、投影、距离、夹角的坐标计算公式，这些公式恰是中学平面解析几何中相应公式的直接推广．（9）变换方法．中学数学学过线性方法组的同解变换．高等代数将这些同解变换转换成矩阵的初等变换，由此得到一种用途广泛的解题方法——矩阵的初等变换法．利用矩阵的初等变换法可以求解线性方程组，可以求矩阵的秩，可以求矩阵在等价关系和合同关系下的标准形，可以求逆矩阵，可以直接求解部分矩阵方程等．（10）构造性方法．中学数学中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的求解方法都属于构造性方法．高等代数不但继续用构造性方法解题，例如，判断整系数多项式可约性的克罗内克方法，求排列反序数的方法，求线性方程组解的行列式法和矩阵消元法等．还用构造性方法证明定理，例如，证明带余除法定理，证明最大公因式的存在性定理，证明正交基的存在性定理，证明对称矩阵与对角形矩阵合同定理等．综上所述可知，高等代数与中学代数虽然在知识深度上有较大差异，但产生知识的思想方法却是一脉相承的．只是由于中学数学的知识较浅，内容较窄，对思想方法的巨大作用体会不深而已．通过学习高等代数等近、现代数学课程，人们越来越深刻地认识到数学思想方法在揭示数学知识的内在联系，培养多种数学能力方面的巨大威力，从而学习和应用数学思想方法的自觉性大大增强．而这种自觉性对于当前提高中学数学教学质量恰恰是最为重要的．3 中学数学与高等代数在观念方面的联系在中学数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点，等，在高等代数中将得到深化和发展．关于数学研究的对象，由中学代数研究的数、代数式、方程、函数等内容，中学几何研究的点、线、面、常见图形等内容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式．然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击．首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系．其次向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式．高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学．这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的．关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的．首先看抽象性．中学数学中，从用字母表示数、诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用，但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微．通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来．例如，从几何向量等数学对象关于加法和数乘的共性中，可以抽象出向量空间的概念，再将几何向量等数学对象关于内积的共性抽象并赋予实数域上的向量空间就得到欧氏空间的概念．而当人们只把注意力集中到欧氏空间等代数系统的“距离”的本质属性——非负性、对称性、三角不等式时，就抽象出“距离空间”的概念．当人们再注意到由距离所产生的拓朴结构只是一种特殊的拓扑结构时，又抽象出拓朴空间的概念，可见随着抽象程度的不断提高，数学研究的对象日益扩大，结论更加本质．再看严谨性．受中学生理解能力的限制，中学数学的严格定义较少，几何问题的推导还常常借助直观图形，数学推理的严谨性并不十分明显．而高等代数对所研究的各类问题首先给出严格的定义，然后从定义出发，通过严密的逻辑推理得出性质、定理、推论，直至建立完整的理论体系．推理的严谨性随处可见．最后看应用的广泛性．中学数学除了它的教育功能外，还能解决一些简单的实际问题，如工程、行程、浓度、面积、体积等．而高等代数除了它的教育功能外，还能进一步解决一些较为复杂的问题，如电力系统、线性规则、投入产出模型等．总之学习高等数学类课程越多，数学应用的广泛性就体现得越全面．参考文献[1] 马忠林，郑毓信．数学方法论[M]．南宁：广西教育出版社,1996．34－98．[2] 杨世明，等．MM教育方式的理论与实践[M]．香港：香港新闻出版社，2002．54－87．[3] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数(第四版)[M]．北京：高等教育出版社，1999．1－3．[4] 人民教育出版社中学数学室．全日制普通高中教科书·数学(一、二、三册)[M]．北京：人民教育出版社，2001．1－2．[5] 人民教育出版社中学数学室．九年制义务教育三年制初级中学教科书·代数(一、二、三册)[M] .北京：人民教育出版社，2001．1－2．[6] 人民教育出版社中学数学室．九年制义务教育三年制初级中学教科书·几何(一、二、三册) [M].北京：人民教育出版社，2001．1－2．Explore Relations between the Higher Algebra and the Mathematics ofMiddle School by Mathematical MethodologyHou Weimin(Department of Mathematics , Tianshui Teachers’ college , Gansu Tianshui , 741001)Abstract ：This article quide by mathematical methodology，it explore the relations on mathematical knowledges，mathematical thoughts and methods，mathematical senses．It show that if we notice the connections and comparisons of Higher Algebra and Middle School Math，this not only reduce the difficulty of H igher Algebra’s study，and also strengthen the quiding actions of Higher Algebra on training mathematical teachers of middle school ．Key Words：Higher Algebra，Middle School Math，mathematical knowledge，mathematical thought and method，mathematical sense．。

收稿日期:2011-05-11作者简介:代业明(1975-),男,青岛大学数学科学学院讲师,理学硕士。

基金项目:青岛大学校级教学项目“《工程数学Ⅰ》课程研究型教学模式探讨”(JY0982);“运用网络博弈方法在《对策论》课程中引入实践教学环节的研究”(JY 0943)从方法论和认识论看线性代数与中学数学的联系代业明(青岛大学数学科学学院,山东青岛　266071)摘要:从当下大学线性代数教学现状出发,以数学方法论和认识论为指导,探究线性代数与中学数学在数学知识、数学思想方法、数学观念等方面的联系,以期帮助大学生顺利地从中学过渡到大学线性代数的学习。

关键词:线性代数;中学数学;数学知识;数学思想方法;数学观念中图分类号:G 40-034;G 642 文献标识码:A 文章编号:1004-8154(2011)05-0001-02 “线性代数”是一门具有极强逻辑性、抽象性和广泛实用性的学科。

笔者尝试用数学的方法论和认识论来剖析这门大学数学课程与中学数学的联系。

从而使师生清楚地看到:大学数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高,在思想方法上是中学数学的延续和扩张,在观念上是中学数学的深化和发展。

这样,学生学习大学数学类课程的难度就会大大降低,兴趣也会显著增强。

一、知识方面中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法;而线性代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法,讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系。

中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为线性代数的向量空间提供例子,坐标旋转公式成为线性代数中坐标变换公式的例子。

中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型,三角形的不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型。

由此可见,线性代数在知识上的确是中学数学的继续和提高,它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题,如线性方程组理论等,而且以整数、实数、复数、平面向量为实例,引入了向量空间、欧氏空间等代数系统。

高等代数与中学数学概念的衔接问题研究摘要：高等代数是师范院校数学与应用数学专业的一门重要的基础课程，也是中学数学的继续和提高。

在教学过程中利用中学数学知识启发引导学生探讨高等代数的相关内容，既有利于学生巩固中学数学知识，又有利于学生认识学习高等代数的重要性，同时为学生学习后继课程及今后从事中学数学教育教学工作奠定一定的基础。

关键词：高等代数；中学数学；教学高等代数是民族师范院校数学与应用数学专业的一门重要的基础课程，也是中学数学的继续和提高，同时也是培养学生建立现代数学思想的基础工具课程之一。

随着中学数学课改的不断深入，“高等代数”作为从“中学代数”到“抽象代数”的过渡课程，无论是在课程内容上还是在教学方法上都需要进一步的改革。

本文根据师范院校的学生专业特点，并结合自身多年的教学实践经验和与中小学一线数学骨干教师及学生之间的交流，就高等代数教学与中学数学内容的衔接问题作如下阐述。

在交流过程中，大部分学生认为高等代数纯数学理论强，抽象难学，对有些概念和问题含糊不清，似懂非懂，尤其是向量空间、线性变换、欧氏空间等概念因对公理化的定义难以全面理解，使部分学生对高等代数失去深入学习的兴趣，进而影响到后续课程的学习。

在对近300名学生的调研中发现70%的学生能够掌握基本概念及其性质，独立完成课本上的计算题，而对于证明题仅有50%的学生能够独立完成。

为了激发学生进一步学习高等代数的积极性和主动性，培养其良好的数学思维品德。

同时让学生深入理解高等代数的有关概念，全面系统的掌握概念产生的背景，提高学生的创新能力和实践能力。

笔者在教学过程中尝试以中学数学知识为背景启发引导学生学习高等代数，激发学生的学习兴趣。

课堂教学效果有了明显的转变，同时学生学习高等代数的积极性也在不断提高，为进一步学习后续课程起到了一定的积极作用。

具体做法是：一、在高等代数的教学方法上做好与中学数学知识的衔接工作随着中学数学新课程理念的全面推广，学生应用数学知识解决实际问题的能力在不断提升，教师的教育观念正逐步从“应试教育”向“素质教育”转变。

目录摘要 (I)Abstract (I)1 引言 (1)2 知识方面的联系 (1)2．1多项式理论的应用 (1)2．2行列式的应用 (2)2．3柯西不等式的应用 (3)2．4二次型的应用 (4)3 思想方面的联系 (4)3．1符号化思想 (4)3．2分类思想 (5)3．3化归与转化思想 (5)3．4结构思想 (6)3．5公理化方法 (6)3．6坐标方法 (6)3．7构造性方法 (7)4 观念方面的联系 (7)结束语 (8)参考文献 (8)致谢 (10)摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合．关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application1 引言高等代数作为数学专业的主干专业基础课之一，是初等代数的延伸与提高．运用高等代数的望远镜和显微镜剖析各类高等数学课程与中学数学之间的关联是一项长期有效的措施]1[．以实现中学式思维方式向大学式思维方式的过度与转变为目标，引导学生在二者之间建立一座桥梁．教师方面，有利于帮助中学教师融会贯通中学教学的相关内容，让中学教师利用高等数学的相关理论、方法与观点解决中学数学的相关问题，以上位者的姿态理解中学教学内容的本源，知其所以然，促进知识的深化；学生方面，也能激发学生的学习兴趣，扩大高等数学知识在中学教学中的应用面，加深高等代数知识与中学数学的关联．在理解中学数学与高等代数之间的联系后，中学教师能更好地展开相关教学工作，学生能更好地完成相关教学任务．本文将从数学知识、数学思想、数学观点三个层面研究高等代数与中学数学的联系]2[．2 知识方面的联系2．1 多项式理论的应用作为高等数学主要内容之一的多项式理论，它与中学代数有着密不可分的关联．利用多项式理论解决了中学数学中的诸多遗留难题，如多项式的根与因式分解理论，由此可见，高等代数知识对解决中学的中学代数问题有着“居高临下”的作用．例1 多项式17345)(234+-+-=x x x x x f ，当142==x x 时，求此多项式的值．解 将条件等式变形为142=-x x ，由)(1x f ，所以)(42x f x x -．由多项式除法，得173)4)(()(22+---=x x x x x x f ，再将142=-x x 代入上式，可得18174)(2=+-=x x x f ．例2 已知c b a 、、 为整数，且满足a c cb b a ++与c b b c c a ++均为整数，求证c b a ==． 证明 设))()(()(ac x c b x b a x x f ---=． 于是1)()()(23-+++++-=x ab bc c a x a c c b b a x x f ．由已知条件知)(x f 是首项系数为1的整系数多项式，且b a ，c b ，a c 均为它的三个有理整数根，又因为它们的乘积为1，所以1===ac c b b a ，故c b a ==． 2．2 行列式的应用 “矩阵与变换”作为普通高中新课改的选修模块之一]3[，在历年高考中有着广泛的命题基础，包含了中学数学中一些典型问题，如求函数的解析式，多项式的因式分解等问题，若能在解题中适当利用行列式知识，这些问题往往可以迎刃而解．例3 已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，满足0)1(=-f ，6)1(-=f ，9)2(-=f ，4)3(-=f ，求)(x f ．解 由已知条件，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+⋅+⋅+⋅-=+⋅+⋅+⋅-=+⋅+⋅+⋅=+-+-+-4333922261110)1()1()1(23232323d c b a d c b a d c b a d c b a 把上式看成关于a ，b ，c ，d 的方程组，它的系数行列式为范德蒙行列式1333122211111)1()1()1(23232323---， 由行列式与线性方程组的理论，可得1=a ，2-=b ，4-=c ，1-=d ，即142)(23---=x x x x f ．例4 试分解多项式xyz z y x 3333-++．解 构造一个行列式D ，使它等于此多项式，即xyz z y x xz yy x zz y xD 3333-++==． 而x y zx y z x y z D zx y y z x ++++++=xz y y x zz y x 111)(++= 222=()()x y z x y z xy yz zx ++++---．所以，xyz z y x 3333-++可分解为：))((222zx yz xy z y x z y x ---++++．此外，当系数行列式不等于零时，可以利用行列式给出线性方程组的解；已知顶点坐标或三边方程，就可以利用行列式表示三角形面积]4[；利用行列式也可求直线﹑平面的方程等等．2．3 柯西不等式的应用定理]5[1（柯西-施瓦茨不等式）在欧氏空间里，对于任意向量ξ，η有不等式〉〈〉〈≤〉〈ηηξξηξ，　，，2，当且仅当ξ与η线性相关时，等号成立．在欧氏空间n R 里，取)…(21n a a a ，，　，=ξ，)...(21n b b b ，，　，＝η时，就有 柯西不等式 对任意实数组n a a a ，，　，…21和n b b b ，，　，...21，有 ≤+++22211)…(n n b a b a b a )...)(…(222212n 2221n b b b a a a ++++++．当且仅当)21(，　==i kb a i i 时，上式的等号成立． 特别的，)…21(1n i b i ，，　，　==时，有 )…()…(2n 2221221a a a n a a a n +++≤+++．所以，柯西不等式作为高等代数的重要内容之一，是初等数学与高等代数的重要结合点之一，也是柯西-施瓦茨不等式在欧氏空间n R 中的具体体现，运用柯西不等式解决中学中的相关问题，有时会显得直接明了．例5 已知P 为ABC ∆内一点，a BC =，b CA =，c AB =，点P 到ABC ∆的三边BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d ．求证：ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321． 证明 由题意知3212cd bd ad S ABC ++=∆，要证明结论成立，只需证2321321)())((c b a cd bd ad d c d b d a ++≥++++， 由柯西不等式得，上式显然成立，所以ABCS c b a d c d b d a ∆++≥++2)(2321． 2．4 二次型的应用作为高等代数的重要内容之一的二次型，在数学与物理领域都有着广泛运用，在一些相关数学问题中，巧用二次型知识解决中学数学中的一些难题，往往可以起到事半功倍的效果．定理]6[ 设n 元二次型'()f x x Ax =，则f 在条件112=∑=ni i X 下的大（小）值恰为矩阵A的最大（小）特征值．例6 设2232)(y xy x x f ++=，且满足122=+y x ，求)(x f 的最大值与最小值．解 二次型),(y x f 的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3111A ，则 2431112+-=----=-λλλλλA I ， 解得221+=λ，222-=λ，于是由以上定理可得，)(x f 在122=+y x 下的最大值为22+，最小值22-．3 思想方面的联系3．1 符号化思想原始的符号作为记录的工具，为人类发展做出了巨大的贡献，而数学的发展是离不开符号的发展的．最初的人类从具体数量中抽象出数字，并以此制订了运算法则，在此基础上不断发展，使用字母符号表示数，延伸出多项式，使用各种符号创建出抽象的代数系统，如：向量空间、欧氏空间…相应的，随着抽象程度的提高，也大大丰富了数学的研究对象．例7 设集合}){(R y x y x ∈=Ω，，，规定：（1）），（000=；（2）当且仅当21x x =，21y y =时，)()(2211y x y x ，，=．在Ω上定义运算“⊗”：21212211)()(y y x x y x y x +=⊗，，，设Ω∈c b a ，，，有以下四种命题：a b b a ⊗=⊗① ；)()(②c b a c b a ⊗⊗=⊗⊗；③若0=⊗b a ，则b a ，中至少有一个为0；④若c a b a a ⊗=⊗≠，0，则c b =；其中真命题的个数为（A ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（08广东梅州市检）3．2 分类思想数学是一门严谨的、系统的学科，因此在数学中往往需要研究对象的不同属性进行分类．分类思想作为基础的思想方法，数学中几乎处处可见．如中学数学中，对数和式的分类，高等代数中，如矩阵分类，向量空间、欧氏空间按维数的分类，二次型分为正定、负定、不定三类等等，分类讨论方法作为分类思想的一个分支，在解题中有着广泛运用．例8 已知函数1)2()1(2--+-=x m x m y （m 是实数）．如果函数的图像和X 轴只有一个交点，求m 的值．解 当1=m 时函数就是一个一次函数1--=x y ，它与X 轴只有一个交点)01(，-． 当01≠-m 时，函数就是一个二次函数1)2()1(2--+-=x m x m y0)1(4)2(2=-+-=∆m m ，得0=m ．抛物线122---=x x y 的顶点)01(，-在X 轴上．评注：本题利用简单的分类思想讨论了两种不同情况，思路清路，考虑全面，解题便捷．运用分类思想往往能将复杂的情况，梳理清楚，分类思想在解题中有着广泛应用．3．3 化归思想化归与转化思想作为数学的几个重要思想之一，其精髓就是化未知为已知，化难为易，化繁为简．例如，在中学数学中，无理式化为有理式，四边形问题化为三角形问题，几何问题与代数问题的互相转化等；高等数学中，超越式方程化为代数式方程，高阶行列式化为低阶行列式，二次型问题化为实对称矩阵问题，向量关系化为向量坐标之间的关系等．例9 设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+ 恒成立，求a 的取值范围．分析：这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题，但是，这个题目的表面比较复杂，我们可以通过换元法，，化为简单的参数的一元二次不等式． 解：设22log 1a t a =+， 则 224(1)8(1)log log 32a a t a a++==-，222(1)log 24a t a +=-． 于是，已知的不等式化为()23220t x tx t -+->．该不等式对所有实数t 恒成立的充要条件是()230,4830.t t t t ->⎧⎨∆=+-<⎩解得0t <．即22log 01a a <+， 进一步解得 01a <<．3．4 结构思想现代数学通过顺序结构、条件结构、循环结构将数学各分支联结成一个整体．从本质上讲，中学代数与高等代数使用的都是相同的数学结构．因此，不仅从结构层面极其相似，而且在知识层面上也有很多相似的地方．例如，由倒数到逆矩阵再到逆元，从数的运算律到矩阵的运算律，再到代数系统的运算律，从负数到负矩阵，再到负元素，由多项式的整除关系再到几何的偏序关系，这些内容都是反映了结构思想．3．5 公理化方法中学平面几何的大量命题与理论都是以在欧几里德的《几何原本》中的“23条定义”、“五大公理”、“五大公设”的的理论基础上．并在此基础上发散与推证出大量新结论，从本质上讲，这种方法是实质公理化方法．高等代数中，线性变换、向量空间、欧氏空间大量命题建立在一些假设上，并以这些假设为公理，再推导出相应的理论系统，这种方是形式公理化方法．实质公理方法到形式公理方法这一演化过程，不仅体现了其自身的发展，也体现了初等代数到高等代数的发展．3．6 坐标方法坐标方法作为中学数学常用的方法之一，主要通过建立直角坐标系，标出相应的坐标，利用一些结论计算出相应的答案．在高等代数中，坐标方法在向量空间中应用极广．特别地，欧氏空间中，在规范正交基条件下向量的夹角、距离、内积、坐标计算公式都是中学数学平面几何中相应公式的拓展．例10 如图所示，直三棱柱111C B A ABC -中，21===CA CB C C |，CB AC ⊥ ，E D ﹑分别是棱11﹑C B AB 的中点，F 是AC 的中点，求EF DE ﹑的长度．解 以点C 为坐标原点，1﹑﹑CC CB CA 所在直线为X 轴、Y 轴、Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．21===CA CB C C ，)000(，，C ∴，)002(，，A ，)020(，，B ，)200(1，，C ，)220(1，，B ． 由中点坐标公式可得)011(，，D ，)210(，，E ，)001(，，F5)20()11()01(222=-+-+-=∴DE ，6)02()01()10(222=-+-+-=EF图１3．7 构造性方法中学数学中的出现的所有方程都是采用构造性方法解决的，高等代数中构造性的方法不仅可以运用到解题上，而且还能用来证明定理．例如，正交基存在性定理的证明，带余除法定理的证明，最大公因式存在性的证明等等．所以，构造方法使二者既有联系，又有区别．例11 若()()()042=----z y y x x z ，求证：x 、y 、z 成等差数列． 证明 当y x =时，可得z x =，所以x 、y 、z 成等差数列；当y x ≠时，设方程()()()02=-+-+-z y t x z t y x ，由0=∆得21t t =，并易知1=t 是方程的根，所以=21t t 1=--yx z y ，即z x y +=2，所以x 、y 、z 成等差数列． 评注：拿到题目感到无从下手，思路受阻，但我们细看，问题条件酷似判别式∆=ac b 42-的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解．综上所述，从知识的深度与广度看，中学数学远不如高等代数，但是，从思想方法层面看，二者相承一脉，本源相同．简而言之，高等代数源于中学数学，却高于中学数学．中学数学受自身知识深度浅，层面窄的局限，因而对数学思想的指导性不强．通过高等代数的学习不断完善这种学习上的缺陷，进而达到揭示数学知识内在联系，深刻认识数学思想方法内涵的目的．4 观念方面的联系中学数学与高等代数在数学研究对象、数学研究的特点等数学观念极其相似，可以这样说，高等代数的这些观念都延伸与中学数学．接下来将从研究对象、研究特点分析二者之间在观念方法的区别和联系．研究对象方面，中学数学的研究对象主要是以一些简单的现实世界中的空间关系和数量关系为主．例如，点、线、面与常见几何图形的研究，数、代数式、方程、函数的研究．高等代数在研究对象的选择不再拘泥于直观简单的研究对象，因此研究对象得到了极大的丰富和扩展，很多传统意义上的关系不再对高等代数的研究对象适用．例如，数的一些运算法则不再适用矩阵的运算，中学的空间知识不再适用向量空间、欧氏空间等．充分理解这些观念的转换对指导二者的教学工作有很大帮助．数学研究的特点方面，抽象性、逻辑性和应用的广泛性作为数学研究的特点，这些特点深化在数学研究的各个领域中．下面将从三个特点分别探讨中学数学与高等代数的区别与联系．首先，中学数学通过抽象化，把数、式抽象为字母，大大简化计算量，这是我们尝到抽象化带给我们的第一个“甜头”．显然，中学数学的这种程度抽象化是无法帮助我们理解抽象化真正的含义和作用的．由于高等代数处于一个更高的研究水平，所以它更能帮助我们更加直观的理解抽象化的本质．例如，通过向量的加法与数乘的共性，将平面向量抽象为空间向量，通过将内积的共性与实数域上的向量空间结合，就抽象出了欧氏空间．可以看出，抽象化推动着数学的发展，不断提高抽象化，更易使我们接触到问题的本质．其次，在中学数学中，中学生理解能力较差，因此很少给出严格的定义．所以容易造成知其然，不知其所以然的格局．特别在推导几何问题方面，还需依靠直观图形．显然在数学上，这是不够严谨的．高等代数中就不会出现这种情况，所有的证明都是需要严格定义的，通过定义严密推理，得到相关结论，最终形成理论系统．最后，中学数学主要应用于教育，能解决少数的一些简单问题，比如，面积、体积、行程计算，无法适用于更加复杂的问题．相对的，高等代数除去教育功能，在应用的广度和难度上更胜于中学数学．随着更深入的学习，就会发现高等代数应用范围会逐渐增大．结束语在我国高等师范学院所开设的专业课程，应是中学内容的沿袭发展、螺旋上升，而高等代数却略有不同，因为高等代数与中学数学的研究对象、方法出现了巨大差异，中学教师大都毕业于师范院校本﹑专科，具有高等代数知识是无疑的，但能用高等代数的思想﹑观点去指导中学数学教学的却不多见]7[．数学师范专业的学生有种误区，认为“教学中用不上高等代数知识”，因而在学习高等代数知识的过程中懈怠，学习积极性不高，甚至于“厌学”．本文通过从数学方法、数学思想、数学观念三方面，并辅以例题综合阐述中学数学与高等代数的种种联系．在课程教学改革中，不仅要挖掘知识体系的联系，更要挖掘数学方法，数学观念方面的联系]8[．促进中学数学与高等代数的完美结合，进而扩大高等代数在中学数学的应用．参考文献[1] 马忠林，郑毓信．数学方法论[M]．：广西教育出版社，1996．[2] 杨世明，周春荔，等．ＭＭ教育方式：理论与实践[M]．：香港新闻出版社，2002．54－87．[3] 中华人民共和国教育部．普通高中教学课程教育标准：实验[M]．：人民教育出版社，2003．[4] 庄瓦金．高等代数教程[M]．：高等教育出版社，2004．92－95[5] 张禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．：高等教育出版社，1999．[6] 扬家骥．高等代数在初等数学中的应用[M]．：山东教育出版社，1992．[7] 杨远廷．用高等数学的观点看中学数学教学[J]．德阳教育学院学报，2000，14(1):44－45．[8] 王玉行．高等代数对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略[J]．数学教育学报，2007，16(3)：92－94．致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了．尤其要强烈感谢我的论文指导老师—钟纯真老师、刘熠老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进．另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助．在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者．本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作．感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版的过程中提供热情的帮助．由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！。