一种非线性MIMO系统实验装置建模与LQR控制

倒立摆系统的设计摘要倒立摆是一个非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统。

通过它能有效地反映控制过程中诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等多种关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。

对倒立摆系统的研究不仅具有很重要的理论意义，而且在航天科技和机器人学领域中也有现实指导性意义。

本文以直线二级倒立摆模型为控制对象，阐述了倒立摆稳定控制的研究现状以及倒立摆系统的控制系统及机械结构组成。

在数学模型的基础上，重点分析基于Lagrange方程进行数学模型的方法，以及系统的能控性和能观测性。

接着进行了倒立摆系统的LQR控制方法研究。

运用最优控制理论，探讨了加权矩阵Q 和R的选取方法。

然后利用Matlab软件建立倒立摆系统模型，对二级倒立摆的LQR控制器进行了设计与仿真，利用Simulink建立了二级倒立摆的LQR控制模型，实现了二级倒立摆系统的稳定控制。

结果表明本文所给出的控制策略是有效的。

最后对倒立摆系统时滞问题进行了分析,给出了系统稳定性的判别公式。

关键词：倒立摆；Lagrange方程；数学模型；最优控制；SIMULINKDesign of Inverted Pendulum SystemABSTRACTInverted pendulum is a nonlinear,coupling,variable and natural unsteadiness system.During the controlprocess,pendulum can effectively reflect many pivotal problems such as equanimity, robust,follow-up and track.Therefore,it is a perfect model used to testing various control theories.Studying on inverted pendulum not only has a very important theory significance,but also has a realistic directory meaning in aerospace science and technology and robotics.In this paper,we establish mathematical models of double inverted pendulum system,and analyze the controllability and observability of these models.According to the theoretical analysis,this paper puts forward a solution that it is found by Linear Quadratic Optimal Control Theory.In the following,we design a double inverted pendulum’s controller based on the theory.Based on introducing the present established mathematical model，the method of the Mathematical model was done by analyzing the Lagrange equation. And the system characteristic was briefly analyzed.Next we do research on LQR control algorithm of inverted pendulum system.By using optimization control theory,the selection of matrix Q and R is dicussed.It is introduced how to realize the simulation of the inverted pendulum system by the Matlab.Double inverted pendulum LQR controller is designed and emulated.LQR control model is programmed by Simulink, control of double inverted pendulum hardware system is realized.And it indicates that the control strategy proposed in this paper is effctive.Finally，we analysis the time-delay problem of double inverted pendulum system, get the giscriminant formula of the Stability of the system.Keywords: inverted pendulum；Lagrange equation；mathematical model；optimization control theory；Simulink目录1绪论 (1)1.1倒立摆系统研究的意义和前景 (1)1.2倒立摆系统的研究现状 (1)1.3课题任务 (2)2倒立摆系统建模与性能分析 (3)2.1系统数学模型的建立 (3)2.1.1倒立摆系统的运动分析 (3)2.1.2模型建立的基本方法 (4)2.1.3模型的建立 (4)2.2倒立摆系统性能分析 (8)2.2.1系统稳定性原理 (8)2.2.2系统能控性和能观性 (9)2.2.3二级倒立摆系统性能 (9)3 倒立摆系统控制与仿真 (11)3.1 LQR理论基础 (11)3.1.1 线性二次型问题 (11)3.1.2无限时间状态调节器问题 (12)3.2矩阵黎卡提方程的求解 (12)3.3 Simulink概述 (12)3.4二级倒立摆最优控制器的设计 (13)3.4.1最优控制器的设计 (13)3.4.2二级倒立摆系统仿真 (14)4倒立摆系统的实时控制 (17)4. 1硬件在回路仿真技术 (17)4.2系统实现方案介绍 (17)4.3系统实时性分析 (18)4.4系统实现方案确定 (20)4.5本章小结 (20)5摆系统时滞问题 (21)5.1 系统的稳定性 (21)5.2小结 (23)6 结论 (24)谢辞 (25)参考文献 (26)附录A (27)附录B (34)1 绪论1.1倒立摆系统研究的意义和前景倒立摆系统是一个非线性程度严重的高阶不稳定系统，也是一个典型的多变量系统。

自动控制原理MIMO系统知识点总结自动控制原理是控制工程的基础课程，而多输入多输出（MIMO）系统是其中重要的一部分。

MIMO系统是指系统存在多个输入和多个输出。

在本文中，将对MIMO系统的基本概念、特点、建模方法以及控制策略进行总结。

一、MIMO系统的基本概念和特点MIMO系统是指具有多个输入和多个输出的系统，在现实生活和工程领域中广泛存在。

相较于单输入单输出（SISO）系统，MIMO系统具有以下特点：1. 增强系统的性能：MIMO系统通过利用不同输入之间的互补性，可以提高系统的稳定性、鲁棒性和响应速度，从而增强系统性能；2. 增加信息传输量：通过同时在多个通道上进行传输，MIMO系统可以提高信息传输的效率，增加信道容量；3. 抑制干扰和提高抗干扰能力：MIMO系统可以通过在不同通道上选择合适的传输方式来抑制外界干扰，提高系统的抗干扰能力；4. 提高可靠性和容错性：MIMO系统可以在某些通道发生故障时，通过其他通道传输数据，从而提高系统的可靠性和容错性。

二、MIMO系统的建模方法针对MIMO系统的建模方法，常见的有时域建模和频域建模两种方法。

1. 时域建模：时域建模是指通过物理方程或差分方程来描述MIMO系统的动态响应。

常用的时域建模方法有状态空间模型和差分方程模型；2. 频域建模：频域建模是指通过将系统的输入和输出转换到频域来描述系统的特性。

常用的频域建模方法有传递函数模型和频率响应函数模型。

三、MIMO系统的控制策略针对MIMO系统的控制问题，常见的控制策略有：1. 反馈控制：反馈控制是指利用系统的输出信号与期望输出信号之间的差异来调节系统的输入信号，从而实现系统的稳定性和性能要求。

常用的反馈控制方法有PID控制器、状态反馈控制和输出反馈控制等；2. 前馈控制：前馈控制是指通过测量系统的输入信号和模型预测系统的输出信号，将预测误差作为前馈信号来补偿系统的输出误差，以提高系统的响应速度和鲁棒性；3. 最优控制：最优控制是指通过优化系统的性能指标来设计控制器，以实现系统的最佳控制效果。

单轮自平衡机器车的系统建模与最优控制张团善;李文真【摘要】An improved optimal approach is proposed for the highorder ,multivariate ,typical nonlinear underactuated unicycle .The dynamical model is firstly established based on Lagrangianformulation .The tangent linearization of the model at its equilibrium yields to the linearization nominal model .Then re-spectively using LQR optimal algorithm and SRL optimal control algorithm to achieve dynamic balancing and motion control of the unicycle .By the simulation comparisons ,SRL optimal control algorithm has a better anti-jamming and robustness than LQR optimal control algorithm .Computer simulation verifies the validity of the dynamic model ,the effect of the controller is testified by simulation experiments .%针对高阶次、多变量、非线性、欠驱动的单轮自平衡车系统，提出了一种改进的最优控制算法。

首先采用拉格朗日方程推导出力学模型，线性化后，得到系统的线性化方程，然后分别利用线性二次型最优控制算法和基于对称根轨迹的最优控制算法实现了单轮机器车的平衡控制和动态稳定。

基于前馈+预测LQR的智能车循迹控制器设计
崔凯晨;高松;王鹏伟;周恒恒;张宇龙
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2024(24)10
【摘要】为提升智能车辆循迹性能,基于线性二次调节器(linear quadratic regulator,LQR)理论和滑模理论,提出了一种兼顾横纵向跟踪精度与转向稳定性的横纵向控制器。

首先,构建了基于二自由度横向动力学模型的前馈LQR控制器。

针对模型线性化后前馈LQR控制器转向稳定性降低的问题,结合恒定转弯率和速度(constant turn rate and velocity,CTRV)模型设计预测控制器,建立了基于实时车速-曲率模糊自适应预测时间的前馈LQR控制器。

此外为提升纵向车速跟踪稳定性和跟踪精度,提出了一种基于滑模控制理论的纵向跟踪方法。

并进行了联合仿真和硬件在环实验验证。

结果表明:文中提出的横纵向控制器有效解决了跟踪精度与稳定性两者难以兼顾的问题,提升了智能车辆循迹性能。

【总页数】13页(P4287-4299)
【作者】崔凯晨;高松;王鹏伟;周恒恒;张宇龙
【作者单位】山东理工大学交通与车辆工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】U463.42
【相关文献】
1.基于模型预测控制的智能车横纵向控制器设计
2.基于MK60DN512VLQ10微控制器的电磁循迹智能车的设计
3.基于前馈补偿LQR与PID的矿井无轨胶轮车横纵向控制研究
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最优控制问题的LQR方法比较分析最优控制问题一直是控制理论中的重要研究领域，而线性二次调节（LQR）方法作为一种经典的最优控制方法，在工程控制中得到了广泛的应用。

本文将对LQR方法进行比较分析，探讨其在不同情况下的适用性和性能表现。

1. LQR方法基本原理LQR方法是一种基于状态空间模型的最优控制方法，通过设计状态反馈控制器，使得系统状态能够收敛到零点并满足一定性能指标。

其优化目标是最小化系统状态变量的加权二次误差和控制输入的加权二次误差，从而实现系统在有限时间内收敛至稳定状态。

2. LQR方法的应用范围LQR方法在工程控制中广泛应用于系统稳定性分析、跟踪问题、鲁棒性设计等方面。

尤其在机械控制、航空航天、汽车控制等领域有着较为成熟的应用案例。

对于线性、定常、确定性系统，LQR方法通常能够取得较好的控制效果。

3. LQR方法的优势与局限LQR方法能够通过求解Riccati方程来得到最优状态反馈控制器，在控制性能和收敛速度上有着较为显著的优势。

但是LQR方法对于非线性、时变系统的控制效果并不理想，往往需要通过状态线性化或者扩展状态空间方法进行处理，增加了控制器设计的复杂性。

4. LQR方法与其他最优控制方法的比较与其他最优控制方法相比，LQR方法具有计算简单、易于实现的特点，同时在一定条件下能够取得令人满意的控制效果。

相对于最小二乘法、经验控制等方法，LQR方法在理论推导和应用方面更加成熟，具有更强的稳健性和可靠性。

5. 不同情况下的LQR方法选用在实际工程应用中，需要根据系统的具体特点和性能需求来选择是否采用LQR方法。

对于线性稳定系统，LQR方法是一种有效的控制设计方案；而对于非线性、时变系统，则需要考虑是否存在状态线性化的可能性，以及其他更适用的最优控制方法。

综上所述，LQR方法作为一种经典的最优控制方法，在工程控制中具有重要的地位和广泛的应用前景。

通过比较分析，可以更好地理解LQR方法的优势与局限，并在实际应用中选用合适的控制方案，实现系统稳定性和性能指标的优化。

从LQR理论设计容错MIMO系统的方法
叶银忠;李三广
【期刊名称】《自动化学报》
【年(卷),期】1993(019)005
【摘要】本文提出了从ＬＱＲ理论设计稳定容错ＭＩＭＯ控制系统的新方法，证明了通过适当选取权矩阵Ｑ或Ｒ，可以构造出在稳定性意义上对执行器或传感器的失效具有容错性能的状态反馈系统，并给了Ｑ、Ｒ的选取方法。

【总页数】8页(P607-614)
【作者】叶银忠;李三广
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TP214
【相关文献】
1.一类离散MIMO系统的神经网络自适应输出反馈容错控制 [J], 刘磊;王占山
2.一种非线性MIMO系统实验装置建模与LQR控制 [J], 孟祥印;肖世德;高宏力
3.一种从LQR理论设计容错MIMO系统方法的非普适性 [J], 黄献青
4.MIMO网络控制系统的容错控制 [J], 樊卫华;蔡骅;陈庆伟;胡维礼
5.基于LQR方法的交流伺服系统参数自整定方法 [J], 权力; 杨晓君; 赵万华
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多输入多输出系统的分析与控制研究多输入多输出系统（MIMO系统）是指系统具有多个输入信号和多个输出信号的动态系统。

这种系统常见于许多现实世界中的应用，例如通信系统、控制系统和信号处理系统等。

对MIMO系统进行分析和控制研究对于实现优化的系统性能和稳定性至关重要。

本文将介绍MIMO系统分析和控制的基本原理和方法。

MIMO系统的分析是指对系统的输入和输出关系进行建模和分析，以了解系统的行为和特性。

在MIMO系统中，输入信号可以是多个不同的信号源，输出信号可以是多个关联的观测信号。

分析MIMO系统的目标是推导出系统的传递函数或状态空间描述，以研究系统的稳定性、频率响应和时域响应等特性。

在MIMO系统中，输入和输出之间的关系可以通过矩阵形式表示。

输入向量和输出向量分别表示为：u(t) = [u1(t), u2(t), ..., um(t)]^Ty(t) = [y1(t), y2(t), ..., yn(t)]^T其中，u(t) 是 m 维输入向量，y(t) 是 n 维输出向量。

为了分析MIMO系统的传递过程，可以使用频域方法和时域方法。

频域方法通过将输入和输出信号转换为复数的复信号，通过计算传递函数的频率响应来研究系统的行为。

时域方法则关注系统的时间响应特性，例如阶跃响应、脉冲响应和频率响应等。

MIMO系统的控制研究旨在设计合适的控制器以实现对系统的稳定性和性能的优化。

控制器的设计可以基于多个因素，例如系统的输入信号和输出信号的关系、系统的传递函数或状态空间模型以及所需的控制性能指标等。

常见的MIMO系统控制方法包括线性控制方法和非线性控制方法。

线性控制方法通常基于线性系统理论，例如状态空间控制方法和频域控制方法。

通过设计适当的线性控制器，可以实现对系统的稳定性和性能的优化。

然而，线性控制方法在非线性系统或强耦合系统中可能不适用。

非线性控制方法则针对非线性系统或强耦合系统进行设计。

这些方法通常基于非线性控制理论，例如滑模控制、自适应控制和最优控制等。

收稿日期：２０２０－０５－２３基金项目：辽宁省教育厅项目（项目编号：ＪＹＴ１９００１）作者简介：林峰（１９６３－），男，辽宁沈阳人，教授，博士，主要研究方向：自主飞行控制，Ｅ ｍａｉｌ：ｌｆｓｈｅｎｙａｎｇ１６３＠１６３ ｃｏｍ。

檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪殏殏殏殏信息科学与工程　文章编号：２０９５－１２４８（２０２１）０１－００４７－０７机载三轴云台的ＥＳＯ＿ＬＱＲ复合控制方法林　峰，马翰廷，卢艳军（沈阳航空航天大学自动化学院，沈阳１１０１３６）摘要：针对机载三轴云台在工作时受多种复杂情况干扰的影响，传统的线性二次型调节器（ＬＱＲ）可能无法快速隔离扰动从而导致系统鲁棒性变差的问题，提出扩张状态观测器（ＥＳＯ）＿ＬＱＲ复合控制策略，通过ＥＳＯ实时观测估计云台电机转轴上的非线性扰动并对其进行补偿以提高ＬＱＲ姿态角控制器的鲁棒性，提高了机载三轴云台系统的控制品质。

通过仿真验证了该方法可以有效克服无人机机动及云台内部控制器耦合带来的力矩干扰，有效提高了系统的控制质量。

关键词：三轴云台；姿态控制；扩张状态观测器；ＬＱＲ；抗扰中图分类号：Ｖ２４９ １ 文献标志码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９５－１２４８．２０２１．０１．００８ＥＳＯ＿ＬＱＲｃｏｍｐｏｓｉｔｅｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｆｏｒａｉｒｂｏｒｎｅｔｈｒｅｅ ａｘｉｓＰＴＺＬＩＮＦｅｎｇ，ＭＡＨａｎ ｔｉｎｇ，ＬＵＹａｎ ｊｕｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＳｈｅｎｙａｎｇＡｅｒｏｓｐａｃｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ１１０１３６，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｔｈａｔｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｌｉｎｅａｒｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｇｕｌａｔｏｒ（ＬＱＲ）ｍａｙｎｏｔｂｅａｂｌｅｔｏｑｕｉｃｋｌｙｉｓｏｌａｔｅｔｈｅｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ，ｗｈｉｃｈｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｅｐｏｏｒｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅａｉｒｂｏｒｎｅｔｈｒｅｅ ａｘｉｓＰＴＺｓｙｓｔｅｍ，Ａｎｅｘｔｅｎｄｅｄｓｔａｔｅｏｂｓｅｒｖｅｒ（ＥＳＯ）＿ＬＱＲｃｏｍｐｏｓｉｔｅｃｏｎｔｒｏｌｓｔｒａｔｅｇｙｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｉｍ ｐｒｏｖｅｓｔｈｅｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓｏｆＬＱＲａｔｔｉｔｕｄｅａｎｇｌｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｎｄｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｑｕａｌｉｔｙｏｆａｉｒｂｏｒｎｅｔｈｒｅｅ ａｘｉｓＰＴＺｓｙｓｔｅｍｂｙｒｅａｌ ｔｉｍｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎａｎｄｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｏｎｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓｏｎｔｈｅｍｏｔｏｒｓｈａｆｔｏｆｔｈｅＰＴＺｔｈｒｏｕｇｈＥＳＯｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎＴｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｃａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｏｖｅｒｃｏｍｅｔｈｅｍｏｍｅｎｔｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅｃａｕｓｅｄｂｙＵＡＶｍａｎｅｕｖｅｒｉｎｇａｎｄｔｈｅｃｏｕｐｌｉｎｇｏｆｔｈｅｉｎｔｅｒｎａｌｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｏｆｔｈｅｐｌａｔｆｏｒｍ，ａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｑｕａｌｉｔｙｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｒｅｅ ａｘｉｓＰＴＺ；ａｔｔｉｔｕｄｅｃｏｎｔｒｏｌ；ｅｘｔｅｎｄｅｄｓｔａｔｅｏｂｓｅｒｖｅｒ；ＬＱＲ；ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｒｅｊｅｃｔｉｏｎ 多旋翼无人机目前已广泛用于航空遥感领域，将遥感相机装载在机载三轴增稳云台上可有效抑制无人机机身姿态变化带来的干扰角运动，使相机光轴在空间内保持稳定，消除图像抖动并精准跟踪目标［１］。

两轮自平衡机器人的LQR改进控制武俊峰;张继段【摘要】According to the uncertainty of the selection right array for conventional LQR optimal controller and the slow response caused by this, to improve control of the Two-Wheeled Self-Balancing Robot system, the first is to use the traditional LQR algorithm to control system, and then we put forward solving methods to the existing problem. Selecting a weighted matrix to make the system stability to be further improved, in LQR controller comparison with unimproved, verification by MATLAB simulation shows that the optimized LQR has an excellent control effect and achieves the desired effect more stably.%针对传统LQR最优控制器选取权阵的不确定性以及由此引发的响应速度慢的问题,对两轮自平衡机器人系统进行改进控制,使用传统LQR算法进行系统控制,并对存在的问题提出解决方法,选择一加权矩阵使系统稳定性得到进一步的提高,对比改进前后的LQR控制器,使用MATLAB进行仿真对比,可以得出优化后的LQR具有良好的控制效果,达到了预期效果,并具有良好的稳定性.【期刊名称】《哈尔滨理工大学学报》【年(卷),期】2012(017)006【总页数】5页(P1-5)【关键词】两轮自平衡机器人;LQR;加权矩阵;稳定度设计【作者】武俊峰;张继段【作者单位】哈尔滨理工大学自动化学院,黑龙江哈尔滨150080;哈尔滨理工大学自动化学院,黑龙江哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】TP2730 引言在轮式移动机器人中，同轴两轮自平衡机器人是一种重要的仿生系统，它是基于倒立摆模型的一种新型研究工具，具有很多优点:结构简单、体积小、重量轻、运动灵活等，因此在社会和工业应用中具有很大的发展前景，对其进行的研究具有很高的商业价值和研究价值.两轮自平衡机器人本身就是一个多变量、非线性、本质不稳定的系统.本文以固高公司［1］生产的自平衡两轮机器人为实验平台，建立了该系统的数学模型，并在平衡点附近进行线性化建立了线性化的自平衡机器人的数学模型.最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它要解决的问题是按照对象的动态特性，选择一个使得被控对象按照要求运行，并使得各种指标都能达到最优值［2-3］.但是传统的最优控制由于权阵的选择都是依靠经验和多次实验得到很大的随机性［4-6］，针对最优控制的这种无可避免的人为因素，本文选择在原始的LQR控制器的加权矩阵上提出最优稳定度设计方法，并对系统进行仿真实验对比分析，从而验证该控制方法对系统进行控制的稳定性和抗干扰性.1 系统建模两轮自平衡机器人系统车体重心位于两轮转轴轴线之上，若不对其进行任何控制，那么机器人车体将会向前或向后倾倒.为了保护机器人，保护机器人的支架安装与机器人本体的夹角大约为25°，转化为弧度即为 0.43 rad［7-9］.以两轮轮轴中心为坐标原点，机器人前进的方向为x轴方向，垂直地面向上为y 轴方向，两轮轮轴所在直线为z方向，坐标系满足右手法则［10］.建立系统的数学模型.机器人受力分析如图1所示.图1 机器人受力分析自平衡两轮机器人的各项参数指标为:车轮半径R=0.106 m，车轮质量m=0.42 kg，两轮之间距离D=0.44 m，车体质量M=21 kg，车体质心到z轴的距离L=0.3 m，左、右轮对转轴的转动惯量为Jω，车体对y轴和z轴的转动惯量分别为Jδ和Jp，车体与 y轴的夹角为θ，车体与x轴的夹角为δ，左、右轮的位移为xl、xr，两轮转轴中心的位移为x，左、右轮与地面之间的摩擦力为fl、fr，左、右轮与车体相互作用力的x轴分量为Hl、Hr，左、右轮与车体相互作用力的y轴分量为Vl、Vr，左、右电机的输出转矩为Cl、Cr，两自由度模型中左、右电机的输出转矩Clr.对左轮进行受力分析可得:对车体进行受力分析可得:这里选取自平衡机器人的6个姿态信息:位移、速度、倾角、倾角速度、转角以及转角速度作为线性状态空间方程的状态变量，即，并在平衡点附近线性化，由θ≈0，sinθ≈θ，cosθ≈1，整理后得到的机器人的线性化状态空间方程为给左右轮电机施加控制电压，驱动左右轮运动，就能实现机器人的前进和转向.此线性化模型状态方程为双输入系统［11-12］，为了方便系统分析，可以通过解耦把上式分解成两个独立的单输入单输出系统.自平衡两轮机器人是基于倒立摆模型的系统，但也与倒立摆有许多不同之处［13-15］，即还可以实现人们所希望的运动，最常见的运动形式是给机器人一定的速度前行，如果需要更复杂的运动如期望轨迹追踪，则需要通过控制器给出响应的速度指令来实现.又机器人实体所处在外界环境中，肯定有不可预测的各种干扰，所以设计的控制器一定要具有鲁棒性强，并具有自适应能力的控制器［16］.令:系统解耦以后，可以分别为两个子系统设计各自的控制器.令Cl=Cr=Clr，可得机器人两自由度的线性模型分解为两个独立的子系统为:一个描述系统的位移、倾角、前进速度和倾角速度 x1=，输入控制量为Cθ，另一个描述系统绕着竖直轴的旋转角度和旋转角速度x2=，输入控制量为Cδ.则取式(12)对系统进行解耦，则有解耦后的两个系统状态线性方程分别为:子系统1:子系统2:这样原来的多输入系统就变成为了两个单输入的系统，分别对这两个子系统设计相应的控制器［17］，就能得到实际系统的左右两轮的输出转矩要求，进而达到做需要的控制目标.2 控制器设计与仿真分析2.1 改进的LQR控制理论对于普遍问题，线性二次型调节器中，矩阵Q和矩阵R用来平衡状态量与输入量的权重，对闭环系统动态性能影响很大.一般Q和R都取为对角阵.目前确定加权矩阵Q和R的普遍方法是仿真试凑法，该方法的基本原理是:首先进行分析初步选取Q和R，通过计算机仿真判断其是否符合设计要求，如果符合要求则停止仿真，然后求出最优增益矩阵，把K代入到实际系统的控制器参数中，这样就完成了控制器的设计.如果不符合要求，则须重新选取Q和R值重复进行，直至符合实际系统的性能指标要求为止.即所谓最优LQR控制还有许多人为的因素.对自平衡两轮机器人的控制要求就是提高其动态稳定性，所以，在本文中选择一种加权矩阵的最优稳定度设计，在这种策略中，我们希望所有的闭环极点均位于s-平面的s=-α线的左侧，其中α＞0，这样我们定义一个新的指标函数其中Q为n×n半正定对称常数矩阵;R为r×r型正定实对称矩阵.引入一个新的状态变量ξ(t)，使得ξ(t)=eαtx(t)，且新的控制量为v(t)=eαtu(t)，则原系统的状态方程可以改写为ξ·=(A+αI)ξ+Bv这时式(15)变成从而改进的Riccati代数方程为:新的最优控制策略变成u*(t)=-BTPx(t).通过这样的设计，可以进一步提高系统的稳定度.2.2 控制器设计及仿真分析为了试凑出满足系统控制的Q值，我们设Q=diag(［ρ，0，0，0］)改变ρ的值，即使ρ=5，50，500 编写Matlab语句并得出系统的阶跃响应.当参数ρ增加时，输出y(t)=x(t)的幅值减小，因为在指数函数中，对x(t)函数的约束也增加了，则为了对其他变量增加约束，需要响应增加变量对应的权值，在本控制中通过系统的仿真分析，取Q=diag(［1 300，10，9 000，50］)，该组数据进行改进前后的阶跃仿真响应图如图2所示.图2 改进前后的阶跃响应曲线由图2可以看出，改进后的LQR最优控制器(虚线显示)性能改进了，动态响应时间减小，趋于平稳的速度增加，由Matlab函数［18］得出此时K=［-36.055 5-37.125 3-152.110 2-24.016 5］，做出响应曲线.为了在自平衡机器人中验证改进后的控制器，我们给定初始位移x0=［0.2，0，0，0］T作为机器人的干扰量，得出位移控制仿真曲线如图3所示.再重新给定初始倾角角度 x0=［0，0，0.3，0］T作为机器人的干扰量，倾角控制仿真曲线如图4所示.图3 机器人位移控制曲线图4 机器人倾角控制曲线通过仿真实验研究发现，两轮自平衡机器人系统的稳定的时间，在位移控制中的稳定时间比较长，大约是4 s，而角度控制是在3 s左右，系统就能完全达到稳定状态.为了与未改进LQR控制进行对比分析，我们在相同的初始状态下做对比试验.我们仍然分别取初始位移 x0=［0.2，0，0，0］T和初始倾角 x0=［0，0，0.3，0］T，得出位移控制曲线如图5所示，倾角控制曲线如图6所示.图5 机器人位移改进控制曲线图6 机器人倾角改进控制曲线通过对比仿真实验研究发现，改进后的控制器的动态响应时间明显减少，缩短了1 s，当然两种方法都能实现稳定控制，但是稳定控制LQR动态响应时间短，稳定调整时间较短，而且倾角可控范围大得多.动态响应时间明显减少，提高了系统的动态稳定性.3 运动控制分析自平衡两轮机器人的自平衡功能和控制器设计后的移动控制的实现都已经在上一节中有所介绍，然而，在实际的运用过程中，不仅要求机器人能够达到自稳定［19-20］，还要能在地面上以一定的速度运动.我们把设计的控制器应用到固高公司生产的自平衡机器人中，进行运动控制仿真，来验证我们设计的控制器对运动系统进行稳定控制的可行性.给系统一个稳定的速度以1 m/s的速度稳定运行.系统经过1.5 s就能以匀速运动运行，控制性能良好.4 结语本文以自平衡机器人为实验平台，设计了LQR改进控制器，并进行了仿真对比分析，结果表明改进后的LQR能够实现大范围的振荡稳定，提高了系统的动态稳定性.机器人的运动控制实验表明，改进的LQR控制能够对机器人进行运动状态下的稳定控制，并具有良好的稳定性.参考文献:【相关文献】［1］GOOGOL Technology.Self-Balancing Robot GBOT1001 User Manual［R］.Googol Technology Limited，Hongkong，2007:4-16.［2］王耀南.机器人智能控制工程［M］.北京:科学出版社，2004:3-20.［3］韩力群.智能控制理论及应用［M］.北京:机械工业出版社，2007:20-45.［4］孙建勤.两轮自平衡小车大范围镇定方法研究［D］.西安:西安电子科技大学，2010:34-54. 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现代控制理论的主要内容介绍现代控制理论是控制工程领域的一门重要学科，它主要研究利用数学模型和计算机技术进行系统控制的方法和理论。

现代控制理论从20世纪50年代开始快速发展，并且在工业生产、航空航天、交通运输等领域有着广泛的应用。

本文将介绍现代控制理论的主要内容，包括控制理论的基本概念、常用的控制方法和现代控制系统的设计原则。

控制理论的基本概念系统在控制理论中，系统指的是需要被控制或调节的对象，可以是一个物理系统、一个工艺流程或是一个经济系统等。

系统可以被描述为由输入和输出组成的黑箱模型，通过对输入信号的调节，可以实现对输出信号的控制。

控制系统控制系统是由传感器、执行器、控制器和控制算法组成的一系列组件的集合。

控制系统的作用是通过对输入信号的调节，使得系统的输出达到预期的目标。

控制器根据传感器的反馈信息，通过控制算法计算出相应的控制信号，然后通过执行器对系统进行控制。

反馈控制反馈控制是控制系统中常用的一种控制方法。

它通过对系统输出的实时反馈信息进行测量和分析，然后根据反馈误差调节输入信号，使得输出信号逼近预期目标。

反馈控制能够提高系统的稳定性和鲁棒性，并且对系统参数变化有一定的适应性。

常用的控制方法比例积分微分控制（PID控制）PID控制是一种经典的控制方法，它根据误差的比例、积分和微分部分来计算控制信号。

比例部分根据当前误差与目标值之间的差异来计算控制信号，积分部分根据误差的累积值来计算控制信号，微分部分根据误差变化的速率来计算控制信号。

PID控制具有简单易实现、鲁棒性好的特点，在工业自动化控制中得到了广泛的应用。

线性二次调节（LQR）LQR是一种优化控制方法，它通过最小化系统状态变量和控制输入之间的二次代价函数来设计控制器。

LQR控制器的设计需要事先确定系统的数学模型，然后通过计算系统的状态反馈增益矩阵，将负反馈控制信号与系统状态进行线性组合。

LQR控制具有精确、快速、稳定的特点，在许多复杂系统中都有着广泛的应用。

lqr控制器的设计与实践LQR (Linear Quadratic Regulator) 控制器是一种经典的优化控制方法，广泛应用于线性动态系统的稳定性和性能优化。

LQR 控制器的设计基于状态反馈和最小二乘优化技术，通过调整状态反馈增益矩阵，可以使系统的状态收敛到期望值，并且最小化系统性能指标。

一、LQR控制器设计原理LQR 控制器的设计基于线性动态系统的状态空间表达形式，通常用以下形式表示：x_dot = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，u是控制输入，y是输出，A、B、C、D是系统的矩阵参数。

LQR 控制器的设计目标是最小化系统的性能指标，通常采用二次型形式：J = ∫(x^TQx + u^TRu)dt其中，Q和R是权重矩阵，用于调整状态误差和控制输入的相对重要性。

LQR 控制器的设计可以通过求解Riccati 方程来实现。

Riccati 方程的解可以给出最优状态反馈增益矩阵K，用于计算控制输入：u = -KxRiccati 方程的一般形式为：A^TP + PA - PBR^(-1)B^TP + Q = 0其中，P是对称正定的矩阵，满足A^TP + PA = -Q，K的表达式为：K = R^(-1)B^TP通过求解Riccati 方程，可以得到最优的状态反馈增益矩阵K，从而实现系统的最优控制。

二、LQR控制器的设计步骤下面是LQR控制器的设计步骤：1. 确定系统的状态空间表达形式，即确定系统的状态方程和输出方程中的矩阵参数A、B、C、D。

2. 选择合适的权重矩阵Q和R。

Q矩阵用于调整状态误差的重要性，R矩阵用于调整控制输入的重要性。

权重矩阵的选择可以根据实际需求进行调整，一般来说，Q和R矩阵都是对称正定的。

3. 求解Riccati 方程。

根据系统的状态方程和输出方程，以及选择的权重矩阵Q和R，求解Riccati 方程可以得到最优的状态反馈增益矩阵K。

4. 计算控制输入。

毕业设计（论文）任务书I、毕业设计(论文)题目：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真II、毕业设计(论文)使用的原始资料(数据)及设计技术要求：1、在深入了解倒立摆的基础上，熟悉单级倒立摆控制的基本原理2、了解单级倒立摆控制的发展趋势。

3、熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法。

4、建立单级倒立摆的数学模型，并编写MATLAB程序，完成倒立摆的仿真。

I I I、毕业设计(论文)工作内容及完成时间：工作安排如下：1、查阅文献，翻译英文资料，书写开题报告第1---4周2、相关资料的获取和必要知识的学习第5---9周3、设计系统的硬件和软件模块并调试第10--14周4、撰写论文第15--17周5、总结，准备答辩第18周Ⅳ、主要参考资料：1．阳武娇.基于MATLAB的一阶倒立摆控制系统的建模与仿真[J].电子元器件应用.2007，9(1):29-312 .杨世勇，徐莉苹，王培进.单级倒立摆的PID控制研究[J].控制工程.2007,14:23-53.3．黄忠霖.控制系统MATLAB计算及仿真[M].北京：国防工业出版社，2006．4．薛安客，王俊宏．倒立摆控制仿真与实验研究现状[J].杭州电子工业学院学报.2002，21(6):25-27.5 .徐征.基于遗传算法的PID控制器参数寻优方法的研究[D].武汉：武汉大学，2004．6．Takahas M，Narukawa T，Y oshida K．Intelligent transfer andstabilization control to unstable equilibrium point of double inverted pendulum．Int SICE 2003 Annual Co nfeFence，2003，2：1451-145.信息工程系自动化专业类1082022班学生（签名）：填写日期： 2014 年 1 月 10 日指导教师（签名）：助理指导教师(并指出所负责的部分)：信息工程系主任（签名）：单级倒立摆LQR控制器的设计及仿真摘要：单级倒立摆系统是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。

自动控制原理LQR方法知识点总结自动控制原理中，LQR（Linear Quadratic Regulator）方法是一种经典的控制算法，广泛应用于线性动态系统的状态反馈控制设计中。

本文将对LQR方法的知识点进行总结，包括其基本原理、设计步骤以及应用案例等。

一、LQR方法的基本原理LQR方法通过优化问题的方式，设计出最优的线性状态反馈控制器。

其基本原理可以归纳为以下几个步骤：1. 系统建模：首先，需要对所要控制的线性系统进行建模，并确定系统的状态方程和输出方程。

2. 系统线性化：将非线性系统线性化为线性系统，通常采用泰勒级数展开或者局部线性化的方法。

3. 设计性能指标：确定控制系统的性能指标，比如系统的稳定性、响应速度和控制器的能耗等。

4. 设计目标函数：将性能指标转化为目标函数，通常采用二次型的形式。

5. 求解最优控制器：使用最优化方法，求解目标函数的最小值，得到最优的控制器增益矩阵。

6. 实施控制器：将最优的控制器增益矩阵应用于系统中，实现状态反馈控制。

二、LQR方法的设计步骤在具体应用LQR方法进行控制器设计时，通常按照以下步骤进行：1. 系统建模与线性化：通过对所要控制的系统进行建模，并将其线性化为状态空间模型。

2. 确定控制性能指标：根据实际需求确定所要设计的控制系统的性能指标，如系统的稳定性、阻尼比、超调量等。

3. 设计目标函数：根据所确定的性能指标，设计二次型的目标函数，其中包括系统的状态向量和控制量。

4. 求解最优控制器：利用最优化算法，求解目标函数的最小值，得到最优的控制器增益矩阵。

5. 实施控制器：将最优的控制器增益矩阵应用于系统中，实现状态反馈控制。

三、LQR方法的应用案例LQR方法在实际控制系统中有着广泛的应用。

以下是一些LQR方法应用案例的实例：1. 飞行器控制：LQR方法可以应用于飞行器的姿态控制，通过测量飞行器的姿态参数，设计最优的控制器，实现稳定的飞行效果和精确的姿态控制。

MATLAB中的动态系统建模与仿真技巧引言：动态系统是指随时间变化而变化的系统，包括物理系统、经济系统、生物系统等。

建模和仿真是研究和分析动态系统的重要手段之一，而MATLAB作为一种强大的数值计算软件，为动态系统的建模和仿真提供了丰富的工具和技术。

本文将以MATLAB为工具，探讨动态系统建模与仿真的技巧。

一、理论背景与基本概念1. 动态系统的定义动态系统是指随时间发展而变化的系统，其状态和行为会根据给定的输入和初始条件而变化。

2. 状态空间表示状态空间表示是描述动态系统的一种数学模型，用一组微分方程描述系统的状态变化。

在MATLAB中，可以使用StateSpace模型来表示动态系统，方便进行建模和仿真。

3. 传递函数表示传递函数是动态系统中输入与输出之间的数学关系，是一种常用的数学模型表示方法。

在MATLAB中，可以使用tf模型来表示传递函数，并进行系统分析和仿真。

二、动态系统建模技巧1. 系统参数估计在建模过程中，往往需要根据实际数据对系统的参数进行估计。

MATLAB提供了多种参数估计方法和工具，如最小二乘法、极大似然法等，可以根据需要选择合适的方法进行参数估计。

2. 系统辨识系统辨识是指通过对给定输入输出数据进行分析和处理，推断出系统的结构和参数。

MATLAB提供了系统辨识工具箱，可以通过ARX、ARMAX、ARMA等方法对动态系统进行辨识，得到系统的确切模型。

3. 线性化与非线性建模对于一些非线性系统，在建模过程中可以通过线性化来简化模型。

MATLAB提供了非线性系统的线性化工具，并可根据需要选择不同的线性化方法和参数。

4. 时变系统建模对于一些随时间变化的系统，可以通过建立时变模型来描述系统的变化。

MATLAB提供了时变系统建模的工具和函数，如timevaryingss、timevaryingtf等，可以方便地进行时变系统的建模和仿真。

5. 多输入多输出系统建模多输入多输出系统是指有多个输入和多个输出的系统。