定值问题

《定值问题》专题精讲1.定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2.探索圆锥曲线定值问题的两种方法(1)从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.解答的关键是认真审题,理清问题与题设的关系,建立合理的方程或函数,利用等量关系统一变量,最后消元得出定值.典例1如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明:|FP|−|FP|cos2α为定值,并求此定值.思路:理解抛物线与直线位置关系的定值问题,求|FP|−|FP|cos2α定值,属于求代数式为定值.依题意设条件,推测、分析、计算得到与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值. 解析:(1)焦点F(2,0),准线l:x=−2.(2)直线AB:y=tanα(x−2),①将28yx 代入①,整理得y2tanα−8y−16tanα=0,②设方程②的两根为y 1,y 2,则12128,tan 16.y y y y α⎧⎪⎨⎪==-⎩+设AB 中点为M (x 0,y 0),则120004,2tan 2,tan y y y y x αα⎧⎪⎪⎨⎪⎪+=+⎩== AB 的垂直平分线方程是21144(2)tan tan tan y x ααα-=---. 令y =0,则246tan x α=+,有24(6,0)tan P α+ 故|FP |=|OP |−|OF |=22241624(1)4cos tan tan ααα+-=+=, 于是24||||cos 2(1cos 2)8sin FP FP ααα-=-=,故为定值. 典例2 (陕西咸阳高三二模)已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)过点3(1,)2,且其离心率为12,过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.思路:第(1)问根据所过点以及离心率,分析计算出椭圆方程;第(2)问考虑两种情况,即直线MN 的斜率存在与不存在,联立直线与椭圆方程,利用根与系数的关系分析计算即可.解析:(1)∵椭圆C 经过点3(1,)2, ∴221914a b+=. 又∵12c a =,解得a 2=4,b 2=3, ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)当直线MN 的斜率不存在时,由对称性,设M (x 0,x 0),N (x 0,−x 0).∵M ,N 在椭圆C 上,∴2200143x x +=,∴20127x =. ∴O 到直线MN的距离为0||7d x ==,所以22127x y +=. 当直线MN 的斜率存在时,设MN 的方程为y =kx +m , 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得222(34)84120k x kmx m +++-=. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++. ∵OM ⊥ON ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴2212121212()()(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=. ∴22222224128(1)0,3434m k m k m k k -+⋅-+=++即22712(1)m k =+. ∴O 到直线MN的距离为7d ===, 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切.。

四、定值问题的证法定值问题在初中平面几何中已经多次遇到，只不过没有明确它们是“定值”而已！如：底边固定，顶点在与底边的直线上移动，则三角形的面积为定值； 点在弓形弧上移动，则对底边所张的视角为定值；过圆内一定点任意作弦，则弦被该点所分的两部分之积为定值； ……由此可见，定值问题反映出某种“动态”之下不变的量，正是这种不变的量，才使我们深刻地理解并掌握该“动态”的规律，因此，定值问题有着十分丰富的内容，由它还可以引发出一些生动的故事，引起人们对几何产生浓厚的兴趣．许多定值问题有时摇身一变，而成为我们欲定的轨迹，有些定值命题又可用来求极大、极小值，由于这多种用途，很有必要掌握它们的证法．定值问题常用的证明思路：定值问题，实质上也是一个等量问题．因此，前面介绍的各种方法，都可运用在定值问题中，但针对定值的特点，还应注意以下几个方面．1、探求有时，定值问题中并没有具体给出定值来，这时就需要以特殊位置先求这个定值．特殊情况随题而异，通常以动线处于平行、垂直的位置较易算之；对变动的三角形，则又以正的、等腰、直角为宜；涉及到圆，则圆心、切线、公共弦……又有很多性质好为我们利用．2、转化设法转化成已知的定值问题． 3、途径当定值问题不能转化时，通常可沿如下三条途径去试着论证． (1)证任一情形与某特殊情形有相同之值； (2)证任二情形有相同之值；(3)把任一情形的值用题中给定的常量表示出来．这最后一条，正是以前所讲的计算方法，不过在这里，计算之初，有时要先设一个参变量，以体现“动态”之动，然后以参变量为媒介，计算欲定之值，最后化简得出欲算之值不含该参变量，就表明它在“动态”之中确实不变．例3.12 已知⊙O 1、⊙O 2，每一圆的圆心在另一圆周上，A 、B 是二圆之交点，过B 任作一割线分别交二圆于M 、N ，B 在M 、N 之间． 试求：切圆于M 、N 之二切线间的夹角．探索：从题意看，随割线的位置不同，所求之角若变化，这样是求不出的，因此所求之角应与割线无关，故不妨以特殊位置先定其大小．相对于公共弦AB ，宜取与它垂直的割线M 0N 0，如图3-83，这时，由∠ABM 0=∠ABN 0=90o可知，AM 0、AN 0分别过各圆之圆心．故△AM 0N 0是正△，因而易知所求之角应为120o．依此证之如下：证法1：与特殊值皆等如上之探索，先作一特殊割线M 0N 0，再作任一割线MN ，如图3-84．图 3-83图 3-84∵ ∠M 0AM =∠M 0BM =∠N 0BN =∠N 0AN ，∴ ∠MAN =∠M 0AN 0=60o．由弦切角定理，∠TMN +∠TNM =∠MAB +∠NAB =∠MAN =60o．∴ ∠MTN =120o(定值)． 证法2：任二值相等将上述证法中的M 0N 0换成任意位置M 1N 1，如图3-85，则照搬上述过程，可证出∠MTN =∠M 1T 1N 1，即二切线之夹角为定值．证法3：算出任一个由每个圆心在另一圆上可知：∠AO 1B =∠AO 2B =120o． 对任一割线MN ，如图3-86，皆有：o 11602AMN AO B ∠=∠=，o 21602ANM AO B ∠=∠=，∴ △AMN 是正三角形⇒∠MAN =60o．∴ αβ+=60o ⇒∠MTN =120o(定值)．本例的三种证法，体现了上面所述的证定值问题的三种途径．不过，单凭第二种，只能肯定是定值，而未能定出具体值，但任二情形当然也包括特殊的，故如探索，即可定出．最后补充一点：如图3-87，B 不在M 、N 之间．∵ ∠AMN =180o -∠AMB =180o-∠AO 2B =180o -120o =60o，o 21602ANB AO B ∠=∠=，∴ △AMN 是正三角形⇒∠MAN =60o．又 ∠AMT =∠ABM ，∠ANT =∠ABM ，∴ A 、M 、N 、T 四点共圆⇒∠MTN =∠MAN =60o．即，如果题中省略“B 在M 、N 之间”，则二切线MT 、NT 的夹角是60o或120o．例3.13 定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆周上滑动，SP ⊥AB 于P ，M 是ST 之中点．求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角． 探索：题中没给出角的大小，故应以特殊位置S 0T 0探求． 相对于AB ，以S 0T 0∥AB 为宜，因为这时具有对称性，如图3-88，容易看出：∠S 0P 0M 0=∠S 0OM 012=∠S 0OT 0．图3-85图3-86图3-870图 3-88依此看来，弦长一定，所对的圆心角也定，而定角正是这弦长一定的产物．依此，可得如下两种证法．证法1：化归为圆心角如图3-89，连结OM 、OS 、OT ，则有：OM ⊥ST ⇒S 、P 、O 、M 四点共圆⇒SPM SOM ∠=∠，而 12SOM SOT ∠=∠．∴ 12SPM SOT ∠=∠=定值．证法2：化归为圆周角为使定角移至圆周角，先画出全圆周，再延长SP 交另一半圆周于Q ，再连TQ ，如图3-90，则由中位线定理知：PM ∥QT ．故 ∠SPM =∠SQT =定值．例3.14 已知：正△ABC 的边长为1，如图3-91，等腰△DBC 的顶角∠BDC =120o ，以D 为顶点任作一个60o的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ．求证：△AMN 的周长等于2．分析：因2AB BC +=，容易看出：△AMN 的周长等于2⇔MN BM CN =+， 于是，只需证后式即可．为此，在MN 上取点E ，无论是使M DE M DB ∠=∠，还是使ME MB =，或是使DE ⊥MN ，企望直接用全等形去证：E 把MN 分成的两段恰与BM 、CN 分别相等，因缺一条件而遇到困难．既然直接去证困难，我们改用间接去证．证法1：同一法如图3-92，作M D E M D B ∠=∠，且使DE DB =，则有：△MDE ≌△MDB ⇒M ED M BD ∠=∠=90o． ∵ DB DC =， ∴ DE DC =． 又 NDE MDE MDN ∠+∠=∠=60o．NDC MDB ∠+∠=120o MDN -∠=60o．∴ NDE NDC ∠=∠． ∴ △NDE ≌△NDC ⇒NED NCD ∠=∠=90o．∴ M 、E 、N 三点共线，即E 在MN 上． 再由两组全等形知：BM EM =，CN EN =， ∴ MN BM CN =+．证毕．既然把MN 分成两段去证有难度，何不反过来，把BM 、CN 合成一段！即有：证法2：作出线段和如图3-93，延长MB 至F ，使BF CN =，连结DF ．则易知：Rt △BDF ≌Rt △CDN ⇒BDF CDN ∠=∠，DF DN =．从而有 MDF MDN ∠=∠=60o．图 3-89图3-90图3-91图 3-92图 3-93∴ △MDF ≌△MDN ，∴ MN MF BM CN ==+．证毕．作出图3-93中的辅助线还有下列方式：作BDF CDN ∠=∠，使DF DN =(或使DF 交MB 的延长线于F )，或将△CDN 绕点D 逆时针旋转120o，然后去证都行的通，自行不妨一试．当然，也可在NC 的延长线上作出MB ，但无本质区别．如果一时引不出辅助线，也可采用计算的办法，因为本例中含有直角等一些特殊角．证法3：计算如图3-94，设BM a =，CN b =，在△CDN 中，由余弦定理：222o 2cos60MN AM AN AM AN =+-⋅⋅22(1)(1)(1)(1)a b a b =-+---- 221()a b a b ab =++-+-在△BDC 中，易算得BD CD ==故tan α，tan β=．又tan 60tan()o αβ==+=，∴ 1()3a b ab -+=，∴ 22222()MN a b ab a b =++=+，即 MN BM CN =+． 引申：对本例细加分析，就可看出它的来源，并加以推广．首先，从证法1中容易看出：自D 作DE ⊥MN于E ，如图3-95，则有DE DB DC ==，故以D 为圆心，以DB 为半径画圆，则BMNC 正是与此圆相切的折线，切点为B 、E 、C ．于是，原题的条件和结论：12MDN BDC ∠=∠，△AMN 的周长等于2AB ，都是十分显然的，因此，原命题之逆也是一个定值问题，即有：例3.15 已知：正△ABC 的边长为1，如图3-91，等腰△DBC 的顶角∠BDC =120o，∠MDN 的两边分别交AB 、AC 于M 、N ．若△AMN 的周长等于2，则∠MDN 为定值(60o)．从图3-95中进一步可看出，保持相切关系不变，当切点B 或C 在圆上滑动时，如图3-96，则正三角形变为等腰三角形，此时，12MDN BDC ∠=∠，△AMN 的周长等于2AB ，仍然成立．再隐去相切之圆，可得到如下推广：例3.16 已知等腰△ABC 中，AB AC =，D 与A 在BC 之异侧，且BD ⊥AB ，CD ⊥AC ，M 、N 分别在AB 、AC 上．则12MDN BDC ∠=∠⇔△AMN 的周长等于2AB ．这再一次表明：深挖一下题目的背景和来源，有利于我们加深理解并加以推广．图3-94图3-95图 3-96如前所述，定值问题也可用来解决极值问题，对此，请看一道赛题． 例3.17 设定点A 位于定圆⊙O 外，自A 引⊙O 的二切线AB 、AC ，再在劣弧 BC上任取一点P ，过P 引切线分别与AB 、AC 相交于M 、N ，如图3-97．试问：P 点在劣弧 BC上移动到何处时，△AMN 的面积最大？并证明之．证法1：利用定值 由上例可知：△AMN 的周长为定值．而周长为定值的三角形以正三角形的面积为最大．又因∠MAN 为定角，故△AMN 只能以等腰时的面积为最大，因此，当P 处于 BC的中点时，△AMN 的面积为最大． 证法2：计算如图3-97，设⊙O 的半径为r ，△AMN 的面积为S ．则：S ABOC BMNCO =-四边形的面积五边形的面积2MNO ABOC S ∆=-四边形的面积，由于四边形ABOC 的面积为定值，12MNO S r MN ∆=⋅，故当MN 最小时，S最大．记BOM α∠=，CON β∠=，则有：tan MP BM r α==，tan PN CN r β==， 所以，(tan tan )tan()(1tan tan )MN MP PN r r αβαβαβ=+=+=+-，其中，1tan()tan tan 2r r BOC r BOA αβ+=∠=∠AB =为定值，而cos cos sin sin 2cos()1tan tan cos cos cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβ-+-==-++，故知当αβ=时，MN 达到最小值．此时易知，P 是 BC的中点． 所以，当P 滑动到 BC的中点时，△AMN 的面积最大． 进而，我们还可以求出△AMN 面积的最大值来： 如图3-98，当△AMN 的面积S 最大时，易知P 也是MN 与AO 的交点．设AO a =，则cos()cos OB rBOA OA aαβ+=∠==， ∴ 221tan tan 1r a rr a a rαβ-==++． 又tan()tan AB BOA OB αβ+=∠= ∴2r MN r a r ==+最小图 3-97图 3-98∴ 12S AP MN =⋅=最大最小 当然，MN 的最小值也可由△AMP ∽△AOB 求出：MP APBO AB =⇒BO AP MP AB ⋅===⇒2MN MP ==最小．此外，还有定位问题，即在动态之中，某些动线恒过定点等，它们也很有趣．请看下节的例3.26．。

专题——双曲线定值问题
双曲线是解析几何中的一种特殊曲线，具有许多重要的性质和应用。

在研究双曲线时，了解和解决双曲线的定值问题是一个关键的任务。

本文将介绍双曲线的定值问题，并探讨其中的一些重要概念和应用。

定值问题的概念
定值问题是指给定一个曲线，求解曲线上满足某些特定条件的点或曲线方程的问题。

对于双曲线而言，定值问题可以包括求解双曲线上的点的坐标、求解过给定点的双曲线的方程等。

常见的双曲线定值问题
以下是一些常见的双曲线定值问题：
1. 求解双曲线上的点的坐标：给定一个双曲线的方程，求解曲线上满足特定条件的点的坐标，如与坐标轴的交点、离焦点一定距离的点等。

2. 求解过给定点的双曲线的方程：给定一个点，求解过该点的双曲线的方程。

3. 求解满足双曲线与其他曲线的交点：给定双曲线和另一条曲线的方程，求解两条曲线的交点。

双曲线定值问题的应用
双曲线的定值问题在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用：
1. 抛物面反射定律：双曲线的性质使得它在描述光线在抛物面上的反射问题时起到重要的作用。

2. 天体轨道计算：天体的运动轨迹可以用双曲线描述，通过解决双曲线的定值问题，可以计算天体的轨道参数。

3. 电磁场分布：双曲线的形状可以用来描述电磁场在空间中的分布情况，通过解决双曲线的定值问题，可以计算电磁场的强度和分布。

结论
双曲线定值问题是研究双曲线的重要内容之一。

通过解决双曲线的定值问题，我们可以更好地理解和应用双曲线的性质。

双曲线定值问题在数学和物理学等领域中有着广泛的应用，对于推动科学和技术的发展具有重要意义。

专题九：二次函数之定值问题■坐标为定值例题1：抛物线y=x2+bx+c与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,与y 轴交于点C.(1)如图1,若OB=2OA=2OC①求抛物线的解析式；②若M是第一象限抛物线上一点，若cosNMAC=唱，求M点坐标.(2)如图2,直线EF〃x轴与抛物线相交于E、F两点，P为EF下方抛物线上一点，且P(m,-2).若N EPF=90°,则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．图1圉2练习1.如图1,抛物线y=^(x-m)2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线L与抛物线有且只有一个公共点，L交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若N BAO=N PCD,求证：AC=2AD；(3)如图3,以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角/MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标.■线段之和为定值例题1：如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C(0,-3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC,点P在抛物线上且满足N PAB=2N ACO.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.练习1：抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C,点P在抛物线上，且位于x轴下方.(1)若P(1,-3)、B(4,0),①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足N DPO=N POB,求点D的坐标；(2)如图，在(1)中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点，点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是,请说明理由．■■■■■例题1：如图，已知抛物线交X轴于A.B两点，交y轴于C点，A点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；(3)若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、4M2BC、4M3BC的面积均为定值S,求出定值S及M「M2、M3这三个点的坐标.练习1.已知关于X的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)(1)求c的值；(2)求a的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记4PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1-S2为常数，并求出该常数。

定值问题方法归纳
定值问题是一种需要找到一个固定值的问题，这个值通常隐藏在问题提供的条件中。

解决定值问题的方法可以归纳为以下几个方面：
1、建立数学方程：根据问题的描述，建立可以体现该定值的方程。

这个方程可能涉及多个变量，需要仔细分析问题以建立正确的方程。

2、化简方程：一旦建立了方程，下一步就是化简它。

这可能涉及代数操作，如合并同类项、移项、消元等，以使方程变得更加简单和易于解决。

3、解方程：在方程化简后，可以使用适当的解法来找到定值。

这可能涉及求解方程的根，或者通过其他方法找到定值。

4、验证答案：找到定值后，需要回到原始问题中验证答案是否合理。

这可能涉及将答案代入方程或其他方法，以确认它是否满足问题的条件。

以上是解决定值问题的一般方法，但具体的方法可能会根据问题的具体形式和内容有所不同。

重要的是理解问题的本质，并能够将问题转化为数学形式。

初一数学定值问题例子定值问题在初一数学中是一个常见的问题类型，通常涉及到一些变量或表达式，它们的值始终保持不变。

以下是一个简单的例子：例题：设$x$、$y$、$z$为正实数，且$x + y + z = 2$，求$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$的值。

解：根据已知条件，我们有：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{x + y + z}{xyz}$因为$x + y + z = 2$，所以：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{xyz}$为了求出$\frac{2}{xyz}$的值，我们可以将原式变形为：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}( \frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z} ) (x + y + z)$$= \frac{1}{2}( 3 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{z})$由于$x$、$y$、$z$为正实数，根据基本不等式，我们有：$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2\sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}} = 2$ $\frac{z}{y} + \frac{y}{z} \geq 2\sqrt{\frac{z}{y} \cdot \frac{y}{z}} = 2$ $\frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2\sqrt{\frac{z}{x} \cdot \frac{x}{z}} = 2$将上述不等式相加，得到：$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{1}{2}( 3 + 2 + 2 + 2 ) = \frac{9}{2}$当且仅当$x = y = z = \frac{2}{3}$时，等号成立。

圆锥曲线中的定值问题一、基础知识：所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。

1、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。

2、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 （3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 二、典型例题：例1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为43y x =，右焦点()5,0F ，双曲线的实轴为12A A ，P 为双曲线上一点（不同于12,A A ），直线12,A P A P 分别于直线9:5l x =交于,M N 两点 （1）求双曲线的方程（2）试判断FM FN ⋅是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由解：（1）由()5,0F 可得5c =，且焦点在x 轴上所以设双曲线方程为：22221x y a b -=，则渐近线方程为b y x a=±43b a ∴= 由22225a b c +==解得：34a b =⎧⎨=⎩∴双曲线方程为1916-=（2）由（1）可得：()()123,0,3,0A A -，设()00,P x y设()11:3A P y k x =+，联立方程()1395y k x x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：1924,55M k ⎛⎫⎪⎝⎭同理：设()22:3A P y k x =-，联立方程()1395y k x x =-⎧⎪⎨=⎪⎩可得：296,55N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭121624166,,,5555k k FM FN ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 122561442525k k FM FN ∴⋅=- 下面考虑计算12k k 的值001200,33y y k k x x ==+- 2012209y k k x ∴=- ()00,P x y 在双曲线上()22222000001616116991699x y x y x -=⇒=-=- 2012201699y k k x ∴==-25614416025259FM FN ∴⋅=-⋅= 所以FM FN ⋅为定值例2：已知椭圆()222210x y a b ab +=>>2⎭ （1）求椭圆方程（2）设不过原点O 的直线():0l y kx m k =+≠，与该椭圆交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率依次为12,k k ，且满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由解：（1）由e a ==可得：::2a b c =∴椭圆方程为222214x y b b +=代入2⎭可得：22221142b b ⎛+⋅= ⎝⎭解得：1b = 2a ∴= ∴椭圆方程为2214x y +=（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程可得：2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 可得：()2244x kx m ++=，整理可得： ()222418440kx kmx m +++-=依题意可知：112212111222,y kx m m y kx m m k k k k x x x x x x ++===+===+ 121211442k k k k k m x x ⎛⎫∴=+⇒=++ ⎪⎝⎭即12122x x k m x x +=⋅① 由方程()222418440k x kmx m +++-=可得：2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++ 代入①可得： 22284124441km k k m m k -+=⋅-+，整理可得：222282144km k m m m =-⇒-=-- 212m =∴可知2m 为定值，与k 的取值无关例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2e =，动点()()2,0M t t >（1）求椭圆标准方程（2）设F 为椭圆的右焦点，过F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：ON 的长为定值，并求出这个定值 解：（1）由2e =::a b c = ∴椭圆方程可转化为：222212x y b b +=，将122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得：22221111222b b ⎛⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：21b = ∴椭圆方程为2212x y +=（2）由（1）可得：()1,0F :2t OM y x =思路一：通过圆的性质可得ON MN ⊥，而NF OM ⊥（设垂足为K ），由双垂直可想到射影定理，从而2ON OK OM =⋅，即可判定ON 为定值()2:1FN y x t∴=--，设OM 与FN 相交于K 则()2:21t y x K y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：2242,44t K t t ⎛⎫ ⎪++⎝⎭OK ∴==OM = OM 为圆的直径 ON MN ∴⊥NK OM ⊥由射影定理可得：22ON OK OM =⋅=ON ∴=思路二：本题也可从坐标入手，设()00,N x y ，则只需证明22200ON x y =+为定值即可，通过条件寻找00,x y 关系，一方面：0FN OM FN OM ⊥⇒⋅=，可得0022x ty +=；另一方面由N 点在圆上，可求出圆的方程()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，从而()222001124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，展开后即可得到2200x y +为定值解：设()00,N x y ，则()()001,,2,FN x y OM t =-=()00210FN OM x y t ∴⋅=-+=0022x y t ∴+=OM 的中点坐标为1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭，OM =2r ∴=∴以OM 为直径的圆方程为：()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭代入()00,N x y ，可得：()222001124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭222200021144t t x y x ty ∴+-+-+=+22000022x y x ty ⇒+=+=22002x y ∴+=即22ON =ON ∴=例4：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为23，半焦距为()0c c >，且1a c -=，经过椭圆的左焦点F ，斜率为()110k k ≠的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点（1）求椭圆C 的方程（2）设()1,0R ，延长,AR BR 分别与椭圆交于,C D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值 解：（1）23c e a ==，设2,3c k a k == 由1a c -=可得：3211k k k -=⇒=3,2a c ∴==2225b a c ∴=-=22:195x y C ∴+=（2）由（1）可得()2,0F - ，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 可得：()11111:111y x AR y x x y x y -=-⇒=+- ∴联立方程1211122211115140195x x y y x x y y y y x y -⎧=+⎪--⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩221113114455y y y y x x ∴=-=-- 13145y y x ∴=- 11331115915x x x y y x --∴=+=- 1111594,55x y C x x ⎛⎫-∴ ⎪--⎝⎭同理，直线BR 与椭圆交点D 的坐标为2222594,55x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭()()()()()()12122134122123412211244454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x -------∴===-----------()()()()()1221122121212145455164y x y x y x y x y y x x x x ----+-==--设()1:2AB y k x =+ ()()11121222y k x y k x =+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩，代入可得：()()()()()()()1121212112121221212252544k x x k x x y y k x x y y k x x x x +-++--+-==--211111211515724244y y k k k k x x -=+⋅=+=- 2174k k ∴= 例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为()1,0F，且点2P ⎭在椭圆C 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为,M N （,M N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为,m n ，求证：22113m n +为定值 解：（1）依()1,0F 可知1c = ∴椭圆方程为222211x y a a +=-代入2P ⎫⎪⎭解得：24a = 2223b a c ∴=-=∴椭圆方程为22143x y +=（2）思路：由（1）可得：2213:144x y C +=，可设()00,Q x y ，由题意可知MN 为过Q 作圆切线所产生的切点弦，所以004:3MN x x y y +=,从而可得0044,33m n x y ==，所以()2200221193348x y m n +=+，由椭圆方程可得220034x y +=，从而2211933124m n +==为定值 解：由（1）可得：222213:11544433x y x y C +=⇒+=-设()00,Q x y ∴可知MN 是过Q 作圆切线所产生的切点弦 设()()1122,,,M x y N x y ，由,M N 是切点可得：,OM MQ ON NQ ⊥⊥111MQ OMx k k y ∴=-=-()1001:x MQ y y x x y ∴-=-，代入()11,M x y ：()110101xy y x x y -=--， 即22101011x x y y x y +=+ ，同理可知对于NQ ，有22202022x x y y x y +=+因为,M N 在圆224:3O x y +=上 221122224343x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩101020204343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩ ,M N ∴为直线0043x x y y +=上的点因为两点唯一确定一条直线004:3MN x x y y ∴+=，即0014433x y x y +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由截距式可知0044,33m n x y ==()2222000022111999333161648x y x y m n ∴+=⋅+=+ Q 在椭圆1C 上220034x y ∴+=()220022119333484x y m n ∴+=+=即22113m n +为定值 （1）本题定值是通过整体代入的手段，即抓住最后22034x y +=的特点整体消去00,x y 所得，所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。

㊀㊀㊀例谈解析几何中的定值问题◉福建省莆田第六中学㊀苏雪晶㊀㊀摘要:定值问题是解析几何中的常见问题,因其涉及的题型多,灵活性强,对运算能力要求高,所以为了促进学生的深度学习,本文中选例做到活而不空㊁深而不偏,以研究定值问题常见题型的解题策略．关键词:定值;定点;深度学习;解题１引言定值问题和定点问题是解析几何高考题中的热点题型．本研究重点探究定值问题中如何转化,优化运算,提高解题效率等问题．定值问题一般涉及与曲线上的动点㊁线系等有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长㊁面积㊁横(纵)坐标㊁长度比值,掌握了定值求值规律和技巧,会更好地解决这一类问题,做到由此及彼㊁触类旁通．２定值问题题型分析解题过程中,要总结解题方法,理解解题策略,通过有效的方法来分析,达到掌握通性通法,面对相关问题都可以轻松应对．在解题时要引入核心变量,将所求表达式用核心变量表示,通过推理㊁计算,消去变量,从而得到定值．定值的确定是解题的根本,也是解题的最终目标．当然实践是检验真理的唯一标准,我们要深入掌握这类题型的解题方法,必须勤加练习,积累解题经验,优化解题过程,不断调整解题策略,下面让我们通过几个典型例题来小试牛刀．２．１题型一:斜率定值问题例１㊀已知抛物线C:y２＝a x(a＞０)上一点P t,１２æèçöø÷到焦点F的距离为２t．(１)求抛物线C的方程;(２)抛物线C上一点A的纵坐标为１,过点Q(３,－１)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,A N的斜率分别为k１,k２,求证:k１k２为定值．解析:(１)抛物线C的方程为y２＝x．(过程略)(２)因为点A在抛物线C上,且纵坐标y A＝１,所以A(１,１)．设过点Q(３,－１)的直线方程为x－３＝m(y＋１),即x＝m y＋m＋３．①式①代入y２＝x,得y２－m y－m－３＝０．设M(x１,y１),N(x２,y２),由韦达定理得y１＋y２＝m,y１y２＝－m－３．所以k１k２＝y１－１x１－１y２－１x２－１＝y１y２－(y１＋y２)＋１m２y１y２＋m(m＋２)(y１＋y２)＋(m＋２)２＝－１２．因此,k１k２为定值．反思:解答时要明确解答的思路,这点并不困难,难点在于联立方程后结合条件化简运算．在解题时,不仅要明确题目中的已知数据和要求,还要掌握联立方程后结合韦达定理进行化简运算,提高计算能力,掌握计算技巧．２．２题型二:面积定值问题例２㊀已知双曲线C:x２a２－y２b２＝１(a＞０,b＞０)的一个焦点坐标为(３,０),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为２２,O为坐标原点．(１)求双曲线C的方程;(２)直线l与x轴正半轴相交于一点D,与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点,证明:әO MN的面积为定值,并求出该定值．解析:(１)由双曲线C的一个焦点坐标为(３,０),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为２２,得c＝３,ba＝２２,a２＋b２＝c２,ìîíïïïï解得a２＝１,b２＝８．{因此,双曲线C的方程为x２－y２８＝１．(２)因为直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),所以直线l的斜率存在且不为０．设直线l的方程为y＝k x＋m,因为双曲线两条渐近线倾斜角的正切值分别为２２,－２２,所以kʂʃ２２．直线l与x轴正半轴相交于一点D,则mʂ０．由y＝k x＋m,x２－y２８＝１{消去y,得６５复习备考学习交流㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年７月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀(８－k ２)x ２－２k m x －m ２－８＝０．由直线与双曲线右支相切得,Δ＝４k ２m ２－４(８－k ２)(－m ２－８)＝０,即８－k ２＝－m ２．由于直线l 与x 轴正半轴交于一点D ,令y ＝０,代入直线l 的方程得x ＝－m k ,即|O D |＝－mk．所以S әM O N ＝S әM O D ＋S әN O D ＝１２|O D | |y M －y N |＝－m２k|k | |x M －x N |．双曲线两条渐近线方程为y ＝ʃ２２x ,联立y ＝２２x ,y ＝k x ＋m ,{可得M m ２２－k ,２２m ２２－k æèçöø÷．同理,易得N －m ２２＋k ,２２m ２２＋k æèçöø÷．S әM O N ＝－m２k |k | m ２２－k ＋m ２２＋k＝１２|－m | ４２m ８－k ２＝－２２m ２８－k２＝２２．故әO MN 的面积为定值２２．反思:本题考查了双曲线方程的求解以及直线和双曲线(或其渐近线)相交时产生的相关面积定值问题．解答时要注意结合图形的几何特征合理使用公式．本题需要选择表示三角形面积的最佳路径,从而将面积转化为坐标关系继而解答,化简整理时,运算比较繁杂,要十分细心．２．３题型三:相关比值定值问题例３㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的离心率是１２,A ,B 分别为椭圆C 的左㊁右顶点,F 是右焦点,过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ,Q ,当直线l 垂直于x 轴时,四边形A P B Q 面积是６．(１)求椭圆C 的方程;(２)若直线l 的斜率为k (k ʂ０),线段P Q 的垂直平分线与x 轴交于点M ,求证:|M F ||P Q |为定值．解析:(１)由x ２a ２＋y ２b２＝１,令x ＝c ,得y ＝ʃb ２a ,所以,当l 垂直x 轴时,|P Q |＝２b２a．于是S 四边形A P B Q ＝１２|A B | |P Q |＝１２ˑ２a ˑ２b ２a＝２b ２＝６,得b ２＝３．又因为e ＝c a ＝１２,a ２＝b ２＋c２,所以a ２＝４．所以,椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１．(２)证明:由题意可知,F (１,０),直线l 的方程为y ＝k (x －１)．由x ２４＋y ２３＝１,y ＝k (x －１){消去y ,得(４k ２＋３)x ２－８k ２x ＋４k ２－１２＝０．设P (x １,y １),Q (x ２,y ２),则x １＋x ２＝８k ２４k ２＋３,x １x ２＝４k ２－１２４k ２＋３,y １＋y ２＝k (x １＋x ２)－２k ＝－６k４k ２＋３．设P Q 的中点为N ,则N ４k ２４k ２＋３,－３k ４k ２＋３æèçöø÷．于是直线MN 的方程为y ＋３k ４k ２＋３＝－１k x －４k ２４k ２＋３æèçöø÷．令y ＝０,得M k ２４k ２＋３,０æèçöø÷．所以|M F |＝３(k ２＋１)４k ２＋３．又|P Q |＝１＋k ２ (x １＋x ２)２－４x １x ２＝１＋k ２８k ２４k ２＋３æèçöø÷２－４(４k ２－１２)４k ２＋３＝１２(k ２＋１)４k ２＋３．所以|M F ||P Q |＝１４为定值．反思:解题过程中要明确解题方法和其中包含的数学思想．认真审题,分析解题用到的数学思想方法,学会借助韦达定理来表示每一条线段长．当解题思路明晰时,会发现线段长都用核心变量表示出来后就能求出定值．分析时要寻找题目中已经给出来的已知信息,判断不同数据之间的逻辑关系,在推理中把握联系,形成客观性认识,明确思路,快速解题．３总结以上几种思维策略是高中数学中常用方法,对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(如直线斜率不存在或为０)或者对称关系求出定值,进而给后面一般情形指明方向;运算中尽量利用变量之间关系(如点的坐标符合曲线方程等)做到整体代入,设而不求,简化运算．要想在高考中运用自如,需要在平常的解题过程中多加实践,不断理清思路,积累经验,提升逻辑思维能力和运算能力,最终达到对此类题型熟能生巧㊁胸有成竹．７５２０２２年７月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀学习交流复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

初一数学动点定值问题
初一数学中的动点定值问题是一个有趣且富有挑战性的主题。

这类问题通常涉及到一定点在某个图形上运动，并研究某些量是否随点的运动而变化，以及如何变化。

关键在于找到那些不随点运动而变化的量，即定值。

例如，考虑一个直角三角形，其中一条直角边长度固定，另一直角边和斜边分别有一个动点。

当这两个动点沿着固定边所在直线运动时，斜边上的动点形成一条直线。

问题在于，这条直线的长度是否是一个定值。

解决这类问题的步骤通常包括：
1.确定动点的轨迹：首先需要明确动点在哪些位置上移动。

这通常涉及到几何图形的性质
和条件。

2.建立数学模型：使用代数或几何公式来表示动点之间的关系。

这可能涉及到距离、角度
或其他几何属性。

3.寻找定值：通过化简数学模型或使用代数方法，找出那些不随动点位置变化的量。

这可
能是一个具体的数值，也可能是一个与动点位置无关的表达式。

4.证明定值性质：为了确保所得结果是正确的，需要进行逻辑证明。

这可能涉及到几何图
形的性质、公理或定理。

5.应用与扩展：一旦找到了定值，可以尝试将其应用于其他类似的情境或问题，以扩展对
该问题的理解。

解决动点定值问题需要深入理解几何图形的属性和数学逻辑推理技巧。

它有助于培养学生的空间思维和解决问题的能力，也是数学教育的一个重要部分。

解析几何中的定值问题定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题。

求定值问题常见的方法有两种：（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

例题1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线。

（1） 求椭圆的离心率；（2） 设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB R λμλμ=+∈，证明：22λμ+为定值。

例题2 已知，椭圆C过点A（1，3），两个焦点为（-1,0），（1,0）2（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

同步练习：1. 已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若'F 为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足'||||MF e MF =，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P（2,0）为定点。

（1）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；（2）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y 轴的两个交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。

数学定值问题计算方法
数学定值问题计算方法是指在数学中对于一些未知数值或未知
变量的定值问题所使用的计算方法。

这些问题可以包括方程的求解、函数的极值和最值、曲线的图像和性质等等。

通常情况下，数学定值问题的计算方法可以分为以下几类：
1. 代数求解法：通过代数运算，将方程中的未知数解出来，从而得到其定值。

2. 函数求解法：通过对函数的求导、求极值等操作，得到函数的极值和最值，从而确定其定值。

3. 图像法：通过对曲线的图像进行分析，可以得到曲线的性质，如拐点、单调区间、对称轴等等，从而确定其定值。

4. 近似求解法：对于某些复杂的问题，无法直接求解其定值，可以采用近似求解的方法，例如泰勒级数展开、牛顿迭代法等等。

总之，数学定值问题的计算方法多种多样，需要根据具体情况进行选择和运用，以获得准确的结果。

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知识导航在圆锥曲线问题中，某些几何量在特定的关系结构中不受相关变元的制约而保持不变，这类问题被称为定值问题.涉及的定值一般有斜率、面积、距离、运算关系等.定值问题是一类综合性较强的问题，重点考查同学们的逻辑推理能力和运算能力.解答定值问题的关键是根据题目条件，准确地引进参数，表示出直线的斜率、点的坐标、线段的比值等，通过等式恒等变换等确定不受参数影响的量.求解定值问题的一般步骤为：1.选取变量.一般为点的坐标、直线的斜率等；2.代换变量.把要求解的定值表示为含有上述变量的式子，利用其它条件减少变量的个数，使其只含有一个变量；3.解出定值，化简所得式子，得出常数(定值).下面，我们结合例题来进行探讨.例1.如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点A(0,-1)，且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）经过点(1,1)的直线与椭圆E交于不同两点P,Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析：本题的第一问较为简单.第二问属于定值问题，主要考查了椭圆的方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线的定值问题，想要解答本题，需灵活运用化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等.解：（1）略；（2）设直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2)，将其代入x22+y2=1，得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，由已知Δ>0，设P()x1y1,Q()x2y2，则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2，k AP+k AQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k)(1x1+1x2)=2k+(2-k)∙x1+x2x1∙x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2.解答本题，应首先从直线的方程入手，设出直线的方程，然后将直线的方程与椭圆的方程联立，通过消元建立关于x的一元二次方程，运用韦达定理建立关于x1,y1,x2,y2的关系式，再根据斜率公式表示出直线AP与AQ的斜率之和，通过恒等变换化简该关系式，进而证明直线AP与AQ的斜率之和为定值.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．解：（1）椭圆C的方程为x24＋y2=1.（过程略）（2）证明：由（1）知A(2,0)，B(0,1).设P(x0,y0)，则x0＋4y0=4.当x0≠0时，直线PA的方程为y=y0x0-2(x－2)．令x=0，得y M=-2y0x0-2，从而可得|BM|=|1－y M|=||||||1+2y0x0-2.直线PB的方程为y=y0-1x0x＋1.令y=0，得x N=-x0y0-1，从而可得|AN|=|2－x N|=||||||2+x0y0-1.所以|AN|·|BM|=||||||2+x0y0-1·||||||1+2y0x0-2=||||||4x0y0-4x0-8y0+8x0y0-x0-2y0+2=4.当x0=0时，y0=-1，|BM|=2，|AN|=2，所以|AN|·|BM|=4.即|AN|·|BM|为定值．上面从特殊情况（如点在坐标轴上，直线无斜率等）入手，设出变量后结合题意进行计算、推理，消去变量，从而得到定值.综上，求解定值问题的基本思路是：用变量表示所需证明的不变量，根据已知条件和逻辑关系进行推导，从而消去变量得到定值.解题时需充分挖掘问题中隐含的信息，恰当地运用化归与转化、数形结合、设而不求、函数与方程等数学思想来辅助解题.（作者单位：福建省南安第一中学）41。

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。

2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。

二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。

三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。

四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。

高考数学复习---《定值问题》典型例题讲解【规律方法】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典型例题】例1、（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的离心率是2，直线l 过双曲线C 的右焦点F ，且与双曲线C 的右支交于,A B 两点.当直线l 垂直于x 轴时，6AB =. (1)求双曲线C 的标准方程.(2)记双曲线C 的左､右顶点分别是,D E ，直线AD 与BE 交于点P ，试问点P 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为过点F 的垂直与x 的直线方程为x c =，代入双曲线方程22221x y a b−=可得2b y a =±，所以此时22b AB a =，又直线l 垂直于x 轴时，6AB =，所以226ba=①，因为双曲线C 的离心率为2，所以2ca=②，又222c a b =+③，由①②③解方程可得1,2a b c ===，故双曲线C 的标准方程为2213y x −=；（2）由（1）可知()()()()()11222,0,1,0,1,0,,,,F D E A x y B x y −，若直线l 的斜率为0，则直线l 与双曲线C 的右支只有一个交点，不满足要求， 所以直线l 的斜率不为0，设直线:2l x my =+， 联立222,1,3x my y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩整理得()22311290m y my −++=，()()222Δ14436313610m m m =−−=+>，且29031m <−，则121222129,3131m y y y y m m +=−=−−，故()121243my y y y −=+. 由题意可得直线AD 的方程为()1111y y x x =++，直线BE 的方程为()2211y y x x =−−， 则()()()()21121111x y x x y x −+=+−，即()()121212121213234262y y x my y y y my y y y −=−−−=−−−， 把()121243my y y y −=+代入上式， 得()()()12121212113326322y y x y y y y y y ⎡⎤−=+−−=−⎣⎦， 解得12x =. 故点P 在定直线12x =上. 例2、（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，12B FB △为等腰直角三角形，且直线1FB 与圆221x y +=相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B )，直线1B E ，2B D 相交于点Q ．证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上．【解析】（1）由题可知，(),0F c ，()10,B b ，()20,B b −，12B FB 为等腰直角三角形，b c ∴=，又直线1FB 与圆221x y +=相切，所以原点O 到直线1FB 的距离为1，直线1FB 的方程为1x yc b +=，即0bx cy bc +−=，所以21d ===，解得b c ==又2224a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）由过()0,2P 的直线l不过(10B，(20,B ，可设其直线方程为()20y kx k =+≠， 把2y kx =+代入22142x y +=，得()2221840k x kx +++=，0∆>，即212k >，设()11,E x y ，()22,D x y ，则122821k x x k −+=+，122421x x k =+，直线1B E的方程为1y x =直线2B D的方程为2y x =设直线1B E 和2B D 的交点为(),Q x y121212x y kx x x +== 把122821kx x k −=−+及122421x x k =+代入上式，得(22432213k k x −+−+==−+，整理得1y =，故点Q 在一条平行于x 轴的直线1y =上，得证．例3、（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点为()()2,0,0,1A B −. (1)求椭圆E 的方程及其焦距；(2)过点()2,1P −的直线与椭圆E 交于不同的两点,C D ，直线,BC BD 分别与x 轴交于点,M N ，求AM AN的值.【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点为()()2,0,0,1A B −，所以有222222224014101411a x a b y b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩； （2）依题意过点()2,1P −的直线为()12y k x −=+，设()11,C x y 、()22,D x y ，不妨令1222x x −<<≤，由()221214y k x x y ⎧−=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=， 所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+−++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=−+，2122161614k kx x k+⋅=+， 直线BC 的方程为1111y y x x −−=，令0y =，解得11111(2)M x x x y k x ==−−+， 直线BD 的方程为2211y y x x −−=，令0y =，解得22221(2)N x x x y k x ==−−+， 121221121212121212(2)(2)22()(2)(2)(2)(2)[2()4]M N x x x x x x x x x x x x k x k x k x x k x x x x +++++=+==−+−+−++−++++， 因为212216814k k x x k ++=−+，2122161614k kx x k +⋅=+，所以22222222161616822141416441616168241414M Nk k k k k k k x x k k k k k k k k ⎛⎫++⋅+− ⎪++⎝⎭+===−−⎡⎤⎛⎫++−+−+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦， 因为1222x x −<<≤，所以12122112121212(2)(2)2()0(2)(2)(2)(2)(2)(2)M N x x x x x x x x x x k x k x k x x k x x +−+−=−==<−+−+−++−++−，即M N x x <，于是有()2)(2M N x x =−−−−，即1AM AM AN AN=⇒=.。

geogebra定值角度（原创实用版）目录1.Geogebra 简介2.定值问题的概念3.角度的表示方法4.Geogebra 中解决定值角度问题的方法5.实际应用案例正文一、Geogebra 简介Geogebra 是一款免费的数学软件，它结合了几何、代数和微积分等数学分支，为用户提供了丰富的功能。

Geogebra 适用于数学、物理、化学、工程学等学科的教育和研究，可以帮助用户更好地理解抽象的数学概念。

二、定值问题的概念在数学中，定值问题是指给定一组数值，求解满足某种条件的变量。

在解决这类问题时，我们需要找到合适的方法来表示和计算变量之间的关系。

三、角度的表示方法角度是用来表示两条射线之间的旋转程度的量。

在平面几何中，通常用度数或弧度来表示角度。

度数表示方法是将圆周分为 360 等份，每一份对应的角称为 1 度；弧度表示方法是将圆周分为 2π等份，每一份对应的角称为 1 弧度。

四、Geogebra 中解决定值角度问题的方法Geogebra 提供了丰富的工具来解决定值角度问题。

用户可以在 Geogebra 中创建点、线、圆等几何对象，并使用命令它们之间的关系。

在解决定值角度问题时，用户可以利用 Geogebra 的测量工具来求解角度，或者利用几何构造来表示和计算角度。

五、实际应用案例假设我们要求解一个定值问题：已知线段 AB 的长度为 6，线段 AC 的长度为 8，求角 BAC 的度数。

在 Geogebra 中，我们可以创建线段 AB 和 AC，然后使用测量工具测量角度 BAC，得到角度大小为 36.87 度。

这个角度接近于直角，可以通过角度的近似计算方法来求解更精确的角度值。

总之，Geogebra 作为一款强大的数学软件，可以帮助用户更好地理解和解决定值角度问题。

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