湖北省黄冈市2019届高三数学2月联考试题文(含解析)

2019届湖北省黄冈市高三2月联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}2|30,|560A x x B x x x =-<<=--<，则AB =（ ）A ．()1,6-B ．()3,6-C ．()1,0-D ．()0,6【答案】B【解析】先化简集合B,再求A ∪B 得解. 【详解】易知{}|16B x x =-<<，∴{}|36A B x x =-<<，故选：B 【点睛】本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知i 是虚数单位，则复数122,1z ai z i =+=-，若21z z 是实数，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．2C ．0D ．12【答案】A 【解析】先化简21z z ，再根据21z z 为实数得到a 的值. 【详解】()()()()()12212221112ai i a a iz ai z i i i ++-+++===--+，∵21z z 是实数，则20a +=，∴2a =-， 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知命题:p “()22,4,2xx x ∀∈>”，命题:q “,,a b c 是3个不同的向量，若//,//a b b c ，则//a c ”，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】先判断命题p 和q 的真假，再判断选项得解. 【详解】由题得命题p 为真命题，命题q 为假命题（因为=0b 时，a 与c 可能不平行）， 则()p q ∧⌝为真命题， 故选：C 【点睛】本题主要考查命题真假的判断和复合命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．若实数,x y 满足2101x y x y y ++≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则y x z 3-=的最小值为（ ） A ．-6 B ．-2C ．67D ．32-【答案】A【解析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求解. 【详解】画出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中()()11,,1,1,3,133A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. 作直线:30l x y -=，平移直线l ，当其经过点C 时，z 取得最小值， ∴min 3316z =--⨯=-， 故选:A【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．11【答案】C【解析】模拟程序框图运行即得解. 【详解】第一次运行时，()0111,3t k =+⨯==； 第二次运行时，()1136,5t k =+⨯==；第三次运行时，()61535,7t k =+⨯==；第四次运行时，()3517252,9t k =+⨯==； 此时刚好不满足100t <，故输出9=k ， 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．已知4sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则cos 2απ+⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．55 B ．55-C ．255D ．552-【答案】D【解析】先求出os c α，再根据2cos 12sin 2αα-=求解. 【详解】由同角三角函数的基本关系，得53sin 1cos 2-=--=αα，则2311cos 45sin 2225αα⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===， ∵,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴,242αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin2α==，∴cos sin 22απα+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 故选：D 【点睛】本题主要考查同角基本关系和降幂公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知等差数列{}n a 中，1351,14a a a =+=，若n 是从1，2，3，4，5，6六个数中任取的一个数，则使8n a <的概率为（ ） A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】B【解析】先求出654321,,,,,a a a a a a ，再利用古典概型求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , ∵3514a a +=，∴由等差中项的性质，得435214a a a =+=，解得47a =.又∵11a =，∴4171233a a d --===， ∴213254653,5,9,11a a d a a d a a d a a d =+==+==+==+=，根据古典概型的概率公式得，从1，2，3，4，5，6六个数中任取一个数，则使8n a <的概率为4263P ==， 故选:B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的劣迹掌握水平和分析推理能力.8．在ABC ∆中，2BD DC =，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．5163AB AC +C ．2136AB AC - D ．5163AB AC - 【答案】D【解析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解. 【详解】()()1112115122232363EB BA BD AB BC AB BA AC AB AC =-+=-=-+=-， 故选:D【点睛】本题主要考查向量的三角形法则和平行四边形法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点。

湖北省黄冈中学2019届高三第二次模拟考试数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题意的.1.已知集合，，则（ ）{}ln(1)M x y x ==-{N y y ==M N ⋂=A.B.C.D.M NR∅【答案】B【解析】，，.(,1)M =-∞[)0,1N =∴M N ⋂=N 2.下列函数中与函数（是自然对数的底数）的定义域和值域都相同的是（ ）ln x y e =e A.B.C.D.y x=ln y x=2xy =y=【答案】D【解析】定义域，值域均为，只有D 符合题意.(0,)+∞3.已知1cos 3α=，则sin(2)2πα+=（ ）A. 79-B. 79C.D. 89-【答案】A【解析】 2sin(2)cos 22cos 12πααα+==-79=- . 4.抛物线（）的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若22y px =0p >F A l B ABFV为直角三角形，且的面积为2，则（ ） ABF V p = A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】，为等腰三角形，，则，. AB AF =ABF V 0=90BAF ∴∠AF p =212,22p p ∴==5. 执行如右图所示的程序框图，若输出的，则输入k 的值可以为（ ）48=SA. 6B. 10C. 8D. 4【答案】C6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.B.23π3C.D.π53π【解析】该几何体为组合体，由半个圆锥与球组成.. 1411142223433V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=7. 设为椭圆上任意一点，，，点满足D 2215y x +=(0,2)A -(0,2)B P (0)DP AD λλ=>u u u r u u u r，则点的轨迹方程为（ ）()0DB DP PB +⋅=u u u r u u u r u u rPA ．B ．22(2)20x y +-=22(2)20x y ++=C ． D ．22(2)5x y +-=22(2)5x y ++=【答案】B【解析】由椭圆方程，得，， 2215y x +=25a =21b =，则，为椭圆两焦点，2c ∴==(0,2)A -(0,2)B由题意 ，||||PD BD =||||||||||2PA PD DA BD DA a ∴=+=+==点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，其方程为．∴P A 22(2)20x y ++=8. 已知正三棱柱，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）111ABC A B C -1AB AA =1AB 1CA A ．B ．C ．D ．1314-1412【解析】将三棱柱补成平行六面体，则（或其补角）为异面直1111ABDC A B D C -11A CD ∠线所成的角，由余弦定理得. 111cos 4ACD ∠=9. 的内角的对边为，若，周长 ABC V ,,A B C ,,a b c ABC V 222)a c b +-为6，则的最小值为（ ）b A. B.C.D.23【答案】A【解析】， ， 222=2cos a c b ac B +-1sin 2S ac B=1sin cos 2ac B B ∴，.tan B =3B π=， 2222cos b a c ac B =+-2()3a c ac =+-222()()3(24a c a c a c ++≥+-=代入，得，，选A.6a c b +=-24120b b +-≥2b ∴≥10. 数列满足，，则数列的前2019项的和为{}n a 123a =12(21)1n n na a n a +=++{}n a A.B.C.D.40354036403640374037403840384039【答案】D【解析】由已知，，累加得，， 11142n n n a a +-=+211122n n a a -=-2241n a n ∴=- ，则.2211412121n a n n n ∴==---+112+1n S n =-11. 计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一.计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit ）”，1位只能存放2种不同的信息：0或1，分别通过电路的断或通来实现.“字节（Byte ）”是更大的存储单位，1 Byte=8 bit ，因此1字节可存放从00000000（2）至11111111（2）共256种不同的信息.将这256个二进制数中，恰有相邻三位数是1,其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为 A. 378 B. 441 C. 742 D. 889【答案】B【解析】符合题意的二进制数为111,1110,11100，11100000共6个，化为十进制数为7,14,28，L 组成首项为7，公比为2的等比数列，共6项，. L 67(12)76344112S -==⋅=-12. 已知点是焦点在轴上的椭圆的上顶点，若椭圆上恰有两点到的距离B x 2214x yt+=B 最大，则的取值范围是 t A.B. C.D.(0,4)(0,3)(0,2)(0,1)【答案】C【解析】，.设是椭圆上任一点，则B 04t <<(,)P xy 224(1)y x t=-， ，222(PB x y =+-24(1)4y t t =--++410t-<y ⎡∈⎣对称轴，0y =0<当，最大，这样的点唯一，为下顶点.0y b ≤-=y b =-PB P 时，，最大，这样的点有两个，符合题意，0yb >-=0y y =PB P 由， 0y =>02t ∴<<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，，若∥，则_____________.(,1)a m =r (2,1)b m =-r a r b rm =【答案】2或. 1-14．已知函数（）的部分图象如图所示，其中()01f =，52MN =，()2sin()fx x ωϕ=+0,0ωϕπ><<则()1f =______．【答案】.1-【解析】. 5()2sin(36f x x ππ=+15. 一球筐中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最 n 多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，则以下推断中正确的有_____.① 若，则乙有必赢的策略 ② 若，则甲有必赢的策略4n =6n =③ 若，则甲有必赢的策略9n =【答案】①②③【解析】当球筐中4个球时，后抓球的赢.故①正确；时，甲抓2个，袋中剩4球，甲赢.②正确. 6n =时，甲先抓1球，9n =①当乙抓1球时，甲再抓3球， ②当乙抓2球时，甲再抓2球， ③当乙抓3球时，甲再抓1球， 这时还有4个球，后抓球的赢.③正确.16. 设函数.若恒成立，则实数的取值范围是________. ()(ln )x f x xe a x x =-+()0f x ≥a 【答案】[]0,e 【解析】定义域.()f x (0,)+∞时，由，当时，不等式不成立. 0a <(ln )x a x x xe +≤0x →(ln ),a x x +→+∞0x xe →，时，不等式恒成立； 0a =时，由恒成立，， 0a >()0f x ≥1ln ()xx xg x a xe +≥=， Q '21(1)(ln )(1)()()x x x xe x x x e x g x xe +-++=2(1)(1ln )()x x x e x x xe +--=设，在上递减，且，()1ln h x x x =--(0,)+∞(1)0h =时，，递增，时，，递减，(0,1)x ∴∈'()0g x >()g x (1,)x ∈+∞'()0g x <()g x 则max 11()(1)g x g a e≥==0a e ∴<≤综上，.[]0,a e ∈三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正项等比数列中，，. {}n a 134a a =1237a a a ++=（1）求的通项公式；{}n a （2）若是递减数列，记的前项和为，求，并用表示.{}n a {}n a n n S n S n S 1n S +解：（1）或 6分12n n a -=31(2n n a -=（2）是递减数列，，，{}n a ∴31(2n n a -=318(2n n S -=-2118(2n n S -+=-）. 12分1142n n S S +∴=+18. 如图所示，在四棱锥中，底面时直角梯形，， P ABCD -ABCD 090BAD ∠=PAD V 为等边三角形，平面平面，，是的中点.PAD ⊥ABCD AB AD =2CD =2=M PB（1）证明：；AC PB ⊥（2）求点到平面的距离.P AMC 解：（1）取的中点，连，设交于，CD O ,OP OB ,OB AC N 在,，中， AOB V tan =2AOB ∠ADC V 1tan 2DAC ∠=，即①090AON OAN ∴∠+∠=AC OB ⊥平面平面，交线为，,则平面，② PAD ⊥ABCD AD PO AD ⊥PO ⊥ABCD PO AC ∴⊥由①②平面，.5分AC ⊥BOP AC PB ∴⊥（2）设点到平面的距离为，点到平面的距离为，P AMC d M ABCD h由（1），平面，，是的中点. PO ⊥ABCD 12h PO ∴=M PB 则6分P ACM B ACM V V --=M ACB V -=其中， ， 7分1=3M ACB ACB V S h -⋅V =13P ACM ACM V S d -=⋅V 由（1）平面， 8分AC ⊥BOP 12ACM S AC NM ∴=⋅V 在中， ANB V cosNB AB ABO =⋅∠=在中，，由余弦定理求得, 10分POB V cos PBO ∠=NM =12ACM S AC NM ∴=⋅V代入，得.12分M ACB V -B ACM V -=d =19. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共 抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表．质量指标Y[)9.4,9.8[]9.8,10.2(]10.2,10.6频数8 24 16 一年内所需维护次数21（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 解：（1） 指标Y 的平均值132=9.6+10+10.410.07666⨯⨯⨯≈． 4分（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[]9.8,10.2内的有3件，记为123A A A 、、；指标Y 在(]10.2,10.6内的有2件，记为12B B 、；指标Y 在[)9.4,9.8内的有1件，记为C ．从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：()()()121311A A A A A B ,、,、,、 ()()121A B A C ,、,、()()()()2321222,,,,A A A B A B A C 、、、、()()()31323,,,A B A B A C 、、、 ()()()1212,,,B B B C B C 、、．其中，指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个：()()()121323,A A A A A A ,、,、． 所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==．8分 （3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为元；1(48163008600)20048x x +⨯+⨯=+假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8300=2400⨯元，平均每件产品的消费费用元． []148(10)83015048x x ⨯++⨯=+所以该服务值得消费者购买． 12分20. 已知,为椭圆（）上两点，过点且斜率为(2,0)A -3(1,2P 2222:1x y E a b +=0a b >>P （）的两条直线与椭圆的交点分别为.,k k -0k >E ,B C （1）求椭圆的方程及离心率；E （2）若四边形为平行四边形，求的值.PABC k 解：（1）4分22143x y +=（2）由，设直线代入， PA BC P 1:2BC y x m =+223412x y +=得①，设2230x mx m ++-=1122(,),(,)B x y C x y ，，6分+=0PB PC k k ∴12123322011y y x x --+=--整理得，代入恒成立.8分1212(2)()230x x m x x m +-+-+=，得. 2x =-=1m =±时，，直线过，舍去. 1m =1:12BC y x =+(2,0)A -时，代入①，或，直线与椭圆的二交点，1m =-1x =-2BC 3(1,),(2,0)2- 12分32k ∴=21. 已知()ln()x a f x e x a -=-+（1）时，求在处的切线方程；1a =()f x (1,(1))f （2）若的最小值为，求实数的值.()f x 1a 解：（1）时，，，， a =1()ln(1)x f x e x -=-+'11()1x f x ex -=-+'1(1)2f =在处的切线方程为：即.∴()f x (1,1ln 2)-1(1ln 2)(1)2y x --=-212ln 20x y -+-=4分（2）， '1()x af x ex a-=-+x a >-在区间上单调递增，在区间上单调递增，存在唯一的，x a e -Q (),a -+∞1x a-+(),a -+∞()0,x a ∈-+∞使得，即 ① 6分 0'001()=0x af x ex a -=-+001=x a e x a-+函数在上单调递增，，单调递减；'1()x af x ex a-=-+()0,+∞()0,x a x ∴∈-，'()0f x <()f x 时，，单调递增，，()0+x x ∈∞，'()0f x >()f x 0min 00()()ln()x a f x f x e x a -∴==-+， 8分min 0001()()ln()f x f x x a x a∴==-++，显然是方程的解，又是单调减函数，方程001ln()1x a x a -+=+01x a +=1ln y x x =-Q 有且仅有唯一的解，把代入 ①式得， 001ln()1x a x a-+=+01x a +=01x a =-，，所求实数的值为.12分1-21a e =12a ∴=a 12请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数），以坐标原点 为极点，轴正xoy 1C ⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x αO x 半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，A 1C B OA 8=⋅OB OA 点的轨迹为.B 2C（1）求的极坐标方程； 21,C C （2）设点的极坐标为，求面积的最小值.C )2,2(πABC ∆解：（1）∵曲线的参数方程为（α为参数），1C ∴曲线的普通方程为 1C 0222=-+x y x ∴曲线的极坐标方程为，C θρcos 2=设点的极坐标为,点的极坐标为 B ),(θρA ),(00θρ则,,，ρ=OB 0ρ=OA 00cos 2θρ=0θθ=∵,,8=⋅OB OA 80=⋅ρρ，θρcos 28=∴4cos =θρ∴的极坐标方程为． 5分2C 4cos =θρ（2）由题设知,2=OC 211cos cos 42cos 22ABC OBC OAC B A B A S S S OC y y OC ρθρθθ∆∆∆=-=⋅-=⋅-=-当时，取得最小值为． 10分0=θABC S ∆223. [选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数 （）()f x x a =-∈a R（1）若关于的不等式的解集为，求的值；x ()21f x x ≥+133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，a （2）若，不等式恒成立，求的取值范围.∀∈x R 2()2f x x a a a -+≤-a 解：（1）即，平方整理：()21f x x ≥+21x a x -≥+2232(2)10x a x a +++-≤则为方程的两根，， 13,3-2232(2)10x a x a +++-=214233311333a a +⎧-+=-⎪⎪∴⎨-⎪-⋅=⎪⎩得，此时.5分2a =0>V （2），Q ()()()2f x x a x a x a x a x a a -+=--+≤--+=不等式恒成立，则，222a a a ≤-当时，，解得或0a ≥222a a a ≤-4a ≥0a =当时，，解得 0a <222a a a -≤-0a <综上：的取值范围是. 10分a (][),04,-∞⋃+∞。

2019届湖北省部分重点中学高三第二次联考
数学（文）试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则以下正确的结论是（）
A.
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式得到集合，然后对每个选项分别进行判断即可得到正确的结论．【详解】由题意得，．
所以，．
故选B．
2.已知复数满足
为虚数单位），则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
则：.
本题选择C选项.
3. （2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
- 1 - / 22。

鄂南高中 华师—附中 黄岗中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2019届高三第二次联考 数学（文科)试题命题学校：黄石二中命题人：肖永平戴丽娟袁迁李杰 审题学校:荆州中学审题人:李祥知鄢文俊 监 制：全品大联考•武汉全品教育科技有限公司考试时间：2019年3月27日下午15:00—17:00★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交。

第I 卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.)300cos(0-的值 A. 21- B.23- C. 23 D. 212.已知复数),9R y x yi x z ∈+=，若i yix i+=++142，则||z = A.{0} B.{1}C.φ D.103.已知集合 A={2<)5(log <2+x x }，B={x x y y -+-=11|}，则=B A IA. {0}B. {1}C. φD. {-1<<4|x x -}4.用反证法证明命题：“0>ca bc ab 0,>,,,++++∈c b a R c b a ，则 a>0，b>0，c>0”时应假设为 A. a ，b ，c 均不为正数 B. a ，b ，c 至少有一个正数 C. a ，b ，c 不全为正数D. a ，b ，c 至多有一个正数5.设a ，b 是单位向量，且a,b 的夹角为60°，则c=3a + b 的模为 A.13 B. 13 C. 4 D. 166.设m l ,表示两条不同的直线，βα,表示两个不同的平面，Q 表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是①lQ l a Q ∈⇒⊂∈α,②ββ∈⇒⊂=l m Q m l ,I③αα⊂⇒∈∈⊂m a Q m Q l m l ,,,//④βαββαβα∈⊥∈∈=⊥l l Q Q m ,,,且,YA.①②B.②③C.②③D.③④7.函数x x x x x f cos sin 2sin cos )(22--= (其中]2,0[π∈x ）的值域是A. [-1,1]B. [2-,2] C . [2-,1] D. [-1,2]8.已知三棱锥的三视图如图所示，且各顶点在同一球面上，则该球体的表面积是A.π12B. π10C. π8D.π69.已知 a = ln2,b = log 23，c = log 58,则 a ，b ，c 的大小关系是 A. a 〈c 〈b B. a 〈b 〈c C. c 〈a 〈b D. c 〈b 〈a 10.在△ABC 中，AC=2，BC=22，则∠B 的取值范围是 A. 4B <0π≤B.6B <0π≤^C. 4B <0π≤或0<B 43≤πD.6B <0π≤或ππ<B 65≤ 11.两个好朋友小聪和小明，在同一天小聪从深圳到黄石，中午到武汉站的时间为13:30,然后再乘坐城 际铁路到黄石，中间有1小时在武汉站候车室休息。

2019届湖北省高三2月份七校联考文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，集合，则（）A ．B ．C ．D ．2. 已知，其中为虚数单位，则（）A ． ___________B ． _________C ．______________D ． 13. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

” 其意思为：“ 有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了（）A ． 192 里 _________B ． 96 里 ________C ． 48 里_________D ． 24 里4. 已知是两个命题，那么“ 是真命题”是“ 是假命题”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件________C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知函数，，则下列结论中正确的是（）A ．函数的最小正周期为_________B ．函数的最大值为 2C ．将函数的图象向左平移单位后得的图象D ．将函数的图象向右平移单位后得的图象6. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A ． ________B ． ______________C ． ________D ．7. 设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（）______________________ A B C D8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）______________________________A ． 7B ． 12______________________________C ． 17___________________________________D ． 199. 如图，在正四棱柱中，，点是平面内的一个动点，则三棱锥的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A ． 1B ． 2C ．D ．10. 已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（）A ．___________________________________B ．C ．_________________________________ D ．11. 已知为两个平面向量，若，与的夹角为，则与的夹角为（）A ．___________________________________B ．C ．或______________D ．或12. 若函数的最大值为，则实数的取值范围为（________ ）A ．____________________B ．_________________________________C ．____________________________D ．二、填空题13. 一只蜜蜂在一个半径为 3 的球体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与球的表面的距离均大于 1 ，称其为“ 安全飞行” ，则蜜蜂“ 安全飞行” 的概率为____________________________ ．14. 若满足约束条件，则的取值范围是 ________ ．15. 已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为____________________________ ．16. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，，则______________ ．三、解答题17. 在中，分别是角的对边，且．（ 1 ）求角的大小；___________ （ 2 ）若，，求的面积．18. 某学校高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 5 组： [100 ， 110) ， [110 ， 120) ， [120 ， 130) ， [130 ， 140) ， [140 ，150] 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（ 1 ）从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人，求两人恰好为一男一女的概率；（ 2 ）若规定分数不小于 130 分的学生为“ 数学尖子生” ，请你根据已知条件完成2×2 列联表，并判断是否有 90% 的把握认为“ 数学尖子生与性别有关” ？附：p19. ly:Calibri; font-size:10.5pt">P(K 2 ≥k 0 ) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 0 2.706 3.841 6.635 10.828________ ，20. 中，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面，， ,，是线段上的动点．（ 1 ）试确定点的位置，使平面，并说明理由；（ 2 ）在（ 1 ）的条件下，平面将几何体分成两部分，求空间几何体与空间几何体的体积之比；21. 的四个顶点分别为，左右焦点分别为，若圆 C ：上有且只有一个点满足，（ 1 ）求圆 C 的半径；（ 2 ）若点为圆 C 上的一个动点，直线交椭圆于点 ,交直线于点 , 求的最大值；22. 已知函数（ ) 有两个不同的极值点，且，（ 1 ）求实数的取值范围；（ 2 ）当时，设函数的最大值为，求；23. 如图所示，为圆的切线，为切点，交圆于两点，，的角平分线与和圆分别交于点和．（ 1 ）求证：；（ 2 ）求的值．24. 以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为 ( 为参数）．（ 1 ）曲线在点处的切线为，求的极坐标方程；（ 2 ）点的极坐标为，且当参数时，过点的直线与曲线有两个不同的交点，试求直线的斜率的取值范围．25. 设函数．（ 1 ）解不等式：；（ 2 ）若对一切实数均成立，求的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

湖北省鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 孝感高中荆州中学 襄阳四中 襄阳五中八校2019届高三毕业班第二次联考数学(理科)试题第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数i1i2z +=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合2{2+--==x x y x P ,}1ln {＜x x Q =,则=Q P I A.(0,2] B.[-2,e) C.(0,1] D.(1,e)3.空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表：AQI 指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 ＞300 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1/4C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4.若等差数列{a n }的公差为-2,a 5是a 2与a 6的等比中项,则该数列的前n 项和Sn 取得最大值时,n 的值等于 A.4 B.5 C.6 D.75.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.60种6.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,且=,若AC u AB EB +=λ,则=uλA.-3B.31-C.3D.31 7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 A.23-1 B.23 C.43-4 D.43 8.函数])0,2[)(cos (sin cos 2)(π-∈+=x x x x x f 的最大值为A.2-1B.1C.2D.21+9.已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ,过F 的直线l 交抛物线于B A ,两点(点A 在第一象限),若直线l 的倾斜角为32π,则=BFAF A.31 B.52 C.21 D.3210.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A.22 B.10 C.32 D.1311.已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,2点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.512.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--≥+=0),1ln(20,121)(2＜x x x x x f ,若函数kx x f x g -=)()(有且只有2个零点,则实数k 的取值范围为A.(0,2)B.(0,12)C.(2,+∞)D.(12,2)第II 卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡)13. 若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≤322y x x y x ,则y x 2+的最小值为_____.14. 已知函数13)1()(23+--+=ax x a x x f ,若)(x f 在1=x 处取得极值,则曲线)(x f y =在点(0,f (0))处的切线方程为____.15. 已知数列{a n }满足a n =2a n-1+2n-1(n ∈N*,n ≥2),若a 4=65,则a 1=____.16. 设),0(4)4(ln )(),(2222R b a b b a b a b a ∈+-+-=＞ϕ,当b a ,变化时),(b a ϕ的最小值为_____.三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共70分)17．(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，且向量m =(2a-c ,b )与向量n =(cos C ,cos B )共线。

湖北省黄冈中学2019届高三第二次模拟考试数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题意的.1. 已知集合{}ln(1)M x y x ==-，{N y y ==，则M N ⋂=（ ）A. MB. NC. RD. ∅ 【答案】B【解析】(,1)M =-∞，[)0,1N =，∴M N ⋂=N .2. 下列函数中与函数ln x y e =（e 是自然对数的底数）的定义域和值域都相同的是（ ） A. y x = B. ln y x = C. 2x y = D.y = 【答案】D【解析】定义域，值域均为(0,)+∞，只有D 符合题意. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 . 4. 抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，过抛物线上一点A 作其准线l 的垂线，垂足为B ，若ABF V 为直角三角形，且ABF V 的面积为2，则p =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】AB AF =，ABF V 为等腰三角形，0=90BAF ∴∠，则AF p =，212,22p p ∴==. 5. 执行如右图所示的程序框图，若输出的48=S ，则输入的值可以为（ ）1cos 3α=sin(2)2πα+=79-799±89-2sin(2)cos 22cos 12πααα+==-79=-kA. 6B. 10C. 8D. 4 【答案】C6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.23πB. 3C. πD. 53π 【答案】A【解析】该几何体为组合体，由半个圆锥与14球组成.11142223433V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=. 7. 设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，(0,2)A -，(0,2)B ，点P 满足(0)DP AD λλ=>uu u r uuu r()0DB DP PB +⋅=u u u r u u u r u u r，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．22(2)20x y +-=B ．22(2)20x y ++=C ．22(2)5x y +-=D ．22(2)5x y ++=【答案】B【解析】由椭圆方程2215y x +=，得25a =，21b =，2c ∴=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，由题意||||PD BD =，||||||||||2PA PD DA BD DA a ∴=+=+==∴点P 的轨迹是以A为圆心，以22(2)20x y ++=．8. 已知正三棱柱111ABC A B C -，若1AB AA =，则异面直线1AB 与1CA 所成角的余弦值为（ ）A ．13B ．14-C ．14D ．12【答案】C【解析】将三棱柱补成平行六面体1111ABDC A B D C -，则11ACD ∠（或其补角）为异面直 线所成的角，由余弦定理得111cos 4ACD ∠=. 9. ABC V 的内角,,A B C 的对边为,,a b c ，若ABC V222)a c b +-，周长 为6，则b 的最小值为（ ） A. 2 B.C. 3D.3【答案】A【解析】222=2cos a c b ac B +-，1sin 2S ac B =，1sin cos 2ac B B ∴tan B =3B π=.2222cos b a c ac B =+-2()3a c ac =+-222()()3()24a c a c a c ++≥+-=， 6a cb +=-代入，得24120b b +-≥，2b ∴≥，选A.10. 数列{}n a 满足123a =，12(21)1n n na a n a +=++，则数列{}n a 的前2019项的和为A.40354036 B. 40364037 C. 40374038 D. 40384039【答案】D 【解析】由已知，11142n n n a a +-=+，累加得211122n n a a -=-，2241n a n ∴=-，2211412121n a n n n ∴==---+ ，则112+1n S n =-.11. 计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一.计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit ）”，1位只能存放2种不同的信息：0或1，分别通过电路的断或通来实现.“字节（Byte ）”是更大的存储单位，1 Byte=8 bit ，因此1字节可存放从00000000（2）至11111111（2）共256种不同的信息.将这256个二进制数中，恰有相邻三位数是1,其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为A. 378B. 441C. 742D. 889 【答案】B【解析】符合题意的二进制数为111,1110,11100，L 11100000共6个，化为十进制数为7,14,28，L 组成首项为7，公比为2的等比数列，共6项，67(12)76344112S -==⋅=-. 12. 已知点B 是焦点在x 轴上的椭圆2214x yt+=的上顶点，若椭圆上恰有两点到B 的距离最大，则t 的取值范围是A. (0,4)B. (0,3)C. (0,2)D. (0,1) 【答案】C【解析】B ，04t <<.设(,)P x y 是椭圆上任一点，则224(1)y x t=-222(PB x y =+24(1)4y t t=--++， 410t -<，y ⎡∈⎣对称轴01y t=-0<， 当0y b ≤-=y b =-，PB 最大，这样的P 点唯一，为下顶点.y b >-=时，0y y =，PB 最大，这样的点P 有两个，符合题意，由01y t=>-，02t ∴<< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知(,1)a m =r ，(2,1)b m =-r ，若a r ∥b r，则m =_____________.【答案】2或1-.14．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0,0ωϕπ><<）的部分图象如图所示，其中，，则______．【答案】1-. 【解析】5()2sin()36f x x ππ=+. 15. 一球筐中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最 多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，则以下推断中正确的有_____. ① 若4n =，则乙有必赢的策略 ② 若6n =，则甲有必赢的策略 ③ 若9n =，则甲有必赢的策略【答案】①②③【解析】当球筐中4个球时，后抓球的赢.故①正确；6n =时，甲抓2个，袋中剩4球，甲赢.②正确. 9n =时，甲先抓1球，①当乙抓1球时，甲再抓3球， ②当乙抓2球时，甲再抓2球， ③当乙抓3球时，甲再抓1球， 这时还有4个球，后抓球的赢.③正确.16. 设函数()(ln )x f x xe a x x =-+.若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.()01f =52MN =()1f=【答案】[]0,e【解析】()f x 定义域(0,)+∞.0a <时，由(ln )x a x x xe +≤，当0x →时，(ln ),a x x +→+∞0x xe →，不等式不成立. 0a =时，不等式恒成立； 0a >时，由()0f x ≥恒成立，1ln ()x x xg x a xe+≥=， Q '21(1)(ln )(1)()()x x x xe x x x e x g x xe +-++=2(1)(1ln )()x x x e x x xe +--=， 设()1ln h x x x =--，在(0,)+∞上递减，且(1)0h =，(0,1)x ∴∈时，'()0g x >，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，()g x 递减，则max 11()(1)g x g a e≥==0a e ∴<≤ 综上，[]0,a e ∈.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正项等比数列{}n a 中，134a a =，1237a a a ++=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是递减数列，记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ，并用n S 表示1n S +. 解：（1）12n n a -=或31()2n n a -= 6分（2）{}n a 是递减数列，∴31()2n n a -=，318(2n n S -=-），2118(2n n S -+=-）1142n n S S +∴=+. 12分18. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 时直角梯形，090BAD ∠=，PAD V 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =2CD =2=，M 是PB 的中点.（1）证明：AC PB ⊥； （2）求点P 到平面AMC 的距离.解：（1）取CD 的中点O ，连,OP OB ，设,OB AC 交于N ，在AOB V ,tan =2AOB ∠，ADC V 中，1tan 2DAC ∠=090AON OAN ∴∠+∠=，即AC OB ⊥①平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO AD ⊥,则PO ⊥平面ABCD ，PO AC ∴⊥② 由①②AC ⊥平面BOP ，AC PB ∴⊥. 5分（2）设点P 到平面AMC 的距离为d ，点M 到平面ABCD 的距离为h ， 由（1），PO ⊥平面ABCD，12h PO ∴=，M 是PB 的中点. 则P ACM B ACM V V --=M ACB V -= 6分 其中1=3M ACB ACB V S h -⋅V =13P A C M A C M V S d-=⋅V ，7分由（1）AC ⊥平面BOP ，12ACM S AC NM ∴=⋅V 8分 在ANB V中，cos NB AB ABO =⋅∠=在POB V中，cos PBO ∠=，由余弦定理求得NM = 10分 12ACM S AC NM ∴=⋅V代入M ACB V -B ACM V -=，得d =12分19. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共 抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表．（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 解：（1） 指标Y 的平均值． 4分 （2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在内的有3件，记为；指标Y 在内的有2件，记为；指标Y 在内的有1件，记为． 从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：、 、、、 ．其中，指标Y 都在内的基本事件有3个：． 所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在内的概率为．8分 （3）不妨设每件产品的售价为元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为1(48163008600)20048x x +⨯+⨯=+元； []9.8, 10.2132=9.6+10+10.410.07666⨯⨯⨯≈[]9.8,10.2123A A A 、、(]10.2,10.612B B 、[)9.4,9.8C ()()()121311A A A A A B ,、,、,()()121A B A C ,、,()()()()2321222,,,,A A A B A B A C 、、、()()()31323,,,A B A B A C 、、()()()1212,,,B B B C B C 、、[]9.8,10.2()()()121323,A A A A A A ,、,、[]9.8,10.231155P ==x 48x假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出元，平均每件产品的消费费用[]148(10)83015048x x ⨯++⨯=+元． 所以该服务值得消费者购买． 12分20. 已知(2,0)A -,3(1,)2P 为椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）上两点，过点P 且斜率为,k k -（0k >）的两条直线与椭圆E 的交点分别为,B C .（1）求椭圆E 的方程及离心率；（2）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值.解：（1）22143x y += 4分（2）由PA BC P ，设直线1:2BC y x m =+代入223412x y +=， 得2230x mx m ++-=①，设1122(,),(,)B x y C x y+=0PB PC k k ，∴12123322011y y x x --+=--， 6分整理得1212(2)()230x x m x x m +-+-+=，代入恒成立. 8分 由PA BC =12x =-=1m =±. 1m =时，1:12BC y x =+，直线过(2,0)A -，舍去. 1m =-时，代入①，1x =-或2，直线BC 与椭圆的二交点3(1,),(2,0)2-，32k ∴=12分 21. 已知()ln()x a f x e x a -=-+（1）1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；()48100x +8300=2400⨯（2）若()f x 的最小值为1，求实数a 的值.解：（1）a =时，1()ln(1)x f x e x -=-+，'11()1x f x ex -=-+，'1(1)2f =， ∴()f x 在(1,1ln 2)-处的切线方程为：1(1ln 2)(1)2y x --=-即212ln 20x y -+-=.4分 （2）'1()x af x ex a-=-+，x a >- x ae-Q 在区间(),a -+∞上单调递增，1x a-+在区间(),a -+∞上单调递增，存在唯一的()0,x a ∈-+∞，使得0'001()=0x a f x ex a-=-+，即001=x a e x a -+ ① 6分函数'1()x af x ex a-=-+在()0,+∞上单调递增，()0,x a x ∴∈-，'()0f x <，()f x 单调递减；()0+x x ∈∞，时，'()0f x >，()f x 单调递增，0min 00()()ln()x a f x f x e x a -∴==-+，min 0001()()ln()f x f x x a x a∴==-++， 8分 001ln()1x a x a -+=+，显然01x a +=是方程的解，又1ln y x x =-Q 是单调减函数，方程001ln()1x a x a-+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入 ①式得， 1-21ae=，12a ∴=，所求实数a 的值为12. 12分请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分) 在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x (α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8=⋅OB OA ，点B 的轨迹为2C .（1）求21,C C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为)2,2(π，求ABC ∆面积的最小值.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为（α为参数）， ∴曲线1C 的普通方程为0222=-+x y x∴曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=， 设点B 的极坐标为),(θρ,点A 的极坐标为),(00θρ 则ρ=OB ,0ρ=OA ,00cos 2θρ=，0θθ= ∵8=⋅OB OA ,80=⋅ρρ,θρcos 28=∴，4cos =θρ∴2C 的极坐标方程为4cos =θρ． 5分 （2）由题设知2=OC ,211cos cos 42cos 22ABC OBC OAC B A B A S S S OC y y OC ρθρθθ∆∆∆=-=⋅-=⋅-=- 当0=θ时，ABC S ∆取得最小值为2． 10分23. [选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()f x x a =- （∈a R ）（1）若关于x 的不等式()21f x x ≥+的解集为133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，求a 的值； （2）若∀∈x R ，不等式2()2f x x a a a -+≤-恒成立，求a 的取值范围.解：（1）()21f x x ≥+即21x a x -≥+，平方整理：2232(2)10x a x a +++-≤ 则13,3-为方程2232(2)10x a x a +++-=的两根，214233311333a a +⎧-+=-⎪⎪∴⎨-⎪-⋅=⎪⎩，得2a =，此时0>V . 5分 （2）Q ()()()2f x x a x a x a x a x a a -+=--+≤--+=， 不等式恒成立，则222a a a ≤-，当0a ≥时，222a a a ≤-，解得4a ≥或0a =当0a <时，222a a a -≤-，解得0a <综上：a 的取值范围是(][),04,-∞⋃+∞.10分。

湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考高三数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则以下正确的结论是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，然后对每个选项分别进行判断即可得到正确的结论．【详解】由题意得，．所以，．故选B．【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，解题的关键是通过解不等式得到集合，考查计算能力，属于基础题．2.已知复数满足为虚数单位），则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查复数的模的求解，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. （2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，选C.考点：茎叶图4. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．考点：圆锥的体积公式．5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义求出和，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．【详解】∵角终边过点，∴，∴．故选D．【点睛】解答本题的关键是根据三角函数的定义求出和，容易出现的问题是运用公式时符号出现错误，属于简单题．6.设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得双曲线的渐近线方程为，于是可得，故，从而双曲线方程为，然后再根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同得到，进而可得所求方程．【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，∴，故，∴双曲线方程为，∴双曲线的右焦点坐标为．又抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，∴，∴双曲线的方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号右边的1换为零，再求出y与x间的关系即可．解答本题的关键是根据题中的关系得到方程中的待定系数，考查对双曲线基本性质的理解和运用，属于基础题．7.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形，则该三棱锥最长的棱长为（）A. 7B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出三棱锥的直观图，再根据题中的数据求出三棱锥的所有的棱长后可得结论．【详解】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面三角形是直角三角形，两直角边分别为，底面，且．结合图形可得最长的棱为．故选B．【点睛】解答类似问题的关键是根据三视图得到几何体的直观图，解题时要综合三个视图进行考虑，熟记常见几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．8.已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数是奇函数可求得，所以，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程．【详解】由题意得，∴函数为奇函数，∴，∴．∴，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选B．【点睛】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是求出函数的解析式，解题时注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别，其中“曲线在点P处的切线”说明点P在曲线上且点P为切点，此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线方程即可．9.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是（）A. 是奇函数B. 的周期是C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于点对称【答案】D【解析】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，可得函数是偶函数且周期为，所以选项A、B错误，又，所以选项D正确，故选D. 10.在长方体中，，为底面矩形两条对角线的交点，若异面直线与所成的角为，则长方体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，取的中点，由题意得异面直线与所成的角为，结合题中的数据求出长方体的高，然后可求出长方体的体积．【详解】如图，取的中点，连，则有∥，且，所以即为异面直线与所成的角，所以．在直角三角形中，，故在直角三角形中，，所以长方体的体积为．故选A．【点睛】本题考查长方体体积的求法，解题的关键是求出长方体的高，在求高的过程中，通过异面直线所成角的定义作出两直线所成的角，再通过解三角形的知识求解，考查转化和计算能力，属于基础题．11.已知边长为2的等边中，向量满足，，则下列式子错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，在等边中，，然后对给出的四个选项分别进行验证后可得错误的结论．【详解】画出图形如图所示，由题意可得．对于A，由于，所以A正确．对于B，由题意得，所以B正确．对于C，由图形可得，所以C不正确．对于D，由选项C可得，所以，所以D正确．故选C．【点睛】用定义进行向量的数量积运算时一定要结合图形进行求解，容易出现的问题是把向量的夹角判断错误，考查数形结合在解题中的应用及计算能力，属于中档题．12.已知的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设三角形的三边分别为，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到的值，于是可得最小角的余弦值．【详解】由题意，设的三边长分别为，对应的三角分别为，由正弦定理得，所以．又根据余弦定理的推论得．所以，解得，所以，即最小角的余弦值为．故选A．【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】根据被开方式为非负数得到对数不等式，解对数不等式可得定义域．【详解】要使函数有意义，需满足，即，解得，所以函数的定义域为．故答案为．【点睛】本题考查函数定义域的求法，解题的关键是正确解对数不等式，属于容易题．14.已知满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由得，平移直线，根据的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由，解得，故点A的坐标为，所以．故答案为．【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．15.已知函数，若关于的方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，画出函数的图象后结合图象求解即可．【详解】由题意得方程有两个不同的实数根，从而函数的图象与函数的图象有两个不同的交点．画出函数的图象，如图所示．结合图象可得，要使函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，则需满足，所以实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查根据方程根的个数求参数的取值范围，解题时注意将问题转化为两函数图象公共点个数的问题求解，解题的关键是画出函数的图象，然后再借助图象求解，体现了数形结合的应用．16.已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为__________．【答案】x=1或5x+12y+13=0【解析】【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况，求出弦长和圆心到直线的距离，再结合三角形的面积可求出直线的方程．【详解】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1，所以,故，所以直线满足题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，故，因为，所以，整理得，解得或．当时，则，解得；当时，则，此方程无解．故直线方程为，即．综上可得所求直线方程为或．故答案为或．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系及圆的弦长的求法，解题时容易出现的错误是忽视过点P的直线斜率不存在的情况，另外本题中由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性和准确性．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和，满足，记.（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求数列的通项公式.【答案】(1)；（2）见解析；（3） .【解析】【分析】（1）由可求出，然后根据得到，进而可得，于是可得．（2）根据等比数列的定义进行证明即可得到答案．（3）先求出数列的通项公式，然后根据可得数列的通项公式．【详解】（1）令，则，故．∵，∴，∴，∴．∴，∴．（2）数列是等比数列．证明如下：∵，∴，又，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．（3）由（2）知，又，∴．【点睛】（1）证明数列为等比数列时，不要忘了说明数列中不存在零项，为解决这一问题，只需验证数列的首项不为零即可．（2）数列的有关运算时一般需要化为数列的基本量（首项和公差或首项和公比）的问题来处理，解题时注意通项公式和前n项和公式的灵活利用．18.如图，在四棱锥中，已知是等边三角形，平面，，，点为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】（1）取BC的中点Q，连MQ与DQ，可证得四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）取AB的中点N，连接AN，根据条件可得到平面，且四边形为直角梯形，即确定了三棱锥的高和底面，然后利用可得所求体积．【详解】（1）证明：取PC的中点Q，连接MQ与DQ，∵为的中位线，∴，且．又，∴,且．∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面．（2）取AB的中点N，连接AN，∵为等边三角形，∴．∵平面，平面，∴平面平面．又平面平面，∴平面．∵∴四边形为直角梯形，∵，∴．【点睛】在证明空间中的线面关系时，要注意证明过程的完整性，对于判定、性质定理中的关键词语，在解题过程中要用符号加以表示，这是解题中容易出现的问题．另外，求三棱锥的体积时往往要结合等积法求解，即转化为便于求体积的三棱锥的体积求解．19.2018年11月21日，意大利奢侈品牌“﹠”在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表.（1）在答题卡上补全列联表中数据；并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？（2）现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了5人，再从这5人中选取2人，求这2人中至少有1名女性的概率.参考公式及数据：，【答案】（1）没有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关；（2） .【解析】【分析】（1）根据题意得到列联表，然后根据题中数据求出的值，最后根据临界值表中的数据得到结论．（2）由题意得到所选的5人中的男性、女性的个数，然后通过列举法得到所有的基本事件个数及至少有一名女性包含的事件的个数，最后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】（1）由题意得列联表如下：由表中数据可得，所以没有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关．(2)从“强烈关注”的网友所选的5人中，男性人数为人，分别记为，女性人数为人，分别记为．从这5人中任选2人的所有结果为：，共10种，且它们是等可能的，其中至少有一名女性网友的结果为：，共7种，所以所求概率为．即这2人中至少有1名女性的概率．【点睛】解题时注意临界值表中数据的意义及其用法：①查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．②表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．20.已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求实数的取值范围.【答案】(1) ；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率得到，由的面积的最大值为得到，再结合椭圆中求出参数的值后可得方程．（2）将直线方程代入椭圆方程消去y得到关于x的二次方程，结合根据系数的关系求出线段的中点的坐标，由得，进而有，并由此得到，最后根据基本不等式得到所求范围．【详解】（1）由题意得，解得．∴椭圆的方程为．（2）由消去y整理得，且．设，线段的中点为，则．∴，∴．∵在轴上存在点，使得，∴，∴，即，∴．∵，∴，当且仅当且，即时等号成立．∴，故．∴实数的取值范围为．【点睛】（1）在解决圆锥曲线的有关问题时要注意平面几何图形性质的运用，如在本题中根据得到，即将等腰三角形的问题转化为垂直问题．（2）解决最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式，然后再结合基本不等式或函数的知识求出这个式子的最值或范围即可．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，注意变形、换元等方法的利用．21.设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，进而得到函数的单调性，然后可得函数的极值．（2）通过对参数的讨论得到函数的单调性，进而得到函数的最大值，然后将恒成立问题转化为，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当时，，∴．由得．当变化时，的变化情况如下表：由表知，当时，函数取得极大值，且极大值为，无极小值．（2）由题意得．①当时，则，∴函数在上单调递增，又，∴对任意，不恒成立．②当时，则当时，单调递增；当时，单调递减．∴当时，函数取得极大值，也为最大值，且．∵不等式对任意恒成立，∴，解得．综上可得实数的取值范围为．【点睛】（1）用导数研究函数的性质时，单调性是解题的工具，由单调性可得函数的极值、最值，进而得到函数的大体图象，为解决问题提供了直观性．（2）解决函数中的恒成立问题时，可转化为函数的最值问题求解，解题时首先得到函数的最值，再结合题意求解即可．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，以极点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；（2）若过点且倾斜角为的直线，点为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离.【答案】（1）；(2) .【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标间的互化公式求解即可得到结论．（2）转化为直角坐标求解，设点的坐标，然后根据点到直线的距离求解，再结合二次函数得到所求最小值．【详解】（1）由得，把代入上式得，∴曲线的直角坐标方程为．设点的直角坐标为，则，∴点的直角坐标为．（2）由题意得直线的方程为，即．设点，则点到直线的距离为，故当时，有最小值，且．∴点到直线的最小距离为．【点睛】解答本题的关键是根据极坐标和直角坐标间的互化公式求解，在解决与极坐标或参数方程有关的问题时，常用的方法是转化为直角坐标求解，考查转化和计算能力，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集包含集合，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）-1【解析】【详解】（1）当时，，所以不等式即为，等价于或或，即或或，解得或或，∴，∴原不等式的解集为．（2）∵不等式的解集包含集合，∴当时，不等式恒成立，即对恒成立，∴对恒成立，∴对恒成立．又当时，∴．∴实数的取值范围为．【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．- 21 -。

2019届湖北省高三2月份七校联考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．的实部为B ．的虚部为 C．D ．2. 已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A ．B ． ________C ．D ．3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A ．______________B ．______________C． D ．4. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为 ( )A ．___________B ．____________________________ C．________________________ D ．5. 以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位 : 分）6. ly:宋体; font-size:10.5pt">甲组乙组 9 0 9 2 1 5 8 7 4 2 47. 设实数列和分别是等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是（）A ．____________________B ．____________________C ．_________________________________ D ．8. 在中，点在线段上，且，点在线段上( 与点不重合 ). 若，则的取值范围是 (________ )A ．B ． ________C ． ________D ．9. 我国南北朝数学家何承天发明的“ 调日法” 是程序化寻求精确分数来表示数值的算法 , 其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值 . 我们知道，若令，则第一次用“ 调日法” 后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“ 调日法” 后可得的近似分数为（）A ． ___________B ． _________C ． _________D ．10. 已知若，则直线的倾斜角为（）A ． _________B ． _________C ．_________D ．11. 在平面直角坐标系中，点为双曲线的右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为（）A ．_________B ．_________C ．D ．12. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的外接球的体积是（________ ）A ．___________________________________B ．_________C ．___________________________________D ．13. 已知函数的图像在点处的切线方程，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“ 转折点”. 已知函数在上存在一个“ 转折点” ，则的取值范围为（）A ． ______________B ． _________C ．________ D ．二、填空题14. 已知函数，则的值为______________ .15. 已知抛物线上一点到焦点的距离为 5 ，则的面积为________________________ .16. 若的展开式所有的系数之和为 81 ，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为____________________ .17. 已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是 ______ .三、解答题18. 已知数列的前项和为，且满足 .（ I ）求数列的通项公式； ( II ) 设，求数列的前项和 .19. 如右下图，在四棱锥中，直线平面 , ,，（ I ）求证：直线平面 .（ II ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值20. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30 女 20 ），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答 . 选题情况如下表：（单位：人）（ I ）能否据此判断有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（ II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在 6—8 分钟，现甲、乙各解同一道几何题 , 求乙比甲先解答完的概率．（ III ）现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．附表及公式21. 已知圆圆动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线 .（ I ）求的方程 .（ II ）若直线与曲线交于两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时总有 ? 若存在，请说明理由 .22. 已知函数， .（ I ）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；（ II ）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小，并给出对应的证明 .23. 如图，正方形边长为 2 ，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．（ I ）求证：；（ II ）求的值 .24. 在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．（ I ）求点的直角坐标；（ II ）设是圆上的任意一点，求的取值范围．25. 已知函数．（ I ）当时，求不等式的解集；（ II ）若的解集包含，求实数的取值范围 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

…○………学校:_______…○………绝密★启用前 【校级联考】湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考高三数学（文科)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合 ， ，则以下正确的结论是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知复数 满足 为虚数单位），则 A ． B ． C ． D ． 3．（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．5，5 C ．5，8 D ．8，8 4．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，若角 终边过点 ，则 的值为（ ）订…………○……※※答※※题※※ 订…………○……A ． B ． C ． D ． 6．设双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点相同，双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A ．7B ．C ．3D ．8．已知函数 ，若函数 是奇函数，则曲线 在点 处的切线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．9．将函数 的图像向左平移个单位，得到函数 的图像，则下列关于函数 的说法正确的是（ ）A ． 是奇函数B ． 的周期是C ． 的图像关于直线 对称D ． 的图像关于点对称10．在长方体 中， ， 为底面矩形 两条对角线的交点，若异面直线 与 所成的角为 ，则长方体 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知边长为2的等边 中，向量 满足 ， ，则下列式子错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．…………○…………学校:___________…………○…………第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．函数 的定义域为__________． 14．已知 满足约束条件 ，则 的最大值为__________． 15．已知函数，若关于 的方程 有两个不相同的实数根，则实数 的取值范围是__________． 16．已知 为原点，过点 的直线 与圆 相交于 两点，若 的面积为2，则直线 的方程为__________． 三、解答题 17．已知数列 的前 项和 ，满足 ，记 . （1）求 ； （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由； （3）求数列 的通项公式. 18．如图，在四棱锥 中，已知 是等边三角形， 平面 ， ， ，点 为棱 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 19．2018年11月21日，意大利奢侈品牌“ ﹠ ”在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友○…………线………※○…………线………进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：010，1020，2030，30 0， 0 0， 0 0，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表.（1）在答题卡上补全列联表中数据；并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？（2）现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了5人，再从这5人中选取2人，求这2人中至少有1名女性的概率.参考公式及数据：，20．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；使得，求实数的取值范围.21．设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，以极点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；（2）若过点且倾斜角为的直线，点为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集包含集合，求实数的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】解不等式得到集合，然后对每个选项分别进行判断即可得到正确的结论．【详解】由题意得，．所以，．故选B．【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，解题的关键是通过解不等式得到集合，考查计算能力，属于基础题．2．C【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查复数的模的求解，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C【解析】试题分析：由题意得，，选C.考点：茎叶图4．B【解析】试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．考点：圆锥的体积公式．5．D【解析】【分析】根据三角函数的定义求出和，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．【详解】∵角终边过点，∴，∴．故选D．【点睛】解答本题的关键是根据三角函数的定义求出和，容易出现的问题是运用公式时符号出现错误，属于简单题．6．B【解析】【分析】由题意得双曲线的渐近线方程为，于是可得，故，从而双曲线方程为，然后再根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同得到，进而可得所求方程．【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，∴，故，∴双曲线方程为，∴双曲线的右焦点坐标为．又抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，∴，∴双曲线的方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号右边的1换为零，再求出y 与x间的关系即可．解答本题的关键是根据题中的关系得到方程中的待定系数，考查对双曲线基本性质的理解和运用，属于基础题．7．B【解析】【分析】根据三视图画出三棱锥的直观图，再根据题中的数据求出三棱锥的所有的棱长后可得结论．【详解】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面三角形是直角三角形，两直角边分别为，底面，且．结合图形可得最长的棱为．故选B．【点睛】解答类似问题的关键是根据三视图得到几何体的直观图，解题时要综合三个视图进行考虑，熟记常见几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．8．B【解析】【分析】根据函数是奇函数可求得，所以，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程．【详解】由题意得，∴函数为奇函数，∴，∴．∴，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选B．【点睛】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是求出函数的解析式，解题时注意“曲线在点P 处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别，其中“曲线在点P处的切线”说明点P在曲线上且点P为切点，此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线方程即可．9．D【解析】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，可得函数是偶函数且周期为，所以选项A、B错误，又，所以选项D正确，故选D.10．A【解析】【分析】根据题意画出图形，取的中点，由题意得异面直线与所成的角为，结合题中的数据求出长方体的高，然后可求出长方体的体积．【详解】如图，取的中点，连，则有∥，且，所以即为异面直线与所成的角，所以．在直角三角形中，，故在直角三角形中，，所以长方体的体积为．故选A．【点睛】本题考查长方体体积的求法，解题的关键是求出长方体的高，在求高的过程中，通过异面直线所成角的定义作出两直线所成的角，再通过解三角形的知识求解，考查转化和计算能力，属于基础题．11．C【解析】【分析】由题意可得，在等边中，，然后对给出的四个选项分别进行验证后可得错误的结论．【详解】画出图形如图所示，由题意可得．对于A，由于，所以A正确．对于B，由题意得，所以B 正确．对于C，由图形可得，所以C不正确．对于D，由选项C可得，所以，所以D正确．故选C．【点睛】用定义进行向量的数量积运算时一定要结合图形进行求解，容易出现的问题是把向量的夹角判断错误，考查数形结合在解题中的应用及计算能力，属于中档题．12．A【解析】【分析】设三角形的三边分别为，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到的值，于是可得最小角的余弦值．【详解】由题意，设的三边长分别为，对应的三角分别为，由正弦定理得，所以．又根据余弦定理的推论得．所以，解得，所以，即最小角的余弦值为．故选A．【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．13．【解析】【分析】根据被开方式为非负数得到对数不等式，解对数不等式可得定义域．【详解】要使函数有意义，需满足，即且，解得，所以函数的定义域为．故答案为．【点睛】本题考查函数定义域的求法，解题的关键是正确解对数不等式，属于容易题．14．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由得，平移直线，根据的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由，解得，故点A的坐标为，所以．故答案为．【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．15．【解析】【分析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，画出函数的图象后结合图象求解即可．【详解】由题意得方程有两个不同的实数根，从而函数的图象与函数的图象有两个不同的交点．画出函数的图象，如图所示．结合图象可得，要使函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，则需满足，所以实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查根据方程根的个数求参数的取值范围，解题时注意将问题转化为两函数图象公共点个数的问题求解，解题的关键是画出函数的图象，然后再借助图象求解，体现了数形结合的应用．16．x=1或5x+12y+13=0【解析】【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况，求出弦长和圆心到直线的距离，再结合三角形的面积可求出直线的方程．【详解】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心00到直线的距离为1，所以,故，所以直线满足题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以圆心00到直线的距离，故，因为，所以，整理得，解得或．当时，则，解得；当时，则，此方程无解．故直线方程为，即．综上可得所求直线方程为或．故答案为或．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系及圆的弦长的求法，解题时容易出现的错误是忽视过点P的直线斜率不存在的情况，另外本题中由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性和准确性．17．(1)；（2）见解析；（3） .【解析】【分析】（1）由可求出，然后根据得到，进而可得，于是可得．（2）根据等比数列的定义进行证明即可得到答案．（3）先求出数列的通项公式，然后根据可得数列的通项公式．【详解】（1）令，则，故．∵，∴，∴，∴．∴，∴．（2）数列是等比数列．证明如下：∵，∴，又，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．（3）由（2）知，又，∴．【点睛】（1）证明数列为等比数列时，不要忘了说明数列中不存在零项，为解决这一问题，只需验证数列的首项不为零即可．（2）数列的有关运算时一般需要化为数列的基本量（首项和公差或首项和公比）的问题来处理，解题时注意通项公式和前n项和公式的灵活利用．18．（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】（1）取BC的中点Q，连MQ与DQ，可证得四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）取AB的中点N，连接AN，根据条件可得到平面，且四边形为直角梯形，即确定了三棱锥的高和底面，然后利用可得所求体积．【详解】（1）证明：取PC的中点Q，连接MQ与DQ，∵为的中位线，∴，且．又，∴,且．∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面．（2）取AB的中点N，连接AN，∵为等边三角形，∴．∵平面，平面，∴平面平面．又平面平面，∴平面．∵∴四边形为直角梯形，∵，∴．【点睛】在证明空间中的线面关系时，要注意证明过程的完整性，对于判定、性质定理中的关键词语，在解题过程中要用符号加以表示，这是解题中容易出现的问题．另外，求三棱锥的体积时往往要结合等积法求解，即转化为便于求体积的三棱锥的体积求解．19．（1）没有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关；（2） .【解析】【分析】（1）根据题意得到列联表，然后根据题中数据求出的值，最后根据临界值表中的数据得到结论．（2）由题意得到所选的5人中的男性、女性的个数，然后通过列举法得到所有的基本事件个数及至少有一名女性包含的事件的个数，最后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】（1）由题意得列联表如下：由表中数据可得，所以没有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关．(2)从“强烈关注”的网友所选的5人中，男性人数为人，分别记为，女性人数为人，分别记为．从这5人中任选2人的所有结果为：，共10种，且它们是等可能的，其中至少有一名女性网友的结果为：，共7种，所以所求概率为．即这2人中至少有1名女性的概率．【点睛】解题时注意临界值表中数据的意义及其用法：①查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．②表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．20．(1)；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率得到，由的面积的最大值为得到，再结合椭圆中求出参数的值后可得方程．（2）将直线方程代入椭圆方程消去y得到关于x的二次方程，结合根据系数的关系求出线段的中点的坐标，由得，进而有，并由此得到，最后根据基本不等式得到所求范围．【详解】（1）由题意得，解得．∴椭圆的方程为．（2）由消去y整理得，且．设，线段的中点为，则．∴，∴．∵在轴上存在点，使得，∴，∴，即，∴．∵，∴，当且仅当且，即时等号成立．∴，故．∴实数的取值范围为．【点睛】（1）在解决圆锥曲线的有关问题时要注意平面几何图形性质的运用，如在本题中根据得到，即将等腰三角形的问题转化为垂直问题．（2）解决最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式，然后再结合基本不等式或函数的知识求出这个式子的最值或范围即可．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，注意变形、换元等方法的利用．21．（1）的极大值为，无极小值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，进而得到函数的单调性，然后可得函数的极值．（2）通过对参数的讨论得到函数的单调性，进而得到函数的最大值，然后将恒成立问题转化为，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当时，，∴．由得．当变化时，的变化情况如下表：由表知，当时，函数取得极大值，且极大值为，无极小值．（2）由题意得．①当时，则，∴函数在上单调递增，又，∴对任意，不恒成立．②当时，则当时，单调递增；当时，单调递减．∴当时，函数取得极大值，也为最大值，且．∵不等式对任意恒成立，∴，解得．综上可得实数的取值范围为．【点睛】（1）用导数研究函数的性质时，单调性是解题的工具，由单调性可得函数的极值、最值，进而得到函数的大体图象，为解决问题提供了直观性．（2）解决函数中的恒成立问题时，可转化为函数的最值问题求解，解题时首先得到函数的最值，再结合题意求解即可．22．（1），；(2) .【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标间的互化公式求解即可得到结论．（2）转化为直角坐标求解，设点的坐标，然后根据点到直线的距离求解，再结合二次函数得到所求最小值．【详解】（1）由得，把代入上式得，∴曲线的直角坐标方程为．设点的直角坐标为，则，∴点的直角坐标为．（2）由题意得直线的方程为，即．设点，则点到直线的距离为，故当时，有最小值，且．∴点到直线的最小距离为．【点睛】解答本题的关键是根据极坐标和直角坐标间的互化公式求解，在解决与极坐标或参数方程有关的问题时，常用的方法是转化为直角坐标求解，考查转化和计算能力，属于基础题．23．（1）；（2）-1【解析】【详解】（1）当时，，所以不等式即为，等价于或或，即或或，解得或或，∴，∴原不等式的解集为．（2）∵不等式的解集包含集合，∴当时，不等式恒成立，即对恒成立，∴对恒成立，∴对恒成立．又当时，∴．∴实数的取值范围为．【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．。