专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．把函数y ＝sin x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π4的图像，即原函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.3．已知简谐运动f (x )＝2sin π3x ＋φ|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sin φ＝1，即sinφ＝12.又因为|φ|<π2，所以φ＝π6.题组二 常错题4．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx2cosωx2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是____________．【解析】f (x )＝sinωx2cosωx 2＝12sin ωx ，若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.6．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m ＝________．【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，得函数图像的对称轴为直线x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或m ＝－5. 题组三 常考题7． 将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期即π3个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x .8．已知函数f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx 的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1 求三角函数解析式 1．的有关概念2．用五点法画一个周期内的简图()sin y A x ωϕ=+sin y A x =+用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 由的图象求其函数式：已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 4.利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得. 考点2 三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像; 把函数向右平移个单位，得到函数的图像; 把函数向上平移个单位，得到函数的图像; 把函数向下平移个单位，得到函数的图像. 伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+A ωϕ,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =()0ϕ>()0ϕ<ϕ()sin y x ϕ=+1ω0ω>()sin y x ωϕ=+A 0A >()sin y A x ωϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=-()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=-()y f x =1ω()()01y fx ωω=<<()y f x =1ω()()1y f x ωω=>把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像; 把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像. 2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到. 考点3 函数的图像与性质的综合应用 1. 的递增区间是，递减区间是. 2．对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为． 3. )若为偶函数，则有;若为奇函数则有.4. 的最小正周期都是. 【考点深度剖析】()y f x =A ()()1y Af x A =>()y f x =A ()()01y Af x A =<<sin y x =()sin y x ωϕ=+()0ω>x sin y x =()0ϕ>()0ϕ<ϕ1ω0ω>()sin y x ωϕ=+sin y x =1ω0ω>x 0ϕ>0ϕ<ωϕ||()sin y x ωϕ=+sin() y x ωϕ=+sin y x ω=0ϕ>0ϕ<ϕω()sin y A x ωϕ=+x y sin =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈sin()y A x ωφ=+cos()y A x ωφ=+sin )y A x ωϕ=+（()2x k k Z πωϕπ+=+∈x ()x k k Z ωϕπ+=∈()k x k Z πϕω-=∈(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭sin()y A x ωϕ=+()2k k Z πϕπ=+∈()k k Z ϕπ=∈()sin()f x A x ωϕ=+2||T πω=本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1 求三角函数解析式【1-1】已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】π3【1-2】如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，， 则的值为 .【答案】14【解析】由题意设、，，则，有两点间距离公式得，()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>||2πϕ≤P Q R (1,0)P 4PQR π∠=MQR 2PM =A (),0Q a ()0,R a -()0a >,22a a M ⎛⎫-⎪⎝⎭【思想方法】1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝最高点－最低点2；(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝最高点＋最低点2；(3) 的确定：结合图象，先求出周期，然后由 ()来确定；(4) 求，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【温馨提醒】求时一般把图像上的一个最值点代入． 考点2 三角函数图象的变换【2-1】函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________．()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>A A h h ωT 2T πω=0ω>ωϕ,,A h ωy h =ϕ()sin y A x k ωϕ=++x ϕω-0x ωϕ+=x ϕω=-ϕx 002x k ωϕπ+=+x x ϕ()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><()y f x =6π第（9）题【答案】【解析】【2-2】函数（其中A ＞0，）的图象如图所示，为得到的图象，则只要将的图象向 平移 个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数的周期，，，， 易求得点在函数的图像上，，又，， ，将函数的图象向右平移个单位长即得的图象.【思想方法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的变换”的原则即可,值得注意点是,sin(2)6y x π=-)sin()(ϕω+=x A x f 2||πω<x x g 3sin )(=)(xf )(x f 32)4125(4πππ=-=T 1=A 3=∴ω)3sin()(ϕ+=∴x x f )0,12(π)(x f 0)123sin(=+⨯∴ϕπ2||πω<4πϕ-=∴)43sin()(π+=∴x x f )43sin()(π+=x x f 12πx x g 3sin )(=,x y ,x y要得到函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到,而不是平行移动个单位． 考点3 函数的图像与性质的综合应用 【 3-1】设的最小正周期为，且对任意实数都有，则的单调减区间是 .【答案】【 3-2】若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是 . 【答案】【解析】∵函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值， ∴，∴. 【思想方法】(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．(2)周期性：存在周期性，其最小周期为. (3)单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间． sin() y x ωϕ=+sin y x ω=0ϕ>0ϕ<ϕωϕ()sin y A x ωϕ=+()()()=sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+++><⎪⎝⎭πx ()()4f x f π≤()f x )(],43,4[Z k k k ∈++ππππ()2sin f x x ω=(0)ω>(0,2)πω35(,]44()2sin f x x ω=(0)ω>(0,2)π35222πππω<≤3544ω<≤()k k Z ϕπ=∈sin()y A x ωϕ=+()2k k Z πϕπ=+∈sin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+2||T πω=sin y t =t x ωϕ=+22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈(4)对称性：利用的对称中心为求解，令，求得.利用的对称轴为 ()求解，令得其对称轴．【温馨提醒】对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。
