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第7讲第八章平面解析几何抛物线(3)定点—不在 定直线卜,1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内;(2)动点到定点F 的距离与到定直线I 的距离 相等教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源知-识“梳理/2・抛物线的标准方程和几何性质要点整食,1.辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.(2)对于抛物线标准方程中参数p,易忽视只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线Z的距离，否则无几何意义.y 2.与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)设Ji), B(X2, J2).2 _p2(1)J1J2=—P，XiX2—"J.i i 2⑶L4FI + LBFi为定值戸(5)以4F或BF为直径的圆与j轴相切.(4)以AB为直径的圆与准线相切.y(5)以4F 或BF 为直径的圆与j 轴相切.点(―1, 1),则该抛物线焦点坐标为( A. (-1, 0) C. (0, -1)B. (1, 0) D. (0, 1)解析：抛物线y 2=2px(p>0)ff)准线方程为兀= 由题设知—£=—1，艮片=1，所以焦点坐标为(1, 0). 乙Z双基自测,(2015•高考陕西卷)己知抛物线y 2=2px(p>0)^J 准线经过2.已知抛物线C与双曲线兀'一/=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（D ）A.y2= ±2\[2xB. y2=±2xC. y2=+4x D・y2=±4\/2x 解析：因为双曲线的焦点为（一⑴，0）, （\/2, 0）.设抛物线方程为y=±2px(p>Q)9贝吃=竝所以卩=2竝所以抛物线方程为犷=±4伍.3.(选修1-1P59练习13⑴改编)抛物线x2=2py(p>0)上的点P(m, 2)到焦点F的距离为3,则该抛物线的方程为_£二^ 解析：根据抛物线定义可知2+|=3,所以p=2,所以抛物线的方程为x=4y.4・动圆过点(1, 0),且与直线兀=一1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为一.解析：设动圆的圆心坐标为g j),则圆心到点(1, 0)的距离与到直线兀=一1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2= 4x.典例剖析▼考点突破*考点一 抛物线的定义及其应用的焦点为F, A(x 0,为)是C 上一点，L4FI=|x 0,则x 0=( c )A. 4B. 2C. 1 (2)已知抛物线y 2=4x 的焦点是F,点P 是抛物线上的动点,又有点B(3, 2),则IPBI+IPF I 的最小值为“名师导悟以例说法(1)(2014-高考课标全国卷I )已知抛物线G j 2=x［解析］⑴如图，F Q, 0),过A 作丄准线 所以 L4FI = IAA r|,所以 *O =X O +$=K +£所以兀0=1.过点B作B0垂直准线于0,交抛物线于点Pi，则IPi0= IPiFI,则有IPBI+ \PF\^IPiBI + \PiQ\= \BQ\= 4.即IPBI+ \PF\的最小值为4.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上 的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线 想到焦点，看到焦点想到准线” •(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,丿)到焦点F 的距离IPFI ■■■1.（1）（2016-云南省统一检测）设经过抛物线C的焦点F的直线Z与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C 的准线与以AB为直径的圆的位置关系为（B ）A.相离B.相切C.D.相交且经过圆心（2）（2016-长春调研）已知直线人：4x— 3y+ 6= 0和直线心x=一1,则抛物线J2=4r±一动点P到直线人和直线厶的距离之和的最小值是（B ）B.2D. 3解析：(1)设4、B、M作准线2的垂线，垂足分别为Bi、Mi，则MM I I=3(IAA I I+IBB I I).由抛物线定义可知= \AF\ = \AAi\9所以L4BI = IBBil + lAAil, IMMil=£lABI,即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以4B为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)由题可知佐：兀=一1是抛物线y2=4x的准线，设抛物线的焦点F为(h 0),则动点尸到乙的距离等于则动点P到直线人和直线厶的距离之和的最小值即为焦点F到直=1线4x-3j+ 6= 0的距离，所以最小值是14-0+61考点二抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度，高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线方程；(2)由已知求参数p；(3)与其他知识交汇求解综合问题.4伍的焦点，P 为C 上一点，若IPFI=40,则/XPOF 的面积为(° )A. 2D. 4(2)(2016-岳阳模拟)已知 P(0, 2),抛物线 C ： y 2=2px(p>d)的焦点为F,线段PF 与抛物线C 的交点为过M 作抛 物线准线的垂线，垂足为0若ZPQF=9Q° ,则p =⑴（经典考题）0为坐标原点，F 为抛物线C ： /=B. 2\[2［解析］⑴设Pdo,旳），则PF\=a+迄=4迄, 所以丸=3迄，所以农=4"\/2xo—4^/2 X 3 寸^—24 ‘所以Ijol—2^/6.因为F（V2, 0）,所以8"0尸=才0刊• ly（）l =空X寸^X意一点到准线的距离与到焦点的距离的比值为1,即相等） 得I0M1 = IMFI.又因为△P0F 为直角三角形且PF 为斜边（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），所以IPM1=IMFI, 即点M 为线段PF 的中点.由磴，0）, P （0,2）知M 点的£，1），又因为点M 在抛物线上，所以12=2pX? 所以p=\/i 或卩=—心（舍去）.（2）由题意得点磴，0） 根据抛物线的定义（抛物线上的任坐标为(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有P,所以只需一个条件确定P值即可.②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时, 需先定位，再定量.(2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.2.(1)(2016-襄阳调研测试)抛物线y 2=2px 的焦 点为F, M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接911,则p=(B )A. 2B. 4C. 6D. 8(2)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆＜+于=9相交，公共弦MN的长为2质，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.解：⑴选B・因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，所以△OFM的外接径，因为圆面积为9n,所以圆的半径为3,又因为圆心在OF 的垂直平分线上，IOFI=f,所以彳+丫=3,所以p=4.(2)由题意，设抛物线方程为x=2ay(a^Q).设公共弦MN交丿轴于4贝l|IM4l = IA^I,且AN=\/5.因为IOM = 3,所以1041=祚一(质)2 = 2,所以N畑±2).因为N点在抛物线上，所以5=2«•仕2),即加=£，抛物线x2=|y的焦点坐标为@，汀准线方程为尸一|・抛物线x2=—|y的焦点坐标为@，一彳)，准线方程为歹=|・故抛物线的方程为X2=|y 或x2=5一*考点三直线与抛物线的位置关系典洌D ⑴（2014•高考辽宁卷）已知点A（~2, 3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（D ）B-1D.扌A边(2)(2016-九江统考)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于4 B两点，交抛物线的准线于G若IAF\ = 69BC=2FB9则2的值为(° )D. 3［解析］⑴抛物线y2=2px的准线为直线*=—纟,而点A（-2, 3）在准线上，所以-^=-2, 即p=4,从而C： j2=Sx,点为F（2，0）・设切线方程为y—3=k（x+2）,代入y2=8x9得歛―『+2氐+3=0伉HO）①，由于/ = 1—4X点（2疋+3）=0,所以k=—2或反=£.因为切点在第一象限，所以氐=空•将氐=空代入①中,得y=8, 再代入J2=8X中得x=8,所以点B的坐标为（8, 8）,所以直线BF的斜率为£=扌.(2)设A(x p ji)(yi>0), B(X29力)，C( —2, y3)9则帀+2=6, 解得兀i=4, y\=4远,直线AB的方程为j=2\/2(x-2),令{2 QJ =8^ 厂/ 、解y = 2\l2 (x—2), 得B(l, —2\[Z)9所以IBFI =1+2= 3, IBCI = 9,所以久=3.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式14〃=旳1+込1+0若不过焦点，则必须用一般弦长公式.⑶涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时, 般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解法.［注意］涉及弦的中点.斜率时，一般用“点差法”求解•跟踪训练 3.(2016*唐山一模)已知抛物线j2=2px(p>0),过点C(-2, 0)的直线I交抛物线于4、B两点，坐标原点为O,OA • OB= 12.(1)求抛物线的方程；⑵当以L4BI为直径的圆与y轴相切时，求直线2的方程.•b==^—H Z X H 昱 0龙 I zz■导 Hzxli ■W /^H M +I i(2)⑴中(*)可化为 /-4my+ 8= 0,yi+y2=伽，丁1^2=8,设AB的中点为M,则\AB\ = 2r/V f—x1H-x2=An(y1+j2)— 4= 4w2—4,①又IABI= ^/1+加»]—旳|= —( 16*n2—32),②由①②得(1+/W2)(16W2-32)=(4W2-4)2,解得加2=3, m =所以直线I的方程为兀+心+2= 0或兀一心+2=0.名师讲坛密素养提升｝ __________________________ ______________________________________________方法思想——函数思想求圆锥曲线中的最值典例 抛鳄线y=—J 上的点到直线4x+3y —8=0距离的-X 2),则点P 到直线4x+3j-8= 0的距离d 2+|,在抛物线J = -x 2中，x£R,所以当 尸彳时，〃取得最小值?即抛物线 y=—J 上的点到直线拓展升华触类旁通 最小值是亠［解析］设P(x,14兀一3x 2—81 1(=5 3V 1(H)4x+3y—8=0距离的最小值是*讀感悟提高解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解•解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标.跟踪训练若点p 在抛物线y=x±,点0在圆(x-3)2+旷=1上，则IPQI的最小值为 __________ .解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A(3, 0), 则\PQ\^\PA\~\AQ\=\PA\~l t当且仅当P, Q, A三点共线时取等号，所以当曲1取得最小值时，IPQI*小.设P(x0, Jo)，贝U yXo — 6兀o+ 9+ 兀0=IP4I取得最小值半,丿：=兀0，\PA\ — 7 (兀o —3) =2 11 5+牛当且仅当兀。
第八章平面解析几何8。
7 抛物线考向归纳考向1抛物线的准线方程及几何性质1。
已知抛物线的焦点在x轴上，其上一点P（－3,m)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程为（）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x【解析】依题意得，错误!－（－3)＝5,∴p＝4。
∴抛物线方程为y2＝－8x。
故选B。
【答案】B2．设抛物线C：y2＝2px(p〉0）的焦点为F,点M在C 上，｜MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2），则C的方程为( ）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x【解析】由已知得抛物线的焦点F错误!，设点A(0,2），点M（x0，y0)，则错误!＝错误!，错误!＝错误!。
由已知得,AF→·错误!＝0，即y错误!－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M错误!。
由｜MF｜＝5，得错误!＝5,又p>0,解得p＝2或p＝8。
故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.【答案】C3．(2014·湖南高考）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b）,原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p〉0）经过C，F两点，则错误!＝________。
【解析】∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，∴C错误!，F错误!。
又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p〉0)上，∴错误!解得错误!＝错误!＋1.【答案】错误!＋11．抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．2．求抛物线的标准方程的方法及流程（1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．考向2抛物线的定义及应用●命题角度1 到焦点的距离与到准线的距离的转化1．(2014·全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，｜AF｜＝错误!x0，则x0＝（)A．4 B．2C．1 D．8【解析】如图，F错误!,过A作AA′⊥准线l,∴｜AF｜＝｜AA′|，∴54x0＝x0＋错误!＝x0＋错误!,∴x0＝1.【答案】C●命题角度2 到焦点与定点距离之和最小问题2．已知抛物线的方程为x2＝8y,F是焦点，点A（－2,4）,在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．【解】∵（－2）2〈8×4，∴点A（－2，4）在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B，连接AQ。
