(浙江版)高考数学二轮复习专题1.8集合与简易逻辑、复数教学案

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语１．集合的概念、运算（１）集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．（２）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（３）集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．（４）重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.２．命题两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．３．充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件（p⇒q，q⇒p）A Bp是q的必要不充分条件（q⇒p，p⇒q）B Ap是q的充要条件（p⇔q）A＝Bp是q的既不充分也不必要条件（p⇒q，q⇒p）A与B互不包含１．（２0１３·辽宁）已知集合A＝{x|0＜log４x＜１}，B＝{x|x≤２}，则A∩B等于（）Ａ．（0,１）Ｂ．（0,２] Ｃ．（１,２）Ｄ．（１,２]答案D解析A＝{x|１＜x＜４}，B＝{x|x≤２}，∴A∩B＝{x|１＜x≤２}．２．（２0１３·北京）“φ＝π”是“曲线y＝sin（２x＋φ）过坐标原点”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析当φ＝π时，y＝sin（２x＋φ）＝—sin ２x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin（２x＋φ）过原点”的充分不必要条件．３．（２0１２·山东）已知全集U＝{0,１,２,３,４}，集合A＝{１,２,３}，B＝{２,４}，则（∁U A）∪B为（）Ａ．{１,２,４} Ｂ．{２,３,４}Ｃ．{0,２,４} Ｄ．{0,２,３,４}答案C解析∵∁U A＝{0,４}，B＝{２,４}，∴（∁U A）∪B＝{0,２,４}．１若一个球的半径缩小到原来的错误!，则其体积缩小到原来的错误!；２若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；３直线x＋y＋１＝0与圆x２＋y２＝错误!相切．其中真命题的序号是（）Ａ．１２３Ｂ．１２Ｃ．１３Ｄ．２３答案C解析对于命题１，设球的半径为R，则错误!π错误!３＝错误!·错误!πR３，故体积缩小到原来的错误!，命题正确；对于命题２，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据１,３,５和３,３,３的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题３，圆x２＋y２＝错误!的圆心（0,0）到直线x＋y＋１＝0的距离d＝错误!＝错误!，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．１若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；２直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；３若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；４梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．（写出所有真命题的序号）答案１４解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故１是真命题．如图（１），在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|PA|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故２是假命题．如图（２），A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及１可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P有无数个，故３是假命题．如图（３），由１可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故４是真命题．题型一集合的概念与运算问题例１（１）（２0１２·湖北）已知集合A＝{x|x２—３x＋２＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<５，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）定义A—B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{１,２,３,４,５}，N＝{２,３,6}，则N—M等于（）Ａ．MＢ．NＣ．{１,４,５} Ｄ．{6}审题破题（１）先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．（２）透彻理解A—B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案（１）D （２）D解析（１）由x２—３x＋２＝0得x＝１或x＝２，∴A＝{１,２}．由题意知B＝{１,２,３,４}，∴满足条件的C可为{１,２}，{１,２,３}，{１,２,４}，{１,２,３,４}．（２）N—M＝{x|x∈N且x∉M}．∵２∈N且２∈M，∴２∉N—M；３∈N且３∈M，∴３∉N—M；6∈N且6∉M，∴6∈N—M.∴故N—M＝{6}．反思归纳（１）解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．（２）两点提醒：１要注意集合中元素的互异性；２当B⊆A时，应注意讨论B是否为∅.变式训练１（２0１３·玉溪毕业班复习检测）若集合S＝{x|log２（x＋１）>0}，T＝错误!，则S∩T等于（）Ａ．（—１,２）Ｂ．（0,２）Ｃ．（—１，＋∞）Ｄ．（２，＋∞）答案D解析S＝{x|x＋１>１}＝{x|x>0}，T＝{x|x>２或x<—２}．∴S∩T＝{x|x>２}．题型二命题的真假与否定问题例２下列叙述正确的个数是（）１l为直线，α、β为两个不重合的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；２在△ABC中，“∠A＝60°”是“cos A＝错误!”的充要条件；３若向量a，b满足a·b<0，则a与b的夹角为钝角．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．0审题破题判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定．答案A解析对于１，直线l不一定在平面α外，错误；２注意到△ABC中条件，正确；３a·b<0可能〈a，b〉＝π，错误．故叙述正确的个数为１．反思归纳（１）命题真假的判定方法：１一般命题p的真假由涉及到的相关知识辨别；２四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；３形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．１对任意x∈R，不等式x２＋２x>４x—３均成立；２若log２x＋log x２≥２，则x>１；３“若a>b>0且c<0，则错误!>错误!”的逆否命题．其中真命题只有（）Ａ．１２３Ｂ．１２Ｃ．１３Ｄ．２３答案A解析１中不等式可表示为（x—１）２＋２>0，恒成立；２中不等式可变为log２x＋错误!≥２，得x>１；３中由a>b>0，得错误!<错误!，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真．题型三充要条件的判断问题例３（１）甲：x≠２或y≠３；乙：x＋y≠５，则（）Ａ．甲是乙的充分不必要条件Ｂ．甲是乙的必要不充分条件Ｃ．甲是乙的充要条件Ｄ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（２）设命题p：|４x—３|≤１；命题q：x２—（２a＋１）x＋a（a＋１）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（—∞，0）∪错误!Ｄ．（—∞，0）∪错误!审题破题（１）利用逆否命题判别甲、乙的关系；（２）转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决．答案（１）B （２）A解析（１）“甲⇒乙”，即“x≠２或y≠３”⇒“x＋y≠５”，其逆否命题为：“x＋y＝５”⇒“x＝２且y＝３”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．（２）綈p：|４x—３|>１；綈q：x２—（２a＋１）x＋a（a＋１）>0，解得綈p：x>１或x<错误!；綈q：x>a＋１或x<a.若綈p⇐綈q，则错误!或错误!，即0≤a≤错误!.反思归纳（１）充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；（２）判断充分、必要条件时应注意的问题：１要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A；２要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练３（１）（２0１２·山东）设a>0且a≠１，则“函数f（x）＝a x在R上是减函数”是“函数g （x）＝（２—a）x３在R上是增函数”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析由题意知函数f（x）＝a x在R上是减函数等价于0<a<１，函数g（x）＝（２—a）x３在R 上是增函数等价于0<a<１或１<a<２，∴“函数f（x）＝a x在R上是减函数”是“函数g（x）＝（２—a）x３在R上是增函数”的充分不必要条件．（２）设A＝{x|错误!<0}，B＝{x|0<x<m}，若B是A成立的必要不充分条件，则m的取值范围是（）Ａ．m<１Ｂ．m≤１Ｃ．m≥１Ｄ．m>１答案D解析错误!<0⇔0<x<１．由已知得，0<x<m⇒0<x<１，但0<x<１⇒0<x<m成立．∴m>１．１若m＝１，则S＝{１}；２若m＝—错误!，则错误!≤l≤１；３若l＝错误!，则—错误!≤m≤0．其中正确命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析１m＝１时，l≥m＝１且x２≥１，∴l＝１，故１正确．２m＝—错误!时，m２＝错误!，故l≥错误!.又l≤１，∴２正确．３l＝错误!时，m２≤错误!且m≤0，则—错误!≤m≤0，∴３正确．答案D得分技巧创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论．阅卷老师提醒在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．１．已知集合A＝{x|x２＋x—２＝0}，B＝{x|ax＝１}，若A∩B＝B，则a等于（）Ａ．—错误!或１Ｂ．２或—１Ｃ．—２或１或0 Ｄ．—错误!或１或0答案D解析依题意可得A∩B＝B⇔B⊆A.因为集合A＝{x|x２＋x—２＝0}＝{—２,１}，当x＝—２时，—２a＝１，解得a＝—错误!；当x＝１时，a＝１；又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0，故选Ｄ．２．（２0１３·浙江）已知函数f（x）＝A cos（ωx＋φ）（A>0，ω>0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案B解析φ＝错误!⇒f（x）＝A cos错误!＝—A sin ωx为奇函数，∴“f（x）是奇函数”是“φ＝错误!”的必要条件．又f（x）＝A cos（ωx＋φ）是奇函数⇒f（0）＝0⇒φ＝错误!＋kπ（k∈Z）⇒φ＝错误!.∴“f（x）是奇函数”不是“φ＝错误!”的充分条件．３．已知集合A＝{（x，y）|x，y为实数，且x２＋y２＝１}，B＝{（x，y）|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B 的元素个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案C解析集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为２．４．已知集合P＝{x|x２≤１}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为（）Ａ．（—∞，—１] Ｂ．[１，＋∞）Ｃ．[—１,１] Ｄ．（—∞，—１]∪[１，＋∞）答案C解析由P＝{x|x２≤１}得P＝{x|—１≤x≤１}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴—１≤a≤１．５．下列命题中错误的是（）Ａ．命题“若x２—５x＋6＝0，则x＝２”的逆否命题是“若x≠２，则x２—５x＋6≠0”Ｂ．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≤错误!２中等号成立”的充要条件Ｃ．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假Ｄ．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是真命题答案C解析易知选项A，B，D都正确；选项C中，若p∨q为假命题，根据真值表，可知p，q必都为假，故C错．专题限时规范训练一、选择题１．（２0１３·陕西）设全集为R，函数f（x）＝错误!的定义域为M，则∁R M为（）Ａ．[—１,１]Ｂ．（—１,１）Ｃ．（—∞，—１]∪[１，＋∞）Ｄ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）答案D解析由题意得M＝[—１,１]，则∁R M＝（—∞，—１）∪（１，＋∞）．２．（２0１３·山东）给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析由题意知：綈p⇐q⇔（逆否命题）p⇒綈q.３．（２0１２·湖南）命题“若α＝错误!，则tan α＝１”的逆否命题是（）Ａ．若α≠错误!，则tan α≠１Ｂ．若α＝错误!，则tan α≠１Ｃ．若tan α≠１，则α≠错误!Ｄ．若tan α≠１，则α＝错误!答案C解析由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠１，则α≠错误!.４．设集合A＝{１,２,３,４,５,6}，B＝{４,５,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（）Ａ．５7 Ｂ．５6 Ｃ．４9 Ｄ．8答案B解析由S⊆A知S是A的子集，又∵A＝{１,２,３,４,５,6}，∴满足条件S⊆A的S共有２6＝6４（种）可能．又∵S∩B≠∅，B＝{４,５,6,7,8}，∴S中必含４,５,6中至少一个元素，而在满足S⊆A的所有子集S中，不含４,５,6的子集共有２３＝8（种），∴满足题意的集合S的可能个数为6４—8＝５6．５．设集合A＝{x∈R|x—２>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x（x—２）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案C解析A＝{x|x—２>0}＝{x|x>２}＝（２，＋∞），B＝{x|x<0}＝（—∞，0），∴A∪B＝（—∞，0）∪（２，＋∞），C＝{x|x（x—２）>0}＝{x|x<0或x>２}＝（—∞，0）∪（２，＋∞）．A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．6．设有两个命题，p：不等式错误!＋错误!>a的解集为R；q：函数f（x）＝—（7—３a）x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是（）Ａ．１≤a<２Ｂ．２<a≤错误!Ｃ．２≤a<错误!Ｄ．１<a≤２答案A解析记A＝{a|不等式错误!＋错误!>a的解集为R}；B＝{a|f（x）＝—（7—３a）x在R上是减函数}．由于函数y＝错误!＋错误!的最小值为１，故A＝{a|a<１}．又因为函数f（x）＝—（7—３a）x在R上是减函数，故7—３a>１，即a<２，所以B＝{a|a<２}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为[（∁R A）∩B]∪[（∁R B）∩A]，而（∁R A）∩B＝[１，＋∞）∩（—∞，２）＝[１,２），（∁R B）∩A＝[２，＋∞）∩（—∞，１）＝∅，因此[（∁R A）∩B]∪[（∁R B）∩A]＝[１,２），故选Ａ．7．已知p：错误!<１，q：（x—a）（x—３）>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）Ａ．（—∞，１）Ｂ．[１,３]Ｃ．[１，＋∞）Ｄ．[３，＋∞）答案C解析错误!—１<0⇒错误!<0⇒（x—１）（x＋１）<0⇒p：—１<x<１．当a≥３时，q：x<３或x>a；当a<３时，q：x<a或x>３．綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p⇒q且q⇒p，从而可推出a的取值范围是a≥１．8．下列命题中是假命题的是（）Ａ．存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan βＢ．对任意x>0，有lg２x＋lg x＋１>0Ｃ．△ABC中，A>B的充要条件是sin A>sin BＤ．对任意φ∈R，函数y＝sin（２x＋φ）都不是偶函数答案D解析对于A，当α＝β＝0时，tan（α＋β）＝0＝tan α＋tan β，因此选项A是真命题；对于B，注意到lg２x＋lg x＋１＝错误!２＋错误!≥错误!>0，因此选项B是真命题；对于C，在△ABC中，由A>B⇔a>b⇔２R sin A>２R sin B⇔sin A>sin B（其中R是△ABC的外接圆半径），因此选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝错误!时，y＝sin（２x＋φ）＝cos ２x是偶函数，因此选项D是假命题．综上所述，选Ｄ．二、填空题9．已知集合A＝{x∈R||x—１|<２}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．答案３解析A＝{x∈R||x—１|<２}＝{x∈R|—１<x<３}，集合A中包含的整数有0,１,２，故A∩Z＝{0,１,２}．故A∩Z中所有元素之和为0＋１＋２＝３．１0．设集合M＝{y|y—m≤0}，N＝{y|y＝２x—１，x∈R}，若M∩N≠∅，则实数m的取值范围是________．答案（—１，＋∞）解析M＝{y|y≤m}，N＝{y|y>—１}，结合数轴易知m>—１．１１．已知命题p：“对任意x∈[１,２]，错误!x２—ln x—a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案错误!解析命题p：a≤错误!x２—ln x在[１,２]上恒成立，令f（x）＝错误!x２—ln x，f′（x）＝x—错误!＝错误!，当１<x<２时，f′（x）>0，∴f（x）min＝f（１）＝错误!，∴a≤错误!.１“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋１}为等比数列”的充分不必要条件；２“a＝２”是“函数f（x）＝|x—a|在区间[２，＋∞）上为增函数”的充要条件；３“m＝３”是“直线（m＋３）x＋my—２＝0与直线mx—6y＋５＝0互相垂直”的充要条件；４设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝１，b＝错误!，则“A＝３0°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）答案１４解析对于１，当数列{a n}是等比数列时，易知数列{a n a n＋１}是等比数列；但当数列{a n a n＋１}是等比数列时，数列{a n}未必是等比数列，如数列１,３,２,6,４,１２,8显然不是等比数列，而相应的数列３,6,１２,２４,４8,96是等比数列，因此１正确．对于２，当a≤２时，函数f（x）＝|x—a|在区间[２，＋∞）上是增函数，因此２不正确．对于３，当m＝３时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m＝３，也可能得出m＝0，因此３不正确．对于４，由题意，得错误!＝错误!＝错误!，当B＝60°时，有sin A＝错误!，注意到b>a，故A＝３0°；但当A＝３0°时，有sin B＝错误!，B＝60°或B＝１２0°，因此４正确．三、解答题１３．已知函数f（x）＝错误!的定义域为集合A，函数g（x）＝lg（—x２＋２x＋m）的定义域为集合B.（１）当m＝３时，求A∩（∁R B）；（２）若A∩B＝{x|—１<x<４}，求实数m的值．解A＝{x|—１<x≤５}，（１）当m＝３时，B＝{x|—１<x<３}，则∁R B＝{x|x≤—１或x≥３}，∴A∩（∁R B）＝{x|３≤x≤５}．（２）∵A＝{x|—１<x≤５}，A∩B＝{x|—１<x<４}，故４是方程—x２＋２x＋m＝0的一个根，∴有—４２＋２×４＋m＝0，解得m＝8．此时B＝{x|—２<x<４}，符合题意．因此实数m的值为8．１４．设集合A＝{x|—２—a<x<a，a>0}，命题p：１∈A，命题q：２∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．解由命题p：１∈A，得错误!解得a>１．由命题q：２∈A，得错误!解得a>２．又∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假或p假q真，当p真q假时，错误!即１<a≤２，当p假q真时，错误!无解．故所求a的取值范围为（１,２]．。

2012届高考数学二轮复习专题一 集合【重点知识回顾】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

数学是理性思维的学科，高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”简易逻辑用于可以和各章融合命题,正是这一理性思维的体现，学生只有在思维能力上有所提高才能让数学学习有一个质的飞跃。

但思维的培养不是一朝一夕的，因此，在第二轮各模块的复习中应尽量加强学生思维能力方面的培养1．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；2．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与⊆、a 与{a }、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ。

③区分集合中元素的形式：【典型例题】1.对集合与简易逻辑有关概念的考查例1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 （ ）A ．A ⊆B B ．B ⊆C C ．A ∩B=CD ．B ∪C=A 分析：本例主要考查子集的概念及集合的运算． 解析：易知选D ．点评：本题是典型的送分题，对于子集的概念，一定要从元素的角度进行理解．集合与集合间的关系，寻根溯源还是元素间的关系．例2(07重庆)命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B.若11<<-x ，则12<x C.若11-<>x x ，或，则12>x D.若11-≤≥x x ，或，则12≥x 答案:D.2.对集合性质及运算的考查例2．(2011年高考广东卷理科2)已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且x2+y2=l}，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}， 则A ∩ B 的元素个数为（ ） A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3【解析】C.方法一：由题得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧==+22222222122y x y x x y y x 或，B A 元素的个数为2，所以选C.方法二：直接画出曲线122=+y x 和直线x y =，观察得两支曲线有两个交点，所以选C.点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解．3.对与不等式有关集合问题的考查例3．已知集合{}30,31x M x N x x x ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭…，则集合{}1x x …为( ) A ．MN B ．M N C ．()R MN ð D ．()R MN ð分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算． 解析：依题意：{}{}31,3M x x N x x =-<<=-…，∴{|1}M N x x ⋃=<，∴()R MN =ð{}1.x x …故选C ．点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用． 4.对与方程、函数有关的集合问题的考查例4．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=， {|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：本题集合A 表示方程的解所组成的集合，集合B 表示在集合A 条件下函数的值域，故应先把集合A 、B 求出来，而后再考虑)(B A C U ．解析：因为集合{}{}1,2,2,4A B ==，所以{}1,2,4AB =，所以{}()3,5.U C AB =故选B ．点评：在解决同方程、函数有关的集合问题时，一定要搞清题目中所给的集合是方程的根，或是函数的定义域、值域所组成的集合，也即要看清集合的代表元素，从而恰当简化集合，正确进行集合运算．【模拟演练】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足},,,{4321a a a a M ⊆，且},,{321a a a M },{21a a =的集合M 的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．41．B 解析：由题意得},{21a a M =或},,{421a a a M =，故选B ． 2．若},4,1{x A =，},1{2x B =，且B B A = ，则x 的值为A ．2或2-B ．0或2-C ．0或2D ．0，2或2-2．D 解析：由B B A = ，得A B ⊆，则42=x 或x x =2且1=/x ．所以2=x ，或2-=x ，或0=x ．本题作为第3题4．已知全集U=R ，集合}12|{≤=xx A ，}02|{2≤-+=x x x B ，则()U C A B =A ．]1,0(B ．[0，1]C ．]0,2[-D ．]2,(--∞4．A 解析：因为集合}12|{≤=xx A ，}02|{2≤-+=x x x B ，所以]0,(-∞=A ，]1,2[-=B ．又(0,)U C A =+∞，所以()(0,1]U C A B =．5．已知命题“R x ∈∃，021)1(22≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．),1(+∞- B ．)3,(-∞ C ．)3,1(- D ．),3()1,(+∞--∞5．C 解析：由条件得命题“R x ∈∀，021)1(22>+-+x a x ”是真命题．所以04)1(2<--=∆a ，解得31<<-a ．6．已知条件p ：011>+x 和条件q ：)11lg(2x x -++有意义，则p ⌝是q ⌝的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．A 解析：由p 得1->x ，由q 得11≤<-x ，则q 是p 的充分不必要条件，故p ⌝是q ⌝的充分不必要条件．10．若m b a m a f 2)13()(-+-=，当]1,0[∈m 时，1)(≤a f 恒成立，则b a +的最大值为A ．31 B ．32 C ．35 D ．3710．D 解析：设m a a f m g )23()()(-==a b -+，由于当]1,0[∈m 时，=)(m g 1)23()(≤-+-=a b m a a f 恒成立，于是⎩⎨⎧≤≤1)1(1)0(g g ，即⎩⎨⎧≤+≤-321a b a b ，满足此不等式组的点),(b a 构成图中的阴影部分，其中)35,32(A ，设t b a =+，显然直线t b a =+过点A 时，取得最大值37． 11、函数)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足0)()(≤+'x f x xf ，则对任意正数b a ,，若b a >，则必有A ．)()(a bf b af ≤B ．)()(b af a bf ≤C ．)()(b f a af ≤D ．)()(a f b bf ≤11．B 解析：构造函数)0()(>=x x x f y ，求导得2)()(x x f x f x y -'='，由条件知0)(≤'x f ，∴0≤'y ，∴函数x x f y )(=在),0(+∞上单调递减，又b a >，∴()()f a f b a b≤，即)()(b af a bf ≤．12．幂指函数)1)(,0)(()]([)(=/>=x f x f x f y x g 在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得)(ln )(ln x f x g y ∙=，两边同时求导得)()()()(ln )(x f x f x g x f x g y y '+'='，于是='y ])()()()(ln )([)]([)(x f x f x g x f x g x f x g '+'，运用此方法可以探求得知x x y =的单调递增区间为( )．A ．),1()1,1(+∞ eB ．),1(+∞eC ．),(+∞eD ．(3，8)12．A 解析：由题意得0)1(ln ]ln [>+='+'='x x x x xx x x y x x，∴ex 1>．又0>x 且1=/x ，∴xx y =的单调递增区间为 )1,1(e),1(+∞．故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．现记A x x B A ∈=-|{且}B x ∉为集合B 关于集合A 的差集，若集合A={l ，2，3，4，5｝，B={l ，2，3，5，6}，则集合B 关于集合A 的差集B A -为________．13．{4} 解析：由集合B 关于集合A 的差集的定义可知B A -={4}．14．已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1,)+∞上是增函数.，命题q ：(21)x y a =-为减函数，若p q 且为真命题，则a 的取值范围是____________。

第2讲 函数图象与性质函数及其表示 [核心提炼]1．函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[典型例题](1)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1，1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 (1)当0<a <1时，a ＋1>1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， 因为f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a >1时，a ＋1>2，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， 所以2(a －1)＝2a ，无解．当a ＝1时，a ＋1＝2，f (1)＝0，f (2)＝2，不符合题意．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝6.故选C. (2)因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1，1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，由于函数g (x )是二次函数，值域不会是选项A ，B ，易知，当g (x )的值域是[0，＋∞)时，f (g (x ))的值域是[0，＋∞)．故选C.【答案】 (1)C (2)C(1)在求分段函数的函数值时，一定要注意自变量的值属于哪个区间，再代入相应的解析式求解．当自变量的值不确定时，要分类讨论．(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[对点训练]1．函数f (x )＝ln （x ＋1）x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1，2)∪(2，＋∞)D ．(－1，2)∪(2，＋∞)解析：选D.要使f (x )＝ln （x ＋1）x －2有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)．故选D. 2．(2019·宁波市九校期末联考)已知下列各式： ①f (|x |＋1)＝x 2＋1； ②f (1x 2＋1)＝x ； ③f (x 2－2x )＝|x |； ④f (|x |)＝3x ＋3－x.其中存在函数f (x )对任意的x ∈R 都成立的是( ) A ．①④ B ．③④ C ．①②D ．①③解析：选A.①f (|x |＋1)＝x 2＋1，由t ＝|x |＋1(t ≥1)，可得|x |＝t －1，则f (t )＝(t －1)2＋1，即有f (x )＝(x －1)2＋1对x ∈R 均成立；②f (1x 2＋1)＝x ，令t ＝1x 2＋1(0＜t ≤1)，x ＝± 1t－1，对0＜t ≤1，y ＝f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2－2x )＝|x |，令t ＝x 2－2x ，若t ＜－1时，x ∈∅；t ≥－1，可得x ＝1±1＋t (t ≥－1)，y ＝f (t )不能构成函数；④f (|x |)＝3x ＋3－x ，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋3－x ；当x ＜0时，f (－x )＝3x ＋3－x；将x 换为－x 可得f (x )＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．函数的图象及应用 [核心提炼]图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．考向1 函数图象的变换与识别[典型例题](1)函数y ＝sin x 2的图象是( )(2)(2019·宁波九校模拟)已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】 (1)由于函数y ＝sin x 2是一个偶函数，选项A 、C 的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B 与选项D 的图象都关于y 轴对称，在选项B 中，当x ＝±π2时，函数y ＝sinx 2<1，显然不正确，当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2<π2，故选D. (2)由于f (e)＝1e －2＞0，排除D.由于f (1e )＝e ＞0，排除B.由于f (e 2)＝1e 2－3＜f (e)，故函数在(1，＋∞)为减函数，排除C ，所以选A.【答案】 (1)D (2)A 考向2 函数图象的应用[典型例题]已知f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值【解析】 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|<g （x ）， 故h (x )有最小值－1，无最大值． 【答案】 C(2)函数图象的应用 ①判断函数的性质．②判定方程根的个数及不等式的解．[对点训练]1．(2019·绍兴一中模拟)函数y ＝x 33x 4－1的图象大致是( )解析：选A.因为y ＝x 33x 4－1，所以函数y ＝x 33x 4－1是奇函数，图象关于原点对称，故排除C ；当x ＜－1时，恒有y ＜0，故排除D ；－1＜x ＜0时，y ＞0，故可排除B ；故选A.2．(2019·鄞州高级中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e|x －1|，x >0－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于f (x )的方程[f (x )]2－3f (x )＋a ＝0(a ∈R )有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 C ．(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，94 解析：选D.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e|x －1|，x >0－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象，如图所示：关于f (x )的方程[f (x )]2－3f (x )＋a ＝0有8个不等的实数根，故Δ＝9－4a >0，a <94，由函数f (x )图象可知f (x )∈(1，2)，令t ＝f (x )，则方程[f (x )]2－3f (x )＋a ＝0可化为a ＝－t 2＋3t ，t ∈(1，2)．a ＝－t 2＋3t 表示开口向下，对称轴为直线t ＝32的抛物线，可知a 的最大值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3×32＝94， a 的最小值为2，故a ∈⎝⎛⎦⎥⎤2，94.综上可知a ∈⎝⎛⎭⎪⎫2，94.故选D.函数的性质及应用 [核心提炼]1．函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．[典型例题](1)(2019·浙江吴越联盟)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时为减函数，且f (2)＝0，则集合{x |f (x －2)＞0}＝( )A ．{x |0＜x ＜2或x ＞4}B ．{x |x ＜0或x ＞4}C ．{x |0＜x ＜2或x ＞2}D ．{x |x ＜0或2＜x ＜4}(2)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．【解析】 (1)因为奇函数满足f (2)＝0， 所以f (－2)＝－f (2)＝0.对于{x |f (x －2)＞0}，当x －2＞0时，f (x －2)＞0＝f (2)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数，所以0＜x －2＜2， 所以2＜x ＜4；当x －2＜0时，不等式可化为f (x －2)>0＝f (－2)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数， 所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递减， 所以x －2＜－2，所以x ＜0.综上可得，不等式的解集为{x |x ＜0或2＜x ＜4}，故选D.(2)f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数，其最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以f (x )max ＋f (x )min ＝M ＋m ＝2.【答案】 (1)D (2)2(1)四招破解函数的单调性①对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；②对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题来解决；③对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法； ④对于抽象函数一般用定义法． (2)判断函数奇偶性的三个技巧①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．②确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． ③对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．[对点训练]1．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．(0，3]B ．(0，13]C ．[13，3]D ．[1，3]解析：选C.由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)， 由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)， 即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3.2．(2019·绍兴、诸暨高考二模)已知f (x )是定义在R 上的单调递增函数，则下列四个命题：①若f (x 0)＞x 0，则f [f (x 0)]＞x 0；②若f [f (x 0)]＞x 0，则f (x 0)＞x 0；③若f (x )是奇函数，则f [f (x )]也是奇函数；④若f (x )是奇函数，则f (x 1)＋f (x 2)＝0⇔x 1＋x 2＝0，其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A.对于①，因为f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (x 0)＞x 0，则f [f (x 0)]＞f (x 0)＞x 0，故①正确；对于②，当f [f (x 0)]＞x 0时，若f (x 0)≤x 0，由f (x )是定义在R 上的单调递增函数得f [f (x 0)]≤f (x 0)≤x 0与已知矛盾，故②正确；对于③，若f (x )是奇函数，则f [f (－x )]＝f [－f (x )]＝－f [f (x )]，所以f [f (x )]也是奇函数，故③正确；对于④，当f (x )是奇函数，且是定义在R 上的单调递增函数时，若f (x 1)＋f (x 2)＝0，则f (x 1)＝－f (x 2)⇒x 1＝－x 2⇒x 1＋x 2＝0；若x 1＋x 2＝0⇒x 1＝－x 2⇒f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)⇒f (x 1)＋f (x 2)＝0，故④正确；故选A.专题强化训练1．(2019·金华十校调研)已知奇函数f (x )当x ＞0时，f (x )＝x (1－x )，则当x ＜0时，f (x )的表达式是( )A ．f (x )＝－x (1＋x )B ．f (x )＝－x (1－x )C ．f (x )＝x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1)解析：选C.设x ＜0，则－x ＞0，又当x ＞0时，f (x )＝x (1－x )，故f (－x )＝－x (1＋x )，又函数为奇函数，故f (－x )＝－f (x )＝－x (x ＋1)，即f (x )＝x (x ＋1)，故选C.2．已知f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3解析：选A.因为f (x )＝x ＋1x －1，所以f (a )＝a ＋1a －1＝2，所以a ＋1a＝3，所以f (－a )＝－a －1a－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4，故选A.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |解析：选B.A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.4．已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＋b ， 所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.5．(2019·台州市高考模拟)函数f (x )＝x 2＋a|x |(a ∈R )的图象不可能是( )解析：选A.直接利用排除法：①当a ＝0时，选项B 成立； ②当a ＝1时，f (x )＝x 2＋1|x |，函数的图象类似D ；③当a ＝－1时，f (x )＝x 2－1|x |，函数的图象类似C.故选A. 6．(2019·湖北八校联考(一))设函数f (x )＝2xx －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( )A.23B.38C.32D.83解析：选D.易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83.7．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.8．(2019·浙江台州市书生中学高三月考)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f （－x ）－2f （x ）5x≤0的解集为( )A ．(－∞，－2]∪(0，2]B ．[－2，0)∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，0)∪(0，2]解析：选D.因为函数f (x )是奇函数，所以3f （－x ）－2f （x ）5x ≤0⇔f （x ）x ≥0.又因f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，所以得，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减且f (－2)＝0.因此，x ∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f (x )>0；x ∈(－2，0)∪(2，＋∞)时f (x )<0，故选D.9．(2019·温州市十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若任取∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ； 当a 2＜x ＜2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.10．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝3f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－4，－2]时，f (x )≥118⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －t 恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪(0，3]B ．(－∞，－3]∪(0，3]C ．[－1，0)∪[3，＋∞)D ．[－3，0)∪[3，＋∞)解析：选C.因为x ∈[－4，－2]，所以x ＋4∈[0，2]，因为x ∈[0，2]时，f (x )＝x 2－2x ，所以f (x ＋4)＝(x ＋4)2－2(x ＋4)＝x 2＋6x ＋8. 函数f (x )满足f (x ＋2)＝3f (x )，所以f (x ＋4)＝3f (x ＋2)＝9f (x )． 故f (x )＝19(x 2＋6x ＋8)，因为x ∈[－4，－2]时，f (x )≥118⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －t 恒成立，所以－19＝f (x )min ≥118⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －t ，解得t ≥3或－1≤t ＜0.11．(2019·宁波镇海中学高三一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x －2，x ≤－1，（x －2）（|x |－1），x ＞－1.则f (f (－2))＝________，若f (x )≥2，则x 的取值范围为____________．解析：由分段函数的表达式得f (－2)＝(12)－2－2＝4－2＝2，f (2)＝0，故f (f (－2))＝0.若x ≤－1，由f (x )≥2得(12)x －2≥2得(12)x ≥4，则2－x≥4，得－x ≥2，则x ≤－2，此时x ≤－2.若x ＞－1，由f (x )≥2得(x －2)(|x |－1)≥2， 即x |x |－x －2|x |≥0，若x ≥0得x 2－3x ≥0，则x ≥3或x ≤0，此时x ≥3或x ＝0， 若x ＜0，得－x 2＋x ≥0，得x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，此时无解， 综上x ≥3或x ＝0. 答案：0 x ≥3或x ＝012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析：因为 f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， 所以f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：0 22－313．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e －2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x＋1)－ln(e －2x＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ， 所以4|ab |＋ab ≤1， 所以－13≤ab ≤15，故答案为1，[－13，15]．答案：1 [－13，15]14．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．答案：[－4，6]15．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．解析：因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)． 答案：(－2，0)∪(0，2)16．若对任意的x ≥2，都有(x ＋a )|x ＋a |＋(ax )|x |≤0，则a 的最大值为________． 解析：对任意的x ≥2，都有(x ＋a )|x ＋a |＋(ax )|x |≤0，即x ≥2时，(x ＋a )|x ＋a |＋(ax )x ≤0恒成立.①若x ＋a ≥0，即a ≥－2时，则有(x ＋a )2＋ax 2≤0, 所以(a ＋1)x 2＋2ax ＋a 2≤0.令f (x )＝(a ＋1)x 2＋2ax ＋a 2，则有a ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0－2a2（a ＋1）＜2f （2）＝4（a ＋1）＋4a ＋a 2≤0，求得a ＝－1或－4－23≤a ＜－1， 综合可得－2≤a ≤－1；②若x ＋a ＜0，即a ＜－2时，则有－(x ＋a )2＋ax 2≤0, 该不等式恒成立，即此时a 的范围为a ＜－2；③若x ＋a ＝0，即a ＝－x ≤－2时，则由题意可得ax 2≤0，满足条件. 综合①②③可得，a ≤－2或－2≤a ≤－1，故a 的最大值为－1. 答案：－117．(2019·台州模拟)定义min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x <y ）y （x ≥y ），则不等式min{x ＋4x ，4}≥8min{x ，1x}的解集是________．解析：①当x >0时，由基本不等式可知x ＋4x≥2x ＋4x＝4， min{x ＋4x，4}＝4，则不等式转化成：min{x ，1x }≤12，即：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤121x ≥12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥121x ≤12，解得：x ≤12或x ≥2.②当x <0时，(ⅰ)当－1<x <0时，1x <x ，原不等式化为x ＋4x ≥8x，即x －4x≥0，解得－2≤x <0，所以－1<x <0；(ⅱ)当x ≤－1时，1x ≥x ，原不等式化为x ＋4x≥8x ，即7x －4x≤0，解得：x ≤－47，即x ≤－1， 所以x <0对于原不等式全成立．综上不等式的解集为(－∞，0)∪(0，12]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(0，12]∪[2，＋∞)18．(2019·台州市教学质量调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3，求函数f (x )在区间[m ，3]上的值域．解：(1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1，解得b ＝－2，c ＝0， 所以f (x )＝x 2－2x .(2)当1≤m ＜3时，f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ，f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3，所以f (x )的值域为[m 2－2m ，3]；当－1≤m ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1，f (x )max ＝f (－1)＝1＋2＝3，所以f (x )的值域为[－1，3]．当m ＜－1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1，f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m ，所以f (x )的值域为[－1，m 2－2m ]．19．(2019·浙江新高考联盟第三次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋a 2＋1，x ≤0，x 2＋2x －a ，x ＞0.(1)若对于任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (0)成立，求实数a 的取值范围； (2)记函数f (x )的最小值为M (a )，解关于实数a 的不等式M (a －2)＜M (a )． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2＋1，因为f (x )≥f (0)，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减， 所以a ≥0，当x ＞0时，f ′(x )＝2x －2x2，令2x －2x2＝0得x ＝1，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f min (x )＝f (1)＝3－a ， 因为f (x )≥f (0)＝a 2＋1， 所以3－a ≥a 2＋1，解得－2≤a ≤1. 又a ≥0，所以a 的取值范围是[0，1]．(2)由(1)可知当a ≥0时，f (x )在(－∞，0]上的最小值为f (0)＝a 2＋1， 当a ＜0时，f (x )在(－∞，0]上的最小值为f (a )＝1，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝3－a ，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≤3－aa ≥0得0≤a ≤1，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤3－aa ＜0得a ＜0，所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，0≤a ≤11，a ＜03－a ，a ≥1.所以M (a )在(－∞，0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， 作出M (a )的函数图象如图所示： 令3－a ＝1得a ＝2， 因为M (a －2)＜M (a )， 所以0＜a ＜2.。

高中数学集合复习教案一、教学目标1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法（列举法、描述法、图示法）。

2. 掌握集合之间的关系（包含、相等、子集、真子集、补集）。

3. 理解集合的基本运算（并集、交集、差集、对称差集）。

4. 能够运用集合的知识解决实际问题，提高逻辑思维能力。

二、教学内容1. 集合的概念与表示方法：列举法、描述法、图示法。

2. 集合之间的关系：包含、相等、子集、真子集、补集。

3. 集合的基本运算：并集、交集、差集、对称差集。

4. 集合在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：集合的概念、表示方法、关系、基本运算。

2. 教学难点：集合的表示方法、集合关系的理解、集合运算的运用。

四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究集合的知识。

2. 利用多媒体课件，生动展示集合的图示法，帮助学生形象理解集合之间的关系和基本运算。

3. 开展小组合作活动，让学生在讨论中加深对集合知识的理解。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入集合的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解：讲解集合的表示方法、关系和基本运算，结合示例进行演示。

3. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和反馈。

4. 应用：结合实际问题，让学生运用集合的知识解决问题，提高学生的应用能力。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，为学生课后复习提供指导。

教案仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。

2. 练习作业：评估学生在练习作业中的表现，检查学生对集合知识的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生的课后反馈，了解学生在学习过程中的困惑和问题，为后续教学提供改进方向。

七、教学拓展1. 探讨集合的其他表示方法，如区间表示法、维恩图等。

2. 介绍集合论的基本原理和概念，如势、无限集合等。

3. 结合数学史，讲述集合论的起源和发展，提高学生对数学学科的认识。

专题1.8 集合与简易逻辑、复数【考情动态】【热点重温】热点一集合的概念及基本运算【典例1】【2017新课标1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．AB=R【答案】A【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A ． 【对点训练】【2017某某，1】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【典例2】【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则（ ） A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．AB =∅【答案】A【对点训练】【2017某某，理1】设函数x 2y=4-的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=（ ） （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.【典例3】【2017课标3，理1】已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【对点训练】若集合{13}A =，，集合B 为集合A 的子集，则满足条件的集合B 的个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D【解析】集合{13}A =，的子集有：{}{}{},1,3,1,3∅.共有4个. 故选D.【典例4】【2018届某某省鄂东南联盟期中】对于任意两集合，定义且，记，则__________．【答案】 【解析】，，所以【对点训练】设R U =，已知集合}1|{≥=x x A ，}|{a x x B >=，且R B A C U = )(，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 【答案】A【解析】由}1|{≥=x x A 有{}1U C A x x =<，而R B A C U = )(，所以1a <，故选A.【考向预测】本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现,试题难度为中低档.集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查不等式、解析几何等知识;三是以创新题的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.预测2018年高考本部分内容将继续保持稳定,集合板块将以考查运算为主,试题类型一般是一道选择题或填空题,多与函数、方程、不等式、解析几何等综合考查. 热点二 常用逻辑用语【典例5】【2017某某卷6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由d d a d a S S S =+-+=-+)105(22110211564，可知当0>d ，则02564>-+S S S ，即5642S S S >+，反之，02564>⇒>+d S S S ，所以为充要条件，选C ．【对点训练】【2017·某某卷改编】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的条件. 【答案】充分而不必要条件 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<<1sin 2θ⇒<，但10,sin 2θθ=<，不满足ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件.【典例6】【2018届某某省某某市12月模拟】已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m α⊥，l 与m 无交点”是“//l m ，l α⊥”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【对点训练】“直线l 与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】根据线面垂直的判定：l 与α内的两条相交直线垂直l α⇔⊥，故是必要不充分条件，故选B. 【典例7】【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【对点训练】已知命题p ：函数|1|x y e -=的图像关于直线1x =对称，q ：函数cos(2)6y x π=+(,0)6π对称，则下列命题中的真命题为（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∨⌝ 【答案】A【解析】函数|1|x y e -=的图像如图所示：由图形可知图像关于直线1x =对称，所以命题p 正确；cos(2)066y ππ=⨯+=，所以函数cos(2)6y x π=+的图像关于点(,0)6π对称，所以命题q 正确，所以p q ∧正确.【考向预测】逻辑用语板块将考查充分条件和必要条件,试题类型以选择题为主,通常以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体,难度一般不大.但由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．从近5年命题看，其在试卷中的位置逐步后移，难度较以往略大．热点三 复数【典例8】【2017某某,12】已知a ，b∈R，（i 是虚数单位）则22a b +=，ab=． 【答案】5，2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==【对点训练】【2018届某某省内江市高中高三第一次模拟】已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．2 【答案】A 【解析】222122a i a a i i ++-=++，由21a i i ++是纯虚数得20,22a a +=∴=-，故选A ．【典例9】【2018届某某某某一中高三第五次月考】已知复数,满足()224z i i -=+，则复数z 等于（ ） A. 2i B. -2i C. 2+i D. -2i+ 2 【答案】A【解析】由题意，得()4482i24i (24i)(2i)2i 2i (2i)(2i)5z -+++++====--+；故选A ． 【对点训练】若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( ) A. 12i - B. 12i + C. 12i -- D. 12i -+ 【答案】B【典例10】已知i 为虚数单位，在复平面内，复数321ii-+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】()()()()3213215=1112i i i ii i i -⋅---=++⋅-，在第四象限.【对点训练】复数22izi-=+（其中i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【考向预测】从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．。

高三数学第二轮数学专题复习全套教案目标为高三学生提供一套完整的数学专题复教案，帮助他们加深对数学知识的理解和掌握，为高考做好准备。

复内容1. 函数与方程- 函数的概念和性质- 一次函数和二次函数的图像、性质及应用- 方程的根与解的判定- 一元一次方程组和一元二次方程的求解方法- 函数方程的解法和应用2. 三角函数- 三角函数的概念和性质- 常用三角函数的图像、性质及应用- 三角函数的基本关系式和恒等变换- 解三角函数方程和不等式的方法3. 数列与数学归纳法- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列的推导和应用- 数学归纳法的基本原理和应用- 常见数列问题的解法4. 三角比例和相似- 三角比例的性质和应用- 直角三角形和一般三角形的相似性质- 解三角形的基本方法和应用- 四边形的性质和计算教学安排1. 每个教题讲解时长约为30分钟，包括概念讲解和示例演练。

2. 每个专题分为3节课，共计9节课。

3. 每节课后设置10道练题，供学生完成并检查答案。

4. 每周安排一次模拟考试，让学生检验自己的研究成果。

教案编写原则1. 教案内容简明扼要，重点突出，不涉及复杂的法律问题。

2. 尽可能使用清晰简单的语言，避免使用过多的专业术语。

3. 引用的内容必须能够得到确认，并标明出处。

4. 鼓励学生积极参与讨论和解决问题，培养他们的思考能力和解决问题的能力。

结语这份高三数学第二轮数学专题复全套教案旨在帮助学生复数学知识，强化概念和技巧的掌握。

教案内容简明扼要，注重培养学生的思考能力和解决问题的能力。

希望学生能够利用这份教案，全面提升数学水平，为高考取得好成绩做好准备。

> 注意：该文档的内容是根据提供的信息创作的，内容的准确性和可行性需要进一步核实确认。

主题复习课复数教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解复数的定义及表示方法；（2）掌握复数的四则运算规则；（3）能够运用复数解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固已学的复数知识；（2）培养学生运用复数解决实际问题的能力；（3）提高学生的逻辑思维和运算能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对复数知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神；（3）使学生感受到数学在生活中的应用。

二、教学内容1. 复数的定义及表示方法；2. 复数的四则运算规则；3. 复数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：复数的定义、表示方法、四则运算规则及应用。

2. 教学难点：复数的四则运算规则及在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生掌握复数知识；2. 通过例题和练习题，让学生在实际问题中运用复数知识；3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。

五、教学过程1. 复习导入：回顾复数的定义及表示方法，引导学生回顾已学的复数知识；2. 知识讲解：讲解复数的四则运算规则，并通过例题进行演示；3. 练习巩固：让学生进行复数四则运算的练习，巩固所学知识；4. 实际应用：布置一些实际问题，让学生运用复数知识进行解决；5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己在学习过程中的收获和不足。

六、教学评估1. 课堂练习：及时检查学生对复数知识的理解和运用情况；2. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识；3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，了解团队合作情况；4. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断调整教学方法。

七、教学资源1. 教材：选用合适的教材，为学生提供系统、全面的复数知识；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识；4. 实际问题：收集一些与生活相关的实际问题，激发学生兴趣。

八、教学进度安排1. 第1-2课时：复习复数的定义及表示方法；2. 第3-4课时：讲解复数的四则运算规则；3. 第5-6课时：练习复数四则运算，巩固知识；4. 第7-8课时：运用复数解决实际问题；5. 第9-10课时：总结与反思，检查学习效果。

第1讲集合、常用逻辑用语集合的概念及运算[核心提炼]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，∁U A∩B＝( )0，1}，则()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2019·金华模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，则S∩(∁U T)＝________，集合S共有________个子集．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁U A＝{2，4，5}，故选C.(2)由题意可得∁U A＝{－1，3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，所以∁U T＝{1，4，5}，所以S∩(∁U T)＝{1，5}，S＝{1，2，5}的子集的个数为23＝8.【答案】(1)C (2)A (3){1，5} 8集合的运算与不等式相结合问题求解策略解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，也就是先解不等式求出对应集合，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是间接法，由于此类问题多以选择题的形式进行考查，故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．[对点训练]1．(2019·宁波市高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{}x ∈Z |0≤x ≤6，A ∩(∁U B )＝{}1，3，5，则B ＝( )A.{}2，4，6B.{}1，3，5C.{}0，2，4，6D.{}x ∈Z |0≤x ≤6解析：选C.因为U ＝A ∪B ＝{}0，1，2，3，4，5，6， 又因为A ∩(∁U B )＝{}1，3，5， 所以B ＝{}0，2，4，6，故选C.2．(2019·温州二模)已知集合A ＝{x ||x －1|≤2}，B ＝{x |0<x ≤4}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{x |0<x ≤3} B ．{x |－3≤x ≤4} C ．{x |3<x ≤4}D ．{x |－3<x ≤0}解析：选C.A ＝{x |－1≤x ≤3}，画数轴可知，(∁R A )∩B ＝{x |3<x ≤4}，故选C. 3．(2019·绍兴、诸暨高考二模)已知A ＝{}x |－2≤x ≤0，B ＝{}x |x 2－x －2≤0，则A ∪B＝__________，(∁R A )∩B ＝________．解析：A ＝{}x |－2≤x ≤0，B ＝{}x |x 2－x －2≤0＝{}x |－1≤x ≤2，∁R A ＝{}x |x ＞0或x ＜－2，则A ∪B ＝{}x |－2≤x ≤2＝[－2，2]；(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ≤2}＝(0，2]． 答案：[－2，2] (0，2]命题真假的判断 [核心提炼]1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 2．常见词语的否定在四种命题的构造中，其中否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．词语 词语的否定 等于 不等于 大于 不大于(或小于等于) 小于 不小于(或大于等于)是 不是 一定是 不一定是都是 不都是(至少有一个不是)必有一个 一个也没有 任意的 某一个 且 或 或 且 至多有一个 至少有两个 至多有n 个 至少有n ＋1个 至少有一个 一个也没有 至少有n 个 至多有n －1个 所有x 成立 存在一个x 不成立存在不存在(1)(2019·诸暨市高考二模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，则下列四个命题中，错误的是( )A ．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }是公差为d2的等差数列B ．若数列{S nn}是公差为d 的等差数列，则数列{a n }是公差为2d 的等差数列 C ．若数列{a n }是等差数列，则该数列的奇数项，偶数项分别构成等差数列 D ．若数列{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n }是等差数列 (2)(2019·杭州市数学期末)若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥mB ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α【解析】 (1)A 项，若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列{S n n}为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)d 2，即数列{S n n }是公差为d2的等差数列，故说法正确；B项，由题意得：S n n＝a 1＋(n －1)d ，所以S n ＝na 1＋n (n －1)d ，则a n ＝S n －S n －1＝a 1＋2(n －1)d ，即数列{a n }是公差为2d 的等差数列，故说法正确；C 项，若数列{a n }是等差数列的公差为d ，则数列的奇数项，偶数项都是公差为2d 的等差数列，说法正确；D 项，若数列{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{a n }不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选D.(2)A 项，若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或相交或为异面直线，因此不正确；B 项，若l ⊥m ，m ⊂α，则l 与α相交或平行或在平面内，因此不正确；C 项，若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m 或为异面直线，因此不正确；D 项，若l ⊥α，l ∥m ，则由线面垂直的性质定理与判定定理可得：m ⊥α，正确．故选D.【答案】 (1)D (2)D命题真假的判定方法一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断，要判断一个命题是假命题，只需举出反例．[对点训练]1．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足“当f (k )≥k 2成立时，总可以推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)>49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：选D.因为f (k )≥k 2成立时f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，当k ＝4时，f (4)＝25≥16＝42成立，所以当k ≥4时，有f (k )≥k 2成立．2．(2019·浙江新高考数学冲刺)给出下列命题：①函数f (x )＝sin(x 2＋π6)的图象关于x ＝π对称的图象的函数解析式为y ＝sin(x 2－π6)；②函数f (x )＝x －1＋1x在定义域上是增函数；③函数f (x )＝|log 2x |－(12)x在(0，＋∞)上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2＜1.其中真命题的个数有( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.①由f (x )＝sin(x 2＋π6)，设其图象关于x ＝π对称的图象的函数解析式为y＝g (x )，设g (x )上一点(x ，y )，它关于x ＝π的对称点是(2π－x ，y )，这个对称点必然在f (x )上，所以y ＝sin(2π－x 2＋π6)＝sin(x 2－π6)，故①正确；②函数f (x )＝x －1＋1x ＝(x －1)12＋1x的定义域为[1，＋∞)，且f ′(x )＝12(x －1)－12－1x 2＝12x －1－1x 2，因为(x －2)2≥0，所以x 2≥4x －4，即x ≥2x －1， 又当x ≥1时，x 2≥x ，所以x 2≥2x －1，所以f ′(x )＝12(x －1)－12－1x 2＝12x －1－1x2≥0， 函数f (x )＝x －1＋1x在定义域上是增函数，故②正确；③画出函数g (x )＝|log 2x |－(12)x在(0，＋∞)的图象：上恰有两个零点x 1，x 2. 不妨设x 1＜x 2，则0＜x 1＜1＜x 2. －log 2x 1＝(12)x 1，log 2x 2＝(12)x 2.所以log 2(x 1x 2)＝(12)x 2－(12)x 1＜0，所以x 1·x 2＜1，故③正确． 所以正确的命题的个数是3. 故选D.充要条件的判断及证明[核心提炼]充分、必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假从集合的角度判断 若A ⊆B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件或“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件；若A ＝B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件利用等价转化法判断条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假(1)(2019·高考浙江卷)若a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 (1)通解：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝13，满足ab ≤4，但a ＋b >4，所以必要性不成立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.优解：在同一直角坐标系内作出函数b ＝4－a ，b ＝4a的图象，如图所示，则不等式a ＋b ≤4与ab ≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a ＋b ≤4成立时，ab ≤4成立，而当ab ≤4成立时，a ＋b ≤4不一定成立．故选A.(2)若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A.【答案】 (1)A (2)A判断充分、必要条件时应关注的三点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：¬p 是¬q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件；¬p 是¬q 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．[对点训练]1．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C.2．(2019·高三“吴越联盟”)已知a ，b ∈R ，则使|a |＋|b |>4成立的一个充分不必要条件是( )A ．|a |＋|b |≥4B ．|a |≥4C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b <－4解析：选D.由b <－4可得|a |＋|b |>4，但由|a |＋|b |>4得不到b <－4，如a ＝1，b ＝5. 3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：“a ＋b ＞c ＋d ”是“|a －b |＜|c －d |”的充要条件．证明：充分性：因为a ＋b ＞c ＋d ， 则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |. 必要性：因为|a －b |＜|c －d |， 则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ， 所以(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＞c ＋d .综上，“a ＋b ＞c ＋d ”是“|a －b |＜|c －d |”的充要条件．专题强化训练 [基础达标]1．已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．故选B.2．(2019·金华模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜1}，则A ∩B＝( )A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，故a 的值为2，选B.4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a ，b 为两个非零向量，设命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：a 与b 共线，则命题p 是命题q 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.|a ·b |＝|a ||b |⇔|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝±1⇔a ∥b ，故是充要条件，选C.5．(2019·衢州质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}， 所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.6．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.7．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，a n ＝a 1qn －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题解析：选B.对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x ≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体PA 1B 1C 1的体积不变 C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D.A.因为AB 1∥DC 1，AC ∥A 1C 1， 且AC ∩AB 1＝A ，所以平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，正方体的体对角线BD 1＝3， 设B 到平面ACB 1的距离为h ，则VB ­AB 1C ＝13×12×1×1×1＝13×12×2×2×32h ，即h ＝33，则平面ACB 1与平面A 1C 1D 的距离d ＝3－2h ＝3－2×33＝33，故A 正确． B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体PA 1B 1C 1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确，C ．与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线B 1C ＝2，则2R ＝2，R ＝22，则球的体积V ＝43πR 3＝43×π×(22)3＝23π，故C 正确．D ．设正方体的内切球的球心为O ，正方体的外接球的球心为O ′， 则三角形ACB 1的外接圆是正方体的外接球O ′的一个小圆，因为点M 在正方体的内切球的球面上运动，点N 在三角形ACB 1的外接圆上运动， 所以线段MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径， 因为正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 所以线段MN 长度的最小值是32－12.故D 错误．故选D. 10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C.由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0，1，2，3，4，5，故S ＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M 不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M 可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，2，2，显然该集合中共有3个元素．答案：312．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝______，(∁U A )∪B ＝________．解析：因为U ＝{1，2，3，4，5，6}， ∁U B ＝{1，5，6}，∁U A ＝{3，4，5，6}， 所以A ∩(∁U B )＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁U A )∪B ＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}． 答案：{1} {2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题． 答案：114．一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充分必要条件是________． 解析：必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )， 所以b ＝0.充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． 答案：b ＝015．A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________． 解析：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有： ①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B ＝∅； ②(2，1)，此时B ＝{1}；③(3，2)，此时B ＝{1，2}． 所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.答案：8916．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0.解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝ 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0， 解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪{1}． 答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错．③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}， 则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}， 则f (P )∪f (M )＝R ，故④错． 答案：①②③④[能力提升]1．已知集合P ＝{y |y ＝(12)x ，x ≥0}，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( )A ．(0，1]B ．∅C ．(0，2)D ．{0}解析：选A.由已知得，因为x ≥0，且0＜(12)x ≤(12)0＝1，所以P ＝(0，1]，又因为2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，所以Q ＝(0，2)，因此P ∩Q ＝(0，1]，故选A.2．已知z ＝m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R ，i 为虚数单位)，则“m ＝－1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m ＝－1时，z 的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z 为纯虚数，即充分性成立；当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠2，m ≠1⇒m ＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1} C ．{x |x ≤－1或x ＞1} D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}． 故选B.4．若x ∈R ，则“x ＞1”是“1x＜1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.由x ＞1，一定能得到1x ＜1，但当1x＜1时，不能推出x ＞1(如x ＝－1时)，故“x ＞1”是“1x＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a －1＞b B ．a ＋1＞b C ．|a |＞|b |D ．a 3＞b 3解析：选B.“a ＞b ”不能推出“a －1＞b ”，故选项A 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a ＋1＞b ”，但“a ＋1＞b ”不能推出“a ＞b ”，故满足题意；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a 3＞b 3”，且“a 3＞b 3”能推出“a ＞b ”，故是充要条件，不满足题意．6．(2019·绍兴质检)已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．∅D ．(－2，1)解析：选B.因为集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， 所以∁R A ＝{x |－2≤x ≤1}， 集合B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x ＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是( ) A ．若m ⊂α，n ∥β，m ，n 是异面直线，则α，β相交 B ．若m ⊥α，m ⊥β，n ∥α，则n ∥β C ．若m ⊂α，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m ⊂α，n ∥β，m ，n 是异面直线，可以成立，故A 错误；B.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β，因为n ∥α，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C 正确；D.若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线或相交直线，故D 不正确，故选C.8．已知f (x )＝ax 2＋bx ，其中－1≤a ＜0，b ＞0，则“存在x ∈[0，1]，|f (x )|＞1”是“a ＋b ＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f (x )＝ax 2＋bx ，所以a ＋b ＞1⇔f (1)＞1. 因为存在x ∈[0，1]，|f (x )|＞1，所以|f (x )|max ＞1. 因为－1≤a ＜0，b ＞0，所以函数f (x )的对称轴x ＝－b2a＞0.计算：f (0)＝0，f (1)＝a ＋b ，f (－b 2a )＝b 2－4a ＞0.f (1)＞1，所以f (－b 2a )＝b 2－4a＞1，反之也成立，若b 2＞－4a ，则b ＞－4a ＞1－a .所以“存在x ∈[0，1]，|f (x )|＞1”是“a ＋b ＞1”的充要条件．9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 解析：选D.c n ⊥b n ⇒c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝－nn ＋1；所以数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列；c n ∥b n ⇒(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ；所以a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝21×32×…×nn －1＝n (n ≥2)，即a n ＝na 1.所以数列{a n }是等差数列． 11．已知A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，3}，记：A ＋B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，试用列举法表示A ＋B ＝________．解析：因为a∈A，b∈B，所以当a＝0时，a＋b＝－1或3，当a＝1时，a＋b＝0或4，当a＝2时，a＋b＝1或5，所以A＋B＝{－1，0，1，3，4，5}．答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝________．解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 114．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.答案：115．给出下列四个命题：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确命题的序号是________．解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．答案：①④16．已知“p ：(x －m )2>3(x －m )”是“q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )·(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，Q ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于QP .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________． ①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 为直角三角形； ③若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则tan A tan B >1；④若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝S n －S n －1(n >1)．解析：命题①：由数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n －a n －1＝d (n ≥2)(ⅰ)，又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a n ＝qa n －1(n ≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qa n －1－a n －1＝(q －1)a n －1＝d (n ≥2)，要使(q －1)·a n －1＝d (n ≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q －1＝d ＝0，也就是q ＝1，d ＝0.所以数列{a n }为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C 转化为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以三角形为直角三角形，故正确；命题③：若A 、B 是锐角三角形的两内角， 则tan A >0，tan B >0，π>A ＋B >π2，则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B <0，得tan A ·tan B >1，故正确； 命题④：若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），故不正确．故正确的命题为：②③. 答案：②③。

第二教时集合与简易逻辑
教材： 1、复习
目的： 复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。

过程：
一、 复习：（结合提问）
1．集合的概念 含集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4．关于“属于”的概念
二、 例一 用适当的方法表示下列集合：
1． 平方后仍等于原数的数集
解：{x|x 2=x}={0,1}
2． 比2大3的数的集合
解：{x|x=2+3}={5}
3． 不等式x 2-x-6<0的整数解集
解：{x Z| x 2-x-6<0}={x Z| -2<x<3}={-1,0,1,2}
4． 过原点的直线的集合
解：{(x,y)|y=kx}
5． 方程4x 2+9y 2
-4x+12y+5=0的解集
解：{(x,y)| 4x 2+9y 2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)} 6． 使函数y=
612-+x x 有意义的实数x 的集合 解：{x|x 2+x-60}={x|x 2且x 3,x R}。

2021年高考数学二轮复习专题1.8推理与证明、复数教学案文一．考场传真1. 【xx课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i)2B．i2(1-i) C．(1+i)2D．i(1+i)【答案】C【解析】由为纯虚数知选C．2．【xx课标II，文2】A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意2(1)(2)2313i i i i i++=++=+，故选B.3．【xx课标3，文2】复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C4．【xx课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数n填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D 【解析】由题意选择，则判定框内填，因为选择偶数，所以矩形框内填，故选D ．5．【xx 课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若,第一次进入循环，成立，100100,1010S M ==-=-，成立，第二次进入循环，此时101001090,110S M -=-==-=，不成立，所以输出成立，所以输入的正整数的最小值是2，故选D. 6．【xx 课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D7．【xx课标II，文10】执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的A.2B.3C.4D.5【答案】B二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求1.算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环. （2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明.①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.7.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念，①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.8.框图（1）流程图：①了解程序框图；②了解工序流程图（即统筹图）；③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用.（2）结构图①了解结构图；②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息.2.命题规律：1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题.2.知识点分布均衡、重难点突出，对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度，复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题.3．学法导航1. 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．2. 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．3．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i 、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i.(4)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n ＝z mn (m ，n 为分数)；(2)若z m ＝z n ，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.注意利用共轭复数的性质，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．一．基础知识整合基础知识：1.算法：①自然语言就是人们日常使用的语言，可以是人之间来交流的语言、术语等，通过分步的方式来表达出来的解决问题的过程.其优点为：好理解，当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解；缺点是：表达冗长，且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理现象、先后顺序等问题.②程序框图程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程.优点是：简捷形象、步骤的执行方向直观明了③程序语言程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机所识别的低级和高级语言编写而成.特点：能在计算机上执行，但格式要求严格2．程序框图构成程序框的图形符号及其作用3．几种重要的结构（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构4.算法语句：输入语句输入语句的格式：INPUT “提示内容”；变量输出语句输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句赋值语句的一般格式：变量=表达式赋值语句中的“＝”称作赋值号条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句格式：IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF（2）“IF—THEN”语句格式：IF 条件 THEN语句END IF循环语句（1）当型循环语句当型（WHILE型）语句的一般格式为：WHILE 条件循环体WEND（2）直到型循环语句直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：DO循环体LOOP UNTIL 条件【推理与证明】1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理. 基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论.3.直接证明：综合法、分析法（1）综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件为止的证明方法.4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.5.数学归纳法：（1）当取第一个值（例如）时，证明命题成立；（2）假设当时命题成立，并证明当时，命题也成立，于是命题对一切，，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题分为两步：第一步是递推的基础，第二是递推的依据，这两步缺一不可的.【复数】1.复数的相关概念：（1）形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.复数集用集合C 表示.（2）复数的分类：对于复数①当时，是实数；②当时，是虚数；③当且时，是纯虚数.（3）复数相等：若，，则的充要条件是且.特别地：若的充要条件是.2.复数的几何意义：（1）复平面：轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数与复平面内的点一一对应.（3）复数与复平面内所有以原点O为起点的向量一一对应.（4）复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，且.3.复数的四则运算：（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若，则它的共轭复数.（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：()()()()2222a bi c dia bi ac bd bc adic di c di c di cd c d+-++-==+++-++；4.重要性质：，，，.，，，.二．高频考点突破考点1程序框图的执行【例1】【xx四川德阳三校联考】执行如图所示的程序框图，若输入，输出的1.75，则空白判断框内应填的条件为（）A. ＜1B．＜0.5C．＜0.2D．＜0.1【答案】B【规律方法】此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．【举一反三】【xx江西宜春六校联考】按下列程序框图来计算：如果输入的，应该运算（）次才停止A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C考点2 简单程序的运用【例2】如图所示，运行该程序，当输入分别为时，最后输出的的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】程序的作用是取中的最大值，故.【规律方法】输入、输出和赋值语句是任何一个算法必不可少的语句，一个语句可以输出多个表达式．在赋值语句中，一定要注意其格式的要求，如“＝”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋值；变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换；条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构，解决像“判断一个数的正负”“比较两个数的大小”“对一组数进行排序”“求分段函数的函数值”等问题，计算时就需要用到条件语句．【举一反三】1.下面求的值得伪代码中，正整数的最大值为 ．【答案】xx考点3 归纳推理【例3】【山东省淄博市xx 届12月考试】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ， 3344553344558815152424===，，，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n= A. 35 B. 48 C. 63 D. 80【答案】C【解析】根据规律得313,824,1535,2446,=⨯=⨯=⨯=⨯ ,所以 ,选C.【规律方法】归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数学家的发现、科学家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数学研究的独特方法之一.【举一反三】【山东省、湖北省重点中学xx 届第二次联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若，则（ ）A. B. C. D.【答案】D考点4 类比推理【例4】已知是的三边，若满足，即，为直角三角形，类比此结论：若满足(,3)n n na b c n N n +=∈≥时，的形状为________．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．【答案】锐角三角形 【解析】易得最大，则角最大，(,3)1n n n n n a b a b c n N n c c ⎛⎫⎛⎫+=∈≥⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222221cos 0022n n a b a b a b c a b c C C c c c c ab π+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒+>+=⇒+>⇒=>⇒<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故该三角形为锐角三角形.【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】已知36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为2222(133)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯=++++=参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .【答案】【解析】因，故的所有正约数之和为465)551)(2221(232=+++++.故应填答案.考点5复数【例5】 【河南省中原名校xx 届第五次联考】已知，若是纯虚数，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【规律方法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即，实部为，虚部为.（1）复数的概念：①为实数；②为纯虚数且；③为虚数.（2）复数的几何意义：①在复平面内对应的点在复平面对应向量；②复数的模.（3）共轭复数：复数与互为共轭复数.【举一反三】若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ）A.-6B.-3C.3D.6【答案】B 【解析】因5)1225)2)(1(21i b b i bi i bi +--=--=+-,故由题设,即,应选B.1. 执行下列程序框图，如果输出的值为3，那么输入的取值范围是（ ） 开始x 输入0i =2log x x =0?x <1i i =+i 输出结束是 否A．B．C．D．【答案】C押题依据算法框图是高考命题的热点题型．2. 已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（）A． B． C． D．3【答案】D【解析】()()212i212i555a a a a--+-+==-，()()()5i2i5i510i3i3i3i1i2i2i2i5+-+-=-=-=+--+，∵与互为共轭复数，∴，解得.故选D.押题依据复数是高考经常考的一个热点，难度不大．3. 观察下列各式：；；；；若按上述规律展开后，发现等式右边含有“xx”这个数，则的值为（）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】C押题依据数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想等，考查考生归纳猜想能力．4. “MN 是经过椭圆（a ＞b ＞0）的焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦，则2222111||||a MN OP a b +=+.”类比椭圆的性质，可得“MN 是经过双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦，则 .”【答案】2222111||||a MN OP a b -=- 【解析】由于在椭圆中2222111||||a MN OP a b +=+，在双曲线中和变为差，所以类比结果应是2222111||||a MN OP a b-=-. 押题依据 本题考查类比推理等基础知识，类比推理也是高考考查的热点.5. 分别计算，，，，，…，并根据计算的结果，猜想的末位数字为 ．【答案】8押题依据 根据n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．。

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专题１.8 集合与简易逻辑、复数 班级 学号 姓名 得分一、单选题1．【20１8届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试】已知()125i z -=(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为( )A 。

2iB 。

1 Ｃ。

2- D ． 2【答案】Ｄ【解析】()()()()512i 512i 5,=1+2i 12i 12i 1+2i z z +-=∴==--, z ∴的虚部是2，故选Ｄ。

2．【2０１8届上海市徐汇区高三一模】下列命题中，假命题的是……………………( ） A 。

若z 为实数，则z z = Ｂ. 若z z =,则z 为实数C. 若z 为实数，则z z ⋅ 为实数 D 。

若z z ⋅为实数,则z 为实数【答案】D3.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==,则()U A B ⋂=（ ) Ａ. {}1 B. {}2 C. {}4 D ． {}1,2【答案】Ａ【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==，∴{}1,3,5U B =。

∴(){}1U A B ⋂=。

选A.4.已知集合2{|430},{|24}A x x x B x x =-+<=<<，则A B ⋂=A 。

专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第1节 集合、常用逻辑用语自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设集合A ＝{x | 1＜x ＜4}，集合B ＝{x | x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析 首先用区间表示出集合B ，再用数轴求A ∩(∁R B )．解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3，∴B ＝[－1,3]，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A ∩(∁R B )＝(3,4)． 答案 B2．(2012·福建)下列命题中，真命题是A ．∃x 0∈R ，0e x≤0 B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件 解析 应用量词和充要条件知识解决．对于∀x ∈R ，都有e x＞0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x＝x 2，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b无意义，故选项C 是假命题；当a ＞1，b ＞1时，必有ab ＞1，但当ab ＞1时，未必有a ＞1，b ＞1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞1，但a 不大于1，b 不大于1，故a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件，选项D 是真命题． 答案 D考题分析高考对集合的考查主要集中在集合的运算与集合间关系的判定与应用，常用逻辑用语考查知识面十分广泛，可以涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容．考查的形式多为选择题，难度不大，但需掌握基本知识与方法．网络构建高频考点突破考点一：集合的概念与运算【例1】(1)(2012·朝阳二模)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a等于A．1 B．0 C．－2 D．－3(2)(2012·西城二模)已知集合A＝{x| log2x＜1}，B＝{x| 0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B ＝B，则c的取值范围是A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞)(3)(2012·宜春模拟)设全集U＝R，A＝{x| 2x(x－2)＜1}，B＝{x| y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为A．{x| x≥1} B．{x| 1≤x＜2}C．{x| 0＜x≤1} D．{x| x≤1}[审题导引] (1)利用子集的定义求解；(2)解出A，然后借助于数轴解决；(3)观察图形，求得阴影部分表示的集合，解出A，B并求解．[规范解答] (1)∵A⊆B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.(2)解不等式log2x＜1，得0＜x＜2，∴A＝{x| 0＜x＜2}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴c≥2.(3)解不等式2x(x－2)＜1＝20得0＜x＜2，∴A＝{x| 0＜x＜2}．又易知B＝{x| x＜1}，图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x| 0＜x＜2}∩{x| x≥1}＝{x| 1≤x＜2}．[答案] (1)C (2)D (3)B【规律总结】解答集合间的关系判定与运算问题的一般思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义． (2)根据集合中元素的性质化简集合．(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化． 一般规律为：①若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解； ②若给定的集合是点集，用数形结合法求解； ③若给定的集合是抽象集合，用Venn 图求解．[易错提示] (1)准确理解集合中代表元素的属性，以求解有关不等式(如例1中的第(3)题，集合B 表示函数y ＝ln(1－x )的定义域)．(2)在借助于数轴进行集合的运算时，要标清实点还是虚点，避免漏解或增解(如例1中的第(2)题)． 【变式训练】1．(2012·三明模拟)已知集合M ＝{m ，－3}，N ＝{x | 2x 2＋7x ＋3＜0，x ∈Z }，如果M ∩N ≠∅，则m 等于A ．－1B ．－2C ．－2或－1D ．－32解析 由2x 2＋7x ＋3＜0，得－3＜x ＜－12，又x ∈Z ，∴N ＝{－2，－1}， 又M ∩N ≠∅，∴m ＝－2或－1.答案 C2．(2012·海淀二模)设全集为R ，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 24＋y 2＝1，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x ＋1≤0，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝14可表示为 A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁R M )∩ND ．M ∩(∁R N )解析 根据椭圆的有界性知M ＝{x | －2≤x ≤2}，解不等式x －3x ＋1≤0，得N ＝{x | －1＜x ≤3}．由圆的定义可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝14 ＝{x | －2≤x ≤－1}，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝14＝M ∩(∁R N )． 答案 D考点二：命题与逻辑联结词【例2】(1)(2012·潍坊模拟)命题：“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1(2)若p是真命题，q是假命题，则A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题C．⌝p是真命题 D．⌝q是真命题[审题导引] (1)按照四种命题的定义即可解决；(2)由复合命题的真值表判定．[规范解答] (1)∵“－1＜x＜1”的否定是x≥1，或x≤－1.又由逆否命题的定义，∴原命题的逆否命题为：若x≥1，或x≤－1，则x2≥1.(2)由条件知，⌝p是假命题，⌝q是真命题，故选D.[答案] (1)D (2)D【规律总结】命题真假的判定方法(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别．(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无必然联系．(3)形如p或q、p且q、⌝p命题的真假根据真值表判定．【变式训练】3．(2012·衡水模拟)命题A：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不经过第四象限．那么命题A的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3解析易知命题A是真命题，其逆否命题也是真命题，A的逆命题与否命题都是假命题．答案 C4．(2012·石家庄模拟)有下列命题：p：函数f(x)＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；q：已知向量a＝(λ，1)，b＝(－1，λ2)，c＝(－1,1)，则(a＋b)∥c的充要条件是λ＝－1；r：若111adx x =⎰(a＞1)，则a＝e.其中所有的真命题是A．r B．p，q C．q，r D．p，r解析 ∵f(x)＝sin 4x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴T ＝π，故p 是真命题；∵a ＋b ＝(λ－1，λ2＋1)，(a ＋b )∥c ， 则λ2＋λ＝0，即λ＝－1或λ＝0， 故q 是假命题；⎠⎛1a1x d x ＝ln x 1|a＝ln a ＝1， ∴a ＝e ，故r 是真命题． 答案 D考点三：量词、含有量词的命题的否定【例3】下列命题中是假命题的是A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x ＞sin xB ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R, 3x＞0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0[审题导引] 对全称命题与特称命题真假的判定，要结合具体的知识进行，要特别注意思维的严谨性．[规范解答] ∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，设单位圆与角x 的终边交于点P (m ，n )，与m 轴正半轴交于点A (1,0)，作PM ⊥m 轴于M ，由正弦函数的定义，知MP ＝sin x ，»AP 的长l ＝x ，由S扇形OAP＞S △OAP ⇒x ＞sin x ，故∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x ＞sin x ，即选项A 是真命题；sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以不存在x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2，故选项B 是假命题．故选B.(事实上，由指数函数的值域∀x ∈R,3x＞0是真命题；取x 0＝1，lg x 0＝lg 1＝0，故∃x 0∈R ，lg x 0＝0是真命题．) [答案] B【规律总结】全称命题与特称命题的判断方法对于特称命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立；对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，也就是证明一个一般性的命题成立时，方可证明该命题成立，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立． [易错提示] 注意对数函数、指数函数、三角函数、不等式、方程等知识在解题中的应用，在判断由这些知识组成的全称或者特称命题时，要特别注意对数函数的定义域、指数函数的值域、三角函数的定义域和周期性、不等式成立的条件等．【变式训练】5．(2012·朝阳二模)若命题p ：∀x ∈R ，1x 2＋x ＋1＞0，则其否定是_______________．解析 ∵不等式1x 2＋x ＋1＞0的隐含条件为1x 2＋x ＋1＞0且x 2＋x ＋1≠0， ∴綈p ：∃x ∈R ，1x 2＋x ＋1＜0，或x 2＋x ＋1＝0.答案 綈p ：∃x ∈R ，1x 2＋x ＋1＜0，或x 2＋x ＋1＝06．命题p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；p 2：∃x ∈(0,1)，12log x ＞13log x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜13log x ，其中的真命题是A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析 取x ＝12，则12log x ＝1，13log x ＝log 32＜1，p 2正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1，而13log x ＞1，p 4正确．答案 D考点四：充分必要条件【例4】(1)(2012·黄冈模拟)已知条件p ：x ≤1，条件q ：＜1，则綈p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件(2)(2012·丰台二模)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若⌝p 是⌝q的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是A ．(0,9)B ．(0,3)C ．(0,9]D ．(0,3] [审题导引] (1)求出綈p 与q 中x 的范围后，再判断；(2)先解p 与q 中的不等式，然后利用数轴求解．[规范解答] (1)⌝p ：x ＞1，又易知q ：x ＜0或x ＞1， ∴⌝p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2得p ：－2≤x ≤10，又x 2－2x ＋1－m 2＝[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0， 且m ＞0，∴q ：1－m ≤x ≤1＋m .∵⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．由图得⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－21＋m ≤10m ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－21＋m ＜10m ＞0∴0＜m ≤3.[答案] (1)A (2)D 【规律总结】充分必要条件的判定方法(1)充要关系的判断就是在两个条件之间互推，当问题为A 是B 的什么条件时，如果A ⇒B ，反之不成立的话，则A 是B 的充分不必要条件(B 是A 的必要不充分条件)；如果B ⇒A ，反之不成立的话，则A 是B 的必要不充分条件(B 是A 的充分不必要条件)；若A ⇔B ，则A ，B 互为充要条件．(2)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件[易错提示] 充分必要条件的判断应注意问题的设问方式，我们知道：①A 是B 的充分不必要条件是指：A ⇒B 且B ¿A ；②A 的充分不必要条件是B 是指：B ⇒A 且A ¿B .在解题中一定要弄清它们的区别，以免出现错误． 【变式训练】7．(2012·咸阳二模)下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析 ∵a ＞b ＋1＞b ，∴a ＞b ＋1是a ＞b 的充分条件， 但当a ＞b 时不能推出a ＞b ＋1，故选A. 答案 A8．(2012·成都模拟)已知p ：|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R ，q ：1a＜1，则綈p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵|x －10|＋|9－x |≥1， 且|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R ， ∴p ：a ≤1，则⌝p ：a ＞1；解不等式1a＜1，得q ：a ＜0或a ＞1，∴⌝p 是q 的充分不必要条件．答案 A名师押题高考【押题1】设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x 3－x ≥0，B ＝{x ∈Z | x 2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x | 0≤x ＜3}D ．{x | 0≤x ≤3}解析 图中阴影表示的是A ∩B ，化简集合：A＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x x －3≤0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x x －3≤0，x －3≠0＝{x ∈Z | 0≤x ＜3}＝{0,1,2}，B ＝{x ∈Z | －3≤x ≤3}＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.答案 B[押题依据] 高考对集合的考查集中在三个方面：集合的表示方法，元素的性质特征与集合的运算．本题与不等式的解法交汇命题、综合性较强．重点考查集合的运算，难度不大，但重点突出，立意新颖，故押此题．【押题2】已知命题p 1：当x ，y ∈R 时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 内为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析 解法一 p 1是真命题，事实上：(充分性)若xy ≥0，则x ，y 至少有一个为0或两者同号，∴|x ＋y |＝|x |＋|y |一定成立．(必要性)若|x ＋y |＝|x |＋|y |，两边平方，得x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋2|xy |＋y 2，∴xy ＝|xy |.∴xy ≥0.故p 1为真．而对于p 2：y ′＝2x ln 2－12x ln 2＝ln 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x ，当x ∈[0，＋∞)时，2x≥12x ，又ln 2＞0，∴y ′≥0，函数单调递增；同理得当x ∈(－∞，0)时，函数单调递减，故p 2是假命题． 由此可知，q 1真，q 2假，q 3假，q 4真．故选C.解法二 p 1是真命题，同解法一．对p 2的真假可以取特殊值来判断，如取x 1＝1＜x 2＝2，得y 1＝52＜y 2＝174；取x 3＝－1＞x 4＝－2，得y 3＝52＜y 4＝174，即可得到p 2是假命题，由此可知，q 1真，q 2假，q 3假，q 4真．故选C.解法三 p 1是真命题，同解法一．对p 2：由于y ＝2x＋2－x≥22x ·2－x＝2(等号在x ＝0时取得)，故函数在R上有最小值2，故这个函数一定不是单调函数，p2是假命题，由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C.答案 C[押题依据] 常用逻辑用语重要的数学基础知识，是高考考查的热点，本题综合考查了命题的真假判断，充分必要条件及逻辑联结词，题目难度适中，体现了对基础知识，重点知识的考查，故押此题．。

1．集合与常用逻辑用语、复数1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[回扣问题1] 集合A ＝{a ，b ，c }中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 答案 A2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．[回扣问题2] 若集合A ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，B ＝{y ∈R |y ＝2x －1，x ∈A }，则∁R (A ∩B )＝( )A ．RB ．(－∞，0]∪[2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0] 答案 B3．遇到A ∩B ＝时，你是否注意到“极端”情况：A ＝或B ＝；同样在应用条件A ∪B ＝B A ∩B ＝A A B 时，不要忽略A ＝的情况．[回扣问题3] 集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a ＝________．答案 0或1或124．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ，2n －1，2n －1，2n －2.[回扣问题4] 集合A ＝{1，2，3}的非空子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C5．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题5] “10a ＞10b ”是“lg a ＞lg b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B6．解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[回扣问题6] 复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析 因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B.答案 B。