【解析】北京市第十三中学2021届高三上学期期中考试数学试题

2020-2021学年北京十三中高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合A={x|x2<1}，B={x|0<x<2}，则A∪B=()A. {x|0<x<1}B. {x|−1<x<0}C. {x|1<x<2}D. {x|−1<x<2}2.下列函数中，在区间[0,+∞)上单调递增的是()A. y=−x2B. y=lnxC. y=x+1xD. y=√x3.已知cosα=−35,α∈(0,π)，则tanα=()A. 43B. −43C. ±43D. ±344.曲线y=lnxx在点(1,0)处的切线方程是()A. x−y+1=0B. 2x−y+1=0C. x−y−1=0D. x−2y+2=05.等比数列{a n}中a n>0,a4a5=32，则的值为()A. 10B. 20C. 36D. 1286.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π2)的部分图象如图示，则将y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为()A. y=sin2xB. y=cos2xC. y=sin(2x+2π3) D. y=sin(2x−π6)7.若cos(π6−α)=35，则cos(5π6+α)的值是()A. 35B. −35C. 45D. −458.设等差数列{a n}的前n项和为S n，则“a2>0且a1>0”是“数列{S n}单调递增”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大．震级的大小可通过地震仪测出．中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量E与地震里氏震级M之间的关系为E104.8=(√10)3M.已知A地区最近两次地震的震级M1，M2的值分别为6，5，释放的能量分别为E1，E2.记λ=E1E2，则λ∈()A. (30,31)B. (31,32)C. (32,33)D. (33,34)10.设函数f(x)={x2e x,x≥0x2e x,x<0，则使得f(2x+1)>f(x−1)成立的x的取值范围是()A. (−∞,−2)∪(0,+∞)B. (−2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位学生5次体育测试的成绩，若这两组数据的平均值相等，极差也相等，则学生乙体育测试的最高成绩为_______．12.tan(−11π3)=______ ．13.函数f(x)=1x −9x+1(x>0)的最小值为______．14.已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，a 32=a5，则该数列的前5项和为________．15.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．16.设点P是曲线y=x3−√3x+35上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3=2,a5=3．(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b1=a1,b4=a15，求{b n}的前n项和T n．18.已知函数f(x)=√2sin x2cos x2−√2sin2x2．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[−π,0]上的最小值．19.3个女生，4个男生排成一排，记X表示相邻女生的个数，求随机变量X的概率分布及数学期望．20.如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合.终边交单位圆于点A，且α∈(π6,π2)，将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B，记A(x1,y1),B(x2,y2)．(1)若x1=13，求x2；(2)分别过A,B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记ΔAOC的面积为S1，ΔBOD的面积为S2，若S1=2S2，求角α的值．21.已知函数f(x)=lnx+12x2+ax(a∈R)，．(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若对∀x>0，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.已知在数列{a n}中，a1=−1，a2=2，a n+1+a n−1=2(a n+1)(n≥2,n∈N+).(1)求证：数列{a n−a n−1}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|x2<1}={x|−1<x<1}，B={x|0<x<2}，∴A∪B={x|−1<x<2}．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：对于A，函数在区间[0,+∞)上单调递减，不合题意；对于B，函数在区间(0,+∞)上单调递增，不合题意；对于C，y′=1−1x2=(x+1)(x−1)x2，令y′<0，解得：0<x<1，故函数在(0,1)递减，不合题意；对于D，函数在[0,+∞)递增，符合题意；故选：D．根据常见函数的单调性分别判断即可．本题考查了常见函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键．3.答案：B解析：解：∵cosα=−35,α∈(0,π)，∴sinα=√1−cos2α=45．则tanα=sinαcosα=−43．故选：B．利用同角三角函数基本关系式即可得出．本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，属于基础题．求出f(x)的导数，可得点(1,0)处的切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．解：y=lnxx 的导数为y′=1−lnxx2，可得曲线在(1,0)处的切线斜率为k=1−ln112=1，即有在点(1,0)处的切线方程是y−0=x−1，即为x−y−1=0．故选：C．5.答案：B解析：本题以对数运算为载体，考查等比数列的通项公式与性质，属于一般题．解：∵{a n}是由正数组成的等比数列，且a4a5=32，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=32，从而有=log2(a1⋅a2⋅…⋅a8)=log2(a4a5)4=4log2(a4a5)=4log232=20，故选B．6.答案：D解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，图象的变换，考查计算能力，属于基础题．通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过(π6,1)，结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．解：由图象知A=1，34T=11π12−π6=3π4，T=π⇒ω=2，由sin(2×π6+φ)=1，|φ|<π2得π3+φ=π2⇒φ=π6，∴f(x)=sin(2x+π6)，则图象向右平移π6个单位后得到的图象解析式为y=sin[2(x−π6)+π6]=sin(2x−π6)，故选：D．7.答案：B解析：本题考查诱导公式的应用，比较基础．根据诱导公式直接求解即可．解：cos(π6−α)=35所以cos(5π6+α)=cos[π−(π6−α)]=−cos(π6−α)=−35，故选B．8.答案：D解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0．S n=na1+n(n−1)2d=d2n2+(a1−d2)n=d2(n−d−2a12d)2−(d−2a1)28d，∵数列{S n}单调递增，∴d>0，d−2a12d≤1，可得d+2a1≥0．由a2>0且a1>0，可得a2=a1+d>0．∴“a2>0且a1>0”是“数列{S n}单调递增”的既不充分又不必要条件．故选：D．设等差数列{a n}的公差为d，d≠0.可得：S n=na1+n(n−1)2d=d2(n−d−2a12d)2−(d−2a1)28d，数列{S n}单调递增，可得d>0，d−2a12d≤1，因此d+2a1≥0.由a2>0且a1>0，可得a2=a1+d>0.即可判断出结论．本题考查了函数的性质、不等式的性质、等差数列的通项公式及其前n项和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．解：lgE=4.8+1.5M，∴lgE1=4.8+1.5×6=13.8，lgE2=4.8+1.5×5=12.3，∴lgE1−lgE2=1.5，∴E1E2=101.5，λ=E1E2=101.5=√1000，312=961，322=1024，故31<√1000<32，故λ∈(31,32)故选B．10.答案：A解析：解：当x<0时，f(−x)=(−x)2⋅e−x=x2e x=f(x)，当x>0时，f(−x)=(−x)2e−x=x2⋅e x=f(x)，当x=0时，f(x)=0，∴f(x)是偶函数，又当x≥0时，f′(x)=2xe x+x2e x=e x(x2+2x)≥0，∴f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减．∵f(2x+1)>f(x−1)，∴|2x+1|>|x−1|，解得x<−2或x>0．故选：A．判断函数奇偶性和单调性，利用函数的对称性和单调性列出不等式得出x的范围．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．11.答案：77解析：本题考查了茎叶图，考查了平均数公式，根据极差相等列出方程，求出y的值即可．解：根据两组数据的平均值相等，得56+62+65+74+(70+x)5=59+61+65+67+(70+y)5，整理得x+5=y，若甲体育测试成绩的最大值为74，由74−56=70+y−59，得y=7，x=2，若甲体育测试成绩的最大值为70+x，由70+x−56=70+y−59，得x+3=y，与x+5=y相矛盾，所以学生乙体育测试的最高成绩为77．故答案为77．12.答案：√3解析：解：tan(−11π3)=tan(−4π+π3)=tanπ3=√3．故答案为：√3原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13.答案：−4解析：解：函数f(x)=1x −9x+1(x>0)的导数为f′(x)=−1x2+9(x+1)2=(2x−1)(4x+1)x2(x+1)2，当x>1时，f′(x)>0，f(x)递增；2时，f′(x)<0，f(x)递减，当0<x<12时，f(x)取得极小值，且为最小值，可得x=12)=2−6=−4，即有f(12故答案为：−4．求得f(x)的导数，求出f(x)在x>0的单调性，可得极小值，且为最小值，计算可得所求值．本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求出单调区间，考查运算能力，属于中档题．14.答案：31解析：本题考查等比数列的求和公式及性质，求出数列的首项和公比，然后代入公式求解即可．解：由等比数列性质得a32=a5a1=a5，所以a1=1，又a2+2a1=4，所以a2=2，q=2，=31．所以S5=1−251−2故答案为31．15.答案：−1，−2，−3(不唯一)解析：本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．解：设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题，则若a >b >c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次−1，−2，−3，(答案不唯一)，故答案为−1，−2，−316.答案：[0°,90°]∪[120°,180°)解析：本题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案． 解：设点P 是曲线y =x 3−√3x +35上的任意一点，∵y =x 3−√3x +35∴y′=3x 2−√3∴点P 处的切线的斜率k =3x 2−√3∴k ≥−√3∴切线的倾斜角α的范围为：[0°,90°]∪[120°,180°)故答案为[0°,90°]∪[120°,180°)17.答案：(1)设{a n }的公差为d ，则由{a 3=2a 5=3，得{a 1=1d =12， 故{a n }的通项公式a n =1+n−12，即a n =n+12(n ∈N +)； (2)由(1)得b 1=1，b 4=a 15=15+12=8， 设{b n }的公比为q ，则q 3=b 4b 1=8，从而q =2， 故{b n }的前n 项和T n =b 1(1−q n )1−q =1×(1−2n )1−2=2n −1(n ∈N +).解析：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的求和公式，考查学生的运算求解能力，属于中档题．(1)求出首项和公差即可求解；(2)利用已知条件求出首项和公比，然后利用公式求解．18.答案：解：(1)f(x)=√2sin x 2cos x 2−√2sin 2x 2 =√22sinx−√22(1−cosx ) =sin(x+π4)−√22. 所以：函数f(x)的最小正周期2π；(2)由(1)得：f (x )=sin (x +π4)−√22， 当−π≤x ≤0时，解得：−3π4≤x +π4≤π4， 所以：−1≤sin (x +π4)≤√22， 当x +π4=−π2，即x =−3π4时，sin (x +π4)=−1， 综上所述：f(x)在区间[−π,0]上的最小值为：−√22−1．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质周期性的应用，由正弦型函数的定义域求函数的值域及正弦型函数最小值的确定．(1)首先通过三角函数的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步确定函数的周期；(2)根据(1)的结论，利用整体思想，由自变量x 的范围确定x +π4的范围，进一步求出函数的值域，最后确定函数的最值．19.答案：解：X 的可能取值有0,2,3，P(X =0)=A 44A 53A 77=27； P(X =2)=A 32A 44A 52A 77=47； P(X =3)=A 33A 55A 77=17；随机变量X的概率分布为：X023P 274717∴E(X)=0×27+2×47+3×17=117．解析：本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．根据题意可知X的可能取值有0,2,3，分别求出各个取值对应的概率，再列出随机变量X的概率分布表，根据随机变量的期望公式，即可求出数学期望．20.答案：(1)解：由三角函数定义，得x1=cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23．所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．(2)解：依题意得y1=sinα，y2=sin(α+π3)．所以S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)．依题意S1=2S2得sin2α=−2sin(2α+2π3)，即sin2α=−2[sin2αcos2π3+cos2αsin2π3]=sin2α−√3cos2α，整理得cos2α=0．因为π6<α<π2，所以π3<2α<π，所以2α=π2，即 α=π4．解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．(1)由三角函数定义，得x 1=cosα=13，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据x 2=cos(α+π3)，利用两角和的余弦公式求得结果．(2)依题意得y 1=sinα，y 2=sin(α+π3)，分别求得S 1和S 2的解析式，再由S 1=2S 2求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值． 21.答案：解：， ∴f′(x)=1x +x +a =x 2+ax+1x (x >0)，令f′(x)=0，即x 2+ax +1=0，Δ=a 2−4，①当a 2−4≤0，即−2≤a ≤2时，即f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值点； ②当a 2−4>0，即a <−2或a >2时，若a <−2，设方程x 2+ax +1=0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得{x 1+x 2=−a >0x 1x 2=1>0， 故x 1>0，x 2>0，此时x ∈(0,x 1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，x ∈(x 1,x 2)，f′(x)<0，f(x)单调递减，x ∈(x 2,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，故x 1，x 2分别为f(x)的极大值点和极小值点．因此a <−2时，f(x)有两个极值点；若a >2，由根与系数的关系得{x 1+x 2=−a <0x 1x 2=1>0， 故x 1<0，x 2<0，此时f(x)无极值点，综上，当a <−2时，f(x)有两个极值点，当a ≥−2时，f(x)无极值点．，由x >0，即对于∀x >0恒成立．设，φ′(x)=e x(x−1)+lnx+(x+1)(x−1)，x2∵x>0，∴x∈(0,1)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，φ′(x)>0，φ(x)递增，，，即实数a的取值范围为(−∞,e+1]．解析：本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，考查转化思想，属于综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，判断函数的极值点的个数即可；(2)分离参数，问题转化为对于∀x>0恒成立，设，根据利用导数研究函数φ(x)的单调性，求出a的范围即可．22.答案：解：(1)因为a n+1+a n−1=2(a n+1)可化为(a n+1−a n)−(a n−a n−1)=2，所以数列{a n−a n−1}是一个首项为a2−a1=3，公差为2的等差数列．(2)由(1)知a n−a n−1=3+2(n−2)=2n−1，所以(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)=a n−a1=(2n−1)+(2n−3)+⋯+3，所以a n=−1+3+⋯+(2n−1)=−2+[1+3+⋯+(2n−1)]=n2−2(n≥2,n∈N+).=−2+n[1+(2n−1)]2因为12−2=−1=a1，所以a1也适合a n=n2−2，所以数列{a n}的通项公式为a n=n2−2．解析：(1)根据数列的递推关系结合等差数列的定义即可证明数列{a n−a n−1}是等差数列；(2)求根据数列{a n−a n−1}是等差数列，求出数列{a n−a n−1}的通项公式，利用累加法即可求数列{a n}的通项公式．本题主要考查数列的通项公式的求解以及等差数列的证明，利用递推数列进行转化是解决本题的关键．。

北京市第十三中学2017~2018学年度第一学期高三年级数学期中（理科）测试一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合{}|(1)(2)0A x x x =+-<，集合{}|13B x x =<<，则AB =（ ）． A ．{}|13x x -<<B ．{}|11x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x <<【答案】A【解析】∵{}|12A x x =-<<， {}|13B x x =<<，{}|13A B x x =-<<．故选A ．2．若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】复数(1i)(i)a -+，2i i i a a =-+-， (1)(1)i a a =++-，对应点(1,1)a a +-在第四象限，1010a a +>⎧⎨-<⎩， 解出1a >．故选C ．3．已知(0,π)α∈，3cos 5α=-，则tan α=（ ）． A ．34 B ．34- C ．43D ．43- 【答案】D 【解析】3cos 5α=-且(0,π)α∈，4sin 5α， sin 4tan cos 3ααα==-． 故选D ．4．设A 、B 30y -+=与圆221x y +=的两个交点，则||AB =（ ）．A ．1B C D ．2 【答案】C【解析】圆心(0,0)到直线距离d 12=，||AB =故选C ．5．已知函数1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）． A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是减函数C ．是偶函数，且在R 上是增函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】B 【解析】1()2()2x f x x x =-∈R ， 1()2()2xx f x f x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， ∴()f x 为奇函数， 又∵函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2x y =-都是减函数， 两个减函数之和仍为减函数．故选B ．6．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若10a <，则2123()()0a a a a -->D ．若120a a <<，则2a > 【答案】D【解析】A 项．∵120a a +>，∴2312()2a a a a d +=++，d 的正负无法判断，23a a +正负无法判断，错误，B 项错误，∵130a a +<，∴12()0a a d ++<，12a a +正负无法判断，C 项错误，22123()()0a a a a d --=-<，D 项正确，∵1210a a a d <<=+，∴0d >，22213111()(2)0a a a a d a a d -=+-+>．∴2a ．7．设a ，b 是非零向量，且a b ≠±．则“||||a b =”是“()()a b a b +⊥-”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：当||||a b =时， 22()()||||0a b a b a b +⋅-=-=，∴()()a b a b +⊥-，必要性：当()()a b a b +⊥-时，22()()||||0a b a b a b +⋅-=-=，∵a b ≠±，∴||||a b =．故选C ．8．某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（ ）．A ．第一年到第三年B ．第二年到第四年C ．第三年到第五年D ．第四年到第六年【答案】A【解析】设年平均增长率为m ，末年生产总值为P ，起始年生产总值为Q ，则m =（n 为年间隔数）∴两年间的年平均增长率1m =， 由图知，第一年到第三年的P Q最大． 故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．在5(2)x +的展开式中，3x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】40【解析】5(2)x +展开式中含3x 项为32335C 240x x ⨯⨯=．10．已知双曲线2221(0)x y a a-=>0y +=，则a =__________．【解析】2221x y a-=的渐近线为x y a =±=，∴a =11．在极坐标系中，点π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线(cos )ρθθ的距离为__________．【解析】直角坐标系中，直线方程为x =点坐标为ππ2cos ,2sin 66⎛⎫= ⎪⎝⎭，到直线距离d ==． 12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=__________． 【答案】1 【解析】∵2222536163cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯， 且sin sin a c A C =，即sin 2sin 3A a C c ==， ∴sin 22sin cos 2321sin sin 34A A A C C ==⨯⨯=．13．已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为__________．【答案】6【解析】设(cos ,sin )P θθ，(2,0)AO =，(cos 2,sin )AP θθ=+，∴2cos 4AO AP θ⋅=+，∵cos [1,1]θ∈-，当cos 1θ=时，∴max 2146AO AP ⋅=⨯+=．14．某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数．（ii ）女学生人数多余教师人数．（iii ）教师人数的两倍多余男学生人数．①若教师人数为5，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】8 12【解析】设男学生，女学生，教师人数分别为x ，y ，z ．由题意，建立方程组．2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩③①②，【注意有文字】 ①当5z =时，由方程组解出510y x <<<，故此时女学生最多有8人．②设小组总人数为M x y z =++，∵由上述方程组可得2z y x z <<<，即z 最小为3才能满足条件，此时min 5x =，min 4y =，故min 54312M =++=，即小组人数最少为12人．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222x x x f x =-． （I ）求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． （II ）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程．【答案】（I ）π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （II ）单调递减区间为25π2π,π2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 对称轴为2ππ3x k =+，()k ∈Z ． 【解析】（I）()1cos f x x x =--，π11032f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （II）∵()cos 1f x x x --，12cos 12x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭， π2sin 16x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ππ32ππ2k π()262k x k +-+∈Z ≤≤， 25π2ππ2π33k x k ++≤≤， ()f x 单调递减区间为25π2π,π2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ， 对称轴为πππ62x k -=+， 2ππ()3x k k =+∈Z ．16．（本小题满分13分）某花店每天以每枝4元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（I ）若花店一天购进16枝玫瑰花，写出当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（II ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望． （ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？只写结论．【答案】（I ）1080(15)80(16)n n y n n -⎧=⎨∈⎩N ≤≥．（II ）（i ）x 的分布列为：（ii ）17支．【解析】（I ）当16x ≥时，16(105)80y =⨯-=，当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-，故1080(15)80(16)n n y n n -⎧=⎨∈⎩N≤≥． （i ）X 可取60，70，80，(60)0.1P X ==，(70)0.2P X ==，(80)0.7P X ==，故X 的分布列如下：800.7+⨯，6145676=++=．（ii ）购进17枝时，当天利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.7y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯，76.476=>，故应购进17枝．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ．D ABC EF H M N（I ）求证：FA BC ⊥．（II ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值． （III ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段FD ，AD 上的点（都不与点D 重合）．若直线FD ⊥平面MNH ，求M H 的长．【答案】（I ）略 （II（III【解析】（I ）∵90FAB ∠=︒，∴FA AB ⊥，∵平面ABEF ⊥平面ABCD 且平面ABEF 平面ABCD AB =，∴FA ⊥面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴FA BC ⊥．（II ）由（I ）知，FA ⊥平面ABCD ， ∴FA AB ⊥，FA AD ⊥，∵DA AB ⊥， AD ，AB ，AF 两两垂直，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，∵112AD DC AB ===， (0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ， (1,1,0)BC =-，(0,1,1)BE =-．设平面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =， ∴00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， ∴00x y y z -=⎧⎨-+=⎩， 令1x =，(1,1,1)n =，设直线BD 与平面BCE 所成角为θ，∵(1,2,0)BD =-，sin |cos ,|n BD θ=，||||||3n BD n BD ⋅===⋅． （III ）在以A 为原点的空间直角坐标系中， (0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，1,1,02H ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设(01)DM k k DF =<≤， DM k DF =，∵(,0,)DM k k =-，∴(1,0,)M k k -，1,1,2MH k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， (1,0,1)FD =-，若FD ⊥平面MNH ，则FD M H ⊥，即0FD MH ⋅=， 102k k -+=，解得14k =， ∴11,1,44MH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，||MH18．（本小题满分13分）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--．（I ）求曲线()y f x =在点(0,())f x 处的切线方程．（II ）求证：当(0,1)x ∈时，3()23x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭． （III ）设实数k 使得3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值． 【答案】（I ）2y x =（II ）略 （III ）k 最大值为2【解析】（I ）∵()ln(1)ln(1)f x x x =+--， 1ln 1x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭， ∴101xx +>-，∴11x -<<． ∵11()11f x x x '=++-，(0)112f '=+=，(0)0f =，∴在(0,0)处切线方程为2y x =．（II ）证明：令3()()23x g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，211()2211g x x x x '=+--+-，4220(01)1x x x =><<-，∴()(0)0g x g >=， ∴3()203x f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即在(0,1)x ∈时，3()23x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭．（III ）由（II ）知，在2k ≤时， 3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对(0,1)x ∈恒成立， 当2k >时，令3()()3x F x f x k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 则222()(1)1F x k x x '=-+-，42(2)1kx k x --=-，∴当0x <<()0F x '<，此时在上()F x 单调递减，当0x <<)0x =， 即3()3x f x k x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴当2k >时，3()x f x k x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，对(0,1)x ∈不恒成立，∴k 最大值为2．19．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F，点P 在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=． （I ）求椭圆C 的方程．（II ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．【答案】（I ）22142x y += （II ）见解析 【解析】（I ）在椭圆中， 12||||24PF PF a +==，∴2a =，代入P 于22214x y b+=中，解出b∴椭圆C 的方程为22142x y +=． （II ）证明：∵P 、Q 关于x 轴对称，∴1)Q -，设00(,)M x y ，则220024x y +=，0x ≠1y ≠±，直线:1MP y x -=，令0y =，则0001x x y -=-，∴||OE =直线:1MQ y x +=， 令0y =，0x =∴||OF =， ∴2200202||||1y x OE OF y -=-， 2200202(42)41y y y --==-， ∴||||OE OF ⋅为定值．20．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，的最小值记为n B ，n n n B q A =． （I ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，，是一个周期为4的数列（即对任意n ∈N *，4n n a a +=），写出1q ，2q ，3q ，4q 的值． （II ）设q 是正整数，证明：(1,2,3,)n q q n ==的充分必要条件为{}n a 是公比为q 的等比数列．（III ）证明：若12a =，1(1,2,3,)2n q n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． 【答案】（I ）1212q q ==，3414q q == （II ）（III ）见解析 【解析】（I ）由题知，在{}n a 中， 12341B B B B ====， 122A A ==，344A A ==， ∴1212q q ==，3414q q ==， （II ）证明：充分性：∵{}n a 是公比为q 的等比数列且q 为正整数， ∴12n a a a ≤≤≤， ∴n n A a =，1n n B a =+， ∴n n n B q q A ==，（1n =，2，3）．必要性：∵1n q q =≥，（1n =，2，3）， ∴n n n B q A A =⋅≥， 又∵n n a A ≤，1n n B a +≤， ∴1n n a a +≤，∴n n A a =，1n n B a +=， ∴19n n n n na B q a A +===， ∴{}n a 为公比为q 的等比数列．（III ）∵12a =，1(1,2,3)2n q n ==， ∴112A a ==，1111B A q ==，∴对任意1n ≥，11n a B =≥， 假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项， 设m 为满足2m a >的最小正整数， 则2m ≥，对任意1k m <≤，2k a ≤， 又∵12a =，∴12m A -=且2m m A a =>， ∴212m m m B A q =⨯==， 1min m m B a -=，2m B ≥， 故111221m m m B q A ---=÷=≤与112m q -=矛盾，∴对于任意1n ≥，有2n a ≤， 即非负整数列{}n a 各项只能为1或2．。

2020-2021北京第十三中高中必修一数学上期中一模试题及答案一、选择题1．函数()log a x xf x x =（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>3．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．504．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．a b c >>5．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 7．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( ) A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥8．函数223()2xx x f x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 10．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）11．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．612．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 二、填空题13．函数y=232x x --的定义域是 .14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______．15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.16．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．17．10343383log 27()()161255---+=__________．18．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）20．设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数2()log 2x f x =⋅的最大值和最小值． 22．已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220x mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围. 23．已知幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式； （2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()a g x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.24．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．25．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋1a 4Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？26．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}．（1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．2．A解析：A【解析】【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数x y a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得32239b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A.本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．4．C解析：C【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解.【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．A解析：A【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．解析：D【解析】【分析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤- (1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．B解析：B【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥ 即()21f x x =+ ()2x ≥. 【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.8．B解析：B【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232x x x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．D解析：D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.10．C解析：C【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，x y e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.11．A解析：A【解析】【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x fx f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点 即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x fx f x =-+有5个零点,故选：A .【点睛】 本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．C解析：C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<.本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-考点：函数定义域 14．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．15．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1. 【详解】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即α=lo 2313g ,β=lo 1323g .所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】 本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性 解析：-1【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以． 考点：函数的奇偶性． 17．【解析】18．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减 解析：()1,2【解析】【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数，所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅，当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数，所以0a -<，即0a >，所以1a >，综上可得a 的范围为()1,2.故答案为()1,2.【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是 解析：68【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233k k a e a e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kt e -=，则1ln 3kt -= 两式相除可得2ln2531ln 3k kt -=-，即2lg 25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天 点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与解析：(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】【分析】【详解】 ①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1；（2）①若函数()2x g x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<； ②若函数()2x g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.三、解答题21．最小值为14-，最大值为2. 【解析】【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭. 当23log ,2x =()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去）， 所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.24．a ≤－1或a ＝1.【解析】【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.25．（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元.【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，此时直接计算1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+=即可；（2）列出总收益的函数式得1()422504f x x x =-++，令，换元将函数转换为关于t 的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的x 值.试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴1(50)804250150120277.54f =+⨯+⨯+= （2）， 依题得，即，故.令，则， 当时，即时，， ∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 考点：1.函数建模；2.二次函数.26．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或 【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ；当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足解得；即综上，实数p的取值范围．【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2015-2016学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1204．设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．25．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种8．某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）A．第一年到第三年B．第二年到第四年C．第三年到第五年D．第四年到第六年二、填空题9．在（2x﹣1）8的展开式中，含x2的项的系数是______（用数字填写答案）10．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为______．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为______；渐近线方程是______．12．直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，则a=______．13．在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．其中所有真命题的序号是______．14．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是______．三、解答题15．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？16．某中学在高三年级开设大学先修课程（线性代数），共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的数学效果进行评估，学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核．（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙两位同学间隔的人数为X，X的分布列为X 3 2 1 0P b a求数学期望EX；（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）17．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．（1）求抛物线的方程；（2）求证：∠ANC=∠BNC．18．已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）讨论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数．参考公式：a logaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）20．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E： +=1的左、右焦点．（1）若椭圆的离心率是，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；（2）设P（x0，y0）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y﹣2=0上．2015-2016学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【考点】并集及其运算．【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，根据集合的并集可求解答案．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．【解答】解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故选B．4．设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．2【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，∵圆心（0，0）在直线y=x上，∴弦AB为圆O的直径，则|AB|=2r=2．故选D5．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】求出函数f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断f （x）在（0，1）上的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x）=ln[（1+x）（1﹣x）]，x∈（﹣1，1）；∴f（﹣x）=ln[（1﹣x）（1+x）]=f（x），∴f（x）是（﹣1，1）上的偶函数；又f（x）=ln[（1+x）（1﹣x）]=ln（1﹣x2），当x∈（0，1）时，二次函数t=1﹣x2是减函数，所以函数f（x）=ln（1﹣x2）也是减函数．故选：D．6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】函数的值．【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A8．某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）A．第一年到第三年B．第二年到第四年C．第三年到第五年D．第四年到第六年【考点】函数的图象．【分析】由于年平均增长率为，其中，△y 是产值的增加值，y0表示原来的产值，结合图形，从而得出结论．【解答】解：由于年平均增长率为，其中，△y 是产值的增加值，y0表示“原来”的产值，由所给的图象可得，△y最大的是第一年到第三年，第4年到第6年，且第一年到第三年的△y 等于第4年到第6年的△y，但第一年的产值y0较小，生产总值的年平均增长率最高的是第一年到第三年，故选：A．二、填空题9．在（2x﹣1）8的展开式中，含x2的项的系数是112（用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．=（2x）8﹣r（﹣1）r=（﹣1）r28﹣r x8【解答】解：（2x﹣1）8的展开式中，通项公式T r+1﹣r，令8﹣r=2，解得r=6．∴含x2的项的系数是=112．故答案为：112．10．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由得，即A（1，1），此时z的最大值为z=3×1+1=4，故答案为：411．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为x2﹣=1；渐近线方程是y=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦点（2，0）便得到c=2，而根据双曲线C的离心率即可得到，所以a=1，所以得出b2=3，这样即可得出双曲线C的方程以及渐近线方程．【解答】解：抛物线的焦点为（2，0）；∴c=2；∴根据双曲线的离心率为2得：；∴a=1，b2=3；∴双曲线C的方程为；∴其渐近线方程为y=．故答案为：，．12．直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，则a=﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用平行线与斜率、截距的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，∴，解得a=﹣2，故答案为：﹣2．13．在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．其中所有真命题的序号是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知得出三角形的面积公式，由s的值分别解出k的值即可．【解答】解：由已知条件：函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，作出图形：可知k≠0．==．由图可知：S△OAB①当s=6时，则，解得，故符合条件的直线l有两条，故①不正确；②当s=8时，由8=，解得，故符合条件的直线l有两条，故②正确；③当s=12时，由12=，解得，，故符合条件的直线仅有3条，故③正确；④当s=20时，由20=，解的，k=，故符合条件的直线l共有四条，故④正确．综上可知：正确的命题为②③④．故答案为②③④．14．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．三、解答题15．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．16．某中学在高三年级开设大学先修课程（线性代数），共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的数学效果进行评估，学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核．（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙两位同学间隔的人数为X，X的分布列为X 3 2 1 0P b a求数学期望EX；（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由分层抽样的性质，能求出抽取的5人中男、女同学的人数．（2）由题意可得a=P（X=3）═，从而b=，由此能求出数学期望EX．（3）由两组数据中相对应的数字之差均为10，得到=．【解答】解：（1）由分层抽样的性质得：抽取的5人中男同学的人数为×30=3，女同学的人数为×20=2．（2）由题意可得：P（X=0）==．即a=，因为a+b++=1，所以b=．所以EX=3×+2×+1×+0×=1．（3）=．17．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．（1）求抛物线的方程；（2）求证：∠ANC=∠BNC．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意，m+=2，4=2pm，求出p，即可求出抛物线的方程；（2）直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣8=0，利用韦达定理证明k AN+k BN=0，即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，m+=2，4=2pm，∴p=2，∴抛物线的方程为x2=4y；（2）证明：设直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣8，∴k AN+k BN=+==2k+=0，∴∠ANC=∠BNC．18．已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导数，直接利用函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求解即可．（Ⅱ）令f′（x）=0，求出极值点，①当0＜a＜1时，②当a=1时，③当a＞1时，分别判断函数的单调性求解单调区间．（Ⅲ）利用（Ⅱ）当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），判断0＜a＜1是否满足题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，推出f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，求解a的取值范围即可．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=，x∈（﹣1，+∞），由f′（3）=0⇒a=．…（Ⅱ）令f′（x）=0⇒x1=0，x2=﹣1，①当0＜a＜1时，x1＜x2，f（x）与f′（x）的变化情况如下表x （﹣1，0）0 （0，﹣1）﹣1 （﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +0 ﹣f（x）↘f（0）↗f（﹣1）↘∴f（x）的单调递增区间是（0，﹣1），f（x）的单调递减区间是（﹣1，0）和（﹣1，+∞）；②当a=1时，f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0f（x）与f′（x）的变化情况如下表x （﹣1，﹣1）﹣1 （﹣1，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣0 +0 ﹣f（x）↘f（﹣1）↗f（0）↘∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1）和（0，+∞）．综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间是（0，﹣1）．f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞），当a＞1，f（x）的单调递增区间是（﹣1，0）．f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）．当a=1时，f（x）的单调递减区间为（﹣1，+∞）．…（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，由f（x）≤f（0）可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意，∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1．…19．已知函数f（x）=e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）讨论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数．参考公式：a logaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用导数等于0，求出函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）的结论得到导函数的符号，判断g（x）的单调性，从而得出结论；（3）a=0时，显然求出，a≠0时，问题转化为y=e x和y=x2的交点个数，通过讨论a的范围结合（2），求出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=e x﹣2x（x∈R），∴f′（x）=e x﹣2；令f′（x）=0，即e x﹣2=0，解得x=ln2，∴函数f（x）的极值是f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2；（2）证明：设函数h（x）=e x﹣x2，∴h′（x）=e x﹣2x；由（1）知f（x）=e x﹣2x在x=ln2取得极小值，∴h′（x）≥f（ln2）=e ln2﹣ln2=2﹣ln2＞0，∴h（x）是R上的增函数，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=1＞0，∴e x＞x2，即x2＜e x；∴当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）a=0时，g（x）=x2，函数g（x）有1个零点，a≠0时，论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数，即讨论y=e x和y=x2的交点个数，①a＜0时，y=x2开口向下，和y=e x无交点，即函数g（x）无零点；②a＞0时，y=x2开口向上，x＜0时与y=e x1个交点，下面讨论x＞0的情况，由（2）得：≤1即a≥1时，x2＜e x；故0＜a＜1时，y=e x和y=x2有3个交点，g（x）有3个零点，a≥1时，y=e x和y=x2有1个交点，g（x）有1个零点，综上：a＜0时，函数g（x）无零点；a=0时，函数g（x）有1个零点，0＜a＜1时，g（x）有3个零点，a≥1时，g（x）有1个零点．20．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E： +=1的左、右焦点．（1）若椭圆的离心率是，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；（2）设P（x0，y0）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y﹣2=0上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的性质，m＞4﹣m，4﹣m＞0，即可求得m的取值范围，求得a=m，c2=2m﹣4，由离心率公式e=，即可求得m的值，求得椭圆方程；（2）设P（x0，y0），分别求得直线F1P的斜率及直线F1Q的斜率和，由•=﹣1，代入求得，x0＞0，y0＞0，即可求得x0+y0=2，点P在直线x+y﹣2=0上．【解答】解：（1）由+=1焦点在x轴上，∴m＞4﹣m，解得：m＞2，4﹣m＞0，m＜4，∴m的取值范围（2，4）c2=m﹣（4﹣m）=2m﹣4，e====，解得：m=3，∴椭圆方程为：；（2）证明：由题意可知：c2=m﹣（4﹣m）=2m﹣4，设P（x0，y0），由题意可知：x0≠0，则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=，∴直线F2P的方程为：y=（x﹣c），当x=0时，y=﹣c，即点Q（0，﹣c），∴直线F1Q的斜率=，∵以PQ为直径的圆经过点F1，∴•=•=﹣1，化简得：=﹣（2m2﹣4），∵P为椭圆E上的一点，且在第一象限内，∴，x0＞0，y0＞0，解得：x0=，y0=2﹣a2，∴x0+y0=2，∴即点P直线x+y﹣2=0上．2016年9月30日。

2023北京十三中高三（上）期中数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第3页至第6页，答题纸第1页至第3页．共150分，考试时间120分钟．请在答题纸上侧密封线内书写班级、姓名、准考证号．考试束后，将本试卷的答题纸交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，集合{}2Z 2B x x =∈≤，则A B = （ ）A. {}1B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,0,1,2-2. 已知复数i,13ia a +∈+R 是纯虚数，则在复平面中，复数i z a =+的共轭复数z 对应的点坐标是（ ）A. ()3,1-- B. ()3,1- C. ()1,3- D. ()1,33. 已知向量,a b满足()()2,,2,1a b x a b +=-=- ，且221a b -=- ，则x =（ ）A. 3- B. 3 C. 1- D. 14. 已知函数()2ln f x x x =+，则()f x （ ）A. 是奇函数，且在()0,∞+上是减函数 B. 是奇函数，且在()0,∞+上是增函数C. 是偶函数，且在()0,∞+上是减函数D. 是偶函数，且在()0,∞+上是增函数5. 已知52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为80，则=a （ ）A. 1- B. 1± C. 2± D. 26. 直线2y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ）A. ⎡⎢⎣B. ,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A C 上任意一点，则sin AED ∠的值不可能是（ ）8. 已知,αβ均为第一象限的角，那么αβ>是sin sin αβ>的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面ABCD 题矩形，5,//9BC EF AB AB =，四边形ABFE CDEF 、是两个全等的等腰梯形，EAD FBC 、△△是两个全等的等腰三角形．若135,6,2BC EF AE ===，则该几何体的体积为（ ）（图1） （图2）A. 90B. D. 13510. 已知等差数列{}n a 的公差为π；集合{}*sin N n S a n =∈，若{},S a b =，则a b +=（ ）A. 1- B. 0C. 12D. 1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 10y +-=的倾斜角的大小为_______．12. 在数列{}n a 中，132,5n n a a a +=+=，则24a a +=______；{}n a 的前n 项和n S =______．13. 近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x （单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k 与能见度x 满足函数关系：0.2,0.1,1.4,0.110,1,10,bx k ax x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩（,a b 是常数）如图记录了两次实验的数据，则根据上述函数模型和所得实验数据可得b =______．（参考数据：lg30.48≈）14. 在平面直角坐标系O xy -中，若()()1cos ,sin ,cos ,sin ,2A B C ααββ⎛ ⎝⎭，则满足OC OB OA =-的一个β的值可以是______．15. 科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同的反相位声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线()22sin 32f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且经过点()1,2．下述四个结论：①函数14f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数；②函数()f x 在区间()1,2上单调递减；③存在正整数n ，使得()()()()1232f f f f n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>；④对于任意实数x ，存在常数m 使得()()()123f x f x f x m +++++=．其中所有正确结论的编号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．16. 如图，在四棱锥E ABCD -中，AB ⊥平面,ADE AC CD AE DE ====，2AD =，点F 为DE的中点．（1）证明//CF 平面ABE ；（2）求二面角E AF C --的余弦值．17. 已知函数()()sin ,(0)f x x g x x ωωω==>，()23cos cos h x x x x ωωω=+．在下列关于函数()f x 与()g x 图像的三个条件中选择一个作为已知，使函数()h x 唯一确定，并求解下列问题．（1）求函数()h x 的解析式；（2）若对于x ∀∈R ，存在唯一的[]0,a m ∈，使得()()h a x h a x -=+，求m 的取值范围．条件①：两函数图像在[]0,2π内有且仅有两个交点；条件②：两函数图像的相邻两交点的水平距离为π；条件③：两函数图像最高点间的最小水平距离为π2．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明）19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,0A(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y kx =与椭圆C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20. 已知函数()2sin cos f x x x x x =--．（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的零点个数；（3）若对于任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2sin cos 0ax x x x a --+≥恒成立，求a 的取值范围．21. 已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.参考答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1. 【答案】C【分析】根据题意先解出B 集合，再由集合的交集运算求解即可.【详解】依题意，{}{{}2Z 2Z 1,0,1B x x x x =∈≤=∈-≤≤=-则{}1,0,1A B =- .故选：C.2. 【答案】A【分析】利用复数除法计算出()313ii 13i 10a a a ++-+=+，从而得到3a =-，求出答案.【详解】()()()()()2i 13i 313ii 3i i 3i 13i 13i 13i 1010a a a a a a +-++-+-+-===++-，则30a +=，解得3a =-，则3i z =-+，3i z =--故共轭复数z 对应的坐标为()3,1--.故选：A 3. 【答案】B【分析】根据数量积的运算律以及坐标运算求解.【详解】因为()()222241-=-=+⋅-=-+=-r r r r r r r r a b a b a b a b x ，解得3x =.故选：B.4. 【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在()0,∞+上的单调性，即可判断.【详解】函数()2ln f x x x =+定义域为{}|0x x ≠，且()()()22ln ln f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()2ln f x x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，当0x >时()2ln f x x x =+，因为2y x =与ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.故选：D 5. 【答案】B【分析】利用二项展开式的通项，由指定项的系数，求a 的值.【详解】52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()5552155C 2C 2rr r r r r rr a T x a xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当521r -=，有2r =，则展开式中x 的系数为22253C 28080a a ==，所以21a =，解得1a =±.故选：B 6. 【答案】A【分析】由垂径定理得到不等式，求出圆心到直线2y kx =+的距离的范围，从而求出k 的取值范围【详解】()()22324x y -+-=的圆心为()3,2，半径为2r =，圆心到直线2y kx =+的距离为0d ==≥，由垂径定理得MN ==，因为MN ≥≥01d ≤≤，[]0,1，解得k ≤≤，故k的取值范围是⎡⎢⎣.故选：A 7. 【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出cos AED ∠范围，进而求出sin AED ∠的范围.【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1，则()()0,0,0,1,0,0D A ，设(),1,1,01E t t t -≤≤，所以(),1,1DE t t =-，()1,1,1AE t t =-- ，2cos DE AEAED DE AE ⋅∠==⋅22==≤，所以sin AED ∠=≥.下证：0cos AED <∠≤，即证20<≤，因为22372322()048t t t -+=-+>所以20<2≤即证()23232t t ⨯-+≤平方化简得，即证324121580t t t -+-≤，令()32412158,01h t t t t t =-+-≤≤,()()2212241512130h t t t t =-=-+'+>，则()h t 在[]0,1上单调递增，故()()110h t h <=-<,所以()0h t <得证.对比各选项，C 项不可能.故选：C 8. 【答案】D 【详解】7ππ,33αβ==均为第一象限的角，满足αβ>，但sin sin αβ=，因此不充分；5ππ,36αβ-==均为第一象限的角，满足sin sin αβ>，但αβ<，因此不必要；所以选D.9. 【答案】B【分析】将该五面体分割为四棱锥和三棱柱，结合棱柱和棱锥的体积公式求其体积．【详解】过点E 作EG EF ⊥，EH EF ⊥，又EG EH E = ，EG ，EH ⊂平面EGH ，所以EF ⊥平面EGH ，过点F 作FM EF ⊥，FN EF ⊥，又FM FN F = ，FM ，FN ⊂平面FMN ，所以EF ⊥平面FMN ，因为//EF 底面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面ABCD AB =，所以//AB EF ，同理//CD EF ，所以AB EG ⊥，CD EH ⊥，AB FM ⊥，CD FN ⊥，AB ⊥平面EGH ，AB ⊥平面FMN ，GH Ì平面EGH ，MN ⊂平面FMN ，所以AB GH ⊥，AB MN ⊥，因为9,5,6AB BC EF ===，ADE V 与BCF △是全等的等腰三角形，由对称性可得，96322AG DH BM CN -=====，所以5EG EH GH MN =====，连接点E 与GH 的中点P ，则EP ==，所以11522EGH S GH EP ===，又6=GM ，所以三棱柱EGH FMN -的体积为6EHG S EF ⋅=，因为AB ⊥平面EGH ，EP ⊂平面EGH ，所以AB EP ⊥，又EP GH ⊥，AB ，GH Ì平面ABCD ，ABGH G = ，所以EP ⊥平面ABCD ，又矩形AGHD 的面积为315522AG HG ⋅=⨯=，所以四棱锥E AGHD -的体积为11532⨯，由对称性可得四棱锥F MBCN -，所以五面体ABCDEF 2=．故选：B 10. 【答案】B【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合正弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答即可.【详解】 等差数列{}n a 的公差为π，∴()111πππn a n n a a =+-=+-，∴1sin(ππsin )n n a a =+-，∴最小正周期2π2,πT ==要使集合{},S a b =只有两个元素, 则1213sin sin sin sin a a a a ≠⎧⎨=⎩，即()()1111sin sin πsin sin 2πa a a a ⎧≠+⎪⎨=+⎪⎩，不妨取1π6a =，则1π1sin si 62n a a ===，2π1sin π+62sin b a ⎛⎫==- ⎪⎝=⎭，所以0a b +=.故选:B.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 【答案】2π3【分析】由直线一般式转化为斜截式，得到斜率，再由倾斜角和斜率的关系得出结果.10y +-=，得1y =+，得直线的斜率为k =设其倾斜角为(0π)θθ≤<，则tan θ=，得2π3θ=，故答案为：2π312. 【答案】 ①. 10 ②. 2n 【分析】由题意可得数列{}n a 是公差为2的等差数列，由等差数列的性质求出数列{}n a 的通项公式，即可求出24a a +；再由等差数列的前n 项和公式求出n S .【详解】由132,5n n a a a +=+=可得：12n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，所以132541a a d =-=-=，所以()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，所以243310a a a d a d +=-++=，所以{}n a 的前n 项和()()121212222n n n a a n n n nS n ++-⋅====.故答案为：10；2n 13. 【答案】0.24-【分析】代入两点坐标得到·0.1 1.40.2b a +=和·10 1.41b a +=，两方程整理后作比即可求解.【详解】当0.1x =时，有·0.1 1.40.2b a +=，即0.1 1.2b a ⋅=-①当10x =时，有·10 1.41b a +=，即100.4b a ⋅=-②①比②得20.110310bb b -==，所以2lg 3b -=，则lg 30.480.2422b =-≈-=-.故答案为：0.24-14. 【答案】2π3（答案不唯一）【分析】由OC OB OA =-可得1cos =cos 2sin =sin αβαβ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，对上式平方相加可得：π1sin 62β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出答案.【详解】因为()()1cos ,sin ,cos ,sin ,2A B C ααββ⎛ ⎝⎭，所以()()1cos ,sin ,cos ,sin ,2OA OB OC ααββ⎛=== ⎝⎭，由OC OB OA =-可得：1=cos cos 2sin sin βαβα⎧-⎪⎪-，则1cos =cos 2sin =sin αβαβ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，对上式平方相加可得：2211cos sin 2ββ⎛⎛⎫=-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22131cos cos sin 44ββββ=+-++-，故π1cos 2sin 6βββ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即π1sin 62β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,66k k β+=+∈Z 或π5π2π,66k k β+=+∈Z ，所以2π,k k β=∈Z 或2π2π,3k k β=+∈Z .令0k =，β的一个值可为2π3.故答案为：2π3（答案不唯一）15. 【答案】①②④【分析】由()22sin ||32f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭经过(1,2)可求出()f x 的解析式，利用正弦函数的对称性可判断①；. 利用正弦函数的单调性可判断②；求()()()123f x f x f x +++++的值，可判断④，利用()()()1230f x f x f x +++++=，分*3,N n k k =∈、*31,N n k k =+∈、*32,N n k k =+∈三种情况求()()()123()f f f f n ++++ 的化简式可判断③.【详解】因为()22sin ||32f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭经过(1,2)，所以2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即22,Z 32k k ππϕπ+=+∈，解得2,Z 6k k ϕπ=-+π∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，则()22sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭.对于①，12122sin 2sin 43463f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故14f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，①正确；对于②，(1,2)x ∈时，27,3626x ππππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的图象可知(1,2)x ∈时，()f x 单调递减，②正确；对于④，()()()123f x f x f x +++++2sin 2sin 2s 22722323636in x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪+++-++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222cos 2sin sin 233636x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎭⎝-+⎝⎭2cos2c 2os 2cos 3221212332323x x x x x πππππ⎫⎫=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝+⎭--02cos23c s 223o x x ππ-==，所以()()()123f x f x f x +++++恒为0，故④正确；对于③，当*3,N n k k =∈时，()()()123()0f f f f n ++++= ，当*31,N n k k =+∈时，()()()(22si 2123n 36())f n f f f n f n ππ++++==⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭ ，当*32,N n k k =+∈时，()()())25123()6(22sin 2i 1)s n 363(f f f f n f n f n n n ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪++++=-+ ⎝⎭⎝=⎭21221222323cos 32n c s 3o x x x x ππππ⎛⎫⎫-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=222cos 3x π-≤=，故③错误；故答案为：①②④.三、解答题：本大题共6小题，共85分．16. 【答案】（1）证明见解析 （2）．【分析】（1）由面面平行的判定定理、性质定理证明即可；（2）以,,OA OE OC 两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面AEF 和平面ACF 法向量，由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】证明：取AD 的中点为O ，连接,,OC OF CF ．因为AC CD =，所以CO AD ⊥．因为AB ⊥平面ADE ，所以AB AD ⊥，//AB CO ，AB ⊂平面ABE ，CO ⊄平面ABE ，所以//CO 平面ABE ，因为点F 为DE 的中点，所以//AE OF ．AE ⊂平面ABE ，OF ⊄平面ABE ，所以//OF 平面ABE ，,OC OF ⊂平面COF ，且OC OF O = ，所以平面//ABE 平面COF ．又因为CF ⊂平面COF ，所以//CF 平面ABE ．【小问2详解】因为AB ⊥平面,ADE OE ⊂平面ADE ，所以AB OE ⊥，又因为O 为AD 的中点，AE DE =，所以OE AD ⊥，所以,AB AD ⊂平面ABCD ，AB AD A ⋂=，所以OE ⊥平面ABCD ，所以,,OA OE OC 两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题意可知()()()111,0,0,0,1,0,,,0,0,0,122A E F C ⎛⎫-⎪⎝⎭．所以()31,,0,1,0,122AF AC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．显然()0,0,1OC =是平面AEF 的一个法向量．假设平面ACF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则00n AF n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即31022x y x z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，令1z =，得1,3x y ==，所以()1,3,1n = ．所以cos ,n OC n OC n OC⋅===⋅，由图可知二面角E AF C --为钝角，故所求二面角的余弦值为．17. 【答案】（1）()h x π32.32x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）π7π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）选条件①：函数()h x 不确定；选条件②，设两个相邻的交点分别为()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，结合题意可得21ππx x ω-==，即可求出ω；选条件③：设两函数图像最高点()()12,1,,1A x B x ，由题意可得*1212π2π,2x x x x k k ωωω-=-=+∈Z ，结合题意可求出ω；将ω代入，由二倍角的正弦和余弦公式化简()h x ；（2）由题意可得函数()h x 图像的对称轴有且仅有一条落在区间[]0,m 上，则ππ3π2232m ≤+<，解不等式即可得出答案.【小问1详解】选条件①：由两函数图象在[]0,2π内有且仅有两个交点，无法确定()(),f x g x 的周期，所以求不出ω，所以函数()h x 不确定．选条件②：（法一）因为sin x x ωω=，所以tan x ω=，所以ππ,3x k k ω=+∈Z ，即ππ,3k x k ωω=+∈Z ，假设两个相邻的交点分别为()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <．所以由题意可知21ππx x ω-==，故1ω=．（法二）因为sin x x ωω=，所以π2sin 03x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ,3x k k ω-=∈Z ，即ππ,3k x k ωω=+∈Z ，假设两个相邻的交点分别为()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <．所以由题意可知21ππx x ω-==，故1ω=．选条件③：由题意可知，两函数图像最高点()()12,1,,1A x B x 应该满足如下关系：111222π2π,Z 2π2π,Z 2x k k x k k ωω⎧=+∈⎪⎪⎨⎪=+∈⎪⎩，所以两函数图像最高点间的距离为*1212π2π,2x x x x k k ωωω-=-=+∈Z 又因为两函数图像最高点间的最小距离为π2，所以1ω=．由1ω=可知()21cos23cos cos 32x h x x x x x +=+=⨯π32.32x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【小问2详解】因为对于x ∀∈R ，存在唯一的[]0,a m ∈，使得()()h a x h a x -=+，所以函数()h x 图像的对称轴有且仅有一条落在区间[]0,m 上．因为[]0,x m ∈，所以πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()h x 图像的对称轴有且仅有一条落在区间[]0,m 上．所以ππ3π2232m ≤+<，即π7π1212m ≤<．故m 的取值范围为π7π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭．18. 【答案】（1）37； （2）分布列见解析，()87E X =； （3）3月3日.【分析】（1）根据古典概型求解即可；（2）X 的可能取值为0,1,2，分别求出每种情况的概率，再写出分布列并求期望即可；（3）根据频率分布直方图算出每个步数区间内的人数，再结合甲乙二人的排名，确定甲乙各自步数的范围，进而确定日期.【小问1详解】设“职工甲和职工乙微信计步数都不低于10000”为事件A从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以()37P A =．【小问2详解】由图可知，7天中乙的步数不低于10000步的天数共4天.X 的所有可能取值为0,1,2，()()()21123434222777C C C C 1420,1,2C 7C 7C 7P X X X =========，X 的分布列为X12P174727()1428012.7777E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】3月3日由直方图知，微信记步数落在][)[)[)[)20,25,15,20,10,15,5,10,0,5⎡⎣（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530,2000.25502000.360⨯=⨯=⨯=，，2000.240,2000.120⨯=⨯=.由甲的排名为第68，可知当天甲的微信步数在15000-20000之间，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000-10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日.所以只有3月3日符合要求．19. 【答案】(1)2214x y += (2) k =k =【详解】试题分析：（Ⅰ）由椭圆2222:1x y C a b +=过点()2,0A ，可得2a =，再由离心率为结合222a b c =+，可求得1b =，从而可得椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线PA 的方程为()2y k x =-，则()3,P k ，PA =2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()224180k x +++=，由韦达定理、弦长公式结合PA MN =，可得421656330k k -+=，解方程即可求得的值.试题解析：（Ⅰ）由题意得 2a=，c e a ==， 所以 c =．因为 222a b c =+， 所以 1b =，所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=．（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 PA MN =. 所以 直线PA 的方程为()2y k x =-，所以 ()3,P k，PA =．设()11,M x y ，()22,N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()224180k x +++=， 由0∆>，得 212k >．且12x x +=，122841x x k =+． 所以MN ==因为 PA MN =， 所以=．整理得 421656330kk -+=， 解得k =，或 k =经检验均符合0∆>，但k=时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =k =20. 【答案】（1）1y =- （2）()f x 有且仅有两个零点 （3）[)1,+∞【分析】（1）把0x =代入()f x 得切点坐标，0x =代入()f x '得切线斜率，利用导数的几何意义，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）利用导数求函数单调性，结合函数极值，求零点个数；（3）由函数的极小值，21sin cos 0x x x x +--≥恒成立，当1a ≥时，可得2sin cos 0ax x x x a --+≥恒成立；当1a <时，若0x =，2sin cos 0ax x x x a --+≥不成立，可得a 的取值范围．【小问1详解】函数()2sin cos f x x x x x =--，因为()01f =-，所以切点为()0,1-，由()2cos ,f x x x x x =-'∈R ，得()00f '=，即曲线在点()()0,0f 处的切线斜率为0，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =-．【小问2详解】由（1）可知()()2cos 2cos f x x x x x x '=-=-，因为[]cos 1,1x ∈-，所以2cos 0x ->，令()0f x '=，则0x =．当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；又因为()010f =-<，2ππππ02242f f ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，由零点存在定理可知，存在唯一的1π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭使得()10f x =，存在唯一的2π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()20f x =．故函数()f x 有且仅有两个零点．【小问3详解】由（2）可知，()()2sin cos 01f x x x x x f =--≥=-，即21sin cos 0x x x x +--≥恒成立，即21sin cos x x x x +≥恒成立．所以当1a ≥时，2sin cos 0ax x x x a --+≥恒成立，下证当1a <时，存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得2sin cos 0ax x x x a --+<．令()2πsin cos ,0,2g x ax x x x a x ⎡⎤=--+∈⎢⎥⎣⎦因为()010g a =-<，故当1a <时，对于任意2π0,,sin cos 02x ax x x x a ⎡⎤∈--+≥⎢⎥⎣⎦不恒成立．故[)1,a ∈+∞．21. 【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析 （3）答案见解析【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ，则有11()i s a ≤，因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈. 令23i j ==，，可得5()A b ∈. 所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=. 令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。

2020-2021北京第十三中高中必修五数学上期中一模试题及答案一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．33．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ）A ．10 kmB kmC ．D ．4．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92C ．143D ．55．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()2224S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．667．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-8．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．(C ．()D ．)9．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-110．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <11．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B ．33C ．5 D ．77二、填空题13．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.14．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos2C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．15．若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是____________ . 16．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．17．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．19．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________. 20．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 23．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值． 24．设等差数列{}n a 满足35a =，109a =- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值25．已知向量()1sin 2A =，m与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．4．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．5．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．6．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.7．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ．【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础8．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a⎧+>⎨+>⎩， 由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 9．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．11．A解析：A 【解析】 【分析】将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当()4,0y xx y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．12．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA 2=-，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，所以cosA 2=-：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=．又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=.即227a c =，所以c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题13．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的【解析】试题分析：cos2C =，21cos 2cos 129C C =-=，sin C =cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为2sin c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有110x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得x =122S =⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像，很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.15．【解析】试题分析：因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析：()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：因为不等式234y x m m +<-有解，所以2min ()34yx m m +<-，因为0,0x y >>，且141x y+=，所以1444()()22244444y y x y x yx x x y y x y x+=++=++≥⋅=，当且仅当44x y y x =，即2,8x y ==时，等号是成立的，所以min ()44yx +=，所以234m m ->，即(1)(4)0m m +->，解得1m <-或4m >.考点：不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题，在应用基本不等式求解最值时，呀注意“一正、二定、三相等”的判断，运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值，对于不等式的有解问题一般选用参数分离法，转化为函数的最值或借助数形结合法求解，属于中档试题.16．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =- 17．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式 解析：；33 【解析】 试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011333sin 603222S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=. 考点：余弦定理，三角形面积公式. 18．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB 的值即得B 角【详解】由2bcosB ＝acosC ＋ccosA 及正弦定理得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sin 解析：3π 【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角.【详解】由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝.∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝.又0<B <π，∴B ＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.19．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数 解析：93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和.【详解】正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，即24222218,90a q a a q a -=-=则有()()()22222118,1190a q a q q -=-+=代入有221=5,4q q +=又因为0q >，则212,6,3q a a =∴== ()553129312S ⨯-∴==-故答案为93【点睛】 本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.20．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B解析：）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得AB 的取值范.考点：正余弦定理；数形结合思想三、解答题21．（1）12n n a -=；（2）21122n n n -++- 【解析】【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可．【详解】（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①，当1n =时，1121a S =+，∴11a =，当2n ≥时，203m/s B B BF m g a m μ-==② ①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠， ∴12n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴11122n n n a --=⨯=．（2）由12n n n a b na =+得111222n n n b n n a -=+=+， 所以()12121111n n nT b b b n n a a a =+++=+++++L L ()()1111211211212n n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-++-． 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.22．(1) a n 12n =；(2) 1n n +． 【解析】【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=，计算112a =，得到答案. （2）计算得到n b n =-，()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2）①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=a n ，又由a 112=， 当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214=， 则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列，故a n 12n =； （2）由（1）的结论，a n 12n=，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()122311111111111223112231n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L ＝（112-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111n n n -=++． 【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.23．（12【解析】【分析】（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值．【详解】（1）因为A 、B 、C 成等差数列，则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒，因为：sin sin b a a B A=⇒=2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒，（负值舍）；ABC ∆∴的面积11sin 22S ac B ==； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ； 即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；1sin 2ABC S ac B ∆∴=≤；即S 【点睛】 本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.24．a n =11-2n,n=5时，S n 取得最大值【解析】试题分析：解：（1）由a n =a 1+（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,（2）由（1）知S n =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2．因为S n =-（n-5）2+25．所以n=5时，S n 取得最大值．考点：等差数列点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．25．（1）π3A =（2）△ABC 为等边三角形 【解析】分析：（1）由//m n u r r ，得3sin (sin )02A A A ⋅-=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得224b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以()3sin sin 02A A A ⋅-=.所以1cos23022A A --=1cos212A A -=，即 πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故ππ262A -=，π3A =. （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-又1sin 2ABC S bc A ∆==， 而222424b c bc bc bc bc +≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ∆==≤=. 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=， 解得13{1a d ==．所以()112n a a n d n =+-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++ ()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ()()1021211010122-+⨯=+- ()112255=-+112532101=+=．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．。

2021年北京第十三中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：D2. 已知则（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 设函数（，）的最小正周期为，且，则下列说法不正确的是（）A．的一个零点为B．的一条对称轴为C.在区间上单调递增D．是偶函数参考答案：C4. “成立”是“成立”的A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.必要不充分条件参考答案：D略5. 已知a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. 若α⊥β，a?α，a⊥β，则a∥αB. 若α⊥β，且α∩β＝a，b⊥a，则b⊥αC. 若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，则a∥b∥cD. 若α∩β＝a，b∥a，则b∥α参考答案：A【分析】在A中，由线面平行的判定定理得a∥α；在B中，b与α相交、平行或b?α；在C中，a、b、c相交、平行或异面；在D中，b∥α或b?α．【详解】解：a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间三个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，a?α，a⊥β，则由线面平行的判定定理得a∥α，故A正确；在B中，若α⊥β，且α∩β＝a，b⊥a，则b与α相交、平行或b?α，故B错误；在C中，若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，则a、b、c相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α∩β＝a，b∥a，则b∥α或b?α，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力．6. 已知集合，，则（）A． B． C．D．参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算.A1【答案解析】B解析：解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函数y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴C R B=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），则A∩（C R B）=[1，2）．故选B【思路点拨】求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可7. 如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．93+12B．97+12C．105+12 D．109+12参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个正方体，利用所给数据，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个正方体．∴该几何体的表面积=5×4×4+1×4+3×4+2××3+4×=105+12．故选：C．【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与长方体的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 在（+）12的展开式中，x项的系数为( )A．C B．C C．C D．C参考答案：A考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．解答：解：（+）12的展开式的通项公式为T r+1=，令6﹣r=1，求得 r=6，故x的系数为，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9. 设A（1，1）、B（7，4），点C满足=2，则点C的坐标是（）A．（3，2）B．（3，5）C．（5，3）D．（8，5）参考答案：C【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算性质即可得出．【解答】解：∵ =2，∴ =2，∴===（5，3），故选：C．10. 里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．参考答案：6 ，10000二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为,又表示集合的元素个数,,则的概率为参考答案：由知,函数和的图像有四个交点,所以的最小值, ,所以的取值是.又因为的取值可能是种,故概率是。

北京市第十三中学2021届高三上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设复数11z i=-，则复数z =（ ） A ．1i -B ．1122i -C ．1i +D ．1122i + 2．(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于 A ．80B ．40C ．20D ．103．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（ ） A ．A ，C 为对立事件 B ．A ，B 为对立事件C ．A ，C 为互斥事件，但不是对立事件D ．A ，B 为互斥事件，但不是对立事件 4．设函数()4f x x x=+，则()f x 的极大值点和极小值点分别为（ ） A ．－2，2B ．2，－2C ．5，－3D ．－5，35．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( ) A ．34B ．18C ．78D ．586．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120 km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A ．30辆B ．1700辆C ．170辆D ．300辆7．若02x π<<，则下列命题正确的是（ ）A ．2sin x x π<B ．2sin x x π>C ．3sin x x π<D ．3sin x x π>8．下图是两组各7名同学体重（单位： kg ）数据的茎叶图．设1， 2两组数据的平均数依次为1x 和 2x ，标准差依次为1s 和 2s ，那么（ ）（注：标准差(n s x x =++- x 为12,,,nx x x 的平均数）A ．12x x >， 12s s <B ．12x x >， 12s s <C ．12x x <， 12s s <D ．12x x <， 12s s <9．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ） A ．84B ．42C ．41D ．3510．已知函数()1xa f x e x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若同时满足条件：①()00,x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点；②()8,x ∀∈+∞，()0f x >.则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]4,8 B ．[)8,+∞ C ．()[),08,-∞+∞D ．()(],04,8-∞二、填空题11．若复数z 满足12i z i ⋅=+，则||z =_________.12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_________.13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ=________.14．学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为________.三、双空题15．二项式613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________. 16．已知函数()ln xf x x=. （1）函数的最大值等于________；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，则实数a 的最小值是________.四、解答题17．已知函数()32f x x ax x a =--+，其中a 为实数.（1）求导数()f x '；（2）若()10f '-=，求()f x 在[]2,3-上的最大值和最小值.18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）19．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在1836-岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（1）求a ，b ，c 的值．（2）若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．（3）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大．．．学生．．中随机抽取3人，记X 表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X 的分布列和数学期望EX ．20．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对所有1≥x 都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.21．甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.22．已知函数()2ln ,23,x x x af x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围.参考答案1．B 【分析】由除法法则计算出z 后可得其共轭复数． 【详解】111111(1)(1)222i i z i i i i ++====+--+，∴1122z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，根据除法法则直接计算化简即可． 2．B 【详解】()512x + 的展开式的通项515(2)r r r T C x -+= ，令52r解得3r =∴(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为325C 240=3．C 【解析】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于A C ⋃≠Ω，因此A 错；A B ⋃≠Ω，因此B 错；,A C A C ⋃≠Ω⋂=∅，因此C 对；{}3A B ⋂=，因此D 错； 考点：对立事件；互斥事件； 4．A 【分析】求出导函数，由导函数确定函数的单调性与极值． 【详解】易知函数定义域是{|0}x x ≠， 由题意224(2)(2)()1x x f x x x +-'=-=，当2x <-或2x >时，()0f x '>，当20x -<<或02x <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上递增，在(2,0)-和(0,2)上递减， ∴极大值点是－2，极小值点是2． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求出导函数，确定导函数的正负是解题关键． 5．D 【分析】由甲解决这个问题的概率是14，乙解决这个问题的概率是12，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案． 【详解】甲解决这个问题的概率是14， ∴甲解决不了这个问题的概率是13144-=， 乙解决这个问题的概率是12， ∴乙解决不了这个问题的概率是11122-= 则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为313428⨯=则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为35188-= 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键． 6．B 【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆. 【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 7．B 【分析】构造函数2()sin f x x x π=-，3()sin g x x x π=-，利用导数得出其单调性，得出02x π<<时，()0f x >恒成立，存在2(0,)2x π∈，使得2()0g x =，这样可得正确选项同．【详解】 设2()sin f x x x π=-，则2()cos f x x π'=-，201π<<，∴存在0(0,)2x π∈，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当0(,)2x x π∈时，()0f x '<，()f x 递减，又(0)0f =，()02f π=，∴02x π<<时，()0f x >，即2sin x x π>，B 正确，A 错误；设3()sin g x x x π=-，则3()cos g x x π'=-，301π<<，∴存在1(0,)2x π∈，使得1()0g x '=，当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 递增，当1(,)2x x π∈时，()0g x '<，()g x 递减，又(0)0g =，∴1()0g x >，1()022g π=-<，∴()g x 在1(,)2x π上存在零点2x ，即223sin x x π=，CD 均错．故选：B ． 【点睛】本题考查考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是构造函数，由函数研究不等式问题． 8．C 【解析】 试题分析：153565758617072617x ++++++==，254565860617273627x ++++++==，1 6.72s =≈，2 6.99s =所以12x x <，12s s <.考点：1.茎叶图；2.平均数与标准差 9．B 【分析】分选出0本论语、1本论语、2本论语、3本论语四种情况，分别求出选法，即可得出结果. 【详解】 由题意，若选出0本论语，则有3620C =种选法； 若选出1本论语，则有2615C =种选法；若选出2本论语，则有166C =种选法；若选出3本论语，则有1种选法；综上，不同的选法种数为20156142+++=. 故选B 【点睛】本题主要考查计数原理，熟记分类加法计算原理即可，属于常考题型. 10．A 【分析】条件①说明()'f x 在(0,)+∞上存在零点，极大值点，利用方程的根可得a 的范围，然后求出条件②不等式恒成立a 的范围，求交集可得a 的范围． 【详解】定义域是{|0}x x ≠，222()()1x x a a e x ax a f x e x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞存在极大值点，则20x ax a -+=有两个不等实根，240a a ∆=->，0a <或4a >，设20x ax a -+=的两个实根为1212,()x x x x <，1x x <或2x x >时，20x ax a -+>，12x x x <<时，20x ax A -+<，当0a <，1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩，则120x x <<，但2x x >时，()0f x '>，2x 不可能是极大值点；当4a >时，由1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩知1>0x ，20x >，10x x <<或2x x >时，()0f x '>，12x x x <<时，()0f x '<．即()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，1x 是极大值点，满足题意． 所以4a >．()10x a f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则10a x ->，∵8x >，∴a x <，∴8a ≤．综上48a <≤．故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．11 【分析】先求出复数z ，再求模. 【详解】由12i z i ⋅=+得122iz i i+==-，则z ==. 【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题. 12．9599【分析】在第1次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，利用概率计算公式可得结果. 【详解】在第1次抽到次品后，还有有4件次品，95件正品， 则第二次抽到正品的概率为9599P =，故答案为9599. 【点睛】本题主要考查条件概率，属于简单题.解答条件概率问题时，一定要注意条件概率与独立事件概率的区别与联系. 13．34【分析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解. 【详解】由题意知，结果中没有正面向上的概率为111=224⨯，此时0ξ=， 而1ξ=时对应概率为13144-=，31310444E ξ∴=⨯+⨯=．故答案为：34【点睛】本题主要考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．2 【分析】用列举法写出所有符合条件的排列 【详解】满足题意的排列,3142，2413，只有两个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查排列，直接写出排列是排列个数较少时的一种方法． 15．-540 64 【分析】求出二项展开式通项公式，令x 的指数为0，得常数项的项数，从而得常数项，根据二项式系数的性质可得二项式系数和． 【详解】展开式通项公式为66621661(3)(1)3rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，3r =，∴常数项为()3334613540T C =-⨯⨯=-，展开式中二项式系数和为6264=． 故答案为：－540；64． 【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式． 16．1e1 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由导函数确定单调性，极值，得最大值；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e -≤，而由（1）在[),e +∞上10()f x e<≤，因此只要当0a e <<时，min ()0f x ≥即可得，由此可得a 的取值范围，从而得a 的最小值．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，21ln ()xf x x-'=， 0x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，x e >时，()0f x '<，()f x 递减，∴x e =时，()f x 取得极大值也是最大值1()f e e=； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立， 等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e-≤， 由（1）当a e ≥时，max 1()f x e≤，且()0f x >，满足题意； 当0a e <<，()f x 在[,]a e 上递增，ln 1()a f x a e ≤≤，在[),e +∞递减，10()f x e<≤， 只要ln 0aa≥即可，∴1a e ≤<， 综上[1,)a ∈+∞，a 的最小值是1.． 故答案为：1e；1． 【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值0≥，由单调性易得结论．17．（1）()2321f x x ax =--'；（2）()max 32f x =；()min 3f x =-【分析】（1）利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.（2）利用()10f '-=，求得1a =-，再利用导数求出函数的单调区间，进而求出最值. 【详解】（1）由()32f x x ax x a =--+，则()2321f x x ax =--'（2）因为()10f '-=，则3210a +-=，解得1a =-， 所以()()()[]2321311,2,3f x x x x x x =+-=∈-'-+，当()0f x '<，解得113x -<<，减区间为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，当()0f x '>，解得123x <<或21x -<<-，增区间为()12,1,,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()10f -=，132327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23f -=-，()332f =，所以()()max 332f x f ==，()()min 23f x f =-=-， 综上所述，()max 32f x =，()min 3f x =- 【点睛】本题考查了导数的基本运算法则、利用导数求函数的最值，属于基础题. 18．（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p < 【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．（1）35a =，120b =，720c =．（2）1633．（3）见解析.【分析】(1)由频率分布列的性质及=频数频率总数,能求出a,b,c 的值. (2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率. (3)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0,1,2,3,由此能求出X 的分布列和数学期望EX. 【详解】（1）由已知得030305100a ++++=，解得35a =，5110020b ==，35710020c ==． （2）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则()1140602100C C 16C 33P A ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． （3）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0，1，2，3．则()430322270C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121322541C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()212322362C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3332283C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为：数学期望2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望. 20．（1）()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）(],1-∞. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间；（2）分离参数得1ln a x x≤+，利用导数求得()1ln g x x x =+在[1,)+∞上的最小值即可．【详解】解：（1）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，()1ln f x x '=+. 令()0f x '>解得1x e >；令()0f x '<解得10x e<<. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立， 即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立.令()1ln g x x x =+，即()min a g x ≤，()22111x g x x x x-'=-=， 当1x >时，因为()210x g x x-'=>，故()g x 是[)1,+∞上的增函数， 所以()()min 11g x g ==，则1a ≤. 所以a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题考查用导数求单调区间，研究不等式恒成立问题，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，转化为求函数的最值． 21．（1）分布列详见解析，15()2E X =；（2）103125【分析】（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论． 【详解】（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15-，0，15，30，()3531011512C P X C =-==；21553105)0(12C C C P X ⋅===； 12553105(5)121P C C X C ⋅===；353101() 3012P C C X === 乙得分的分布列如下：()1501530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯= （2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B ．则()322332381()()()551525C P A ==+，()51211122P B +==， 故甲乙两人至少有一人入选的概率441103111252125()A B P P =--⨯=⋅=． 【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键． 22．（1）1y x =-；（2）1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据题意，对函数求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先由题意，得到函数()f x 是定义在R 上的增函数；根据导数的方法以及二次函数的性质，由分段函数单调性，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，得0x >时，()()ln ln 1f x x x x ''==+， 所以()11f '=，又因为()10f =，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-； （2）因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <， 所以()f x 是定义在R 上的增函数；当x a ≤时，()223f x x x =-+-是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，为使其在(),a -∞上单调递增，只需1a ≤；当0x >时，()ln f x x x =， 则()ln 1f x x '=+，令()ln 10f x x '=+=，解得1=x e. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：即函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 为使其在(),a +∞上单调递增，只需1a e≥； 又因为()22123122x x x e-+-=---≤-<-，即x a ≤时，()f x 的最大值，必然小于x a >时，()f x 的最小值； 综上，满足题意的a 的取值范围为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查由分段函数单调性解不等式，利用导函数的方法求解即可，属于常考题型.。

北京市第十三中学2014～2015学年第一学期高三数学期中测试（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第2页至第4页；答题纸从第1页至第6页。

试卷满分150分，考试时间120分钟。

请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号，考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.若复数21iz i=-，则z 等于( ) A ．12B ．22C ．1D 22. 设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x ( ) A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数3．某一棱锥的三视图如右图，则其侧面积为( ) A ．813+．20 C ．122413 D ．8122+ 4．下列函数中，周期为1的奇函数是（ ） A .212sin y x π=- B. sin cos y x x ππ= C.tan2y x π= D. sin 23y x ππ=+（）5. 给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=, 其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是( )A.①②B.②③C.③④D.①④6．已知O 为坐标原点，点A ),(y x 与点B 关于x 轴对称，(0,1)j =r，则满足不等式20OA j AB +⋅≤u u u r r u u u r的点A 的集合用阴影表示为( )A. B. C. D.7. 已知点()()0,2,2,0A B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 18．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N ．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）第Ⅱ卷（共110分）二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为__________.10. 若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为______ .11.若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为___ .a 与b 的夹角是___ .12. 椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为 ，12F PF ∆的面积为 .13. 设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点()1,0之间的距离的最小值为___________.14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或 ()0g x <，则m 的取值范围是 .三.解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明和演算步骤） 15.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列.ABCD MN P A 1B 1C 1D 1（Ⅰ）求数列1S 、2S 、4S 的公比； （Ⅱ）若24S =，求数列{}n a 的通项公式. 16．（本小题满分14分） 已知函数2()cos(2)cos23f x x x π=--(x ∈R )． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若3(),1,22B f b =-=3,c = 且,a b >试求角B 和角C.17.（本小题满分14分）在长方形11ABB A 中，221==AA AB ，C ,1C 分别是AB ,11A B 的中点（如图一）．将此长方形沿1CC 对折，使平面11ACC A ⊥平面11CBB C （如图二），已知D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：//1BC 平面CD A 1； （Ⅱ）求证：平面⊥CD A 1平面11ABB A ； （Ⅲ）求三棱锥CD A C 11-的体积．1A 1C 1B图(一) 图(二)18.（本小题满分13分）函数2()1x af x x +=+()a R ∈ .（I ）若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为12，求实数a 的值； （II ）若()f x 在1x =处取得极值，求函数()f x 的单调区间. 19.（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点,M N .ACBA 1B 1C 1DBCA（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当AMN ∆的面积为3时，求k 的值. 20. （本小题满分13分）已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）满足11n n n a a b ++=， 1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1, 1)-. （Ⅰ）求经过点1P ，2P 的直线l 的方程； （Ⅱ）已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）在1P ，2P 两点确定的直线l 上， 求证：数列1{}na 是等差数列； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n *∈N ， 能使不等式12(1)(1)(1)n a a a +++L≥k 的值.北京市第十三中学2014～2015学年第一学期 高三数学（文）期中测试参考答案及评分标准15.（本小题共12分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵1S 、2S 、4S 成等比数列，∴2214S S S =⋅，即2111(2)(46)a d a a d +=+， ………4分∵0d ≠，∴12d a =，∴公比214S q S ==， ………………………8分 （2）∵24S =，12d a =，∴2111224S a a a =+=，∴11a =，2d =……11分 ∴1(1)21n a a n d n =+-=-. ………………………12分 16. （本小题共14分）解：（Ⅰ）∵()2π3πcos 2cos 22cos 22323f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…4分 ∴故函数()f x 的递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )……………..6分（Ⅱ）π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．………..7分∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．…………9分由正弦定理得：1πsin sin 6a A ==，∴sin 2C =， ………11分 ∵0πC <<，∴π3C =或2π3． ……………………….12分 当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =．（不合题意，舍）所以π6B =,π3C =. ………………14分17.（本小题共14分）（Ⅰ）连接1AC ，设E C A AC =11I ，连接DE 且11AC AA == ∴11ACC A 是正方形，E 是1AC 中点，又D 为AB 中点 ∴ED ∥1BC …………… 1分 又⊂ED 平面CD A 1，⊄1BC 平面CD A 1∴//1BC 平面CD A 1 ………………………… 4分 （Ⅱ）证明：因为AC=BC ，D 为AB 中点，所以CD ⊥AB …………… 5分 因为CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，且相交，所以CC 1⊥平面ABC. …………… 6分 因为1BB ∥1CC ，所以1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC, 所以 1BB ⊥CD ……8分 所以CD ⊥平面11AA B B ， …………… 9分 因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面11AA B B ……………… 10分 （Ⅲ）作DH AC ⊥于H , 由于 CC 1⊥平面ABC.∴CC 1⊥DH , 又DH AC ⊥,所以DH ⊥平面11ACC A .∴DH 即为D 到平面11ACC A 的距离. …………… 12分 又∵平面11ACC A ⊥平面11CBB C 且交线是1CC , BC ⊂平面11CBB C ,1BC CC ⊥∴BC ⊥平面11ACC A , ∴BC AC ⊥,而DH AC ⊥,且BC =1, ∴12DH =V=1113A C C S DH ∆⋅⋅=111132212⋅⋅= ……………14分18.（本小题共13分）解:(I)22222(1)2'()(1)(1)+--+-==++ x x x a x x af x x x , …………3分 若()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为12， 则 1'(1)2f =. …………………5分 所以，31'(1)42-==a f ，得 a =1. ………………6分(II) 因为()f x 在1x =处取得极值，所以'(1)0f =， ………………7分 即 120a +-=，3a =， ……………8分2223'()(1)+-∴=+x x f x x . ………………9分因为()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，所以有：…………………11分 所以，()f x 的单调递增区间是∞∞(-,-3),(1,+),单调递减区间是(-3,-1),(-1,1). …………………13分 19.（本小题共14分）解：（1）由题意得22222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=. ……………4分（2）由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.…………5分设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122412k x x k +=+，21222412k x x k-=+. ……………6分 所以. ……………8分 由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离d =，……………10分所以△AMN的面积为1||2S MN d =⋅=.=………12分解得1k =±.……………14分20.（本小题共13分） 解：（1）∵12211314b b a ==-，∴21213a a b ==. 所以211(, )33P . …………………1分 ∴过点1P ，2P 的直线l 的方程为21x y +=. …………………2分 （2）∵(, )n n n P a b 在直线l 上，所以21n n a b +=. 所以1112n n b a ++=-. ……3分由11n n n a a b ++=，得11(12)n n n a a a ++=-. 即112n n n n a a a a ++=-. ∴1112n n a a +-=. 所以1{}na 是公差为2的等差数列. …………………5分 （3）由（2）得1112(1)n n a a =+-. ∴112(1)21nn n a =+-=-. ∴121n a n =-. …………………7分∴231221n n n b a n -=-=-. …………………8分依题意12(1)(1)(1n k a a a +++L ≤恒成立.设12()(1)(1)(1n F n a a a =+++L ，∴只需求满足()k F n ≤的()F n 的最小值. …………………9分∵(1)()F n F n +==1(1n a ++=1>，∴()F n （x *∈N ）为增函数. ……………………11分∴min ()(1)3F n F ===.∴k所以max k =. ……………………13分。

2021届北京市第十三中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题 1．设复数11z i=-，则复数z =（ ） A ．1i - B ．1122i -C ．1i +D ．1122i + 【答案】B【解析】由除法法则计算出z 后可得其共轭复数． 【详解】111111(1)(1)222i i z i i i i ++====+--+，∴1122z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，根据除法法则直接计算化简即可． 2．(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于 A ．80 B ．40C ．20D ．10【答案】B 【解析】【详解】()512x + 的展开式的通项515(2)r r r T C x -+= ，令52r解得3r =∴(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为325C 240=3．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是={1，2，3，4，5，6}．设事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，则下列结论中正确的是（ ） A ．A ，C 为对立事件 B ．A ，B 为对立事件C ．A ，C 为互斥事件，但不是对立事件D ．A ，B 为互斥事件，但不是对立事件 【答案】C【解析】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于A C ⋃≠Ω，因此A 错；A B ⋃≠Ω，因此B 错；,A C A C ⋃≠Ω⋂=∅，因此C 对；{}3A B ⋂=，因此D 错；【考点】对立事件；互斥事件； 4．设函数()4f x x x=+，则()f x 的极大值点和极小值点分别为（ ） A ．－2，2 B ．2，－2C ．5，－3D ．－5，3【答案】A【解析】求出导函数，由导函数确定函数的单调性与极值． 【详解】易知函数定义域是{|0}x x ≠， 由题意224(2)(2)()1x x f x x x +-'=-=， 当2x <-或2x >时，()0f x '>，当20x -<<或02x <<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上递增，在(2,0)-和(0,2)上递减， ∴极大值点是－2，极小值点是2． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求出导函数，确定导函数的正负是解题关键． 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( ) A ．34 B ．18C ．78D ．58【答案】D【解析】由甲解决这个问题的概率是14，乙解决这个问题的概率是12，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案． 【详解】甲解决这个问题的概率是14， ∴甲解决不了这个问题的概率是13144-=， 乙解决这个问题的概率是12，∴乙解决不了这个问题的概率是11 122 -=则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为313 428⨯=则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为35 188 -=故选：D．【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键．6．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A．30辆B．1700辆C．170辆D．300辆【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 7．若02x π<<，则下列命题正确的是（ ）A ．2sin x x π<B ．2sin x x π>C ．3sin x x π<D ．3sin x x π>【答案】B【解析】构造函数2()sin f x x x π=-，3()sin g x x x π=-，利用导数得出其单调性，得出02x π<<时，()0f x >恒成立，存在2(0,)2x π∈，使得2()0g x =，这样可得正确选项同． 【详解】 设2()sin f x x x π=-，则2()cos f x x π'=-，201π<<，∴存在0(0,)2x π∈，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 递增，当0(,)2x x π∈时，()0f x '<，()f x 递减，又(0)0f =，()02f π=，∴02x π<<时，()0f x >，即2sin x x π>，B 正确，A 错误；设3()sin g x x x π=-，则3()cos g x x π'=-，301π<<，∴存在1(0,)2x π∈，使得1()0g x '=，当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 递增，当1(,)2x x π∈时，()0g x '<，()g x 递减，又(0)0g =，∴1()0g x >，1()022g π=-<，∴()g x 在1(,)2x π上存在零点2x ，即223sin x x π=，CD 均错．故选：B ． 【点睛】本题考查考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．解题关键是构造函数，由函数研究不等式问题．8．下图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >，12s s <B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s <【答案】C【解析】试题分析：153565758617072617x ++++++==，254565860617273627x ++++++==，()()()()()()()2222222115361566157615861616170617261 6.727s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-⎣⎦，()()()()()()()2222222215462566258626062616272627362 6.997s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-≈⎣⎦所以12x x <，12s s <.【考点】1.茎叶图；2.平均数与标准差9．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ） A ．84 B ．42 C ．41 D ．35【答案】B【解析】分选出0本论语、1本论语、2本论语、3本论语四种情况，分别求出选法，即可得出结果. 【详解】 由题意，若选出0本论语，则有3620C =种选法；若选出1本论语，则有2615C =种选法； 若选出2本论语，则有166C =种选法；若选出3本论语，则有1种选法；综上，不同的选法种数为20156142+++=. 故选B 【点睛】本题主要考查计数原理，熟记分类加法计算原理即可，属于常考题型. 10．已知函数()1xa f x e x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若同时满足条件：①()00,x ∃∈+∞，0x 为()f x 的一个极大值点；②()8,x ∀∈+∞，()0f x >.则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]4,8 B ．[)8,+∞ C ．()[),08,-∞+∞D ．()(],04,8-∞【答案】A【解析】条件①说明()'f x 在(0,)+∞上存在零点，极大值点，利用方程的根可得a 的范围，然后求出条件②不等式恒成立a 的范围，求交集可得a 的范围． 【详解】定义域是{|0}x x ≠，222()()1x x a a e x ax a f x e x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，()f x 在(0,)+∞存在极大值点，则20x ax a -+=有两个不等实根，240a a ∆=->，0a <或4a >，设20x ax a -+=的两个实根为1212,()x x x x <，1x x <或2x x >时，20x ax a -+>，12x x x <<时，20x ax A -+<，当0a <，1212x x ax x a+=⎧⎨=⎩，则120x x <<，但2x x >时，()0f x '>，2x 不可能是极大值点；当4a >时，由1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩知1>0x ，20x >，10x x <<或2x x >时，()0f x '>，12x x x <<时，()0f x '<．即()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，1x是极大值点，满足题意． 所以4a >．()10x a f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则10a x ->，∵8x >，∴a x <，∴8a ≤．综上48a <≤． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．二、填空题11．若复数z 满足12i z i ⋅=+，则||z =_________.【解析】先求出复数z ，再求模. 【详解】由12i z i ⋅=+得122iz i i+==-，则z ==. 【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_________. 【答案】9599【解析】在第1次抽到次品后，还有4件次品，95件正品，利用概率计算公式可得结果. 【详解】在第1次抽到次品后，还有有4件次品，95件正品， 则第二次抽到正品的概率为9599P =，故答案为9599. 【点睛】本题主要考查条件概率，属于简单题.解答条件概率问题时，一定要注意条件概率与独立事件概率的区别与联系.13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ=________.【答案】34【解析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解. 【详解】由题意知，结果中没有正面向上的概率为111=224⨯，此时0ξ=， 而1ξ=时对应概率为13144-=， 31310444E ξ∴=⨯+⨯=．故答案为：34【点睛】本题主要考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为________. 【答案】2【解析】用列举法写出所有符合条件的排列 【详解】满足题意的排列,3142，2413，只有两个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查排列，直接写出排列是排列个数较少时的一种方法．三、双空题15．二项式613x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________；二项式系数和为________. 【答案】-540 64【解析】求出二项展开式通项公式，令x 的指数为0，得常数项的项数，从而得常数项，根据二项式系数的性质可得二项式系数和． 【详解】展开式通项公式为66621661(3)(1)3rrrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=，3r =，∴常数项为()3334613540T C =-⨯⨯=-，展开式中二项式系数和为6264=． 故答案为：－540；64． 【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式． 16．已知函数()ln xf x x=. （1）函数的最大值等于________；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，则实数a 的最小值是________. 【答案】1e1 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由导函数确定单调性，极值，得最大值； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e -≤，而由（1）在[),e +∞上10()f x e<≤，因此只要当0a e <<时，min ()0f x ≥即可得，由此可得a 的取值范围，从而得a 的最小值．【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，21ln ()xf x x-'=， 0x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，x e >时，()0f x '<，()f x 递减，∴x e =时，()f x 取得极大值也是最大值1()f e e=； （2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立， 等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e-≤， 由（1）当a e ≥时，max 1()f x e≤，且()0f x >，满足题意； 当0a e <<，()f x 在[,]a e 上递增，ln 1()a f x a e ≤≤，在[),e +∞递减，10()f x e<≤，只要ln 0aa≥即可，∴1a e ≤<， 综上[1,)a ∈+∞，a 的最小值是1.． 故答案为：1e；1． 【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值0≥，由单调性易得结论．四、解答题17．已知函数()32f x x ax x a =--+，其中a 为实数.（1）求导数()f x '；（2）若()10f '-=，求()f x 在[]2,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）()2321f x x ax =--'；（2）()max 32f x =；()min 3f x =-【解析】（1）利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.（2）利用()10f '-=，求得1a =-，再利用导数求出函数的单调区间，进而求出最值. 【详解】（1）由()32f x x ax x a =--+，则()2321f x x ax =--'（2）因为()10f '-=，则3210a +-=，解得1a =-， 所以()()()[]2321311,2,3f x x x x x x =+-=∈-'-+，当()0f x '<，解得113x -<<，减区间为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，当()0f x '>，解得123x <<或21x -<<-，增区间为()12,1,,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()10f -=，132327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23f -=-，()332f =，所以()()max 332f x f ==，()()min 23f x f =-=-， 综上所述，()max 32f x =，()min 3f x =- 【点睛】本题考查了导数的基本运算法则、利用导数求函数的最值，属于基础题.18．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为13，该校女生支持方案一的概率为34； （Ⅱ）1336,（Ⅲ）01p p < 【解析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果； （Ⅲ）先求0p ，再根据频率估计概率1p ，即得大小. 【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=； （Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313()(1)()(1)3433436C -+-=; （Ⅲ）01p p < 【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19．2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在1836-岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（1）求a ，b ，c 的值．（2）若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率．（3）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大．．．学生．．中随机抽取3人，记X 表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X 的分布列和数学期望EX ． 【答案】（1）35a =，120b =，720c =．（2）1633．（3）见解析.【解析】(1)由频率分布列的性质及=频数频率总数,能求出a,b,c 的值. (2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率. (3)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0,1,2,3,由此能求出X 的分布列和数学期望EX. 【详解】（1）由已知得030305100a ++++=，解得35a =，5110020b ==，35710020c ==． （2）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则()1140602100C C 16C 33P A ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． （3）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =．X 的所有可能取值0，1，2，3．则()430322270C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()121322541C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212322362C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()30332283C 155125P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以X 的分布列为：数学期望2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望. 20．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对所有1≥x 都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（2）(],1-∞. 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，()0f x '<确定减区间；（2）分离参数得1ln a x x≤+，利用导数求得()1ln g x x x =+在[1,)+∞上的最小值即可． 【详解】解：（1）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，()1ln f x x '=+. 令()0f x '>解得1x e >；令()0f x '<解得10x e<<. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）依题意，得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立， 即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立. 令()1ln g x x x =+，即()min a g x ≤，()22111x g x x x x-'=-=， 当1x >时，因为()210x g x x -'=>，故()g x 是[)1,+∞上的增函数， 所以()()min 11g x g ==，则1a ≤. 所以a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题考查用导数求单调区间，研究不等式恒成立问题，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，转化为求函数的最值．21．甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选. （1）求乙得分的分布列和数学期望； （2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率. 【答案】（1）分布列详见解析，15()2E X =；（2）103125【解析】（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论． 【详解】（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15-，0，15，30，()3531011512C P X C =-==；21553105)0(12C C C P X ⋅===； 12553105(5)121P C C X C ⋅===；353101() 3012P C C X === 乙得分的分布列如下：()1501530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯= （2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B ．则()322332381()()()551525C P A ==+， ()51211122P B +==，故甲乙两人至少有一人入选的概率441103111252125()A B P P =--⨯=⋅=． 【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．22．已知函数()2ln ,23,x x x af x x x x a >⎧=⎨-+-≤⎩，其中0a ≥.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）1y x =-；（2）1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）根据题意，对函数求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程； （2）先由题意，得到函数()f x 是定义在R 上的增函数；根据导数的方法以及二次函数的性质，由分段函数单调性，分别求解，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，得0x >时，()()ln ln 1f x x x x ''==+， 所以()11f '=，又因为()10f =，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-； （2）因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有()()12f x f x <， 所以()f x 是定义在R 上的增函数；当x a ≤时，()223f x x x =-+-是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，为使其在(),a -∞上单调递增，只需1a ≤；当0x >时，()ln f x x x =， 则()ln 1f x x '=+，令()ln 10f x x '=+=，解得1=x e. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：即函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 为使其在(),a +∞上单调递增，只需1a e≥； 又因为()22123122x x x e-+-=---≤-<-，即x a ≤时，()f x 的最大值，必然小于x a >时，()f x 的最小值； 综上，满足题意的a 的取值范围为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查由分段函数单调性解不等式，利用导函数的方法求解即可，属于常考题型.。