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［练典型习题·提数学素养］ 一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝⎛⎭⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ． 5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次符号为“”，其表示的十进制数是()A．33 B．34C．36 D．35解析：选B．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3； 故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2； 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.若4>n 不成立，执行循环体，S ＝1516，k ＝4＋1＝5.若5>n 不成立，执行循环体，S ＝3132，k ＝5＋1＝6.若6>n 不成立，执行循环体，S ＝6364，k ＝6＋1＝7.…由输出的S ∈(1516，6364)，可得当S ＝3132，k ＝6时，应该满足条件6>n ，所以5≤n <6，故输入的正整数n 的值为5.答案：515．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等． 答案：316．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为________．解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P -ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323＝3π2.答案：3π2。
(这是边文，请据需要手工删加)专题一数学学科核心素养与考试说明数学学科核心素养一、数学学科核心素养学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力．数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的．数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体．1．数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征．数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系．通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题．2．逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质．逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力．3．数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神．4．直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物．通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质．5．数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．6．数据分析数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网＋”相关领域的主要数学方法，数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面．数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识．通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验．二、学业质量水平数学学业质量水平是六个数学学科核心素养水平的综合表现．每一个数学学科核心素养划分为三个水平(详述参见附录)，每一个水平是通过数学学科核心素养的具体表现和体现数学学科核心素养的几个方面进行表述的．体现学科核心素养的四个方面如下：情境与问题情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境．问题是指在情境中提出的数学问题；知识与技能主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能；思维与表达主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述的严谨性和准确性；交流与反思主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓展．附录数学学科核心素养的水平划分三、学业质量水平与考试评价的关系数学学业质量水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据；数学学业质量水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；数学学业质量水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考．数学学科考试说明数学学科《考试说明》包括Ⅰ. 考试形式与要求； Ⅱ.考试目标与要求；Ⅲ.考试范围与要求；Ⅳ.题型示例四个部分. 其中考试范围与要求本部分包括必考内容和选考内容两部分．必考内容为《课程标准》的必修内容和选修系列2的内容；选考内容为《课程标准》的选修系列4的“坐标系与参数方程”“不等式选讲”2个专题．考试范围与要求一、必考内容和要求(一)集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．(二)函数概念与基本初等函数Ⅰ1．函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．(5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象．(4)体会指数函数是一类重要的函数模型．3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象． (3)体会对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)互为反函数．4．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况． 5．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次根的存在性与根的个数．6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(三)立体几何初步1．空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．(3)会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．2．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： 公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．理解以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．(四)平面解析几何初步1．直线与方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(4)掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(5)能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．2．圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．3．空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．(2)会简单应用空间两点间的距离公式．(五)算法初步1．算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义，了解算法的思想．(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．2．基本算法语句了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．(六)统计1．随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性．(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．2．用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．3．变量的相关性(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)．(七)概率1．事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．2．古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．3．随机数与几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．(2)了解几何概型的意义．(八)基本初等函数Ⅱ(三角函数)1．任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念．(2)能进行弧度与角度的互化．2．三角函数(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±a 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．(3)理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性． (4)理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x. (5)了解函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ，对函数图象变化的影响．(6)会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(九)平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景．(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．(3)理解向量的几何表示．2．向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义．3．平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义．(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．(十)三角恒等变换1．两角和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．(十一)解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(十二)数列1．数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．2．等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念．(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题．(4)了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系．(十三)不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(十四)常用逻辑用语1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．4．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．5．理解全称量词和存在量词的意义．6．能正确地对含一个量词的命题进行否定．(十五)圆锥曲线1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．4．了解曲线与方程的对应关系．5．理解数形结合的思想．6．了解圆锥曲线的简单应用．(十六)空间向量与立体几何1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．4．理解直线的方向向量及平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．7．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．(十七)导数及其应用1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．常见的基本初等函数的导数公式：(C)′＝0(C 为常数)；(x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)；(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)； (ln x )′＝1x ；(log a x )＝1xlog a e(a >0，且a ≠1)． 常用的导数运算法则：法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )．法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)． 5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．9．了解微积分基本定理的含义．(十八)推理与证明1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．3．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点．4．了解反证法的思考过程和特点．5．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(十九)数系的扩充和复数的引人1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．3．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义． (二十)计数原理1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．2．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．3．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．4．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(二十一)概率与统计1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．2．了解超几何分布，并能进行简单应用．3．了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题．。
第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化数学素养解读最新《普通高中数学课程标准》(2018年1月第1版)中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性.2017～2018年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新.因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助.热点一数列与算法中的数学文化中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.【例1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，3≈1.732).解析 (1)设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.(2)n ＝6，S ＝12×6sin 60°＝332≈2.598<3.1，执行循环.n ＝12，S ＝12×12sin 30°＝3<3.1，执行循环. n ＝24，S ＝12×24sin 15°＝3.105 6>3.1，满足条件.∴输出n 的值为24. 答案 (1)B (2)24探究提高 1.第(1)题从古代数学名著《算法统宗》引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.2.第(2)小题以刘徽的割圆术为背景，创设问题情境，将优秀传统文化嵌入到程序框图.事实上，更相减损术、秦九韶算法和割圆术都出现在《数学·必修3》(A 版)“算法案例”中，源于教材.3.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出其本身价值.【训练1】 (1)(2018·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.(2)(2018·成都诊断)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为9，则输出v 的值为( )A.9100B.9100－1C.10100D.10100－1解析 (1)每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d . 则一月织布S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629，故从第2天起每天比前一天多织1629尺布.(2)由程序框图，输出的v 满足v ＝x 100＋C 1100x 99＋C 2100x 98＋…＋C 99100x ＋C 100100＝(x ＋1)100. 当x ＝9时，v ＝(9＋1)100＝10100. 答案 (1)1629(2)C热点二 立体几何与概率中的数学文化【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14B.π8C.12D.π4(2)(2018·湖南六校联考)刍甍(chúhōnɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )A.8 6B.16C.8 5D.14解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4. 又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π. 所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面积S ＝2×（2＋4）×52＋2×12×2×5＝8 5.即需要的茅草面积至少为8 5. 答案 (1)B (2)C探究提高 1.本例第(1)题中全国Ⅰ卷(第2题)以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算，很好体现数学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.2.第(2)题以《九章算术》的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.【训练2】 (1)(2018·郑州二模)欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A.2πB.1πC.12πD.14π(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π解析 (1)易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π.(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V 正方体＝23＝8，V 半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V ＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V ′＝V ＝8－π. 答案 (1)D (2)C热点三 数学抽象与逻辑推理核心素养数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程.数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理.【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3x－13x ＋1＋x ＋sin x ，若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)解析 (1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩. (2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cosx >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上递增. 若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k ⟹f (x 2＋x )<f (k －x⟹x 2＋x <k －x ，故问题转化为x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ， 即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1. 故实数k 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (1)D (2)A探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.第(2)题求解的关键在于：(1)利用定义判断f (x )的奇偶性及x ∈[－2，1]时，函数f (x )单调性，(2)理解存在量词的含义，将命题转化为x ∈[－2，1]时，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min .题目突出数学逻辑推理与转化化归数学思想方法的考查.【训练3】 (2018·烟台模拟)对于函数y ＝e xf (x )(其中e 是自然对数的底数)，若存在实数T 使得e x f (x )≥T 在(0，＋∞)上恒成立，则称函数f (x )具有性质“”.给出下列函数：①f (x )＝2e －2x ＋1；②f (x )＝x 2－2x ；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝1x.其中具有性质“”的所有函数的序号为________. 解析 对于①f (x )＝2e－2x＋1，e xf (x )＝2e －x＋e x≥22，取T ≤22时，f (x )具有性质“”.对于②，令φ(x )＝e x f (x )，则φ′(x )＝e x (x 2－2)，x ∈(0，＋∞).令φ′(x )＝0，解得x ＝2，易知φ(x )在x ＝2时有极小值e 2(2－22).因此函数f (x )具有性质“”.对于③，易知φ(x )＝e xsin x ―→∞，则③不具有性质“”. 对于④，φ(x )＝e xf (x )＝e xx ，φ′(x )＝e x（x －1）x2， x ∈(0，＋∞)，易知φ(x )在x ＝1时取到最小值φ(1)＝e ，取T ≤e，f (x )具有性质“”. 综上可知①②④中的函数具有性质“”. 答案 ①②④热点四 直观想象与数学运算核心素养【例4】 (1)从点P (－1，3)向直线kx －y ＋k －1＝0作垂线，垂足为N ，则N 的轨迹方程为________________.解析 易知直线kx －y ＋k －1＝0恒过定点Q (－1，－1). 如图所示，PN ⊥QN .所以点N 在以PQ 为直径的圆上. 因此圆心坐标为(－1，1)，半径r ＝2.所以点N 的轨迹方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝4(x ≠－1). 答案 (x ＋1)2＋(y －1)2＝4(x ≠－1)(2)(2018·惠州调研)在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7. ①求BC 边的长； ②求△ABC 的面积.解 ①设BD ＝x ，则BC ＝2x ，如图所示. 在△ABD 中，有cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝9＋x 2－72×3x，在△ABC 中，有cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋4x 2－132×3×2x，且∠ABD ＝∠ABC ，即9＋x 2－72×3x ＝9＋4x 2－132×3×2x ，得x ＝2，即BC ＝4.②由①可知，cos B ＝12，B ∈(0，π)，得sin B ＝32，∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×3×4×32＝3 3.探究提高 1.第(1)题中，若设点N (x ，y )，联立直线方程，消去k 求得点N 的轨迹，使得求解复杂化；注意到直线恒过定点Q (－1，－1)，作出图形，利用几何直观，则可直接写出轨迹方程.2.第(2)题主要考查推理与数学运算等核心素养.由余弦定理，转化成同一个角的三角函数，构建方程，利用代数运算求解.【训练4】 (1)(2018·华师附中联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝x ＋3y的最小值为2，则常数k ＝________.(2)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析 (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z3，结合几何直观知，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，z 最小.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＋k ＝0，得A (2，－2－k )，∴z min ＝2＋3(－2－k )＝2，解之得k ＝－2. (2)依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7. 答案 (1)－2 (2)－7热点五 数学建模与数据分析核心素养数学建模——对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数据分析——针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程.数学建模与数据分析体现了数学的应用性. 【例5】 (2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A 的概率估计值为0.62. (2)列联表如下：K 2＝200×（62×66－38×34）100×100×104×96≈15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.探究提高 1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第(2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第(3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析数学核心素养.【训练5】 (2018·昆明质检)中央政治局会议，通过了《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想.为响应国家号召，某市2017年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225～235 cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值和方差(方差四舍五入保留整数)；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185～205 cm为合格，在205～235 cm为良好，在235～265 cm为优秀.视该样本的频率分布为总体的概率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列与数学期望；(3)经验表明树苗树高X～N(μ，σ2)，用样本的平均值作为μ的估计值，用样本的方差作为σ2的估计值，试求该批树苗小于等于255.4 cm的概率.(提供数据：271≈16.45，305≈17.45，340≈18.45)附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0. 954 4，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.解(1)树高在225～235 cm之间的棵数为：100×[1－(0.005×3＋0.015＋0.020＋0.025＋0.01)×10]＝15.树高的平均值为：0.05×190＋0.15×200＋0.2×210＋0.25×220＋0.15×230＋0.1×240＋0.05×250＋0.05×260＝220.5.方差为：0.05×(190－220.5)2＋0.15×(200－220.5)2＋0.2×(210－220.5)2＋0.25×(220－220.5)2＋0.15×(230－220.5)2＋0.1×(240－220.5)2＋0.05×(250－220.5)2＋0.05×(260－220.5)2＝304.75≈305.(2)由(1)可知，树高为优秀的概率为：0.1＋0.05＋0.05＝0.2，由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C030.83＝0.512，P(ξ＝1)＝C130.82×0.2＝0.384，P(ξ＝2)＝C230.8×0.22＝0.096，P(ξ＝3)＝C330.23＝0.008.故ξ的分布列为：所以E (ξ)＝3×0.2＝0.6. (3)由(1)的结果，结合参考数据，可知μ＝220.5，σ＝17.45，所以P (X ≤255.4)＝P (X ≤μ＋2σ)＝1－1－0.954 42＝0.977 2. 故该批树苗小于等于255.4 cm 的概率是0.977 2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2019年高考文科数学二轮复习数学核心素养与数学文化数学素养解读最新《普通高中数学课程标准》(2018年1月第1版)中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性.2017～2018年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新.因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助.热点一数列与算法中的数学文化中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.【例1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，3≈1.732).解析 (1)设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3. (2)n ＝6，S ＝12×6sin 60°＝332≈2.598<3.1，执行循环.n ＝12，S ＝12×12sin 30°＝3<3.1，执行循环.n ＝24，S ＝12×24sin 15°＝3.105 6>3.1，满足条件.∴输出n 的值为24.答案 (1)B (2)24探究提高 1.第(1)题从古代数学名著《算法统宗》引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.2.第(2)小题以刘徽的割圆术为背景，创设问题情境，将优秀传统文化嵌入到程序框图.事实上，更相减损术、秦九韶算法和割圆术都出现在《数学·必修3》(A 版)“算法案例”中，源于教材.3.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出其本身价值.【训练1】 (1)(2018·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.(2)(2018·烟台二模)《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为( )A.218B.4516C.9332D.18964解析 (1)每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d .则一月织布S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629，故从第2天起每天比前一天多织1629尺布. (2)循环一次，m ＝2(2a －3)－3＝4a －9，i ＝2；循环二次，m ＝2(4a －9)－3＝8a －21，i ＝3；循环三次，m ＝2(8a －21)－3＝16a －45，i ＝4；循环四次，m ＝2(16a －45)－3＝32a －93.此时i ＝4不满足i ≤3，输出m .依题意32a －93＝0，a ＝9332.答案 (1)1629 (2)C热点二 立体几何与概率中的数学文化【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2)(2018·湖南六校联考)刍甍(chúhōnɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )A.8 6B.16C.8 5D.14解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4.又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π.所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面积S ＝2×（2＋4）×52＋2×12×2×5＝8 5.即需要的茅草面积至少为8 5.答案 (1)B (2)C探究提高 1.本例第(1)题中全国Ⅰ卷(第2题)以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算，很好体现数学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.2.第(2)题以《九章算术》的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.【训练2】 (1)(2018·郑州二模)欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A.2πB.1πC.12πD.14π(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π解析 (1)易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P＝S0S＝14π.(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V正方体＝23＝8，V半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.答案(1)D(2)C热点三数学抽象与逻辑推理核心素养数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程.数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理.【例3】(1)(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国大联考)已知函数f(x)＝3x－13x＋1＋x＋sin x，若∃x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，则实数k的取值范围是()A.(－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－1)解析(1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.(2)由题意知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上递增.若∃x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k )⇒f (x 2＋x )<f (k －x )⇒x 2＋x <k －x ，故问题转化为∃x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1.故实数k 的取值范围是(－1，＋∞).答案 (1)D (2)A探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.第(2)题求解的关键在于：(1)利用定义判断f (x )的奇偶性及x ∈[－2，1]时，函数f (x )单调性，(2)理解存在量词的含义，将命题转化为∃x ∈[－2，1]时，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min .题目突出数学逻辑推理与转化化归数学思想方法的考查.【训练3】 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4 095个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为______.解析 依题意，正方形的边长构成以22为首项，公比为22的等比数列.因为共有4 095个正方形，则1＋2＋22＋…＋2n －1＝4 095，解得n ＝12. 所以最小正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2212－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2212＝164. 答案 164热点四 直观想象与数学运算核心素养【例4】 (1)从点P (－1，3)向直线kx －y ＋k －1＝0作垂线，垂足为N ，则N 的轨迹方程为________________.解析 易知直线kx －y ＋k －1＝0恒过定点Q (－1，－1).如图所示，PN ⊥QN .所以点N 在以PQ 为直径的圆上.因此圆心坐标为(－1，1)，半径r ＝2.所以点N 的轨迹方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝4(x ≠－1).答案 (x ＋1)2＋(y －1)2＝4(x ≠－1)(2)(2018·惠州调研)在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7. ①求BC 边的长；②求△ABC 的面积.解 ①设BD ＝x ，则BC ＝2x ，如图所示.在△ABD 中，有cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝9＋x 2－72×3x， 在△ABC 中，有cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋4x 2－132×3×2x， 且∠ABD ＝∠ABC ，即9＋x 2－72×3x ＝9＋4x 2－132×3×2x，得x ＝2， 即BC ＝4.②由①可知，cos B ＝12，B ∈(0，π)，得sin B ＝32，∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×3×4×32＝3 3.探究提高 1.第(1)题中，若设点N (x ，y )，联立直线方程，消去k 求得点N 的轨迹，使得求解复杂化；注意到直线恒过定点Q (－1，－1)，作出图形，利用几何直观，则可直接写出轨迹方程.2.第(2)题主要考查推理与数学运算等核心素养.由余弦定理，转化成同一个角的三角函数，构建方程，利用代数运算求解.【训练4】 (1)已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ≥2，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则x ＋3y 的最大值为________. (2)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝______.解析 (1)作不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.则当目标函数z ＝x ＋3y 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，12时取到最大值，∴z max ＝52＋3×12＝4. (2)依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7. 答案 (1)4 (2)－7热点五 数学建模与数据分析核心素养数学建模——对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数据分析——针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程.数学建模与数据分析体现了数学的应用性.【例5】(2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解(1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A的概率估计值为0.62.(2)列联表如下：。
第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化数学素养解读最新《普通高中数学课程标准》(2018年1月第1版)中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性.2017～2018年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新.因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助.热点一数列与算法中的数学文化中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.【例1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，3≈1.732).解析 (1)设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3. (2)n ＝6，S ＝12×6sin 60°＝332≈2.598<3.1，执行循环.n ＝12，S ＝12×12sin 30°＝3<3.1，执行循环.n ＝24，S ＝12×24sin 15°＝3.105 6>3.1，满足条件.∴输出n 的值为24.答案 (1)B (2)24探究提高 1.第(1)题从古代数学名著《算法统宗》引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.2.第(2)小题以刘徽的割圆术为背景，创设问题情境，将优秀传统文化嵌入到程序框图.事实上，更相减损术、秦九韶算法和割圆术都出现在《数学·必修3》(A 版)“算法案例”中，源于教材.3.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出其本身价值.【训练1】 (1)(2018·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.(2)(2018·成都诊断)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为9，则输出v 的值为( )A.9100B.9100－1C.10100D.10100－1解析 (1)每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d .则一月织布S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629，故从第2天起每天比前一天多织1629尺布.(2)由程序框图，输出的v 满足v ＝x 100＋C 1100x 99＋C 2100x 98＋…＋C 99100x ＋C 100100＝(x ＋1)100. 当x ＝9时，v ＝(9＋1)100＝10100.答案 (1)1629 (2)C热点二 立体几何与概率中的数学文化【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2)(2018·湖南六校联考)刍甍(chúhōn ɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )A.8 6B.16C.8 5D.14解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4.又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π.所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面积S ＝2×（2＋4）×52＋2×12×2×5＝8 5. 即需要的茅草面积至少为8 5.答案 (1)B (2)C探究提高 1.本例第(1)题中全国Ⅰ卷(第2题)以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算，很好体现数学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.2.第(2)题以《九章算术》的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.【训练2】 (1)(2018·郑州二模)欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( ) A.2π B.1π C.12π D.14π(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π解析 (1)易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π.(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V 正方体＝23＝8，V 半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V ＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V ′＝V ＝8－π.答案 (1)D (2)C热点三 数学抽象与逻辑推理核心素养数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程.数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理.【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( )A.(－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－1) 解析 (1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上递增. 若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k⟹f (x 2＋x )<f (k －x ⟹x 2＋x <k －x ，故问题转化为x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1.故实数k 的取值范围是(－1，＋∞).答案 (1)D (2)A探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.第(2)题求解的关键在于：(1)利用定义判断f(x)的奇偶性及x∈[－2，1]时，函数f(x)单调性，(2)理解存在量词的含义，将命题转化为x∈[－2，1]时，k>x2＋2x，即k>(x2＋2x)min.题目突出数学逻辑推理与转化化归数学思想方法的考查. 【训练3】(2018·烟台模拟)对于函数y＝e x f(x)(其中e是自然对数的底数)，若存在实数T使得e x f(x)≥T在(0，＋∞)上恒成立，则称函数f(x)具有性质“”.给出下列函数：①f(x)＝2e－2x＋1；②f(x)＝x2－2x；③f(x)＝sin x；④f(x)＝1 x.其中具有性质“”的所有函数的序号为________.解析对于①f(x)＝2e－2x＋1，e x f(x)＝2e－x＋e x≥22，取T≤22时，f(x)具有性质“”.对于②，令φ(x)＝e x f(x)，则φ′(x)＝e x(x2－2)，x∈(0，＋∞).令φ′(x)＝0，解得x＝2，易知φ(x)在x＝2时有极小值e2(2－22).因此函数f(x)具有性质“”.对于③，易知φ(x)＝e x sin x―→∞，则③不具有性质“”.对于④，φ(x)＝e x f(x)＝e xx，φ′(x)＝e x（x－1）x2，x∈(0，＋∞)，易知φ(x)在x＝1时取到最小值φ(1)＝e，取T≤e，f(x)具有性质“”.综上可知①②④中的函数具有性质“”.答案①②④热点四直观想象与数学运算核心素养【例4】(1)从点P(－1，3)向直线kx－y＋k－1＝0作垂线，垂足为N，则N的轨迹方程为________________.解析易知直线kx－y＋k－1＝0恒过定点Q(－1，－1).如图所示，PN⊥QN.所以点N在以PQ为直径的圆上.因此圆心坐标为(－1，1)，半径r＝2.所以点N的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4(x≠－1).答案(x＋1)2＋(y－1)2＝4(x≠－1)(2)(2018·惠州调研)在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7. ①求BC 边的长；②求△ABC 的面积.解 ①设BD ＝x ，则BC ＝2x ，如图所示.在△ABD 中，有cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝9＋x 2－72×3x ，在△ABC 中，有cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋4x 2－132×3×2x ，且∠ABD ＝∠ABC ，即9＋x 2－72×3x ＝9＋4x 2－132×3×2x ，得x ＝2，即BC ＝4.②由①可知，cos B ＝12，B ∈(0，π)，得sin B ＝32，∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×3×4×32＝3 3.探究提高 1.第(1)题中，若设点N (x ，y )，联立直线方程，消去k 求得点N 的轨迹，使得求解复杂化；注意到直线恒过定点Q (－1，－1)，作出图形，利用几何直观，则可直接写出轨迹方程.2.第(2)题主要考查推理与数学运算等核心素养.由余弦定理，转化成同一个角的三角函数，构建方程，利用代数运算求解.【训练4】 (1)(2018·华师附中联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z＝x ＋3y 的最小值为2，则常数k ＝________.(2)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析 (1)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z 3，结合几何直观知，当直线y ＝－13x ＋z 3过点A 时，z 最小.联立方程，得⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y ＋k ＝0，得A (2，－2－k )， ∴z min ＝2＋3(－2－k )＝2，解之得k ＝－2.(2)依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7. 答案 (1)－2 (2)－7热点五 数学建模与数据分析核心素养数学建模——对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数据分析——针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程.数学建模与数据分析体现了数学的应用性.【例5】 (2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A 的概率估计值为0.62. (2)列联表如下：K 2＝200×（62×66－38×34）100×100×104×96≈15.705>6.635， 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.探究提高 1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第(2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第(3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析数学核心素养.【训练5】(2018·昆明质检)中央政治局会议，通过了《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想.为响应国家号召，某市2017年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225～235 cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值和方差(方差四舍五入保留整数)；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185～205 cm为合格，在205～235 cm为良好，在235～265 cm为优秀.视该样本的频率分布为总体的概率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列与数学期望；(3)经验表明树苗树高X～N(μ，σ2)，用样本的平均值作为μ的估计值，用样本的方差作为σ2的估计值，试求该批树苗小于等于255.4 cm的概率.(提供数据：271≈16.45，305≈17.45，340≈18.45)附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0. 954 4，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.解(1)树高在225～235 cm之间的棵数为：100×[1－(0.005×3＋0.015＋0.020＋0.025＋0.01)×10]＝15.树高的平均值为：0.05×190＋0.15×200＋0.2×210＋0.25×220＋0.15×230＋0.1×240＋0.05×250＋0.05×260＝220.5.方差为：0.05×(190－220.5)2＋0.15×(200－220.5)2＋0.2×(210－220.5)2＋0.25×(220－220.5)2＋0.15×(230－220.5)2＋0.1×(240－220.5)2＋0.05×(250－220.5)2＋0.05×(260－220.5)2＝304.75≈305.(2)由(1)可知，树高为优秀的概率为：0.1＋0.05＋0.05＝0.2，由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C030.83＝0.512，P(ξ＝1)＝C130.82×0.2＝0.384，P(ξ＝2)＝C230.8×0.22＝0.096，P(ξ＝3)＝C330.23＝0.008.故ξ的分布列为：所以E(ξ)＝3×0.2＝0.6.(3)由(1)的结果，结合参考数据，可知μ＝220.5，σ＝17.45，所以P(X≤255.4)＝P(X≤μ＋2σ)＝1－1－0.954 42＝0.977 2.故该批树苗小于等于255.4 cm的概率是0.977 2.。
第1讲高考的热门话题——数学核心素养与数学文化数学素养解读最新《普通高中数学课程标准》(2018年1月第1版)中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性.2017～2018年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观.随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模式的改革创新.因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助.热点一数列与算法中的数学文化中华民族优秀传统文化博大精深和源远流长，数学高考命题注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，立德树人，激励学生民族自豪感和创新精神.【例1】(1)(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，3≈1.732).解析 (1)设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3. (2)n ＝6，S ＝12×6sin 60°＝332≈2.598<3.1，执行循环.n ＝12，S ＝12×12sin 30°＝3<3.1，执行循环.n ＝24，S ＝12×24sin 15°＝3.105 6>3.1，满足条件.∴输出n 的值为24.答案 (1)B (2)24探究提高 1.第(1)题从古代数学名著《算法统宗》引入，通过诗歌提出数学问题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列.2.第(2)小题以刘徽的割圆术为背景，创设问题情境，将优秀传统文化嵌入到程序框图.事实上，更相减损术、秦九韶算法和割圆术都出现在《数学·必修3》(A 版)“算法案例”中，源于教材.3.这些试题传播了正能量，有利于提升考生人文素养，传承民族精神，试题的价值远远超出其本身价值.【训练1】 (1)(2018·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.(2)(2018·成都诊断)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为9，则输出v 的值为( )A.9100B.9100－1C.10100D.10100－1解析 (1)每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d .则一月织布S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629，故从第2天起每天比前一天多织1629尺布.(2)由程序框图，输出的v 满足v ＝x 100＋C 1100x 99＋C 2100x 98＋…＋C 99100x ＋C 100100＝(x ＋1)100. 当x ＝9时，v ＝(9＋1)100＝10100.答案 (1)1629 (2)C热点二 立体几何与概率中的数学文化【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2)(2018·湖南六校联考)刍甍(chúhōn ɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )A.8 6B.16C.8 5D.14解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S 正方形＝4.又正方形内切圆的面积S ＝π×12＝π.所以根据对称性，黑色部分的面积S 黑＝π2.由几何概型的概率公式，概率P ＝S 黑S 正方形＝π8. (2)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面积S ＝2×（2＋4）×52＋2×12×2×5＝8 5. 即需要的茅草面积至少为8 5.答案 (1)B (2)C探究提高 1.本例第(1)题中全国Ⅰ卷(第2题)以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型的概率计算，很好体现数学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美.2.第(2)题以《九章算术》的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.【训练2】 (1)(2018·郑州二模)欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( ) A.2π B.1π C.12π D.14π(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π解析 (1)易知铜钱的面积S ＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S 0＝1.根据几何概型，所求概率P ＝S 0S ＝14π.(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V 正方体＝23＝8，V 半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V ＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V ′＝V ＝8－π.答案 (1)D (2)C热点三 数学抽象与逻辑推理核心素养数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程.数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理.【例3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国大联考)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( )A.(－1，＋∞)B.(3，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－1) 解析 (1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数.又f ′(x )＝2ln 3·3x（3x ＋1）2＋1＋cos x >0在x ∈[－2，1]上恒成立，函数f (x )在x ∈[－2，1]上递增. 若x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则f (x 2＋x )<－f (x －k⟹f (x 2＋x )<f (k －x ⟹x 2＋x <k －x ，故问题转化为x ∈[－2，1]，k >x 2＋2x ，即k >(x 2＋2x )min ，当x ∈[－2，1]时，y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1的最小值为－1.故实数k 的取值范围是(－1，＋∞).答案 (1)D (2)A探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.第(2)题求解的关键在于：(1)利用定义判断f(x)的奇偶性及x∈[－2，1]时，函数f(x)单调性，(2)理解存在量词的含义，将命题转化为x∈[－2，1]时，k>x2＋2x，即k>(x2＋2x)min.题目突出数学逻辑推理与转化化归数学思想方法的考查. 【训练3】(2018·烟台模拟)对于函数y＝e x f(x)(其中e是自然对数的底数)，若存在实数T使得e x f(x)≥T在(0，＋∞)上恒成立，则称函数f(x)具有性质“”.给出下列函数：①f(x)＝2e－2x＋1；②f(x)＝x2－2x；③f(x)＝sin x；④f(x)＝1 x.其中具有性质“”的所有函数的序号为________.解析对于①f(x)＝2e－2x＋1，e x f(x)＝2e－x＋e x≥22，取T≤22时，f(x)具有性质“”.对于②，令φ(x)＝e x f(x)，则φ′(x)＝e x(x2－2)，x∈(0，＋∞).令φ′(x)＝0，解得x＝2，易知φ(x)在x＝2时有极小值e2(2－22).因此函数f(x)具有性质“”.对于③，易知φ(x)＝e x sin x―→∞，则③不具有性质“”.对于④，φ(x)＝e x f(x)＝e xx，φ′(x)＝e x（x－1）x2，x∈(0，＋∞)，易知φ(x)在x＝1时取到最小值φ(1)＝e，取T≤e，f(x)具有性质“”.综上可知①②④中的函数具有性质“”.答案①②④热点四直观想象与数学运算核心素养【例4】(1)从点P(－1，3)向直线kx－y＋k－1＝0作垂线，垂足为N，则N的轨迹方程为________________.解析易知直线kx－y＋k－1＝0恒过定点Q(－1，－1).如图所示，PN⊥QN.所以点N在以PQ为直径的圆上.因此圆心坐标为(－1，1)，半径r＝2.所以点N的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4(x≠－1).答案(x＋1)2＋(y－1)2＝4(x≠－1)(2)(2018·惠州调研)在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7. ①求BC 边的长；②求△ABC 的面积.解 ①设BD ＝x ，则BC ＝2x ，如图所示.在△ABD 中，有cos ∠ABD ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝9＋x 2－72×3x ，在△ABC 中，有cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋4x 2－132×3×2x ，且∠ABD ＝∠ABC ，即9＋x 2－72×3x ＝9＋4x 2－132×3×2x ，得x ＝2，即BC ＝4.②由①可知，cos B ＝12，B ∈(0，π)，得sin B ＝32，∴S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝12×3×4×32＝3 3.探究提高 1.第(1)题中，若设点N (x ，y )，联立直线方程，消去k 求得点N 的轨迹，使得求解复杂化；注意到直线恒过定点Q (－1，－1)，作出图形，利用几何直观，则可直接写出轨迹方程.2.第(2)题主要考查推理与数学运算等核心素养.由余弦定理，转化成同一个角的三角函数，构建方程，利用代数运算求解.【训练4】 (1)(2018·华师附中联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z＝x ＋3y 的最小值为2，则常数k ＝________.(2)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析 (1)作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z 3，结合几何直观知，当直线y ＝－13x ＋z 3过点A 时，z 最小.联立方程，得⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y ＋k ＝0，得A (2，－2－k )， ∴z min ＝2＋3(－2－k )＝2，解之得k ＝－2.(2)依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15. 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7. 答案 (1)－2 (2)－7热点五 数学建模与数据分析核心素养数学建模——对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数据分析——针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程.数学建模与数据分析体现了数学的应用性.【例5】 (2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A 的概率估计值为0.62. (2)列联表如下：K 2＝200×（62×66－38×34）100×100×104×96≈15.705>6.635， 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.探究提高 1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第(2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第(3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析数学核心素养.【训练5】(2018·昆明质检)中央政治局会议，通过了《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想.为响应国家号召，某市2017年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225～235 cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值和方差(方差四舍五入保留整数)；(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185～205 cm为合格，在205～235 cm为良好，在235～265 cm为优秀.视该样本的频率分布为总体的概率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数ξ的分布列与数学期望；(3)经验表明树苗树高X～N(μ，σ2)，用样本的平均值作为μ的估计值，用样本的方差作为σ2的估计值，试求该批树苗小于等于255.4 cm的概率.(提供数据：271≈16.45，305≈17.45，340≈18.45)附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0. 954 4，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.解(1)树高在225～235 cm之间的棵数为：100×[1－(0.005×3＋0.015＋0.020＋0.025＋0.01)×10]＝15.树高的平均值为：0.05×190＋0.15×200＋0.2×210＋0.25×220＋0.15×230＋0.1×240＋0.05×250＋0.05×260＝220.5.方差为：0.05×(190－220.5)2＋0.15×(200－220.5)2＋0.2×(210－220.5)2＋0.25×(220－220.5)2＋0.15×(230－220.5)2＋0.1×(240－220.5)2＋0.05×(250－220.5)2＋0.05×(260－220.5)2＝304.75≈305.(2)由(1)可知，树高为优秀的概率为：0.1＋0.05＋0.05＝0.2，由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C030.83＝0.512，P(ξ＝1)＝C130.82×0.2＝0.384，P(ξ＝2)＝C230.8×0.22＝0.096，P(ξ＝3)＝C330.23＝0.008.故ξ的分布列为：所以E(ξ)＝3×0.2＝0.6.(3)由(1)的结果，结合参考数据，可知μ＝220.5，σ＝17.45，所以P(X≤255.4)＝P(X≤μ＋2σ)＝1－1－0.954 42＝0.977 2.故该批树苗小于等于255.4 cm的概率是0.977 2.。
