(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题9.6 双曲线(练)文

A1(0，－a)，A2(0，a) a y＝± x b ____________
c 2 2 (1 ，＋ ∞ ) a ＋ b e＝ a ，e∈ ，其中c＝________ 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ 2a ；线段
B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ；a叫做双曲 线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 c2＝ a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
|F1F2| 离心率 e＝ ， |MF2|－|MF1|
题型三 直线与双曲线的综合问题
x 例5 (2016· 兰州模拟)已知椭圆C1的方程为 ＋y2＝1，双曲线C2的左， 4 右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右
焦点. (1)求双曲线C2的方程； 解答
2
x2 y2 设双曲线 C2 的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，
于实轴长，则该双曲线的离心率为
A. 5 B.5 C. 2 D.2
答案 解析
由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
2 c ∴e2＝a2＝5，∴e＝ 5.
2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上， C 与抛物线y2 ＝ 16x的准 线交于A，B两点，|AB|＝4 3，则C的实轴长为
(1)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a＝|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2| 时，P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程
x y 2－ 2 ＝1(a>0，b>0) a b
2
2
y2 x2 2－ 2 ＝1 (a>0，b>0) a b

第九节圆锥曲线的综合问题A 基础巩固训练1.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）A. 12B.13C.14D.15【答案】B【解析】2．【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】已知抛物线C：＝4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若＝2，则直线l的斜率为A. 3 B. 2 C. D. 1【答案】B【解析】分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，设，，由抛物线的定义可知：，，由＝2，则B 为AE 的中点， 则=2，即 在中，，，∴ntan ∠CBE==，直线l 的斜率k=tan ∠AFx=tan ∠CBE=，故选：B ．3.【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】已知点()3,0A -， ()3,0B ，动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹为（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线 【答案】B4．【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若 S △IPF1＋S △IPF2＝2S △IF1F2，则该椭圆的离心率是A.12 B. 2C. 2D. 14 【答案】A 【解析】设P 12F F 的内切圆半径为r,则由1IPF S+2IPF S=212IF F S得12121112222PF r PF r F F r ⨯+⨯=⨯⨯ 即P 1F +P 2F =212F F 即222a c =⨯∴椭圆的离心率12c e a == 故选A5.【2018届云南省名校月考（一）】已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点， l 是C 的准线， P 是C 上一点，点M 在l 上，若4FM FP =，则直线FP 的方程为（ ）A. )2y x =-B. )22y x =±-C. )2y x =-D. )2y x =±-【答案】BB 能力提升训练1．【2017届江西省抚州市临川区第一中学高三4月模拟】已知B 、C 为单位圆上不重合的两个定点， A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+，则点P 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】D【解析】设(),P x y ， ()cos ,sin A θθ， ()11,B x y ， ()22,C x y ，设单位圆圆心为O ，则根据AP PB PC =+可有： 0PA PB PC ++=，所以点P 为ABC ∆的重心，根据重心坐标公式有1212cos 3{sin 3x x x y y y θθ++=++=，整理得2212121339x x y y x y ++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点P 的轨迹为圆，故选择D. 2.【2017届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性考试】已知,,A B C 是抛物线24y x =上不同的三点，且AB ∥y 轴， 90ACB ∠=，点C 在AB 边上的射影为D ，则AD BD ⋅=（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2 【答案】A【解析】设()()224,4,4,4A t t B t t -， ()24,4C m m ，因为90ACB ∠=，所以()()2222216160t mt m -+-=，因此221m t -=-，因为2244CD t m =-=且在Rt ABC ∆中，2AD BD CD ⋅=，所以16AD BD ⋅=．3.【2017届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(1,1)、()3,3-. 若动点P 满足OP OA OB λμ=+，其中λ、R μ∈，且1λμ+=，则点P 的轨迹方程为（ ） A. 0x y -= B. 0x y +=C. 230x y +-=D. ()()22125x y ++-= 【答案】C4.【2017届山西省临汾市高三考前训练（三）】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，点,M N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点，若直线AM 与BN 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是 （ ）A. ()0x a y =±≠B. ()()220y b x ay =-≠C. ()22220x y a b y +=+≠ D. ()222210x y y a b-=≠【答案】D【解析】解：设点()()cos ,sin ,cos ,sin M a b N a b θθθθ- ，且()(),0,,0A a B a - ，则：直线AM 的方程为： ()0sin sin cos cos b y b x a a a θθθθ--=--- ，直线BN 的方程为： ()0sin sin cos cos b y b x a a a θθθθ++=-- ，消去参数θ 可得点P 的轨迹方程是 ()222210x y y a b-=≠.本题选择D 选项.5【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知双曲线221y x m-=的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若120FM F M ⋅=，则m 的值为 （ ）2 D.3 【答案】DC 思维扩展训练1.【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月高考模拟】如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D 的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B.C. D.【答案】B故排除C，D，同理可得，在平面ABB1A1上，点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等，从而排除A，本题选择B选项.2．【2017届江苏省如皋市高三下学期联考（二）】动直线与函数的图像交于A、B两点，点是平面上的动点，满足，则的取值范围为____．【答案】|PA+PB|=|−2m−2ni|=2，|m+ni|=1，即m2+n2=1是一个圆,即P的轨迹是以(3,4)为圆心的单位圆，∴x2+y2的取值范围为[16,36]，故答案为[16,36].3.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三联考】已知椭圆的离心率为，长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，为坐标原点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，且直线不经过点.记直线的斜率分别为，试探究是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2) 为定值，该定值为0.【解析】试题分析：(1)布列方程组求椭圆的标准方程;(2)联立方程，利用维达定理表示，即可得到定值..试题解析：（Ⅰ）由题意知，，解得，故椭圆的方程为（Ⅱ）结论：，证明如下：设，联立，得，，解得，.，.综上所述，为定值，该定值为0.4.【2018届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系xoy中，设点F (1，0)，直线l: x=-，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点, 异于点R的点Q满足：RQ FP 1⊥，⊥.PQ l（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E，．的弦AB. CD，设AB. CD的中点分别为M N问直线MN是否经过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，说明理由．【答案】(Ⅰ) 24(0)y x x =>；(Ⅱ)以直线MN 恒过定点R ()3,0．试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为： 1x =-．点R 是线段FP 的中点， 且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =． 故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点， l 为准线的抛物线， 其方程为： 24(0)y x x =>．(Ⅱ) 设()(),,,A A B B A x y B x y ， ()(),,M M N N M x y N x y ，，由AB ⊥CD ，且AB 、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB 、CD 斜率均存在，设直线AB 的方程为()1y k x =-则()()2241{42A A B By x y x == （1）—（2）得4A B y y k +=，即2M y k=，代入方程()1y k x =-，解得221M x k =+．所以点Ｍ的坐标为2221,kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 同理可得： N 的坐标为()221,2k k +-．直线MN 的斜率为21M N MN M N y y kk x x k-==--，方程为 ()222211k y k x k k+=---，整理得()()213y k k x -=-， 显然，不论k 为何值， ()3,0均满足方程，所以直线MN 恒过定点R ()3,0．5．【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程； （2）当时，得到动点的轨迹为曲线，斜率为1的直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）试题解析：解：（Ⅰ）设动点，则，且，①又，得，代入①得动点的轨迹方程为．（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．设直线的方程为，代入中，得，由，∴，设，，∵点到直线的距离，，，当且仅当，即时取到最大值．∴面积的最大值为．。

【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查直线与双曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.一般地，命题以小题为主，多为选择题或填空题，解答题较少.【课前检测训练】[判一判]1.“m<8”是“方程x2m－10－y2m－8＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m<8或m>10，故“m<8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P 、Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 【答案】44[练一练]1.【基础经典试题】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能 【答案】B【解析】设以线段112,PF A A 为直径的两圆的半径分别为12,r r ，若P 在双曲线左支，如图所示，则()21211121112222O O PF PF a PF a r r ==+=+=+，即圆心距为半径之和，两圆外切．若P 在双曲线右支，同理求得2112O O r r =-，故此时，两圆相内切．综上，两圆相切，故选B ．2.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2【解析】假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a=，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以E 的离心率为2.3.【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四）】已知)2,1(A ,)2,1(-B ,动点P 满足BP AP ⊥,若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】()1,24.4.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 . 【答案】焦距相等【解析】09k << ，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-的实半轴长为5=，双曲线221259x y k -=-的实半轴长为9，焦距为=因此，两双曲线的焦距相等.5.【课本典型习题，P55第3题】已知方程22=121x y m m -++表示双曲线，求m 的取值范围．【答案】{2m m <-，或}1m >-．【题根精选精析】考点1 双曲线的定义及标准方程【1-1】双曲线的焦点为()()60,6,0-,且经过点()6,5-A ,则其标准方程为（ ）A ．2211620x y -=B ．2211620y x -=C ．2212016y x -=D ．221459y x -=【答案】B【解析】设双曲线的标准方程是2222=1yx ab-（a ＞0，b ＞0）∵双曲线以()()60,6,0-为焦点，且经过点()6,5-A ∴222266(5)=1c ab ⎧==⎪⎪⎨-⎪-⎪⎩，解之得a 2=16，b 2=20,因此，该双曲线的标准方程为1201622=-x y ,故选B ．【1-2】已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5 D.37＋2 5【答案】C【基础知识】 1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程【思想方法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混． 【温馨提醒】 【综合点评】1.双曲线的轨迹类型是12122(2a )PF PF a F F -=<；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”． 3.在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题； 4.求双曲线方程需要两个独立条件． 考点2 双曲线的简单几何性质【2-1】【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A【2-2】已知F 2、F 1是双曲线22y a -22x b=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 BC ．2 D【答案】C【解析】设2F 关于渐近线的对称点为P ，P F 2的中点为M ，连接1,PF OM ，则1//PF OM21PF PF ⊥∴，又c F F 221= ，c PF =1，点2F 到渐近线的距离b ba bc d =+=22()()22222b c c +=∴，即224a c =，2=e【2-3】斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A.)2,(-∞B.)3,1(C.)5,1(D.),5(+∞ 【答案】D【基础知识】双曲线的几何性质【思想方法】1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b 的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝2；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞ 2.2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 5．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 【温馨提醒】1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b a 或m ＝ab 讨论，求离心率值，需要寻求a,b,c 的等式，求离心率取值范围，需寻求关于a,b,c 的不等式关系，并结合222c a b =+，可得,a c 的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的． 2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用． 3.充分利用条件列关于a,b,c 的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围； 考点3 直线和双曲线的位置关系【3-1】已知直线l 和双曲线22194x y -=相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M.设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OM 的斜率为k 2,则k 1k 2=（ ） A.23 B.-23 C.-49D.49【答案】D所以()()2222212121211222222121212144994999x x y y y y y y k k x x x x x x x x ----+-=⋅===-+--，故正确答案为D. 【3-2】【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四）】点A 是抛物线()21:20C y px p =>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ）ABCD【答案】C【3-3】已知双曲线方程是x 2－22y ＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P 1、P 2两点，并使P(2，1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是____________． 【答案】4x －y －7＝0【解析】设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由22112y x -＝1，22222y x -＝1，得k ＝212121212y y x x x x y y -（+）＝-+＝242⨯＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 【基础知识】直线与双曲线的位置关系：将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 【思想方法】1、设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12||x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=12||y y -=2、若遇中点问题，可以利用“点差法”或者韦达定理处理． 【温馨提醒】1、涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍；2、涉及弦长问题，可以利用弦长公式求解． 【易错问题大揭秘】易错典例：已知圆1:221=+y x O ，圆:2O 091022=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程． 【易错点】忽视双曲线定义．【分析】圆O2：091022=+-+x y x ，即为16)5(22=+-y x 所以圆O2的圆心为)0,5(2O ,半径42=r ,而圆1:221=+y x O 的圆心为)0,0(1O ,半径11=r , 设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r则1||1+=M O r 且4||2+=M O r ，所以3||||21=-M O M O且35||21>=O O ,点M 的轨迹为双曲线右支，方程为)4(1449)25(22≥=--x y x ． 温馨提示：双曲线的轨迹类型是12122(2a )PF PF a F F -=<．【针对训练】【2016高考上海理数】 双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅= ，求l 的斜率.【答案】（1）y =．（2）.（2）由已知，()1F 2,0-，()2F 2,0．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠． 由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．。

专题9。

6 双曲线班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1。

【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】双曲线的渐近线方程为（ ） A.B.C 。

D 。

【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A 。

2.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知双曲线C 的中心为原点，点)2,0F 是双曲线C 的一个焦点，点F 到渐近线的距离为1,则C 的方程为（ ）A. 221x y -= B 。

2212y x -= C 。

22123x y -= D. 22133x y -= 【答案】A【解析】因为点F 到渐近线的距离为1,所以b=1,因为2所以a=1，因此C 的方程为221x y -=，选A.3。

【2018届辽宁省凌源二中高三三校联考】已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一个焦点为()5,0,则双曲线C 的渐近线方程为（ )A. 4312x y ±= B 。

4410x = C. 1690x y ±= D. 430x y ±= 【答案】D【解析】由题得c=5，则22169a c =-= ，即a=3,所以双曲线的渐近线方程为43y x =± ，即430x y ±= ，故选D4。

【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】已知双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>）的一条渐近线方程为3y x =，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =-的准线上,则双曲线的方程为（ ）A. 22143x y -=B. 22134x y -=C. 2212821x y -=D. 2212128x y -=【答案】A5.【2017届广东省广州高三下学期第一次模拟】已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=， 1F , 2F 分别是双曲线C 的左，右焦点,点P 在双曲线C 上，且12PF =，则2PF 等于（ ）．A. 4 B 。

1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 C解析 设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4，得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43， ∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.4．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 答案 (27，8)解析 由已知a ＝1，b ＝3，c ＝2，则e ＝ca ＝2，设P (x ，y )是双曲线上任一点， 由对称性不妨设P 在右支上，则1<x <2，|PF 1|＝2x ＋1，|PF 2|＝2x －1， 又∠F 1PF 2为锐角，则|PF 1|2＋|PF 2|2>|F 1F 2|2， 即(2x ＋1)2＋(2x －1)2>42，解得x >72， 所以72<x <2，|PF 1|＋|PF 2|＝4x ∈(27，8).题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |， 所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2| ＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1．本例中若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3. 2．本例中若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5D.37＋2 5(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3答案 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值， 当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值， 则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 故选C.(2)不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝(ba)2＋1(43)2＋1＝53， 故选B.题型二 双曲线的几何性质例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 答案 (1)A (2)32解析 (1)由题意可得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. (2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·ba x ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析 离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A. 题型三 直线与双曲线的综合问题例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c . 将其代入x 2a 2－y 2b2＝1，求得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a，∴|AB |＝2b 2a .依题意，得2b 2a ＝4a ，∴c 2－a 2a 2＝2，即e 2－1＝2，∴e ＝ 3.11．直线与圆锥曲线的交点典例 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？ 错解展示现场纠错解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.1．(2016·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝b a×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.2．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.3．(2016·佛山模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为( ) A ．16 B ．20 C ．21 D ．26 答案 D解析 由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4.由双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|＋16＝21，∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.故选D.4．(2016·江西联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为( )A.5－1B.3＋12C.5＋12D.3＋1答案 D解析 ∵F 2M →＝OM →－OF 2→，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF 2→)·(OM →－OF 2→)＝0， 即OM →2－OF 2→2＝0，∴|OF 2→|＝|OM →|＝c ，在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，可得MF 1→⊥MF 2→. ∵|MF 1→|＝3|MF 2→|，∴可设|MF 2→|＝λ(λ>0)，|MF 1→|＝3λ， 得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ， ∴|MF 1→|＝3c ，|MF 2→|＝c ，∴根据双曲线定义得2a ＝|MF 1→|－|MF 2→|＝(3－1)c ， ∴双曲线的离心率e ＝2c2a＝3＋1.5．(2016·绍兴质量检测二)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4答案 C解析 由题意，得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x . 设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)， ∴AB 的中点为(x 1＋x 22，x 1－x 22)，∴(x 1＋x 22)2－(x 1－x 22)2＝2⇒x 1x 2＝2，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝x 1x 2＝2.6．(2016·安徽庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2 答案 B解析 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 7．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案 A解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 8．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0， 即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a )>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．(2016·杭州模拟)已知点A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，点P是双曲线C 上异于A ，B 的另外一点，且△ABP 是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 x ±y ＝0解析 如图所示，过点P 作PC ⊥x 轴，因为|AB |＝|BP |＝2a ， 所以∠PBC ＝60°，BC ＝a ， y P ＝|PC |＝3a ，点P (2a ，3a )， 将P (2a ，3a )代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得a ＝b ，所以其渐近线方程为x ±y ＝0.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53. 12．(2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________．答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y 66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S △APF ＝1AF F S －1F PF S ＝12 6.13．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知c ＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1， 双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| ＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

第6讲 双曲线最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质【范围、对称性、顶点、离心率、渐近线】.知 识 梳 理1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2【|F 1F 2|＝2c ＞0】的距离差的绝对值等于常数【小于|F 1F 2|且大于零】，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0：【1】若a <c 时，则集合P 为双曲线； 【2】若a ＝c 时，则集合P 为两条射线； 【3】若a >c 时，则集合P 为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】【1】平面内到点F1【0，4】，F2【0，－4】距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.【】【2】平面内到点F1【0，4】，F2【0，－4】距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.【】【3】方程x2m－y2n＝1【mn>0】表示焦点在x轴上的双曲线.【】【4】双曲线方程x2m2－y2n2＝λ【m>0，n>0，λ≠0】的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.【】【5】等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.【】解析【1】因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.【2】由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.【3】当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案【1】×【2】×【3】×【4】√【5】√2.【2016·全国Ⅰ卷】已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是【】A.【－1，3】B.【－1，3】C.【0，3】D.【0，3】解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴【m2＋n】·【3m2－n】>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝【m2＋n】＋【3m2－n】＝4m2【其中c 是半焦距】，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.答案 A3.【2015·湖南卷】若双曲线x2a2－y2b2＝1【a＞0，b＞0】的一条渐近线经过点【3，－4】，则此双曲线的离心率为【 】 A.73B.54C.43D.53解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，则点【3，－4】在直线y ＝－b a x 上，即－4＝－3b a ，所以4a ＝3b ，即b a ＝43，所以e ＝1＋b 2a 2＝53.故选D.答案 D4.【2015·全国Ⅱ卷】已知双曲线过点【4，3】，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________.解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ【λ≠0】.因为双曲线过点【4，3】，所以42－4×【3】2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案 x 24－y 2＝15.【选修2－1P62A6改编】经过点A 【3，－1】，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析 设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ【λ≠0】，把点A 【3，－1】代入，得λ＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1. 答案 x 28－y 28＝16.【2017·乐清调研】以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________.解析 由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1【a >0，b >0】，则a ＝4－1＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1，其渐近线方程为y ＝±33x ，离心率为e ＝233. 答案 y ＝±33x 233考点一双曲线的定义及其应用【例1】【1】【2017·杭州模拟】设双曲线x2a2－y2b2＝1【a＞0，b＞0】的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝【】A.1＋2 2B.4－2 2C.5－2 2D.3＋2 2【2】【2015·全国Ⅰ卷】已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C左支上一点，A【0，66】，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.解析【1】如图所示，因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AF2|＝2a，|AF1|＝4a.所以|BF1|＝22a，所以|BF2|＝22a－2a.因为|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2，所以【2c】2＝【22a】2＋【22a－2a】2，所以e2＝5－2 2.【2】设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF 周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x－3＋y66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为【－2，26】，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12 6.答案【1】C【2】12 6规律方法“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧【1】常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.【2】技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系.提醒 利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①距离之差的绝对值.②2a ＜|F 1F 2|.③焦点所在坐标轴的位置.【训练1】 【1】如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是【 】 A.4 B.12 C.4或12D.不确定【2】【2016·九江模拟】已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为【 】 A.27B.10C.8D.6解析 【1】由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ， ∴|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4，∴|PF 1|＝12或|PF 1|＝4. 【2】设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5， 因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8， 所以12【|PF 1|－|PF 2|】R ＝8， 即aR ＝8，所以R ＝2， 所以S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10. 答案 【1】C 【2】B考点二 双曲线的标准方程及性质【多维探究】 命题角度一 与双曲线有关的范围问题【例2－1】 【2015·全国Ⅰ卷】已知M 【x 0，y 0】是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是【 】 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233解析 因为F 1【－3，0】，F 2【3，0】，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝【－3－x 0，－y 0】·【3－x 0，－y 0】＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33. 答案 A命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例2－2】 【1】【2016·全国Ⅱ卷】已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为【 】 A. 2B.32C. 3D.2【2】【2016·天津卷】已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1【a ＞0，b ＞0】的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为【 】 A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝1解析 【1】设F 1【－c ，0】，将x ＝－c 代入双曲线方程， 得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝2，故选A.【2】由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 答案 【1】A 【2】A规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路【1】若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.【2】若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练2】 【1】【2017·慈溪调研】设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是【 】 A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞【2】【2017·武汉模拟】已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________. 解析 【1】因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意.可得b a ＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2a 2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2. 所以双曲线的离心率的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2.【2】由题可知A 1【－1，0】，F 2【2，0】.设P 【x ，y 】【x ≥1】，则P A 1→＝【－1－x ，－y 】，PF 2→＝【2－x ，－y 】，P A 1→·PF 2→＝【－1－x 】【2－x 】＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3【x 2－1】＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f 【x 】＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案 【1】A 【2】－2 考点三 双曲线的综合问题【例3】 【1】已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1【a ＞0】与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为【 】A. 2B.10C.4D.34【2】【2015·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.解析 【1】因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1【a ＞0】与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点【±7，0】，则有a 2－9＝7，所以a ＝4.【2】设P 【x ，y 】【x ≥1】，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为12＝22. 答案 【1】C 【2】22规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法【1】解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解.【2】解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍. 【训练3】 【2016·天津卷】已知双曲线x 24－y 2b 2＝1【b >0】，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为【 】 A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1解析 由双曲线x 24－y 2b 2＝1【b >0】知其渐近线方程为y ＝±b2x ， 又圆的方程为x 2＋y 2＝4，①不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B ，将y ＝b2x 代入方程①式，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b 4＋b2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 答案 D[思想方法]1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 【a >0，b >0】有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t 【t ≠0】.2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 【a >0，b >0】的两条渐近线方程. [易错防范]1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是【1，＋∞】这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 【a >0，b >0】的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 【a >0，b >0】的渐近线方程是y ＝±ab x .4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组 【建议用时：40分钟】一、选择题1.【2017·台州调研】设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1【a ＞0，b ＞0】的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为【 】 A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B. 答案 B2.【2015·广东卷】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2【5，0】，则双曲线C 的方程为【 】 A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2【5，0】且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.答案 C3.【2016·浙江卷】已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1【m ＞1】与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1【n ＞0】的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则【 】 A.m ＞n 且e 1e 2＞1 B.m ＞n 且e 1e 2＜1 C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜1解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 答案 A4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝【 】 A.14 B.35 C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C5.【2017·杭州调研】过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝【 】 A.433B.2 3C.6D.4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为【2，23】，【2，－23】，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题6.【2015·浙江卷】双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________. 解析 由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y＝±22x .答案 23 y ＝±22x7.【2016·北京卷】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1【a ＞0，b ＞0】的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4， ∴ba ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 28.【2016·山东卷】已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1【a ＞0，b ＞0】.若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1【舍去】. 答案 2 三、解答题9.【2017·宁波十校联考】已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P 【4，－10】. 【1】求双曲线的方程；【2】若点M 【3，m 】在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.【1】解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ【λ≠0】. ∵双曲线过点【4，－10】， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.【2】证明 法一 由【1】可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1【－23，0】，F 2【23，0】， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M 【3，m 】在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 由【1】可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1【－23，0】，F 2【23，0】，MF 1→＝【－23－3，－m 】，MF 2→＝【23－3，－m 】， ∴MF 1→·MF 2→＝【3＋23】×【3－23】＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M 【3，0】在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. 10.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. 【1】求双曲线C 2的方程；【2】若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2【其中O 为原点】，求k 的取值范围.解 【1】设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1【a ＞0，b ＞0】， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.【2】将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得【1－3k 2】x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.①设A 【x 1，y 1】，B 【x 2，y 2】， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋【kx 1＋2】【kx 2＋2】 ＝【k 2＋1】x 1x 2＋2k 【x 1＋x 2】＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.能力提升题组 【建议用时：30分钟】11.过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1【a ＞0，b ＞0】的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点【O 为坐标原点】，则双曲线C 的方程为【 】 A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1解析 由双曲线方程知右顶点为【a ，0】，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝ba x ，因此可得点A 的坐标为【a ，b 】.设右焦点为F 【c ，0】，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即【c －a 】2＋b 2＝16，所以有【c －a 】2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.答案 A12.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1【a ＞0，b ＞0】上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab 【其中O 为坐标原点】，则双曲线的离心率的取值范围是【 】 A.⎝⎛⎦⎥⎤1，52B.⎝⎛⎦⎥⎤1，72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C13.【2016·浙江卷】设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎨⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 【27，8】14.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1【a ＞0，b ＞0】的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. 【1】求此双曲线的方程；【2】设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB →，求△AOB 的面积.解【1】依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.【2】由【1】知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A 【m ，2m 】，B 【－n ，2n 】，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n. 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1， 整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.15.【2017·浙大附中模拟】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为【2，0】，实轴长为2 3.【1】求双曲线C 的方程；【2】若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； 【3】在【2】的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M 【0，m 】，求m 的取值范围.解 【1】设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1【a >0，b >0】.由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.【2】设A 【x A ，y A 】、B 【x B ，y B 】，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得【1－3k 2】x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36（1－k 2）>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k2>0，解得33<k <1.∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点. 【3】由【2】得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝【kx A ＋2】＋【kx B ＋2】 ＝k 【x A ＋x B 】＋22＝221－3k 2. ∴AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1k x ＋m ， 将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2. ∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为【－∞，－22】.。

2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章 解析几何第六节 双曲线班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1。

【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】双曲线x 2a 2−y 24a 2=1(a ≠0)的渐近线方程为（ ）A. y =±2xB. y =±12x C 。

y =±4x D. y =±√2x【答案】A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，y =±2a a x =±2x ，故选A.2。

【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知双曲线C 的中心为原点，点()2,0F 是双曲线C 的一个焦点，点F 到渐近线的距离为1，则C 的方程为（ ) A.221x y -=B.2212y x -= C 。

22123x y -= D.22133x y -= 【答案】A3。

【2018届辽宁省凌源二中高三三校联考】已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一个焦点为()5,0,则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 。

4312x y ±= B.4410x y ±=C. 1690x y ±=D. 430x y ±=【答案】D【解析】由题得c=5,则22169ac =-= ，即a=3,所以双曲线的渐近线方程为43y x =± ，即430x y ±= ，故选D4。

【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线方程为32y x =，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =-的准线上，则双曲线的方程为（ ) A.22143x y -= B 。

2018年高考数学讲练测【浙江版】【练】第九章 解析几何第六节 双曲线 A 基础巩固训练1．【2018届南宁市高三摸底】双曲线的渐近线方程为（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】由题意可得，所以渐近线方程为，选D.2.【2018届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考】若双曲线()22x my m m R +=∈的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =B. y =C. 13y x =±D. y x = 【答案】D3.【2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考】已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的离心率为 （ ）A.95 B. 3 C. 32 D. 5【答案】D【解析】由题意得222435a a e +=⇒=∴==选D. 4.【2017届浙江名校协作体高三上学期联考】双曲线22:13x C y -=的渐近线方程是 ；若抛物线()220y px p =>的焦点与双曲线C 的一个焦点重合，则p = ．【答案】y x =，4．【解析】由题意得，a =1b =，2c ==，∴渐近线方程为b y x x a =±=，242p p =⇒=，故填：y x =， 4． 5.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5B 能力提升训练1．【2018届四川省成都市新津中学高三11月月考】已知双曲线()2222:100y x c a b a b-=＞，＞的渐近线方程为34y x =±，且其焦点为()0,5,则双曲线C 的方程（ ） A.221916x y -= B. 221169x y -= C. 221916y x -= D. 221169y x -= 【答案】C【解析】双曲线()2222:0,0y x c a b a b ->>的渐近线方程为a y x b =±，由渐近线方程为34y x =±，可得34a b =，设()3,40a t b t t ==>，则5c t ==，由其焦点为()0,5，可得55c t ==，可得1,3,4t a b ===，则双曲线的方程为221916y x -=，故选C.2．【2018届山西实验中学、南海桂城中学高三上学期联考】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>离心率为()22214x a y a -+=的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】C3.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为14，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为（ ）A. y x =B. y =C. y x =D. y x = 【答案】C【解析】14c e a ==，不妨设4,1a c ==，则b =∴对应双曲线的渐近线方程为： b y x a =±=，选C 4．【【百强校】2017届甘肃兰州一中高三9月月考】已知抛物线x y 82=的焦点到双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的渐近线的距离不大于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是（ )A ．]2,1(B ．]2,1(C ．),2[+∞D ．),2[+∞ 【答案】B【解析】抛物线x y 82=的焦点(2,0)到双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的渐近线0bx ay ±=的距离等于222222223434()412bc b c c a c a e c≤⇒≥⇒≥-⇒≤⇒<≤，选B.5．【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，在双曲线的一条渐近线上，为线段的中点，且，则该双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】A∵，∴，即，整理得，∴，∴渐近线方程为。

专题9.6 双曲线【考纲解读】【知识清单】1.双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程对点练习：【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D2. 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）A. )+∞B.C. (1D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << C. 【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题，近几年无解答题.【重点难点突破】考点1 双曲线的定义及标准方程【1-1】【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【1-2】【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线的两个焦点分别为，，点是双曲线上一点，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B.C.D.【答案】C【解析】由双曲线定义知，所以.两个焦点分别为，，所以. 所以有：,所以.双曲线的渐近线方程为.故选C. 【综合点评】1.双曲线的轨迹类型是12122(2a )PF PF a F F -=<；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”． 【领悟技法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混． 【触类旁通】【变式一】【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（ ）A. 26B.C. 52D.【答案】D【解析】设MN 与双曲线的交点为点P ，由几何关系结合三角形中位线可得：，则：，点P 位于双曲线的左支，则：.本题选择D 选项.【变式二】已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于___________． 【答案】48 【解析】由题意得101692||21=+=F F ，所以10||2=PF ，根据双曲线的定义得16610||1=+=PF ，12PF F ∆是等腰三角形，1PF 边上的高为681022=-，所以12PF F ∆的面积等于4816621=⨯⨯．【综合点评】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．考点2 双曲线的简单几何性质【2-1】【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2【解析】221,a b m == ，所以c a ==，解得2m = .【2-2】【2018届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆关于直线对称，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆的半径为：，满足题意时，直线过圆心，即，双曲线的离心率为：.本题选择C 选项.【2-3】【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 .【答案】【综合点评】1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b a 或m ＝a b讨论，求离心率值，需要寻求a,b,c 的等式，求离心率取值范围，需寻求关于a,b,c 的不等式关系，并结合222c a b =+求．2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用． 【领悟技法】1．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.2．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 5．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 【触类旁通】【变式1】【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】【变式2】【2018届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期期中联考】已知双曲线E ： 22x a ﹣22y b =1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b ，则E 的离心率为（ ）【答案】B【解析】由题意可知：双曲线的右焦点1F ，由P 关于原点的对称点为Q 则OP OQ =∴四边形1PFQF 为平行四边形则11,PF FQ PF QF ==由3PF FQ =，根据椭圆的定义12PF PF a -=11,,,PF a OP b OF c ∴=== 190OPF ∴∠=︒在1 O PF 中， 112,3,PQ b QF a PF a ===则()()22223b a a +=，整理得222b a =则双曲线的离心率c e a ===故答案选B 【综合点评】1、充分利用条件列关于a,b,c 的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是a 与b 之间的比值关系，再结合222c a b =+，可得,a c 的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．【易错试题常警惕】易错典例：已知圆1:221=+y x O ，圆:2O 091022=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．易错分析：忽视双曲线定义．正确解析：圆O 2：091022=+-+x y x ，即为16)5(22=+-y x 所以圆O 2的圆心为)0,5(2O ,半径42=r ,而圆1:221=+y x O 的圆心为)0,0(1O ,半径11=r , 设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r则1||1+=M O r 且4||2+=M O r ，所以3||||21=-M O M O且35||21>=O O ,点M 的轨迹为双曲线右支，方程为)4(1449)25(22≥=--x y x ．温馨提示：双曲线的轨迹类型是12122(2a )PF PF a F F -=<． 【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

第九节 圆锥曲线的综合问题班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.【2016高考天津】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）1422=-y x（B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A【解析】由题意得2212,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，选A. 2.【浙江省温州市2017届高三8月模拟】点P 到图形C 上所有点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C 外的定点A 的距离相等的点的轨迹是（ ） A ．射线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线【答案】C.3.【2017届广东省广雅中学、江西省南昌二中高三下联考】自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则点轨迹方程为（ ） A. B.C.D.【答案】D 【解析】由题意得,所以，即，选D.4.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ） A. (]0,3 B. []1,3 C. []2,3 D. []1,2【答案】B5.【2017届江西省抚州市临川区第一中学高三4月模拟】已知B 、C 为单位圆上不重合的两个定点， A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+，则点P 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】D【解析】设(),P x y ， ()cos ,sin A θθ， ()11,B x y ， ()22,C x y ，设单位圆圆心为O ，则根据AP PB PC =+可有： 0PA PB PC ++=，所以点P 为ABC ∆的重心，根据重心坐标公式有1212cos 3{sin 3x x x y y y θθ++=++= ，整理得2212121339x x y y x y ++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点P 的轨迹为圆，故选择D. 6.【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ： 222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1m ≤或2m ≥B. 28m ≤≤C. 210m -≤≤D. 2m ≤-或8m ≥ 【答案】C【解析】7.【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b-（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y -【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 8.【2017届河北省石家庄市二模】已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =， 0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（ ）D. 3 【答案】C【解析】0PM AM PM AM ⋅=∴⊥ ，9.【2018届广西钦州市高三上学期第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF 最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B ．10. 设圆()22125x y ++=的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 （ ）A 、224412521x y +=B 、224412125x y += C 、224412521x y -= D 、224412125x y -= 【答案】A11.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设O 为坐标原点， P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点， M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A.2B. 23【答案】A【解析】由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设2000,,(0)2y P y y p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()2001112,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭，可得2000132263k y p y p p y p ==≤=++．当且仅当002y pp y =时取得等号，选A. 12.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考（五）】已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】二、填空题13.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校联考】已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，过F 的直线l 与直线10x -=垂直，且直线l 与抛物线C 交于A ， B 两点，则AB =__________． 【答案】643【解析】F 是抛物线2:16C y x =的焦点，∴()4,0F ，又过F 的直线l 与直线10x -=垂直∴直线l 的方程为： )y 4x =-，带入抛物线2:16C y x =，易得： 2340480x x -+=设()11A x y =，， ()22B x y =，， 121240163x x x x +==，643AB ==。

双曲线练习题A基础巩固训练1．【2018届南宁市高三摸底】双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，所以渐近线方程为，选D.2.【2018届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考】若双曲线的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D3.【2018届江西省南昌市二轮复习测试一】已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为直线与轴的交点为，所以在双曲线中有，故，即，4.【黑龙江省2018年仿真模拟（七）】若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】5．【广西省南宁市第二中学2018届2月月考】已知，则双曲线的离心率等于（）A． B． C． 2 D． 3【答案】B【解析】根据离心率公式.故选B能力提升训练【2018届四川省成都市新津中学高三11月月考】已知双曲线1．的渐近线方程为，且其焦点为,则双曲线的方程（）A. B. C. D.2．【2018届山西实验中学、南海桂城中学高三上学期联考】已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】C【解析】因为一条渐近线方程为，又离心率为，所以，所以渐近线方程为，由知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故选C.3.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，不妨设，则，对应双曲线的渐近线方程为：，选C4．【陕西省延安市黄陵中学2018届6月模拟】已知点为双曲线的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】5．【2018年文北京卷】若双曲线的离心率为，则a=_________.【答案】4C思维扩展训练１．【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知,且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在RT中，设，则由勾股定理得：，所以，而由双曲线定义知，，离心率，故选D.2．【山东省青岛市2019届高三9月期初调研】已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】3．已知双曲线：，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，则双曲线离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设，右焦点，因为，所以，由图可知，，所以故，即，即，选C.4．【河南省信阳高级中学2018年模拟（二）】设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A． 2 B． C． D． 4【答案】B【解析】5．【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，在双曲线的一条渐近线上，为线段的中点，且，则该双曲线的渐近线为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取渐近线为，则当时，，即点坐标为，。

1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】 巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ×)(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A.2B ．22C ．4D ．8 答案 C解析 设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4，得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43， ∴a ＝2，∴2a ＝4. ∴C 的实轴长为4.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.4．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 答案 (27，8)解析 由已知a ＝1，b ＝3，c ＝2，则e ＝ca ＝2，设P (x ，y )是双曲线上任一点， 由对称性不妨设P 在右支上，则1<x <2，|PF 1|＝2x ＋1，|PF 2|＝2x －1， 又∠F 1PF 2为锐角，则|PF 1|2＋|PF 2|2>|F 1F 2|2， 即(2x ＋1)2＋(2x －1)2>42，解得x >72， 所以72<x <2，|PF 1|＋|PF 2|＝4x ∈(27，8).题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |， 所以|MC 1|－|AC 1|＝ |MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2| ＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1．本例中若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝2 3. 2．本例中若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5D.37＋2 5(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3答案 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ， 要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值， 当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值， 则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 故选C.(2)不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝(ba)2＋1(43)2＋1＝53， 故选B.题型二 双曲线的几何性质例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 答案 (1)A (2)32解析 (1)由题意可得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. (2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－bax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b ax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D ．2答案 A 解析 离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A. 题型三 直线与双曲线的综合问题例5 (2016·兰州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c . 将其代入x 2a 2－y 2b2＝1，求得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a，∴|AB |＝2b 2a .依题意，得2b 2a ＝4a ，∴c 2－a 2a 2＝2，即e 2－1＝2，∴e ＝ 3.1．直线与圆锥曲线的交点典例 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？ 错解展示现场纠错解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件．(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.1．(2016·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝b a×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.2．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.3．(2016·佛山模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为( ) A ．16B ．20C ．21D ．26 答案 D解析 由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4.由双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|＋16＝21，∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.故选D.4．(2016·江西联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为( ) A.5－1 B.3＋12C.5＋12D.3＋1答案 D解析 ∵F 2M →＝OM →－OF 2→，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF 2→)·(OM →－OF 2→)＝0， 即OM →2－OF 2→2＝0，∴|OF 2→|＝|OM →|＝c ，在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，可得MF 1→⊥MF 2→. ∵|MF 1→|＝3|MF 2→|，∴可设|MF 2→|＝λ(λ>0)，|MF 1→|＝3λ， 得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ， ∴|MF 1→|＝3c ，|MF 2→|＝c ，∴根据双曲线定义得2a ＝|MF 1→|－|MF 2→|＝(3－1)c ， ∴双曲线的离心率e ＝2c2a＝3＋1.5．(2016·绍兴质量检测二)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4答案 C解析 由题意，得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x . 设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)， ∴AB 的中点为(x 1＋x 22，x 1－x 22)，∴(x 1＋x 22)2－(x 1－x 22)2＝2⇒x 1x 2＝2，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝x 1x 2＝2.6．(2016·安徽庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( ) A.22B ．1C.3D ．2 答案 B解析 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 7．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案 A解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 8．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2)答案 B解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0， 即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a )>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1， ∴e ∈(1,2)，故选B.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．(2016·杭州模拟)已知点A ，B 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，点P是双曲线C 上异于A ，B 的另外一点，且△ABP 是顶点为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 x ±y ＝0解析 如图所示，过点P 作PC ⊥x 轴，因为|AB |＝|BP |＝2a ， 所以∠PBC ＝60°，BC ＝a ， y P ＝|PC |＝3a ，点P (2a ，3a )， 将P (2a ，3a )代入x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以其渐近线方程为x ±y ＝0.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.12．(2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________． 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S △APF ＝1AF FS －1F PFS＝12 6.13．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知c ＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a ，b ， 双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ， 解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，一直是命题的热点，较多的考查直线与椭圆的位置关系问题. 往往涉及斜率、距离、面积等概念，考查与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题、存在性问题等．命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 【课前检测训练】1.【2016·兰州检测】若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0【答案】B2. 已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k(x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP|＋1|FQ|＝( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】A【解析】设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由题意可知，|PF|＝x 1＋2，|QF|＝x 2＋2，则1|FP|＋1|FQ|＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2 x 1＋x 2 ＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP|＋1|FQ|＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2 x 1＋x 2 ＋4＝x 1＋x 2＋42 x 1＋x 2 ＋8＝12.故选A.1.过双曲线错误！未找到引用源。

2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第九章解析几何第六节双曲线【考纲解读】【知识清单】1.双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程对点练习：【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D2. 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是（ ）A. )+∞B. 2)C.D. (1,2) 【答案】C【考点深度剖析】纵观近几年的高考试题，高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题，近几年无解答题.【重点难点突破】考点1 双曲线的定义及标准方程【1-1】【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B【解析】双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为by x a=± ，椭圆中：2222212,3,9,c 3a b c a b ==∴=-== ，椭圆，即双曲线的焦点为()3,0± ，据此可得双曲线中的方程组：22223b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：224,5a b == ，则双曲线C 的方程为2145x y 2-= . 【1-2】【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线的两个焦点分别为，，点是双曲线上一点，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B.C.D.【答案】C【综合点评】1.双曲线的轨迹类型是12122(2a )PF PF a F F -=<；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”． 【领悟技法】1.待定系数法求双曲线方程的常用方法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．2．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混． 【触类旁通】【变式一】【2018届重庆市巴蜀中学高三9月月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为异于的两点，且的中点在双曲线的左支上，点关于和的对称点分别为，则的值为（ ）A. 26B.C. 52D.【答案】D【变式二】已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于___________． 【答案】48 【解析】由题意得101692||21=+=F F ，所以10||2=PF ，根据双曲线的定义得16610||1=+=PF ，12PF F ∆是等腰三角形，1PF 边上的高为681022=-，所以12PF F ∆的面积等于4816621=⨯⨯． 【综合点评】1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；2、求双曲线方程需要两个独立条件．考点2 双曲线的简单几何性质【2-1】【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2【解析】221,a b m == ，所以c a ==，解得2m = .【2-2】【2018届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆关于直线对称，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆的半径为：，满足题意时，直线过圆心，即，双曲线的离心率为：.本题选择C 选项.【2-3】【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 .【答案】【综合点评】1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b a 或m ＝a b讨论，求离心率值，需要寻求a,b,c 的等式，求离心率取值范围，需寻求关于a,b,c 的不等式关系，并结合222c a b =+求． 2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用． 【领悟技法】1．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.2．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 5．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 【触类旁通】【变式1】【2017新课标1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D 【解析】【变式2】【2017届浙江温州市高三8月模拟】双曲线2213y x -=的离心率是__________，渐近线方程是___________．【答案】2，y =【解析】双曲线2213y x -=中1,a b ==2c ===，所以离心率为12c e a ==，渐近线方程为by x a=±，即y =． 【综合点评】1、充分利用条件列关于a,b,c 的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；2、双曲线的渐近线是a 与b 之间的比值关系，再结合222c a b =+，可得,a c 的关系，及离心率的关系，从这点而言，渐近线方程和离心率是有联系的．【易错试题常警惕】易错典例：已知圆1:221=+y x O ，圆:2O 091022=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程．易错分析：忽视双曲线定义．温馨提示：双曲线的轨迹类型是12122(2a )PF PF a F F -=<． 【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第八章 立体几何测试题 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1．【2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第二次模拟】已知错误！未找到引用源。

是两条不同直线，错误！未找到引用源。

是平面，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

B. 若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

C. 若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

D. 若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

【答案】B2．【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】已知,m n 表示两条不同的直线， α表示平面，下列说法正确的是A. 若//m α， //n α，则//m nB. 若//m α， m n ⊥，则n α⊥C. 若m α⊥， m n ⊥，则//n αD. 若m α⊥， //m n ，则n α⊥ 【答案】D【解析】对于A ， //m α， //n α，则,m n 可能相交，可能异面，也可能平行，命题错误； 对于B ， //m α， m n ⊥，则//n α， n α⊂或n 与α斜交，命题错误； 对于C ， m α⊥， m n ⊥，则//n α，或n α⊂，命题错误； 对于D ，若m α⊥， //m n ，则n α⊥，显然正确》 故选：D.3．【2018届河南省洛阳市高三上学期尖子生第一次联考】已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ）A.3 B. 3 C. 3 D. 3【答案】A4．【2018届北京西城161高三上期中】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2， ()2,2,0， ()1,2,1， ()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）．A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】在空间直角坐标系O xyz中，根据所给的条件标出已知的四个点，结合三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②.选D.5．【2017届广东省广州高三下学期第一次模拟】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（）．A. B. C. D.【答案】C6．【2018届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考】多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为（）C. 178πD.2894π 【答案】D【解析】如图所示，由三棱锥的三视图得：该三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形，设该三棱锥的外接球的半径为,R 球心为H 则()(2222221744DH HO OD R R R =+⇒=-+⇒=故则该三棱锥的外接球的表面积为22172894444S R πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭选D.7．【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】正三棱锥S ABC -中，若三条侧棱两两垂直，且3SA =，则正三棱锥S ABC -的高为（ ）【答案】C【解析】8．【2018届云南省昆明市高新技术开发区月考】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在表面积为100π的球O 的球面上，若4AB AC ==， BC =（ ）A. B. 132D. 【答案】D9．【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三下第四次模拟】已知正四棱锥P ABCD -中， 2,,PA AB E F ==分别是,PB PC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）16 D. 12【答案】C【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知)(),,,AE BF ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．则2222,,,AE BF ⎛⎫⎛=-=-⎪ ⎝⎭⎝⎭，则111cos ,AE BF AE BF AE BF-+⋅〈〉===１６．故本题答案选Ｃ．10．【2017年福建省数学基地校】已知H 是球O 的直径AB 上一点, :1:3AH HB =,AB ⊥平面α, H 为垂足, α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的体积为（ ）(A)169π (B) 27 (C) 1627π (D) 9【答案】B【解析】如图，11．【2018届四川省乐山外国语学校高三上练习三】三棱锥P ABC -中， ,,PA PB PC 互相垂直， 1PA PB ==， M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π 【答案】B三棱锥P ABC -扩充为长方体，则长方体的对角线长为2=，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为1R =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为244R ππ=． 选B.12．【2018届浙江省源清中学高三9月月考】如图，矩形ADFE ，矩形CDFG ，正方形ABCD 两两垂直，且2AB =，若线段DE 上存在点P 使得GP BP ⊥，则边CG 长度的最小值为（ ）A. 4B. D. 【答案】D【解析】() 24022ax ax PB PG x x a ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭.显然0x ≠且2x ≠.所以221642a x x=--. 因为()0,2x ∈，所以(]220,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章 解析几何第七节 抛物线班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的．)1.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线24x y =的焦点坐标是 ( )A. ()0,2B. ()0,1C. ()2,0 D 。

()1,0 【答案】B 【解析】242,2xy py p ==∴=，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，即为()0,1,故选B.2.【2018届新疆呼图壁县第一中学高三9月月考】抛物线2x y a=的焦点坐标为（0,－1)，实数a 的值等于 （ ）A 。

4 B. －4 C 。

14D.14- 【答案】B3。

【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】动点P 到点()0,2A 的距离比它到直线:4l y =-的距离小2,则动点P 的轨迹方程为（ ） A 。

24y x =B 。

28y x =C 。

24x y =D 。

28x y =【答案】D【解析】动点P 到()0,2A 点的距离比它到直线：:4l y =-的距离小2， ∴动点M到点()0,2A 的距离与它到直线2y =-的距离相等，根据抛物线的定义可得点M 的轨迹为以()0,2A 为焦点，以直线2y =-为准线的抛物线,其标准方程为28x y =，故选D.4。

已知F 是抛物线24yx =的焦点，A B ， 是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（)A. 4 B 。

5 C 。

6 D 。

11 【答案】B5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知抛物线2:4C y x=的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈,线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB =,则AF =（ ）A. 3B. 4C. 6 D 。

第六节双曲线1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e ＝ 2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 D [依题意，e ＝c a ＝a 2＋3a ＝2， ∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]3．(2017·台州质检)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) 【导学号：51062290】。