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正规矩阵的广义逆Generalized inverse of a normal matrix

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广义逆矩阵

广义逆矩阵

广义逆矩阵————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：浅谈广义逆矩阵摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(moore-penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。

文章中定理1和定理2说明条件i与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件i和iv与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。

abstract: the article introduces the concept ofmoore-penrose’s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. theorem 1 and theorem 2 in this article illustrate the relation between conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.theorem 3 illustrates condition i and condition iv’s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation.关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution0 引言在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■（1）或矩阵方程aξ=β（1）’的求解问题。

第4章 矩阵的广义逆

第4章 矩阵的广义逆

例题1 设W是C n 的子空间，证明 存在到W的投影 变换， 使R（）=W。
3、正交投影的性质
定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0C n， x 0 W，如果是空间C n向空间W的正交投影， 则
( x0 ) x0 y x0
y W
含义：点（x0）是空间 W 中与点x 0距离最近的点。
讨论：对任何满足式( ¤) 的左逆B，X=Bb都是方程组的
解，如何解释方程组的解是惟一的？
§ 4. 2 广义逆矩阵
思想：用公理来定义广义逆。 一、减号广义逆 定义4 . 2 (P . 95) A C m n ，如果，G C n m使得，
AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的 减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1， ， Ak–1} 例题1 A C nn可逆，则A–1 A{1}； A单侧可逆，则A –1LA{1}；A–1RA{1}。 减号逆的求法：定理4.5（P . 95） 减号逆的性质：定理4.6 (P . 96)
• 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。 • （定理4.9）设A奇异值分解 ：
H A U V ，则 0 0

1 0 H A V U 0 0
例题1 求下列特殊矩阵的广义逆；
零矩阵0； 1阶矩阵( 数) a； a1 对角矩阵
4、A + A与AA +的性质 定理4.15（P . 104）
A + A的性质：
• （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A + A • C n =R（A + ） N（A） • R （A + ）= N（A）

广义逆简介

广义逆简介
广义逆简介
广义逆的思想可追溯到 1903 年弗雷德霍姆(E. I. Fredholm)的工作，他讨论了关于积分算子的一种 广义逆(他称之为伪逆)。1904 年，希尔伯特(D. Hilbert)在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微 分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是 由摩尔(E. H. Moore)在 1920 年提出的，他以抽象 的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似 乎很少注意，这一概念在以后 30 年中没有多大发 展，只有曾远荣在 1933 年，默里(F. J. Murray)和 冯·诺伊曼(John von Neumann)在 1936 年对希尔伯 特空间中线性算子的广义逆作过一些讨论。
美国的数学水平就在他们这一代与欧洲先 进国家并驾齐驱，他们的学生也不必再到欧洲 游学了。
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曾远荣介绍 曾远荣(1903~1994)，国立中央大学教授， 数学家，我国泛函分析第一代著名学者。
曾远荣字桂冬，1903 年 10 月生，四川南溪 人。出生 8 个月父曾绍芬弃独子而逝，9 岁又丧 母，自幼住外婆家。1919 年 7 月曾远荣在成都 考取了清华学校留美预备部后，一直读到 1927 年 8 月去美国留学，先后在芝加哥大学、普林 斯顿大学、耶鲁大学学习研究数学。1930 年在 1930 芝加哥大学获硕士学位，1933 年获博士学位。5 月回国，8 月受聘为中央大学教授。1934 年 8 月至 1942 年 7 月一直任教于清华大学。1942 年 秋至 1945 年 7 月被成都燕京大学聘为客座教授。
国际数学会与 Klein 的演讲轰动整个美国数 学界，芝加哥大学很快就变成美国的数学重镇。 Moore 本身的研究非常出色，但更重要的是他教 出了许多更出色的学生，其中最有名的是 Dickson(1874 ～ 1954 年 ， 研 究 数 论 与 群 论 ) 、 Veblen(1880 ～ 1960 年 ， 研 究 几 何 学 ) 及 G. D. Birkhoff(1884～1944年，研究分析学)。日后他 们分别在芝加哥大学、普林斯顿大学及哈佛大 学带动研究，使这三个地方成为二十世纪上半 叶美国的数学重镇，而他们本身的研究也是世 界级的。

求矩阵的广义逆

求矩阵的广义逆

0 是A 的广义逆. (证毕)
一般地, 我们有: 如果m ×n 矩阵A 是满秩的, 且A 的 r ( r= m in (m , n) ) 阶子式 i1 i2 … ir
N j1 j2 … jr 的行列式不等于零, 则当m ≤n 时,
第4期
张静 求矩阵的广义逆
381
N-1 1
P
j1
2 j2
…m … jm
≠0 可知A 是满秩的, 但反之不成立.
例 设
125
A=
.
210
因为 A = - 18≠0 , 所以用伴随矩阵法求得A 的广义逆 G 1:
G1 =
1 A
A3
=
-
1
1 18
-
2
-3
-7 - 4=
3
-
1 18
1 9
1 6
又因为, A 的二阶子式:
7 18
2 9
-
1 6
12 N
=
1 2 ≠ 0, N 1 2
下面给出求矩阵广义逆的初等变换法: 本文只对m ≤n 的情形进行讨论, 当m ≥n 时, 利用列式相应的性质可得相应的结论. 用
1 2 …m N j 1 j 2 … jm
表示矩阵 A 的位于 1, 2, …, m 行; j 1, j 2, …jm 列的元素构成的A 的 m 阶子式.
定理 2 设 m ×n 矩阵 (m ≤n)A = (a ij ) , 如果 N
i1 i2 … ir N j1 j2 … jr
(r= m in (m , n) ) 的行列式不等于零, 则
1 2 …m
N-1
p
j1Βιβλιοθήκη j2…jm0
或 N i i1 1

第八章 矩阵的广义逆

第八章 矩阵的广义逆

第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘

第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。

作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。

其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。

广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。

据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。

其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。

为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。

§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。

用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。

利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。

在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。

定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。

广义逆矩阵


1 0 0
10 0
1 0
0
0 1


0 1 0
0 0
0 1

把 y1 0,0,1,0T , y2 0,0,0,1T 扩充为R4 的一组标准正交基得：
y3 1,0,0,0T , y4 0,1,0,0T 再令 U y1, y2 , y3, y4 ,
设r 0,由满秩分解定理知，存在B Crmr ,C Crrn , 使得A BC
令X C H (CC H )1(BH B)1 BH
可以验证X满足广义逆矩阵方程
对于矩阵方程
几类弱逆
AXA A
(P1)
XAX X
AX H AX
(P2 ) ( P3 )
XAH XA (P4 )
则有唯一解 x A1b; 但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解
不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。
2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的
解，即 min x , 其中 为欧氏范数，可以证明满足此条件 Axb
的解是唯一的，称为极小范数解。
3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际 问题中，需要求出这样的解：
Al --最小二乘广义逆
A{1,4},它的形式记为
Am 最小范数广义逆
广义逆A-
A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若
AA-1A=A, 则记 A A{1}
说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-
2）A的减号逆A-不唯一。
例：设
A

1 1
0 0,
1 0
第七章 广义逆矩阵
广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切 联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性 方程组的解可表示为x=A-1 b

广义逆矩阵及其应用【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学广义逆矩阵及其应用一、前言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。

凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。

1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。

文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。

另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。

1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。

泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。

他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。

1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。

广义逆矩阵及其应用 毕业论文

目录摘要 (III)ABSTRACT (IV)1前言 (1)1.1选题的背景和目的 (1)1.2本文要解决的问题和所用的方法 (1)2 广义逆矩阵的概念 (2)2.1广义逆矩阵的基本概念 (2)2.2减号逆 (3)2.3自反广义逆 (4)2.4最小范数广义逆 (4)2.5最小二乘广义逆 (5)2.6加号逆 (6)3 广义逆矩阵的性质 (8)4广义逆矩阵的计算方法 (10)4.1满秩长方阵的广义逆的概念 (10)4.2广义逆矩阵的计算方法 (10)4.2.1初等变换法 (10)4.2.2满秩分解法 (11)5广义逆在解线性方程组中的应用 (14)5.1线性方程组的求解问题的提法 (14)5.2相容方程组的通解与减号逆 (15)5.3相容方程组的极小范数解与最小范数广义逆 (16)5.4不相容方程组的最小二乘解与最小二乘广义逆 (18)5.5加号逆的应用 (20)总结 (22)谢辞 (23)参考文献 (24)摘要广义逆矩阵是对一般逆矩阵的推广，把方阵求逆推广到非奇异矩阵求逆。

广义逆矩阵在解线性方程组中有广泛的应用，它为解决复杂线性方程组提供了一种捷径。

掌握正确的使用广义逆矩阵具有重要的意义。

论文具体讨论了广义逆矩阵的概念、性质及计算方法，还有不同类型的广义逆矩阵在解线性方程组中的应用。

举出了应用广义逆矩阵来解决不同类型的实例，并且每一个例子解答前有分析，解答后有总结或结论，并从中归纳出一些应用规律。

本论文主要通过总结广义逆矩阵的概念及不同的应用，巩固并加深了矩阵的基础知识，同时也提高了分析解题能力。

关键词：广义逆矩阵；满秩长方阵；线性方程组；最小二乘解Generalized Inverse Matrix and Its ApplicationABSTRACTGeneralized inverse matrix is the promotion of the general inverse matrix, which is the inverse square extended to non-singular matrix inversion. Generalized inverse matrix are widely used in solving linear equations, and it provides a shortcut to solve complex linear equations. It is very important to master the correct use of generalized inverse matrix.The paper specifically discusses the concept of generalized inverse matrix, the nature and method of calculation, and there are different types of generalized inverse matrix in the solution of linear equations. There are some different instances of the application of generalized inverse matrix in the paper,.We can be concluded and find the law from the case. We consolidate the basics of matrix generalized inverse matrix by summing up the concept and different applications, improving our problem solving ability.Key Words: generalized inverse matrix; long full rank matrix; linear equations; least squares solution1前言1.1 选题的背景和目的我们知道矩阵逆的概念只对非奇异方阵才有意义，但是在实际问题中我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵也不都是非奇异的。

第八章矩阵的广义逆

第八章矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

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Any decomposition of a matrix A, as describe in Lemma 1.2(a), is called a unitary diagonal decomposition of a normal matrix. In this paper, we assume that the matrix A ∈ C n×n is a normal matrix with a unitary diagonal decomposition (1.1) and denote by Σ = diag (λ1 , · · · , λr ), where λi = λi + iλi , (i = 1, · · · , r) are the nonzero eigenvalues of A.
X21 K = X21 K from which we conclude that K −1 ΣX = Y O s r−s
s , X21 K = (Z
r−s O) .
12
Therefore X12 = Σ−1 K
Y O
,
X21 = (Z
O ) K −1 ,
(2.7)
where Y, Z are arbitrary submatrices of suitable size. Substituting in (2.5), the expressions for X21 , X12 given in (2.7), we get X22 = ZY .
n×n be a normal matrix. Then any {1, 2}-inverse is given by Corollary 2.1 Let A ∈ Cr
V ∗ XV =
(a) Using the unitary diagonal decomposition of A, we have that X ∈ A{1} if and only if Σ O O O X11 X21 X12 X22 Σ O O O = Σ O O O .
Hence, X11 = Σ−1 and X12 , X21 , X22 are arbitrary matrices of suitable size. (b) Similarly, X satisfies XAX = X if and only if X11 ΣX11 X21 ΣX11 i.e. X11 ΣX11 = X11 X11 ΣX12 = X12 X21 ΣX11 = X21 X21 ΣX12 = X22 3 (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) X11 ΣX12 X21 ΣX12 = X11 X21 X12 X22 ,
by its Schur decomposition.
Keywords:
Schur decomposition; normal matrix; generalized inverse.
1
Introduction
Let C n×m denote the set of all complex n × m matrices. By A∗ we denote the conjugate

Σ− 1 X21 Σ− 1 K
X12 X22 Is
V ∗, O Y O
V ∗,
(b)
A(2) = V
O O ( Z O ) K −1
K −1
Σ− 1 K ZY
where X12 ∈ C r×(n−r) , X21 ∈ C (n−r)×r , X22 ∈ C (n−r)×(n−r) , Y ∈ C s×(n−r) and Z ∈ C (n−r)×s are arbitrary submatrices and 0 ≤ s ≤ r. Proof. Let X ∈ C n×n be given by r n−r X11 X12 X21 X22 r n−r (2.1)
n×n the set of all matrices A ∈ C n×n such that transpose matrix of A ∈ C n×m and by Cr
rank (A) = r. In denotes the unit matrix of order n. Let us recall that the Moore-Penrose inverse of A ∈ C n×m is the unique matrix A† ∈ C m×n which satisfies (1) AA† A = A, (2) A† AA† = A† , (3) (AA† )∗ = AA† , (4) (A† A)∗ = A† A.
gular matrix K ∈ C r×r such that B=K Is O O O K −1 .
n×n be a normal matrix. Then all matrices A(1) , A(2) are given by Theorem 2.1 Let A ∈ Cr
(a)
A(1) = V
For any A ∈ C n×m , let A{i, j, ..., l} denote the set of matrices X ∈ C m×n which satisfy equations (i), (j ), ..., (l) from among the equations (1), (2), (3), (4). A matrix X ∈ A{i, j, ..., l} is called an {i, j, ..., l}-inverse of A, and also denoted by A(i,j,...,l) . All of these matrices are called the generalized inverse of A. Generalized inverses of matrices are widely applied in many fields, for example, in numerical analysis, network theory, mathematical statistics, optimization problems. The Drazin inverse of A ∈ C n×n is the matrix X , denoted by AD ∈ C n×n which satisfies Ak+1 X = Ak , XAX = X, AX = XA, for some nonnegative integer k . The least such k is the index of A, denoted by ind(A). Also, the index of A can be defined as the least nonnegative integer k such that rank (Ak ) = rank (Ak+1 ).
Generalized inverse of a normal matrix
Bing Zhenga , Lijuan Yea , Dragana S. Cvetkovic-Ilifor generalized inverses of a normal matrix are discussed
Multiplying equation (2.2) with Σ from the left side, we get (ΣX11 )2 = ΣX11 . Now, by Lemma 2.1, it follows that there exists a nonsingular matrix K ∈ C r×r such that ΣX11 = K where 0 ≤ s = rank (X11 ) ≤ r. Hence, X11 = Σ−1 K Now, equations (2.3) and (2.4) have the form Is O O O K −1 ΣX12 = K −1 ΣX12 Is O O O (2.6) Is O O O K −1 . Is O O O K −1 ,
1
When k = 1, X is called the group inverse of A. Drazin inverses [5] provide solutions for systems of linear differential equations and linear difference equations. In [1] singular value decompositions are used to obtain formulae for the generalized inverse of a matrix A. Recently, [2] studies expressions for generalized inverses of a real symmetric matrix by means of congruence decompositions. In this paper, we discuss expressions for generalized inverses of a special class of matrices, normal matrices, using their Schur decomposition. Remark that the class of normal matrices is very important in matrix analysis. First, we will state the definition of normal matrices and the Schur decomposition theorem. Definition 1.1 A ∈ C n×n is a normal matrix if A∗ A = AA∗ .
(1) (2)
2
2
General expressions for {1}, {2}, {1, 2}−inverses