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基本不等式及其应用PPT演示文稿

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2.4 基本不等式及其应用.ppt

2.4 基本不等式及其应用.ppt
若 a、b∈R＋，且 ab＝P，P 为定值，则 a b 2 P ，
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

第三十五讲 基本不等式及其应用课件.ppt

第三十五讲 基本不等式及其应用课件.ppt

B．1
C．2
D．3
答案 C
4．(2011·陕西)设 0<a<b，则下列不等式中正确的是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
解析 代入 a＝1，b＝2，则有 0<a＝1< ab＝ 2<a＋2 b＝ 1.5<b＝2.我们知道算术平均数a＋2 b与几何平均数 ab的大小 关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为 B.
值 14S2. (2)若 xy＝P(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最
小值 2 P.
即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定 值，则可求其和的最小值．应用此结论要注意三个条件；“一 正二定三相等”，即：
① 各项或各因式为正 ；②和或积为定值 ；③各项或 各因式都能取得相等的值．
思考感悟 在应用基本不等式解决实际问题时，要注意什么？ 提示 (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值； (4)回到实际问题中，写出实际问题的答案．
考点陪练
1.函数 y＝log2x＋logx2 的值域是( )
A．(－∞，－2]
22＋abb＝1a·1＋b b2＝1a1b＋12≤1a＋1b2＋122＝196.
答案 A
名师讲解·练思维
类型一 证明不等式 解题准备 证明不等式是均值不等式的一个基本应用， 注意分析不等式的左右两边的结构特征，通过拆(添)项创设一 个应用均值不等式的条件．在解决本类问题时注意以下几点： ①均值不等式成立的前提条件；②通过加减项的方法配凑成 算术平均数、几何平均数的形式；③注意“1”的代换；④灵活 变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用．

基本不等式ppt课件

基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明

基本不等式及其应用ppt课件

基本不等式及其应用ppt课件
【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.

基本不等式(共43张)ppt课件

基本不等式(共43张)ppt课件

解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1

基本不等式课件(共43张PPT)


重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．

1 第1课时　基本不等式(共42张PPT)


解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
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第7 讲
基本不等式及其性质
江苏省普通高中数学课程标准 教学要求 : 掌握基本不等式 ab ≤ （a≥0，b≥0）；能用基本不等式证明
简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用 基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不 等式即可解决的问题）。
ab 2
2009江苏高考数学科考试说明 :c级
思考题：函数 f ( x) 取得最小值时 x 的值为
2 9 1 , ( x (0, )) 的最小值为 x 1 2x 2
1 x
4 y
.
问题：上面两个问题的有没有相同之处？
变式 2： 若函数 f ( x)
x , x 1 能用基本不 2 x 2(a 2) x 3a
等式求最大值，则 a 的取值范围是
3、 若 a , b 均为正实数， 且 成立，则 m 的最小值是
a
ba m b恒
。
1.解题方向是什么？ → 分离参数
2.变形之后，如何求
a ba b

的最
？ 值。
3.如何消去根号对求最值的影响？
即时训练：若 x , y 为正实数，且 x y a x y 恒成立，则a 的最 小值是 ．
小结：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质， 方能求得最值得结果．
例 4：已知向量 a (1, x) 向量 b ( x2 x, x) ， （ 1 ） 已 知常 数 m 满 足 2 m 2 ， 求 使得 不 等式
a b 1 m 成立的 x 解集 a b a b 1 m 对一切 x 0 恒成立 a b
问题 2：若从条件出发，则设什么未 知数？若从结论出发，则设什么未知 数？
2 3 2 x 25 x 5 x ax x 5． 三个同学对问题 “关于 的不等式
在 1,12 上恒成立， 求实数 a 的取值范围” 提出各自的解题 思路。 甲说： “只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说： “把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常 数，求函数的最值 丙说： “把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结 论，即的取值范围是
3.符合使用基本不等式的条件吗？
x, b1, b2 , y 成等比数列， 已知实数 x, a1 , a2 , y 成等差数列，
(a1 a2 ) 变式： 求 b1b2
2
的取值范围
解决本题的关键什么？ 把待求式转化为 x y的表达式 解后反思：
x2 y 2 得出 后，要注意对 x y 同号、异号进 xy 行讨论。即基本不等式的使用条件是否满 足
例 2：一变压器的铁芯截面为正十字型，为保证所需的磁通量，要 求十字应具有 4
5cm2 的面积，问如何十字型宽 x 及长
y ，才能使其外
接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.
制作人
小结：1 使用基本不等式的条件是什么？
一正、二定、三相等
2.要通过拆、分来构造使用基本不等式的 条件
2、 求 x, y, z 0, x 2 y 3z 0, 则 最小值为 。
y2 xz
的
问题：1.目标式中有多个变量，求 范围及最值时先怎么变形？
2. 应消去 x, y , z 中的哪个变量？
2 x 解关于 x 的不等式： ax 1 0
a 与 m 的地位相比有无差别？
课前热身：
4、某公司一年购买某种货物 400 吨，每次 都购买 x 吨，运费为每次 4 万元，一年的总 存储费用为 4 x 万元，要使一年的总费用与 总存储费用之和最小，则 x = 。
请把文字语言用数学符号表达出来
一、课前热身：
1、函数 y loga ( x 3) 1(a 0, 且a 1) 的图像恒 过定点 A，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上其中
1 2 mn 0 ，则 m n 的最小值
这个条件的作用是 什么？
。
条件的实质是什么？
什么时候取到最小值？
变式 1：已知 x 0 、 y 0 ，且 x y 1 则 的最小值 为
例 3：如图要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个 矩形栏目（即图中阴影部分） ，这两栏的面积之和为 18000 cm2 ，四 周空白的宽度为 10 cm ， 两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm ， 怎样确 定广告的高与宽的尺寸（单位： cm ） ，能使矩形广告面积最小？
问题 1：广告的面积如何计算？应该 设出什么未知数来表示面积？
（1） 求使不等式
的实数 m 的取值集合
1. 向 量 在 问 题 中 的 作 用 是 什 么？
向量是外壳，实质 是不等式问题
1 1 2.化简不等式 a b a b m 得到 x x m
3.第一问与第二问各是什么问题？
恒成立
解不等式
4. 第一问中的不等式解是不是确定的？与那个有 关？能否举出与该问题同一种类型的问题？