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第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．2．点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．3．在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（-3，-2）D．（2，-3）7.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（-2，-3）B．（-2，6）C．（1，3）D．（-2，1）8.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°9．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2 10.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．11.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．12.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．13.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．第二十五讲相似图形（一）：【知识梳理】1.比例基本性质及运用（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即a bb c=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．（3）比例的性质，①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。
课时训练(二十八)全等变换：平移、旋转、轴对称|夯实基础|一、选择题1．[2017·某某]下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )图K28－12．[2017·永州]江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，其中是轴对称图形的是( )图K28－2图K28－33．[2016·某某]如图K28－3，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a＋b的值为( ) A．2 B．3C．4 D．54．如图K28－4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( )A.10B．2 2C．3 D．2 5K28－4K28－55．[2017·聊城]如图K28－5，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC的延长线上，下列结论错误的是( )A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠BC．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′6．[2017·某某]把一X长方形纸片按如图K28－6①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( )图K28－6图K28－77．如图K28－8，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF 上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为( )图K28－8A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空题8．如图K28－9，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝________．K28－9K28－109．[2017·]如图K28－10，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：__________________．图K28－1110．[2016·某某]将等边三角形CBA绕点C顺时针旋转∠α得到三角形CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图K28－11所示，则∠α的大小是________．图K28－1211．如图K28－12，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝1，则FM的长为________．三、解答题12．[2017·某某]如图K28－13，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点)，以及过格点的直线l.(1)将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形；(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形；(3)填空：∠C＋∠E＝________°.图K28－1313．[2017·某某]如图K28－14，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，4)，B(－5，2)，C(－2，1)．(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积．图K28－1414．[2016·某某]如图K28－15，将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角α到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC分别与A1C1，BC1交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．图K28－15|拓展提升|图K28－1615．[2016·某某]如图K28－16，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF的周长是________．16．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图K28－17，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？图K28－17 图K28－18你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．他把管道l看成一条直线(如图K28－18)，问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图K28－19，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．(1)在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法)；(2)请直接写出△PDE周长的最小值：________．图K28－19参考答案1．B2．A3．A [解析] 由B 点平移前后的纵坐标分别为1，2，可得B 点向上平移了1个单位．由A 点平移前后的横坐标分别是2，3，可得A 点向右平移了1个单位．由此可得a ＝1，b ＝1，故a ＋b ＝2.4．A [解析] 连接BD ，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5.将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则有AE ＝4，DE ＝3，∴BERt △BED 中，BD ＝BE 2＋DE 2＝10.5．C [解析] 由旋转的性质可知∠BCB′＝∠ACA′，BC ＝B′C，∠B ＝∠CB′A′，∠B′A′C＝∠B′AC，∠ACB ＝∠A ′CB ′，由BC ＝B′C 可得，∠B ＝∠CB′B，∴∠CB ′B ＝∠CB′A′，∴B ′C 平分∠BB′A′.又∠A′CB′＝∠B ＋∠CB′B＝2∠B ，∴∠ACB ＝2∠B.∴C 错误．6．C [解析] 选项A 、B 不符合以折痕所在直线为对称轴的特征，选项C 、D 四个图形都符合以折痕所在直线为对称轴的特征，但选项D 的基本图形△的位置与题意不符，只有C 与之吻合(如图)，故选C.7．C [解析] 如图，根据折叠有∠1＝∠2，AN ＝MN ，∠MGA ＝90°， ∴2NG ＝AM ，AN ＝NG ， ∴∠2＝∠4.∵EF ∥AB ，∴∠4＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠DAG ＝60°.8．59．将△COD 绕点C 顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB(答案不唯一) 10．120° [解析] ∵三角形ABC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝60°.∵等边三角形CBA 绕点C 顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B ，C ，A ′三点在同一直线上， ∴∠BCA ′＝180°， ∴α＝180°－60°＝120°.11.52 [解析] ∵△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM ＝∠FCD＋∠DCM＝180°，DE ＝DM ，∠EDM ＝90°， ∴F ，C ，M 三点共线， ∠EDF ＋∠FDM＝90°. ∵∠EDF ＝45°， ∴∠FDM ＝∠EDF＝45°. 在△DEF 和△DMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DF ，∠EDF ＝∠FDM，DE ＝DM ，∴△DEF ≌△DMF(SAS)， ∴EF ＝MF. 设EF ＝MF ＝x ，∵AE ＝CM ＝1，且BC ＝3， ∴BM ＝BC ＋CM ＝3＋1＝4， ∴BF ＝BM －MF ＝4－x. 在Rt △EBF 中， EB ＝AB －AE ＝3－1＝2， 由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2， 即22＋(4－x)2＝x 2， 解得x ＝52，∴FM ＝52.12．解：(1)(2)见下图．(3)4513．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形． (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求作的三角形．(3)线段OA 扫过的图形面积为14π·OA 2＝14π·(32＋42)＝254π.14．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C.∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转角α到△A 1BC 1的位置，∴A 1B ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠A 1＝∠C，∠A 1BD ＝∠CBC 1. 在△BA 1D 与△BCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A 1＝∠C，A 1B ＝BC ，∠A 1BD ＝∠CBF， ∴△BCF ≌△BA 1D(ASA)．(2)四边形A 1BCE 是菱形．理由如下：∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转角α到△A 1BC 1的位置， ∴∠A 1＝∠A.∵∠ADE ＝∠A 1DB ，∴∠AED ＝∠A 1BD ＝α， ∴∠DEC ＝180°－α. ∵∠C＝∠A＝α， ∴∠A 1＝∠A＝α，∴∠A 1＝∠C，∠A 1BC ＝360°－∠A 1－∠C－∠A 1EC ＝180°－α， ∴∠A 1BC ＝∠AEC，∴四边形A 1BCE 是平行四边形． 又A 1B ＝BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形．15．8 [解析] 设AH ＝a ，则DH ＝AD －AH ＝8－a ，在Rt △AEH 中，∠EAH ＝90°，AE ＝4，AH ＝a ，EH ＝DH ＝8－a ， 由EH 2＝AE 2＋AH 2，得(8－a)2＝42＋a 2， 解得a ＝3.∵∠BFE ＋∠BEF＝90°，∠BEF ＋∠AEH＝90°， ∴∠BFE ＝∠AEH.又∵∠EAH＝∠FBE＝90°， ∴△EBF ∽△HAE ， ∴C △EBF C △HAE ＝BE AH ＝AB －AE AH ＝23. ∵C △HAE ＝AE ＋EH ＋AH ＝AE ＋AD ＝12， ∴C △EBF ＝23C △HAE ＝8.16．解：(1)作点D关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，点P即为所求(或作点E关于BC的对称点E′)，如图所示．(2)如图所示，连接DE，DP，∵点D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE为△ABC的中位线．∵BC＝6，BC边上的高为4，∴DE＝3，DD′＝4，∴D′E＝DE2＋DD′2＝32＋42＝5，∴△PDE周长的最小值为DE＋D′E＝3＋5＝8.故答案为8.。
