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物理量子计算的入门知识讲解在当今科技飞速发展的时代，量子计算作为一项前沿且具有巨大潜力的技术，正逐渐走进人们的视野。
对于大多数人来说，量子计算可能是一个充满神秘色彩的领域，充满了复杂的概念和难以理解的原理。
但别担心，接下来就让我们一起揭开物理量子计算的神秘面纱，走进这个令人着迷的世界，了解一些入门知识。
要理解量子计算，首先得明白什么是量子。
量子是物质和能量的最小离散单位，具有一些非常奇特的性质，这些性质与我们日常生活中的经验大不相同。
比如说，量子可以同时处于多种状态，这被称为量子叠加态。
想象一下一个普通的硬币，它要么正面朝上，要么反面朝上。
但在量子世界里，就好像这个硬币可以同时既是正面又是反面，是不是很神奇？而量子计算正是利用了这些奇特的量子性质来进行计算的。
传统的计算机使用二进制位（也就是 0 和 1）来存储和处理信息，我们称之为比特。
而在量子计算中，对应的概念是量子比特，或者简称 qubit。
一个量子比特不仅可以是 0 或 1，还可以是 0 和 1 的叠加态。
这意味着一个量子比特可以同时存储两个信息，两个量子比特就能同时存储四个信息，随着量子比特数量的增加，能够存储的信息量呈指数级增长。
那么，量子计算是如何实现计算的呢？这就涉及到量子门的概念。
量子门就像是传统计算机中的逻辑门一样，用于对量子比特进行操作和变换。
通过一系列的量子门操作，我们可以实现对量子比特状态的控制和改变，从而完成计算任务。
与传统计算相比，量子计算具有巨大的优势。
在处理某些特定类型的问题时，比如优化问题、密码学中的大数分解等，量子计算能够以远远超过传统计算的速度得出结果。
举个例子，如果要在一个无序的大列表中找到一个特定的元素，传统计算机可能需要逐个检查每一个元素，而量子计算机可以通过量子算法同时检查多个元素，大大提高了搜索效率。
然而，要实现实用的量子计算并非易事。
目前，量子计算还面临着许多技术挑战。
其中一个重要的问题就是量子比特的稳定性和相干性。
化学信息学是一门应用信息学方法来解决化学问题的学科。
20世纪中后期，伴随着计算机技术的发展，化学家开始意识到，多年来所积累的大量信息，只有通过计算机技术才能让科学界容易获得和处理，换言之，这些信息必须通过数据库的形式存在，才能为科学界所用。
发展现状伴随着药物发现和制造技术发展而产生的化学信息学最早是由Frank Brown 用下述简洁语言定义的：综合信息资源，将数据(data)转化为信息(information)，将信息转化为知识(knowledge)，并将它用于特定药物先导化合物的辨识和优化领域的一门学科。
众所周知，由于组合化学的出现使得药物学发生了革命性的变化。
现代药物设计可以利用计算化学的方法，通过分子建模和仿真虚拟合成各种化合物（solid phase synthesis）。
但是，通过这种方法得到的可供筛选的化合物库非常庞大，理论上可以合成的类药分子超过1040个。
显然，如果去实际合成每一个药物来进行筛选是不可能的，因此必须从大量的数据中总结出规律，并利用这些规律进行虚拟的高通量筛选(HTS)，以减少需要实际合成的化合物，同时尽可能地接近目标化合物。
面对如此大量的数据，需要将原本独立的化学、数学及计算机等学科融合起来，构建一系列计算技术工具，以便完成从数据到信息，从信息到知识"的整个化学信息处理过程。
这些技术工具不仅包括实验数据的分析处理，同时也包括分子各种性质的计算、化合物数据库的建立、分子的虚拟合成、QSAR的研究、化学结构和性质数据库的建立、基于三维结构的分子设计、统计方法的研究等。
化学信息学正是在上述需求基础上发展起来的一门交叉学科。
它综合了数学、化学、生物学、信息学、计算机应用、药物学等学科知识，主要研究如何适当地选取化合物库的多样性、如何表征药物分子特征、如何度量不同分子间的差异性、如何识别类药分子、分子结构和生物性能关系、如何研发相应的计算机软硬件等，这就包括了化学计量学及计算化学的研究任务和内容。
计算机化学计算机化学是一门涉及化学、计算机科学和数学等学科知识的交叉学科。
它主要研究的是如何利用计算机技术来模拟和预测分子结构、反应机制、性质等化学问题。
随着计算机技术的不断发展和计算能力的提高，计算机化学在化学研究中的应用越来越广泛，成为了化学研究中不可或缺的一部分。
计算机化学的基础是量子化学。
量子化学是一种研究分子结构、性质和反应机制等化学问题的理论方法。
它基于量子力学的原理，利用数学模型和计算方法来描述分子的电子结构和运动规律。
量子化学理论的发展和应用，为计算机化学的发展提供了坚实的理论基础。
计算机化学的基本方法是计算化学。
计算化学是一种利用计算机技术来解决化学问题的方法。
它包括分子模拟、分子设计、分子动力学模拟、量子化学计算、化学信息学等多种方法。
计算化学的主要目标是预测分子的结构、性质和反应机制，为分子设计和化学合成提供指导。
在计算机化学中，分子模拟是一种重要的方法。
分子模拟是利用计算机模拟分子的结构和性质，包括分子动力学模拟、分子静态模拟等。
分子模拟可以预测分子的几何结构、能量、振动频率、光谱等性质，为化学研究提供有力的工具。
分子设计是计算机化学的另一种重要方法。
分子设计是利用计算机模拟和计算方法设计新型分子，包括药物分子设计、催化剂设计、材料分子设计等。
分子设计可以快速预测分子的性质和反应机制，为新材料、新药物的设计和合成提供指导。
化学信息学是计算机化学的另一重要领域。
化学信息学主要研究化学数据的存储、管理、分析和挖掘，包括化合物数据库、反应数据库、结构预测、化学信息检索等。
化学信息学为化学研究提供了丰富的数据资源和分析工具，促进了化学研究的进展。
总之，计算机化学是一门涵盖化学、计算机科学和数学等多种学科的交叉学科。
它利用计算机技术和数学方法来模拟和预测分子的结构、性质和反应机制，为化学研究提供了有力的工具和方法。
随着计算机技术的不断发展和计算能力的提高，计算机化学在化学研究中的应用前景将更加广阔。
化学信息学的入门指南1. 引言化学信息学作为化学科学与计算机科学的交叉学科，旨在利用计算机技术和信息科学方法解决化学问题。
它不仅可以加速化学实验的设计与优化，还可以实现大规模数据处理与分析，为药物设计、材料科学等领域提供支持。
本文将介绍化学信息学的基本概念、主要方法和应用领域，以帮助读者了解和使用这一领域的知识。
2. 化学信息学的基本概念2.1 分子描述符分子描述符是化学信息学中的重要概念之一，它用数值或文本表示化学分子的结构、性质和活性。
常见的分子描述符包括分子的拓扑结构、物理化学性质、电子结构等。
分子描述符是进行分子相似性计算、药物设计和毒理性评估等任务的基础。
2.2 化学数据库化学数据库是存储化合物信息和相关数据的集合，它包括大量的化合物结构、性质、活性等信息，并提供搜索、筛选和分析功能。
化学数据库广泛应用于药物研发、材料科学等领域，并可供研究人员快速获取需要的数据。
2.3 分子建模与计算分子建模与计算是化学信息学中发展最为迅速的领域之一，它通过计算机模拟和预测手段研究化合物的结构、性质和活性。
常见的分子建模与计算方法包括分子力场、量子化学计算和药效团模型等。
这些方法可以为药物设计和材料发现提供重要依据。
3. 化学信息学的主要方法3.1 分子相似性计算分子相似性计算是一种判断两个或多个分子之间相似程度的方法，它常用于药物设计、环境毒理等研究。
常见的相似性计算方法包括基于拓扑结构的指纹法和基于分子描述符的 QSAR（定量构效关系）模型等。
3.2 药物筛选与设计在药物研发过程中，高吞噬药物筛选与设计是一个复杂而耗时的过程。
化学信息学可以通过建立药效团模型、虚拟筛选库和多参数优化等方法，提高药物发现与设计地效率，帮助研究人员找到具有潜在活性的候选化合物。
3.3 QSAR 模型QSAR（定量构效关系）模型是一种通过计算机预测化合物活性的方法。
通过收集一系列有关分子结构与活性之间关系的数据，并利用统计和机器学习技术建立模型，可以快速预测新候选分子的生物活性。
量子化学中的基组是在量子化学中用于描述体系波函数的若干具有一定性质的函数，基组是量子化学从头计算的基础，在量子化学中有着非常重要的意义。
基组的概念最早脱胎于原子轨道，随着量子化学的发展，现在量子化学中基组的概念已经大大扩展，不局限于原子轨道的原始概念了。
在量子化学计算中，根据体系的不同，需要选择不同的基组，构成基组的函数越多，基组便越大，对计算的限制就越小，计算的精度也越高，同时计算量也会随基组的增大而剧增。
目录1 斯莱特型基组2 高斯型基组3 压缩高斯型基组3.1 最小基组3.2 劈裂价键基组3.3 极化基组3.4 弥散基组3.5 高角动量基组斯莱特型基组斯莱特型基组就是原子轨道基组，基组由体系中各个原子中的原子轨道波函数组成。
斯莱特型基组是最原始的基组，函数形式有明确的物理意义，但是这一类型的函数，数学性质并不好，在计算多中心双电子积分时，计算量很大，因而随着量子化学理论的发展，斯莱特型基组很快就被淘汰了。
高斯型基组高斯型基组用高斯函数替代了原来的斯莱特函数。
高斯型函数在计算中有较好的性质，可以将三中心和四中心的双电子积分轻易转化为二中心的双电子积分，因而可以在相当程度上简化计算，但是高斯型函数与斯莱特型函数在处的行为差异较大，直接使用高斯型函数构成基组会使得量子化学计算的精度下降。
压缩高斯型基组压缩高斯基组是用压缩高斯型函数构成的量子化学基组。
为了弥补高斯型函数与处行为的巨大差异，量子化学家使用多个高斯型函数进行线性组合，以组合获得的新函数作为基函数参与量子化学计算，这样获得的基组一方面可以较好地模拟原子轨道波函数的形态，另一方面可以利用高斯型函数在数学上的良好性质，简化计算。
压缩高斯型基组是目前应用最多的基组，根据研究体系的不同性质，量子化学家会选择不同形式的的压缩高斯型基组进行计算。
最小基组最小基组又叫STO-3G基组，STO是斯莱特型原子轨道的缩写，3G表示每个斯莱特型原子轨道是由三个高斯型函数线性组合获得。
附件一哈尔滨工业大学硕士研究生数学基础课、基础理论课选课清单课程编号说明：1、第一位S表示硕士生课程；2、第二、三位表示学院，第四、五位表示系，不设系的学院第四、五位填写“0”；3、第六、七、八位表示顺序号；4、第九位表示开课学期（C表示春季学期开课，Q表示秋季学期开课）。
附件二应用研究型及全日制工程硕士研究生管理类课程附件三硕士研究生培养方案学科代码：081100学科名称：控制科学与工程类型：学术研究型一、研究方向1.控制理论与应用2.先进过程控制3.现代检测技术4.导航控制系统5.惯性技术6.制导、控制与仿真7.模式识别理论与应用8.智能控制二、课程设置注：1.学分要求见学校统一规定（见附件）。
2.根据课题需要，从学科交叉角度出发，特殊情况下，可选不在培养方案内的外院系课程2～4学分。
附件：课程设置及学分要求学术研究型硕士研究生在攻读学位期间，所修的总学分数为32～36学分，学位课的学分之和不少于19学分，应增强其理论性和基础性，基础理论课和学科基础课可以跨学院和跨学科设置，为学生今后攻读博士学位和从事科研工作打下坚实基础。
课程体系框架如下：1．学位课（19学分）（1）思想政治理论课程（3学分）（其中：课堂讲授2学分，社会实践1学分）（2）第一外国语（2学分）（3）数学基础课或基础理论课（4学分）（4）学科基础课（4～6学分）（5）学科专业课（4～6学分）学位课程均为考试课程。
除马克思主义理论课中的社会实践学分外，学位课必须采用课堂授课的方式进行。
学位课应全部在课程学习阶段完成。
2．选修课（6～8学分）选修课程应结合本学科主要研究方向或本领域学术前沿设置。
选修课一般为考查课程。
选修课程可采用教师讲授为主，教师辅导研究生进行研讨为辅的方法进行学习。
选修课应在课程学习阶段完成。
第二外国语在选修课范围内。
3．专题课程与实践环节（3～6学分）专题课程主要结合本领域学术前沿和硕士生学位论文的选题进行设置。
绪论1. 计算化学的定义计算化学是根据基本的物理化学理论（通常是量子化学）以大量的数值运算方式来探讨化学系统的性质狭义：量子化学广义：计算化学是一门涉及多种学科的边缘学科2.计算化学的类型以计算机体系为主的计算化学以计算数学为主要体系的计算化学和化工以化学应用为主的计算化学以介绍应用程序为主的计算化学以介绍在化学分析仪器中使用电子计算机为主的计算化学3.计算化学的地位促进化学界的研究方法和工业界的生产方式不断革新。
是绿色化学和绿色化工的基础，是联系化学化工为国民经济可持续性发展服务的桥梁。
中科院院士徐光宪先生在其报告中称“理论化学和计算化学的基础及应用研究”是21世纪化学的11个突破口之一。
4.量子化学发展简史20年代末，Heitler－London使用量子力学处理H原子，H2分子，标志量子化学计算的开始量子化学，两个流派：价键理论（VB）、分子轨道理论（MO）价键理论和分子轨道理论的根本区别在于，价键理论是电子两两配对形成定域的化学键，这里所说的定域，通俗讲就是电子被束缚在某个固定的位置振动，而不会在分子内部的任何地方运动。
而分子轨道理论的本质是假设分子轨道是由原子轨道线性组合而成，允许电子离域在整个分子中运动，而不是在特定的键上。
简单说，价键理论中的电子是固定在某个区域内运动，分子轨道理论中的电子是在分子内部的所有区域内运动。
Gaussian的核心思想：50年代的时候，使用类氢离子波函数为基函数，后来使用Slater函数（STO）为基函数，后来又采用Gauss函数拟合STO。
80年代，是量子化学计算飞速发展的时期。
赝势是针对重原子体系而提出的。
90年代，以密度泛函理论为基础的DFT方法迅速发展起来。
最大的特点：轨道波函数为基->密度函数为基。
由此引申出的方法有广义梯度近似（GGA）、密度泛函与分子轨道的杂化方法（B3LYP）。
我国的XIAMEN99采用的VB方法。
有三种方法：VB价键方法，MO分子轨道方法，DFT密度泛函方法。
计算化学专业学习经验分享作为一个计算化学专业的学生，我一直认为这是一个充满挑战和机遇的领域。
在我的学习过程中，我结合了自己的经验和别人的建议，深化了对计算化学的理解和掌握。
下面是我分享的一些学习经验。
深化数学基础计算化学要求有扎实的数学基础。
数学是计算化学的重要工具，多数计算方法和理论都有数学基础。
因此，在学习计算化学之前，你需要充分掌握数学知识，包括线性代数、微积分、概率论、统计学等。
这些数学知识不仅有助于计算化学理论的理解，还可以提高计算化学研究中的模型建立和计算的精确性。
加强编程能力计算化学涉及到大量的数值计算和模拟，为此需要用到各种编程工具和软件。
Python、MATLAB、Fortran、C++等编程语言是计算化学中最常用的工具，在学习过程中需要加强编程能力。
熟练掌握编程语言，能够快速编写程序和软件，有助于提高计算化学研究的效率和准确性。
同时，编程能力也是科研能力的重要组成部分，是进行计算化学研究的基础。
了解计算方法和理论计算化学是一门理论较为丰富、方法多样的学科。
因此，在学习中，需要广泛了解计算方法和理论，包括分子力学、量子化学、反应动力学、化学信息学等等。
这些理论和方法对于解决化学问题具有重要的作用。
通过深入了解计算方法和理论，能够更好地理解计算模型和计算方法的优缺点，从而逐步掌握计算化学的研究思路和技巧。
注重实践操作理论知识对于计算化学的学习和研究非常重要，但实际操作同样不可忽视。
在学习中，要注重实践操作，通过实验数据和模拟结果的比对，深入了解计算方法和理论的应用和精度。
学生可以通过参与计算机辅助化学实验、分子模拟实验等实验课程，积累实践经验并深入感受计算化学的应用。
建立良好的团队合作和交流机制计算化学研究需要涉及到多个学科领域和专业知识，因此需要建立良好的团队合作和交流机制。
要注意与老师和同学之间的沟通和交流，在团队合作中学习别人的经验、分享自己的知识，在交流过程中逐渐形成自己的研究思路、建立自己的研究方向。
量子化学计算的方法与技巧总结量子化学计算是一种利用量子力学原理对原子、分子和材料进行计算模拟和预测的方法。
它在材料科学、药物研发、催化剂设计等领域具有广泛的应用。
本文将对量子化学计算的方法与技巧进行总结，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
一、基本原理与理论基础量子化学计算基于量子力学原理，使用薛定谔方程描述系统的波函数演化。
这个方程是一个含有多个变量的偏微分方程，求解波函数的行为是计算中的核心任务。
常用的求解方法包括哈特利-福克方程、变分法、常微分方程数值求解等。
在进行量子化学计算前，需要建立模型和选择适当的物理模拟方法，如确定分子结构、选择合适的基组、处理电子关联效应等。
二、计算方法1.分子结构优化分子结构优化是指通过数值方法确定分子在几何结构和电子态方面的最稳定状态。
常用的方法有力场方法、密度泛函理论（DFT）、Hartree-Fock（HF）方法等。
力场方法的优点是速度快，但对于描述化学键性质等量化性质有限。
DFT方法以电子数密度为变量进行计算，较准确地描述了分子的电子性质和结构特征。
HF方法是一种近似方法，用于求解分子能量和波函数，适用于简单的体系。
2.基组选择基组是描述分子的基本数学函数集合，它决定了量子化学计算的准确性。
常用的基组包括收缩基、扩展基和高斯基组。
收缩基为每个原子提供一组函数，其中包含与该原子关联电子的信息；扩展基通过向收缩基组添加坐标来提高精度；高斯基组是一种利用高斯函数来表示电子波函数的方法，它具有灵活性和高精度。
3.能垒计算能垒计算是计算反应速率倒数的方法。
它是通过计算系统在反应路径上的各个构型的势能曲线来实现的。
常见的方法包括近似势能表达式法、自由能表达式法和振动性质法。
近似势能表达式法基于简化的势能函数来计算反应的能垒；自由能表达式法基于热力学性质计算反应的能垒；振动性质法通过计算反应物和产物之间的动力学性质来计算反应速率。
三、技巧和注意事项1.合理使用密度泛函理论DFT方法是描述电子体系的重要方法之一。
物理学与化学中的计算方法及其应用物理学和化学是现代科学的两个重要分支，也是科学技术的基础。
随着计算机技术的发展，计算方法在物理学和化学领域中的应用越来越广泛，已成为两个领域内一项不可或缺的手段。
本文将介绍物理学和化学中常用的计算方法及其应用。
一、物理学中的计算方法及其应用物理学是研究物质与能量及其相互作用的科学，其研究对象覆盖了宏观世界和微观世界。
物理学中的计算方法主要包括理论计算、数值计算和模拟计算三种方法。
1. 理论计算理论计算是物理学中最基本的计算方法，其核心是基于数学公式、物理定律和简化模型的计算。
例如，牛顿力学、量子力学、相对论等都是由理论计算方法建立起来的。
近年来，理论计算方法被广泛应用于物质科学研究中的材料设计和性能预测领域。
通过计算机模拟和虚拟实验，研究人员可以快速计算和分析不同材料的性能以及确定其最佳配方和制备条件，从而提高材料的研究效率和研发成功率。
2. 数值计算数值计算是物理学中常用的一种计算方法，它通过对物理过程进行离散化和数值逼近，以数值解的形式得到方程组的近似解。
例如，有限元法、差分法、积分法等都是数值计算方法的代表。
数值计算方法在物理学中的应用非常广泛，例如仿真气象预报、分子动力学模拟、声学计算等。
其中，分子动力学模拟是利用数值计算方法对分子系统进行模拟，研究分子在不同条件下的热力学性质、机械性能和各向异性等，广泛应用于生物物理学、材料科学和化学等领域。
3. 模拟计算模拟计算是物理学中最直观的计算方法之一，它通过数值模拟复杂现象进行分析和预测。
例如，计算流体力学、计算天文学、计算机视觉等都是模拟计算的典型应用。
模拟计算方法在物理学中的应用有很多，其中计算流体力学是将流体力学的基本方程通过数值模拟的方式求解，用来模拟和预测固体和流体交互作用的结果，广泛应用于航空航天、船舶工程和气象预报等领域。
二、化学中的计算方法及其应用化学是研究物质结构和性质的科学，它涉及了分子、离子和原子等微观世界的研究。
量子计算在化学中的应用量子力学是一门极其神秘的学科，其研究的对象是原子、分子以及更微观的系统。
虽然这门学科曾经被认为只是一个理论领域，但随着计算机领域的发展，量子计算被认为是未来计算科学的重要分支。
尤其是量子计算在化学中的应用，将会有着广泛的应用。
量子计算可以被理解为是一种新型的计算方法。
量子比特，也就是量子计算的基础，更叫做“量子位”，是由量子力学中的量子系统组成的。
与经典的比特不同，量子比特不仅仅是0和1的抉择，而是一个连续的状态，可使处理数据的速度更快、更强大。
量子计算在化学中的应用，主要集中于计算量子化学中的复杂问题。
在量子化学中，计算复杂性表示了一个基于哈密尔顿量的耗时的计算问题。
利用经典计算机计算这些问题是非常耗时的，甚至是不可能的。
而量子计算在这个领域的作用，就是能够加速计算过程。
一个经典计算机模拟分子结构的计算复杂度随着分子的大小增长呈指数级增长。
而量子计算机使用量子纠缠，能够实现比经典计算更高效的模拟。
其中最为广泛的应用，是分子结构和波函数的计算。
首先，量子计算能够被用于模拟和讨论分子的行为。
通过建立哈密尔顿量的模型，可以计算出分子的能量、电荷、原子旋转等等属性。
这样的计算在化学中是非常重要的，因为它是理解和预测分子行为的关键点。
而量子计算机能够运用算法和工具完成这样的计算，这大大减少了计算时间，使得科学家们可以更快速地研究和理解分子结构和性质。
其次，量子计算还可用于探究分子的电子波函数。
波函数表示了分子的能态，即分子在不同的能量水平上所处的状态。
这样的波函数研究，是通过创造大量数据来实现的。
不过，很多的耗时依旧是由于哈密尔顿量。
但是量子计算机能够利用它的优势来解决这类问题，例如Grover和Simon算法，通过找到一个特定的目标状态并对其进行精确计算，避免了传统模拟方法中非常耗时的构建波函数的步骤。
基于量子计算的计算框架还有很多，例如QUBO、QAOA等等，它们都在化学领域有着广泛的应用。
第一章 量子化学基础 1. 量子力学基本假设量子力学基本原理可以归纳为一系列基本假设，这些假设不需证明， 其正确性可从由此导出的结论的自洽性和与实验的符合程度得到验证。
【假设一】量子力学体系的状态可由波函数)21(),,(n i t q i 、、、描述， ),(t q i 是粒子坐标)(i i i i z y x q 、、即和时间t 的函数，满足单值、连续和平方可积的标准化条件（故称),(t q i 为品优函数）。
d *表示特定时间内n 个粒子在区间111dq q q ～、222dq q q ～ ……n n n dq q q ～内出现的几率。
由于在全部空间内总能找到这些粒子，积分归一化：1d 。
),(t q i 满足态的叠加原理：若n 21是某一量子体系的可能状态，则它们的线性组合： ni i i c 1 ＝也是该体系的可能状态。
【假设二】体系的每一个物理量对应一个线性厄米算符，这些算符的构造规则是：)()(t q qi F t q p F 、、、、…… （1－1） （即只将动量变为动量算符）。
【假设三】体系的状态随时间的变化规律，由含时间薛定谔方程给出： tHi …… （1－2） 【假设四】量子力学中，测量物理量F 可得到的仅有的确定值是本征方程i i i g F的本征值i g （F 是物理量F 对应的厄米算符）。
【假设五】若算符F 是任意物理量F 厄米算符，则本征方程i i i g F的本征函数i 构成一完备集}{i ，体系的任一状态 都可由}{i 线性表出：i ii c ＝。
【假设六】若),(t q 是体系在时刻t 的状态函数，则在时刻t 测定物理量F 的平均值为：d t q t q d t q F t q F F ),(),(),(),（＝＝－…… （1－3）1是归一化系数。
2. 状态波函数是Hilbert 空间的向量Hilbert 空间___定义了内积的完备的复矢量空间。
严格定义Hilbert 空间需用到Cauchy 序列，这里仅从线性空间角度引入这一概念。
