【精品】PPT课件 第六讲 分式的运算

分式函数：解决实际问题中的函数关系
03
分式不等式：解决实际问题中的不等关系
04
分式数列：解决实际问题中的数列关系
05
分式极限：解决实际问题中的极限关系
06
分式积分：解决实际问题中的积分关系
数学公式的推导
分式的定义：形如A/B，其中A、B
01
是整式，B≠0 分式的运算：包括加法、减法、乘
03
法、除法、乘方、开方等 分式的应用：包括求解方程、不等
整式，分式的值不变
分式的通分：将两个或 多个分式的分母化为相 同，以便进行加减运算
分式的约分：将分式的 分子、分母同时除以它 们的最大公因式，以简
化分式
分式的加减法：将分式 的分子、分母分别相加 或相减，得到新的分式
分式的乘除法：将分式 的分子、分母分别相乘 或相除，得到新的分式
分式的幂运算：将分式 的分子、分母分别进行 幂运算，得到新的分式
乘方和开方：分式乘方，分式开 方
添加标题
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分式除法：分子相除，分母相除
混合运算：分式乘法、除法、乘 方、开方混合运算
乘方和开方
01
乘方：分式乘方时，分子和 分母分别乘方，分母中如果 有平方项，需要先开方
03
运算顺序：先乘方，后开方， 遵循先乘除后加减的运算顺 序
开方：分式开方时，分子和 分母分别开方，分母中如果 有平方项，需要先开方
分式分解
01
分式分解的定义：将分式分解为两 个或多个分式的过程
02
分式分解的方法：提取公因式、分 组分解、公式分解等
03
分式分解的步骤：观察分式的结构， 选择合适的分解方法，进行分解

探索分式的加减法法则
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相 同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广， 得出分式的加减法法则吗？
1 + 5 1 + 2
2 = 5 1 = 3
3 ； 5 3 2 5 + = ； 6 6 6
1 2 1 - =- ； 5 5 5 1 1 3 2 1 - = - = ． 2 3 6 6 6
1 1 （2） + ． 2 p+3q 2 p -3q
5 x+ 3 y 2x 5 x+3 y - 2 x 解： （ 1） 2 2 - 2 2 = x -y x -y x 2 -y 2 3 x+ 3 y （ 3 x+y） = 2 2 = x -y （x+y） （x-y） 3 = ； x -y
运用分式的加减法法则
x
）
B
x 1
B
x
2 C1 且x 5
2 D 任意有理数 x 5
得
分析： 分母
(5 x 2)(x 1)
0
x 1 0且5 x 2 0
y2 y 1
(
2.当
y
时，分式① 1
y2 ② y 1
无意义的是 y( y 2) ( y 1)( y 2) C ①③ D ②④
x x x-2 … … -2 -1 0
0 -1
无意 义
1 -1
0
2
无意 义
… … …
x-1 … 4x+1
x -1 … -1 0 -1 x+1 思考： 1、第2个分式在什么情况下无意义？ 2、 这三个分式在什么情况下有意义？ 3、这三个分式在什么情况下值为零？

• （2）找字母：凡各分母因式中出现的所有 字母或含字母的式子都要选取。
• （3）找指数：取分母因式中出现的所有字 母或含字母的式子中指数最大的。
• 这样取出的因式的积，就是最简公分母。
随堂练习
• 通分：
(1)
3a 5a
2b b
,
ab 5a3bc
,
ba 5a2b
(2)
a 2b
,
b 3a
,
c 4ab
• （4）若分母是多项式时，先按某一字母顺 序排列，然后再进行因式分解，再确定最 简公分母。
练一练
通分：
1
3 2x2
,
4 5x
; 2
m 15 m2 9
,
3
2 m
(3)
5x 1 ab 6ab2
2
确定最简公分母的一般步骤
• （1）找系数：如果各分母的系数都是整数， 那么取它们的最小公倍数。
• 如果分式的分母不一样能不能进行 加减运算呢?
• 如果能该如何去做呢?
类比归纳
• 计算下列各式:
1 3 1 ;2 4 2 ;
4 12 15 25
3 2 1 ;4 1 1
36 23
通分的概念
• 通分：根据分式的基本性质，把几个异分 母的分式分别化成与原来的分式相等的同 分母的分式，叫做通分。
• 过程：
用于暗反应
水的光解：
2H2O
光 色素
O2+4H++4e-
酶
NADPH的形成： NADP++2e+H+
NADPH
ATP的形成： ADP+Pi + 电能 酶（活A跃TP化学能）

类专型题： 课(堂1)(分六式) 无分意式义的，运三值算为、正、分负式或0的的条化件；简求值
(2)分式的基本性质及应用．
类型：(1)直接给出字母类的值型； ：(1)直接给出字母的值；
(2)由方程(或不等式)得出字母的值(或取值范围)；
类类型型： ：((11))分 直式接无给意出义字，母(值的2为值)由正；、方负或程0的(或条件不； 等式)得出字母的值(或取值范围)；
第十五章 分 式
专题课堂(六) 分式的运算
一、分式的意义与性质 类型：(1)分式无意义，值为正、负或0的条件； (2)分式的基本性质及应用．
【例 1】若实数 a，b 满足ba＋ba＝2，求aa22＋＋4aabb＋＋bb22的值． 分析：本题有两种解法，解法 1：根据分式的基本性质，把求值式的 分子、分母都除以 ab，再进行适当的变形，使之出现条件式，把条件式整 体代入即可；解法 2：对条件式进行变形，可得 a2＋b2＝2ab，整体代入求 值式即可．
类型：(1)分式无意义，值为正、负或0的条件；
类(3)型将：含(字1)分母式的无等意式义整，体值代为入正求、值负．或0的条件；
类型：(1)分 直式接无给意出义字，母值的为值正；、负或0的条件；
专(2)题由课方堂程((六或)不等分式式)的得运出算字母的值(或取值范围)；
类型：(1)直 分接式给无出意字义母，的值值为；正、负或0的条件；
类 类(2)型型分：：式((的11))分直 直基式 接接 本无 给给 性意 出出 质义 字字 及9．， 母母 应值 的的 用先为 值值 ．化正 ；；、简负，或0再的条求件值； ：(x－x 1－x2－x 1)÷x2－x2－2xx＋1－xx＋＋21，其中 x 是不等 专类((((类类2322))))题型型型由 将 分 由课 ： ： ：方含式方堂(((程字的程111)))(分 ((分 直母基六或或式的本式接式)不不无等性无给等等分组意式质意出式式式义整及义字))的得得23，体应，母运xx出出值代用值的－＋算字字为入．为值母母17正求正；<>的的、值、51值值负．负，((或或的取取00的的值值整条条范范件件数围围； ；))解； ； ．

90 60 30 v 30 v
v6
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考 某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均
速度为多少? 路程= 速度·时间
路程
提速前 s
提速后 s+50
表达问题时，用字 母不仅可以表示未 知数(量) ，也可以 表示已知数(量).
找相等关系.
1
1
3
6
甲队施工1个月的工程量+甲队施工半个月的工程量
+乙队施工半个月的工程量=总工程量(记为1).
1 2x
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
总工程的 1 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总 3
15.3 分式方程
学习目标
1.会列分式方程解决实际问题；
分 式
2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实
方
际意义验证结果是否合理；
程 的
3.通过分式方程的应用学习，培养学生的数学应用意识，提高分析问
应
题解决问题的能力；
用
4.通过解决实际问题，使学生感受到数学知识能够解决生活中的问题，
提升学生对数学的热爱.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
回顾
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速 沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？
V顺水= V船速+ V水速 V逆水= V船速 – V水速 路程= 速度·时间 S= v·t

一元二次分式方程的解法
定义
一元二次分式方程是只含有一个 未知数，且未知数的次数为2的
分式方程。
解法
通过去分母、移项、合并同类项 等步骤，将分式方程转化为整式
方程，然后求解。
注意事项
在去分母时，要注意分母不能为 0的情况。
多元一次分式方程的解法
定义
多元一次分式方程是含有多个未知数，且未知数的次数为1的分式 方程。
05
分式的注意事项与易错点
Chapter
约分时需要注意的事项
约分的前提
约分前需要确定分子和分母有公因式，且公因式不为0。
约分的步骤
先找出分子和分母的最大公因式，然后将其约去。
约分的注意事项
约分时要注意不要约去不合适的公因式，导致分式失去意义。
通分时需要注意的事项
通分的定义
通分是将两个或多个分数的分母统一的过程。
解法
通过消元法或代入法，将分式方程转化为整式方程，然后求解。
注意事项
在消元或代入过程中，要注意分母不能为0的情况。
04
分式在实际生活中的应用
Chapter
物理中的应用
速度与加速度
在物理中，速度和加速度的公式可以表示为分式 形式，用于描述物体的运动状态和变化。
热量传导
热量传导的公式中，时间、物体的质量和比热容 之间的关系也可以用分式表示。
约分
约分定义
将一个分数的分子和分母进行因 式分解，然后找出公共因子进行
约简。
约分步骤
1. 将分子和分母分别进行因式分解 ；2. 找出分子和分母的公共因子； 3. 约去公共因子得到最简分数。
注意事项
约分时要注意分子和分母的符号， 确保约简后的分数与原分数相等。

答：甲追上乙需要 时．当a=6，b=５时，甲追上乙需要 ５时．
解：根据题意，乙先行１时的路程是１×b（千米），甲比乙每小时多行（a－b）千米，所以甲追上乙所需的时间是 b÷（a－b）= （时） 当a=6，b=５时，甲追上乙所需的时间是
＝
＝５（时）
代数式
整式
分式
分母中必含有字母
分母不能为零
当分子为零，分母不为零时， 分式值为零。
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （ ）
（A）
（B）
( C)
（D）
在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
解：根据题意可知， 该保护区每平方米内灰熊的只数是：７÷p=
文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元，降价销售开始时，文林书店这种图书 的库存量是 。
甲种糖果每千克价格a元，乙种糖果价格b元，取甲种糖果m㎏，乙种糖果n㎏，混合后，平均每千克价格 元。
像10a+2b， ， ，2a²这样含有字母的数学表达式称为代数式.
整式
单项式:数与字母或字母与字母的积
多项式:几个单项式的和
注意:代数式包括整式，也就是说整式是代数式但代数式就不一定是整式了．
有了这些预备知识，这节课我们将要学习另外一种 代数式！
为了调查珍稀动物资源，动物专家在p平方米的保护区内找到７只灰熊，那么该保护区 每平方米有＿＿＿＿只灰熊．
轮船在静水中每小时走a千米，水流速度为每小时b千米，轮船在逆流中航行s千米，然后又返回出发地，那么轮船需要的时间 是 小时。
一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成 本是 元。
注意：分式中字母的取值不能使分母为零．因为当分母的值为零时，分式就没有意义．

问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V， m
底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 n 时， 水面的高度为多少？
问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕 地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率 的多少倍？
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么
（1）b a ；（2）2 b ；（3）ny my .
ac
a 2a
mx nx
课堂练习
练习2 计算a2
3x
（3）12xy 8x2 y； （4）x y y x ．
5a
x y x y
课堂练习
练习3 求出问题1和问题2的计算结果.
区别和联系？
布置作业 教材第8页第1题；第8页第2题．
例1 计算：（1）4x y ；（2）ab3 5a2b2 ．
3y 2x3
2c2 4cd
解: （1） 4x y 4xy 2 ； 3y 2x3 6x3y 3x2
（2）
ab3 2c2
5a2b2 4cd
ab3 2c2
4cd 5a2b2
4ab3cd 10a2b2c2
2bd . 5ac
课堂练习
练习1 计算：
创设情境，导入新知
问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕 地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率 的多少倍？
（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？
大拖拉机的工作效率为 a , m
小拖拉机的工作效率为 b . n
创设情境，导入新知
问题2 大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕 地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率 的多少倍？

（2） (a51 0)20a52010 (a51 0)20•a52010 (a(a1)1(a)21)aa 11.
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收
1号”小麦的单位面积产量的
a a
1 1
倍．
例 4 计算：5x2 x32x5329•5xx3.
解： 5x2 x32x5329•5xx3
2x
25 x29
（1）a m·a n＝a m＋n（m，n 是正整数）；
(x2)x (2)(x1)x x a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a 3÷a 5的情形也能使用，则有
问题4 2009年、2010年、2011年某地的森林面积 （单位：km2）分别是 S1，S2，S3，2011年与2010年相 比，森林面积增长率提高了多少？
2011年的森林面积增长率是 S 3 S 2 ，2010 年的
森林面积增长率是 S 2 S 1
S2 ，2011年与2010年相比，
S1 森林面积增长率提高了
m2
1 7m
m 21 4•9 (m 2 7 m ) (m m (7 m ) m (7 )7 )
m . m7
例 3 如下图，“丰收1号”小麦的试验田是边长
（3）为(ab)an＝amnbn（（n 是a正＞整数1））； 的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形
蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是 问题3 甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
获了500 kg． （2）(a m)n＝a mn（m，n 是正整数）；
a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a 3÷a 5的情形也能使用，则有