EM算法(讲解+程序)

EM算法种参数估计的方法一种参数估计的方法提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献高斯混合模型⏹混合模型(Mixed Model)：其中，满足即混合模型由K 个成分组成，每个成分即合模个成分成每个成分的权重为⏹若混合模型中每个成分为高斯分布，则为高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)()GMM 的例子⏹例1：一个班级每个学生的身高为假设男生和女生的身高分别服从高斯分布则其中为男生的比例，⏹问题：给定独立同分布(independent and identically (p ydistributed----IID)的数据，求参数),,,,,(222111σμασμα⏹混合模型的参数估计是EM(Expectation Maximization)算法最典型的应用GMM的例子例2：分布的随机数的直方图n = 10000;z = zeros(1,n);pw1 = 0.6;)1,3,4.0,2,2,6.0(),,,,,(222111-=σμασμαu1 = -2;std1 = 2;pw2=04;pw2 = 0.4;u2 = 3;std2 = 1;y1 = randn(1,floor(n*pw1))*std1 + u1;y2 = randn(1,floor(n*pw2))*std2 + u2;z(1,1:floor(n*pw1)) =y1;z(1,(floor(n*pw1)+1):n) = y2;提纲⏹高斯混合模型⏹EM 算法的思想⏹EM 算法的应用⏹总结⏹参考文献极大似然估计与EM 算法的关系⏹计算极大似然估计(maximum likelihood MLE)需要求似然函数的极值estimate ,MLE)，需要求似然函数的极值o解析法:如求正态分布均值和方差的MLEo值计算：如高斯混合模型EM 算法()极大似然估计(MLE)⏹独立同分布(IID)的数据),,,(21n X X X Λ=X 其概率密度函数为)|(θx f n似然函数定义为log 似然函数定义为∏==X =X i iX f f L 1)|()|()|(θθθ)|(log )|(X =X θθL l ^⏹的极大似然估计为θθθθ)|(max arg X =L θθ)|(max arg X =l完整数据⏹观测数据：观测到的随机变量的IID 样X 本),,,(21n X X X Λ=X ⏹缺失数据：未观测到的随机变量的值Y ),,,(21n Y Y Y Λ=Y 在GMM 中，若来自第k 个成分，则i X k Y i =⏹完整数据：包含观测到的随机变量和未观测到的随机变量的数据，X Y ),(Y X =Z ))),(,),,((11n n Y X Y X K =Z完整似然函数若隐含变量的值已知，得),,,(21n Y Y Y Λ=Y 到完整数据的log 似然函数为：log θθL l Y X =Y X )|,(log),|(g ),|(θniiY X f ∏=)|,(log 1θiink Y X f ∑==))|(),|(log(1θθiiini Y f Y X f ∑==1i =iEM—Expectation ⏹观测数据X 已知，参数的当前值已知，在完整似然函数中缺失数据)tθ在完整似然函数中，缺失数据(隐含变量) Y 未知，完整log 似然函数对Y 求期望。

分类em算法摘要：1.引言2.EM 算法的基本原理3.EM 算法的分类应用4.结论正文：1.引言EM 算法，全称Expectation-Maximization 算法，是一种常见的概率模型优化算法。

该算法在统计学、机器学习等领域具有广泛的应用，特别是在分类问题上表现出色。

本文将重点介绍EM 算法在分类问题上的应用及其基本原理。

2.EM 算法的基本原理EM 算法是一种迭代优化算法，主要通过两个步骤进行：E 步（Expectation）和M 步（Maximization）。

在E 步中，根据观测数据计算样本的隐含变量的期望值；在M 步中，根据隐含变量的期望值最大化模型参数的似然函数。

这两个步骤交替进行，直至收敛。

EM 算法的基本原理可以概括为：对于一个包含隐含变量的概率模型，通过迭代优化模型参数，使得观测数据的似然函数最大化。

在这个过程中，EM 算法引入了Jensen 不等式，保证了算法的收敛性。

3.EM 算法的分类应用EM 算法在分类问题上的应用非常广泛，典型的例子包括高斯混合模型（GMM）和隐马尔可夫模型（HMM）。

（1）高斯混合模型（GMM）在传统的分类问题中，我们通常使用极大似然估计（MLE）来求解最佳分类模型。

然而，当数据分布复杂时，MLE 可能无法得到一个好的解。

此时，我们可以引入EM 算法，通过迭代优化模型参数，提高分类的准确性。

在GMM 中，EM 算法可以有效地处理数据的多峰分布，从而提高分类效果。

（2）隐马尔可夫模型（HMM）HMM 是一种基于序列数据的概率模型，广泛应用于语音识别、时间序列分析等领域。

在HMM 中，EM 算法被用于求解最优路径和状态转移概率。

通过EM 算法，我们可以有效地处理观测序列与隐状态之间的不确定性，从而提高分类效果。

4.结论EM 算法作为一种强大的概率模型优化算法，在分类问题上表现出色。

通过引入隐含变量和迭代优化，EM 算法可以有效地处理数据的复杂性和不确定性，提高分类的准确性。

变分EM算法引言变分EM算法（Variational EM algorithm）是一种用于估计隐变量模型参数的迭代优化算法。

它结合了EM算法中的期望步骤（E步骤）和最大化步骤（M步骤），并使用变分推断方法对隐变量进行近似推断。

变分EM算法广泛应用于机器学习、统计学、计算机视觉等领域，并且在实际应用中取得了很好的效果。

二级标题1: EM算法回顾EM算法（Expectation-Maximization algorithm）是一种迭代优化算法，用于求解含有隐变量的概率模型的参数估计问题。

它的基本思想是通过迭代求解两个步骤：期望步骤（E步骤）和最大化步骤（M步骤）。

具体步骤如下：1.初始化模型参数。

2.E步骤：根据当前模型参数，计算隐变量的后验分布。

3.M步骤：最大化隐变量的边缘似然函数，求解模型参数的极大似然估计。

4.重复执行2和3步骤，直到收敛到最优解。

二级标题2: 变分推断变分推断（Variational Inference）是一种近似推断方法，用于在复杂的概率模型中近似计算边缘分布。

它基于变分计算和优化理论，通过寻找一个简单的分布来逼近目标分布，从而简化概率模型的计算问题。

在变分推断中，我们引入一个参数化的简单分布Q来近似复杂的后验分布P。

我们的目标是选择最优的Q，使得Q和P之间的差异最小化。

这个优化问题可以通过最小化Kullback-Leibler散度来解决。

二级标题3: 变分EM算法推导变分EM算法将变分推断方法应用于EM算法中。

它利用变分推断来近似计算隐变量的后验分布，并通过优化目标函数来求解模型参数的极大似然估计。

1.初始化模型参数和简单分布Q。

2.E步骤：根据当前模型参数和简单分布Q，计算隐变量的后验分布。

3.M步骤：最大化近似的边缘似然函数，求解模型参数的极大似然估计。

4.更新简单分布Q，以减小Q和真实后验分布的差异。

5.重复执行2、3和4步骤，直到收敛到最优解。

二级标题4: 变分EM算法的收敛性变分EM算法的收敛性是指算法迭代到一定步数后，能够找到一个极大似然估计，并且达到局部最优解。

EM算法（坐标上升算法）⼗⼤算法之⼀：EM算法。

能评得上⼗⼤之⼀，让⼈听起来觉得挺NB的。

什么是NB啊，我们⼀般说某个⼈很NB，是因为他能解决⼀些别⼈解决不了的问题。

神为什么是神，因为神能做很多⼈做不了的事。

那么EM算法能解决什么问题呢？或者说EM算法是因为什么⽽来到这个世界上，还吸引了那么多世⼈的⽬光。

我希望⾃⼰能通俗地把它理解或者说明⽩，但是，EM这个问题感觉真的不太好⽤通俗的语⾔去说明⽩，因为它很简单，⼜很复杂。

简单在于它的思想，简单在于其仅包含了两个步骤就能完成强⼤的功能，复杂在于它的数学推理涉及到⽐较繁杂的概率公式等。

如果只讲简单的，就丢失了EM算法的精髓，如果只讲数学推理，⼜过于枯燥和⽣涩，但另⼀⽅⾯，想把两者结合起来也不是件容易的事。

所以，我也没法期待我能把它讲得怎样。

希望各位不吝指导。

⼀、最⼤似然扯了太多，得⼊正题了。

假设我们遇到的是下⾯这样的问题：假设我们需要调查我们学校的男⽣和⼥⽣的⾝⾼分布。

你怎么做啊？你说那么多⼈不可能⼀个⼀个去问吧，肯定是抽样了。

假设你在校园⾥随便地活捉了100个男⽣和100个⼥⽣。

他们共200个⼈（也就是200个⾝⾼的样本数据，为了⽅便表⽰，下⾯，我说“⼈”的意思就是对应的⾝⾼）都在教室⾥⾯了。

那下⼀步怎么办啊？你开始喊：“男的左边，⼥的右边，其他的站中间！”。

然后你就先统计抽样得到的100个男⽣的⾝⾼。

假设他们的⾝⾼是服从⾼斯分布的。

但是这个分布的均值u和⽅差∂2我们不知道，这两个参数就是我们要估计的。

记作θ= [u, ∂]T。

⽤数学的语⾔来说就是：在学校那么多男⽣（⾝⾼）中，我们独⽴地按照概率密度p(x|θ)抽取100了个（⾝⾼），组成样本集X，我们想通过样本集X来估计出未知参数θ。

这⾥概率密度p(x|θ)我们知道了是⾼斯分布N(u,∂)的形式，其中的未知参数是θ=[u, ∂]T。

抽到的样本集是X={x1,x2,…,x N}，其中x i表⽰抽到的第i个⼈的⾝⾼，这⾥N就是100，表⽰抽到的样本个数。

一文让你完全入门EM算法重磅干货，第一时间送达EM（Expectation Maximum，期望最大化）是一种迭代算法，用于对含有隐变量概率参数模型的极大似然估计或极大后验估计。

模型参数的每一次迭代，含有隐变量概率参数模型的似然函数都会增加，当似然函数不再增加或增加的值小于设置的阈值时，迭代结束。

EM算法在机器学习和计算机视觉的数据聚类领域有广泛的应用，只要是涉及到后验概率的应用，我们都可以考虑用EM算法去解决问题。

EM算法更像是一种数值分析方法，正确理解了EM算法，会增强你机器学习的自学能力，也能让你对机器学习算法有新的认识，本文详细总结了EM算法原理。

目录1. 只含有观测变量的模型估计2. 含有观测变量和未观测变量的模型参数估计3. EM算法流程4. 抛硬币问题举例5. 高斯混合模型的参数估计6. 聚类蕴含的EM算法思想7. 小结1. 只含有观测变量的模型估计我们首先考虑比较简单的情况，即模型只含有观测变量不含有隐藏变量，如何估计模型的参数？我们用逻辑斯蒂回归模型（logistic regression model）来解释这一过程。

假设数据集有d维的特征向量X和相应的目标向量Y，其中，。

下图表示逻辑斯蒂回归模型：由之前的文章介绍，逻辑斯蒂回归模型的目标预测概率是S型函数计算得到，定义为：若，则目标预测变量为1；反之，目标预测变量为0。

其中w是待估计的模型参数向量。

机器学习模型的核心问题是如何通过观测变量来构建模型参数w，最大似然方法是使观测数据的概率最大化，下面介绍用最大似然方法（Maximum Likelihood Approach）求解模型参数w。

假设数据集，样本数据，模型参数。

观测数据的对数似然函数可写为：由对数性质可知，上式等价于：式(1)代入式(2)，得：其中：由于(3)式是各个样本的和且模型参数间并无耦合，因此用类似梯度上升的迭代优化算法去求解模型参数w。

因为：由式(4)(5)(6)可得：因此，模型参数w的更新方程为：其中η是学习率。

em算法原理EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种常用的统计学习方法，用于求解含有隐变量的概率模型中的参数估计问题。

EM算法的基本思想是通过迭代的方式寻找概率模型的最大似然解。

在实际应用中，有时候概率模型中的一些变量是无法直接观测到的，这些变量称为隐变量。

如何利用观测变量来估计隐变量和模型参数就是EM算法所要解决的问题。

假设我们有一个包含观测变量X和隐变量Z的概率模型，其中X表示观测数据，Z表示对应的隐变量。

我们的目标是通过已知的观测数据X来估计模型的参数θ。

由于无法直接观测到隐变量Z，所以不能直接用最大似然估计的方法来估计参数θ。

EM算法的基本思想是通过引入一个辅助函数Q函数来进行估计。

具体地，EM算法将参数估计问题分为两步进行迭代。

首先，E步（Expectation）：在E步，根据当前的参数估计值θ(t)计算Q函数的期望值。

这里的Q函数是关于隐变量Z和模型参数θ的函数。

在计算Q函数的期望值时，需要使用当前的参数估计值θ(t)来代替真实的参数θ。

通过计算Q函数的期望值，可以得到对应的隐变量的概率分布。

然后，M步（Maximization）：在M步，根据E步得到的隐变量的概率分布，计算使得Q函数取得最大值时的模型参数估计值θ(t+1)。

这一步相当于求解一个参数最优化问题，可以使用极大似然估计或其他优化方法来进行求解。

通过不断地迭代E步和M步，直到收敛，就可以得到概率模型的最大似然解，即参数的估计值。

EM算法的优点在于可以处理含有隐变量的复杂概率模型，且收敛到全局最优解的可能性较大。

然而，EM算法也存在一些问题，比如可能陷入局部最优解，对初始值敏感等。

总之，EM算法是一种迭代求解含有隐变量的概率模型参数估计问题的方法，通过迭代的方式不断提高参数估计值的精度，从而得到对应的模型参数的估计值。

EM算法原理一、简介EM（Expectation Maximization）算法是一种常见的统计学习方法，用于估计参数和解决一些难以处理的问题，特别是在存在隐变量的情况下。

EM算法最初由数学家罗伯特·卢德米勒（RobertLushmiller）和理查德·贝尔曼（RichardBellman）在20世纪50年代提出，后来由 statisticiansDempster, Laird, and Rubin 进一步发展，因此也被命名为Dempster-Laird-Rubin算法。

EM算法在许多领域都有广泛的应用，如混合高斯模型、隐马尔可夫模型、高斯过程回归等。

二、EM算法的步骤EM算法主要由两个步骤组成：E步（ExpectationStep）和M步（Maximization Step），这两个步骤在迭代过程中交替进行。

1.E步：计算隐变量的条件期望。

给定当前的参数估计值，计算隐变量的条件期望，通常表示为参数的函数。

这个步骤中，隐变量对数似然函数的参数更新起着关键作用。

2.M步：最大化期望值函数。

在E步计算出期望值之后，M步将尝试找到一组参数，使得这个期望值函数最大。

这个步骤中，通常使用优化算法来找到使期望值函数最大的参数值。

这两个步骤在迭代过程中交替进行，每次迭代都更新了参数的估计值，直到满足某个停止准则（如参数收敛或达到预设的最大迭代次数）。

三、EM算法的特点与优点1.处理隐变量：EM算法能够处理数据中存在的隐变量问题，这是它与其他参数估计方法相比的一大优势。

通过估计隐变量的概率分布，EM算法能够更准确地描述数据的生成过程。

2.简单易行：相对于其他优化算法，EM算法相对简单易懂，也容易实现。

它的主要目标是最优化一个简单的对数似然函数，这使得EM算法在许多情况下都能给出很好的结果。

3.稳健性：对于一些数据异常或丢失的情况，EM算法往往表现出较好的稳健性。

这是因为EM算法在估计参数时，会考虑到所有可用的数据，而不仅仅是正常的数据点。

EM算法实验报告一、算法简单介绍EM 算法是Dempster，Laind，Rubin于1977年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据以及带有噪声等所谓的不完全数据，可以具体来说，我们可以利用EM算法来填充样本中的缺失数据、发现隐藏变量的值、估计HMM中的参数、估计有限混合分布中的参数以及可以进行无监督聚类等等。

本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。

二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。

，此时，我们用k维二元随机变量Z（隐藏变量）来表示每一个高斯分布，将Z引入后，最终得到：，，然而Z的后验概率满足（利用条件概率计算）：但是，Z nk为隐藏变量，实际问题中我们是不知道的，所以就用Z nk的期望值去估计它（利用全概率计算）。

然而我们最终是计算max：最后，我们可以得到（利用最大似然估计可以计算）：三、算法的具体描述3.1 参数初始化对需要估计的参数进行初始赋值，包括均值、方差、混合系数以及。

3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。

3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。

3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结束。

四、算法的流程图五、实验结果a_best=0.8022 0.1978mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =0.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布每次迭代期望值利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);endenda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。

EM算法实验报告一、算法简单介绍EM 算法是Dempster，Laind，Rubin于1977年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行MLE估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据、截尾数据以及带有噪声等所谓的不完全数据，可以具体来说，我们可以利用EM算法来填充样本中的缺失数据、发现隐藏变量的值、估计HMM中的参数、估计有限混合分布中的参数以及可以进行无监督聚类等等。

本文主要是着重介绍EM算法在混合密度分布中的应用，如何利用EM算法解决混合密度中参数的估计。

二、算法涉及的理论我们假设X是观测的数据，并且是由某些高斯分布所生成的，X是包含的信息不完整（不清楚每个数据属于哪个高斯分布）。

，此时，我们用k维二元随机变量Z（隐藏变量）来表示每一个高斯分布，将Z引入后，最终得到：，，然而Z的后验概率满足（利用条件概率计算）：但是，Z nk为隐藏变量，实际问题中我们是不知道的，所以就用Z nk的期望值去估计它（利用全概率计算）。

然而我们最终是计算max：最后，我们可以得到（利用最大似然估计可以计算）：三、算法的具体描述3.1 参数初始化对需要估计的参数进行初始赋值，包括均值、方差、混合系数以及。

3.2 E-Step计算利用上面公式计算后验概率，即期望。

3.3 M-step计算重新估计参数，包括均值、方差、混合系数并且估计此参数下的期望值。

3.4 收敛性判断将新的与旧的值进行比较，并与设置的阈值进行对比，判断迭代是否结束，若不符合条件，则返回到3.2，重新进行下面步骤，直到最后收敛才结四、算法的流程图五、实验结果a_best=0.8022 0.1978 mu_best=2.71483.93074.9882 3.0102cov_best=(:,:,1) =5.4082 -0.0693-0.0693 0.2184(:,:,2) =0.0858 -0.0177-0.0177 0.0769f=-1.6323数据X的分布每次迭代期望值-50510利用EM估计的参量值与真实值比较（红色：真实值青绿色：估计值）六、参考文献1.M. Jordan. Pattern Recognition And Machine Learning2.Xiao Han. EM Algorithm七、附录close all;clear;clc;% 参考书籍Pattern.Recognition.and.Machine.Learning.pdf% % lwm@% 2009/10/15%%M=2; % number of GaussianN=200; % total number of data samplesth=0.000001; % convergent thresholdK=2; % demention of output signal% 待生成数据的参数a_real =[4/5;1/5];mu_real=[3 4;5 3];cov_real(:,:,1)=[5 0;0 0.2];cov_real(:,:,2)=[0.1 0;0 0.1];% generate the datax=[ mvnrnd( mu_real(:,1) , cov_real(:,:,1) , round(N*a_real(1)) )' , mvnrnd(mu_real(:,2),cov_real(:,:,2),N-round(N*a_real(1)))'];% for i=1:round(N*a_real(1))% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% end%% for i=round(N*a_real(1))+1:N% while (~((x(1,i)>0)&&(x(2,i)>0)&&(x(1,i)<10)&&(x(2,i)<10)))% x(:,i)=mvnrnd(mu_real(:,1),cov_real(:,:,1),1)';% end% endfigure(1),plot(x(1,:),x(2,:),'.')%这里生成的数据全部符合标准%% %%%%%%%%%%%%%%%% 参数初始化a=[1/3,2/3];mu=[1 2;2 1];%均值初始化完毕cov(:,:,1)=[1 0;0 1];cov(:,:,2)=[1 0;0 1];%协方差初始化%% EM Algorothm% loopcount=0;figure(2),hold onwhile 1a_old = a;mu_old = mu;cov_old= cov;rznk_p=zeros(M,N);for cm=1:Mmu_cm=mu(:,cm);cov_cm=cov(:,:,cm);for cn=1:Np_cm=exp(-0.5*(x(:,cn)-mu_cm)'/cov_cm*(x(:,cn)-mu_cm));rznk_p(cm,cn)=p_cm;endrznk_p(cm,:)=rznk_p(cm,:)/sqrt(det(cov_cm));endrznk_p=rznk_p*(2*pi)^(-K/2);%E step%开始求rznkrznk=zeros(M,N);%r(Zpikn=zeros(1,M);%r(Zpikn_sum=0;for cn=1:Nfor cm=1:Mpikn(1,cm)=a(cm)*rznk_p(cm,cn);% pikn_sum=pikn_sum+pikn(1,cm);endfor cm=1:Mrznk(cm,cn)=pikn(1,cm)/sum(pikn);endend%求rank结束% M stepnk=zeros(1,M);for cm=1:Mfor cn=1:Nnk(1,cm)=nk(1,cm)+rznk(cm,cn);endenda=nk/N;rznk_sum_mu=zeros(M,1);% 求均值MUfor cm=1:Mrznk_sum_mu=0;%开始的时候就是错在这里，这里要置零。

EM算法的原理与应用EM算法是一种常用的统计学估计方法，其原理与应用十分广泛。

本文将介绍EM算法的原理及其在实际问题中的应用。

一、EM算法的原理EM算法（Expectation Maximization algorithm）是一种用于解决含有隐变量（或混合变量）的概率模型参数估计问题的迭代优化算法。

其基本思想是通过迭代寻找模型参数的极大似然估计。

1.1 E步（Expectation Step）在E步中，首先对给定的模型参数估计值，计算每个样本属于每个隐变量的后验概率。

这相当于计算样本的“期望”。

具体而言，对于每个样本，计算其属于每个隐变量的后验概率。

1.2 M步（Maximization Step）在M步中，利用E步中计算得到的后验概率，重新估计模型参数，使得似然函数达到极大值。

具体而言，对于每个隐变量，根据样本的“期望”重新估计其模型参数。

1.3 迭代更新将E步和M步反复迭代执行，直到模型参数收敛或达到预设的迭代次数。

通过这种迭代更新的方式，逐步优化模型参数的估计值。

二、EM算法的应用EM算法被广泛应用于各个领域，例如机器学习、计算机视觉、自然语言处理等。

以下将介绍EM算法在几个具体问题中的应用。

2.1 高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）高斯混合模型是一种常用的概率模型，广泛应用于模式识别和聚类等任务。

其中，每个样本可以由多个高斯分布组成，但是样本的真实类别信息是未知的。

利用EM算法可以对高斯混合模型的参数进行估计，从而实现对样本的聚类。

在E步中，计算每个样本属于每个高斯分布的后验概率；在M步中，根据后验概率重新估计高斯混合模型的参数。

通过迭代更新，最终可以得到高斯混合模型的估计参数，从而完成聚类任务。

2.2 隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）隐马尔可夫模型是一种广泛应用于序列数据建模的统计模型，被应用于语音识别、自然语言处理等领域。

EM算法及其改进（二）
第一部分：EM变尺度加速算法
下降迭代算法
-求解非线性最优化问题[mm最常用算法
/(x)
[s.t.X£X
•基本步骤：
stepl：选取初始数据，选取初始点飞，令k=0 step2：构造搜索方向，按照一定规则，构造f在点4处的下降方向（对于无约束最优化问题）或可行方向（对有约束问题）作为搜索方向4。

图像聚类
图1聚类结果
(d)(c)
(0
图像聚类
其中a,d 是初始图像，经数据预处理后，a 图共有222个灰度级，d 图共有253个灰度级。

以下比较EM 算法和IEM 算法的聚类效果：令2个测试的聚类数都为3,即灰度值聚类为0（黑），120（浅灰），255（白）三类。

设a =（%,%%）,令某一灰度值为r,若,则r=0；若％vrv%,则r=120;若,则r=255。

r <ax r >a2
图像聚类
EM算法与IEM算法的初始参数都设为
%=(1/3」/3」/3)%=(50,120,160)Zo=(80,150,30)
对于IEM而言，由于ln222/24n253/2=3,故令d=3,2幅图的初始样本大小分别从M=74和M=84开始，每次以几何级数增加M*=Mid 个样本，其中M取值M+M*。

EM算法-完整推导前篇已经对EM过程,举了扔硬币和⾼斯分布等案例来直观认识了, ⽬标是参数估计, 分为 E-step 和 M-step, 不断循环, 直到收敛则求出了近似的估计参数, 不多说了, 本篇不说栗⼦, 直接来推导⼀波.Jensen 不等式在满⾜:⼀个 concave 函数, 即形状为 "⋂" 的函数f(x)λj≥0∑jλj=1 类似于随机变量的分布的前提条件下, 则有不等式:f(∑jλj x j)≥∑jλj f(x j)恒成⽴, 则该不等式称为 Jensen 不等式. 是有些不太直观哦, (sum 是最后哦, 有时候会犯晕).为了更直观⼀点, 考虑λ只有两个值, 即:λ1=1−tλ2=1其中,0⩽"\bigcap" 函数 f(x) 中有⼀段区间 [a, b], 构造出该范围内的⼀个点x_t当, x_t = (1+t)a + tb则有:f((1-t)a +tb) \ge (1-t)f(a) + tf(b)这⾥跟之前写过的 convex 其实是⼀模⼀样的, 要是还不直观, 就⾃个画个草图就秒懂了.左边是函数的值, 右边连接两个端点a,b的函数值的直线, 因为是 "\bigcap 的", 故函数值必然在直线的上⽅.⽤数学归纳法, 当 M > 2:f(\sum \limits _{j=1}^M \lambda_j x_j) \ge \sum \limits _{j=1}^M \lambda_j f(x_j)EM算法推导假设给定⼀个包含 n 个独⽴的训练样本的数据集, D = \{ x_1, x_2, x_3...x_n) \}希望拟合⼀个概率模型p(x, z) , 其对数似然函数(log likelihood)为:为啥要 log, 乘法变加法, 不太想说了, ⾃⼰都重复吐⾎了似然, 不加log 前是: l(\theta) = \prod \limits _{i=1}^n p(x; \theta)的嘛, 样本的联合概率最⼤l(\theta) = \sum \limits _{i=1}^n log \ p(x; \theta)= \sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x, z; \theta)理解\sum \limits _{z} p(x, z; \theta)给定\theta的前提下, 关于 x, z 的联合概率跟之前扔硬币是⼀样的, 对于每个独⽴数据的产⽣, 其实还有⼀个隐含的因素 z (扔硬币中,到底这次试验是来⾃于硬币A 还是硬币B每个Z因素, 影响着 p(x,z) 的联合概率分布. 考虑所有的 z, 则是全概率了呀.对于p(x; \theta)直接通过 x 来观测\theta⽐较难 (扔硬币中, 没有上帝视⾓, 不知道扔结果是哪个硬币产⽣的)z^{(i)}是⼀个隐变量(latent), 如果能观测到z^{(i)}则参数预测会容易很多, EM算法就是来解决这个问题的EM 算法呢, 分为两个步骤:在 E 步中, 构建l(\theta)的下界函数 (给定\theta来找 z)在 M 步中, 最⼤化这个下界函数不太直观, 就回顾上篇扔硬币的栗⼦, 这⾥的 z 就是那个来⾃哪⾥A 还是 B 的概率(每次试验)设Q_i为关于 z 的概率分布, 即\sum \limits _{z} Q_i(z) = 1 (z 如是连续变量则\sum \rightarrow \int_z) ,则对于上⾯的对数似然函数:= \sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x_i, z_i; \theta) \ (1)对 p 的部分, 同时乘上和除以Q_i(z_i)不改变等式 , 这种技巧, 中学的 "配平⽅或数列裂项求和" ⼀样滴= \sum \limits _i log \sum \limits _{z_i} Q_i(z_i) \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } \ (2)log 函数是 concave 的, 联想 jensen不等式f(\sum \limits _j \lambda_j x_j) \ge \sum \limits _j \lambda_j f(x_j)即 log 对于与 f(); \sum \limits _{z_i} Q_i(z_i) 对应于 \sum \limits _j \lambda_j ; 最后⼀项对x_j\ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } \ (3)就类似与, 把⼀个, 函数⾥⾯的参数, 提取到函数外⾯来. 如还是不理解, 回看之前写的 convex 篇什么时候会取到等于?即当\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) } = c是个常数的时候, (2) 和 (3) 是相等的.即p(x_i, z_i; \theta) = c \ * Q_i(z_i)在\theta给定下, 关于 x, z 的联合概率分布与隐变量 z 的分布是⼀个线性关系因为\sum \limits_{z_i} Q_i(z_i) = 1, 如果将Q_i(z_i)认为是给定x_i 和 z_i的后验概率分布, 这样就得到了该似然函数的⼀个下界,根据全概率(后验) 与贝叶斯公式:Q_i(x_i) = \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{\sum \limits _{z_i} p(x_i, z_i; \theta)}=\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{p(x; \theta)}=p(z_i|x_i, \theta)相当于求给定\theta 和 x_i的情况下, 求 z_i 的条件概率, 果然, 深刻理解贝叶斯公式显得多么重要呀再回顾⼀波贝叶斯公式:设A1,A2,A3..构成完备事件组, 则对任意⼀事件B有:P(A_i|B) = \frac {P(A_i)P(B|A_i)}{\sum \limits _{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}同上述, 只要当我们取Q_i(z_i)的值为给定\theta 和 x_i的后验概率分布的时候, 就能保证:\frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }的值是⼀个常数 (反过来推的), 既然是个常数, 也就**前⾯ (3) 的地⽅可以取等号啦, 即: **\sum \limits _{i=1}^n log \ \sum \limits _{z} p(x_i, z_i; \theta) = \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }这样⼀来, 相当于在 E 步得到了似然函数的⼀个下界, 然后在 M 步, 求解(3) 最⼤值时候的参数\theta . 然后重复以上的 E, M 步骤:E-步: For each i:Q_i(z_i) = p(z_i | x_i; \theta)M-步, 更新\theta:\theta = arg \ max _\theta \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta)}{Q_i(z_i) }....循环直到收敛, 则估计出了参数\theta但, 万⼀不收敛呢?, so, 必须证明⼀波, EM算法是收敛的哦证明EM算法会收敛假设\theta^{(t)} 和 \theta^{(t+1)}为EM算法的连续两个步骤的参数值, 欲证l (\theta)收敛, 只需证:l(\theta^{(t)}) \leq l(\theta^{(t+1)})即可EM算法使得似然函数的值单调递增即可根据前⾯关于⽤ jensen不等式的取等条件, 推导出, 取得Q_i(z_i)^{(t)}的⽅式是:Q_i ^{(t)} (z_i) = p(z_i | x_i; \theta ^{(t)})此条件下, 使得jensen不等式取等即:l(\theta^{(t)}) = \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta ^t)}{Q_i(z_i) }⽽参数\theta^{(t+1)}的取值⽅式, 是使得上⾯的这个等式的值最⼤, 则必然l(\theta^{(t+1)}) \ge l(\theta^{(t)})展开⼀波:l(\theta^{(t+1)}) \ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i^t(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta ^{(t+1)})}{Q_i^t(z_i) } \ (4)\ge \sum \limits_{i} \sum \limits_{z_i}Q_i^t(z_i) \ log \frac {p(x_i, z_i; \theta^t)}{Q_i^t(z_i) }\ (5)=l(\theta^{(t)}) \ (6)(4) 源于不等式的性质, 必然成⽴嘛(5) 就是取最⼤值的⼀个过程必然成⽴(6) 取相等的⽅式去是应⽤了 Jensen不等式即证明了l(\theta^{(t)}) \leq l(\theta^{(t+1)}) , 即EM算法是收敛的呀.⼩结⾸先是要理解,参数估计的是在⼲嘛, 需要回顾统计学的基础知识, 或理解上篇扔硬币的栗⼦核⼼, ⽤到了⼀个jensen 不等式, 需要回顾凸函数的⼀些性质来理解⼀波推导的⽅式呢, 依旧是极⼤似然估计, 带log (乘法边加法)推导核⼼技巧是全概率与贝叶斯公式, 真正理解太重要, 如LDA, 逻辑回归, 贝叶斯...这些算法都⽤到了.证明收敛, 其实只是⼀些, 推理的技巧, 还是挺有意思的.总体上, EM算法, 理解起来,我感觉不是很容易, 但, 也没有想象的那样难, 只要肯坚持, 正如爱因斯坦所说的那样嘛, 当然也为了⾃勉⽬前在经济和精神双重困境中的⾃⼰:耐⼼和恒⼼, 总会获得收获的Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。

Algorithm之EM：ExpectationMaximization简介、代码
实现
Algorithm之EM：Expectation Maximization简介、代码实现
EM期望极大算法简介
EM 算法是 Dempster,Laind,Rubin 于 1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行 MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。

这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据，截尾数据，带有噪声等所谓的不完全数据。

EM算法是一种迭代优化策略，由于它的计算方法中每一次迭代都分两步，其中一个为期望步（E步），另一个为极大步（M步），所以算法被称为EM算法（Expectation Maximization Algorithm）。

是一种迭代算法，在统计学中被用于寻找，依赖于不可观察的隐性变量的概率模型中，参数的最大似然估计。

Expectation Maximization期望极大算法案例实现。