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考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

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考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ6）抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）（A ）12（B ）2（C ）1 （D 【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B ，由抛物线24y x =的焦点(1,0)，双曲线2213yx -=的一条渐近线方程0y -=，根据点到直线的距离公式可得3d =，故选B. 2.（2013·山东高考文科·Ｔ11）与（2013·山东高考理科·Ｔ11）相同抛物线C 1：y=12px 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C 2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p 的值.【解析】选 D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为3y x =.抛物线的焦点为(0,)2p F ,双曲线的右焦点为2(2,0)F .1'y x p =，所以在200(,)2x M x p处的切线斜率为3，即01x p =，所以03x p =，即三点(0,)2p F ，2(2,0)F，(,)36p M p共线，所以0202p p p--=-，即3p =二、填空题3. （2013·江西高考理科·Ｔ14）抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线22x y 133-=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【解题指南】A 、B 、F 三点坐标都能与p 建立起联系，分析可知△ABF 的高为P ，可构造p 的方程解决.【解析】由题意知△ABF 的高为P ，将p y 2=-代入双曲线方程得A ，B 两点的横坐标为x =ABF0tan 60=，从而解得2p 36=，即p 6=.【答案】6.4.（2013·安徽高考理科·Ｔ13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。

若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为___________ 【解题指南】 点C 的轨迹是圆心在y轴上、半径为r = 【解析】联立直线y a =与抛物线2y x =得x = ，满足题设条件的点C 的轨迹是以a （0，）为圆心，r =222+-=（）x y a a 。

由数形结合可知当r a 时满足题设要求，解得a ≥1。

【答案】[1,+≦). 三、解答题5.（2013·北京高考理科·Ｔ19）已知A 、B 、C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点.(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积. (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 【解题指南】（1）利用OB 的垂直平分线求出AC 的长，再求面积； （2）若是菱形，则OA=OC ，A 点与C 点的横坐标相等或互为相反数。

【解析】（1）线段OB 的垂直平分线为1x =，(1,A C 所以或A C 所以，||3AC =所以所以菱形面积为12|OB|·|AC|=12×2（2）四边形OABC 不可能是菱形，只需要证明若OA=OC ，则A 点与C 点的横坐标相等或互为相反数.设OA=OC=r （r >1)，则A 、C 为圆222x y r +=与椭圆22:14x W y +=的交点.22314x r =-，x =,所以A 点与C 点的横坐标互为相反数或相等，此时B 点为顶点.因此四边形OABC 不可能是菱形.6.（2013·江西高考文科·Ｔ20）椭圆C:2222x y 1a b +=(a>b>0)的离心率e =a+b=3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A,B,D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明:2m-k 为定值.【解题指南】（1）借助椭圆中222a b c =+的关系及两个已知条件即可求解；（2）可以写出BP 的直线方程，分别联立椭圆方程及AD 的方程表示出点P 、M 的坐标，再利用DP 与x 轴表示点N 的坐标，最终把m 表示成k 的形式，就可求出定值；另外也可设点P 的坐标，把k 与m 都用点P 的坐标来表示. 【解析】(1)因为ce a ==，所以a =，又由222a b c =+得b =，代入a +b =3，得c 2,b 1===.故椭圆C的方程为22x y 14+=.(2)方法一：因为B(2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为1y k(x 2)(k 0,k )2=-≠≠±①，将①代入22x y 14+=，解得P 2228k 24k (,)4k 14k 1--++.直线AD 的方程为：1y x 12=+. ②联立①②解得M 4k 24k (,)2k 12k 1+--.由D （0,1），P 2228k 24k(,)4k 14k 1--++，N （x,0）三点共线可知2224k1014k 18k 2x 04k 1---+=---+，即4k 2x 2k 1-=+，所以点4k 2N(,0)2k 1-+. 所以MN 的斜率为m 224k4k(2k 1)2k 12k 14k 24k 22(2k 1)2(2k 1)42k 12k 1-++-===+-+----+, 则2k 112m k k 22+-=-=（定值）.方法二：设000P(x ,y )(x 0,2)≠±，则00y k x 2=-，直线AD 的方程为1y (x 2)2=+，直线BP 的方程为00y y (x 2)x 2=--，直线DP 的方程为00y 1y 1x x --=. 令y =0，由于0y 1≠，可得00x N(,0)y 1--. 解001y (x 2)2y y (x 2)x 2⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得M 00000004y 2x 44y (,)2y x 22y x 2+--+-+，所以MN的斜率为0000022000000000004y 02y x 24y (y 1)m 4y 2x 4x 4y 8y 4x y x 42y x 2y 1--+-==+---+-+--+- =0002200000004y (y 1)y 14y 8y 4x y (44y )42y x 2--=-+--++-. 故00000000000002(y 1)y 2(y 1)(x 2)y (2y x 2)2m k 2y x 2x 2(2y x 2)(x 2)----+--=-=+--+--22000000000000000012(y 1)(x 2)(4x )y (x 2)2(y 1)(x 2)2y y (x 2)2(2y x 2)(x 2)(2y x 2)(x 2)-----------==+--+-- 0000012(y 1)(2x )y 122y x 22--+-==+-（定值）.7. （2013·广东高考文科·Ｔ20）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=的距离为2. 设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ,其中A ,B 为切点. （1） 求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值.【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用.【解析】（1）因为(0,)F c 到直线l ：20x y --==，所以1c =（注意0c >），可得抛物线C 的方程为24x y =； （2）设切点1122(,),(,)A x y B x y ，则2211224,4x y x y ==. 对24x y =（即214y x =）求导可得12y x '=，切线PA 的斜率为1011012y y x x x -=-，将2114x y =和002y x =-代入整理可得1010220y x x y -+=①，同理切线PB 的斜率为2022012y y x x x -=-，将2224x y =和002y x =-代入整理可得2020220y x x y -+=②，由①②可得点1122(,),(,)A x y B x y 都适合方程00220y x x y -+=，也就是当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，直线AB 的方程即为00220y x x y -+=.（3）由抛物线的性质可知1122(,),(,)A x y B x y 到焦点(0,)F c 的距离等于到准线1y =-的距离，所以12||1,||1AF y BF y =+=+，121212||||(1)(1)1AF BF y y y y y y ⋅=++=+++.联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=，由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =，所以2200021AF BF y x y ⋅=+-+.又002y x =-，则22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.8. （2013·广东高考理科·Ｔ20）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c （0c >）到直线l ：20x y --=设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ,其中A ,B 为切点. （1） 求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值.【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用. 【解析】（1）因为(0,)F c 到直线l ：20x y --=的距离为22=，所以1c =（注意0c >），可得抛物线C 的方程为24x y =； （2）设切点1122(,),(,)A x y B x y ，则2211224,4x y x y ==. 对24x y =（即214y x =）求导可得12y x '=，切线PA 的斜率为1011012y y x x x -=-，将2114x y =和002y x =-代入整理可得1010220y x x y -+=①，同理切线PB 的斜率为2022012y y x x x -=-，将2224x y =和002y x =-代入整理可得2020220y x x y -+=②，由①②可得点1122(,),(,)A x y B x y 都适合方程00220y x x y -+=，也就是当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，直线AB 的方程即为00220y x x y -+=.（3）由抛物线的性质可知1122(,),(,)A x y B x y 到焦点(0,)F c 的距离等于到准线1y =-的距离，所以12||1,||1AF y BF y =+=+，121212||||(1)(1)1AF BF y y y y y y ⋅=++=+++.联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=，由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =，所以2200021AF BF y x y ⋅=+-+.又002y x =-，则22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.9. （2013·重庆高考理科·Ｔ21）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，4AA '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P Q '，求圆Q 的标准方程．【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出Q 点的坐标，利用椭圆上的其余点均在圆Q 外且PQ ⊥P Q '求出圆的方程.【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意知点)2,(c A -在椭圆上,则.12)(2222=+-b a c 从而.1422=+b c 由2e =,81422=-=c b 从而,161222=-=c b a 故该椭圆的标准方程为.181622=+y x（Ⅱ）由椭圆的对称性,可设)0,(0x Q ,又设),(y x M 是椭圆上任意一点,则[])4,4(8)2(21)161(82)(2020220022202-∈+--=-++-=+-=x x x x x x x x x y x x QM .设),(11y x P ,由题意,P 是椭圆上到Q 的距离最小的点,因此,上式当1x x =时取最小值,又因为()4,41-∈x ,所以上式当02x x =时取最小值,从而012x x =,且.8202x QP -=因为PQ ⊥P Q '，且),,(11y x P -'所以,0),(),(101101=--∙-='∙y x x y x x P Q即0)(21201=--y x x .由椭圆方程及012x x =得0)161(8412121=--x x ,解得3622,364110±==±=x x x .从而.3168202=-=x QP故这样的圆有两个,其标准方程分别为,31636222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x .31636222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 10. （2013·重庆高考文科·Ｔ21）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，4AA '=． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求PP Q '∆的面积S的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出Q 点的坐标，利用椭圆上的其余点均在圆Q 外可求PP Q '∆的面积S 的最大值以及圆的方程.【解析】（Ⅰ）由题意知点)2,(c A -在椭圆上,则.12)(2222=+-b a c 从而.1422=+b c由e =,81422=-=c b 从而,161222=-=c b a 故该椭圆的标准方程为.181622=+y x（Ⅱ）由椭圆的对称性,可设)0,(0x Q ,又设),(y x M 是椭圆上任意一点,则[])4,4(8)2(21)161(82)(2020220022202-∈+--=-++-=+-=x x x x x x x x x y x x QM .设),(11y x P ,由题意,P 是椭圆上到Q 的距离最小的点,因此,上式当1x x =时取最小值,又因为()4,41-∈x ,所以上式当02x x =时取最小值,从而012x x =,且.8202x QP -=由对称性知),,(11y x P -'故12y P P =',所以0210111618221221x x x x y S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-= ()().422422202020+--=-=x x x当20±=x 时,Q P P '∆的面积S 取到最大值22.此时对应的圆Q 的圆心坐标为)0,2(±Q ,半径,6820=-=x QP 因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(),6222=++y x ().6222=+-y x11. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ21）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ20）相同已知圆M ：1)1(22=++y x ,圆N ：9)1(22=+-y x ,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB .【解题指南】（Ⅰ）根据圆的位置关系与半径的关系并结合圆锥曲线的定义确定曲线C 的方程.（Ⅱ）结合图象，确定当圆P 的半径最长时的情形，并对k 的值进行分类求解. 【解析】由已知得圆M 的圆心为)0,1(-M ，半径11=r ；圆N 圆心为)0,1(N ，半径32=r .设圆P 的圆心为),(y x P ,半径为R（Ⅰ）动圆P 与M 外切并且与圆N 内切。

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圆锥曲线的综合课件

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15
课堂互动讲练
【思路点拨】 由已知易得动点 Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的 坐标关系，代入即可．
【解】 法一：设 Q(x，y)，
则Q→A＝(－1－x，－y)， Q→B＝(1－x,4－y)，
→→
故 由QA·QB＝ 4⇒ (－ 1－ x)(1－ x) ＋(－y)(4－y)＝4，
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D．9π
答案：B
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8
三基能力强化
3．直线
y＝kx－k＋1
与椭圆x2＋y2 94
＝1 的位置关系为( )
A．相交 C．相离 答案：A
B．相切 D．不确定
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9
三基能力强化
4．(2009 年高考上海卷)过点 A(1,0)
作倾斜角为π的直线，与抛物线 4
y2＝2x
交于 M、N 两点，则|MN|＝________.
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4
基础知识梳理
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则 ①Δ>0，直线l与圆锥曲线有 两交点． ②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有一 公共点． ③(2)Δ若<a0＝，0直，线当l与圆圆锥锥曲曲线线为无双曲公线共时点，．l与双 曲 与抛线物的线渐的近对线称平轴行；平当行圆．锥曲线为抛物线时，l
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5
基础知识梳理
3．弦长公式
直线 l：y＝kx＋b，与圆锥曲线 C：F(x，y)＝0
交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2 |x1－ x2|＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1x2或 |AB|＝
1＋k12|y1－y2|＝
1＋k12 (y1＋y2)2－4y1y2.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：圆锥曲线中的综合问题全文

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所以B→D＝(x1－2，y1)，B→E＝(x2－2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
将
①
代
入
上
式
得
(k2＋
1)
m2－4 k2＋4
＋
k(m
－
2)
－k2＋2km4 ＋
(m
x1＋x2＝－8 267m，x1x2＝4m227－3， y1y2＝6x1x2＋ 6m(x1＋x2)＋m2＝24m2－3－2748m2＋27m2， ∵O→A·O→B＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， 代入根与系数的关系得 m2＝12，m＝±2 3，满足 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝ 6x±2 3.
4k2＋1
又直线 OP 的斜率为－－12－－00＝12，且直线 OP 与 MQ 不重合，
所以MQ∥OP.
题型二 定点与定值
例 2 (2022·济南模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P(0,2)，连接 PA，PB 交椭圆 C 于点 M，N，△PAB 为直角三角 形，且|MN|＝35|AB|. (1)求椭圆的标准方程；
设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方 程联立得 y＝kx＋1， x32＋y42＝1， 消去 y 整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0， Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2×4＋Δ3k2＝124＋1＋3kk22， x1＋x2＝－4＋6k3k2，
高考文数考点解析 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

高考文数考点解析 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、填空题1.(2018·北京高考理科·T14)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的综合应用,意在考查数形结合思想与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.【解析】椭圆,双曲线都关于x轴、y轴对称,所以只需考虑第一象限内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P,椭圆左焦点为Q,右焦点为F,由已知,△OPF为正三角形,边长记为2,则高为,所以椭圆半焦距为2,2a=PQ+PF=2+2,a=+1,离心率=-1.双曲线N的一条渐近线斜率为=tan60°=,e2==1+=4,所以离心率为2.答案:-1 2二、解答题2.(2018·全国Ⅲ高考文科·T20)(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :+=1交于A ,B 两点.线段AB 的中点为M.(1)证明:k <-.(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且++=0.证明:2=+.【命题意图】考查圆锥曲线中的求曲线方程、最值问题,以及定值问题,意在考查知识的运用能力、推理能力、运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养. 【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由已知,l 的方程为y -m =k (x -1),即y =kx -k +m ,由消去y 得(4k 2+3)x 2+8k (m -k )x +4(m -k )2-12=0,(*) 4k 2+3≠0,Δ>0,由根与系数的关系得,x 1+x 2=-,因为线段AB 的中点为M (1,m )(m >0),所以x 1+x 2=2,解得m =->0,所以k <0,方程(*)变为(4k 2+3)x 2-2(4k 2+3)x +=0,由判别式Δ>0得k 2>,又k <0,所以k <-. (2)设P (x p ,y p ),因为++=0,+=2,所以=-2,易知F (1,0),=(0,m ),所以=(x p -1,y p )=(0,-2m ),所以x p =1,又因为点P 在椭圆C 上, 所以3+4=12,所以|y p |=,2||=2|y p |=3.因为点A 在椭圆C 上,所以3+4=12,=3-,x1<4,所以||2=(x1-1)2+=(x 1-1)2+3-=(x 1-4)2,||=(4-x 1),同理,||=(4-x 2),所以||+||=(4-x 1)+(4-x 2)=[8-(x 1+x 2)]=×(8-2)=3,所以2||=||+||.3.(本小题14分)(2018·北京高考文科·T20)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程.(2)若k=1,求|AB|的最大值.(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q共线,求k.【命题意图】考查圆锥曲线中的求曲线方程,最值问题,以及定值问题,意在考查知识的运用能力,推理能力,运算能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由题意得2c=2,所以c=,又e==,所以a=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=x+m,由消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0,即m2<4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,x2|=·=,则|AB|=|x,故|AB|的最大值为.易得当m2=0时,|AB|(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则+3=3①,+3=3②,k PA=,直线PA的方程为y=k1(x+2),又P(-2,0),所以可设k由消去y可得(1+3)x2+12x+12-3=0,则x1+x3=-,即x3=--x1,,代入①式可得x3=,又k,所以y所以C,同理可得D.故=,=,因为Q,C,D三点共线,所以-=0,将点C,D的坐标代入化简可得=1,即k=1.。

直线与圆锥曲线的综合应用

直线与圆锥曲线的综合应用

直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换 （7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。

（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。

解：（Ⅰ）Q 离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243b a =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22143x y +=。

（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++， 则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k=----g ，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得22234()438k k k +<+，即2120k >，则1010k k ><-。