圆锥曲线与方程知识点+经典大题

经典例题精析

类型一：求曲线的标准方程

1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.

思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.

解析： 方法一：因为有焦点为，

所以设椭圆方程为，,

由，消去得，

所以

解得

故椭圆标准方程为

方法二：设椭圆方程 ,,,

因为弦AB中点,所以，

由得,（点差法）

所以

又

故椭圆标准方程为.

举一反三：

【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.

【答案】依题意设椭圆标准方程为()，

并有，解之得，,

∴椭圆标准方程为

2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.

（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；

（2）与双曲线有公共焦点，且过点

解析：

（1）解法一：设双曲线的方程为

由题意，得，解得，

所以双曲线的方程为

解法二：设所求双曲线方程为（），

将点代入得，

所以双曲线方程为即

（2）解法一：设双曲线方程为－=1

由题意易求

又双曲线过点，∴

又∵，∴，

故所求双曲线的方程为.

解法二：设双曲线方程为，

将点代入得， 所以双曲线方程为.

总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）

总论：常用的八种方法

1、定义法

2、韦达定理法

3、设而不求点差法

4、弦长公式法

5、数形结合法

6、参数法（点参数、K参数、角参数）

7、代入法中的顺序

8、充分利用曲线系方程法

七种常规题型

（1）中点弦问题

（2）焦点三角形问题

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

（6） 存在两点关于直线对称问题

（7）两线段垂直问题

常用的八种方法

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，arr221，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法

解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab），焦点在y轴上时2222bxay＝1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

（2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax =1，焦点在y轴上：2222bxay＝1（0,0ab）。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)ypxp，开口向左时22(0)ypxp，开口向上时22(0)xpyp，开口向下时22(0)xpyp。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线2axc； ⑤离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

第八章 圆锥曲线方程

一、椭圆：

（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：212FFa表示椭圆； 212FFa表示线段21FF； 212FFa没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 )0(12222babyax )0(12222babxay

图 形

cba,,的几何意义 长轴长aAA221，短轴长bBB221，焦距cCC221，222bac

顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA ),0(),,0()0,(),0,(2121aBaBbAbA

焦 点 )0,(),0,(21cFcF ),0(),,0(21cFcF

对称性 关于x轴，y轴，原点对称，短轴为b2，长轴为a2

离心率 )10(eace（离心率越大，椭圆越扁）

通 径 22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：aPFPF2||||21与aPFPF2||||12（||221FFa）表示双曲线的一支。

||221FFa表示两条射线；||221FFa没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 )0,0(12222babyax )0,0(12222babxay

图 形

顶 点 )0,(),0,(21aAaA ),0(),,0(21aAaA

对称性 x轴，y轴，原点；虚轴为b2，实轴为a2

焦 点 )0,(),0,(21cFcF ),0(),,0(21cFcF