【名师一号】2015高考数学(人教版a版)一轮配套题库：1-2命题及其关系充分条件与必要条件

1．命题及其关系(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．充分条件与必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．知识点一命题、四种命题及相互关系1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．易误提醒易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．必备方法由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[自测练习]1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C ．“若x ≠－4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝－4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题解析：根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故选C. 答案：C知识点二 充要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．易误提醒 注意区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/ A )；与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/ B )两者的不同．必备方法 充分条件与必要条件判定的三种方法 1．定义法：(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．利用集合间的包含关系判断： 记条件p ，q 对应的集合分别是A ，B ，则(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；(2)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，或q 是p 的必要不充分条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；(4)若A B ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 3．等价法：利用p ⇒q 与綈q ⇒綈p ，q ⇒p 与綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈q ⇔綈p 的等价关系．[自测练习]2．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，所以“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：B3．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x <1，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x >1得1x <1；反过来，由1x <1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A4．(2015·高考湖北卷)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A考点一 命题及其相互关系|1．(2015·高考山东卷)设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 解析：由原命题和逆否命题的关系可知D 正确． 答案：D2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题解析：A中逆命题为“若x>|y|，则x>y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．答案：A3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④命题真假的两种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分条件和必要条件的判定|(1)(2015·高考四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0，log2a>log2b>log21＝0，所以“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．[答案] A(2)(2015·高考北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.[答案] A判断充分条件与必要条件的两个注意点：(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么，然后尝试p⇒q，q⇒p.(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．1．(2015·高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：结合韦恩图(图略)可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，选C.答案：C考点三充要条件的应用|已知p：x2－2mx－15m2≤0(m>0)；q：x2－3x－10≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．[解析]本题考查充分必要条件、一元二次不等式等基础知识．若p真，则－3m≤x≤5m；若q真，则－2≤x≤5；因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p 是q 的充分不必要条件， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－3m ≥－2，5m ≤5，∴0<m≤23，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，23. [答案] ⎝⎛⎦⎤0，23利用充要条件求参数的值或范围的一个关键点、一个注意点：(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．(2)注意点：注意区间端正值的检验，易忽视．2．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }， ∵β：|x －1|<1，∴0<x <2， ∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴BA ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]1.等价转化思想在充要条件中的应用【典例】 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．[思路点析] “綈q 的一个充分不必要条件是綈p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”． [解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0， 当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][思路点评] (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系． ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到． [跟踪练习] 若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1A 组 考点能力演练1．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，虽a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：先确定逆命题为“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2＝0”，再将逆命题否定为“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.答案：D2．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A.答案：A3．(2016·沈阳一模)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设命题p ：x <0，命题q ：ln(x ＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1<1，所以－1<x <0，即命题q 为－1<x <0.可知命题q ⇒p ，而p ⇒/ q ．所以p 是q 的必要不充分条件，所以选B.答案：B4．设a ，b 为两个非零向量，则“a·b ＝|a·b |”是“a 与b 共线”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设a ，b 的夹角为θ.由a·b ＝|a·b |得：|a ||b |·cos θ＝|a ||b |·|cos θ|，|a||b |(cos θ－|cos θ|)＝0，即|a||b |＝0(舍)因为a ，b 非零，或cos θ≥0，所以由a·b ＝|a·b |⇒/ a 与b 共线，反过来，当a ＝－b 时，虽然“a 与b 共线”，但是“a·b ＝|a·b |”不成立，所以“a·b ＝|a·b |”是“a 与b 共线”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D5．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ，D ，选A.答案：A6．(2016·成都一诊)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________． 解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．答案：若|a |＝|b |，则a ＝－b7．(2015·盐城一模)给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③8．设条件p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；条件q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x 2－4ax ＋3a 2<0得3a <x <a ，由x 2＋2x －8>0得x <－4或x >2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ≤－4，所以a ≤－4.答案：(－∞，－4]9．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．10．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝⎛⎭⎫m >－23的解为条件q .(1)若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． 解：(1)设条件p 的解集为集合A ，则A ＝{x |－1≤x ≤2}， 设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>2，－2m －1<－1m >－23.，解得m >1，(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1m >－23.解得－23<m ≤0.B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：由于q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；而p ⇒/ q ，如f (x )＝x 3在x ＝0处f ′(0)＝0，而x ＝0不是极值点，故选C.答案：C2．(2015·高考重庆卷)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 12(x ＋2)<0，得x ＋2>1，解得x >－1，所以“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.答案：B3．(2015·高考安徽卷)设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：q ：2x >1⇔x >0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A4．(2015·高考福建卷)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin 2x >0.任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ，等价于任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k <2x sin 2x .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，0<2x <π，设t ＝2x ，则0<t <π.设f (t )＝t －sin t ，则f ′(t )＝1－cos t >0，所以f (t )＝t －sin t 在(0，π)上单调递增，所以f (t )>0，所以t >sin t >0，即t sin t>1，所以k ≤1.所以任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k <2x sin 2x，等价于k ≤1.因为k ≤1⇒/ k <1，但k ≤1⇐k <1，所以“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的必要而不充分条件，故选B.答案：B5．(2015·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊂α且m ∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m ⊂α且α∥β一定可以推出m ∥β，所以“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B。

学案2命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若綈p则綈q(綈p⇒綈q)；逆否命题：若綈q则綈p(綈q⇒綈p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p 叫做q的充要条件．自我检测1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题答案 C解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二 充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件．(1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 (2011·邯郸月考)下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三 充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0， 可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用 例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数， [8分]∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津模拟)给出以下四个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 C解析 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．(2010·浙江)设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵0<x <π2，∴0<sin x <1. ∴x sin x <1⇒x sin 2x <1，而x sin 2x <1x sin x <1.故 选B.3．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由α＝π6＋2k π(k ∈Z )可得到cos 2α＝12. 由cos 2α＝12得2α＝2k π±π3(k ∈Z )． ∴α＝k π±π6(k ∈Z )． 所以cos 2α＝12不一定得到α＝π6＋2k π(k ∈Z )． 4．(2011·威海模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真答案 D解析 本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．(2011·枣庄模拟)集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4，a >4a >5，但a >5⇒a >4.故选B.二、填空题(每小题4分，共12分)6．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．答案 充要7．(2011·惠州模拟)已知p ：(x －1)(y －2)＝0，q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则p 是q 的 ____________条件．答案 必要不充分解析 由(x －1)(y －2)＝0得x ＝1或y ＝2，由(x －1)2＋(y －2)2 ＝0得x ＝1且y ＝2，所以由q 能推出p ，由p 推不出q, 所以填必要不充分条件．8．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·许昌月考)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3)若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零．解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(4分)(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(8分)(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．(12分)10．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0，或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，(2分)B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0} ＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．(4分)∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p 綈q .则{x |綈q }Ø{x |綈p }，(6分)而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，∴{x |－4≤x <－2}Ø{x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，(10分)则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0.(11分)综上，可得－23≤a <0或x ≤－4.(12分) 11．(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p ＋q ＝p －1.(2分)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时也成立．(4分)于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p (n ∈N *)， 即数列{a n }为等比数列．(6分)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0，p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .(10分) ∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p (p －1)p ＋q＝p ， 即p －1＝p ＋q .∴q ＝－1.(13分)综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．(14分)。

(1)由 x2－3x＞0，得 x＞3 或 x＜0，此时得 不出 x＞4，但当 x＞4 时，不等式 x2－3x ＞0 恒成立，所以正确选项为 B. (2)依题意，当 m＝－2 时，a＝(4，4)， b＝(1，1)，所以 a＝4b，a∥b，即由 m＝－2 可以推出 a∥b；当 a∥b 时， m2＝4，得 m＝±2，所以不能推得 m＝－2，即“m＝－2”是“a∥b”的充 分而不必要条件． 【答案】(1)B (2)A
②“若 ab＝0，则 a＝0”的否命题 ④“若 x≤－3，则 x2＋x－6＞0”的否命题；
⑤“若 a2＋b2＝0，a，b∈R，则 a＝b＝0”的 为“若 ab≠0，则 a≠0”，而由
逆否命题．
ab≠0 可得 a，b 都不为零，故 a≠0，
所以该命题是真命题；
其中真命题的序号是________(把所有真命题的 ③由于原命题“正三角形的三个角均为
C．若|a|≠|b|，则 a≠－b D．若|a|＝|b|，则 a＝－b
基础知识系统化2
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性； (2) 两 个 命 题 为 互 逆 命 题 或 互 否 命 题，它们的真假性没有关系。
命题“若 a＝－b，则|a|＝|b|”，其逆命题为__D____， ___假___(真假)，其否命题为___A___，___假_____(真假)， 其逆否命题为___C_____，____真____(真假)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2012·高考北京卷)设 a，b∈R，“a＝0”是“复数 a＋bi 是纯虚数”的( B ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(02) 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：对于A ，其逆命题是：若x ＞|y |，则x ＞y ，是真命题，这是因为x ＞|y |≥y ，必有x ＞y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25＞1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2＞0，则x ＞0或x ＜0，不一定有x ＞1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题，故选A.答案：A2．设a ，b ∈R ，则“a ＞0，b ＞0”是“a ＋b2＞ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＞0，b ＞0不能得知a ＋b 2＞ab ，如取a ＝b ＝1时，a ＋b2＝ab ；由a ＋b 2＞ab 不能得知a ＞0，b ＞0，如取a ＝4，b ＝0时，满足a ＋b2＞ab ，但b ＝0.综上所述，“a ＞0，b ＞0”是“a ＋b2＞ab ”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件，故选A.答案：A4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0解析：方法一(直接法)当a＝0时，原方程变形为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根；当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a，当有一负实根时，⎩⎨⎧a≤1，1a＜0⇒a＜0；有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，－2a＜0，1a＞0⇒0＜a≤1.综上所述，a≤1.方法二：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.答案：C5．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，故y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案：B6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由大边对大角可知，A＜B⇔a＜b.由正弦定理可知asin A＝bsin B，故a＜b⇔sin A＜sin B.而cos2A＝1－2sin2A，cos2B＝1－2sin2B，又sin A＞0，sin B＞0，所以sin A＜sin B⇔cos2A＞cos2B.所以a＜b⇔cos2A＞cos2B，即“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故选C.答案：C7．命题p：|x＋2|＞2；命题q：13－x＞1，则綈q是綈p的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：解|x＋2|＞2，即x＋2＜－2或x＋2＞2，得x＜－4或x＞0，所以p：x＜－4或x＞0，故綈p：－4≤x≤0；解13－x＞1，得2＜x＜3，所以q ：2＜x ＜3，綈q ：x ≤2或x ≥3.显然{x |－4≤x ≤0}{x |x ≤2，或x ≥3}，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故选B.答案：B8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．充要条件解析：∵x ∈[0,1]时，f (x )是增函数， 又∵y ＝f (x )是偶函数， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数． 当x ∈[3,4]时，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2， ∴f (x )＝f (x －4)．∴x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，充分性成立．反之，x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数．∵y ＝f (x )是偶函数，∴x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，必要性亦成立． 答案：D9．若“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[3，＋∞)C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞) 解析：由2x 2－5x －3≥0得x ≤－12或x ≥3.∵x ∈{3，a }是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a ≠3，∴a ≤－12或a ＞3，故选D. 答案：D10．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：p ：“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”等价于0＜a ＜1.q ：“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”等价于2－a ＞0，即a ＜2.而{a |0＜a ＜1}是{a |a ＜2}的真子集，故选A.答案：A 二、填空题11．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．解析：A ＝{x |x ＜4}，由题意得A B ，结合数轴易得a ＞4. 答案：(4，＋∞)12．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________．解析：由x 2＞1，得x ＜－1或x ＞1，又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－113．下列命题：①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是__________．解析：对于①，ac 2＞bc 2，c 2＞0，∴a ＞b 正确；对于②，sin30°＝sin150°A ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2A ⇒/A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④14．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝__________.解析：∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ， ∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0， ∴n ＝3或n ＝4.当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 答案：3或4 三、解答题15．已知p ：－x 2＋6x ＋16≥0，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)． (1)若p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由－x 2＋6x ＋16≥0，解得－2≤x ≤8； 所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为－2≤x ≤8.(2)方法一：若q 为真，可由x 2－4x ＋4－m 2≤0(m ＞0)，解得2－m ≤x ≤2＋m (m ＞0)．若p 是q 成立的充分不必要条件，则[－2,8]是[2－m ，2＋m ]的真子集， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，2－m ≤－2，2＋m ≥8(两等号不同时成立)，得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6. 方法二：设f (x )＝x 2－4x ＋4－m 2(m ＞0)，若p 是q 成立的充分不必要条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，f (－2)≤0，f (8)≤0(两等号不同时成立)，解得m ≥6.所以实数m 的取值范围是m ≥6. 答案：(1)－2≤x ≤8；(2)m ≥6.16．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a ＜0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，A ＝{x |x －2x －52＜0}＝{x |2＜x ＜52}，B ＝{x |x －94x －12＜0}＝{x |12＜x ＜94}，所以∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，故(∁U B )∩A ＝{x |94≤x ＜52}．(2)∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．①当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 答案：(1){x |94≤x ＜52}；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52. 创新试题 教师备选教学积累 资源共享 教师用书独具1．在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”，那么f (p )＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则必有a 1b 2－a 2b 1＝0，但当a 1b 2－a 2b 1＝0时，直线l 1与l 2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f (p )＝2，故选B.答案：B2．条件p ：π4＜α＜π2，条件q ：f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，∴tan α＞1，得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k π，π2＋k π(k∈Z )．∴p 是q 的充分不必要条件，故选B. 答案：B3．“－3＜a ＜1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a ＝1表示椭圆”的__________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0，1－a ＞0，a ＋3≠1－a ，解得－3＜a ＜1且a ≠－1，故“－3＜a ＜1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．已知集合A ＝{x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －6＜1}，B ＝{x |log 4(x ＋a )＜1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－x －6＜1，即x 2－x －6＞0，解得x ＜－2或x ＞3，故A ＝{x |x ＜－2，或x ＞3}；由log 4(x ＋a )＜1，即0＜x ＋a ＜4，解得－a ＜x ＜4－a ，故B ＝{x |－a ＜x ＜4－a }，由题意，可知B ⊆A ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)5．已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则m 的取值范围是__________．解析：由题意知：“13＜x ＜12”是“不等式|x －m |＜1”成立的充分不必要条件．所以{x |13＜x ＜12}是{x ||x －m |＜1}的真子集．而{x ||x －m |＜1}＝{x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43.所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，436．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；②若a 2－4b ＜0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集；③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ＜0；④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ＜0；⑤若a 2－4b ＜0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是__________(按要求的顺序填写)．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.答案：①③②④7．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是__________．解析：当a ＝0时，不等式为2x ＋1＞0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝22－4a ＜0，解得a ＞1.若命题q 为真，则0＜4a －3＜1，解得34＜a ＜1.由题意，可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是{a |a ＞1}∩{a |a ≤34或a ≥1}＝{a |a ＞1}；当p 假q 真时，a 的取值范围是{a |a ≤1}∩{a |34＜a ＜1}＝{a |34＜a ＜1}；综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 8．已知集合M ＝{x |x ＜－3，或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件．解析：(1)由M∩P＝{x|5＜x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P ＝{x|5＜x≤8}；反之，M∩P＝{x|5＜x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P ＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件．答案：(1)－3≤a≤5；(2)a＝0.。