2017版高考数学一轮复习课件：第一章 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

考点二 命题及其关系、充分条件与必要条件

知识梳理

1．命题的概念

可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及相互关系

(1)

四种命题

命题

表述形式

原命题 若p，则q

逆命题 若q，则p

否命题 若非p，则非q

逆否命题 若非q，则非p

(2) 四种命题间的逆否关系

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

4．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

(3) 如果pq，qp，那么称p是q的充分不必要条件．

(4) 如果qp，pq，那么称p是q的必要不充分条件．

(5) 如果p q，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件．

典例剖析

题型一 四种命题及其相互关系

例1 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案 B

解析 将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

变式训练 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案 C

解析 由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

1 2014年高考一轮温习热点难点精讲精析：

命题及其关系、充分条件与必要条件

一、命题的关系与真假的判断

一、相关链接

（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判毕命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用

掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必需保留大前提，大前提不动。

二、例题解析

〖例1〗】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.

(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______

(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.

【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再按照四种命题的概念，写出逆命题、否命题.

(3)在判断四种命题的真假时，可按照原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.

【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.

(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.

答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数

(2)若a≤b，则a-1≤b-1

(3)1

〖例2〗以下列命题为原命题，别离写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．

1 课时提升练(二)

命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1．(2023·东北四市联考)以下命题中真命题是( )

A．“a>b”是“a2>b2”的充分条件

B．“a>b”是“a2>b2”的必要条件

C．“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件

D．“a>b”是“|a|>|b|”的充要条件

【解析】 C中，当c2＝0时，由a>bac2>bc2；反过来，由ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件．

【答案】 C

2．命题“假设a，b，c成等比数列，那么b2＝ac”的逆否命题是( )

A．“假设a，b，c成等比数列，那么b2≠ac”

B．“假设a，b，c不成等比数列，那么b2≠ac”

C．“假设b2＝ac，那么a，b，c成等比数列”

D．“假设b2≠ac，那么a，b，c不成等比数列”

【解析】 根据原命题与其逆否命题的关系知，命题“假设a，b，c成等比数列，那么b2＝ac”的逆否命题为“假设b2≠ac，那么a，b，c不成等比数列”．

【答案】 D 2 3.(2023·长沙模拟)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A或x∈B，那么┑q是┑p的( )

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

【解析】 由题意p⇒q，故┑q⇒┑p；而qp，故┑p┑q，所以┑q是┑p的充分不必要条件．

【答案】 B

4．有以下四个命题：

①“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数”的逆否命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“假设q≤1，那么x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中的真命题为( )

A．①② B．②③

C．①③ D．③④

【解析】 “假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数”为真命题，那么逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；假设q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，那么x2＋2x＋q＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．应选C.

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

复习目标 学法指导

1.命题的概念.

2.命题的否定,命题的逆命题、否命题、逆否命题.

3.四种命题间的相互关系.

(1)四种命题间的相互关系.

(2)利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判断命题的真假.会列举四种命题的相互转化.

4.充分条件与必要条件:必要条件、充分条件的含义.

5.充要条件:充要条件的含义.

会证明具体问题中的必要性和充分性. 1.明确命题的结构与类型是解决命题问题的前提.本节涉及三种类型:若p则q型、量词型.

2.命题真假的判定与应用是重点,关键在于掌握不同类型的判定法则.

3.善于利用逆否命题的等价性化难为易地解决问题.

4.理解充分条件、必要条件的定义,明确充分性、必要性的相对性.

5.掌握充分性、必要性的判定方法,能灵活选择、准确应用.

6.能利用充分性、必要性解决参数求值问题.

一、命题 1.命题

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其关系

(1)四种命题间的逆否关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有确定的关系.

1.概念理解

(1)判断一个语句是否为命题,首先确定是否为陈述句,否则一定不是命题.

(2)改写命题为“若p则q”形式时,应使p,q构成完整的叙述部分,同时注意大前提的存在.

(3)四种命题之间的关系具有相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题、否命题、逆否命题”.

2.与“四种命题”相关联的结论

(1)若一个命题有大前提,其他三种命题需保留大前提; (2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题:前者既否定条件,又否定结论,后者只否定命题的结论;

(3)常见词语的否定形式有:

词语

是 都是 >

至少有

一个 至多有