简单线性回归案例

数据点基本落在一条直线附近。

这告诉我们，变量X与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。

但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。

其它因素，诸如其它微量元素的含量以及测试误差等都会影响Y的测试结果。

如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合（2-1-1）我们称（2-1-1）式为回归方程，a与b是待定常数，称为回归系数。

从理论上讲，（2-1-1）式有无穷多组解，回归分析的任务是求出其最佳的线性拟合。

二、最小二乘法原理如果把用回归方程计算得到的i值(i=1,2,…n)称为回归值，那么实际测量值y i与回归值i之间存在着偏差，我们把这种偏差称为残差，记为e i(i=1,2,3,…,n)。

这样，我们就可以用残差平方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。

残差平方和定义为:(2-1-2)所谓最小二乘法，就是选择a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回归直线是在所有直线中与测量值残差平方和Q最小的一条。

由(2-1-2)式可知Q是关于a,b的二次函数，所以它的最小值总是存在的。

下面讨论的a和b的求法。

三、正规方程组根据微分中求极值的方法可知，Q(a,b)取得最小值应满足(2-1-3)由(2-1-2)式，并考虑上述条件，则(2-1-4)(2-1-4)式称为正规方程组。

解这一方程组可得(2-1-5) 其中(2-1-6)(2-1-7) 式中，L xy称为xy的协方差之和，L xx称为x的平方差之和。

如果改写(2-1-1)式，可得(2-1-8) 或(2-1-9)由此可见，回归直线是通过点的，即通过由所有实验测量值的平均值组成的点。

从力学观点看，即是N个散点的重心位置。

现在我们来建立关于例1的回归关系式。

将表2-1-1的结果代入(2-1-5)式至(2-1-7)式，得出a=1231.65b=-2236.63因此，在例1中灰铸铁初生奥氏体析出温度(y)与氮含量(x)的回归关系式为y=1231.65-2236.63x四、一元线性回归的统计学原理如果X和Y都是相关的随机变量，在确定x的条件下，对应的y值并不确定，而是形成一个分布。

回归方程例题
回归方程是一种用于预测因变量与自变量之间的关系的数学模型。

在例题中，我们可以使用线性回归方程来预测某个因变量的值，该因变量的值受多个自变量的影响。

下面是一个简单的线性回归方程例题:
假设有一组数据点，其横轴为自变量 x1、x2、x3 等，纵轴为因变量 y。

我们希望建立一个线性回归方程，来预测 y 的值。

首先，我们需要计算出每个数据点的平均值。

例如，对于自变量x1，我们可以计算所有数据点中 x1 的平均值，即:
mean(x1) = (x11 + x12 + x13 + ... + x1n) / n
接着，我们可以计算出每个自变量对因变量的影响。

例如，对于自变量 x1，我们可以计算 y 关于 x1 的线性回归系数，即:
b1 = (y - mean(y)) / std(x1)
其中，std(x1) 表示 x1 的标准差，mean(y) 表示 y 的平均值，std(y) 表示 y 的标准差。

最后，我们可以使用计算出的回归系数来构建线性回归方程，例如:
y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + ... + bnxn
其中，b0、b1、b2、b3 等为常数，x1、x2、x3 等为自变量。

在实际问题中，我们需要根据具体问题来选择适当的回归方程类型，并计算出相应的回归系数。

然后，我们可以使用这些系数来预测因变量的值。

计量经济学教学案例案例一 简单线性回归模型一、主题与背景用真实数据进行简单线性回归分析，应用Eviews6.0分析软件进行操作，与课本内容相对应，分析模型的截距、斜率以及可决系数，引导学生熟悉Eviews6.0的基本操作，能够解读分析报告，并尝试进行被解释变量的预测，体会变量测度单位的改变和函数形式变化给OLS 估计结果和统计特征的影响。

二、情景描述对于由CEO 构成的总体，令y 代表年薪(salary)，单位为千美元。

令x 表示某个CEO 所在公司在过去三年的平均股本回报率(roe ，股本回报率定义为净收入占普通股价的百分比)。

为研究该公司业绩指标和CEO 薪水之间的关系，可以定义以下模型：Salary=0β+1βroe + u . 斜率参数1β衡量当股本回报率增长一个单位（一个百分点）时CEO 年薪的变化量，由于更高的股本回报率预示更高的CEO 年薪，所以，1β＞0。

三、教学过程设计（一）数据说明数据集CEOSAL1.RAW 包含1990年209位CEO 的相关信息，该数据来自《商业周刊》(5/6/91)，该样本中CEO 年薪的平均值为$1,281,120，最低值和最高值分别为$223,000和$14,822,000，1988、1989和1990年的平均股本回报率是17.18%。

（二）操作建议1：在 eviews6.0命令输入窗口定义变量：data salary roe2、用 edit+/- 编辑数据3、描述统计分析过程：view---descriptive stats---common sample4、画散点图:Scat roe salary5、在eviews6.0命令输入窗口运行简单线性回归 Ls salary c roe6、用resids 观测残差7、产生新序列:S eries lsalary =log(salary)8、改变函数形式：Ls lsalary c lsales9、改变变量测度单位：Ls salary*1000 c roe四、教学研究（一）案例结论1、回归结果估计出的回归线为：salˆary = 963.191 + 18.501 roe(1)截距和斜率保留了3位小数，回归结果显示，如果股本回报率为0，年薪的预测值为截距963.191千美元,可以把年薪的预测变化看做股本回报率变化的函数：∆salˆary = 18.501 (∆roe)，这意味着当股本回报率增加1个百分点，即∆roe =1,则年薪的预测变化就是18.5千美元,在线性方程中，估计的变化与初始年薪无关。

相关和回归的有趣案例
相关和回归是统计学中的重要概念，用于探索变量之间的关系。

以下是一些有趣的相关和回归案例：
1. 身高和体重：这是一个常见的相关和回归的例子。

一般来说，身高和体重之间存在正相关关系，即身高越高的人通常体重也越重。

通过回归分析，我们可以更精确地预测一个人的体重，给定其身高。

2. 考试分数和努力学习：这是一个典型的线性回归的例子。

一般来说，考试分数和努力学习之间存在正相关关系，即努力学习的人通常考试分数也更高。

通过回归分析，我们可以预测一个人在考试中的表现，给定其努力学习的程度。

3. 股票价格和通货膨胀：股票价格和通货膨胀之间可能存在一定的关系。

当通货膨胀率上升时，股票价格可能会下跌，因为通货膨胀可能导致消费者购买力下降，从而降低对商品和服务的消费需求，进而影响公司的盈利和股票价格。

4. 气候变化和冰川融化：气候变化和冰川融化之间存在相关性。

全球气候变暖可能导致冰川融化，因为温度升高会导致冰川融化。

通过分析气候变化和冰川融化的数据，我们可以更好地了解全球气候变化的趋势和影响。

5. 广告投入和销售额：广告投入和销售额之间可能存在一定的关系。

一般来说，广告投入越多，销售额也可能越高。

通过回归分析，我们可以预测销售额，给定广告投入的金额。

这些案例表明，相关和回归分析可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，并为预测、决策提供有用的信息。

回归分析实验内容：基于居民消费性支出与居民可支配收入的简单线性回归分析【研究目的】居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用。

影响各地区居民消费支出的因素很多，例如居民的收入水平、商品价格水平、收入分配状况、消费者偏好、家庭财产状况、消费信贷状况、消费者年龄构成、社会保障制度、风俗习惯等等。

为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的经济模型去研究。

【模型设定】我们研究的对象是各地区居民消费的差异。

由于各地区的城市与农村人口比例及经济结构有较大差异，现选用城镇居民消费进行比较。

模型中被解释变量Y选定为“城市居民每人每年的平均消费支出”。

从理论和经验分析，影响居民消费水平的最主要因素是居民的可支配收入，故可以选用“城市居民每人每年可支配收入”作为解释变量X，选取2010年截面数据。

1、实验数据表1：2010年中国各地区城市居民人均年消费支出和可支配收入数据来源：《中国统计年鉴》2010年2、实验过程作城市居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)的散点图，如图1：从散点图可以看出居民家庭平均每人每年消费支出(Y)和城市居民人均年可支配收入(X)大体呈现为线性关系，所以建立如下线性模型：Y=a+bX表2模型汇总b模型R R方调整R方标准估计的误差1 .965a.932 .930 877.29128a.预测变量:(常量),可支配收入X（元）。

b.因变量:消费性支出Y(元)表3相关性表4系数a3、结果分析表2模型汇总：相关系数为0.965，判定系数为0.932，调整判定系数为0.930，估计值的标准误877.29128表3是相关分析结果。

消费性支出Y与可支配收入X相关系数为0.965，相关性很高。

表4是回归分析中的系数：常数项b=704.824，可支配收入X 的回归系数a=0.668。

a的标准误差为0.034，回归系数t的检验值为19.921，P值为0，满足95%的置信区间，可认为回归系数有显著意义。

1. “团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x 亿件：精确到0.1）及其增长速度（y %）的数据（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t ：1，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程a x b yˆˆˆ+=； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：∑∑==--=ni ini ii x n xy x n yx b1221ˆ， x b y aˆˆ-=2.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元 7 8 9 11 12 13 销量120118112110108104已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程； 若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间内的单价种数的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：， ．3. (2018年全国二卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．4.(2014年全国二卷) 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-5（2019 2卷）18．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．。

线性回归经典假设的分析（案例）多重共线性分析财政收入是一个国家政府部门的公共收入。

国家财政收入的规模大小往往是衡量其经济实力的重要标志。

近20年来，我国财政收入一直保持着快速增长态势，经济总体发展良好。

一个国家财政收入的规模要受到经济规模等诸多因素的影响。

因此我们以财政收入为被解释变量，建立财政收入影响因素模型，分析影响财政收入的主要因素及其影响程度。

财政收入的因素众多复杂，但是通过研究经济理论对财政收入的解释以及对实践的考察，我们选取影响财政收入的因素为工业总产值、农业总产值、建筑业总产值、社会商品零售总产值、人口总数和受灾面积。

将这六个变量作为解释变量，财政收入作为被解释变量，利用1989~2003年数据建立中国国家财政收入计量经济模型，资料如下表。

表1 影响财政收入的因素资料（资料来源：《中国统计年鉴2004》）使用上述数据建立多元线性模型，采用普通最小二乘法得到国家财政收入估计方程为：1234562(0.46)(0.44)(8.59)(0.03)(3.80)(0.65)( 1.53)6922.5880.1260.9360.0400.5720.0920.0470.998620.56Y X X X X X X R F ---=-+-+++-==由上可以看出模型的拟合优度2R 和F 值都较大，说明建立的回归方程显著。

但在显著性水平为5%下， t (15)=2.131，大多数回归参数的t 检验不显著，若据此判断大部分因素对财政收入的影响不显著。

因此可以判定解释变量之间存在严重的多重共线性。

采用逐步回归法对解释变量进行筛选。

分别将Y 与各解释变量作一元线性回归方程，以拟合优度值最大的模型为基础，将其余变量依次引入方程中。

经过我们多次比较各模型的F 值和各参数的t 值，最终确定的模型为：242(1.79)(13.42)(35.57)519.6780.8120.7230.9971943.91Y X X R F -=-+==该模型的经济意义十分明显，即财政收入主要取决于农业总产值和社会商品零售总产值，各因素数量的变化引起财政收入总量变化的程度由各自的系数来反映。

计量经济学模型案例计量经济学是经济学的一个重要分支，它通过建立数学模型来研究经济现象，并利用实证数据对模型进行检验和估计。

在实际应用中，计量经济学模型可以帮助我们理解经济现象的规律，预测未来的经济走势，制定经济政策等。

下面，我们将通过几个实际案例来介绍计量经济学模型在经济分析中的应用。

首先，我们来看一个简单的线性回归模型的案例。

假设我们想研究劳动力市场的供求关系，我们可以建立一个简单的线性回归模型来分析劳动力市场的工资水平与就业率之间的关系。

我们收集了一些城市的数据，包括每个城市的平均工资水平、就业率、教育水平等变量，然后利用线性回归模型来估计工资水平与就业率之间的关系。

通过对模型的检验和估计，我们可以得出一些结论，比如工资水平的提高是否会影响就业率，教育水平对工资水平的影响等。

其次，我们来看一个时间序列模型的案例。

假设我们想预测未来几个季度的经济增长率，我们可以利用时间序列模型来进行预测。

我们收集了过去几年的经济增长率数据，然后利用时间序列模型来对未来的经济增长率进行预测。

通过对模型的估计和预测，我们可以得出一些结论，比如未来几个季度的经济增长率可能会呈现什么样的趋势，有助于政府制定经济政策和企业进行经营决策。

最后，我们来看一个面板数据模型的案例。

假设我们想研究不同地区的经济增长对环境污染的影响，我们可以利用面板数据模型来进行分析。

我们收集了不同地区的经济增长率和环境污染指标的数据，然后利用面板数据模型来估计经济增长与环境污染之间的关系。

通过对模型的检验和估计，我们可以得出一些结论，比如经济增长对环境污染的影响程度，不同地区之间的差异等。

综上所述，计量经济学模型在经济分析中具有重要的应用价值。

通过建立合适的模型并利用实证数据进行分析，我们可以更好地理解经济现象的规律，预测未来的经济走势，为政府制定经济政策和企业经营决策提供科学依据。

希望以上案例可以帮助大家更好地理解计量经济学模型在实际应用中的重要性和价值。

线性回归案例分析【篇一：线性回归案例分析】散布图—练习总评估价某建筑公司想了解位于某街区的住宅地产的销房产 79,760售价格y与总评估价x之 98,480间的相关程度到底有多 110,655大？于是从该街区去年 96,859售出的住宅中随机抽10 94,798的总评估价和销售资料 139,850如右表 170,34110 corporatecommunication 28.05.2007 corporatecommunication 28.05.2007 相关分析案例justin tao 销售价格y美元 95,000 116,500 156,900 111,000 110,110 100,000 130,000 170,400 211,500 185,000 绘制散布图，观察其相关关系输入数据点击graph scatterplot 弹出对话框，依次对应x、y输入变量列点击ok 散布图及关系分析从散布图可以看出：总评估价值x与销售价格y存在线性正相关，相关程度较大；随x增大，y有增长趋corporatecommunication 28.05.2007 corporatecommunication 28.05.2007 计算相关系数输入数据点击stat basic statistics correlation… 弹出对话框，输入x、y变量列点击ok 散布图(相关分析)案例下面是表示某公司广告费用和销售额之间关系的资试求这家公司的广告费和销售额的相关系数广告费 (10万) 销售额 (100万) 2022 15 17 23 18 25 10 20 得出相关系数及检验p值corporatecommunication 28.05.2007 corporatecommunication 28.05.2007 0.002 0.05 (留意水准) ，广告费和销售额的相关关系是有影响的 corporatecommunication 28.05.2007 corporatecommunication 28.05.2007 回归分析案例通过下例观察回归分析和决定系数。

⼀元线性回归模型案例第⼆章⼀元线性回归模型案例⼀、中国居民⼈均消费模型从总体上考察中国居民收⼊与消费⽀出的关系。

表2.1给出了1990年不变价格测算的中国⼈均国内⽣产总值（GDPP）与以居民消费价格指数（1990年为100）所见的⼈均居民消费⽀出（CONSP）两组数据。

1) 建⽴模型，并分析结果。

输出结果为：对应的模型表达式为：201.1070.3862CONSP GDPP =+(13.51) (53.47) 20.9927,2859.23,0.55R F DW ===从回归估计的结果可以看出，拟合度较好，截距项和斜率项系数均通过了t 检验。

中国⼈均消费增加10000元，GDP 增加3862元。

⼆、线性回归模型估计表2.2给出⿊龙江省伊春林区1999年16个林业局的年⽊材采伐量和相应伐⽊剩余物数据。

利⽤该数据（1）画散点图；（2）进⾏OLS 回归；（3）预测。

表2.2 年剩余物y 和年⽊材采伐量x 数据（1）画散点图先输⼊横轴变量名，再输⼊纵轴变量名得散点图（2）OLS估计弹出⽅程设定对话框得到输出结果如图：由输出结果可以看出，对应的回归表达式为：0.76290.4043t t yx =-+ (-0.625) (12.11)20.9129,146.7166, 1.48R F DW === （3）x=20条件下模型的样本外预测⽅法⾸先修改⼯作⽂件范围将⼯作⽂件范围从1—16改为1—17确定后将⼯作⽂件的范围改为包括17个观测值，然后修改样本范围将样本范围从1—16改为1—17打开x的数据⽂件，利⽤Edit+/-给x的第17个观测值赋值为20将Forecast sample选择区把预测范围从1—17改为17—17，即只预测x=20时的y的值。

由上图可以知道，当x=20时，y的预测值是7.32，yf的分布标准差是2.145。

三、表2.3列出了中国1978—2000年的参政收⼊Y和国内⽣产总值GDP的统计资料。

已知某地区在校生人数与教育经费投入资料如下，根据资料要求完成以下问题: （1）计算相关系数,分析变量间相关程度;（2）建立一元线性回归方程,并解释方程中回归系数的经济意义; （3)）若教育经费达到500万元时,在校生数可以达到多少；（4）计算判定系数，说明其含义；（5）对回归系数（b）进行显著性检验。

在校生数y 11 16 18 20 22 25 112__________________________________________教育经费x 316 343 373 393 418 455 2298 ————————————————x2 99856 117649 139129 154449 174724 207025 892832————————————————y2 121 256 324 400 484 625 2210————————————————xy 3476 5488 6714 7860 9196 11375 44109————————————————y-y-7.7 -2.7 -0.7 1.3 3.3 6.3 ————————————————∧y12.11 14.68 17.53 19.43 21.8 25.32 ————————————————y-∧y-1.11 1.32 0.47 0.57 0.20 -0.32————————————————∧y -y -6.56 -3.99 -1.14 0.76 3.13 6.65———————————————— )(2y y - 59.29 7.29 0.49 1.69 10.89 39.69 119.34 ————————————————(∧y -y )2 43.03 15.92 1.30 0.58 9.80 44.22 114.85解： （1）在校生数与教育经费之间建立的线性回归方程：n=6,∑x=2298,∑y=112,∑x 2=892832,∑y 2=2210,∑xy=44109 0955.0892832611222984410962298)(222=-⨯⨯-⨯=∑--=∑∑∑∑x x n yx xy n b91.17622980955.06112-=⨯-=-=x b y a x bx a y 0955.091.17+-=+=∧（2）给定自变量一个数值，预测因变量（Y ）：当教育经费x=500时，在校生人数为： x bx a y 0955.091.17+-=+=∧=-17.91+0.0955×500=29.84（万人）（3）判定系数:9624.034.11985.114)()(222==∧=∑-∑-y y y y R 说明:在校生人数(Y)的总变动中由教育经费(X)的变动解释或说明的部分所占比例为96.24%。