人教版高一数学必修2 空间直线的垂直关系练习题(含答案详解)

高中数学必直线一、基础巩固1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D A.B 1B ⊥lB.B 1B ∥lC.B 1B 与l 异面但不垂直D.B 1B 与l 相交但不垂直解析:因为B 1B ⊥平面A 1C 1,又因答案:B2.若直线l 垂直于梯形ABCD 面的位置关系是( ) A.相交但不垂直 B.平行C.垂直 D.在平面答案:C3.如图, ADEF 的边AF ⊥平面数学必修2考点知识专题训练直线与平面垂直的性质课时过关·能力提升1中,若直线l (与直线BB 1不重合)⊥平面A 1又因为l ⊥平面A 1C 1,所以l ∥B 1B. BCD 的两腰AB 和CD ,直线m ∥l,则m 与梯形 面ABCD 内平面ABCD ,且AF=2,CD=3,则CE=( )训练C 1,则( ) 形ABCD 所在的平A.2B.3C.√√13解析:因为四边形ADEF为平行四边形,所以AF DE.因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF=2,所以DE=2.又CD=3,所以CEൌ√ܥܦଶ൅ܦܧଶൌ√9൅4ൌ√13.答案:D4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是()①若m⊥n,n⊂α,则m⊥α;②若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;④若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n.A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④解析:①中,直线m垂直于平面α内的一条直线n,则直线m与平面α不一定垂直,所以①不是真命题;②是平面与平面垂直的判定定理,所以②是真命题;③是直线与平面垂直的性质定理,所以③是真命题;④中,分别在两个平行平面α,β内的直线m,n平行或异面,所以④不是真命题.答案:B5.已知地面上有两根相距a m的竖直的旗杆,它们的高度分别是b m和c m(b>c),则它们顶端的距离为m.解析:如图,根据题意可知AD=b m,BC=c m,AB=a m.由线面垂直的性质定理可得AD∥BC.过点C向AD作垂线,设垂足为E,则在Rt△CDE中,CE=a m,DE=(b-c)m,所以CDൌටܽଶ൅(ܾ-ܿ)ଶሺmሻ.答案:ටܽଶ൅(ܾ-ܿ)ଶ6.已知直线l,m,a,b,l⊥a,l⊥b,m⊥a,m⊥b,且a,b是异面直线,求证:l∥m.证明:如图,在直线b上任取一点O,过点O作a'∥a,则直线b,a'确定一个平面α.∵a'∥a,l⊥a,∴l⊥a'.∵l⊥b,a'∩b=O,∴l⊥α.同理可证m⊥α,∴l∥m.7.如图,已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a⊂α,a⊥AB.求证:a∥l.证明:因为EA⊥α,EB⊥β,α∩β=l,所以l⊥EA,l⊥EB.因为EA∩EB=E,EA⊂平面EAB,EB⊂平面EAB,所以l⊥平面EAB.因为a⊂α,EA⊥α,所以a⊥EA.因为a⊥AB,AB∩EA=A,AB⊂平面EAB,EA⊂平面EAB,所以a⊥平面EAB.所以a∥l.二、能力提升1.若a,b是互不相同的直线,α,β是不重合的平面,则下列条件中可推出a∥b的是()A.a⊂α,b⊂β,α∥βB.a∥α,b⊂αC.a⊥α,b⊥αD.a⊥α,b⊂α答案:C★2.已知直线l∩平面α=点O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=()A.2B.1C.ଷଶD.ଵଶ解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.连接OD,所以ை஺ൌ஺஼஻஽.ை஻因为OA=AB,所以ை஺ൌଵଶ.ை஻因为AC=1,所以BD=2.答案:A3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC 的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是.解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC.答案:平行4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,l⊥平面PCD.求证:l∥AE.证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又四边形ABCD是矩形,所以CD⊥AD.因为PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD,所以AE⊥DC.因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为l⊥平面PCD,所以l∥AE.5.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:஼ி஽஼ൌ஼ா஻஼.证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD,׵஼ி஽஼ൌ஼ா஻஼.★6.如图,△ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:(1)DF∥平面ABC;(2)AF⊥BD.证明:(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG.因为F为BE的中点,所以FG∥AE,FGൌଵܣܧ.ଶ因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.因为CDൌଵܣܧ,ଶ所以FG∥CD,FG=CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,所以DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点, 所以AF⊥BE.因为△ABC是等边三角形,所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.因为FG⊥平面ABC,所以FG⊥GC,FG⊥DF.因为FG∩AB=G,所以DF⊥平面ABE.因为AF⊂平面ABE,所以DF⊥AF.因为BE∩DF=F,所以AF⊥平面BDF.因为BD⊂平面BDF,所以AF⊥BD.。

8.6 空间直线、平面的垂直(精练)【题组一 线面垂直】1．(2021·全国·高一课时练习)如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．当CF FD＝__时，D 1E ⊥平面AB 1F ．【答案】1【解析】连接A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 内的射影，⊥AB 1⊥A 1B ，⊥D 1E ⊥AB 1，于是D 1E ⊥平面AB 1F ，又AF ⊂平面AB 1F ，所以D 1E ⊥AF ．连接DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影．⊥D 1E ⊥AF ，1DD AF ⊥，因为11D E DD D ⋂=，所以AF ⊥平面1DD E ，又DE ⊂平面1DD E ，所以DE ⊥AF ．⊥ABCD 是正方形，E 是BC 的中点．⊥当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ，即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F ．⊥CF FD＝1时，D 1E ⊥平面AB 1F ．故答案为：1.2．(2021·全国·高一课时练习)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AD =，F 为PD 的中点.求证：AF ⊥平面PDC .【答案】证明见解析.【解析】证明：⊥PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，⊥PA CD ⊥.⊥四边形ABCD 是正方形，⊥CD AD ⊥，又PA AD A ⋂=，PA AD ⊂、平面PAD ，⊥CD ⊥平面PAD ，⊥AF ⊂平面PAD ，⊥CD AF ⊥.⊥,PA AD FP FD ==，⊥AF PD ⊥，又CD PD D =，CD PD ⊂、平面PDC ，⊥AF ⊥平面PDC .3．(2021·全国·高一单元测试)如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是BC ，AB 1的中点．(1)证明：DE ⊥平面ACC 1A 1；(2)若BB 1＝1，证明：C 1D ⊥平面ADE ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)连接A 1B ，A 1C ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形，因为点E 是AB 1的中点，所以点E 是A 1B 的中点，又因为点D 是BC 的中点，所以DE ⊥A 1C ，因为DE ⊥平面ACC 1A 1，A 1C ⊥平面ACC 1A 1，所以DE ⊥平面ACC 1A 1．(2)连接B 1D ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，所以 BB 1⊥AD ，又因为底面ABC 是等边三角形，D 为BC 的中点，所以BC ⊥AD ，又BC ∩BB 1＝B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1，又C 1D ⊥平面B 1BCC 1，所以AD ⊥C 1D ，由BC ＝2，得BD ＝1，又BB 1＝CC 1＝1，所以11DB C D =所以2221111DB C D B C +=，所以C 1D ⊥DB 1，DB 1AD ＝D ，所以C 1D ⊥平面ADB 1，即C 1D ⊥平面ADE ．4．(2021·全国·高一课时练习)如图1，在直角梯形ABCD 中，1//,90,2AD BC BAD AB BC AD a ∠=︒===，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ABE △沿BE 折起到图2中1A BE 的位置，得到四棱锥1A BCDE -．求证：CD ⊥平面1A OC ．【答案】证明见解析【解析】证明：在题图1中， 因为12AB BC AD a ，E 是AD 的中点，90BAD ∠=︒，所以BE AC ⊥．所以在题图2中，1BE AO ⊥，BE OC ⊥， 又1AO OC O ，所以BE ⊥平面1A OC ，又//CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC ．5．(2021·广西·桂平市麻垌中学高一月考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，⊥ABC =60°，P A ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、P A 中点，且P A =AB =2.(1)证明：BC ⊥平面AMN ；(2)求三棱锥N -AMC 的体积；(3)在线段PD 上是否存在一点E ，使得MN ⊥平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)详解见解析；(3)存在点E 为PD 的中点，PE 【解析】(1)证明：因为ABCD 为菱形，所以AB =BC ，又⊥ABC =60°，所以AB =BC =AC ，又M 为BC 中点，所以BC ⊥AM ，又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面ABCD ，故P A ⊥BC又P A ∩AM =A ，所以BC ⊥平面AMN .(2)由(1)知ABC 为等边三角形，AB =BC =AC =2又M 为BC 中点，则BM =CM =1，故AM因此11122AMC S AM CM =⋅= 又P A ⊥平面ABCD ，P A =2，N 为P A 的中点，故AN =1所以11133N AMC AMC V SAN -=⋅==. (3)存在点E ，取PD 中点E ，连接NE ，EC ，AE ，如图所示：因为N ，E 分别为P A ，PD 中点，所以1//2NE AD ，且12NE AD =， 又在菱形ABCD 中，1//2CM AD ，且12CM AD =， 所以//NE MC ，且NE MC =，即MCEN 是平行四边形，故//NM EC ，又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，故//MN 平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得MN //平面ACE ，此时PE =12PD【题组二 面面垂直】1．(2021·全国·高一单元测试)如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，平面PCD ⊥平面,ABCD PC a =，,PD E =为PA 的中点.求证：平面EDB ⊥平面ABCD .【答案】证明见解析【解析】如图所示，设ACBD O =，连接EO ，则//EO PC .,PC CD a PD ===， 222,PC CD PD PC CD ∴+=∴⊥.⊥平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PC ∴⊥平面,ABCD EO ∴⊥平面ABCD .又EO ⊂平面EDB ，故平面EDB ⊥平面ABCD .2．(2021·山西省长治市第二中学校高一月考)如图，在三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠=︒，PA ⊥平面ABC ．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC(2)若AC BC PA ==，求二面角-A PB C -的正切值【答案】(1)证明见解析；【解析】(1)PA ⊥平面ABC PA BC ∴⊥AC BC ⊥，PA AC A,PA =⊂平面,PAC AC ⊂平面PACBC ∴⊥平面PAC BC ⊂又平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC .(2)设M 是AB 的中点，过CN PB ⊥于N ，连接CM MN 、在ABC 中AC BC,CM AB,=∴⊥PA ⊥又平面ABC ∴平面PAB ⊥平面ABC ，CM ∴⊥平面,PAB CM PB ∴⊥又PB CN,CM CN C,PB ⊥=∴⊥平面CMNPB MN,MNC ∴⊥∴∠是二面角A PB C --的平面角．设1AC BC PA ===，则在Rt CMN 中，CM ===所以tan MNC ∠=3．(2021·内蒙古包头·高一期末)如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是菱形，且对角线AC 与BD 相交于点O .(1)若PB PD =，求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)设点E 为BC 的中点，在棱PC 上是否存在点F ，使得PB ⊥平面AEF ？请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.【解析】证明：(1)连接PO ，底面ABCD 为菱形，,BD AC BO DO ∴⊥=.又,PB PD BD PO =∴⊥又,PO AC O BD ⋂=∴⊥平面PAC .BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD .(2)棱PC 上存在点F ，且F 为PC 的中点，使得PB ⊥平面AEF ，证明如下：连接,AF EF . E 是BC 的中点，EF ∴⊥PBPB ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ,PB ∴⊥平面AEF4．(2021·广东白云·高一期末)如图，PA 垂直于O 所在的平面，AC 为O 的直径，3AB =，4BC =，PA =AE PB ⊥，点F 为线段BC 上一动点.(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)当点F 移动到C 点时，求PB 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析； 【解析】(1)证明：因为PA 垂直于O 所在的平面，即PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥，又AC 为O 的直径，所以AB BC ⊥，因为PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，因为AE PB ⊥，BC PB B =，所以AE ⊥平面PBC ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC .(2)解：因为3AB =，PA =PB =又AE PB ⊥，所以PA AB AE PB⋅==由2AB BE PB =⋅，可得BE =如图，过点E 作//EG PA 交AB 于点G ，则EG BE PA PB=，可得EG =又4BC =，所以EC所以162ABC S AB BC =⋅=△，12AEC S AE EC =⋅=△ 设点B 到平面AEC 的距离为h ，由E ABC B AEC V V --=，可得1133ABC AEC S EG S h ⋅=⋅△△，解得h =所以当点F 移动到C 点时，PB 与平面AEF 所成角的正弦值为h BE =5．(2021·江苏·吴江汾湖高级中学高一月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，AB BP ⊥，M ，N 分别为AC ，PD 的中点．(1)求证：//MN 平面ABP ；(2)若BP PC ⊥，求证：平面ABP ⊥平面APC ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)连结BD ，由已知，M 为AC 和BD 的中点，又N 为PD 的中点，//MN BP ∴．MN ⊄平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，//MN ∴平面ABP ．(2)AB BP ⊥，AB BC ⊥，BP BC B ⋂=，AB ∴⊥平面BPC ．PC ⊂平面BPC ，AB PC ∴⊥．BP PC ⊥，AB BP B =，PC ∴⊥平面ABP ．PC⊂平面APC，⊥平面ABP⊥平面APC．6(2021·山西·太原市第五十六中学校高一月考)在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，4PA AD==，2AB=，以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M.(1)求直线BD与平面P AD所成的角的正切值；(2)求证：平面ABM⊥平面PCD.【答案】(1)12；(2)证明见解析.【解析】(1)⊥ PA⊥平面ABCD，BA⊂平面ABCD，⊥ P A⊥BA，又底面ABCD是矩形，⊥BA⊥AD，又P A，AD⊂平面P AD，=PA AD A,⊥ BA⊥平面P AD，⊥ 直线BD与平面P AD内的投影为AD，⊥ ADB∠即为直线BD与平面P AD所成的角，又AB=2，AD=4，⊥1 tan2ADB=∠；⊥ 直线BD与平面P AD所成的角的正切值为12，(2)证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM PD⊥，由(1)得AB⊥平面P AD，又PD⊂平面PAD⊥ AB PD⊥⊥ =AB BM B，AB，BM⊂平面ABM，⊥ PD⊥平面ABM，又PD⊂平面PCD⊥ 平面ABM ⊥平面PCD .7．(2021·江苏如皋·高一月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，经过AB 的平面与PD ､PC 分别交于点E 与点F ，且平面ABFE ⊥平面PCD ，AE CD ⊥，//CD 平面ABFE .(1)求证：//AB EF ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PCD .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面PCD ，平面PCD 平面ABFE EF =//CD EF ∴同理//CD AB //AB EF ∴.(2)由(1)知//CD EF ，AE CD ⊥，AE EF ∴⊥平面ABFE ⊥平面PCD ，AE EF ⊥，平面PCD 平面ABFE EF =，AE ⊂平面ABFEAE ∴⊥平面PCD ，又AE ⊂平面P AD 中，∴平面PAD ⊥平面PCD .8．(2021·江苏·滨海县八滩中学高一期中)如图，在三棱锥P ABC -中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知PA AC AB BC ⊥⊥，，且6,8,5PA AB BC DF ====．(1)求证：平面DEF ⊥平面ABC ；(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；． 【解析】(1)证明：,D E 分别为,PC AC 中点，DE ∴为PAC △的中位线//DE PA ∴，且132DE PA ==，PA AC ⊥，DE AC ∴⊥又F 为AB 中点，EF ∴为ABC 的中位线，142EF BC ∴== 又5DF =，222DE EF DF ∴+=，DE EF ∴⊥又EF AC E ⋂=，DE ∴⊥平面ABC又DE ⊂平面BDE ，所以平面DEF ⊥平面ABC(2)由(1)知DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC因为AB BC E =，为AC 中点，BE AC ∴⊥又平面PAC 平面ABC AC =，所以BE ⊥平面PAC BPE ∴∠为直线PB 与平面PAC 所成角，在直角BEP △中，10PB =，sin 45BE AB =⋅︒=所以sin 5BE BPE PB ∠==9(2021·江苏如皋·高一月考)在直三棱柱111ABC A B C -中，F 是11B C 的中点，E 是BC 上一点，线段1B E 与BF 相交于点M ，且//AE 平面1A BF .(1)证明：点M 为线段1B E 的中点；(2)若AB AC =，证明：平面1AEB ⊥平面11BCC B .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)设11AB A B N ⋂=，连接MN ，因为//AE 平面1A BF ，AE ⊂平面1AB E ，平面1AB E ⋂平面1A BF MN =所以//AE MN ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为平行四边形所以1AN NB =因为//AE MN ，所以1EM MB =，即点M 为线段1B E 的中点.(2)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C因为M 为线段1B E 的中点，所以1BE B F =又因为11B C BC =，F 是11B C 的中点，所以BE EC =，因为AB AC =，所以AE BC ⊥在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC所以1AE BB ⊥，因为AE BC ⊥，1BB BC B =，1BB ⊂平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，所以AE ⊥平面11BCC B ，因为AE ⊂平面1AEB ，所以平面1AEB ⊥平面11BCC B .【题组三 线线垂直】1．(2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期末)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱中，与棱AB 垂直的棱有( )A ．2条B ．4条C ．6条D ．8条【答案】D 【解析】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱中，与棱AB 垂直的棱有BC ，B 1C 1，A 1D 1，AD ，AA 1，BB 1，CC 1，DD 1，共8条．故选：D.2．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD =BC =2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF 求证：AD ⊥BC ．【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH．因为E是AB的中点，且AD=2，所以EH⊥AD，EH=1．同理FH⊥BC，FH=1．所以⊥EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．因为EF，所以EH2+FH2=EF2，所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以⊥EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°，所以AD⊥BC．3．(2021·全国·高一单元测试)如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，AB⊥CD，⊥ADC＝90°，DE＝DA，M为AE的中点.(1)求证：AC⊥平面DMF；(2)求证：BE⊥DM.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)如图，连结EC交DF于点N，连结MN.因为CDEF为矩形，所以EC，DF相互平分，所以N为EC的中点.又因为M为EA的中点，所以MN⊥AC.又因为AC⊥平面DMF，且MN⊥平面DMF.所以AC⊥平面DMF.(2)因为矩形CDEF，所以CD⊥DE.又因为⊥ADC＝90°，所以CD⊥AD.因为DE∩AD＝D，DE，AD⊥平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又因为DM⊥平面ADE，所以CD⊥DM.又因为AB⊥CD，所以AB⊥DM.因为AD＝DE，M为AE的中点，所以AE⊥DM.又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊥平面ABE，所以MD⊥平面ABE.因为BE⊥平面ABE，所以BE⊥MD.4．(2021·天津红桥·高一学业考试)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点.(1)求证：MN//平面P AB；(2)求证：BC⊥PC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)因为M、N分别是BC、PC的中点，MN PB，所以//又MN⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，MN平面PAB则//(2)因为P A⊥底面ABC，且BC ⊂ 平面ABC ，所以PA BC ⊥，又BC AC ⊥，且PA AC A =，,PA AC ⊂平面PAC所以BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥P C.5．(2021·全国·高一课时练习)如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面,,,ABC AB BC D E ⊥分别是,AB PB 的中点．(1)求证：//DE PA ；(2)求证：//DE 平面PAC ；(3)求证：AB PB ⊥．【答案】(1) 证明见解析；(2)证明见解析 ；(3) 证明见解析．【解析】(1)在三棱锥P ABC -中，因为,D E 分别是,AB PB 的中点，根据三角形的中位线定理，可得//DE PA ．(2)由(1)知//DE PA ，因为PA ⊂平面,//PAC DE PA ，且DE ⊂/平面PAC ，根据线面垂直的判定定理，可得//DE 平面PAC ．(3)因为PC ⊥平面ABC ，且AB 平面ABC ，所以AB PC ⊥，又因为AB BC ⊥，且PC BC C ⋂=，所以AB ⊥平面PBC ，又由PB ⊂平面PBC ，所以AB PB ⊥．6．(2021·广西·桂平市麻垌中学高一月考)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A =AB ，点E 是PD 的中点．求证：(1)AC ⊥PB ；(2)PB //平面AEC .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)四棱锥P -ABCD 中，因P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，于是得AC ⊥P A ，而AB ⊥AC ，PA AB A =，,PA PB ⊂平面P AB ，从而得AC ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，所以AC ⊥PB ；(2)连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，如图，因底面ABCD 为平行四边形，则有O 是BD 中点，又E 是PD 中点，于是得EO //PB ，而EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB //平面AEC .【题组四 线线角】1．(2021·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末)如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN ＝( )A ．3B ．4C．5D．6【答案】C【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD⊥PM，AC⊥PN，⊥⊥MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，⊥⊥MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，⊥MN＝5．故选：C.2．(2021·全国·高一课时练习)已知正四棱锥P-ABCD，P A＝2，AB M是侧棱PC的中点，且BM则异面直线P A与BM所成角为________．【答案】45°【解析】如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则⊥OMB为异面直线P A与BM所成角．由O，M分别为AC，PC中点，得OM＝12P A＝1．在Rt AOB中，易得OB＝AB·tan·45°＝1．又BM即OB2＋OM2＝BM2，所以OMB为直角三角形，且⊥OMB＝45°．故答案为：45°.3．(2021·全国·高一课时练习)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC．若AB＝AC＝AA1＝1，BCA1C与B1C1所成的角为____．【答案】60°【解析】依题意，得BC⊥B 1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角．连接A1B，在A1BC中，BC＝A1C＝A1B⊥A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°．故答案为：60°.4．(2021·全国·高一课时练习)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．【答案】AB，A1B1【解析】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．故答案为：AB，A1B1.5．(2021·全国·高一课时练习)若⊥AOB＝135°，直线a⊥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为______.【答案】45°【解析】因为直线a//OA，a与OB为异面直线，的补角为a与OB所成角，所以AOB又135AOB ︒∠=,所以a 与OB 所成角的大小为18013545︒︒︒-=.故答案为：45︒6．(2021·全国·高一课时练习)如图，在四面体A BCD -中，AC BD a ==，AC 与BD 所成的角为60，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为________．【答案】2a 【解析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且122a ME AC ==， 同理可得EN //BD 且122a EN BD ==， MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则60MEN ∠=或120.在MEN 中，2a EM EN ==. 若60MEN ∠=，则MEN 为等边三角形，此时，2a MN =； 若120MEN ∠=，由余弦定理可得3cos1202MN ==.综上所述，2a MN =.故答案为：2a . 7．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，空间四边形ABCD 中，两条对边3AB CD ==，,E F 分别是另外两条对边,AD BC 上的点，且1,2AE BF EF ED FC ==AB 和CD 所成角的大小为___________.【答案】90︒【解析】如图，过点E 作//EO AB ，交BD 于点O ，连接OF则AE BO ED OD = BO BF OD FC∴= //OF CD ∴ ∴异面直线AB 和CD 所成角即为EOF ∠或其补角在EOF ∆中，223OE AB ==，113OF CD ==，又EF =222EF OE OF ∴=+ 90EOF ∴∠= ∴异面直线AB 和CD 所成角的大小为90故答案为：908．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，D 、E 分别是VB 、VC 的中点，求异面直线DE 与AB 所成的角.【答案】45°.【解析】因为D 、E 分别是VB 、VC 的中点，所以BC ⊥DE ，因此⊥ABC 是异面直线DE 与AB 所成的角，又因为AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，所以⊥ABC 是以⊥ACB 为直角的等腰直角三角形，于是⊥ABC ＝45°，故异面直线DE 与AB 所成的角为45°.【题组五 线面角】1(2021·黑龙江·鸡西实验中学高一期中)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，90PCD ∠=︒，2PA AB AC ===(1)证明：AC ⊥CD ；(2)若E 是棱PC 的中点，求直线AD 与平面PCD 所成的角【答案】(1)证明见解析(2)6π【解析】(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为90PCD ∠=︒，所以PC CD ⊥，PA PC P =，,PA PC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，因为AC ⊂平面PAC ，所以CD AC ⊥．(2)由(1)CD ⊥平面PAC ，,AC AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥，CD AC ⊥， 因为2PA AC ==，E 为PC 的中点，所以AE PC ⊥，因为PC CD C =，,PC CD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD ，所以EDA ∠即为直线AD 与平面PCD 所成的角，因为2PA AB AC ===，所以AD PC =所以12AE PC ==所以1sin 2AE EDA AD ∠===，因为0,2EDA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以6EDA π∠=，即直线AD 与平面PCD 所成的角为6π； 2．(2021·全国·高一课时练习)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点.(1)求证:AD ⊥平面BCC 1B 1;(2)求直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【解析】(1)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，⊥BB 1⊥AD ，⊥AB=AC ，D 是BC 的中点， ⊥AD ⊥BC.又BC ∩BB 1=B ，⊥AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)连接C 1D.由(1)AD ⊥平面BCC 1B 1，则⊥AC 1D 即为直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角.在1Rt AC D 中，AC 1sin⊥AC 1D=1AD AC =， 即直线AC 1与平面BCC 1B 13．(2021·全国·高一课时练习)如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD =，设,E F 分别为,PC BD 的中点．(1)求证：//EF 平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PDC ；(3)求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 ；(2) 证明见解析；(3) 45︒．【解析】(1)因为四边形ABCD 为正方形，连接AC ，则,AC BD F F ⋂=为AC 中点，E 为PC 中点，所以在CPA 中//EF PA ，且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．(2)因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，且四边形ABCD 为正方形，所以,CD AD CD ⊥⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PA ⊥，又PA PD AD ==， 所以PAD △是等腰直角三角形，且90APD ∠=︒，即,PA PD CD PD D ⊥⋂=，且,CD PD ⊂平面PDC ，所以PA ⊥平面PDC ，又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC ．(3)因为//EF PA ，所以直线EF 与平面ABCD 所成角的大小等于直线PA 与平面ABCD 所成角的大小， 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以PAD ∠就是直线PA 与平面ABCD 所成角，在APD △中，PA PD AD ==，所以45PAD ∠=︒，所以直线EF 与平面ABCD 所成角的大小为45︒． 4．(2021·浙江·镇海中学高一期中)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111,A B B C A B AC ⊥⊥．(1)求证：1111AC B C =；(2)若1B C 与1AC 的所成角的余弦值为13，求1BB 与平面11A B C 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；【解析】(1)将棱111,,AA BB CC 分别向下延长，使得112112112,,AA A A BB B B CC C C ===， 连接212,B C AB ，如图：211//B C B C ∴，2AB 与11A B 的交点E 为11A B 的中点， 11A B B C ⊥，211//B C B C ，121A B B C ∴⊥，又11A B AC ⊥，2111AC B C C =⋂，1A B ∴⊥平面21AB C ，取1BB 的中点F ，连接EF ，1//A B EF ∴,EF ∴⊥平面21AB C ，1EF C E ∴⊥,又11C E AA ⊥，1C E ∴⊥平面22AA B B ，12C E AB ∴⊥，又E 为2AB 的中点，112C A C B ∴=，1121121122,,90C A C B CC C C C CA C C B ==∠=∠=︒， 1122C CA C C B ∴≅，22AC C B =，22112211,,AC C B AC AC C B C B ===，1111A C B C ∴=(2)由(1)知1B C 与1AC 的所成角即21B C 与1AC 的所成角，211cos 3B C A ∠=±， 取AB 的中点G ，连接BG ，1//EG BB ∴，1BB 与平面11A B C 所成的角即为EG 与平面11A B C 所成的角， 当211cos 3B C A ∠=-时， 设112C A C B x ==，则22222218233AB x x x x ⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭，2AB x ∴=， 由(1)知2EF AB ⊥，E 为2AB 的中点，故2FA FB =， ()2223AB BF BF ∴+=，1AB ∴==，令1BB y =，则AB =，22222AB BB AB +=，)()2222y ⎫⎪⎪⎝⎭∴+=，又222x AC y =+，则)()()222222y AC y ⨯⎝⎭+=+，AC y ∴=， 又11A B C 为等腰三角形，所以111C E A B ⊥， 又11CE A B ⊥，11GE A B ⊥，易得GEC ∠为EG 与平面11A B C 所成的角，2222221194B C BC BB y y y ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭，22222111222B E BG AB y y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CE y ===，CG y ==sin y CG GEC CE ∠=== 当211cos 3B C A ∠=时，设112C A C B x ==，则22222214233AB x x x x =+-⨯=，2AB ∴=，1AB ，)()2222y x ⎫⎪⎪⎝⎭∴+=，则)()()222222y AC y ⨯⎝⎭+=+，AC y ∴=，2CE y =，CG =sin GEC ∠=故1BB 与平面11A B C 5．(2021·河北邢台·高一月考)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是BC =14AA =，D 是BC 边的中点．(1)证明：AD ⊥平面11BB C C ．(2)求直线1BB 与平面1ADB 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析； 【解析】(1)证明：因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥． 又1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，则1BB AD ⊥． 因为1BC BB B =，1,BC BB ⊂平面11BB C C ，所以AD ⊥平面11BB C C ；(2)解：由(1)知，AD ⊥平面11BB C C ，1B D ⊂平面11BB C C ， 所以1AD B D ⊥．可求出AD =4AB =，1B D =所以111122ADB SB D AD =⋅⋅=⨯ 11422ABD S BD AD =⋅⋅=⨯=． 设点B 到平面1ADB 的距离为d ，由11B ADB B ABD V V --=，得111133ADB ABD S d S B B⋅⋅=⋅⋅，即114433d ⨯=⨯⨯，解得d =B 到平面1ADB 设1BB 与平面1ADB 所成角为θ，则1sin d BBθ==1BB 与平面1ADB 【题组六 二面角】 1．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，在⊥ABC 中，,AB BC SA ⊥⊥平面,ABC DE 垂直平分SC ，且分别交,AC SC 于点D ，E ，,SA AB SB BC ==，求二面角E BD C --的大小．【答案】60︒．【解析】⊥E 为SC 的中点，且SB BC =，⊥BE SC ⊥．又,DE SC BE DE E ⊥=，⊥SC ⊥面BDE ，又BD ⊂面BDE ，⊥BD SC ⊥，⊥SA ⊥面ABC ，BD ⊂面ABC ，⊥SA BD ⊥，又SC SA S =，⊥BD ⊥面SAC ，,AC DE ⊂面SAC ，即,BD AC BD DE⊥⊥，⊥EDC ∠即为二面角E BD C --的平面角．设1SA AB ==．由SA AB ⊥，得SB =在⊥ABC 中，,AB BC SB BC ⊥==AC =2SC =．在Rt SAC △中，30ACS ∠=︒，故60EDC ∠=︒，即二面角E BD C --的大小为60︒．2．(2021·广东揭东·高一期末)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ．(1)证明：平面PBC ⊥平面PAC ；(2)若点E 是PC 的中点，在AC 上找一点F 使得直线//EF 平面PAB ，并说明理由．(3)设2AB PC ==，1AC =，求二面角B PA C --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)点F 为AC 的中点，证明见解析；． 【解析】(1)证明：AB 是圆O 的直径，BC AC ∴⊥， 又PC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PC BC ∴⊥，PC AC C =，且PC ，AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ；(2)F 为AC 的中点，证明如下：证明：取AC 的中点F ，由于点E 为PC 的中点，所以//EF AP ，因为EF ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以//EF 平面PAB ；(3)BC ⊥平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，PA BC ∴⊥，过C 作CM PA ⊥于M ，连结BM ，BC CM C =，且BC ，CM ⊂平面BCM ，PA ∴⊥平面BCM ，从而得PA BM ⊥，BMC ∴∠为二面角B PA C --的平面角，在Rt BMC △中，2CM =BC =∴BM ==cos MC BMC BM ∠= ∴二面角B PA C --3．(2021·河北·衡水市第十四中学高一期末)在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，30BCA CDA ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PD ，PC 的中点，2PA AB =．(1)求证：平面PAC ⊥平面AEF ；(2)求二面角E AC B --的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)由题意，设AB a ，则2PA AC a ==，4AD a =，CD =，⊥PD =，又PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，⊥PA AC ⊥，则在Rt ⊥PAC 中，PC =，在⊥PCD 中，222CD PC PD +=，则CD AC ⊥，又CD ⊂面ABCD ，有PA CD ⊥，又AC PA A ⋂=，故有CD ⊥面PAC ，又E ，F 分别为PD ，PC 的中点，即//EF CD ，⊥EF ⊥面PAC ，又EF ⊂面AEF ，则平面PAC ⊥平面AEF ；(2)过E 作EH AD ⊥，易知H 为AD 中点，若G 是AC 中点，连接,,EH HG EG ，⊥GH AC ⊥，EH AC ⊥，GH EH H ⋂=，故AC ⊥面EHG ，即EGH ∠是二面角E AC D --的平面角， ⊥由图知：二面角E AC B --为EGH π-∠，易知//EH PA ，则EH ⊥面ABCD ，GH ⊂面ABCD ，所以EH GH ⊥，在Rt ⊥EHG 中，EH a =，GH ，则2GE a =，⊥cos EGH ∠=，则二面角E AC B --的余弦值为cos()EGH π-∠=.4．(2021·湖南·武冈市第二中学高一月考)如图，在四棱锥P ABCD -中，2AD =，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ︒∠=，PBA ∠为锐角，平面PBA ⊥平面PBD .(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；(2)若AD 与平面PBD P BD C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】 (1)证明：在平面PBA 内过A 作AE PB ⊥于E ，因为平面PBA ⊥平面PBD ，又平面PBA 平面PBD PB =，所以AE ⊥平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以AE BD ⊥，过,B C 分别作BM CN AD ⊥、于M N 、，取AD 中点为Q ，则=BC QD ，且//BC QD ，所以四边形BCDQ 是平行四边形，=BQ CD ，所以1QD BQ QA ===，所以90ABD ∠=︒，BD AB ⊥ ，AB AE A =，且AB AE ⊂、平面PBA ，所以BD ⊥平面PBA ，PA ⊂平面PBA所以BD PA ⊥，因为PA AD ⊥，AD BD D =，PA ⊥平面ABCD .(2)二面角P BD C --的平面角与二面角P BD A --的平面角互补，由(1)可得BD AB ⊥，BD ⊥平面PBA ，因为PB ⊂平面PBA ，所以BD PB ⊥，所以PBA ∠为二面角P BD A --的平面角，连接ED ，在Rt AED △中，ADE ∠为AD 与平面PBD 2AD =，可得AE =，因为1AB =，所以BE cos PBA ∠=，所以二面角P BD C --的余弦值为2-.5．(2021·浙江衢州·高一期末)如图，平行四边形ABCD 中，⊥BAD =60°， AB =2，AD =4，将ACBD 沿BD 翻折到⊥EBD 的位置(1)当平面EBD ⊥平面ABD 时，求证：AB ⊥DE ；(2)若点F 为BE 的中点，二面角E -BD -C 的大小为60°，求直线DF 与平面BCE 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析； 【解析】(1)证明：在ABD △，⊥BAD =60°， AB =2，AD =4，所以由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠2224224cos 6020812=+-⨯⨯︒=-=所以22212416BD AB AD +=+==，所以90ABD ∠=︒所以AB ⊥BD ，因为平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD =BD ，AB 平面ABD所以.AB ⊥平面EBD ，因为DE ⊂平面EBD ，所以AB ⊥DE ；(2)因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ⊥CD ， 因为AB ⊥BD ，所以CD ⊥BD ，ED ⊥BD ，所以二面角E - BD - C 的平面角为⊥CDE =60°， 因为DC = DE ，所以⊥CDE 为正三角形，连接CE ，取CE 中点G ，连接DG ，则DG ⊥CE ，在⊥BCE 中，BC =BE ，所以BG ⊥CE ，BG ∩DG =G ，所以CE ⊥平面DBG ，因为CE ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面DBG ， . 因为平面BCE ∩平面DBG =BG ，作DH ⊥BG ，则DH ⊥平面BCE ，连接FH ， 则⊥DFH 是直线DF 与平面BCE 所成的角在⊥DFH 中，DF = 2，DH⊥sin⊥DFH6(2021·江苏连云港·高一期末)在三棱柱111ABC A B C -中，AB =11BC B C ==，145CBB CBA ∠=∠=°，160ABB ∠=︒．(1)求二面角1A B B C --的余弦值；(2)求证：平面11B BCC ⊥平面ABC ．【答案】(2)证明见解析． 【解析】(1)连接1AB ，在ABC中，AB =1BC =，45CBA ∠=︒，则222121451AC =+-⨯=°，故1AC =，得222AC BC AB +=，则90ACB ∠=︒， 在1BCB △中，1BC =，11B C =，145CBB ∠=°，则145CB B ∠=°，190B CB ∠=°，1B B = 1ABB △中，AB =1B B 160B BA ∠=︒，所以1AB =1B B 的中点为D ，连接AD ，CD ，则1CD B B ⊥，1AD B B ⊥， 所以CDA ∠为平面1AB B 与平面1B BC 所成的二面角， 在CDA 中，1AC =，得CD =sin 60AD AB ==°，221cos CDA +-∠== 所以二面角1A B B C --(2)由(1)知90ACB ∠=︒，190B CB ∠=°，AC BC ⊥，1B C CB ⊥，所以平面11BCC B 与平面ABC 所成的二面角为1ACB ∠，在1ACB 中，11B C =，1AB 1AC =，所以22211AC B C AB +=，故190ACB ∠=︒，所以平面11BCC B 与平面ABC 所成的二面角为90︒， 所以平面11B BCC ⊥平面ABC ．。

8.6.1 直线与直线垂直一、选择题1．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．异面或相交D ．平行【答案】C【解析】①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图，直线AB 与异面直线a b ，分别相交于点A B ，，直线CD 与异面直线a b ，分别相交于点C D ，，那么A B C D ，，，四点不可能共面，否则与a b ，异面矛盾，故直线AB 与CD 异面；②若两条直线与两条异面直线的交点有3个，如图，则两条直线相交.故选：C2．在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A ．2B ．2CD ．2【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan 22BE EAB AB a ∠===.故选C.3．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5 D．3【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====易得22211C D BD BC =+，因此111cos BC BC D C D ∠===，故选C ．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）．A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11AE BC ⊥ D ．1A E AC ⊥【答案】C【解析】画出正方体1111ABCD A B C D -，如图所示．对于选项A ，连1D E ，若11A E DC ⊥，又111DC A D ⊥，所以1DC ⊥平面11A ED ，所以可得11DC D E ⊥，显然不成立，所以A 不正确．对于选项B ，连AE ，若1A E BD ⊥，又1BD AA ⊥，所以DB ⊥平面1A AE ，故得BD AE ⊥，显然不成立，所以B 不正确．对于选项C ，连1AD ，则11AD BC ．连1A D ，则得111,AD A D AD ED ⊥⊥，所以1AD ⊥平面1A DE ，从而得11AD A E ⊥，所以11A E BC ⊥．所以C 正确．对于选项D ，连AE ，若1A E AC ⊥，又1ACAA ⊥，所以AC ⊥平面1A AE ，故得AC AE ⊥，显然不成立，所以D 不正确．故选C ．5．（多选题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱111,C D C C 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线【答案】CD 【解析】直线AM 与1CC 是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故A 、B 错误直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，故C 、D 正确.故选CD.6．（多选题）如图所示是正四面体的平面展开图,,,,G H M N 分别为,,,DE BE EF EC 的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是( )A ．GH 与EF 平行B ．BD 与MN 为异面直线C ．GH 与MN 成60°角D ．DE 与MN 垂直【答案】BCD 【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知GH 与EF 为异面直线,A 不正确；BD 与MN 为异面直线，B 正确；//GH AD ,//MN AF ，而60DAF ∠=，60GHM ∴∠=,∴GH 与MN 成60°角，C 正确；连接,AG FG ，AG DE ⊥，FG DE ⊥DE ∴⊥平面AFG ,DE AF ∴⊥,又//MN AF∴DE 与MN 垂直,D 正确.故选：BCD二、填空题7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于 ．【答案】3π 【解析】11,EFA B GH BC ,所以异面直线EF 与GH 所成的角等于11,A B BC 所成角，11A BC ∆为正三角形，所以所成角为3π 8．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 【答案】23【解析】连接DE ，设AD=2，易知AD ∥BC ，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角，在△RtADE 中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos ∠DAE==．9．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．【解析】连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC ，连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111Rt A C B 中，111AC =，1111122C E C B ==1A E ∴=同理可得12A D =,2DE =2221cos 10A DE +-∠==, ∴异面直线1A B 与1AC所成角的余弦值是1010．在正方体中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则所在直线与直线EF 是异面直线的是，异面直线EF 与GH 所成的角等于_____.【答案】BC ，CD ，AD ，11111111,,,,C B D A D C DD CC ， 60°【解析】连接，，，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为60°，即EF 与GH 所成的角为60°.三、解答题11．空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，EF=求异面直线,AD BC所成的角.【答案】60【解析】设G 为AC 的中点,E 、F 分别是AB 、CD 中点//EG BC ∴且112EG BC == //FG AD 且112FG AD == EGF ∴∠为异面直线AD 、BC 所成的角(或其补角) 3EF =,EGF ∴中,1131cos 2112EGF +-∠==-⨯⨯ 120EGF ︒∴∠=, 即异面直线AD 、BC 所成的角为60︒12．如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且AB BC ==，120ABC ∠=︒，若异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，试求1AA 的长.【解析】连接1CD AC ，.由题意得四棱柱1111ABCD A B C D -中，11A D BC ，11A D BC =，∴四边形11A BCD 是平行四边形， 11A B CD ∴∥，1AD C ∴∠（或其补角）为1A B 和1AD 所成的角.∵异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，190AD C ︒∴∠=.∵四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC ==，1ACD ∴是等腰直角三角形，12AD AC ∴=.∵底面四边形ABCD 是菱形且AB BC ==，120ABC ∠=︒，sin 6026AC ︒∴=⨯=，12AD AC ==，1AA ∴===。

（同步复习精讲指导）北京市2014-2015 学年高中数学空间中的垂直关系课后练习一（含分析）新人教A版必修 2题1）．在空间，以下命题正确的选项是（（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同向来线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行题2设平面平面，且、分别与订交于a、b，a // b．求证：平面// 平面．题3如图， P是ABC 所在平面外的一点，且PA 平面 ABC ，平面 PAC平面 PBC ．求证 BC AC．题4已知在长方体ABCD A1B1C1D1中，棱 AA1 5 ，AB12 ，过点B1作B1E A1B 于E，证明 B1E平面A1BCD1，并求其长度．题5在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是 BB1的中点，O是底面正方形ABCD 的中心．求证： OE平面ACD1．题6如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点 E 在底面圆周上， AF DE ， F 是垂足，求证：AF DB ．题7如下图， P是四边形 ABCD所在平面外的一点， ABCD是∠ DAB＝60°且边长为 a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD．(1)若 G为 AD边的中点，求证： BG⊥平面 PAD；(2)求证： AD⊥ PB．题8已知在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD是边长为4的正方形，△ PAD是正三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD， E、 F、 G分别是 PD、 PC、 BC的中点．（I ）求证：PA// 平面EFG；（II ）求平面EFG 平面 PAD．题9如图，在长方形 ABCD中， AB＝2，BC＝1，E为 DC的中点， F为线段 EC(端点除外)上一动点．现将△ AFD沿 AF折起，使平面 ABD⊥平面 ABC．在平面 ABD内过点 D作DK⊥ AB，K为垂足．设AK＝ t ，则t 的取值范围是__________．题10如图， BC是Rt△ ABC的斜边， AP⊥平面 ABC，PD⊥ BC于 D点，则图中共有直角三角形的个数是() ．A．8B．7C．6D．5课后练习详解题1答案： D．详解：由空间直线与平面的地点关系及线面垂直与平行的判断与性质定理能够很简单得出答案．平行直线的平行投影重合，还可能平行， A 错误；平行于同向来线的两个平面平行，两个平面可能订交，B错误；垂直于同一平面的两个平面平行，可能订交， C 错误．题2答案：见详解．证明：在平面内作直线 a 的垂线 l1，垂足为A，由于，平面平面，平面I 平面=a，因此l1在平面内作直线 b 的垂线l2，垂足为 B ，同理可证得l2l1 // l 2，又 Q l1,l 2， l1 //Q a // b a,b， a //Q l1 I a A, l1, a//题3答案：见详解．详解：在平面PAC 内作 AD PC，交 PC于D．由于平面 PAC平面 PBC 于 PC， AD平面 PAC ，且 AD PC ，因此 AD平面 PBC ．又由于于是有BC 平面 PBC ，AD BC ①．此外因此PA 平面 ABC ， BC平面ABC，PA BC ②．由①②及 AD PA A ，可知由于因此题4BC 平面 PAC ．AC 平面 PAC ，BC AC ．答案： B1E 60 13详解：∵ BC平面 A1 ABB1，且 B1 E平面 AA1 B1 B ，∴ BC B1 E ，又 B1E A1B ，又 BC A1B B ，∴ B1E平面 A1BCD1．A 1B 1 BB 15 1260，∴ BE60 在 Rt A 1 B 1 B 中， B 1 E．A 1 B52 12 2 13 113题5证明 : 连结 AE 、CE ， D 1O ，设正方体 DB 1 的棱长为 a ，易证 AE CE ．又∵ AO OC ，∴ OE AC ．在正方体 DB 1中易求出：2D 1ODD 12DO2a22 a6a ，2222OEBE2OB2a2 a3a ，222D 1 ED 1B 12B 1E22a23a ．2a22∵ D 1O 2 OE 2 D 1E 2 ，∴ D 1O OE ．∵ D 1O ACO ，D 1O 、AC平面 ACD 1 ，∴ OE平面 ACD 1 ．题6答案：见详解．详解：由 DA底面 ABE ，知 DABE ；又 E 为底面圆周上一点， AB 为底面圆直径，知 BE AE ，故 BE 平面 ADE ，则 BE AF ，又 AF DE ，则 AF 平面 BDE ，则 AF DB ．题7答案：见详解．详解： (1) 连结 PG ，由题知△ PAD 为正三角形， G 是 AD 的中点，∴ PG ⊥AD ． 又平面 PAD ⊥平面 ABCD ，∴PG ⊥平面 ABCD ，∴ PG ⊥BG ．又∵四边形 ABCD 是菱形且∠ DAB ＝60°， ∴△ ABD 是正三角形，∴ B G ⊥AD ． 又AD ∩ PG ＝G ，∴ BG ⊥平面 PAD ．(2) 由 (1) 可知 BG ⊥ AD ， PG ⊥ AD ．因此 AD ⊥平面 PBG ，因此 AD ⊥PB ．题8答案：见详解．详解：证明：（ I ）取AD的中点H，连结EH，HG．∵H， G为 AD， BC的中点，∴ HG// CD，又 EF// CD．∴ EF// HG，∴ E，F， G，H四点共面，又∵PA//EH，EH 平面EFGH，PA 平面EFGH，∴PA//平面 EFG．（II ）证明：AD CD, PD CD ，∴ CD 平面PAD，∵EF// CD，∴EF平面 PAD，∵EF 平面EFG，∴平面EFG平面PAD．题91答案： ( 2，1)详解：过 K 作 KM⊥ AF于 M点，连结 DM，易得 DM⊥ AF，与折前的图形对照，可知由折前的图形中 D、M、 K 三点共线且DK⊥ AF，于是△ DAK∽△ FDA，∴AK AD t11＝，又＝，∴ t ＝．又AD DF1DF DF1DF∈(1,2)，∴ t ∈(2，1) ．题10答案： A．详解：所给图形中的△ PAC、△ PAD、△ PAB、△ PCD、△ PBD、△ ACD、△ ADB、△ ABC 均为直角三角形，因此共有 8 个直角三角形．。

§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角．∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．一个或无数个D ．可能不存在 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )A ．两个平面相交，所成二面角是直二面角B ．一个平面经过另一个平面的一条垂线C ．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D ．平面α内的直线a 与平面β内的直线b 是垂直的 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .求证：平面EFG ⊥平面PDC . 8. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小． 二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，P A＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．13．(1)证明连接BD，∵D是AC的中点，P A＝PC＝5，∴PD⊥AC.∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α.A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．7. 如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.8. 如图所示，在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶310．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么() A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中点．9．A 10．C11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855， 此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝22a，C1D＝2a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.。

8.6.1 直线与直线垂直一、选择题1．已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条解析：把a平移至a′与b相交，其夹角为60°.60°角的补角的平分线c与a、b成60°角．过空间这一点作直线c的平行线即满足条件．又在60°角的“平分面”上还有两条满足条件，故选C.答案：C2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.22B.32C.52D.72解析：本题主要考查异面直线所成的角．因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，连接BE，则BE＝ 5.因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAB ＝52.故选C.答案：C3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：由题意可知BC∥B1C1，故A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角，连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝2，故∠A1CB＝60°.则异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.答案：C4．如图在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )A．60° B．75°C．90° D．105°解析：设BB1＝1，如题图，延长CC1至点C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，易知AB1＝3，B1C2＝3，AC2＝6，所以AC22＝AB21＋B1C22，则∠AB1C2＝90°.答案：C二、填空题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：(1)直线AB与A1D1所成的角为________；(2)直线AD1与DC1所成的角为________．解析：(1)∵A1B1∥AB，∴∠D1A1B1就是异面直线AB与A1D1所成的角．∵∠D1A1B1＝90°，∴直线AB与A1D1所成的角为90°.(2)如图，连接AB1，B1D1.∵AB1∥DC1，∴直线AB1与AD1所成的角即直线DC1与AD1所成的角．又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1为正三角形，∴直线AD1与AB1所成的角为60°，即直线AD1与DC1所成的角为60°.答案：(1)90°(2)60°6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为A1A，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．解析：取A 1B 1的中点M ，连接MG ，MH ，则MG ∥EF ，MG 与GH 所成的角等于EF 与GH 所成的角． 易知△MGH 为正三角形，∠MGH ＝60°， ∴EF 与GH 所成的角等于60°. 答案：60°7．在三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．解析：如图，连接DN ，取DN 的中点P ，连接PM ，PC ，由M 为AD 的中点，可知PM ∥AN ，∠PMC 即为异面直线AN ，CM 所成的角(或其补角)．∵AB ＝AC ＝3，BC ＝2，N 为BC 的中点，∴AN ＝32－12＝22，易得PM ＝12AN ＝ 2.∵CD ＝BD ＝3，∴DN ＝32－12＝22，PN ＝12DN ＝2，易得PC ＝PN 2＋CN 2＝2＋1＝ 3.∵AC ＝CD ＝3，M 为AD 的中点，∴CM ＝32－12＝2 2.在△PMC 中，过点P 作PQ ⊥MC 于点Q ，则PM 2－MQ 2＝PC 2－QC 2，即(2)2－MQ 2＝(3)2－(22－MQ )2，解得MQ＝742，则cos∠PMC ＝MQ PM ＝7422＝78.即异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值为78.答案：78三、解答题8．如图，已知空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，且直线BC 与MN 所成的角为30°，求BC 与AD 所成的角．解析：连接BD ，并取其中点E ，连接EN ，EM ，则EN ∥BC ，ME ∥AD ，故∠ENM (或其补角)为BC 与MN 所成的角，∠MEN (或其补角)为BC 与AD 所成的角．由AD ＝BC ，知ME ＝EN ，∴∠EMN ＝∠ENM ＝30°，∴∠MEN ＝180°－30°－30°＝120°，即BC 与AD 所成的角为60°.9．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD 、BC 所成角的大小．解析：如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM .因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以EM 綊12AD ，FM 綊12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD 、BC 所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝32，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即直线AD、BC所成的角为60°.[尖子生题库]10．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，ED⊥CD，CD＝1，AD＝22，求异面直线CE与AF所成的角的余弦值．解析：因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED .因为ED ⊥CD ，所以∠CED 为锐角，则∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角． 在Rt△CDE 中，CD ＝1，ED ＝AD ＝22，CE ＝CD 2＋ED 2＝3， 所以cos∠CED ＝ED CE ＝223.所以异面直线CE 与AF 所成的角的余弦值为223.。

【课堂新坐标】高中数学人教版必修二练习：3.1.2两条直线平行与垂直的判定（含答案解析）学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，有下列说法：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若斜率k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2.其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4【解析】需考虑两条直线重合的情况，②④都可能是两条直线重合，所以①③正确．【答案】 B2．已知过(－2，m)和(m,4)两点的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是() A．－8 B．0C．2 D．10【解析】由题意知m≠－2，m－4－2－m＝－2，得m＝－8.【答案】 A3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l1上，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为() A．－30°B．30°C．150°D．120°【解析】k AB＝4－13－0＝3，故l1的倾斜角为60°，l1⊥l2，所以l2的倾斜角为150°，故选C.【答案】 C4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【解析】∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】 C5．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，则下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS .正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】∵k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35， k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14 . 又P 、Q 、S 、R 四点不共线，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS .故①②④正确．【答案】 C二、填空题6．已知直线l 1过点A (－2,3)，B (4，m )，直线l 2过点M (1,0)，N (0，m －4)，若l 1⊥l 2，则常数m 的值是______.【导学号：09960101】【解析】由l 1⊥l 2，得k AB ·k MN ＝－1，所以m －34－－·m －40－1＝－1，解得m ＝1或6. 【答案】 1或67．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，则第四个顶点D 的坐标为________．【解析】设D 点坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，即y －2x －3＝－1，① y －1x ＝1，②联立①②解方程组得x ＝2，y ＝3，所以顶点D 的坐标为(2,3)．【答案】 (2,3)三、解答题8．(2016·泰安高一检测)已知A ?1，－a ＋13，B 0，－13，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD 垂直？【解】 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a 3，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a(a ≠2)．由－a 3×12－a ＝－1，解得a ＝32. 当a ＝2时，k AB ＝－23，直线CD 的斜率不存在．∴直线AB 与CD 不垂直．∴当a ＝32时，直线AB 与CD 垂直． 9．已知在?ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断?ABCD 是否为菱形．【解】(1)设D (a ，b )，由四边形为平行四边形，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，故?ABCD 为菱形．[自我挑战]10．已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，有O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194C ．5D ．4【解析】由题意知AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2×4－y 3－0＝－1，解得y ＝194，故选B. 【答案】 B。

人教版高中数学必修第二册8.6空间直线、平面的垂直（3）同步练习(学生版)1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.12.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个3.从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是（）A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定4.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G 是直线BD上的动点，则（）A.存在点G，使PG⊥EF成立B.存在点G，使FG⊥EP成立C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立5.在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P­AB­C的大小为.6.如图，直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为.7.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.8.如图，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.PD.证9.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12明：平面PQC⊥平面DCQ.人教版高中数学必修第二册8.6空间直线、平面的垂直（3）同步练习(解析版)1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.A.4B.3C.2D.1解析：选B.①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理.2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：选D.当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.3.从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是（）A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定解析：选C.若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.4.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G 是直线BD上的动点，则（）A.存在点G，使PG⊥EF成立B.存在点G，使FG⊥EP成立C.不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D.不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立解析：选C.正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD上的动点，在A中，不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误.故选C.5.在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P­AB­C的大小为.解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，所以∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角.在△PAB中，PM＝22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°.答案：60°6.如图，直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为.解析：如图，连接BC，因为二面角α­l­β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案：27.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.证明：取BC的中点D，连接SD、AD（图略），由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.所以AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A­BC­S的平面角.又∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD ＝22，AD ＝22，所以SD 2＋AD 2＝SA 2.所以∠ADS ＝90°，所以平面ABC ⊥平面BSC .8.如图，三棱台DEF ­ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点.（1）求证：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .证明：（1）如图所示，连接DG ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF ­ABC 中，AB ＝2DE ，所以AC ＝2DF .因为G 是AC 的中点，所以DF ∥GC ，且DF ＝GC ，所以四边形CFDG 是平行四边形，所以DM ＝MC .因为BH ＝HC ，所以MH ∥BD .又BD ⊄平面FGH ，MH ⊂平面FGH ，所以BD ∥平面FGH .（2）因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB .因为AB ⊥BC ，所以GH ⊥BC .又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE .因为CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH .9.如图所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .证明：由四边形ABCD 为正方形，可得CD ⊥AD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，故CD ⊥平面AQPD ，从而CD ⊥PQ .如图所示，取PD 的中点E ，连接QE .因为PD ∥QA ，QA ＝12PD ，则DE ∥AQ ，且DE＝AQ ，从而四边形AQED 是平行四边形，则QE∥AD，所以QE⊥PD，所以DQ＝QP.设QA＝1，则AB＝1，PD＝2.在△DQP中，有DQ＝QP＝2，PD＝2.所以DQ2＋QP2＝PD2，故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又CD∩DQ＝D，所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.。

最新人教版高中数学必修二第二章《直线与平面垂直的判定》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中正确说法的个数为( )A.1B.2C.3D.42.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直3.(2021·南昌高二检测)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，垂足为点H，则点H在( )A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部4.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.6.如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是( )A.AC=BCB.VC⊥VDC.AB⊥VCD.S△VCD·AB=S△ABC·VO7.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角8.(2021·温州高二检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E二、填空题(每小题5分，共10分)9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)10.(2021·青岛高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D 所成的角为________.三、解答题(每小题10分，共20分)11在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB.(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ.(2)直线AC1⊥平面PQMN.参考答案与解析1【解析】选B.①正确，因为n∥β，α∥β，所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，因为m⊥n，则可能n⊂β；③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n⊂β且m⊂β；④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.2【解析】选C.因为ABCD为菱形，所以DB⊥AC，又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.又AC∩MC=C，所以BD⊥平面ACM.又AM⊂平面AMC，所以BD⊥AM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交.3【解析】选B.作C1H⊥AB，因为∠BAC=90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面ABC1，所以AC⊥C1H，因为AB∩AC=A，所以C1H⊥平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上. 4【解析】选B.因为PB⊥α，AC⊂α，所以PB⊥AC，又AC⊥PC，PB∩PC=P，所以AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.5【解析】选A.如图，设AB=a，则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.因为=，即××a×ah=×a2×2a，解得h=a.所以sinα==.6【解析】选B.因为VA=VB，AD=BD，所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB.又VO∩VD=V，VO⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，所以AB ⊥平面VCD ，又CD ⊂平面VCD ，VC ⊂平面VCD ， 所以AB ⊥VC ，AB ⊥CD.又AD=BD ，所以AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为VO ⊥平面ABC ， 所以V V-ABC =S △ABC ·VO. 因为AB ⊥平面VCD ， 所以V V-ABC =V B-VCD +V A-VCD =S △VCD ·BD+S △VCD ·AD =S △VCD ·(BD+AD) =S △VCD ·AB ，所以S △ABC ·VO=S △VCD ·AB ，即S △VCD ·AB=S △ABC ·VO.综上知，A ，C ，D 正确.7【解析】选C.因为SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，所以连接BD ，则BD ⊥AC ，又AC ⊥SD ，可得AC ⊥SB ，故A 正确；因为AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以AB ∥平面SCD ，故B 正确；因为AB ∥CD ，所以∠SCD 为AB 与SC 所成角，∠SAB 为SA 与DC 所成角，显然∠SCD ≠∠SAB ，故C 不正确.由AC ⊥平面SBD ，记AC 与BD 交于O ，连接SO ，则∠ASO 为SA 与平面SBD 所成角，∠CSO 为SC 与平面SBD 所成角，显然∠ASO=∠CSO.8【解析】选C.A 选项，ABC-A 1B 1C 1是三棱柱，则CE ∥B 1C 1，所以，CEB 1C 1是一个平面，CC 1与B 1E 共面；B 选项，因为AC 与AB 的夹角是60°，所以AC 和平面ABB 1A 1不垂直；C 选项，E 是BC 的中点，则AE ⊥BC ，又因为BB 1⊥平面ABC ，所以AE ⊥BB 1，又BC ∩BB 1=B ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，所以AE ⊥B 1C 1；D 选项，A 1C 1∥AC ，AC 和平面AB 1E 相交，所以A 1C 1与平面AB 1E 不平行. 9【解析】如图所示，连接B 1C ，由BC=CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可.因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可.(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1=90°等) 答案：∠A 1C 1B 1=90°(答案不唯一)10【解析】连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO ， 因为A 1C 1⊥B 1D 1， A 1C 1⊥BB 1，故A1C1⊥平面BB1D1D，所以A1B在平面BB1D1D内射影为OB，所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成角.设正方体棱长为a，则A1B=a，A 1O=A1C1=a，所以sin∠A1BO===，所以∠A1BO=30°.答案：30°11【解析】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点,所以AC⊥DE,AC⊥DB,DE∩DB=D,又EF∥DB,所以E,F,B,D四点共面,所以AC⊥平面EFBD, 所以AC⊥FB.(2)取FC中点I,连接GI,HI,则有GI∥EF,HI∥BC,又EF∥DB,所以GI∥BD,又GI∩HI=I,BD∩BC=B,所以,平面GHI∥平面ABC,因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.12【证明】(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN.。

人教版高中数学必修第二册8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为()A.40°B.50°C.90°D.150°2.已知α,β是不同的平面,m,n是不同的直线,给出下列命题:①m⊥n,m∥α,α∥β⇒n⊥β;②m⊥n,m⊥α,α∥β⇒n⊥β;③m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.其中正确的是()A.①②B.②③C.①④D.③④3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC4.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角为()A.72°B.90°C.108°D.180°5.如图L8-6-10所示,若斜线段AB的长度是它在平面α上的射影BO的长度的2倍,则AB与平面α所成的角是()图L8-6-10A.60°B.45°C.30°D.120°6.如图L8-6-11,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O,则下列说法中正确的是()图L8-6-11A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心7.如图L8-6-12所示,△ABC是等腰三角形,BA=BC,DC⊥平面ABC,AE∥DC,若AC=2,且BE⊥AD,则()图L8-6-12A.AB·BC=1B.AB·BC=2C.AE·CD=1D.AE·CD=28.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD,E为CD的中点,则()A.A1E⊥DD1B.A1E⊥DBC.A1E⊥D1C1D.A1E⊥DB1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.如图L8-6-13所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况)图L8-6-1310.平行四边形ABCD对角线的交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面之外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是.11.底面边长为a的正四棱锥的体积与棱长为a的正方体体积相等,则正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-6-14,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AD=AB=12BC=1,PA=5,△PBC是正三角形.(1)求证:AB⊥平面PBC;(2)求点P到平面ABC的距离.图L8-6-1414.(10分)如图L8-6-15所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点.(1)求证:AF⊥平面BB1D1D;(2)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.图L8-6-15=3 ,点P在棱AB 15.(5分)如图L8-6-16,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足上运动.设EP与平面BCD所成的角为θ,则sinθ的最大值为.图L8-6-1616.(15分)已知AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,D,E分别是VA,VC的中点.(1)判断直线DE与平面VBC的位置关系,并说明理由;(2)当△VAB是边长为22的正三角形时,求四面体V-DEB的体积.参考答案与解析1.B[解析]若两条直线平行,则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.2.D[解析]若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n⊂β,故②错误;若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β,故④正确.故选D.3.C[解析]∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.4.B[解析]当这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时,直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.又因为两直线所成角的取值范围为[0°,90°],所以直线l与这条直线所成角的最大值为90°.故选B.5.A[解析]∠ABO即是AB与平面α所成的角.在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=12,即∠ABO=60°.故选A.6.A[解析]由题意可知PA,PE,PF两两垂直,则PA⊥平面PEF,则PA⊥EF.由题意知PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,又PA∩PO=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO.同理可得AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.故选A.7.D[解析]取AC的中点O,连接OB,OE,记OE与AD的交点为F,则OB⊥AC.∵DC⊥平面ABC,OB⊂平面ABC,∴DC⊥OB,∵DC∩AC=C,∴OB⊥平面ADC,∴OB⊥AD.∵BE⊥AD,OB∩BE=B,∴AD⊥平面BOE,∴AD⊥OE.∵AE∥DC,∴∠DAE=∠ADC,又∠AFE=∠ACD=90°,∴∠AEO=∠CAD,∴tan∠AEO=tan∠CAD,∴ = ,即1 = 2,∴AE·CD=2.故选D.8.B[解析]连接AE.因为AB=2AD,E为CD的中点,所以 = =2,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE,所以A1E⊥DB.9.AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形)10.垂直[解析]∵PA=PC,O是AC的中点,∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又∵AC∩BD=O,∴PO ⊥平面ABCD.11.32[解析]记该正四棱锥为S-ABCD,设其高SO=h,则13a2·h=a3,可得h=3a.因为该正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠SCO,且tan∠SCO=3 =32.12[解析]如图所示,连接BD,与AC交于点O,连接D1O,过点D作DE⊥D1O.易知BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,可得AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1所成的角为∠DD1O.设正方体的棱长为1,则在Rt△DD1O中,sin∠DD1O= 1 =13.解:(1)证明:∵AB=12BC=1,且△PBC是正三角形,∴PB=2.∵PA=5,∴AB2+PB2=PA2,∴AB⊥PB.又∵AB⊥BC,PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AB⊥平面PBC.(2)设点P到平面ABC的距离为h.由(1)知AB⊥平面PBC,由V P-ABC=V A-PBC,得13S△ABC·h=13S△PBC·AB,即13×12×1×2×h=13×12×2×21,解得h=3,则点P到平面ABC的距离为3.14.解:(1)证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,因为F为BD的中点,所以AF⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD,AF⊂平面ABCD,所以AF⊥DD1.又DB∩DD1=D,DB⊂平面BB1D1D,DD1⊂平面BB1D1D,所以AF⊥平面BB1D1D.(2)连接D1B,D1C,如图所示.因为E,F分别为DD1,BD的中点,所以EF∥D1B,故异面直线EF与BC所成的角即为∠D1BC.又BC⊥平面D1DCC1,D1C⊂平面D1DCC1,所以BC⊥D1C,所以tan∠D1BC= 1 =2.15[解析]依题意可知,该几何体为正四面体.设顶点A在底面上的射影是O,则O是底面的中心,连接OB,过P作PH∥AO,交OB于H,连接HE.设正四面体的棱长为4a,PB=x(0<x ≤4a).在三角形PBE中,∠PBE=π3,由余弦定理得PE= 2+ 2- .因为AO⊥平面BCD,PH∥AO,所以PH⊥平面BCD,所以PH⊥HE,所以∠PEH是直线EP与平面BCD所成的角θ.在三角形AOB,又 = 4 ,所以所以sinθ= =中,x=2a时,sinθ16.解:(1)DE⊥平面VBC,证明如下:∵AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的动点,∴AC⊥BC.∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在的平面,AC⊂平面ABC,∴AC⊥VC,∵BC∩VC=C,∴AC⊥平面VBC.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE∥AC,∴DE⊥平面VBC.(2)∵△VAB是边长为22的正三角形,∴VB=VA,又∠VCB=∠VCA=90°,VC=VC,∴△VBC≌△VAC,∴BC=AC.∵BC2+AC2=AB2=8,∴AC=BC=2,∴VC=(22)2-22=2.∵D,E分别是VA,VC的中点,∴DE=12AC=1,∴四面体V-DEB的体积V V-DEB=V D-VBE=13×S△BEV×DE=13×12×S△VBC×DE=13×12×12×2×2×1=13.。

高一必修2 直线、平面垂直的性质及判定（习题及答案）典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）．A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线B ．过直线外一点与该直线平行的平面C ．过平面外一点与平面平行的直线D ．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（ ）．A ．（1）、（2）B ．（2）、（3）C ．（3）、（4）D ．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性． 故选D ．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．典型例题三例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD ．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中，∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点，∴D B EO 1//．∵⊥11A B 面D D AA 11，∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影．又∵D A AD 11⊥，∴11DB AD ⊥．同理可证，C D D B 11⊥．又∵111D CD AD = ，1AD 、⊂C D 1面1ACD ，∴⊥D B 1平面1ACD ．∵EO D B //1，∴⊥EO 平面1ACD ．另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =．又∵OC AO =，∴AC OE ⊥．在正方体1DB 中易求出： a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=，a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=， ()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=． ∵21221E D OE O D =+，∴OE O D ⊥1． ∵O AC O D = 1，O D 1、⊂AC 平面1ACD ，∴⊥OE 平面1ACD ．说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4 如图，在△ABC 中，90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵⊥SA 面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC SA ⊥．∵ 90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA = ，∴⊥BC 平面SAB ．∵⊂AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．又∵SB AN ⊥，B BC SB = ，∴⊥AN 平面SBC ．∵⊂SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥，又∵SC AM ⊥，A AN AM = ，∴⊥SC 平面AMN ．∵⊂MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥．另证：由上面可证⊥AN 平面SBC ．∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影．∵SC AM ⊥，∴SC MN ⊥．说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊥SA ⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与B A 、不重合）．过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、，求证：SC AN ⊥．典型例题五例5 如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ⋅=．分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ．∵α⊥AH ，∴AD 在平面α内射影为HD ．∵HD BC ⊥，α⊂BC ，∴AD BC ⊥．在Rt △ABH 中有：BA BH =θcos ① 在Rt △BHD 中有：BHBD =αcos ② 在Rt △ABD 中有：BA BD =βcos ③ 由①、②、③可得：αθβcos cos cos ⋅=．说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为θ，则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ，．典型例题六例6 如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离．分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B 与平面GEF 平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明：连结AC BD 、，EF 和BD 分别交AC 于O H 、，连GH ，作GH OK ⊥于K ．∵ABCD 为正方形，F E 、分别为AD AB 、的中点，∴BD EF //，H 为AO 中点．∵EF BD //，⊄BD 平面GFE ，∴//BD 平面GFE ．∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离．∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥．∵⊥GC 面ABCD ，∴EF GC ⊥．∵C AC GC = ，∴⊥EF 平面GCH ．∵⊂OK 平面GCH ，∴OK EF ⊥．又∵GH OK ⊥，H EF GH = ，∴⊥OK 平面GEF ．即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离．∵正方形边长为4，2=CG ， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC ．在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG ． 在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK ． 说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB 交FE 的延长线于M ，连结GM ，作ME BP ⊥于P ，作CG BN //交MG 于N ，连结PN ，再作PN BH ⊥于H ，可得⊥BH 平面GFE ，BH 长即为B 点到平面EFG 的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七例7 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SC SB SA ==．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．证明：(1)在等腰SAC ∆中，D 为AC 中点，∴AC SD ⊥．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵BC ED //，AB BC ⊥，∴AB DE ⊥．又AB SE ⊥，∴AB ⊥面SED ，∴SD AB ⊥．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BC BA =，∴AC BD ⊥．又∵SD ⊥面ABC ，∴BD SD ⊥．∵D AC SD = ，∴BD ⊥面SAC ．说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．分析：由线面垂直的判定定理知，只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可．证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9 如图所示，已知平面α 平面β=EF ，A 为α、β外一点，α⊥AB 于B ，β⊥AC 于C ，α⊥CD 于D ．证明：EF BD ⊥．分析：先证A 、B 、C 、D 四点共面，再证明EF ⊥平面ABCD ，从而得到EF BD ⊥． 证明：∵α⊥AB ，α⊥CD ，∴CD AB //．∴A 、B 、C 、D 四点共面．∵α⊥AB ，β⊥AC ，EF =βα ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥．又A AC AB = ，∴EF ⊥平面ABCD ．∴BD EF ⊥．说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要，仅由EF ⊥平面ABC ，就断定BD EF ⊥，则证明是无效的．典型例题十例10 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：SB NH ⊥；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴BM AM ⊥．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴MB SA ⊥．∵A SA AM = ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴AN BM ⊥．∵SM AN ⊥于N ，M SM BM = ，∴AN ⊥平面SMB ．∵SB AH ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴SB NH ⊥．解(2)：由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ．∵AH SB ⊥且HN SB ⊥，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，AM SA ⊥，AB SA ⊥，BM SA ⊥．由BM ⊥平面SAM 知，AM BM ⊥，SM BM ⊥，AN BM ⊥．由AN ⊥平面SMB 知，SM AN ⊥，SB AN ⊥，NH AN ⊥．由SB ⊥平面ANH 知，AH SB ⊥，HN SB ⊥．综上，图中共有11对互相垂直的直线．说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．典型例题十一例11 如图所示，︒=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，︒=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．分析：求PA 与平面α所成角，关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置．由PAC PAB ∠=∠，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．解：如图所示，过P 作α⊥PO 于O ．连结AO ，则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角．作AC OM ⊥，由三重线定理可得AC PM ⊥．作AB ON ⊥，同理可得AB PN ⊥．由PAC PAB ∠=∠，︒=∠=∠90PNA PMA ，PA PA =，可得PMA ∆≌PNA ∆，∴PN PM =．∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影，∴ON OM =．所以点O 在BAC ∠的平分线上．设a PA =，又︒=∠60PAM ，∴a AM 21=，︒=∠45OAM ， ∴a AM AO 222==． 在POA ∆中，22cos ==∠PA AO PAO ， ∴︒=∠45PAO ，即PA 与α所成角为︒45．说明：(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后，可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角，此时︒==∠60θPAC ，α=∠PAO ，︒==∠45βCAO ．(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论：四面体ABC P -中，若PAC PAB ∠=∠，PBC PBA ∠=∠，则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心．典型例题十二例12 如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=．求点S 与直线AB 的距离．分析：由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点．解：作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB ．∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形．又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分．设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离．在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==， ∴cm SO 5=．因此，点S 到AB 的距离为cm 5．说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．典型例题十三例13 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证SB AE ⊥，可证⊥AE 平面SBC ，为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥，进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG ．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，∴BC SA ⊥．又∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥．∴⊥BC 平面ASB ．∵⊂AE 平面ASB ，∴AE BC ⊥．又∵⊥SC 平面AEFG ，∴AE SC ⊥．∴⊥AE 平面SBC ．又∵⊂SB 平面SBC ，∴SB AE ⊥，同理可证SD AG ⊥．说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．典型例题十四例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．已知：BAC ∠在平面α内，点α∉P ，AB PE ⊥，AC PF ⊥，α⊥PO ，垂足分别是E 、F 、O ，PF PE =．求证：CAO BAO ∠=∠．证明：∵α⊥PO ，∴OE 为PE 在α内的射影．∵PE AB ⊥，α平面⊂AB ，∴OE AB ⊥．同理可证：OF AC ⊥．又∵α⊥PO ，PF PE =，OF OE =，∴CAO BAO ∠=∠．说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知︒=∠90ACB ，S 为平面ACB 外一点，︒=∠=∠60SCB SCA ，求SC 与平面ACB 所成角．典型例题十五例15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ）解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异面，因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c 且a ，b ，c 共点于O ，∵b a ⊥，c a ⊥，0=c b ，且b ，c 确定一平面，设为α，则α⊥a ，同理可知b 垂直于由a ，c 确定的平面，c 垂直于由了确定的平面，∴该命题应打“√”号．说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．典型例题十六例16 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．分析：若证BCD AH 平面⊥，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可．证明：取AB 中点F ，连CF 、DF ，∵BC AC =，∴AB CF ⊥．又∵BD AD =，∴AB DF ⊥，∴CDF AB 平面⊥，又CDF CD 平面⊂，∴AB CD ⊥又BE CD ⊥，∴ABE CD 平面⊥，AH CD ⊥，又BE AH ⊥，∴BCD AH 平面⊥．典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．分析：若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证．证明：(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交， 则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵． 典型例题十八例18 如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．求证：H 不可能是DBC ∆的垂心．分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．证明：如图所示，假设H 是DBC ∆的垂心，则DC BH ⊥．∵DBC AH 平面⊥，∴AH DC ⊥，∴ABH DC 平面⊥，∴DC AB ⊥．又∵ABC DA 平面⊥，∴DA AB ⊥，∴DAC AB 平面⊥，∴AC AB ⊥，这与已知︒=∠60BAC 矛盾，∴假设不成立，故H 不可能是DBC ∆的垂心．说明：本题只要满足︒≠∠90BAC ，此题的结论总成立．不妨给予证明．典型例题十九例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．∴应选B ．例20 设a ，b 为异面直线，AB 为它们的公垂线(1)若a ，b 都平行于平面α，则α⊥AB ；(2)若a ，b 分别垂直于平面α、β，且c =βα ，则c AB //．分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //．图１ 图２ 证明：(1)如图1，在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a ， 设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b∵α//a ，α//b ，∴'//a a ，'//b b又∵a AB ⊥，b AB ⊥，∴'a AB ⊥，'b AB ⊥，∴α⊥AB ．(2)如图2，过B 作α⊥'BB ，则a BB //'，则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥，∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面．∵β⊥b ，∴c b ⊥，α⊥'BB ，∴c BB ⊥'．∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面．故AB c //．说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线'BB ，构造出平面，即由相交直线b 与'BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．例21 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．分析：证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，∴D C A EF 11平面⊥． ①∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111C A BB ⊥．∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥．同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，∴D C A BD 111平面⊥． ②由①、②可知：1//BD EF ．例22 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，a PC PB PA ===，求P 点到平面ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长． 解：过P 作ABC PO 平面⊥于O 点，连AO 、BO 、CO ，∴AO PO ⊥，BO PO ⊥，CO PO ⊥∵a PC PB PA ===，∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆，∴OC OB OA ==，∴O 为ABC ∆的外心．∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴a CA BC AB 2===，ABC ∆为正三角形， ∴a AB AO 3633==，∴a AO PA PO 3322=-=． 因此点P 到平面ABC 的距离a 33． 说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．例23 如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．解：如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂，∴1111//BCD A C B 平面．从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求．过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂，∴E B BC 1⊥．又B B A BC =1 ，∴111BCD A E B 平面⊥．即线段E B 1的长即为所求，在B B A Rt 11∆中，13601251252211111=+⨯=⋅=B A BB B A E B ， ∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为1360． 说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解．例24 AD 、BC 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为︒30，cm AD 8=，BC AB ⊥，BC DC ⊥．求线段BC 的长．分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线AD 、BC 所成的角、垂直关系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出BC 之长．解：如图，在平面α内，过A 作BC AE //，过C 作AB CE //，两线交于E ． ∵BC AE //，∴DAE ∠就是AD 、BC 所成的角，︒=∠30DAE ．∵BC AB ⊥，∴四边形ABCE 是矩形．连DE ，∵CD BC ⊥，CE BC ⊥，且C CE CD = ，∴CDE BC 平面⊥．∵BC AE //，∴CDE AE 平面⊥．∵CDE DE 平面⊂，∴DE AE ⊥． 在AED Rt ∆中，得34=AE ，∴)(34cm AE BC ==．说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知下列说法：①若直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1∥l 2； ②若直线l 1∥l 2，则两直线的斜率相等； ③若直线l 1，l 2的斜率均不存在，则l 1∥l 2； ④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线l 1，l 2平行，且l 1的斜率不存在，那么l 2的斜率也不存在． 其中说法正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45° D ．120°3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2，1)，且与经过点(－2，1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )A ．－23B ．－32C.23D.324．已知直线l 1过点A (－1，1)，B (－2，－1)，直线l 2过点C (1，0)，D (0，a )．若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－2B ．－58C ．0 D.125．若过点A (2，－2)，B (5，0)的直线与过点P (2m ，1)，Q (－1，－m )的直线垂直，则实数m 的值为( )A.58 B ．－58C ．－14 D.146．下列说法正确的个数有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知坐标平面内三点A (5，－1)，B (1，1)，C (2，3)，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．以点A (1，3)，B (－5，1)为端点的线段的垂直平分线的斜率为________．9．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝⎛⎭⎫4a ，1，直线l 2经过点M (1，1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．10．已知坐标平面内A (1，－1)，B (2，2)，C (3，0)三点，若点D 使直线BC ∥AD ，直线AB ⊥CD ，则点D 的坐标是________．11．已知直线l 1经过点A (1，－2)和B (3，2)，直线l 2经过点C (4，5)和D (a ，－7)．若l 1∥l 2，则a ＝____________；若l 1⊥l 2，则a ＝____________.三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系：(1)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)； (2)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点M (－1，3)，N (2，0)．13．(13分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．14．(5分)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．15．(15分)已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．(1)求点D的坐标；(2)试判定▱ABCD是否为菱形．3．1.2 两条直线平行与垂直的判定1．B [解析]2．B [解析] 如图所示，易知直线l 2的倾斜角为135°.3．A [解析] 由直线l 与经过点(－2，1)，且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2.∴k l ＝1－（－1）－a －2－（a －2）＝－1a ，∴－1a ·⎝⎛⎭⎫－23＝－1，∴a ＝－23. 4．A [解析] 由已知得k 2＝a －00－1＝－a ，k 1＝－1－1－2－（－1）＝2，∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，解得a ＝－2.5．B [解析] 由题知AB 的斜率存在且不为0，则k AB ·k PQ ＝－1， 即0－（－2）5－2×－m －1－1－2m＝－1，解得m ＝－58.6．A [解析] 若k 1＝k 2，则两直线平行或重合，所以①不正确；当两条直线垂直于x 轴且不重合时，两直线平行，但斜率不存在，所以②不正确，④正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则这两条直线垂直，所以③不正确．7．A [解析] 由题意可知k AB ＝－1－15－1＝－12，k BC ＝3－12－1＝2，k AC ＝－1－35－2＝－43.因为k AB ·k BC ＝－12×2＝－1，所以AB ⊥BC ，所以△ABC 为直角三角形．8．－3 [解析] 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为－3.9．6 [解析] 由题意得，l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，∵k 1＝a 2，k 2＝3，∴a2＝3，∴a ＝6.10．(0，1) [解析] 设D 点坐标为(x ，y )，由BC ∥AD ，得2－02－3＝y ＋1x －1①，由AB ⊥CD ，得2＋12－1×yx －3＝－1②，∴由①②解得x ＝0，y ＝1，故D 点坐标为(0，1)．11．－2 28 [解析] l 1的斜率k 1＝2＋23－1＝2.当l 1∥l 2时，l 2的斜率k 2＝－7－5a －4＝－12a －4＝2，解得a ＝－2；当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，即－12a －4×2＝－1，解得a ＝28. 12．解：(1)∵直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，∴l 1⊥l 2.(2)∵直线l 1的斜率k 1＝0－11－0＝－1，直线l 2的斜率k 2＝0－32－（－1）＝－1，∴k 1＝k 2.又易知l 1，l 2经过x 轴上的不同两点，∴l 1∥l 2.13．解：∵直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，且2≠－1，∴l 2的斜率存在，设为k 2. 当k 2＝0时，l 1的斜率不存在，即a －2＝3，则a ＝5； 当k 2≠0时，即a ≠5，此时l 1的斜率k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6.14．1或0 [解析] 由题可知直线l 1的斜率k 1存在，且k 1＝3a －01－（－2）＝a .当a ≠0时，直线l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2aa ，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即a ×1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，因为P (0，－1)，Q (0，0)，所以这时直线l 2为y 轴，因为A (－2，0)，B (1，0)，所以这时直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0.15．解：(1)设D 点坐标为(a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6，∴D 点坐标为(－1，6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD ，∴▱ABCD 为菱形．。

人教版高中数学必修第二册8.6.1直线与直线垂直同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.异面直线a和b所成的角为θ,则θ的取值范围是()A.0,π2B.(0,π)C.0,π2D.(0,π]2.有下列说法:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若直线a∥b,则直线a,b与直线c所成的角相等.其中正确说法的个数为()A.3B.2C.1D.03.如图L8-6-1,在正四棱台中,A'D'所在的直线与BB'所在的直线是()图L8-6-1A.相交直线B.平行直线C.不互相垂直的异面直线D.互相垂直的异面直线4.若空间中三条不同的直线l1,l2,l3满足l1⊥l2,l2∥l3,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l3B.l1∥l3C.l1与l3既不平行也不垂直D.l1与l3相交且垂直5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱CC1,A1D1的中点,则异面直线A1B与MN所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°6.图L8-6-2是正方体的平面展开图,在这个正方体中,CN与BM所成角为()图L8-6-2A.30°B.45°C.60°D.90°7.如图L8-6-3,在四面体ABCD中,AD=BC,且AD⊥BC,E,F分别是AB,CD的中点,则EF与BC 所成的角为()图L8-6-3A.30°B.45°C.60°D.90°8.如图L8-6-4,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所成角的余弦值为15,则该长方体外接球的表面积为()图L8-6-4A.98πB.196πC.784πD.13723π二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.在正方体ABCD-A1B1C1D1的各条棱所在的直线中,与直线AA1垂直的直线共有条.10.如图L8-6-5所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)AC与DD1所成的角为;(2)AC与D1C1所成的角为.图L8-6-511.如图L8-6-6,在正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线,则与直线A1B异面且所成角为60°的直线的条数为.图L8-6-612.如图L8-6-7,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,若AB=AC=AA1=1,BC=2,则异面直线A1C与B1C1所成的角为.图L8-6-7三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L8-6-8,在底面边长为1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E为AA1的中点,异面直线BE与CD1AA1的长度.图L8-6-814.(10分)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,若A1B⊥AD1,求AA1的长.15.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是()A.0°<θ<60°B.0°≤θ<60°C.0°≤θ≤60°D.0°<θ≤60°16.(15分)如图L8-6-9,已知点P在圆柱OO1的底面☉O的圆周上,AA1⊥AB,BP⊥A1P,AB,A1B1分别为☉O,☉O1的直径,且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列问题:(1)求三棱锥A1-APB的体积.(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25?若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.图L8-6-9参考答案与解析1.C[解析]根据异面直线的概念可得,θ的取值范围为0,π2,故选C.2.C[解析]①中a,c可以平行、相交或异面;②中a,c可以平行、相交或异面;③正确.故选C.3.C[解析]在正四棱台中,A'D'∥B'C',又A'D'⊄平面BCC'B',B'C'⊂平面BCC'B',所以A'D'∥平面BCC'B',又BB'⊂平面BCC'B',所以A'D'与BB'异面.又因为四边形BCC'B'是等腰梯形,所以BB'与B'C'不垂直,即BB'与A'D'不垂直.故选C.4.A[解析]∵空间中三条不同的直线l1,l2,l3满足l1⊥l2,l2∥l3,∴l1⊥l3.故选A.5.A[解析]如图,取C1D1的中点P,连接PM,PN,CD1,则由题意知PM∥CD1,又CD1∥A1B,所以PM∥A1B,则∠PMN是异面直线A1B与MN所成的角.设AB=2,则在△PM N中,PM=PN=2,MN=6,则cos∠PMN=30°.6.C[解析]把展开图再还原成正方体,如图所示.连接BE,ME,因为BE∥CN,所以异面直线CN与BM所成的角就是BE与BM所成的角,故∠EBM(或其补角)为所求.因为△BEM是等边三角形,所以∠EBM=60°.故选C.7.B[解析]设G为AC的中点,连接EG,FG,可知EG∥BC,GF∥AD,所以∠GEF就是EF与BC 所成的角.由题意可知,三角形GEF为等腰直角三角形,所以∠GEF=45°.故选B.8.B[解析]如图所示,连接AC,与BD交于点O,则O为AC的中点,取CC1的中点E,连接BE,OE,则AC1∥OE,所以∠EOB为异面直线BD与AC1所成角.设CE=x,则BE= 2+36,又AB=8,AD=6,所以OB=OC=5,OE=25+ 2.在△OBE中,由余弦定理得BE2=OB2+OE2-2OB·OE·cos ∠EOB,即36+x2=25+25+x2-225+ 2,解得x=26,所以CC1=2x=46.所以长方体的体对角线长为36+64+96=14,所以长方体的外接球的半径为7,所以长方体外接球的表面积为4π×72=196π.故选B.9.8[解析]与直线AA1垂直的直线有上、下底面各4条棱所在的直线,共8条.10.(1)90°(2)45°[解析](1)DD1与AC是异面直线,因为AA1∥DD1,所以∠A1AC为DD1与AC所成的角.因为AA1⊥AC,所以∠A1AC=90°,所以DD1与AC所成的角是90°.(2)因为DC∥D1C1,所以∠ACD是AC与D1C1所成的角.又∠ACD=45°,所以AC与D1C1所成的角是45°.11.4[解析]由正方体的性质知,△A1BD,△A1BC1都是等边三角形,所以从八个顶点中任取两个点作直线,与直线A1B异面且所成角为60°的直线有AD1,AC,D1B1,B1C,共4条. 12.π3[解析]连接A1B,由三棱柱的性质知BC∥B1C1,则异面直线A1C与B1C1所成的角为∠A1CB或其补角.∵侧棱AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AA1⊥AB,AA1⊥AC,又∵AB=AC=AA1=1,∴A1B= 12+ 2=2,A1C= 12+ 2=2,又BC=2,∴△A1BC为等边三角形,则∠A1CB=π3.故异面直线A1C与B1C1所成的角为π3.13.解:如图所示,连接A1B,由题意可知A1B∥CD1,所以异面直线BE与CD1所成的角为∠A1BE.过点E作EH⊥A1B于点H,设EH=h,则BE= sin∠ 1 = 1010=10h,AE= 2- 2=10 2-1.易知△A1HE∽△A1AB,则 = 1 1 ,得 1=10 2-11+4(10 2-1)h2=18或15,所以AE=12或1,所以AA1=1或2.14.解:如图所示,连接CD1,AC.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∵A1D1∥BC,A1D1=BC=23,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴∠AD1C为异面直线A1B与AD1所成的角.∵A1B⊥AD1,即异面直线A1B与AD1所成的角为90°,∴∠AD1C=90°.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面都是矩形,底面是菱形,∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD12∵四边形ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,∴AC=23×sin60°×2=6,∴AD132,∴AA1= 12- 1 12=6.15.D[解析]如图,连接CD1,AC.因为CD1∥BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时,∠D1CP从0°增大到60°,但当点P与D1重合时,CP ∥BA1,此时CP与BA1不是异面直线,不符合题意,所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.故选D.16.解:(1)由题意得V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π,解得AA1=3.由OA=2,∠AOP=120°,得∠BAP=30°,在Rt△APB中,BP=2,AP=23,∴S=12×2×23=23,∴ 1- 쿘 =13S△PAB·AA1=13×23×3=23.△PAB(2)当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25.证明如下:∵O,M分别为AB,AP的中点,∴OM∥BP,∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.∵AA1=3,AB=4,AA1⊥AB,∴A1B=5.又BP⊥A1P,∴cos∠A1BP= 쿘 1 =25,∴当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25.。

最新人教版高中数学必修二第二章《空间中直线与直线的位置关系》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.正方体AC1中，E，F分别是边BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.垂直2.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定3.空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A.空间四边形 B.矩形C.菱形D.正方形4.(2021·青岛高一检测)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )A.l与AD平行B.l与AD不平行C.l与AC平行D.l与BD垂直5.(2021·济宁高一检测)如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是( )A.①③B.②④C.①④D.①②6.如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°7.如图，正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在的直线与BB′所在的直线是( )A.相交直线B.平行直线C.不互相垂直的异面直线D.互相垂直的异面直线8.(2021·成都高一检测)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是( )A.0<θ<B.0<θ≤C.0≤θ≤D.0<θ≤二、填空题(每小题5分，共10分)9.a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的命题是________(只填序号).10.(2021·广州高一检测)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是________.三、解答题11.(10分)已知A是△BCD外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线.(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.参考答案与解析1【解析】选A.如图所示，连接CD1，则CD1与C1D的交点为点F，由正方体可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1内，E，F分别是边BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交.2【解析】选D.因为l2∥l3，所以l1⊥l2，l3⊥l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，但不是一定成立，故l1与l4的位置关系不确定.3【解析】选B.如图，易证四边形EFGH为平行四边形.又因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG=90°，故四边形EFGH为矩形.4【解析】选A.假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行.5【解析】选A.AB与平面BCD交于B点，且B∉CD，故AB与CD互为异面直线，故①正确；当H点落在C或F落在D点上时，FH与CD相交；当H落在B或F点落在D上时，FH与DB相交，故②错误；FH与平面EGD交于F点，而F∉EG，故EG与FH互为异面直线，故③正确；当G落在B上或E落在A上时，EG与AB相交，故④错误.6【解析】选C.取AC的中点G，连接EG，FG，则EG BC，FG DA.所以△EGF的三边是EF=，EG=1，FG=1，所以EF2=EG2+FG2，所以△EGF为直角三角形，∠EGF=90°，即为AD与BC所成的角.7【解析】选C.若A′D′与B′B共面，则A′B′也在此平面内，因A′B′与B′B相交，其确定的平面为ABB′A′，故A′D′⊂平面ABB′A′与ABCD-A′B′C′D′为四棱台矛盾，故A′D′与B′B异面.又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，因B′C′∥A′D′.即BB′与A′D′不垂直.8【解析】选D.如图，连接CD′，则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP，由图可知，当P点与A点重合时，θ=，当P点无限接近D′点时，θ趋近于0，由于是异面直线，故θ≠0.9【解析】由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确.答案：①10【解析】如图，取AC的中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG=C1C，EG∥BC，EG=BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角)，在Rt△EFG中，cos ∠EFG===.答案：11【解析】(1)假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中，由EG=FG=AC，求得∠FEG= 45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.。

必修 2 空间中的垂直关系基础知识点一、选择题：1. 若斜线段 AB是它在平面α上的射影的长的 2 倍，则 AB与平面α所成的角是().°°°°2.直线 l ⊥平面α，直线m? α，则 ().A.l ⊥m∥m，m异面 D.l ，m订交而不垂直3.以以下列图， PO⊥平面 ABC，BO⊥AC，在图中与 AC垂直的线段有 ().A.1 条条条条4. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则 ().A. α∥γB.α⊥γC.α与γ订交但不垂直D.以上都有可能5.已知长方体 ABCDA11C1D1，在平面 AB1上任取一点 M，作 ME⊥AB于 E，则().⊥平面 AC B.ME ? 平面 AC∥平面AC D.以上都有可能6.如图，设 P 是正方形 ABCD外一点，且 PA⊥平面 ABCD，则平面 PAB与平面 PBC、平面 PAD的地址关系是 ().A. 平面 PAB与平面 PBC、平面 PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面 PAB与平面 PBC垂直，与平面 PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面 PAD都不垂直二、填空题：7.在正方体 A1B1C1D1 ABCD中，E，F 分别是棱 AB，BC的中点， O是底面 ABCD 的中心( 如图 ) ，则 EF与平面 BB1O的关系是 ________.8. 若 a，b 表示直线，α表示平面，以下命题中正确的有________个.①a⊥α， b∥α ? a⊥b;②a⊥α，a⊥b? b∥α；③a∥α， a⊥b? b⊥α；④a⊥α，b⊥α ? a∥b.9.α、β是两个不同样的平面，m、n 是平面α及β外的两条不同样的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β . 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ________.10.如图，正方体 ABCDA11C1D1中，截面 C1D1AB与底面 ABCD所成二面角 C1ABC的大小为 ________.三、解答题：π11.以以下列图，在 Rt△AOB中，∠ABO= ，斜边 AB=4，Rt △AOC能够经过 Rt△AOB 6以直线 AO为轴旋转获取，且二面角BAOC是直二面角， D是 AB的中点 .求证：平面 COD⊥平面 AOB.12.如图，在四棱锥 P - ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC的中点，作 EF⊥PB交 PB于点 F.(1)求证： PA∥平面 EDB；(2)求证： PB⊥平面 EFD.综合提高1. 已知 l ，m，n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线 m垂直，则直线 n 与平面α的关系是 ().A.n ∥α∥α或n?α C.n ? α或 n 与α不平行 D.n ? α2.已知平面α⊥平面β，α∩β =l ，点 A∈α， A?l ，直线 AB∥l ，直线 AC⊥ l ，直线 m∥α， m∥β，则以下四种地址关系中，不用然建立的是().∥m⊥m∥β⊥β3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角 ().A. 相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定4.如图，正方形 SG1G2G3中，E，F 分别是 G1G2，G2G3的中点，现在沿 SE，SF，EF 把这个正方形折成一个周围体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出以下关系：①SG⊥平面 EFG；②SE⊥平面 EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面 SEG.其中建立的有 ().A. ①②B.①③C.②③D.③④5.若是三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则极点在底面的正投影是底面三角形的________心.6.已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若 A1在底面 ABC内的射影为△ABC的中心，则 AB1与 ABC底面所成的角的正弦值等于 ________.7.将正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角 ABDC，有以下四个结论：①AC⊥BD；②△ ACD是等边三角形；③ AB 与平面 BCD成 60°的角；④ AB与 CD 所成的角为 60°.其中真命题的编号是 ________(写出所有真命题的编号 ).8.如图， A、B、C、D 为空间四点，在△ ABC中， AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以 AB为轴运动，当平面ADB⊥平面 ABC时，则 CD=________.9.以以下列图，四边形 ABCD为正方形， SA 垂直于四边形 ABCD所在的平面，过点A 且垂直于 SC的平面分别交 SB，SC，SD于点 E，F，G.求证： AE⊥SB，AG⊥SD.10. 如图，在四棱锥 P－ABCD中，PO⊥面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.(1)求证： PC⊥BC.(2)求点 A 到平面 PBC的距离 .11.如图，已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC，E 为垂足 .(1) 求证： PA⊥平面 ABC；(2) 当 E 为△ PBC的垂心时，求证：△ ABC是直角三角形 .12.( 创新拓展 ) 已知△ BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面 BCD，∠ADB=60°，AE AFE，F 分别是 AC，AD上的动点，且==λ(0 ＜λ＜ 1).AC AD(1)求证：不论λ为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC；(2)当λ为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD?参照答案基础篇1.答案 A；剖析斜线段、垂线段以及射影组成直角三角形 . 以以下列图，∠ ABOOB 1面α所成的角，又AB=2BO，所以 cos∠ABO= = . 所以∠ ABO=60°. AB 2应选 A.2. 答案A；剖析不论l与m是异面，仍是订交，都有l ⊥m，察看线面垂直的定义，应选 A.3.答案 D；剖析∵PO⊥平面 ABC，∴ PO⊥AC，又∵ AC⊥BO，∴ AC⊥平面 PBD，∴平面 PBD中的 4 条线段 PB，PD，PO，BD与 AC垂直 .4.答案 D；剖析以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，应选D.5.答案 A；剖析由于 ME? 平面 AB1，平面 AB1∩平面 AC=AB，且平面 AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则 ME⊥平面 AC.6.答案 A；剖析∵PA⊥平面 ABCD，∴ PA⊥BC.又 BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面 PAB，∵BC? 平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 PAB.由 AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得 AD⊥平面 PAB.∵AD? 平面 PAD，∴平面 PAD⊥平面 PAB.由已知易得平面PBC与平面 PAD不垂直，应选 A.7. 答案垂直；剖析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵ E，F 是棱 AB，BC的中点，∴E F∥AC，∴ EF⊥BD，EF⊥BB1，∴ EF⊥平面 BB1O.8.答案 2；剖析由线面垂直的性质定理知①④正确 .9. 答案①③④ ?②或②③④ ?①；剖析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为 A、B，α∩β =l ，l ∩平面 PAB=O，连结 OA、OB，可证明∠ AOB为二面角α l β的平面角，则∠ AOB=90°? PA⊥PB.10.答案45°；剖析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为 45°.11.证明：由题意： CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠ BOC是二面角 BAOC的平面角，又∵二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，∵CO? 平面 COD，∴平面 COD⊥平面 AOB.12.证明： (1) 连结 AC，AC交 BD于点 O.连结 EO，如图 .∵底面 ABCD是正方形，∴点O是 AC的中点 .在△ PAC中， EO是中位线，∴ PA∥EO.而 EO? 平面 EDB且 PA?平面 EDB.所以 PA∥平面 EDB.(2) ∵PD⊥底面 ABCD且 DC? 底面 ABCD∴.PD⊥DC.∵PD=DC，可知△ PDC是等腰直角三角形，而DE 是斜边 PC 的中线，∴ DE⊥PC.①同样由 PD⊥底面 ABCD，得 PD⊥BC.∵底面 ABCD是正方形，有 DC⊥BC，∴B C⊥平面 PDC.而 DE? 平面 PDC，∴ BC⊥DE.②由①和②推得 DE⊥平面 PBC.而 PB? 平面 PBC，∴ DE⊥PB.又 EF⊥PB且 DE∩EF=E，∴ PB⊥平面 EFD.综合提高1. 答案A；剖析∵l ?α，且l与n异面，∴ n?α，又∵ m⊥α，n⊥m，∴n∥α .2.答案 D；剖析如图， AB∥ l ∥m，AC⊥l ，m∥l ? AC⊥m，AB∥l ? AB∥β . 故选 D.3.答案D；剖析以以下列图，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面 HDG向来与平面 BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，由于二面角HDGF的大小不确定 .4.答案 B；剖析由 SG⊥GE，SG⊥GF，得 SG⊥平面 EFG，除去 C、D；若SE⊥平面 EFG，则 SG∥SE，这与 SG∩SE=S矛盾，除去 A，应选 B.5.答案垂；剖析三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心 .2由题意知，三棱锥 AABC为正周围体 ( 各棱长都相等的三棱6. 答案：3；剖析1第8页共10页6锥) ，设棱长为a，则 AB1=3a，棱柱的高 A1O= 3 a( 即点 B1终究面 ABC的距离 ) ，故A1O 2AB1与底面 ABC所成的角的正弦值为=.'AB137.答案①②④；剖析此题主要察看了空间直线与直线、直线与平面的夹角 .8.答案 2；剖析取 AB的中点 E，连结 DE，CE，由于△ ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面 ADB⊥平面 ABC时，由于平面 ADB ∩平面 ABC=AB，所以 DE⊥平面 ABC.又 CE? 平面 ABC可知 DE⊥CE.22由已知可得 DE= 3，EC=1，在 Rt△DEC中， CD= DE＋CE=2.9. 证明由于SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB=A，所以BC⊥平面 SAB，又 AE? 平面 SAB，所以 BC⊥AE.由于 SC⊥平面 AEFG，所以 SC⊥AE.又 BC∩SC=C，所以 AE⊥平面 SBC，所以 AE⊥SB.同理可证 AG⊥SD.10.(1) 证明由于PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.由于∠ BCD=90°，所以 BC⊥CD.又 PD∩CD=D，所以 BC⊥平面 PCD.而 PC? 平面 PCD，所以 PC⊥BC.(2)解如图，过点 A 作 BC的平行线交 CD的延伸线于 E，过点 E 作 PC的垂线，垂足为 F，则有 AE∥平面 PBC，所以点 A 到平面 PBC的距离等于点 E 到平面 PBC的距离.又 EF⊥PC，BC⊥平面 PCD，则 EF⊥∩PC=C，所以 EF⊥平面 PBC.人教版高一数学必修2空间直线的垂直关系练习题(含答案详解)EF 即为 E 到平面 PBC的距离 .又由于 AE∥BC，AB∥CD，所以四边形 ABCE为平行四边形 . 所以 CE=AB=2.又 PD=CD=1，PD⊥平面 ABCD，CD? 平面 ABCD所.以 PD⊥CD，∠PCD=45° .所以 EF= 2. 即点 A 到平面 PBC的距离为 2.11.证明 (1) 在平面 ABC内取一点 D，作 DF⊥AC于 F，∵平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，∴ DF⊥平面 PAC.又∵ PA? 平面 PAC，∴ DF⊥PA.作 DG⊥AB于 G，同理可证 DG⊥PA.∵D G∩DF=D，∴ PA⊥平面 ABC.(2) 连结 BE并延伸交 PC于 H.∵E是△ PBC的垂心，∴ PC⊥BH，又 AE⊥平面 PBC，故AE⊥PC，且 AE∩BE=E，∴PC⊥平面 ABE.∴PC⊥AB.又∵ PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥AB，且 PA∩PC=P，∴AB⊥平面 PAC，∴ AB⊥AC，即△ ABC是直角三角形 .12.(1) 证明∵AB⊥平面BCD，∴ AB⊥CD.∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B，∴ CD⊥平面ABC.AE AF又∵= =λ(0 ＜λ＜ 1) ，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴ EF⊥平面 ABC.AC AD又 EF? 平面 BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面 ABC.(2) 解由(1)知，EF⊥BE，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵B C=CD=1，∠ BCD=90°，∠ ADB=60°， AB⊥平面 BCD，∴BD= 2，AB= 2tan 60227，°= 6.AC= AB＋BC=26AE 66由 AB=AE·AC得 AE=7，∴λ = = ，故当λ = 时，平面 BEF⊥平面 ACD. AC 77第 10页共10页。