9.解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法

平行四边形折叠问题解题技巧平行四边形折叠问题解题技巧什么是平行四边形折叠问题平行四边形折叠问题是一种数学问题，要求将一块平行四边形纸张折叠成特定的形状。

解决这个问题需要一些技巧和方法。

以下是一些常用的技巧，可以帮助你解题。

技巧一：注意对称性•在折叠平行四边形时，要注意纸张的对称性。

利用对称性可以简化问题，并找到更快的解决方案。

•如果可以发现平行四边形纸张具有对称性，可以根据对称性进行折叠，将问题简化为更小的子问题。

技巧二：利用角度相等•在平行四边形折叠问题中，角度是一个重要的概念。

角度相等的性质可以帮助我们确定折叠的方式。

•如果已知某个角度相等，可以通过将纸张折叠使得两个角度重合，从而找到解题的关键位置。

技巧三：利用边长比例•平行四边形的边长比例也是一个重要的信息。

通过观察边长比例，可以推导出纸张的折叠方式。

•如果已知两个边长的比例，可以利用这个比例关系进行折叠，从而找到解题的关键位置。

技巧四：分析折痕•折痕是平行四边形折叠问题中的关键点。

分析折痕的特点可以帮助我们确定折叠的方式。

•观察折痕的位置、形状和角度，可以推断出纸张的折叠方式，并找到最终的解答。

技巧五：尝试反向思考•在解决平行四边形折叠问题时，有时候可以尝试反向思考。

即从最终的形状出发，逆向推导出折叠的方式。

•这种方法可以帮助我们更直观地理解问题，从而找到更有效的解题方法。

技巧六：多练习、多实践•最后，最重要的是多练习、多实践。

通过反复练习和实践，可以加深对平行四边形折叠问题的理解，掌握更多的解题技巧。

•在实践中遇到问题不要气馁，可以寻求他人的帮助或参考相关资料，不断提升自己的解题能力。

以上是解决平行四边形折叠问题常用的技巧和方法。

通过灵活运用这些技巧，相信你能够轻松解决各种平行四边形折叠问题。

祝你成功！（以上仅为参考，具体文章内容可以根据实际需要进行修改和补充。

）。

特殊平行四边形动点问题解题技巧《特殊平行四边形动点问题解题技巧：和动点斗志斗勇的日子》嘿，大家好呀！今天咱就来唠唠特殊平行四边形动点问题解题技巧这档子事儿。

咱就说，遇到这种动点问题啊，就像是和一个调皮的小精灵在玩捉迷藏。

它一会儿在这儿，一会儿又跑那儿去了，让人是又好气又好笑。

但咱可不能被它给吓住，得和它斗智斗勇才行。

首先呢，咱得有双“火眼金睛”，能快速地找出题目中的关键信息。

比如这个动点的运动轨迹是啥呀，是沿着边跑，还是在对角线上蹦跶。

这就像是找到了小精灵的行动路线，心里就有底了。

然后呢，咱得学会“以静制动”。

别管它怎么动，咱就把它当成静止的来分析。

比如说，在某个时刻，它在这个位置，那这个时候的图形有啥特点，跟其他条件一结合，能得出啥结论。

嘿，就这么一分析，好像那小精灵也不那么调皮了。

还有啊，要多画画图。

有时候光靠脑子想是不行滴，得动手画出来。

看着那图形在笔下一点点呈现，感觉就像在掌控整个局面一样。

而且呀，多画几种不同时刻的图，说不定就能找到规律，那小精灵的小把戏也就不攻自破啦。

再说说解题的时候，那可得思路清晰啊。

把各种条件、结论像串珠子一样串起来，可不能乱了套。

这就好比在给小精灵设陷阱，让它乖乖地掉进咱的圈套里。

咱还得有点“大胆假设”的精神。

碰到难题别退缩，大胆地去猜测一下，说不定还就猜中了呢。

就算没猜中，那也没啥损失呀，就当给大脑做个热身运动了。

总之，面对特殊平行四边形动点问题，咱可不能怕。

就把它当成一场有趣的挑战，和那个调皮的小精灵好好过过招。

只要咱掌握了这些解题技巧，再加上一点点细心、耐心和恒心，那小精灵最后还不得乖乖就范。

所以呀，大家都别怕，大胆地去和动点战斗吧！让我们在解题的海洋里畅游，享受那份攻克难题后的喜悦和成就感！加油哦，朋友们！。

ADG C B F E特殊的平行四边形的解法三．解答题1．（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似【答案】(1) 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形, BF ⊥AG , DE ⊥AG∴ DA =AB ， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°∴ ∠BAF = ∠ADE∴ △ABF ≌ △DAE∴ BF = AE , AF = DE∴ DE －BF = AF －AE = EF(2）EF = 2FG 理由如下：∵ AB ⊥BC , BF ⊥AG , AB =2 BG∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG∴2===FGBF BF AF BF AB ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG由(1)知, AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG(3) 如图DE + BF = EF说明:第（2）问不先下结论，只要解答正确，给满分.若只有正确结论，. 2．（2009年山东青岛市）已知：如图，在ABCD中，AE 是BC边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． (1）求证：BE DG =； (2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =．∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成．∴CG AD ⊥．∴90AEB CGD ∠=∠=°．∵AE CG =，∴Rt Rt ABE CDG △≌△．∴BE DG =．(2）当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形． ∵AB GF ∥，AG BF ∥，∴四边形ABFG 是平行四边形．∵Rt ABE △中，60B ∠=°，∴30BAE ∠=°， ∴12BE AB =． ∵32BE CF BC AB ==，， ∴12EF AB =． ∴AB BF =．∴四边形ABFG 是菱形．3．（2009 年佛山市）如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．若10cm CE =，求DF 的长．【关键词】正方形知识的综合应用【答案】解（略）．注：证明BCE CDF △≌△，给5分；根据三角形全等得10DF =，给1分．5．（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E .(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.(2）若AB =8，DE =3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG +PH 的值，并说明理由. DF C BEA【关键词】矩形的性质，全等三角形的判定【答案】（1）△AED ≌△CEB ′证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC =B ′C =AD ，∠B =∠B ′=∠D又∠B ′EC =∠DEA∴△AED ≌△CEB ′(2）延长HP 交AB 于M ，则PM ⊥AB∵∠1=∠2，PG ⊥AB ′∴PM =PG∵CD ∥AB∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴AE =CH =8-3=5在Rt △ADE 中，DE =3AD =2235 =4∵PH +PM =AD∴PG +PH =AD =4. 11．（2009年广西梧州）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于 点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．(1）求证：AD ＝CE ；(2）填空：四边形ADCE 的形状是 ★ ．【关键词】垂直平分线、全等三角形、菱形判定【答案】(1）证明：∵MN 是AC 的垂直平分线∴OA ＝OC ∠AOD ＝∠EOC =90°∵CE ∥AB∴∠DAO ＝∠ECO∴△ADO ≌△CEO∴AD ＝CE(2）四边形ADCE 是菱形．12． (2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，D AENM O交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F .(1）求证：AM =DM ；(2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．第21题图ABC D E F M【关键词】菱形的性质,全等三角形的判定【答案】（1）略证：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ,AB =AD . ∵AC ⊥EF ,∴AM =AE . ∵AE =21AB , ∴AM =21AD . ∴AM =DM .(2）提示:证明△AME ≌△DMF .DF =AE =2.菱形ABCD 的周长为16.16．（2009年娄底）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE .(1）求证：△ABE ≌△ACE(2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.【关键词】全等、四边形【答案】（1）证明：∵AB =AC点D 为BC 的中点∴∠BAE =∠CAEAE =AE∴△ABE ≌△ACE （SAS ）(2）当AE =2AD （或AD =DE 或DE =12AE ）时，四边形ABEC 是菱形 理由如下：∵AE =2AD ，∴AD =DE又点D 为BC 中点，∴BD =CD∴四边形ABEC 为平行四形边∵AB =AC∴四边形ABEC 为菱形24． (2009年安顺)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。

《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。

初中数学解题技巧专题特殊平行四边形中的解题方法◆类型一 特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二 正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1.245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3.245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S 矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52. (2)22 解析：连接BP ，过点E 作EH ⊥BC 于H .∵S △BPE ＋S △BPC ＝S △BEC ，∴BE ·PM2＋BC ·PN 2＝BC ·EH 2.又∵BE ＝BC ，∴PM 2＋PN 2＝EH 2，即PM ＋PN ＝EH .∵△BEH 为等腰直角三角形，且BE ＝BC ＝1，∴EH ＝22，∴PM ＋PN ＝EH ＝22. 4．3 25．证明：延长CB 到点H ，使得HB ＝DF ，连接AH .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABH ＝∠D ＝90°，AB ＝AD .∴△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后能和△ABH 重合，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .∵∠HAE ＝∠HAB ＋∠BAE ＝∠DAF ＋∠BAE ＝90°－∠EAF ＝90°－45°＝45°，∴∠HAE ＝∠EAF ＝45°.又∵AE ＝AE ，∴△AEF 与△AEH 关于直线AE 对称，∴S △AEF ＝S △AEH ＝S △ABE ＋S △ABH ＝S △ABE ＋S △ADF .6．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°.将△OCP 顺时针旋转90°至△OBE (如图所示)，∴OE ＝OP ，BE ＝CP ，∠OBE ＝∠OCP ，∠BOE ＝∠COP .∵BP ⊥CP ，∴∠BPC ＝90°.∵∠BOC ＋∠OBP ＋∠BPC ＋∠OCP ＝360°，∴∠OBP ＋∠OCP ＝180°，∴∠OBP ＋∠OBE ＝180°，∴E ，B ，P 在同一直线上．∵∠POC ＋∠POB ＝∠BOC ＝90°，∠BOE ＝∠COP ，∴∠BOE ＋∠POB ＝90°，即∠EOP ＝90°.在Rt △EOP 中，由勾股定理得PE ＝OE 2＋OP 2＝OP 2＋OP 2＝2OP .∵PE ＝BE ＋BP ，BE ＝CP ，∴BP ＋CP ＝2OP .。

初中数学中的平行四边形解题技巧详解平行四边形是初中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

在解题过程中，我们需要掌握一些基本的解题技巧。

本文将详细介绍初中数学中平行四边形的解题方法及技巧。

一、平行四边形的基本性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

在解题过程中，我们首先需要掌握平行四边形的基本性质。

1. 两对对边分别平行：平行四边形的两对对边分别平行，这是平行四边形的最基本的性质。

2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

这意味着平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。

3. 同底三角形面积相等：若两个三角形有一个共同的底，且底上的高相等，则这两个三角形的面积相等。

利用这一性质，我们可以简化解题过程。

二、平行四边形解题技巧1. 判断平行四边形的条件：在解题过程中，首先要判断给定的四边形是否为平行四边形。

我们可以通过观察边的长度和夹角的关系来判断是否为平行四边形。

2. 利用平行四边形的性质：在解题过程中，我们可以利用平行四边形的性质简化问题。

例如，判断一条线段是否平行于另一条线段，可以利用平行四边形的对角线互相平分的性质。

3. 利用同底三角形的性质：在解题过程中，若需要比较两个三角形的面积，我们可以利用平行四边形的同底三角形面积相等的性质简化问题。

比如，如果需要判断两个三角形的面积大小，我们可以找到它们的共同底，并比较高的长度。

4. 应用平行四边形的周长公式：在解题过程中，如果已知平行四边形的一些边长，我们可以利用平行四边形的周长公式求解未知边长。

5. 运用平行四边形的扩充性质：平行四边形具有很多扩充性质，例如，平行四边形的对角线相等、平行四边形的同位角相等等。

在解题过程中，我们可以利用这些扩充性质进行推理和求解。

三、实例分析为了更好地理解平行四边形的解题技巧，下面我们通过一些实例进行详细分析。

例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，求平行四边形的周长和对角线长度。

数平行四边形的方法和技巧如何求解平行四边形的方法和技巧平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的，而且对边长度相等。

在解决平行四边形问题时，我们可以运用一些方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将一步一步回答如何求解平行四边形的方法和技巧。

第一步：了解平行四边形的基本属性在求解平行四边形时，首先需要了解它的基本属性。

平行四边形的对边是平行的，而且对边长度相等，这意味着我们可以利用这些属性来解决问题。

第二步：利用平行四边形的性质推导出其他结论平行四边形具有一些重要的性质，可以帮助我们推导出其他结论，从而解决问题。

以下是一些常用的性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的。

这意味着我们可以利用对边平行的性质来推导出其他结论。

2. 对边等长性质：平行四边形的对边长度相等。

这意味着我们可以利用对边等长的性质来推导出其他结论。

3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。

这意味着我们可以利用内角和的性质来推导出其他结论。

通过运用这些性质，我们可以推导出一些重要的结论，如同位角相等、内错角相等等。

这些结论可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形的问题。

第三步：利用平行四边形的特殊性质解决问题在解决平行四边形问题时，我们还可以利用其特殊性质，采用一些特定方法和技巧。

1. 平行线截取等腰三角形：当我们需要求解平行四边形的边长或角度时，可以利用平行线截取等腰三角形的方法。

我们可以通过画一条辅助线，构造一个等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质来求解平行四边形问题。

2. 平行线截取相似三角形：当我们需要求解平行四边形的边长比或者面积比时，可以利用平行线截取相似三角形的方法。

我们可以通过画一条辅助线，构造一个相似三角形，从而利用相似三角形的性质来求解平行四边形问题。

3. 使用向量法：当给定平行四边形的顶点坐标时，我们可以使用向量法来求解平行四边形的边长、面积等问题。

我们可以将平行四边形的向量表示进行计算，从而得到所求解的结果。