数学---福建省福州市长乐高中2018届高三(上)第二次月考试卷(理)(解析版)
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福建省福州市长乐高中2018届高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合题意）1．（5分）下列命题中正确的是（）A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β3．（5分）设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列{a n+b n}的前100项之和是（）A．1000 B．10000 C．1100 D．110004．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π5．（5分）已知△ABC的三个内角满足：sin A=sin C•cos B，则三角形的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|7．（5分）将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知不等式x2+px+q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式＞0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）∪（6，+∞）C．（﹣1，1）∪（2，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）9．（5分）已知a，b，c，d成等差数列，函数y=ln（x+2）﹣x在x=b处取得极大值c，则b+d=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（5分）数列1，2，3，4…前n项的和为（）A．+B．﹣++1C．﹣+D．﹣+11．（5分）当x＞1时，不等式x+≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3] 12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6二、填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）函数f（x）=ax+b sin x+1，若f（5）=7，则f（﹣5）=．14．（5分）过点（5，2），且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程是．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比等于．16．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值为．三、解答题：（共2小题，每小题10分，计20分）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（10分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB=∠DBF=60°，且F A=FC．（1）求证：FO⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．【参考答案】一、选择题1．D【解析】若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；“”⇒“+2kπ，或，k∈Z”，“”⇒“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D正确．故选D．2．B【解析】设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．3．B【解析】∵{a n}、{b n}都是等差数列，∴{a n+b n}是等差数列，∵a1=25，b1=75，a100+b100=100，∴a1+b1+a100+b100=200，∴S100==10000故选B4．A【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，∴半圆柱的体积为：×π•22×4=8π；长方体的长宽高分别为4，2，2，∴长方体的体积为4×2×2=16，∴该几何体的体积为V=16+8π．故选：A．5．B【解析】△ABC满足sin A=sin C•cos B，由正弦定理可得a=c•cos B，∴cos B=，再由余弦定理可得cos B=，∴=，即2a2=a2+c2﹣b2，∴a2+b2=c2，故△ABC为直角三角形．故选B．6．B【解析】逐一考查所给的选项：A．y=x3是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；B．y=|x|+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增；C．y=﹣x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意；D．y=2﹣|x|是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不合题意．故选：B．7．C【解析】函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到的图象，就是y=sin（4x+φ）的图象，故故选C8．B【解析】由题意，不等式＞0等价于或∵不等式x2+px+q＜0的解集为{x|1＜x＜2}，∴或∴x＜﹣1或1＜x＜2或x＞6故选B．9．D【解析】∵y=ln（x+2）﹣x，∴y′=﹣1，∵极大值点坐标为（b，c），∴﹣1=0，解得：b=﹣1，∵曲线y=ln（x+2）﹣x的极大值点坐标为（b，c），∴ln（b+2）﹣b=c，即b+c=ln（b+2）=0，∴c=1，又a，b，c，d成等差数列，∴b+d=2c=2．故选D10．B【解析】数列1，2，2，4…前n项的和：S=（1+2+3+4+…+n）+（）==﹣++1．故选：B．11．D【解析】∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选D．12．B【解析】由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（）=﹣4故选B二、填空题13．﹣5【解析】令g（x）=f（x）﹣1=ax+b sin x则g（x）为一个奇函数又∵f（5）=7，∴g（5）=6，∴g（﹣5）=﹣6，∴f（﹣5）=﹣5故答案为：﹣514．x+2y﹣9=0或2x﹣5y=0【解析】当直线过原点时，直线方程为．直线不经过原点时，设直线方程为=1，把点（5，2）代入可得5+4=2a，解得a=．∴直线的方程为x+2y﹣9=0．综上可得：直线的方程为x+2y﹣9=0或2x﹣5y=0．故答案为：x+2y﹣9=0或2x﹣5y=0．15．9【解析】依题意可知（a1+4d）2=a1（a1+16d），整理得8a1d=16d2，解得d=2a1，∴q===9；故答案为9．16．4+2【解析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，易得圆心坐标为（﹣1，2），半径为2；若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆截得的弦长为4，为直径的长，则直线过圆心，即2a×（﹣1）﹣b×2﹣2=0，变形可得a+b=1，+=（+）×（a+b）=4++3，又由a＞0且b＞0，可得＞0，＞0，则（+3）≥2，则+=4++3≥4+2，即+的最小值为4+2，故答案为4+2．三、解答题17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有，解得a1=3，d=2，所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n====（﹣），所以数列{b n}的前n项和T n=（1﹣﹣）=（1﹣）=，即数列{b n}的前n项和T n=．18．证明：（1）∵F A=AC，∴FO⊥AC，∵FD=FB，∴FO⊥BD，∴FO⊥平面ABCD．解：（2）连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，∴△DBF为等边三角形，∴O为BD中点．∴FO⊥BD，又∵O为AC中点，且F A=FC，∴AC⊥FO，又AC∩BD=O，∴FO⊥平面ABCD，由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，设AB=2，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，OB=1，OA=OF=，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），F（0，0，），∴=（，0，），=（，1，0），设平面BFC的一个法向量为=（x，y，z），则有，令x=1，则=（1，﹣，﹣1），∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为=（0，1，0）．∵二面角A﹣FC﹣B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|===，∴二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．。
