三角函数的值域与最值

第四章 三角函数之三角函数的值域与最值 第 1 页 共 6 页 三角函数的值域与最值

一、主要方法及注意点：

1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。

2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。

二、基本练习：

1．求下列函数的最大、最小值：

（1）xxycossin32 （2）xysin41

解：1sin23yx

∴y∈[13,13] 解：50,4y

（3）1)21(sin22xy （4）1615)45(sin2xy

解：7[,1]2y 解：y∈[1,6]

2．若|x|≤4，则f(x)=cos2x+sinx的最小值是（ D ）

A．212 B．221 C．－1 D．221

3．求函数的值域：

（1）y=3sinx－4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2≤x≤2)

解：y∈[－5,5]

解：()2sin()3fxx

又2≤x≤2

∴y∈[－1,2]

4．（1）求函数xxysincos2（0

（2）求函数2sin1sin3)(xxxf的最大值和最小值。

解：（1）设点A（0，2），B（－sinx，cosx）

又0

而y的值就是经过AB两点的斜率， A

B

x y

O 第四章 三角函数之三角函数的值域与最值 第 2 页 共 6 页 所以y的最小值为3.

（2）21sin3yxy，而sinx∈[-1,1]

于是－1≤213yy≤1 所以 －4≤y≤23

即y的最大值为23，最小值为－4.

三、典例精析：

例1．求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。

解：设t=sinx+cosx=2sin(x+4)∈[-2,2]，则sinx·cosx=212t

∴21122ytt＝12(t+1)2-1,t=2时，函数y的最大值为122

例2．已知cosx+cosy=31，求cosx－sin2y的最大值和最小值。

解：cosx－sin2y＝cosx-(1-cos2y)=cos2y-cosy-23=(cosy-12)2-1112

∵-1≤cosx =31-cosy≤1 又-1≤cosy≤1

∴2cos13y

∴cosx－sin2y的最大值为49，最小值为－1112

例3．已知函数)0( cossin32sin2)(2abaxxaxaxf的定义域为[0，2]，值域为[－5，1]，求常数a、b的值。

解：f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b=-2asin(2x+6)+2a+b

∵x∈[0，2] 则72666x，于是1sin(2)126x

当a>0时，315abb，即25ab

当a<0时，351abb，即21ab 第四章 三角函数之三角函数的值域与最值 第 3 页 共 6 页

例4．求函数xxaxf2cossin42)(的最大值和最小值。

解：f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1

=2(sinx-a)2+1-2a2

设sinx=t,-1≤t≤1,f(x)=g(t)=2(t-a)2+1-2a2

当a<-1时，f(x)的最大值为g(1)＝3-4a, f(x)的最小值为g(－1)＝3＋4a.

当-1≤a≤1时，f(x)的最小值为g(a)＝1-2a2, f(x)的最大值为g(－1)或g(1)(其中之一).

当a>1时，f(x)的最大值为g(-1)＝3+4a, f(x)的最小值为g(1)＝3-4a.

*例5．已知0<α，β<2，且sinβcscα=cos(α+β),α+β≠2,求tanβ的最大值。

解：sinsin＝cosα·cosβ－sinα·sinβ

(1sin+sinα)sinβ= cosα·cosβ

tanβ=2sincos1sin=22sincos2sincos=2tan2tan1=112tantan24

此时tanα=22

即tanβ的最大值为24

四、巩固练习：

A组

1．函数y=sinx+cosx+2的最小值是（ A ）

A．2-2 B．2+2 C．0 D．1

2．当-2≤x≤2时，函数sinx+3cosx的（D）

A．最大值是1，最小值是-1 B．最大值是1，最小值是-21

C．最大值是2，最小值是-2 D．最大值是2，最小值是-1

3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为（A ）

A．1+2 B．2-1 C．2 D．2

4．函数xxycossin21的最大值是（B ） 第四章 三角函数之三角函数的值域与最值 第 4 页 共 6 页 A．22-1 B．1+22 C．1-22 D．-1-22

5．函数f(x)=sin(πx+θ)cos(πx+θ)在x=2时取得最大值，则θ的一个值为（ B ）

A．45 B．43 C．47 D．2

6．函数xxycos3sin在区间[0，2]上的最小值为12,在区间[-2，π]上的值域为

[-3,2]

7.函数sin21xy的最大值是 3 ，最小值是32。

8．函数2tan2tan3yxx的值域是 [2,+∞）。

9．已知函数Rxxxxy , 1cossin232cos21

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）求函数y的单调增区间。

解：（1）11cos23sin212222xxy＝15sin(2)264x

当2x+6=2+2kπ，即x=6+kπ(k∈Z)时，y取最大值。

∴|,6xxkkZ

（2）－2＋2kπ≤2x+6≤2＋2kπ，,36xkk(k∈Z)

B组

10．函数()sin() (0,0)fxMxM在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=－M，f(b)＝M，则()cos()gxMx在[a,b]上 （ C ）

A．是增函数 B．是减函数

C．可取得最大值M D．可取得最小值－M

11．关于函数21)32(2sin)(xxxf，有下面四个结论， 第四章 三角函数之三角函数的值域与最值 第 5 页 共 6 页 ①f(x)是奇函数； ②当x>2003时，f(x)>21恒成立； ③f(x)的最大值是23； ④f(x)的最小值是21； 其中正确结论的个数为（ A ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．若2cos2sin220mm对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围。

解：1-sin2θ＋2msinθ-2m-2<0 ∴m(2sinθ -2)< sin2θ＋1

若sinθ＝1，0＜2恒成立。

若sinθ≠1，2sinθ-2<0 ∴2sin12sin2m

右边＝2(sin1)2(sin1)22(sin1)

＝－12(1sin2)21sin≤1－2

∴m>1－2

C组

13．设214sin2cos)(axaxxf（0≤x≤2）.

(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；

（2）当M(a)=2时，求a的值。

解：（1）f(x)=-sin2x+asinx－4a+12

=221(sin)2442aaax

∵0≤x≤2 ∴0≤sinx≤1

①0≤2a≤1 0≤a≤2, M(a)=21442aa

②2a>1 a>2 , M(a)=M(1)= 3142a

③2a<0,a<0, M(a)=M(0)= 142a

第四章 三角函数之三角函数的值域与最值 第 6 页 共 6 页 21442aa 0≤a≤2

∴M(a)= 3142a a>2

142a a<0

(2) 当21442aa＝2时，则a=3或-2（舍）

当3142a＝2时，则a=103

当142a＝2时，则a=－6

综上：a=103或a=－6