福建南安一中高三上学期期末考试数学理

福建省南安一中2010届高三上学期期末考试

数学（理科）试卷

班级

姓名

座号

第Ⅰ卷（选择题

共50分）

一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设全集}4,3,2,1{U两个集合}2{A，}4,3,2{B，则 等于( )

A．{1} B．{1，3，4} C．{2} D．{3，4}

2．在ABC中,cABbACaBC,,,如果4,3ba,那么“5c”是“ABC为直角三角形”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分又不是必要条件

3．若421x的展开式的第3项为12，则x等于( )

A. 3log312 B. 21 C. 6log4 D. 2

4．抛物线xy42上点)2,(aP到焦点F的距离为( )

A. 1 B. 2 C .4 D .8

5．已知数列}{na的通项公式为Nnnan,32，其前n项和为nS，则使48nS成立的n的最小值为( )

A .7 B. 8 C. 9 D. 10

6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）

A．13 B．12 C．23 D．34

7．已知函数),(cossin2xxxy则下列正确的是( )

A. 是偶函数，有最大值为45 B. 是偶函数，有最小值为45

C. 是偶函数，有最大值为2 D. 是奇函数，没有最小值

8．右图中,阴影部分的面积是 ( )

A. 20 B. 24 C. 883 D. 403

错误!未错误!未找侧视图正视图俯视图bbaaaa9.

如果x、y满足00yxyx，则有( )

A. 0222xyx B. 0222xyx

C. 0222xyx D. 0222xyx

10．现要给四棱锥ABCDP的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有4种，则不同的涂色方案的种数共有( )

A．36 B．48 C．72 D．96

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分共20分

11．复数(2)12iii等于 .

12．一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .

13．如图，是一程序框图，则输出结果为 ．

14．设12,FF是双曲线116922yx的两个焦点，点P在双曲线上，且01260FPF，

那么△12FPF的面积是 .

15．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为直角三角形，

有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16. ( 本小题满分13分)

设函数f(x)=qp，其中向量)sincos,cos2()sincos,(sinxxxqxxxp，,Rx.

(1)求f(3)的值及f(x)的最大值。

(2)求函数f(x)的单调递增区间

17．（本小题满分13分）：

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由；

（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；

（Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°.

18. ( 本小题满分13分)

已知正数数列na中，21a.若关于x的方程0412)(12nnaxax)(Nn有相等的实根.

(Ⅰ)求na的通项公式

（Ⅱ）求证3211111111321naaaa )(Nn.

19. ( 本小题满分13分)

已知双曲线1C的方程为1822yx，椭圆2C长轴的两个端点恰好为双曲线1C的两个焦点.

（Ⅰ）如果椭圆2C的两个焦点又是双曲线的两个顶点，求椭圆2C的方程;

（Ⅱ）如果椭圆2C的方程为1922byx，且椭圆2C上存在两点A，B关于直线1xy对称，求b取值范围.

20.( 本小题满分14分)

已知函数1163)(23axxaxxf,1263)(2xxxg,和直线m：9kxy .又0)1(f. (Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g(x) 的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.

(Ⅲ)如果对于所有2x的x,都有)(9)(xgkxxf成立，求k的取值范围.

21（本题有三个小题，每小题7分，请任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）

（1）、在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标O(0 , 0)，A(2，0)，B(1，2 )，求

△OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M = 100–1 ，

N =

122022 ．

（2）、过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1xtttytt为参数相交于A、B两点．求线段AB的长．

（3）证明不等式：11112112123123nLL

福建省南安一中2010届高三上学期期末考试 PAF

BEDCG数学（理科）试卷参考答案

一．1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9. A 10. C

二．11.-1 12. 10 13. 511 14.163 15.①③④⑤

三．16解：（I）sin,cossinxxxp，2cos,cossinxxxq，

)(xfpq=sin,cossinxxx ·2cos,cossinxxx

xxxx22sincoscossin2 xx2cos2sin .)3(f= 213.

又()fxsin2cos2xx)42sin(2x 函数)(xf的最大值为2.

当且仅当8πxkπ（kZ）时，函数)(xf取得最大值为2.…………7分

（II）由222 242πππkπxkπ≤≤（kZ），得388ππkπxkπ≤≤ （kZ）

函数)(xf的单调递增区间为[8,83πkππkπ](kZ). ……………………13分

17．解: 解法一:（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.

∵在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC 又EF平面PAC

而PC平面PAC ∴EF∥平面PAC. ………4分

（Ⅱ）证明:ABCDBEABCDPA平面，平面,

PAEB.又，平面PABAPABAAPABABEB,,,PABEB平面,

又PABAF平面，∴BEAF.

又1PAAB,点F是PB的中点,,PBAF ……4分

PBEBEPBBBEPB平面又,,,PBEAF平面.

PEAFPBEPE，平面. ………8分

(Ⅲ)过A作AGDE于G，连PG，又∵PADE，

则DE平面PAG,

则PGA是二面角PDEA的平面角，

∴45PGA，………10分

∵PD与平面ABCD所成角是30，∴30PDA，

∴3AD，1PAAB.

∴1AG，2DG，设BEx，则GEx，3CEx， PAFBED CG()Oxyz在RtDCE中，222231xx，32BEx.

………13分

解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一………………4分

（Ⅱ）建立图示空间直角坐标系，则0,0,1P，

0,1,0B，110,,22F，3,0,0D.

设BEx，则,1,0Ex

0)21,21,0()1,1,(xAFPE ∴AFPE ………8分

（Ⅲ）设平面PDE的法向量为,,1mpqur，由00PEmPDm，得：1,1,133xmur，而平面ADE的法向量为)1,0,0(AP,∵二面角PDEA的大小是45,所以45cos=||||||22APmAPm，∴211211133x，

得32BEx 或 23xBE（舍）. ………………13分

18．解：(Ⅰ)由题意得0121nnaa 得121nnaa 得112(1)nnaa

∴数列1na是以3为首项以2为公比的等比数列，

1231nna1321nna ……………… 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知naaaa11111111321=)21212121(31120n

=211)21(131n=))21(1(32n32 所以3211111111321naaaa ……13分

19．解（Ⅰ）在双曲线1C的方程1822yx中3,1ca，则椭圆2C

方程为18922yx …………… 3分

（Ⅱ）椭圆2C方程为)90(1922bbyx，A、B点所在直线方程设为mxy，