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概率生成函数的简单应用
作者：程晓生
来源：《中国市场》2016年第36期
[摘 要]概率生成函数在概率论中有着很广泛的应用。对于某些比较复杂的问题，如果用生成函数来求解，能极大地简化求解过程。文章主要将概率生成函数应用到两个具体问题的求解中，最后得到了较好的结果。
[关键词]随机变量；概率生成函数；几何分布；相互独立
[DOI]10.13939/ki.zgsc.2016.36.241
生成函数在数学上有着广泛的应用，最早由欧拉在18世纪研究整数分拆时提出，后来由拉普拉斯引入概率论，从而得到了进一步的发展。概率生成函数是研究正整数值随机变量的一个重要的工具，它是研究概率论问题最重要的工具之一——特征函数最简单的一种情形。在研究分布收敛性的时候，也就是在证明中心极限定理时，特征函数几乎是唯一的工具，直到20世纪七八十年代Stein方法的出现。所以对于生成函数的深入学习和研究对特征函数的深入理解和掌握有着很明显的现实意义。
1 匹配问题
匹配问题是关于把物体随机放入容器中这类问题中最简单的一种情形。现在我们将匹配问题一般化，这样更容易从本质上加深对问题的理解。
这样我们就比较容易地得到了这个公式，当然，也可 以用其他方法得到这个结论，但是论证过程可能相对复杂一些。
2 苍鹭捕鱼问题
小林老师应邻居的请求在他们度假不在家的时候帮助喂养在花园池塘里的金鱼。尽管小林老师每天都按要求去喂养金鱼，但是三星期来没有看到过一条金鱼。结果发现池塘里所有的金鱼都被一只苍鹭在邻居不在的时候偷偷吃掉了，而苍鹭吃鱼的时候一次也没被发现。
用N表示邻居不在时苍鹭访问池塘的次数，假设N服从参数为1-θ的几何分布，于是
3 结 论
概率生成函数作为一个工具，确实有着广泛的应用，它可以很好地起到一个桥梁的作用，连接离散与连续的关系。它是采用变换思想解决实际问题的一种具体方法，它将非负整数值随机变量的概率分布描述成一个幂级数或其和函数，即概率生成函数，然后利用概率生成函数的龙源期刊网
概率常用知识
概率，这个听起来有点神秘的词汇，其实在我们的日常生活中无处不在。从掷骰子到买彩票，从天气预报到医学诊断，概率都在发挥着作用。那么，究竟什么是概率？它又有哪些常用的知识和应用呢？让我们一起来揭开它的面纱。
首先，概率最简单的定义就是某个事件发生的可能性大小。它的值在 0 到 1 之间。如果一个事件完全不可能发生，其概率就是 0；如果肯定会发生，概率就是 1。比如说，掷一个骰子，得到 7 点是不可能的，所以这个事件的概率就是 0；而得到 1 到 6 中的任何一个点的概率就是
1/6。
概率的计算方法有多种。对于等可能事件，我们可以用事件发生的结果数除以所有可能的结果数。例如，从一副 52 张的扑克牌中随机抽取一张红桃牌，因为红桃牌有 13 张，所以抽到红桃牌的概率就是
13÷52 ＝ 1/4。
条件概率也是一个重要的概念。假设 A 和 B 是两个事件，在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，叫做条件概率，记作
P(A|B)。举个例子，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，先从盒子里取出一个球不放回，再取一个球。如果第一次取出的是红球，那么第二次取出红球的概率就发生了变化，这就是条件概率。 独立事件和互斥事件也是常见的概率概念。独立事件是指一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。比如，今天下雨和明天你考试得高分就是两个独立事件。互斥事件则是指两个事件不能同时发生。比如，掷骰子得到 1 点和得到 2 点就是互斥事件。
在实际应用中，概率有着广泛的用途。在保险行业，保险公司会根据各种风险发生的概率来计算保险费用。比如，车辆发生事故的概率、房屋遭受火灾的概率等。通过对这些概率的评估，保险公司可以制定合理的保险政策，既能保障客户的利益，又能保证自身的盈利。
在医学领域，概率也起着关键作用。医生会根据疾病的发病率、检测方法的准确性等概率信息来诊断疾病和制定治疗方案。例如，某种疾病在人群中的发病率很低，而一项检测方法又有一定的误判率，那么医生在解读检测结果时就需要综合考虑这些概率因素，避免误诊。
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【问题探索】
问题：
我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会。事先准备三张相同的小纸条，并在1张纸条画上记号，其余2张纸条不画。把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？——先抽的人与后抽的人中签的概率一样吗？
解答：
假设这3名同学分别记作甲、乙、丙，他们抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三。三张小纸条中，画有记号的纸条记作A，余下的两张没有记号的纸条分别记作B1和B2。
用表格列出所有可能出现的结果：
第一次
（甲抽） 第二次
（乙抽）
第三次
（丙抽） 所有可能出现的结果
开始
从上图可以看出，甲、乙、丙依次抽签，一共 种可能的结果，并且它们是等可能的。
甲中签的概率P（甲中签）=
乙中签的概率P（乙中签）=
丙中签的概率P（丙中签）=
【新课引入】
抽签虽然有先有后，但是先抽的人和后抽的人中签的可能性是一样的，因此对每个人来说都是公平的，所以不必挣着先抽签。
抽签的方法是合理的
【总结归纳】
1．概率——表示一个事件发生的可能性的大小叫做该事件发生的概率。
①概率是反映事件发生的可能性大小的量；
②事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0；
③求概率时一般用列表法或画树状图法。
2．判断一个游戏是否公平，关键是看在这个游戏规则之下，双方获胜的可能性是否相等。
游戏规则是判断一个游戏公平与否的关键，当一个游戏不公平时，可以通过修改游戏规则使游戏变得公平。
3．利用概率估计实际问题，当试验的频率稳定在某一常数时，我们可以从试验频率近似等于某一事件发生的概率为解题依据，利用不同概率的计算方法估计出事件中部分或全体的数量。——①必须在相同条件下进行试验；②试验次数也多，估计值就越接近准确值。
4．一般地，如果随机事件A发生的概率是P（A），那么，在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值m为nP（A）。 第 2 页 共 15 页 【精选例题】
小学数学的概率与统计方法及应用场景
概率与统计是数学中的重要分支，它们在现实生活中有着广泛的应用。尽管小学生的数学水平还不够高，但是通过简单的概率与统计方法，他们也能够在日常生活中应用这些知识。
概率是研究随机事件发生的可能性的数学方法。在小学数学中，概率的概念可以通过简单的例子来引入。例如，掷骰子的结果可能是1、2、3、4、5或6，每个结果发生的可能性是相等的。因此，每个结果的概率都是1/6。小学生可以通过这样的例子理解概率的基本概念。
在日常生活中，概率的应用场景也很常见。例如，小明要参加抽奖活动，他买了10张彩票。如果总共有100张彩票，那么他中奖的概率是多少呢？根据概率的定义，他中奖的概率就是他购买的彩票数除以总彩票数，即10/100=1/10。通过这个例子，小学生可以理解概率的运用。
统计是研究数据收集、整理、分析和解释的方法。在小学数学中，统计的概念可以通过简单的调查来引入。例如，小明想知道他班级同学最喜欢的水果是什么，他进行了一次调查。他发现，有20个同学最喜欢苹果，15个同学最喜欢香蕉，10个同学最喜欢橙子。通过对这些数据进行整理和分析，小明可以得出结论，班级同学最喜欢的水果是苹果。
统计在现实生活中的应用场景也非常广泛。例如，在选举中，政府会进行选民调查来了解选民的意见和偏好。通过统计分析，政府可以得出选民对候选人的支持率，从而做出相应的决策。又如，在商业领域，公司会进行市场调研来了解消费者的需求和喜好。通过统计分析，公司可以制定相应的营销策略，提高产品的市场竞争力。
除了概率和统计的基本概念，小学生还可以学习一些简单的概率和统计方法。例如，他们可以学习如何计算简单事件的概率，如抛硬币的结果是正面还是反面的概率。他们还可以学习如何制作简单的统计图表，如条形图和折线图，来表示数据的分布和变化趋势。
总之，小学数学中的概率与统计方法虽然简单，但却有着广泛的应用场景。通过学习这些知识，小学生可以培养他们的逻辑思维能力和数据分析能力，为他们今后的学习和生活打下坚实的基础。
