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轨迹问题

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轨迹问题基本知识概要：一、求轨迹的一般方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

二、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要设法找到关系式x ’=f(x,y), y ’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

三．基础训练1．分别过12(1,0),(1,0)A A -作两条互相垂直的直线，则它们的交点M 的轨迹方程是221x y += 2．椭圆14922=+y x 与直线 y x =平行的所有弦的中点的轨迹方程为490x y += 3．已知椭圆的焦点是1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点．如果延长P F 1到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是 （ A ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线4．抛物线22y x =上各点与焦点连线中点的轨迹方程是214y x =-5．由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（答：224x y +=）；6．点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；7．一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）； 8．圆229x y +=中，过已知点(1,2)P 的弦中点轨迹方程为解：设弦的中点为M ，则O M P M ⊥，所以M 在以OP 为直径的圆上，故所求轨迹方程为2215()(1)24x y -+-=9． 过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是解：(0,1)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M x y ，则由2114x y =，2224x y =，两式相减得l k = 21212142y y x x x x x -+==-，又1l FM y k k x -==，12x y x-∴=，即2112y x =+【典型例题选讲】一、直接法题型：例1 已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

解：设MN 切圆C 于N ，则222ON MO MN-=。

设),(y x M ,则2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x（1） 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线。

（2） 当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

变式： 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=可得：222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x 所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）练习：（待定系数法题型）在PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，且PMN ∆的面积为1，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点，且过点P 的椭圆方程。

二、定义法题型：例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP 、BP 运到P 处，其中AP=100m ，BP=150m ，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？ 解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP 到P 较近，二是沿BP 到P 较近，三是沿AP 或BP 一样近。

其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M 为分界线上的任一点，则有BPMB AP MA +=+，即75050=≤=-=-AB PA PB MB MA ，故M 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上。

建立如图直角坐标系，得边界的方程为)25(1375062522>=-x y x ,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处，在曲线上面的土两边都可运。

说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。

练习： 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

解：由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为1251625)3(22=++y x三、代入法题型：例3 如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。

求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1）则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ② 由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x 轴，关于y 轴，关于直线y=x ，关于直线y=-x ，关于直线y=3对称的曲线方程。

(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)四、参数法与点差法题型：例4 经过抛物线y 2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于B 、C 两点，求线段BC 的中点M 轨迹方程。

解：A （-2p,0）,设直线AB 的方程为y=k(x+2p)(k ≠0).与抛物线方程联立方程组可解得B 点的坐标为)2,22(2k p p kp -，由于AC 与AB 垂直，则AC 的方程为)2(1p x k y +-=，与抛物线方程联立方程组可解得C 点的坐标为)2,22(2kp p p k --，又M 为BC 中点，设M （x,y ）,则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=kpk py p p k k p x 222，消去k 得y 2=px,即点M 的轨迹是抛物线。

五、交轨法与几何法题型例5 抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。

（考例5）解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42>=p px y 上，设A （),42A Ay py ，B （),42B B y p y 所以k OA =A y p 4 k OB =By p4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得)4(44222p y x py p y y y y y ABA B A A ---=-，即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x Py y y BA 4-+=②由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ， 即得2224)2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。

说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。

交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。

所以方程为2224)2(p y p x =+-，除去点（0，0）。

六、点差法：例6（2004年福建，22）如图，P 是抛物线C ：221x y =上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。

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高中轨迹问题教案模板范文

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课时：2课时教学目标：1. 知识目标：理解轨迹问题的基本概念，掌握解决轨迹问题的方法。

2. 能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学思维能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

教学重点：1. 轨迹问题的基本概念和解决方法。

2. 分析和解决轨迹问题的能力。

教学难点：1. 轨迹问题的多样性和复杂性。

2. 对轨迹问题的综合分析和解决。

教学过程：一、导入1. 复习直线方程、圆方程等基本知识，为轨迹问题打下基础。

2. 引入轨迹问题，展示几个简单的轨迹问题实例，激发学生的学习兴趣。

二、新课讲解1. 讲解轨迹问题的基本概念，包括定义、分类和特点。

2. 介绍解决轨迹问题的方法，如解析法、几何法等。

3. 结合实例，讲解如何分析轨迹问题的条件和要求，以及如何运用解决方法。

三、课堂练习1. 分组讨论，让学生自主解决几个简单的轨迹问题。

2. 教师巡视指导，解答学生在解题过程中遇到的问题。

3. 对学生的解题过程进行点评，强调解题思路和方法。

四、课堂小结1. 总结轨迹问题的基本概念、解决方法和注意事项。

2. 强调在解决轨迹问题时，要注重分析问题和综合运用知识。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 查阅资料，了解轨迹问题的应用和拓展。

教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作精神等。

2. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量和数量。

3. 课后反馈：了解学生对轨迹问题的掌握程度，以及对教学方法的意见和建议。

教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和内容。

2. 注重培养学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力。

3. 结合实际，拓展轨迹问题的应用，提高学生的综合素质。

轨迹问题方法与例题大全

轨迹问题方法与例题大全

轨迹问题一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系 二、求轨迹的一般方法： 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

三、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

3．求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

数学轨迹问题

数学轨迹问题

数学轨迹问题
数学轨迹问题是指研究设定的数学函数或方程所描述的几何图形的运动规律和特点。

这类问题通常需要将数学方法与几何图形的运动相结合，通过分析数学函数或方程的性质，来研究图形的形状、位置、变化等问题。

常见的数学轨迹问题包括：
1. 平面曲线轨迹问题：给定一个平面曲线的方程，研究曲线上点的运动轨迹。

例如，求解抛物线上一动点的坐标关系。

2. 空间曲线轨迹问题：给定一个空间曲线的参数方程，研究曲线上点的运动轨迹。

例如，求解螺线上一动点的坐标关系。

3. 平面图形轨迹问题：给定一个平面图形的特定性质，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。

例如，研究圆心在直线上的所有圆的轨迹。

4. 空间图形轨迹问题：给定一个空间图形的特点，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。

例如，研究圆锥的截面在不同高度下的形状。

数学轨迹问题在几何学、微积分等数学分支中都有广泛的应用。

通过研究数学轨迹问题，可以揭示数学函数或方程的性质，并帮助我们更好地理解几何图形的变化和相互关系。

轨迹类问题

轨迹类问题

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。

轨迹，包含两个方面的问题，凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）。

另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。

本来以前在初中教学大纲有轨迹的内容，但是已经被删除很久了。

为什么我们要拿出来说一下，因为从轨迹的观点出发很多动点问题就会变得很容易。

1到已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线。

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合2到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的角平分线。

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线3到直线L的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的的两条直线。

到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线。

主要解决同底等高面积相等的问题。

4到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

这个是应用最多的。

昨天辅助圆的思想也是用到这个定义。

另外把圆的方程提出来圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a 、b 、r ，即圆心坐标为(a ，b)，只要求出a 、b 、r ，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

在平面直角坐标系中，设有圆O ，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。

圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。

所以两边平方，得到（丰台一模29）设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离为； （2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值是； （3）如果点(0,)G b 到抛物线2y x =的距离为3，请直接写出b 的值.5,平面内有两点A,B ，在平面内找一点P 使得三角形ABP 为等腰三角形。