九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积学案(新版)新人教版

1 24.4.1 弧长和扇形面积〔1〕

〔一〕学习目标

1.理解并掌握弧长和扇形面积的计算公式；能计算弧长与扇形的面积；

2.能运用弧长与扇形面积公式解决实际问题；

3、体会转化思想在数学解题中的作用。

〔二〕重难点、关键点

1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=180nR，扇形面积S扇=2360nR及其它们的应用．

2．难点：两个公式的应用．

3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．

〔三〕课前预习

1、阅读教材的“思考〞，推导弧长公式：设圆的半径为R，那么

〔1〕圆的周长可以看作是______度的圆心角所对的弧长，即______；

〔2〕1°的圆心角所对的弧长是______，2°的圆心角所对的弧长是______，23°的圆心角所对的弧长是______，，n°的圆心角所对的弧长是______。

由此我们可以得到：n°的圆心角所对的弧长为l___________.〔反复读五遍〕

2、阅读教材，了解扇形的概念，类比弧长公式的推导，完成扇形面积公式的推导：在半径为R的圆中，〔1〕圆的面积可以看作是______度的圆心角所对的扇形面积，即______；〔2〕1°的圆心角所对的扇形面积是______，2°的圆心角所对的扇形面积是______，…，n°的圆心角所对的扇形面积是______。

由此可以得出：n°的圆心角所对的扇形面积是S扇形＝ ______ 〔反复读五遍〕

3、比拟扇形面积公式和弧长公式，思考它们之间有什么关系？(写出结论并读五遍)

4、阅读例1，想一想弓形的面积如何计算？〔请与同学交流〕

5、自学检测：

〔1〕圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，那么圆弧的长度为______。

〔2〕假设长为6的弧所对的圆心角是60°，那么这条弧所在的圆半径是________。

〔3〕半径为30cm，圆心角是120°的扇形面积是______。

〔4〕假设一个扇形的弧长是2cm，半径10cm，那么扇形的面积是______。

〔5〕弧长18，面积45的扇形的半径是______。

〔6〕教材113页练习第1、2、3题。

〔四〕疑惑**

预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨.

典型例题

例1〔1〕、弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是_______。

〔2〕、如图1，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，它们的半径都是0.5cm，那么图中三个扇形〔阴

2 （图4）CABO（图3）DCBAO（图2）DBAO（图1）CBA影局部〕面积之和是________

〔3〕、如图2，⊙O中，弦AB的弦心距OD=1，半径OA=2，那么图中阴影面积为 ________

〔4〕、如图3，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=2，以AB为直径的⊙O 交CB于点D，那么图中阴影局部的面积是________

例2.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.

〔1〕求∠ABC的度数；

〔2〕求证：AE是⊙O的切线；

〔3〕当BC=4时，求劣弧AC的长.

例5、如图，在平面直角坐标系中，以A〔5,1〕为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B，C.解答以下问题：

(1)将⊙A向左平移_______个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′.此时点A′的坐标为__________，阴影局部的面积S=__________；

〔2〕求BC的长.

〔一〕 课后作业

3 1．扇形的圆心角为120°，半径为6，那么扇形的弧长是〔 〕．

A．3 B．4 C．5 D．6

2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，那么点B运动到点B′所经过的路线长度为〔 〕

A．1 B． C．2 D．2

(1) (2) (3)

3．如图2所示，实数局部是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，假设每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，那么游泳池的周长为〔 〕

A．12m B．18m C．20m D．24m

4．如果一条弧长等于4R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，• 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．

5．如图3所示，OA=30B，那么AD的长是BC的长的_____倍．

6．如下图，AB所在圆的半径为R，AB的长为3R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．

7．如图，假设⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O•内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？

.cBAO

8．如下图，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=3，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置〔A′点转在对角线BD上〕，求屏幕被着色的面积．

4

〔二〕综合拓展

1．〔1〕操作与证明：如下图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a．

〔2〕尝试与思考：如图a、b所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖局部的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖局部的总长度也为定值a．

DECBAO

(a) (b)

〔3〕探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，假设将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a，这时正n•边形被纸板所覆盖局部的面积是否也为定值？假设为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系〔不需证明〕；假设不是定值，请说明理由．

24.4.2 弧长和扇形面积〔2〕

〔一〕学习目标

1、了解圆锥母线的概念，理解圆锥的侧面展开图与圆锥各要素间的对应关系；

2、会计算圆锥的侧面积和全面积，并能综合运用相关知识解决实际问题。

〔二〕重难点、关键点

1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．

2．难点：探索两个公式的由来．

5 图1θR图3图4CAB〔三〕课前预习

1、阅读教材，结合自制的圆锥模型，认识圆锥的特征。

圆锥是由一个______〔曲面〕和一个______〔平面〕围成的，连接圆锥______和______的线段是圆锥高，连接圆锥______和_______上任意一点的线段叫圆锥母线。

1、 如图1，圆锥的母线有多少条？ 它们的长度有什么关系？

如果用r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高，l表示圆锥的母线长，那么这三者之间有怎样的数量关系？〔请写出来，并读两遍〕

3、先阅读教材的“思考〞，再把自制的圆锥模型沿任意一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，请你认真观察展开后的图形，并结合图2，填空：

〔1〕圆锥的侧面展开图是一个______，它的半径是圆锥的______，

它的弧长是圆锥的_______________。

〔2〕假设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形

半径为______，扇形的弧长为______，扇形的面积为______

〔3〕请你推导出圆锥的侧面积公式和全面积公式：

S侧＝__________；S全＝____________〔以上读三遍〕

4、自学检测：

〔1〕一个圆锥的母线长10cm，底面圆的半径是8cm，该圆锥的体积是

________cm3。

〔2〕一个圆锥母线长60cm，底面圆半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积

_______cm2，它的全面积是_______cm2。〔用含的式子表示〕

〔3〕教材114页第1、2题。

〔四〕疑惑**

预习之后，你还有哪些没有弄清的问题，请记下来，课堂上我们共同探讨.

典型例题

例1、如图3，扇形的半径R＝10，圆心角＝144°，用这个扇形围成圆锥的侧面，

〔1〕求这个圆锥的底面半径；〔2〕求这个圆锥的全面积。

例2、如图4，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=13,BC=5,求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。

图2l

r

6 CDBA图5图6例3、如图5，圆锥的母线长为6，底面半径为2，点D为CB的中点，一只蚂蚁从圆锥上的A点沿侧面爬到D点，求蚂蚁爬行的最短距离。

例4 、如图6，是底面相同的圆柱与圆锥的组合体，，整个几何体高20cm，其中圆锥高8cm，圆锥母线长10cm，求这个几何体的外表积。

〔一〕 课后作业

1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，那么此圆锥的高线为〔 〕

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余局部制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，那么剪去的扇形的圆心角度数为〔 〕

A．228° B．144° C．72° D．36°

3．如下图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，•从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是〔 〕

A．63 B．332 C．33 D．3

4．母线长为L，底面半径为r的圆锥的外表积=_______．

5．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，•所得圆柱体的外表积是__________〔用含的代数式表示〕

6．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合局部，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．

7．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，•需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：

〔1〕至少需要多少厘米铁皮〔不计接头〕

〔2〕如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？

8．如下图，圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，•求圆锥全面积．