必修5 第二章 第三节 等比数列及其前N项和 学生版

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年 级 高一 学 科 数学

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课 题 人教版必修五第二章 等比数列及其前N项和

1.判断数52，27()kkN是否是等差数列na：5,3,1,1,,L中的项，若是，是第几项？

2.若数列na是等差数列，且11a，35a，则10a等于（ ）

A．19 B.21 C．37 D．41

3.在等差数列na中，40.8a，112.2a，求它的首项、公差与51a的值．

4.设{}na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa等于（ ）

A．120 B．105 C．90 D．75

5.若等差数列na的前5项和525S，且23a，则7a（ ）

A．12 B．13 C．14 D．15

1．在等比数列{an}中，a2 015＝8a2 012，则公比q的值为( )

A．2 B．3 C．4 D．8

2．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（ ）分钟．

A．45 B．44 C．46 D．47

3．2＋3和2－3的等比中项是( )

A．1 B．－1 C．±1 D．2 4.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2+a3的值为（ ）

A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12

5.设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，则f(n)等于( )

A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1) C.27(8n＋2－1) D.27(8n＋3－1)

6.在等比数列{an}中，Sn为前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

一、等比数列的基本概念

1.定义：如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．

2．递推关系：

在数列{an}中，若an＋1an＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{an}是等比数列．

（本部分主要给学生讲解等比数列的基本概念，着重强调公差是后一项前去前面一项，并且是从第二项开始，一定要强调各项不能为0）

【例1】判断下列数列哪些是等比数列，如果不是，请说明理由？

∈ 1, 2, 4, 8, …，263

∈ 2000 , 2000×1.1, 2000×1.12,…, 2000×1.19

∈ -1, -2, -4, -8,

∈－1, －1, －1, －1,…

∈1, 0, 1, 0,…

二、等比数列的通项公式

若等比数列na的首项是1a，公比是q，则11nnaaq．

通项公式的变形：∈nmnmaaq；∈11nnaaq；∈11nnaqa；∈nmnmaqa．

【例2】已知等比数列{an}的公比是2，a3=1，则a5的值是（ ） A．

B． C．4 D．16

三、等比中项：

在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若2Gab，则称G为a与b的等比中项．注意：a与b的等比中项可能是G

【例3】各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

四、等比数列的基本性质

∈若na是等比数列，且mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa；∈若na是等比数列，且2npq（n、p、*q），则2npqaaa

公式①重点强调左边和右边的项数一定要保持一致

【例4】在等比数列 {an} 中，a5a7=2，a2+a10=3，则=（ ）

A．2 B． C．2或 D．﹣2 或﹣

五、等比数列前n项和公式

等比数列前n项和公式

(1)公式：Sn＝ a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1， q＝1.

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

思考 在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k等于________．

【例5】在等比数列{an}中，a1•a2•a3=27，a2+a4=30试求：

（1）a1和公比q；（2）前6项的和S6．

六、等比数列及其前N项和的性质综合应用

1.等比数列的前n项和的性质：∈若项数为*2nn，则SqS偶奇．

∈nnmnmSSqS．∈nS，2nnSS，32nnSS成等比数列（0nS）

2.错位相减法“差比数列”

一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．

【例6】已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N+满足=9，=，则数列{an}的公比为（ ）

A． B．2 C．3 D．4

【例7】已知等差数列{an}前n项和为Sn，且（n∈N*）．

（∈） 求c，an；（∈） 若，求数列{bn}前n项和Tn．

1.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）

A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列

2.在等比数列{an}中，若a6=6，a9=9，则a3为（ ） A．2

B． C． D．4

3.在等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（ ）

A．3 B． C．±3 D．以上皆非

4.已知等比数列{an}中，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（ ）

A．（1﹣） B．（1﹣） C．16（1﹣） D．16（1﹣）

5.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么（ ）

A．{an+bn}，{an•bn}都一定是等比数列

B．{an+bn}一定是等比数列，但{an•bn}不一定是等比数列

C．{an+bn}不一定是等比数列，但}{an•bn}一定是等比数列

D．{an+bn}，{an•bn}都不一定是等比数列

6.已知数列{an}的前n项和为，且Sn=n2+n，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=3an，求证：数列{bn}是等比数列．

【查漏补缺】

忽略等比数列中的项的符号致误

1.已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，求212aab的值．

2.等比数列1,2a,4a2,8a3，…的前n项和Sn＝______.

【举一反三】

1.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= ．

2.已知数列{an}满足an+1=2an﹣n+1，n∈N*，a1=3，

（1）求a2﹣2，a3﹣3，a4﹣4的值；

（2）根据（1）的结果试猜测{an﹣n}是否为等比数列，证明你的结论，并求出{an}的通项公式．

【方法总结】

等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。

（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目；

（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；

（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为( )

A．4 B.32 C.169 D．2

2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于( )

A．12 B．10 C．8 D．2＋log35

3．数列{an}为等比数列，且an＝an＋1＋an＋2，an>0，则该数列的公比q是( )

A.22 B.255 C.1－52 D.5－12

4．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则a6a19等于( )

A.32 B.23 C.16 D．6

5．在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于( )

A．48 B．72 C．144 D．192

6.数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…前n项和等于( )

A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2 C．2n－n D．2n

第一、二天作业

1．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )

A．33 B．72 C．84 D．189

2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝( )

A．80 B．90 C．95 D．100

3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零的常数)，则数列{an}( )

A．一定是等差数列 B．一定是等比数列