2015-2016学年陕西省西安一中高一上学期期末数学试卷

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2015-2016学年陕西省西安一中高一上学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（ ）

A. ﹣3 B. ﹣6 C. D.

2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ）

A. 1个 B. 0个 C. 无数个 D. 1个或无数个

3.点（5，﹣3）到直线x+2=0的距离等于（ ）

A. 7 B. 5 C. 3 D. 2

4.有下列说法：

①梯形的四个顶点在同一个平面内；

②三条平行直线必共面；

③有三个公共点的两个平面必重合．

其中正确的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5.在如图所示的空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则图中共有多少对线面平行关系？（ ）

A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对

6.两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的位置关系是（ ）

A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切

7.已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（ ）

A. 2 B. 4 C. 2 D. 2

8.下列说法正确的是（ ）

A. 底面是正多边形，侧面都是正三角形的棱锥是正棱锥

B. 各个侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱

C. 对角面是全等的矩形的直棱柱是长方体

D. 两底面为相似多边形，且其余各面均为梯形的多面体必为棱台

9.将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（ ）

第 2 页 共 8 页 A. ﹣3或7 B. ﹣2或8 C. 0或10 D. 1或11

10.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF= ，给出下列结论：

（1）AC⊥BE；

（2）EF∥平面ABCD；

（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值；

（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．

其中错误的结论有（ ）

A. 0个 B. 1 个 C. 2个 D. 3个

11.如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）

A. 2 B. 6 C. 3 D. 2

12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

A. 28+6 B. 30+6 C. 56+12 D. 60+12

二、填空题

13.若经过点（3，a）、（﹣2，0）的直线与经过点（3，﹣4）且斜率为 的直线垂直，则a的值为________

14.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为________ cm3 ．

第 3 页 共 8 页 15.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．

16.三棱锥P﹣ABC的两侧面PAB，PBC都是边长为2的正三角形，AC= ，则二面角A﹣PB﹣C的大小为________．

17.直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于________．

三、解答题

18.已知点m是直线l： x﹣y+3=0与x轴的交点，将直线l绕点m旋转30°，求所得到的直线l′的方程．

19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明 PA∥平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求VB﹣EFD ．

20.已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0与直线x+2y﹣3=0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

第 4 页 共 8 页 21.如图，已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别为PB，PC上的动点，求截面△AEF周长的最小值，并求出此时三棱锥P﹣AEF的体积．

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答案解析部分

一、选择题

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】A

10.【答案】B

11.【答案】A

12.【答案】B

二、填空题

13.【答案】﹣10

14.【答案】32 π

15.【答案】3

16.【答案】60°

17.【答案】4

三、解答题

18.【答案】解：在方程 x﹣y+3=0中，取y=0，得x=﹣ ．

∴M（ ），

直线 x﹣y+3=0的斜率为 ，则其倾斜角为60°，

直线l绕点M旋转30°，若是逆时针，则直线l′的倾斜角为90°，

∴直线l′的方程为x=﹣ ；

若是顺时针，则直线l′的倾斜角为30°，

第 6 页 共 8 页 ∴直线l′的斜率为 ，

∴直线l′的方程为y﹣0= （x+ ），即x﹣

19.【答案】（1）证明：连结AC，交BD于O，连结EO，

因为ABCD是正方形，点O是AC的中点，在三角形PAF中，EO是中位线，

所以PA∥EO，而EO⊂面EDB，且PA⊄面EDB，所以PA∥平面EDB

（2）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC

在底面正方形中，DC⊥BC，

所以BC⊥面PDC，而DE⊂面PDC，

所以BC⊥DE，

又PD=DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC，

所以DE⊥面PBC，而PB⊂面PBC，

所以DE⊥PB，

又EF⊥PB，且DE∩EF=E，

所以PB⊥平面EFD

（3）解：因为PD=DC=2，所以 ， ，

因为 ，所以 ，

即 ， ，

，DE= ，BF= = = ，

所以VB﹣EFD= ×DE×EF×BF= × × = ．

20.【答案】解：设P，Q的坐标分别为（x1 ， y1）、（x2 ， y2），

由OP⊥OQ可得： ，即 ，

所以x1•x2+y1•y2=0．

由x+2y﹣3=0得x=3﹣2y代入x2+y2+x﹣6y+m=0

第 7 页 共 8 页 化简得：5y2﹣20y+12+m=0，

所以y1+y2=4，y1•y2= ．

所以x1•x2+y1•y2=（3﹣2y1）•（3﹣2y2）+y1•y2=9﹣6（y1+y2）+5y1•y2

=9﹣6×4+5× =m﹣3=0

解得：m=3

21.【答案】解：如图，沿棱AB，AC，PA剪开，得到正三棱锥的侧面展开图，

则AA1的长为△BEF的周长的最小值．

由平面几何知识可证△PAE≌△PA1F，于是PE=PF，

又PB=PC，故EF∥BC．

∵∠ABE=∠PBC，∠AEB=∠PCB，

∴△ABE∽△PBC，

∴ ，

∴BE=2，

AE=A1F=4，PE=8﹣2=6．

由EF∥BC，有 ，

∴ ，

∴AA1=AE+EF+A1F=4+3+4=11，

∴△AEF周长的最小值是11，此时 ，即E，F分别在PB，PC的四等分点处．