退在数学中的作用
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“退”在数学中的作用
“退”是思维活动中的一种，良好的思维要经过漫长时间加以锻炼及培养。
思维，就是帮助我们弄清问题、解决问题、做出决策或理解事物的任何心理活动，它是寻找答案和理解事物的过程。
在数学中，有一种比较灵活，且常用的方法，就是“退”，知难而退，退一步，海阔天空。
当然，退不意味着放弃，而是暂时退到一定的地方，以待时机。
在数学中，善于退，退到最原始而不失去重要性的地方，窥视方向，等待时机，精心选择突破口，进入战略反攻；退却中放弃一些约束条件，以便于争取“主动权”和增加“自由度”，总之，退却是为了更好地前进。
可以看出，“退”不是怕，而是等待时机，以便于更好地寻找前进的路线。
更好地完成前进的策略。
在中学数学中，如果我们正确理解，并在一些习题中采用退的策略，可使我们在数学学习中带来很好的收效。
中学数学中的“退却”策略主要有下面一些：
（1）从一般退到特殊；
（2）从抽象退到具体；
（3）从复杂退到简单；
（4）从整体退到部分；
（5）从较强问题退到较弱问题；
（6）从新问题退到旧问题；
（7）从多参数问题退到少参数问题；
下面通过例题来体验一下“退”的作用
例1：若1abc =，求： （1）1
1
1
a b c ab a bc b ca c ++++++++ （2）1111
1
1
ab a bc b ca c +
+
++++++
的值。
分析：上面两个题，形状上比较相似，实际上，只要求出第（1）小题，那么第（2）也就得到解决。
下面主要讨论第（1）小题，从第（1）小题可以看出，如果通分，乘以最简公分母(1)(1)ab a bc b ++++
(1)ca c ++，计算不但比较繁销，而且还容易出错，
如果“退”到两
个参数的类似问题：
若1ab =，求
1
1
a b a b +
++的值。
这个问题比刚才的问题较容易解决，只须通分或把1a b
=代入即可求得其值是1，另外：
1111
1
1
1
1
1
a b a b b b a b ab a
b b b b ++
=
+
=
+
==+++++++
由此受到启发，回到原题。
（1）111
a b c ab a bc b ca c +
+
++++++
＝
1
a b bc ab a abc
bc b abc bc b
++++++++（在第一个分式中，把1换成
a b c ，在第三个分式中，分子、分母都乘以b
）
＝
11
1
b b
c bc b bc b abc bc b
+
+
++++++（在第一个分式中，分子、分母
约去a ，在第三个分式中，把a b c 换成1）
＝
11
b b
c bc b ++++＝1
（2）111111
ab a bc b ca c +
+
++++++
＝
11
abc b ab a abc
bc b abc bc b
+
+++++++在第一个分式中，把1换成a b c ，
在第三个分式中，分子、分母都乘以b ）
＝
11
1
1
bc b bc b bc b bc b +
+
++++++（在第一个分式中，分子、分母约
去a ，在第三个分式中，把a b c 换成1）
＝
11
bc b bc b ++++＝1
例2 设0a b c ++=，求证：111111(
)(
)(
)30a b c b c c a a b
++++++=
分析：本问题涉及三个参数a ，b ，c ，先“退”到两个参数的类似问题：设0a b +=，求证：1120
a b b a ⋅
+⋅
+=
对于这个问题，只须把a b =-代入即可证，另外：
11111111112(1)(1)()()(
)(
)
a b a b a b a b a b b a b
a
b a a b a b a b ⋅+⋅
+=⋅++⋅
+=⋅
++⋅
+=+++ ＝11()()a b a
b
++也可证。
由此受到启发，回到原来问题。
111111*********()(
)()3(
)(
)(
)
a b c a b c b c c a a b
a b c a b c a b c ++++++=++++++++
＝111()(
)0
a b c a
b c ++++=
“退”除了在代数上应用，在几何上应用也非常广泛，下面举一个例子说明。
例3 在给定锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 落在BC 上，F 、G 分别落在AC 、AB 上。
分析：要使正方形的四个顶点都落在三角形的边上，确实有些困难，我们能解决较弱的问题吗？
把条件放宽，先画出一个有三个顶点落在△ABC 两边上的正方形，这容易了，我们马上可以画出一个正方形D'E'F'G'（如图），这个较弱的问题和原来的问题有什么关系呢？
如果把正方形D'E'F'G'移动并同时放大一个倍数，也许就能得到满足四个顶点都在△ABC 上的正方形了。
为此连BF 并延长与AC 交于F ，过F 作FE ∥FE 且与BC 交于E ，作FG ∥FG 且与AB 交于G ，作GD ∥FE 且与BC 交于D ，不难证明，DEFG 是正方形，是满足我们要求的正方形。
下面我们作简单证明。
事实上，由作法知道DEFG 是一个矩形，又因：
FE BF FG F E B F F G FE FG F E F G ==''''''
∴
=
''
''
由F E F G ''''=得F E
F G
=
∴D E F G 是正方形
从上面三个例子可以看出，“退”在数学中的应用，它能使复杂的问题简单化，从中掌握数学学习中的技能、技巧。
数学思维问题是数学教育的核心问题，提高学生的数学能力，优化学生的思维品质一直是数学教育所追求的目标。
在数学学习中把“退”的方法传授给学
A
B
C
D '
D
G
F
E
E '
F '
G '
生，不但能提高他们的思维能力，而且还能提高他们的学习兴趣。
2000年12月20日。
