2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 4：数列一、选择题1 ．（ 2013 年高考上海卷（理） ） 在数列 { a n } 中, a n 2n1, 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i行第 j 列的元素 aa a j a a j ,( i 1,2, ,7; j 1,2, ,12 ) 则该矩阵元素能取到 i,j i i 的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】 A.2 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ） 已知数列 a n 满足 3a n 1 a n 0, a 2 4 的前10, 则 a n 项和等于 3 (A) 6 1 3 10 (B) 1 1 3 10 (C) 3 1 3 10 (D) 3 1+3 10 9【答案】 C3 ．（ 2013 年高考新课标1（理）） 设 A n B n C n 的三边长分别为 a n , b n , c n , A n B n C n 的面积为 S n , n 1,2,3, , 若 b 1 c 1,b 1 c 1 2a 1 , a n 1 a n , b n 1cn an, c n 1 b n a n , 则 ( )2 2 A.{ Sn} 为递减数列B.{ Sn} 为递增数列C.{ S2n-1 } 为递增数列 ,{ S2n} 为递减数列D.{ S2n-1 } 为递减数列 ,{ S2n} 为递增数列【答案】 B4 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数y=f (x) 的图 像如图所示 , 在区间a,b 上可找到 n(n 2) 个不同的数 x 1,x 2 ...,x n , 使得 f (x 1 ) f (x 2 ) f (x n )则 n 的取值范围是x 1 = = ,x 2 x n(A) 3,4 (B) 2,3,4 (C) 3,4,5 (D) 2,3【答案】 B5 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD版））已知等比数列{ a n }第 1 页共 19 页的公比为q, 记 b n a m( n 1) 1 a m( n 1) 2 ... a m (n 1) m ,cn am(n 1) 1 am( n 1) 2 ... am (n1) m (m, n N * ), 则以下结论一定正确的是 ( ) A. 数列 {b n } 为等差数列 , 公差为 q mB. 数列 { b n } 为等比数列 , 公比为 q 2mC.数列 { c n }为等比数列, 公比为 q m2D. 数列 { c n } 为等比数列 , 公比为 q mm【答案】 C6 （． 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3a 2 10a 1 , a 5 9 , 则 a 1 1 (B) 1 1 1(A) 3 (C) (D)3 9 9 【答案】 C7 （． 2013 年高考新课标 1（理））设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , S m 1 2, S m 0,S m 1 3 , 则 m ( )A.3B.4C.5D.6【答案】 C8 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 （理）试题（ WORD 版））d 0 下面是关于公差的等差数列a n 的四个命题 : p 1 : 数列 a n 是递增数列； p 2 : 数列 na n 是递增数列； p 3 : 数列a n 是递增数列；p 4 : 数列 a n 3nd 是递增数列； n 其中的真命题为(A)p 1, p 2 (B) p 3 , p 4 (C) p 2 , p 3 (D) p 1, p 4 【答案】 D9 ．（ 2013 年高考江西卷（理） ） 等比数列 x,3x+3,6x+6,.. 的第四项等于A.-24B.C.12D.240 【答案】 A 二、填空题10．（ 2013 年高考四川卷（理））在等差数列 { a n } 中 , a2a18 , 且 a4为 a2和 a3的等比中项 ,求数列 { a n} 的首项、公差及前n 项和 .【答案】解 : 设该数列公差为 d , 前 n 项和为s n . 由已知 , 可得第2 页共 19 页2a 1 2d 8, a 1 3d2a 1 d a 1 8d .所以 a 1 d 4,d d 3a 10 ,解得a 14,d 0 , 或 a 1 1,d 3 , 即数列a n 的首相为 4, 公差为 0, 或首相为 1,公差为 3.所以数列的前 n项和 s4n 或s n 3n 2 nn 211（． 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等差数列 an 的前 n 项和为 S , 已知 S0, S 25 , 则 nS 的最小值为 ________. n 10 15 n 【答案】49 12．（ 2013 年高考湖北卷（理） ） 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角 形 数 1,3,6,10,, 第 n 个 三 角 形 数为n n11 n2 1n . 记 第 n 个k 边 形 数为2 2 2 N n,k k3 , 以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式 : 三角形数N n,3 1 n 2 1 n2 2 正方形数N n,4 n 2 五边形数N n,5 3 n 2 1 n 2 2 六边形数N n,6 2n 2 n可以推测 N n,k 的表达式 , 由此计算 N 10,24 ___________.选考题【答案】 100013．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）在正项等比数列{ an } 中 , a5 12 ,a6a7 3, 则满足a1 a2an a1a2an的最大正整数n 的值为_____________.【答案】1214．（ 2013 年高考湖南卷（理））设Sn 为数列an的前n 项和 , Sn( 1)nan12n,nN , 则(1) a3 _____;(2)S1S2 S100___________.【答案】1 ; 1( 110016 3 21)第3 页共19页15．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 （理） 试题（纯 WORD版））当 x R, x1时 ,有如下表达式 : 1x x 2 ... x n... 1 1 .x 1 1 1 1 1 1 两边同时积分得 :21dx 2 xdx 2 x 2dx ... 2 x n dx ... 2 dx. 0 0 0 00 1 x从而得到如下等式 : 11 1 ( 1 )21 ( 1 ) 3 ... 1 ( 1 )n1 ... ln 2.2 2 23 2 n 1 2 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法, 计算 :0 11 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 C n2 2C n( 2 )3 C n ( 2 ) ... n 1C n ( 2)_____ 【答案】 n 1 [( 3 ) n 1 1]1 216．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） 已知a n 是等差数 列, a 1 1, 公差 d0 , S n 为其前 n 项和 , 若 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 , 则S 8 _____【答案】6417．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）若等差数列的前 6 项和为 23, 前 9 项和为57, 则数列的前 n 项和 S n =__________.【答案】 5 n 27 n6 618．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））在等差数列 an 中 , 已知 a 3 a 8 10 , 则 3a5 a 7 _____. 【答案】2019．（ 2013 年高考陕西卷（理） ）观察下列等式 :12 112 2 2 3 122232 61222324210照此规律 ,2- 2232-n-1n2 （- 1) n 1第 n 个等式可为___1（ -1）2n(n 1)____.【答案】2- 2232-n-1n2（ -1)n1n(n 1) 1 （ -1）220．（ 2013 年高考新课标1（理））若数列 { a n } 的前 n项和为 Sn=2a n1, 则数列 {a n } 的通项3 3第 4 页共 19 页公式是 a n =______.【答案】 a n = ( 2)n 1 .21．（ 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图 , 互不 - 相同的点 A1 , A2, X n , 和 B1, B2, B n , 分别在角 O的两条边上 , 所有 A n B n相互平行 , 且所有梯形 A n B n B n 1 A n 1的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a11, a22, 则数列a n的通项公式是_________.【答案】 a n3n 2, n N *22．（ 2013 年高考北京卷（理））若等比数列 { an} 满足a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比q=_______;前n 项和 Sn=___________.【答案】 2, 2n 1 223．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ WORD版））已知等比数列a n是递增数列 , S n是a n 的前 n 项和 , 若 a1，a3是方程 x25x 4 0 的两个根 , 则S6____________. 【答案】63三、解答题24．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数f n (x) 1 x x2x2x n n) , 证明 : 22 2n2(x R, n N3( Ⅰ) 对每个 n N n , 存在唯一的x n[ 2,1] , 满足 f n( x n )0 ;31( Ⅱ ) 对任N n , 由 ( Ⅰ ) 中x n构成的数列x n满足0 x n x n p .意pn【答案】解: ( Ⅰ) n 2 3 4 n当 x 0时，y x 2是单调递增的f n( x) 1 x x 2 x2x2x 2是 x的n 2 3 4n第 5 页共 19 页单调递增函数 , 也是 n 的单调递增函数 .且 f n (0) 1 0, f n (1) 1 1 0 . 存在唯一 x n (0,1], 满足 f n( x n ) 0，且1 x 1 x 2 x 3 x n 0 当 x (0,1).时, f n ( x) 1 xx 2 x 3 x 4x n1 x2 1 x n 1 x x 2122 22 22 22x 14 1 x4 1 x0 f n ( x n ) 1 x n x n 21 (x n 2)(3x n 2) 0 x n24 1 x n [ ,1]3 综上 , 对每个 n N n , 存在唯一的x n [ 2 ,1] , 满足 f n ( x n ) 0 ;( 证毕 )3( Ⅱ) 由题知1x n x n p 0, f n ( x n ) 1 x n x n 2 x n 3 x n 4 x n n 022 32 42 n 223 4 n n 1 n pf n p ( x n p ) 1 x n p x n p x n p x n px n p x n p x n p 0 22 32 4 2 n 2 (n 1)2 (n p)2上 式 相 减: x n 2 x n 3 x n 4 x n n 2 x n p 3 x n p 4 x n p n x n p n 1 npx n x n x n p x n p22 32 42 n 2 p 22 32 42 n 2 ( n 1) 2 ( n p) 22 23 34 4 n n n1 n px n - x n p （ xn p - xnxn p -xn xn p - xn xn p - xn ）（ xn p xn p ） 2 2 3 2 4 2 n 2 (n 1) 2 (n p)21 1 1 xn - xn 1 .n n p n pn法二 :第 6 页共 19 页25 ．（ 2013 年高考上海卷（理）） (3 分 +6 分+9分 ) 给定常数 c0 , 定义函数f ( x) 2 | x c 4 | | x c |, 数列 a1 , a2 ,a3 , 满足 a n 1 f (a n ), n N * .(1) 若 a c 2 , 求 a 及 a ;(2) 求证 : 对任意 nN* , a1a c ,;1 2 3n n(3 ) 是否存在 a1 , 使得 a1 ,a2 ,a n ,成等差数列 ? 若存在 , 求出所有这样的a1 , 若不存在 , 说明理由 .【答案】 :(1) 因为c 0 , a1( c2) , 故 a2 f (a1) 2| a1 c4| |a1 c | 2 ,a3 f (a1) 2| a2 c 4| | a2 c | c 10第 7 页共 19 页(2) 要证明原命题 , 只需证明 f ( x) x c 对任意 x R 都成立 ,f ( x) x c2 | x c 4 | | x c | x c即只需证明2 | x c 4 | | x c | +x c 若 x c 0 , 显然有 2 | x c 4 | | x c | +x c=0 成立 ; 若 x c 0 , 则 2 |xc 4 | |x c | + x c x c 4 x c 显然成立 综上 , f ( x) x c 恒成立 , 即对任意的 nN *, a n 1 a n c (3) 由 (2)知, 若 { a n } 为等差数列 ,则公差 d c 0 , 故 n 无限增大时 , 总有 a n 0 此时 ,a n 1 f (a n ) 2(a nc 4)(a n c) a n c 8即 d c 8故a 2f (a 1 ) 2| a 1c 4| | a 1 c | a 1 c 8,即2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8 ,当 a c 0 时 , 等式成立 , 且 n 2 时 , a 0 , 此时 { a } 为等差数列 , 满足题意 ; 1 n n 若 a 1 c 0 , 则 |a 1 c 4| 4 a 1 c 8 , 此时 , a 20,a 3 c 8, , a n ( n 2)(c 8) 也满足题意 ; 综上 , 满足题意的 a 1 的取值范围是 [c, ) { c 8}.26．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ） 本小题满分10分 . k 个：1， 2， 2 , 3，,3 ,，3 ，4 ， k- 1 k -1设 数 列 （ ） ， ，（ ） , 即 当 a n - -- ， ，4 4- 1k - - - - 1 k（ k ）k （ ） k 11n k k 1k N 时 , a n k , 记 S n a 1 a 2 a n n N , 对2 2 （-1）于 l N , 定义集合 P ln S n 是 a n 的整数倍， n N ，且 1 n l (1) 求集合 P 11 中元素的个数 ; (2) 求集合 P 2000 中元素的个数 .【答案】 本题主要考察集合. 数列的概念与运算 . 计数原理等基础知识 , 考察探究能力及运用 数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.第 8页 共 19页(1) 解 :由 数列a n 的 定义 得 : a 11 , a 22 , a3 2 , a 43 , a 5 3 , a 6 3 , a 74 , a 8 4 , a 94 , a104 , a 11 5∴ S 1 1 , S 2 1 , S 3 3 , S 4 0 , S 3 , S 6 , S 2 , S 8 2 , S 9 6 , 5 6 7 S10 10 , S 11 5∴ S 1 1 a 1 , S 4 0 a 4 , S 5 1 a 5 , S 6 2 a 6 , S 111 a 11 ∴集合 P 11 中元素的个数为5 (2) 证明 : 用数学归纳法先证 (21) S i ( 2i 1) i i事实上 ,① 当 i 1时 ,Si( 2i 1) S 31 (2 1)3 故原式成立 ② 假设当 i m 时 , 等式成立 , 即(2 1)故原式成立 Sm(2 m 1) m m则: i m 1, 时 ,S( m 1)[ 2( m 1) 1} S ( m 1)( 2m 3} S m(2m 1) ( 2m 1) 2 (2m 2)2 m(2m 1) (2m 1) 2 (2m 2) 2(2m 2 5m 3) ( m 1)( 2m 3)综合①②得 :Si (2 i 1) i (2 i 1) 于是S( i 1)[ 2i 1} Si ( 2i 1} (2i 1) 2 i (2i 1) (2i 1)2 (2i 1)(i 1) 由上可知 : S i ( 2i 1} 是 (2i1) 的倍数 而 a1)( 2i 1} j 2i 1( j 1,2, ,2i 1) , 所以S S j i 1) 是 ( i i (2i 1) j i (2 i 1) ( 2a(i 1)( 2i 1} j ( j 1,2,,2i 1) 的倍数又S( i 1)[2i1}(i1)(2 1)不是2i2 的倍数 ,i而( 2 2)( 1,2, ,2 2) a(i1)(2i1} j i j i所以(22) (2 1)( 1) (22)不是S( i1)( 2i1) j S(i1)(2i1) j i i i j i第 9 页共 19 页a(i 1)( 2 i 1} j ( j 1,2, ,2i 2) 的倍数故当 l i(2i1) 时, 集合 P l 中元素的个数为 1 3 （2i -1） i 2 于是当 li( 2i 1) j （1 j 2i 1）时 , 集合 P l 中元素的个数为 i 2 j 又 2000 31 （2 31 1） 47 故集合 P 2000 中元素的个数为312 47 100827．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 在公差为 d 的等 差数列 { a n } 中 , 已知 a 1 10 , 且 a 1 ,2a 2 2,5a 3 成等比数列 .(1) 求 d, a n ; (2) 若 d 0 , 求 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | . 【答案】 解:( Ⅰ) 由已知得到 :(2 a 2 2) 2 5a a 4(a d 1)2 50(a 2d ) (11 d ) 225(5 d )1 3 1 1 121 22d d2 125 25d d 2 3d 4 0d 4d 1 a n 4n 或 6 a n 11 n ; ( Ⅱ) 由 (1) 知 ,当 d0 时 , a n 11 n , ①当 1 n 11 时 ,a n0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | a 1 a 2a 3a n n(10 11 n)n(21 n)2 2②当 12n 时 ,a n 0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | a 1a 2 a 3 a 11 (a 12 a13 a n ) 2( a 1 a 2 a 3a 11 ) (a 1 a 2 a 3 11(21 11) n(21 n) n 2 21n 220 a n ) 2 2 2 2n(21n),(1 n 11) 所以 , 综上所述 :| a | | a | | a2;| a |n |1 2 3n221n 22012)2,( n28．（ 2013 年高考湖北卷（理））已知等比数列a n 满足 :a2a310 , a1a2 a3125 .第 10 页共 19 页(I) 求数列 a n 的通项公式 ;(II) 是否存在正整数 m , 使得 1 1 1 1 ?若存在 , 求 m 的最小值 ; 若不存在 , 说 a 1 a 2a m 明理由 .【答案】 解 :(I) 由已知条件得 :a 2 5 , 又 a 2 q 1 10 , q 1或 3 , 所以数列a n 的通项或 a n 5 3n 2(II) 若 q 1, 1 11 1或 0 , 不存在这样的正整数m ;a 1 a 2 a m 5m 9 , 不存在这样的正整数 m .若 q 3, 1 1 1 9 1 1a 1 a 2 a m 10 31029．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）设等差数列a 的前 n n 项和为 S n , 且S 44S 2 , a 2 n 2a n 1 .( Ⅰ) 求数列 a n 的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n 前 n 项和为 T n , 且 T n a n 1 ( 为常数 ).令 c n b 2n (n N * ) . 求数 2n列 c n 的前 n 项和 R n .【答案】 解:( Ⅰ) 设等差数列an的首项为 a1 , 公差为 d ,由 S 44S 2 , a 2n 2a n 1得4a 1 6d 8a 1 4d a 1 (2n 1) 2a 1 2(n 1)d 1 ,解得 , a11,d 2因此an2n 1 ( n N * ) T nn2n 1( Ⅱ) 由题意知 :b n T nT n nn 1所以 n 1 2n22 时 ,2n 1第 11 页 共 19页2n 2 1 n 1故, c n b2n 22n 1 ( n 1)( 4)( n N *)R n 0 ( 1) 0 1 ( 1)1 2 ( 1) 2 3 ( 1) 3 (n 1) ( 1) n 1所以 4 4 4 4 4 ,1R n 0 ( 1)1 1 (1 ) 2 2 (1 )3(n 2) ( 1) n 1 (n 1) ( 1)n则 4 4 4 44 43R n ( 1 )1 ( 1 )2 ( 1 )3 (1 )n1 (n 1) (1 ) n 两式相减得 44 4 4 4 41 (1 )n 1)(1 )n4 4 (n 1 1 4 4 R n 1 3n 1 ) (4 4 n 1整理得9的前 n 项和Rn1 3n 1所以数列数列c n 9 (4 4n 1 ) 30．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分16 分 . 设 { a } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d 0) , S 是其前 n 项和 . 记 n nb n nS n , n N* , 其中 c 为实数 .n 2 c (1) 若 c 0 , 且 b 1，b 2，b 4 成等比数列 , 证明 : S nk n 2S k ( k,n N * ); (2) 若 { b n } 是等差数列 , 证明 : c 0 . 【答案】 证明 : ∵ { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 ( d0) , S n 是其前 n 项和∴ S n na n(n 1) d2(1) ∵c 0 ∴b nS nan 1dn 2∵ b1， b2，b4成等比数列∴b2 2 b1b4∴ (a 1 d ) 2 a( a3 d )2 2∴1 ad 1 d 2 0 ∴1 d( a1 d ) 0 ∵ d 0 ∴ a 1 d∴ d 2a 2 4 22 2∴ S n na n(n 1) d na n(n 1) 2a n 2a2 2第 12 页共 19 页∴左边 = S nk (nk) 2 a n 2 k 2 a 右边 = n 2S kn 2 k 2a ∴左边 =右边∴原式成立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为 d 1 , ∴ b n b 1 (n 1) d 1 带入b nnS n 得:n 2 cb 1 (n 1)d 1 nS n 1 d ) n 3 (b 1 d 1 a 1 2 cd 1 n c(d 1 b 1 ) 对n 2c ∴ (d 1 d ) n2 2n N 恒成立d 1 1 d 02 ∴ b 1 d 1 a 1 d 0 2 cd 1 0 c(d 1 b 1 ) 0由①式得 :d 1 1 d ∵ d 0 ∴ d 1 02 由③式得 :c 0法二 : 证 :(1)若 c0 , 则 a n a ( n 1)d , S n n[( n 1)d 2a], b n (n 1)d 2a .2 2 当 b 1， b 2，b 4 成等比数列 ,b 22b 1b 4 ,d 2 3d即:a a a , 得 : d 2 2ad , 又 d 0 , 故 d 2a .2 2 由此 : S nn 2 a , S nk ( nk) 2 a n 2k 2 a , n 2 S k n 2 k 2a . 故: S nkn 2S k ( k, n N * ).nS n n 2 (n 1)d 2a (2) b n 2, n 2 c n 2 c n 2 (n 1)d 2a c (n 1) d 2a c (n 1)d 2a2 2 2n2 c(n 1) d2a c(n 1)d 2an 22 . ( ※)2 c若 { b n} 是等差数列 , 则 b n An Bn 型.观察 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,第 13 页共 19 页c(n 1) d2a1)d 2a ( n 1)d 2a故有 :2(n≠0, n 2 0 , 即 c 0 , 而2c2 故 c 0. 经检验 ,当 c0 时 {b n } 是等差数列 . 31．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ） 等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3 =a 2 2 , 且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列 , 求 a n 的通项式 .【答案】32．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为 3的等比 2 数列{ a n } 不是递减数列 , 其前 3 3 5 5 4 4 成等差数 n 项和为 S n ( n N *) , 且 S + a , S + a , S + a列.( Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式 ; ( Ⅱ ) 设 T n S n1 ( n N* ) , 求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 . S n 【答案】第 14 页共 19 页33 ．（2013 年高考江西卷（理））正项数列 {a n} 的前项和{a n} 满足: sn2 (n2n 1)s n( n2n) 0(1) 求数列 {a n} 的通项公式 an;(2) 令b nn 12, 数列{b} 的前 n 项和为 T n . 证明 : 对于任意的 n* 5 2nN , 都有T n (n 2)a 64【答案】 (1) 解 :由 S n2(n2n 1)S n(n2n) 0 , 得 S n(n2n) (S n1) 0 .由于an 是正项数列 ,所以S 0, S n2n.n n于是 a1S12,n 2时 , anS n S n1 n2n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列a n 的通项a n2n .(2) 证明 : 由于an 2n, b nn 1.(n2) 2 a n2则 b nn 1 1 1 1.4n2 (n2)216 n2( n 2)2第 15 页共 19 页T n111 1 1 1 1⋯11 1 13222423252(n 1)2(n 1)2n2( n 2)2 16111 1 1 1 1 51622(n2(n 2)2 (1 2 )64.1) 16 234．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD版））设数列a n的前n项和为 S n . 已知a12S na n1 2n2n* 1, 1 n , N .n 3 3( Ⅰ) 求 a2的值 ;( Ⅱ) 求数列a n的通项公式 ;( Ⅲ) 证明 : 对一切正整数n , 有1 1 17 .a1a2a n 4【答案】.(1)解:2S na n1 1 n2n2 , n N .n 3 3当n 1 时 , 2a12S1a21 1 2 a2 23 3又a11, a2 4(2)解 : 2S n a n 1 1 n2 n 2 , n N .n3 32S n na n 1 1 n3n22 n na n 1n n 1 n 2①33 3当 n 2时 , 2S n 1n 1 a nn 1 n n 1②3由①—②, 得2S n2S n 1na n 1n 1 a n n n 1 2a n2S n2S n 12a n na n 1n 1 a n n n 1a n1 a n1 数列a n是以首项为a11 , 公差为 1 的等差数列 .n 1 n n1 a n 1 1 n 1 n, a n n2 n 2n 当 n 1时 , 上式显然成立 . a n n2 , n N *(3) 证明 : 由(2) 知 , a n n2 , n N *第 16 页共 19 页①当 n 1时 , 1 1 7 , 原不等式成立 .a 1 4 ②当 n 2 时 , 111 1 7原不等式亦成立 .a 1 a 2 , 4 4 ③当 n 3 时,n 2n 1 n 1 , 1 n 1 1 1n 2 n1 1 1 1 1 11 1111a 1 a 2a n 12 22n 2 1 3 2 4 n 2 n n 1 n 11 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 111 1 32 2 4 23 5 2 n 2 n 2 n 1 n 12 1 1 1 1 1 1 111111 1 32 43 5n 2 n n 1 n 12 1 1 1 1 17 1117 11 2 n n 14 2 n n 14 2 当 n 3 时 ,, 原不等式亦成立 .综上 , 对一切正整数n , 有 11 1 7 . a 1 a2 a n 4 35．（ 2013 年高考北京卷（理） ）已知 { a } 是由非负整数组成的无穷数列 , 该数列前 n 项的最大n值记为 An, 第 n 项之后各项 a n 1, a n 2 , 的最小值记为 Bn,dn=An- Bn . (I) 若 { an} 为 2,1,4,3,2,1,4,3,, 4 的数列 ( 即对任意* a n ), 写出是一个周期为 n ∈N , a n 4d1, d2 , d3, d4 的值 ;(II) 设 d 为非负整数 , 证明 : dn=- d( n=1,2,3) 的充分必要条件为 { an} 为公差为 d的等差数列 ;(III) 证明 : 若 a =2, d =1( n=1,2,3,), 则 { a } 的项只能是 1 或者 2, 且有无穷多项为 1.1n n【答案】 (I) d1d21,d3 d4 3.(II)( 充分性 )因为a n 是公差为d 的等差数列 ,且 d 0, 所以 a1a2a n.因此 A n a n , B n a n1 ,d n a n a n1 d (n 1,2,3, ) .( 必要性 ) 因为d n d0 (n 1,2,3, ) , 所以 A n B n d n B n .第 17 页共 19 页又因为a n A n, a n 1B n ,所以 a n a n 1 .于是A n a n ,B n a n 1 .因此 a n 1a n B n A n d n d , 即 an是公差为 d 的等差数列 .(III) 因为a12,d11, 所以A1 a1 2,B1A1 d1 1. 故对任意n 1,a n B1 1.假设 a ( n 2) 中存在大于 2的项 .n设 m 为满足 a n 2 的最小正整数 ,则 m 2, 并且对任意 1 k m, a k 2 ,.又因为a1 2 ,所以 A m 12 , 且A m a m 2 .于是B m A m d m 2 1 1 , Bm1 min a m , B m2 .故 dm 1A m 1B m1 2 2 0 , 与 dm 11 矛盾 .所以对于任意n 1, 有 a 2 , 即非负整数列an的各项只能为 1 或 2.n因此对任意n 1, a 2 a , 所以A 2 .故B n A n d n 2 1 1.n 1 n因此对于任意正整数n , 存在 m 满足mn , 且 a m1, 即数列a n有无穷多项为 1.36．（ 2013 年高考陕西卷（理））设 { a n } 是公比为 q 的等比数列 .( Ⅰ) 导 { a n } 的前 n 项和公式 ; ( Ⅱ ) 设q≠ 1,证明数列{ a n1} 不是等比数列 . 【答案】解:( Ⅰ) 分两种情况讨论 .①当q 1时，数列 { a n } 是首项为 a1的常数数列，所以 S n a1a1a1na1 .②当q 1时，S n a1a2a n 1 a n qS n qa1qa2qa n 1qa n .上面两式错位相减: （1- q)S n a1(a2qa1 ) (a3 qa2 ) (a n qa n 1 ) qa n a1qa n .nSna1 qan . a1 (1 q ) .1 - q 1- qna1 , (q 1)③综上,S na1 (1q n )(q 1) 1,q( Ⅱ ) 使用反证法 .第 18 页共 19 页设 { a n } 是公比 q≠1的等比数列 ,假设数列 { a n1} 是等比数列 . 则①当n N *，使得a n1 =0 成立 , 则{ a n1}不是等比数列 .②当n N *，使得a n1 0 成立 , 则an 1 1 a1q n 1恒为常数a n 1 a1 q n 1 1a1q n1 a1 qn11当 a1 0时, q1. 这与题目条件≠1矛盾 .q③综上两种情况 , 假设数列 { a n 1} 是等比数列均不成立 , 所以当q≠1时 ,数列{ an1} 不是等比数列 .第 19 页共 19 页。
