2019届高三浙江五校联考数学卷

绝密★启用前浙江省五校2019-2020学年高三上学期联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合 ， ，则 （ ） A ．B ．C ．D ．2．已知向量1a =，2b =，且a 与b 的夹角为60︒，则（ ） A.()a ab ⊥+B.()b a b ⊥+C.()a ab ⊥-D.()b a b ⊥-3．函数()332xx xf x =+的值域为（ ）A.[)1,+∞B.()1,+∞C.(]0,1D.()0,14．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则（ ） A.0d <时，n S 一定存在最大值 B.0d >时，n S 一定存在最大值 C.n S 存在最大值时，0d <D.n S 存在最大值时，0d >5．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A.,3⎛-∞ ⎝⎭B.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.⎫∞⎪⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．定义{}max ,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则关于实数,x y 的不等式组{}22max ,0x y xy x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ） A.4B.6C.8D.128．函数()()sin22cos0f x x x x π=+≤≤，则()f x （ ） A.在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 B.在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C.在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D.在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 9．在三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan 4A =，则tanB =（ ） B.C.3D.210．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A.23B.56C.1D.2第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．已知集合{}2210A x x x =--<， {}B x a x b =<<，若{}21A B x x ⋃=-<<，则a =______；若(){}13R A B x x ⋂=≤<ð，则b =______. 12．已知0,6a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______. 13．不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是______；不等式()212log 31log 4x -<的解集是______.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()112nnn n S a n N *⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则3a =______，7S =______.15．定义{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知(){}max 11,2f x x x =++，()g x ax b =+.若()()f x g x ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，则2a b +的最小值是______. 16．已知向量,,a b c ，其中2a b -=，a c -=1，b 与c 夹角为60︒，且()()1a b a c -⋅-=-.则a r的最大值为______.17．已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______.三、解答题18．已知()sin 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c . （1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域； （2）若()13f A =，a =2b =，求sin B 的值. 19．已知多面体P ABCD -中，AB CD ∥，90BAD PAB ∠=∠=︒，○…………装……○…………线……※※请※※不※※要※※在○…………装……○…………线……12AB PA DA PD DC====，M为PB中点.（1）求证：PA CM⊥；（2）求直线BC与平面CDM所成角的正弦.20．设数列{}n a是等比数列，数列{}n b是等差数列，若223a b==，359a b==.（1）若nnnn bca⋅=，数列{}nc中的最大项是第k项，求k的值（2）设n n nd a b=⋅，求数列{}n d的前n项和n T21．过椭圆2212xy+=的左焦点F作斜率为()11k k≠的直线交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM交椭圆于C，D两点.（1）设直线OM的斜率为2k，求12k k的值；（2）若F，B分别在直线CD的两侧，2MB MC MD=⋅，求FCD的面积.22．设函数()1xf x e x=+≥-（1）当1a=-时，若x是函数()f x的极值点，求证：12x-<<；（2）（i）求证：当0x≥时，()2112f x x x≥+++（ii）若不等式()25242f xax xa++≤对任意0x≥恒成立，求实数a的取值范围.注：e=2.71828...为自然对数的底数.参考答案1．B 【解析】 【分析】分别计算出集合 后可得两个集合的交集. 【详解】， ，故 ，故选B . 【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】逐项采用向量数量积的公式进行验证即可 【详解】解析：对A ：()20a a b a a b +=+⋅≠，故不垂直，A 错； 对B ：()20b a b b a b +=+⋅≠，故不垂直，B 错； 对C ：()2110a a b a a b -=-⋅=-=，故垂直，C 对； 对D ：()2140b a b a b b -=⋅-=-≠，故不垂直，D 错； 故选C 【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量垂直的判断，是基础题型 3．D 【解析】 【分析】需要先对函数式进行化简，化简成()3132213xxx xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭形式，再进行值域求解 【详解】()3132213xx x xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵2210110133213x xx⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选D 【点睛】本题考查复合函数的值域求解，一般复合函数值域求解需要先求内层函数的值域，形如()()f g x ，先求()g x 的值域D 再求()f D 的取值范围4．A 【解析】 【分析】根据等差数列的特点来判断n S 与d 的关系即可 【详解】对A ：因为0d <，所以数列单调递减，故n S 一定存在最大值，A 正确； 对B ：因为0d >，所以数列单调递增，故n S 不存在最大值，B 错； 对C ：因为当0d =，10a <时，n S 存在最大值1S ，C 错； 对D ：由C 的解析知，D 错； 故选A 【点睛】本题考查等差数列n S 与d 的关系，我们可以通过21=22n n S d d n a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭来加强理解，当公差0d =，数列为常数列，1n S na =，当10a >时，n S 有最小值，10a <时，n S 有最大值；当公差0d ≠时，0d >，n S 有最小值，0d <，n S 有最大值 5．A 【解析】 【分析】 将不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可 【详解】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x>=，当且仅当x =所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(-∞ 答案选A 【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法 6．A 【解析】 【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可 【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b ab a a b>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件 【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论 7．D 【解析】 【分析】通过对新定义的解读，需要先求解{}max ,0x y x y +-≥，即0,00,0x y y x y y +≥≥⎧⎨-≥<⎩，再通过分类讨论形式表示不等式组，画出对应的线性规划区域，再求解对应面积即可 【详解】解析：{}0,0max ,00,0x y y x y x y x y y +≥≥⎧+-≥⇒⎨-≥<⎩，即{}22220220max ,000x x x y y y x y x y x y x y ⎧⎧⎧≤≤≤⎪⎪⎪≤⇔≤≤-≤<⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-≥+≥-≥⎩⎩⎩或 由图像可得：平面区域面积：11642122S =-⨯⨯=，故选D 【点睛】本题考查根据新定义表示线性规划区域，对可行域面积的求解，难点在于通过分类讨论合理表示出符合条件的区域 8．C 【解析】 【分析】由于常规方法无法进行化简，故需要对()f x 进行求导，根据导数来研究函数的增减性 【详解】()()()()22cos 22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故151sin 0,,266x x πππ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，即在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减答案选C 【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质 9．D 【解析】 【分析】 先将sin cos 0sin AC B+=化简，得到sin cos sin A C B =-，此时需要用到()sin sin A B C =+进行代换，化简得到关于B 与C 的正切公式，由于题中求的是角B ，故需将tan C 代换成()tan A B -+，进而化简求值【详解】 解析：()sin cos 0sin cos sin sin 2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，()tan tan 2tan tan tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=- 故选D . 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功 10．B 【解析】 【分析】将不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭看作两个因式，x a b --和sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，先讨论sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，确定x 对应区间，再对x a b --的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解【详解】 解析： 法一：由题意可知：当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b --≥，即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B ； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭右图像可得：显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B 【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究 11．2a =-3b = 【解析】 【分析】先化简集合A ，根据题设条件，画出数轴图，根据交并补关系进行求解即可 【详解】{}21210,12A x x x ⎛⎫=--<=- ⎪⎝⎭，因为{}B x a x b =<<，{}21A B x x ⋃=-<<所以2a =-，如图所示[)1,1,2R C A ⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，(){}13R A B x x ⋂=≤<ð所以3b =.如图：【点睛】本题考查根据集合的交并补的结果求解参数，最好的方式是结合数轴图加以理解，更具体，更直观 12．1245【解析】 【分析】将右式的“1”化成“22sin cos αα+”，再化简求值 【详解】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=； 22tan 14sin 211tan 514a a a ===++所以1tan 2a =，4sin 25a =【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“1”的代换很关键，22tan sin 21tan aa a=+为万能公式的使用，应当熟记13．{}0x x < 15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】将1212x-⎛⎫ ⎪⎝⎭化简成212x -，再利用指数函数性质解不等式；同理对于12log 4化简成21log 4，但要注意310x ->，再进行求解即可 【详解】123121122312102xx x x x x ---⎛⎫<=⇒-<-⇒< ⎪⎝⎭，所以不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是{}0x x <()2122310115log 31log 4log 214312314x x x x ->⎧⎪-<==-⇒⇒<<⎨-<⎪⎩不等式()212log 31log 4x -<的解集是15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质 14．116-1256- 【解析】 【分析】再写一个下标减一的递推式，两式作差，表示出n a 的关系式，再根据n 为奇数和偶数求解具体数值即可 【详解】当1n =时，1111124S a a =--⇒=-；当2n ≥时，()()()()()()1111111112111111122112nn n nn n n n n n n n n n n n n n n S a a a a a a S a -------⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤⇒=---+⇒--=-+⎨ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩当n 为偶数时，112nn a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即n 为奇数时112n n a +=-，所以3411216a =-=-； 7812a =-，()7787811111222256S ⎛⎫=---=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据递推数列求解具体通项和n S 的方法，涉及题设包含()1n-这种形式时，一定要分类讨论奇偶性 15．5 【解析】 【分析】画出()()=11,2m x x h x x ++=的图像，根据题意，表示出()f x 的表达式，再根据()f x 与()g x 的位置关系，进行求解 【详解】如图：()(]()11,222,x x f x x x ⎧++∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，，若()()f x g x ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，此时()[]()2,1,22,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨∈+∞⎪⎩， 则2a ≥，2ax b x +≥+在[]1,2上恒成立，所以3a b +≥()2235a b a a b +=++≥+=当且仅当2a =，1b =时等号成立.即图中的红色直线为临界状态.则2a b +的最小值是5 【点睛】本题考查根据新定义写出表达式，根据函数图像求不等式的最值，准确画出函数图像并从临界点切入是解题关键16【解析】 【分析】可设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=r r uu r，a c CA -=，则2BA =，1CA =，进而可求出BA 与CA 夹角，根据几何关系能得出四点共圆，再根据正弦定理求得圆的半径即可 【详解】设OA a =，OB b =，OC c =，则2BA =，1CA =，1BA CA ⋅=- 所以1cos ,2BA CABA CA BA CA⋅<>==-,即BA 与CA 的夹角为120︒，而OB 与OC 的夹角为60︒,所以四点,,,O B A C 共圆， 于是a OA =为圆的直径时最大，BC ==，2sin1203BC r ===︒则a r【点睛】本题考查向量模长的求法，通过构造向量的形式表示a b BA -=r r uu r，a c CA -=是解题关键，借助几何图形能帮助我们快速解题 17．2 【解析】 【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点(),a b 到直线20a b -=”问题若相切，则()22224b b z -+=有唯一解222440b zb z +++=，()2221684042z z z z =-+=⇒=⇒=两平行线20a b -=与20a b z --=的距离d ==所以22a b -== 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by ++≥+()()()222222222222222222ab x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy ++≥+⇔+++≥++()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by --≤-()()()222222222222222222ab x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy --≤-⇔--+≤+-()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥所以()()()22242212b aa b =--≤-，所以22a b -≥.方法三：判别式法设22a b t a b t -=⇒=+，将其代入2224b a -=，下面仿照方法一即可. 方法四：整体换元0a ->0a +>设x a y a ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，则()40,0xy x y =>>，且22222y x a y x a b b -⎧=⎪-⎪⇒-==≥=⎨⎪=⎪⎩方法五：三角换元由对称性，不妨设2tan b a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为锐角）所以sin cos 22tan 222cos cos a b θθθθθθ-=-==≥=所以2a b -的最小值为2 【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面 18．（1）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）6【解析】 【分析】（1）将表达式先展开再合并，化简求值即可（2）将()13f A =化简求得1sin 33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，通过数值进一步锁定32A ππ<<，求出cos 33A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，采用拼凑法求出sin sin 33A A ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用正弦定理求解sin B【详解】解析：()1sin sin cos sin 3223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）∵51,,sin 2236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒-∈-⇒-∈-1, ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）()11sin 333f A A π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，因为1132<，所以036A ππ<-<，或者563A πππ<-<，即32A ππ<<或者7463A ππ<<（舍去），故cos 33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；1sin sin 336A A ππ⎛⎫+⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理得：sin sin a b A b =⇒sin B =【点睛】本题考查复合三角函数值域的求法，三角恒等变换中关于具体角的求解问题，正弦定理在解三角形中的应用，对于角的拼凑问题是解题过程中经常会遇到的问题，如本题中33A A ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，常见的还有442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，233x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()A A B B =+-等19．（1）证明见解析（2）4【解析】 【分析】（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明PA ⊥ CD 直线所在平面 （2）过点B 作BO CMD ⊥面，连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，再采用等体积法求出BO ，即可求得 也可采用建系法直接求解 【详解】 法一：（1）由90BAD PAB ∠=∠=︒得：BA PAD ⊥面；如图：取PA 中点E ， 连接ME ，DE 得：ME PA ⊥，DE PA ⊥，PA DEMC ⊥面；故：PA CM ⊥；（2）过点B 作BO CMD ⊥面；连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，即有B CDM M CBD V V --=， 不妨设122AB PA DA PD DC ==-==，即有：1111442132322h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=，所以sin 4h BCO BC ∠==法二：由90BAD PAB ∠=∠=︒得：BA PAD ⊥面；122AB PA DA PD DC =====如图建系得：()200P ，，，()0A，()2B ，()004C ，，,()0,0,0D，312M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭（1）()PA =-,3,22CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭则0PA CM PA CM ⋅=⇒⊥（2）设面CDM 的法向量为(),,n x y z =r，()0,0,4DC =，3,122DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =-即有：()4001,3,0030zDC n n DM n x =⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩，故1sin cos 4BC n α-+=<⋅>== 【点睛】本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题 20．（1）2k =（2）()131nn T n =-⨯+【解析】 【分析】（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出223a b ==，359a b ==的关系式，求解出{}n a 与{}n b 的通项公式，表示出{}n c 的通项公式，利用1n n c c +-进行判断 （2）采用错位相减法进行求解即可 【详解】 解析：（1）设公差为d ，公比为q则11112111314923a a qb d b a q b d d q =⎧⎪=+==⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎩⎪⎪=⎩，所以13-=n n a ，21n b n =-；2123n n n n n b n n c a -⋅-==，212313n nn n c +++= 222112312461333n n n n nn n n n n n c c +-++--++-=-= 当1n =时，246120n n -++=>，于是21c c >； 当2n ≥时，24610n n -++<，于是1n n c c +<； 综上所述：123n c c c c <>>⋅⋅⋅>， 于是()2max 2n c c ==，2k =（2）错位相减求和法()1213n n d n -=-⋅，()()01112133321331333213n n n n T n T n -⎧=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎩，()()()()1213321233321312213223231n n nn n n T n n n ---=+⨯+⋅⋅⋅+--⨯=+--⨯=-+⨯--()131n n T n =-⨯+【点睛】本题考查等差等比数列基本量的求解，数列前n 项和最大值和对应项的辨析，错位相减法求前n 项和，错位相减法关键在于第二个式子一般乘以公比，跟第一个式子对应时，依次向后错一位，两式相减时，第二个式子多出的末项符号正负要书写正确 21．（1）12-（2）2【解析】 【分析】（1）设直线方程为1y k x b =+，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M 的坐标为1221122(,)1212bk b k k -++，代入可得2112k k =-，进行求解 （法二）（利用点差法）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，中点0(M x ，0)y ，由2211112x y +=与2222112x y +=，作差得21212121()()12()()y y y y x x x x -+-=-+再进行求解（2）设直线方程为()11y k x =-，联立椭圆方程得出211221412k x x k +=+，点M 的横坐标为21021212k x k =+，用焦点弦公式表示出())221112221114221212k k AB a e x x k k +=++==++，同理联立方程()22222222122x y k x y k x⎧+=⇒+=⎨=⎩，用弦长公式表示出MC ，MD ，结合题干2MB MC MD =⋅求出2k ，再用点到直线距离公式求得F 到CD 距离，进而求得面积【详解】（1）解法一：设直线方程为1y k x b =+，代入椭圆方程并整理得：22211(12)4220k x k bx b +++-=，1122412k bx x k +=-+，又中点M 在直线上，所以1212122y y x x k b +⎛⎫⎝+⎪⎭=+，从而可得弦中点M 的坐标为1221122(,)1212bk b k k -++，2112k k =-，所以1212k k =-解法二：设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，中点0(M x ，0)y 则1202x x x +=，1202y y y +=0122012y y y k x x x +==+，21121y y k x x -=- 又2211112x y +=与2222112x y +=，作差得21212121()()12()()y y y y x x x x -+-=-+所以1212k k =-（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y()()22222221111221242201x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨=-⎪⎩ 211221412k x x k +=+，点M 的横坐标为21021212k x k =+())221112221114221212k k AB a e x x k k +=++==++于是)212111212k MB MB k +==+ 联立方程()22222222122x y k x y k x⎧+=⇒+=⎨=⎩所以3x =4x =2121212k MC k =+，MD =+所以()2221222212211212k MC MD k k k ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭从而有)()222212122221211221121212k k k k k k ⎤+⎛⎫⎢⎥=+- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合1212k k =-， 从而得2112k =，不妨设12k =，此时22k =-:0CD x =此时CD ==d =12FCD S ∆==【点睛】本题考查直线与曲线相交问题的具体应用，要求考生具有较强的运算能力和逻辑推理能力，用点差法解决弦的中点问题可大大减小运算 22．（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析 （i i ）(]0,1 【解析】 【分析】（1）先求导，得()f x '=()21g x e =，求得()0g x '>，可判断()g x 单调递增恒成立，再根据零点存在定理计算两端点值，即可求证 （2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，通过求导证明()'0h x >，求得()0=0h ，即可求证（ii ）先通过必要性进行探路，当0x =时，一定成立，推出(]0,1a ∈ ，当01a <≤时，()()25=224f x a g x x x a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭令，化简得()()2512042x g x e x x x ⎛⎫≥+++≥ ⎪⎝⎭，进一步求导得()54xg x e x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭，结合（i ）中2112x e x x ≥++放缩可得()2511424x g x e x x ⎛⎫'=+-+≥+- ⎪⎝⎭，再对1x ≥和01x <<分类讨论，进而求证 【详解】解析：（1）()xf x e '==，令()()2120xg x eg x e e '=⇒=>即()g x 恒增，又1102g ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，()010g =>，所以()f x '在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一根，即为()f x 的极值点0x ，且0102x -<<； （2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++，只需证2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=->，即()h x '在[)0,+∞，即()()min 00h x h ''==，所以()0h x '≥恒成立，即()h x 在[)0,+∞单调递增，又有()()min 00h x h ==，所以()0h x ≥恒成立，即()2112f x x x ≥+++.（i i ）必要性探路：当0x =，有1201aa a+≤⇒<≤， 当01a <≤时，2225551222424242x x x e a e a x x x x e x x a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()2512042xg x e x x x ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭()225151142424x g x e x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+≥1+++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当1x ≥时，()22111111242424g x x x '≥+->-≥->，所以函数()()00g x g ≥=（2）当01x <<时，()2111102444g x x '≥->->> 所以函数()()00g x g ≥=综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1. 【点睛】本题考查导数零点区间的证明，零点存在定理的应用，利用导数证明不等式恒成立，利用利用放缩法证明不等式，利用导数研究恒成立问题求解参数，难度系数比较大，对考生综合素质要求较高。

第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………浙江省2019届高三下学期数学五校联考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)1. 已知集合U={-1，1，3，5，7，9}，A={1，5}，B={-1，5，7}，则U （AUB)=（ ）A . {3，9}B . {1，5，7}C . {-1，1，3，9）D . {-1，1，3，7，9}2. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何图的表面积为（ ）A . 4+2B . 4+C . 4+2D . 4+3. 已知数列{a n }，满足a n+1=3a n ， 且a 2a 4a 6=9，则log 3a 5+log 3a 7+log 3a 9=（ ） A . 5 B . 6 C . 8 D . 114. 已知x+y>0，则“x>0”是“2|x|+x 2>2|y|+y 2的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 函数y=的大致图象为( )A .B .C .D .6. 已知实数x ，y 满足 ，如果目标函数z=x -y 的最小值为-1，则实数m 等于（ ）A . 7B . 5C . 4D . 37. 已知M=tan-sina+cosa ，N=tan（tan+2)，则M 和N 的关系是（ ）A . M ＞NB . M<NC . M=ND . M 和N 无关8. 已知函数f(x ）= ，函数g （x ）=|2f(x ）-m|-1，且m∈Z ，若函数g （x ）存在5个零点，则m 的值为( ）A . 5B . 3C . 2D . 19. 设 ， ， 为平面向量，||=||=2，若（2-)·（-)=0，则·的最大值为（ ） A . 2 B . C . D . 510. 如图，在三棱锥 S -ABC 中，SC=AC ，∈SCB=θ，∈ACB=π-θ，二面角S -BC -A 的平面角为a ，则（ ）。

浙江省2019届高三第二次考试五校联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ） A ．不存在0x ∈R, 02x >0B ．存在0x ∈R, 02x ≥0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0D ．对任意的x ∈R, 2x >0【答案】D考点：含有量词命题的否定. 2.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 （ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ②和④ 【答案】D 【解析】试题分析：对于①没有说明两条相交直线，不对；对于②根据平面与平面垂直的判定定理正确；对于③垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交、异面，不对；对于④根据平面与平面平行的性质定理正确，故答案为D. 考点：空间中直线、平面的位置关系.3.为得到函数()cos f x x x =，只需将函数y x x = （ ）A ． 向左平移512πB ．向右平移512πC ．向左平移712πD ．向右平移712π 【答案】C考点：1、三角函数的化简；2、函数图象的平移.4.已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列结论中正确的个数有 （ ）① 20OB OC OA -⋅≥； ② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得OB x OA x OC --=2，C B A ,, 为直线l 上不同的三点，点l O ∉，因此0122=++x x ，解得1-=x ，()+=∴21，=⋅-∴2()⋅-+241()0412≥-=又由于1-=x ，()OC OA OB +=21，因此x 的值只有一个，点B 是线段AC 的中点，故答案为C.考点：平面向量及应用.5.已知映射():(,)0,0f P m n P m n '→≥≥．设点()3,1A ，()2,2B ，点M 是线段AB 上一动点，:f M M '→．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M '所经过的路线长度为 （ ） A ．12π B ．6π C ． 4π D ． 3π【答案】B 【解析】试题分析：设点()y x M ,'从A '开始运动，直到点B '结束，AB 的方程()214≤≤=+x y x ，由于()y x M ,'，则()22,y x M ，由点M 在线段AB 可得422-+y x ，按照映射得，()()3,13,1A A '→，()()1,31,3B B '→，3tan ='∠∴OX A ，3π='∠∴OX A ，122tan =='∠OX B ，4π='∠∴OX B ，故OX B OX A B O A '∠-'∠=''∠12π=，点M 对应的点M '所经过的路线长度为弧长6212ππ=⨯=⨯''∠r B O A .考点：映射的概念和函数的性质.6.如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22ax —22b y =1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为 （ ）A ．5B ．5C ．17D ．7142 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程x a b y =，代入椭圆11122=+y x ，可得221111ba a x +±=，渐近线与椭圆相交的弦长2222111121ba aa b +⋅+，1C 与渐近线的两交点将线段AB 三等分，∴2222111121b a aa b +⋅+11231⋅⋅=，整理得a b 2=，a b a c 522=+=∴，离心率5=e ，故答案为A.考点：1、双曲线的简单几何性质；2、椭圆的应用.7.半径为R 的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的可能最大值为（ ）． AR B．R CR DR 【答案】C 【解析】试题分析：四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为r 2，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，该正四面体的高为r r r 362332422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，该正四面体的外接球半径为x ，则222332362⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r x x ， 解得r x 26=，r r R +=∴26，R r 636+=∴，故答案为C. 考点：内切球的半径.8.某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是 （ ） A ．(3),(8) B ．()4,(11) C ．()1,(3) D ．(1),(4) 【答案】A 【解析】试题分析：对于数据（4）（11）5lg 8.2lg +c a c b a ++-+-=221b a 21+-14lg =，数据正确，对于数据（1）（3），232100lg 021.0lg +-++=+c b a 12-++=c b a 1.2lg =，10114lg 4.1lg g -=b a 2+-= ==4.11.2lg5.1lg 134.1lg 1.2lg -+-=-c b a 与（3）对应不起来，（1）（3）其中有错误，对于（1）(4)=-1.2lg 8.2lg ()()12221-++--+-c b a c b a c b a 242-+-=，结合图中的数据 1.2lg 8.2lg -3lg 2lg 234lg-==()3lg 5lg 12--=c b a 242-+-=正好对应出来，（1）（4）正确，故错误的为（3），结合选项，答案为A. 考点：对数的运算.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上） 9.设全集U R =，集合2{|340}A x x x =--<，2{|log (1)2}B x x =-<， 则A B = ，A B = ，R C A = ． 【答案】()4,1，()5,1-，(][)+∞-∞-,41, 【解析】试题分析：{}{}41|043|2<<-=<--=x x x x x A ，由()21log 2<-x 得⎩⎨⎧<->-4101x x ，得51<<x ， {}51|<<=x x B ，()4,1=∴B A ，()5,1-=B A ，{}41|≥-≤=x x x A C R 或(][)+∞-∞-=,41, .考点：集合的基本运算.10.若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为___，外接球的表面积为 ．【答案】32；π3. 【解析】试题分析：该几何体的正方体内接正四面体，如图中红色，此四面体的所有棱长为2，因此底面积为()232432==S ，顶点在底面上射影是底面的中心，高()3322632222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=h ， 多面体的体积31332233131=⋅⋅==Sh V ； 多面体的外接球的直径是正方体的对角线3，表面积ππ32342=⎪⎪⎭⎫⎝⎛.考点：由三视图求表面积和体积.11.若{}max ,a b 表示,a b 两数中的最大值，若{}2()max ,x x f x e e -=，则()f x 的最小值为 ，若{}()max ,x x t f x e e -=关于2015x =对称，则t = ．【答案】e ；4030. 【解析】试题分析：画出函数x e y =，2-=x e y 的图象，取两者较大的部分，由2-=x x ee ，交点横坐标20<<x 得xxee -=2，1=x ，当1=x 时，()e xf =min ；对于函数xe y =，tx ey -=交点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,2te t ，图象关于2t x =对称，故20152=t，得4030=t.考点：函数图象的应用.12.{}N m m x x x A n n n ∈=<<=+,3,22|1，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A = ，则12310...A A A A ++++= ． 【答案】11；682.【解析】试题分析：当5=n 时，65232<<m ，364332<<∴m ，即2111≤≤m ，115=∴A ， 由于n2不能整除3，从12到102，326823211=，3的倍数，共有682个， 6821021=+++∴A A A 考点：集合中元素的个数.13.直角ABC ∆的三个顶点都在给定的抛物线22y x =上，且斜边AB 和y 轴平行， 则RT ABC ∆斜边上的高的长度为 ． 【答案】2. 【解析】试题分析：由题意知，斜边垂直于x 轴，设点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c C ,22，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b b B ,22，则点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-b b A ,22， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∴b c b c ,222，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=c b c b ,222，由于CB AC ⊥， 0=⋅∴CB AC ，整理得422=-c b ，斜边上的高为点C 到AB 的距离2222=-c b.考点：抛物线的简单几何性质.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【答案】()π222+.【解析】试题分析：圆的半径1=r ，正方形ABCD 的边长1=a ，正方形的边为弦时所对的圆心角3π， 正方形在圆上滚动了三圈，点的顺序依次为如图，第一次滚动，点A 的路程661ππ=⨯=AB A ，第二次滚动时，点A 的路程ππ6262=⨯=AC A ，第三次滚动时，点A 的路程ππ6163=⨯=DA A ， 第四次滚动时，点A 的路程04=A ，点A 所走过的路径长度为()()22234321π+=+++A A A A .考点：弧长的计算.15.已知动点(,)P x y 满足220(1x y x x y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪+≥⎪⎩，则222x y y ++的最小值为【答案】21-【解析】试题分析：由()()11122≥++++y y x x ，得y y x x -+≥++1122，1122+-+≥+∴x y y x()()1122+++-+≥+∴x y x y x y y x ，化简得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+++++11112222y x y y x x y x 0≥，0≥+∴y x ，不等组等价⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≤+0022y x x y x ，不等组表示的平面区域如图所示，()1122222-++=++y x y y x ，其中()221++y x 表示()y x ,到()1,0-的距离的平方，由图可知，点A 到直线x y -=的距离的平方就是()221++y x 的最小值，由点到直线的距离公式得()221++y x 的最小值21212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，因此()1122222-++=++y x y y x 的最小值21121-=-.考点：线性规划的应用.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分15分）已知ABC ∆的面积为S ，且S 2=⋅． （1）求cos A ；（2）求a =求ABC ∆周长的最大值． 【答案】（1）33；（2）18366++.【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围；(2)在三角形中，注意隐含条件π=++C B A ；（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（4）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中Z k k ∈+≠,2ππα；利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定.试题解析：（1）∵△ABC 的面积为S ，且2AB AC S ⋅=，∴1cos sin 2bc A bc A ，∴sin A A =，∴A 为锐角，且2222213sin cos sin sin sin 122A A A A A +=+==，∴sin A ，所以cos A =． （2）3sin sin sin c a bC A B===所以周长为3sin 3sin 6sin cos22B C B Ca b c B C +-+++=6sincos22AB C π--6cos cos 6cos 222A B C A-≤sin A ，所以cos A =，2cos 2cos 12A A =-,所以cos 2A =考点：1、三角形的面积公式；2、正弦定理的应用；3、三角形的周长.17.（本小题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA AD AB ===，4BC =． （1）若PB 中点为E ．求证：//AE PCD 平面；（2）若060PAB ∠=，求直线BD 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明略；（2）510. 【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：（1）取PC 的中点F ，连结DF ，EF 由于F E ,分别是PC PB ,的中点，BC EF //∴，BC EF 21= 又由于BC AD //，BC AD 21=//AD EF ，且AD EF =，所以ADFE 为平行四边形． //AE DF ∴，且AE 不在平面PCD 内，DF 在平面PCD 内，所以//AE PCD 平面 （2）等体积法令点B 到平面PCD 的距离为hP BCD V -=B PCD V -P BCD V -=，13B PCD PCD V S h -∆=又PCD S ∆=h ∴=直线BD 与平面PCD 所成角θ的正弦值sin h BD θ===． 考点：1、直线与平面平行的判定；2、直线与平面所成的角. 18.（本小题满分15分）函数()1f x mx x a x =--+， （1）若1,0m a ==，试讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a =，试讨论()f x 的零点的个数；【答案】（1）()f x 在(,0]-∞和[0.5,)+∞上为增函数，在[0,0.5]上为减函数；（2）当13m -≤<-()11f x mx x x =--+有且仅有一个零点1x =；当3m =-+1m <-或1m ≥或0m =时，函数()11f x mx x x =--+有两个零点；当30m -+<<或01m <<时，()11f x mx x x =--+有三个零点． 【解析】试题分析：把0,1==a m 代入函数()x f ，根据绝对值不等式的几何意义去掉绝对值的符号，根据函数的解析式作出函数的图象，根据函数图象讨论函数的单调性；（2）把函数()11+--=x x mx x f 的零点转化为方程11x mx x -=-的根，作图11x y x -=-和y mx =的图象，直线移动过程中注意在什么范围内有一个零点，在什么范围内有两个零点，三个零点，通过数形结合解决有关问题.试题解析：（1）221(0)()11(0)x x x f x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+=⎨-++<⎪⎩图像如下：所以()f x 在(,0]-∞和[0.5,)+∞上为增函数，在[0,0.5]上为减函数； （2）()110f x mx x x =--+=的零点，除了零点1x =以外的零点即方程11x mx x -=-的根作图11x y x -=-和y mx =，如图可知：当直线y mx =的斜率m ： 当0m =时有一根； 当01m <<时有两根； 当1m ≥时，有一根；当1m <-时，有一根；当13m -≤<-+y mx =和1(0)1x y x x -=<-相切时）没有实数根；当3m =-+y mx =和1(0)1x y x x -=<-相切时）有一根；当30m -+<<时有两根． 综上所述：当13m -≤<-+()11f x mx x x =--+有且仅有一个零点1x =；当3m =-+1m <-或1m ≥或0m =时，函数()11f x mx x x =--+有两个零点；当30m -+<<或01m <<时，()11f x mx x x =--+有三个零点． 考点：1、函数的单调性；2、函数零点的个数.19.（本小题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．【答案】（1）12422=+y x ；（2）过定点()0,2±.【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出22,b a 的值，若不明确，需分焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 试题解析：（1）设00(,)2P x x ， ∵直线PQ斜率为2时，PQ =2200()32x x +=，∴202x = ∴22211a b +=，∵2c e a ===，∴224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． （2）以MN为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=，∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ，∴002(0,)2y M x + ， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--，∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴过定点：(．考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.20.（本小题满分14分）已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈； ②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(][)+∞-∞-,4614, ；（2）①证明略；②不存在实数d a ,. 【解析】试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用，对于xbax +的形式求最值，利用基本不等式，注意讨论0>x 及0<x 两种形式；（2)与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点. 试题解析：（1）当1a =时，16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d=++．因为0d ≠，21d d +≥，或21d d-+≤， 所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞． （2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，314i j k b ++-=+． 令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=． 因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤，所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈．②不存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． 假设存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． (1)n a a n d =+-，∴3(3)b a i j k d =+++-，从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． 因为18，1，5340同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈）， 使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩从而7(),86(),5y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则3548y x z x -=-． 因为35与48互质，且y x -与z x -为整数， 所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾． 所以不存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ． 考点：1、等差数列的通项公式；2、与数列有关的探究问题.。

·1·2019学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式V=13Sh其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()11223V h S S S S 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式V=43πR3其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R ，{|21}xA y y，{|ln 0}Bx x，则()U C A B（）A ． B．1{|1}2x x C ．{|1}x x D ．01x x2.设0x，则“1a”是“2a x x恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知函数()2sin(2)6f x x，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6个单位，得到函数)(x g 的图象.关于函数)(x g ，下列说法正确的是( )A. 在]2,4[上是增函数B.其图象关于直线4x对称C. 函数)(x g 是奇函数D. 当[0,]3x时，函数)(x g 的值域是[1,2]4.已知,a b 为平面向量，若a b 与a 的夹角为3，a b 与b 的夹角为4，则a b=( )A. 33B. 63C.53D.64。

浙江2019第二次五校联考-数学（理）本试卷分选择题和非选择题两部分、总分值150分，考试时间120分钟、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上、选择题部分〔共50分〕本卷须知1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字亦的签字笔或钢笔镇写在答题纸规定的位置上、2、每题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、不能答在试题卷上、参考公式：假如事件A ,B 互斥,那么棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh假如事件A ,B 相互独立,那么其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么nV =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 P n (k )=C k np k (1－p )n -k (k =0,1,2,…,n )球的表面积公式棱台的体积公式S =4πR 213V =12()h s s球的体积公式其中S 1,S 2分别表示棱台的上、下底面积,h 表示棱台V =43πR 3的高其中R 表示球的半径第I 卷〔共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、设全集R U =,集合15{|||}22M x x =-≤,{|14}P x x =-≤≤,那么()UC M P 等于〔A 〕{|42}x x -≤≤-〔B 〕{|13}x x -≤≤〔C 〕{|34}x x ≤≤〔D 〕{|34}x x <≤ 2、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图,那么该几何体的侧视图为3、假设“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是〔A 〕(,0][1,)-∞+∞〔B 〕(1,0)- 〔C 〕[1,0]-〔D 〕(,1)(0,)-∞-+∞ 4、直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂，，，m γ⊥，那么有（第12题）〔A 〕αγ⊥且//m β〔B 〕αγ⊥且l m ⊥ 〔C 〕//m β且l m ⊥〔D 〕//αβ且αγ⊥5、设实数,x y 满足1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,那么2x y +的最大值和最小值之和等于〔A 〕12〔B 〕16〔C 〕8〔D 〕14 6、假设(,)2παπ∈，且3cos2sin()4παα=-，那么sin2α的值为 〔A 〕118〔B 〕118-〔C 〕1718〔D 〕1718-7、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,A B 、假设2F A AB =，那么双曲线的渐近线方程为〔A 〕30x y ±=〔B 〕30x y ±=/〔C 〕230x y ±=〔D 〕320x y ±=/ 8、设1AB =,假设2CA CB=,那么CA CB ⋅的最大值为〔A 〕13〔B 〕2/〔C D 〕/39、数列{}na 共有12项，其中10a =，52a =，125a =，且11,1,2,3,11k ka a k +-==⋅⋅⋅，那么满足这种条件的不同数列的个数为〔A 〕84〔B 〕168/〔C 〕76〔D 〕152/ 10、将函数sin (02)y x x π=≤≤的图象绕坐标原点逆时针方向旋转(02)θθπ≤<角，得到曲线C .假设关于每一个旋转角θ，曲线C 基本上一个函数的图象，那么满足条件的角θ的范围是〔A 〕[0,]4π〔B 〕35[0,][,]444πππ⋃/ 〔C 〕357[0,][,][,2)4444πππππ⋃⋃〔D 〕7[0,][,2)44πππ⋃/第II 卷〔共100分〕【二】填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分、11、复数1i 2ia +-〔,i a R ∈为虚数单位〕为纯虚数,那么复数i z a =+的CBDAE（第20题）模为、12、某程序框图如下图，那么程序运行后输出的S 值为、13、在25(1)(1)x x x ++-的展开式中,含3x 的项的系数是.14、平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量，与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量、在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，能够求出过点(2,1)A 且法向量为(1,2)n =-的直线〔点法式〕方程为(2)2(1)0x y --+-=，化简后得20x y -=、那么在空间直角坐标系中，平面通过点(2,1,3)A ，且法向量为(1,2,1)n =-的平面〔点法式〕方程化简后的结果为、15、过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，3AB =，且AB 终点的纵坐标为12，那么p的值为、16、甲、乙两个篮球队进行竞赛，竞赛采纳5局3胜制〔即先胜3局者获胜〕、假设甲、乙两队在每场竞赛 中获胜的概率分别为23和13，记需要竞赛的场次为ξ，那么E ξ＝、17、三棱锥O ABC -中，,OA OB OC ,两两垂直且相等，点P ，Q 分别是BC 和OA 上的动点，且满足1233BC BP BC ≤≤，1233OA OQ OA ≤≤，那么PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是、 【三】解答题：本大题共5小题，共72分、解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤、 18、〔此题总分值14分〕在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c /，,,a b c 成等比数列，且3sin sin 4A C =、〔Ⅰ〕求角B 的大小；〔Ⅱ〕假设[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域、19、〔此题总分值14分〕设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，328,48a S ==，数列{}n b 满足24log n nb a =、〔Ⅰ〕求数列{}n a 和{}nb 的通项公式；〔Ⅱ〕是否存在m N *∈，使得12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项？假设存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由、20、〔此题总分值14分〕如图，DC 垂直平面ABC ，90BAC ∠=，（第21题）12AC BC kCD ==，点E 在BD 上，且3BE ED =、 〔Ⅰ〕求证：AE BC ⊥；〔Ⅱ〕假设二面角B AE C --的大小为120，求k 的值、21、〔此题总分值15分〕设点P 为圆2212C xy +=：上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q 、动点M PQ =〔其中P ，Q 不重合〕、〔Ⅰ〕求点M 的轨迹2C 的方程；〔Ⅱ〕过直线2x =-上的动点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为,A B 、假设直线AB 与〔Ⅰ〕中的曲线2C 交于,C D 两点，求AB CD的取值范围、 22、〔此题总分值15分〕设函数()(,)bf x ax a b R x=+∈，假设()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为1、〔Ⅰ〕用a 表示b ；〔Ⅱ〕设()ln ()g x x f x =-，假设()1g x ≤-对定义域内的x 恒成立， 〔ⅰ〕求实数a 的取值范围； 〔ⅱ〕对任意的[0,)2πθ∈，证明：(1sin )(1sin )g g θθ-≤+、数学〔理科〕答案【一】选择题： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B AD ABAC【二】填空题：11；12、10；13、－5；14、230x y z --+=；1516、10727；17、1[317、方法一：考虑几种极端情况； 方法二：过点O 作PQ 的平行线OP '，那么点P ，Q 的运动相当于点P '在如下图的四边形MNGH 上运动.显然，HOB ∠最大，NOB ∠最小.以OB ，OA 和OC 为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，O 〔0,0,0〕，设点B 〔3,0,0〕那么点H 为〔1，－2，2〕，点N 〔2，－1，1〕，可得.【三】解答题：18、解:〔Ⅰ〕因为a 、b 、c 成等比数列，那么2b ac =.由正弦定理得2sin sin sin B A C =. 又3sin sin 4A C =，因此23sin 4B =.因为sinB ＞0，那么sin B =.……………………4′ 因为B ∈(0，π)，因此B ＝3π或23π.又2b ac =，那么b a ≤或b c ≤，即b 不是△ABC 的最大边，故3B =π.……………………3′ 〔Ⅱ〕因为3B =π，那么()s i n()s i nsi n c o s c o ss i n s i n333f x x x x x x πππ=-+=-+3sin )26x x x π==-.……………………4′[0,)x π∈，那么5666x πππ-≤-<，因此1sin()[,1]62x π-∈-. 故函数()f x 的值域是[.……………………3′ 19、解：〔Ⅰ〕设{}na 的公比为q ，那么有211181228a q q a a q ⎧⋅=⇒=⎨+=⎩或12q =-〔舍〕.那么12832a q==，16132()22n nna --=⋅=， 6224log 4log 2424n n nb a n -===-+.即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为16132()22n n n a --=⋅=，424n b n =-+.……………………6′ 〔Ⅱ〕12(244)(204)4(6)(5)(164)(4)m m m b b m m m m b m m ++⋅----==--，令4(3,)t m t t Z =-≤∈,因此 124(6)(5)4(2)(1)24(3)(4)m m m b b m m t t t b m t t++⋅--++===++-, 假如12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项,设为第0m 项，那么有024(3)4(6)t m t ++=-，那么23t t ++为小于等于5的整数，因此{2,1,1,2}t ∈--.……………………4′ 当1t =或2t =时,236t t++=,不合题意; 当1t =-或2t =-时,230t t++=,符合题意. 因此,当1t =-或2t =-时,即5m =或6m =时,12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项.…………………8′20、解：〔Ⅰ〕过E 点作EF BC ⊥与点F ，连AF ，因此//EF DC 因此EF ABC ⊥平面，又BC ABC ⊂平面，因此EF BC ⊥； 又90BAC ∠=，12AC BC =，因此30ABF ∠=，因此AB ， 34BE BF BD BC ==，34BF BC =，因此BF AB AB BC =，因此BAF ∆与BCA ∆相似，因此90BFA ∠=，即A F B C ⊥；又A F E F F ⋂=，因此BC AEF ⊥平面，又AE AEF ⊂平面， 因此BC AE ⊥.…………………6′〔2〕解法一〔空间向量法〕如右图，以F 为原点，FA 为x 轴，FC 为y 轴，FE 为z 轴，建立空间直角坐标系，那么A ，3(0,,0)2B -，1(0,,0)2C ，3(0,0,)4E k，因此3()4AEk=-，1(,0)2AC=-， 3(,0)2AB =--，设平面ABE 的法向量为1111(,,)n x y z =，1200AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，因此1111302304x y x z k⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令11z =，得1112x y k ==-，得131(,1)2n k=-. 设平面ACE 的法向量为2222(,,)n x y z =,1200AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，因此2222102304y z k⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令21z =，得2232x y k =，得133(,1)2n k=. 1212|||cos120|||||3n n n n ⋅==⋅,解得：k =……………………8′解法二：〔综合几何法〕过F 作FG AE ⊥于G 点，连GC,GB ，由AE BC ⊥，可得AE BCG ⊥平面，因此,AE CG AEBG ⊥⊥，因此BGC ∠为B-AE-C 的平面角，设AC=1,那么34AF EF k =,因此GF =，因此 GB =GC ，因此由222cos1202BG CG BC BG CG +-=⋅，得到k =…………………8′ 21、解：〔Ⅰ〕设点(,)M x y ,MQ PQ =，得()P x ，由于点P 在2212C x y +=：上，那么2222x y +=， 即M 的轨迹方程为2212x y +=.…………………4′〔Ⅱ〕设点(2,)T t -，1122(,),(,)A x y B x y ''''，那么AT ，BT 的方程为：112x x y y ''+=，222x x y y ''+=，又点(2,)T t -在AT 、BT 上，那么有：1122x ty ''-+=①，2222x ty ''-+=②，由①、②知AB 的方程为：22x ty -+=.…………3′设点1122(,),(,)C x y D x y ，那么圆心O 到AB的距离d ，||AB =；又由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=，因此12248t y y t +=+，12248y y t -=+，因此12|||CD y y -=因此||||AB CD =，…………………3′设24t s +=，那么4s ≥，因此||||AB CD 11,(0]4m m s =∈，，因此||||AB CD 3()1632f m m m =+-，2'()696f m m =-，令'()0f m =，得41=m . 得)(m f 在]41,0(上单调递增，故]2,1()(∈m f .即||||AB CD的范围为…………………5′ 22、解：〔Ⅰ〕2()b f x a x '=-，依题意有：2(1)11bf a a b b a x '=-=-=⇒=-；…………2′ 〔Ⅱ〕1()ln ()ln ()1a g x x f x x ax x-=-=-+≤-恒成立. 〔ⅰ〕()1g x ≤-恒成马上max()1g x ≤-.方法一：()1g x ≤-恒成立，那么(1)11101g a a a +=--++≤⇒≥.当1a ≥时，221[(1)](1)(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a---+--+--'===⇒==-+ 110,x a=-+≤2(0)0x g '≥，那么(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，那么max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意；即()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥；……………6′方法二：2222111(1)(1)()a ax x a ax a x g x a x x x x --++--+--'=-+==， ①当0a =时，21()x g x x-'=，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，那么max()(1)1g x g ==，不符题意；②当0a ≠时，221[(1)](1)(1)(1)1()01,1a x x ax a x a g x x x x x a---+--+--'===⇒==-+， 〔1〕假设0a <，110a-+<，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，那么max ()(1)1211g x g a a ==-<-⇒>，矛盾，不符题意；〔2〕假设0a >， 假设102a <≤，111a-+>，(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，不符题意；假设112a <<，1011a <-+<，1(0,1)x a∈-+，()0g x '<，()g x 单调递减，不符题意；〔11(1)ln(1)10g a a -+=-+->矛盾；〕 假设1a ≥，110a-+≤，(0,1)x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，那么max ()(1)121g x g a ==-≤-，符合题意；综上，得()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥；……………6′ 〔ⅱ〕由〔ⅰ〕知，()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥. 方法一：令sin [0,1)t θ=∈，考虑函数11()(1)(1)ln(1)(1)[ln(1)(1)]11a a P t g t g t t a t t a t t t--=+--=+-+------+-222221111211()22(1)[]11(1)(1)1(1)(1)a a P t a a a t t t t t t t --'=--++=-+-++-+--+-， 下证明()0P t '≥，即证：2222112(1)[]01(1)(1)a a t t t -+-+≥-+-，即证明 222211(1)[]01(1)(1)t a a t t t +-+-≥-+-，由2111t ≥-，即证22211(1)[]0(1)(1)t a a t t +-+-≥+-， 又10a -≥，只需证222110(1)(1)t t t +-+≥+-，即证22242221(1)(1)30(3)0t t t t t t t +≥+-⇐-≤⇐-≤，显然成立.即()p t 在[0,1)t ∈单调递增，min()(0)0p t p ==，那么()0p t ≥，得(1)(1)g t g t +≥-成立，那么对任意的[0,)2πθ∈，(1sin )(1sin )g g θθ-≤+成立、……………7′方法二：考虑函数11()(1sin )(1sin )ln(1sin )(1sin )[ln(1sin )(1sin )]1sin 1sin a a h g g a a θθθθθθθθθ--=+--=+-+------+-1sin 11ln2sin 1sin 1sin 1sin a a a θθθθθ+--=--+-+-1sin 11ln 2sin (1)()1sin 1sin 1sin a a θθθθθ+=-+-+--+ 21sin 2ln 2sin (1)()1sin 1sin a a θθθθ+=-+---。

2019届浙江省高三五校联考数学试题卷数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{1,5}A =，{}1,5,7B =-，则()U C A B =U （ ）A. {}3,9B. {}1,5,7C. {}1,1,3,9-D. {}1,1,3,7,9-2.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 4+B. 4+C.4+ D.43.已知数列{}n a ，满足13n n a a +=，且2469a a a =，则353739log log log a a a ++=（ ）A. 5B. 6C. 8D. 11 4.已知0x y +>，则“0x >”是“||2222y x x y +>+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5.函数1e 1x x y x--=+的大致图象为（ ） A. B. C. D.6.已知实数x y ，满足1{21y y x x y m ≥≤-+≤，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ） A. 7B. 5C. 4D. 3 7.已知tansin cos 2M ααα=+，tan (tan 2)88N ππ=+ ，则M 和N 的关系是（ ） A. M N >B. M N <C. M N =D. M 和N 无关 8.已知函数2log ,0,()1,0.x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩，函数()2()1g x f x m =--，且m Z ∈，若函数()g x 存在5个零点，则m 的值为（ ）A. 5B. 3C. 2D. 19.设,,a b c r r r 为平面向量，||||2a b ==r r ，若(2)()0c a c b -⋅-=r r r r ，则c b ⋅r r 的最大值为( )A. 2B. 94C. 174D. 510.如图，在三棱锥S ABC -中，SC AC =，SCB θ∠=，ACB πθ∠=-，二面角S BC A --的平面角为α，则（ ）A. αθ≥B. SCA α∠≥C. SBA α∠≤D. SBA α∠≥ 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z =________，z =_________ 12.251()(1)(2)f x x x x x =++-展开式中各项系数的和为_______，该展开式中的常数项为________.13.已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π.7(,1)12π-，则函数()f x 的单调递增区间为________ ，将函数()f x 的图象至少平移 ______个单位长度后关于直线4πx =-对称. 14.一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为_________，这两个数字和的数学期望为__________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.16.从0，1，2，…，8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二位…），有______个不同的数.（用数字作答）17.已知实数,[1,1]x y ∈-，{},,max ,,.a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为__________. 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c，且cossin 222A A -=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当)14a A C =+=，求c 的值. 19.如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧，且,B C 在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==. 的（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.（Ⅰ）（i ）求数列{}n a 通项公式；（ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111n M S S S S ++++<K 恒成立，求实数M 的最小值； （Ⅱ） 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？ 并说明理由.21.已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于,A B 两点，过线段AB 上的动点P 作斜率为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于,M N 两点.（Ⅰ）求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）若104Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求MNQ ∆面积的最大值.22.已知函数()e x f x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；的（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m 的取值集合.。

2019届浙江五校联考一、选择题：每小题4分，共40分1. 已知几何{}=1,1,3,5,7,9U -，{}1,5A =，{}1,5,7B =-，则()U C A B =U （ ）A ．{}3,9B ．{}1,5,7C ．{}1,1,3,9-D ．{}1,1,3,7,9-2. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．4+B．4C．4+ D．4+3. 已知数列{}n a ，满足13n n a a +=，且2469a a a =，则353739log log log a a a ++=（ ）A ．5B ．6C ．8D ．114. 已知0x y +>，则“0x >”是“2222x yx y +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 函数11xx y e x--=+的大致图象为（ ） 俯视图侧视图正视图6. 已知实数x ，y 满足12100y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．37. 已知tansin cos 2M ααα=+，tantan 288N ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则M 和N 的关系是（ ） A ．M N > B ．M N <C ．M N =D ．M 和N 无关8. 已知函数()2log ,01,0x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩，函数()()21g x f x m =--，且m Z ∈，若函数()g x 存在5个零点，则m 的值为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．19. 设a r ，b r ，c r 为平面向量，2a b ==r r ，若()()20c a c b -⋅-=r r r r，则c b ⋅r r 的最大值为（ ）A ．2B ．94C ．174D ．510. 如图，在三棱锥S ABC -中，SC AC =，SCB θ∠=，ACB πθ∠=-，二面角S BC A --的平面角为α，则（ ）CB AA ．0α≥B ．SCA α∠≥C ．SBA α∠≤D ．SBA α∠≥二、填空题：多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分11. 已知复数z 满足()122i z i +=+，则z = ；z = ．12. ()()52112f x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为 ；该展开式中的常数项为 ．13. 已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象中两相邻的最高点和最低点分别为7,1,,11212ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为 ；将函数()f x 的图象至少平移 个单位长度后关于直线4x π=-对称．14. 一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为 ；这两个数字和的数学期望为 ．15. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得120i i P A P A ⋅=u u u u r u u u u r，则双曲线离心率的取值范围是 ．SCBA16. 从0,1,2,…,8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二位……），有 个不同的数．（用数字作答）17. 已知实数[],1,1x y ∈-，{},,max ,,.a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩ 则{}22max 1,2x y x y -+-的最小值为 ．三、解答题：5小题，共74分18. （本题满分14分）已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cossin 22A A -=． （1）求角A 的大小；（2）当()a A C +=c 的值．19. （本题满分15分）如图，已知ABC △中，AB BC =AC =，点A α∈平面，点B ，C 在平面α的同侧，且B ，C 在平面α上的射影分别为E ，D ，22BE CD ==． （1）求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；（2）若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值；20. （本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*212n n n S a a n N +=+∈．（1）（i ）求数列{}n a 的通项公式；（ii ）已知对于任意的*n N ∈，不等式1231111nM S S S S ++++<L 恒成立，求实数M 的最小值； （2）数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足()21*42n a n T n N λ-=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？并说明理由．21. （本题满分15分）已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于A ，B 两点，过线段AB 上的动点P 作斜率为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于M ，N 两点． （1）求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围；（2）已知点10,4Q ⎛⎫⎪⎝⎭，求△MNQ 面积的最大值．αME DCA22.（本题满分15分）已知函数()x=--（,a b Rf x e ax b∈其中e为自然对数的底数）．（1）若()0f x≥恒成立，求ab的最大值；（2）设()()=存在唯一零点，且对满足条件的,a b，不等式y F xln1F x x f x=+-，若函数()()1m a e b-+≥恒成立，求实数m的取值集合．。

2019∴O D C M ,,,∴OM DC //OM AB DC AB //,//⊥PA DO O PA ===aB b A 6sin sin 2=A Ba b sin sin =−+=+ππA A 336sin sin[()]1−=A 33cos()1−∈−πππA 333(,)2=−=πf A A 33()sin()1−2[1,]1f x ()∴−∈−πππx 366[,]5∈−ππx 22[,]=−=−πx x x 223sin cos sin()1=+ππf x x x x 33()sin cos cos sin 3−2561−161⎩⎭⎨⎬<<⎧⎫x x 312|15<x x {|0}5421−2学年第一学期五校联考参考答案一、选择题：1-5 BCDAA 6-10 ADCDB二、填空题：11．，3 12. ， 13. ， 14．， 15. 5 16. 17. 2 三、解答题：18．解：(I)…………………………………………（4分） 当时，，的值域是……（3分） (II) ，由于，则 于是，………………………（4分） 由正弦定理得： ………………………（3分）19．解：（Ⅰ）证明：取的中点则--------------①四点共面高三年级数学学科命题：杭州高级中学又//AB OM AB PA ⊥且PA OM ∴⊥------------②由①②及DO OM O ⋂= PA ODCM ∴⊥面PA CM ∴⊥………………………………（5分）（Ⅱ）过点B 作OM 延长线的垂线且交OM 延长线于Q 点 , 则BQ OQ ⊥ 由（Ⅰ）知PA ODCM ∴⊥面, ODCM PAB ∴⊥面面又=ODCM PAB OQ ⋂面面, BQ ODCM ∴⊥面BCQ ∴∠为求直线BC 与平面CDM 所成角设1=22AB PA DA PD DC ====, 则1BC BQ ==sin4BCQ ∴∠==………………………………（10分） 20．解：()1即13n n a −=，21n b n =−，…………………… （3分）()1213n n n n c −⋅−=， ()()()111212133n n n n n n n n c c +−++−−=−=24613n n n −++ 令10n n c c +−>即24610n n −−<解得1n =21c c ∴>当2n ≥时，10n n c c +−<，此时数列{}n c 单调递减∴数列{}n c 中的最大项为第2项，2k ∴=……………………………………（5分） （II ）221133353(23)+3(21)n n n T n n −−=+⋅+⋅++−−23133133353(23)3(21)n n n T n n −=⋅+⋅+⋅++⋅−+⋅− 相减得：13(13)2123(21)13n n n T n −−−=+⋅−⋅−− 于是：3(1)1n n T n =−+…………………………………………（7分） 解：（1）左焦点F 的坐标为(1,0)−1(1)y k x =+ 代入2212x y += 2222111(12)4220k x k x k +++−=设1122(,),(,)A x y B x y ，0.0(,)M x y 则221112122211422,1212k k x x x x k k −+=−=++ 21210212212x x k x k +==−+ ，101021(1)12k y k x k =+=+ 2112OM k k k ==− ，所以1212k k =− （2）12AB x =−=21211)12k k +=+ ， 2y k x = 代入2212x y +=，得D x =，C x =00MC MD ⋅=+222221202222212222(1)(1)()121212k k x k k k k =+−=+−+++ 因为2MB MC MD =⋅，所以214AB MC MD =⋅， 2222211122221112(1)24()(12)1212k k k k k k +=−+++ ，解得2112k = 所以{}12,,22k k =−⎨⎪⎪⎩⎭，由对称性，不妨设12,22k k ==− 直线CD20y += ，点F 到直线CD距离分别是3F d =C D CD x =−==四边形FCBD 的面积为12F CD d ⋅ 22． （1）当1a =−时，()x f x e =1x ≥−()x f x e '= 显然，()f x '在()1,−+∞上递增，又1()02f '−=−<，1(0)102f '=−>所以()0x f x e '=−=在1,02⎛⎫− ⎪⎝⎭有唯一零点 所以0102x −<<………………………………（6分）（2）(i)证明：设2211()()(1(1)22x h x f x x x e x x =−+++=−++,0x ≥ 则()(1)xh x e x '=−+，0x ≥那么()1x h x e ''=−，0x ≥当0x >时，()10x f x e '''=−>所以()(1)x f x e x '=−+在()0∞，+上递增 故()(0)0f x f ''≥= 所以21()(1)2x f x e x x =−++在()0∞，+上递增 故()(0)0f x f ≥= 所以2112x e x x ≥++………………………………（4分）(ii)在25242x a e x x a+++≤中，令0x =，得01a <≤ 当01a <≤时，2255(2)(2)4242x a e a x x x x a −++=++251(2)142x e x x ≥+++设251()(2)42x g x e x x =++，则5()()4x g x e x '=+ 由（i ）得，当0x ≥时2515()()1()424x g x e x x x x '=+−+≥++++21124x =+−，当1x ≥时，221111110242424x x +−>−≥−>当01x ≤<时，2111102444x +−≥>−=所以当0x ≥时，()0g x '>，251()(2)42x g x e x x =++在()0∞，+上递增 所以()(0)0g x g ≥=，因此当01a <≤时，不等式25()242a f x x x a ++≤对任意0x ≥恒成立。

衢州五校联盟高三联考数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据并集的定义求出，再由交集的定义可得结果.【详解】因为集合，，所以，又因为，所以，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合. 本题求交集时需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由双曲线的标准方程，利用渐近线的定义求解即可.【详解】因为，所以，渐近线方程为，即为，故选C.【点睛】本题主要考查利用双曲线的方程求渐近线，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．若双曲线方程为，则渐近线方程为.3.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ）A. 2B.C. 5D.【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【详解】因为，所以．【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的代数形式的加减运算，复数的模的公式，属于简单题目.4.函数（）的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】 由奇偶性排除选项；由,可排除选项,从而可得结果.【详解】因为，所以函数是偶函数，函数图象关于轴对称，可排除选项；因为,可排除选项,故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...A. B. C. D.【答案】C【解析】根据三视图可知，几何体是四棱锥右侧内部挖去一个半圆锥，圆锥的底面半径为，高为，棱锥的底面是边长为的正方形，棱锥的高也为，则该几何体的体积为，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数，”A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据求出公比q的取值范围，然后与比较后可得结论．【详解】设等比数列的首项为，∵，∴,∵，∴，∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．【点睛】本题考查充分、必要条件的判断和等比数列的通项公式，解题时根据充分、必要条件的定义进行求解，考查运算求解能力，属于基础题．7.随机变量的分布列如下：若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得，，所以由随机变量的方差公式可得，应选答案D。

衢州五校联盟高三联考数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（A）A. B. C. D.2.双曲线的渐近线方程是（C）A. B. C. D.3.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（D）A. 2B.C. 5D.4.函数（）的图象大致为（A）A. B. C. D.5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为CA. B. C. D.6.是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数，”条件（B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若，则的值是（D）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.9.如图，在中，，，为的中点.将沿着翻折至，使得，则的取值不可能．．．为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示:把继续旋转,一直旋转到平面ABC里面,这时,在位置，这时此时，是直线和BM所成的最小角，，所以不可能.故选A.10.已知数列的前项和为，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】构造函数，所以在上递增，，可得，令，，，化为，，即，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.__________，（，）的最大值为_________．【答案】(1). (2). -212.若，满足，的最小值为__________；的最大值为_______．【答案】(1). 4(2). 313.若，则__________，______．【答案】(1). 15(2). 3214.元宵节灯展后，如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有__________种不同取法．（用数字作答）【答案】90【解析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串两个灯取下的顺序确定，问题转化为求六个元素排列，其中甲在乙前；丙在丁前，戊在己前的排列数，先将六个元素全排列共有种排法，因为甲乙顺序确定；丙丁顺序确定，戊己顺序确定，所以六个元素排列甲在乙前、丙在丁前、戊在己前的排法数为，即取下6盏不同的花灯，每次取1盏，共有90种不同取法．故答案为90.15.在锐角中，内角，，的对边分别为，，且，则__________．【答案】【解析】由已知，得2sinAsinB＝sinB，且B∈，∴sinB≠0，∴sinA＝，且A∈，∴A＝.16.已知中，，，且，则的取值范围是。