平面向量知识点总结及训练题

平面向量知识点总结及训练题

第五章 平面向量

一、向量的相关概念：

1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小、双重性，不能比较大小。

2.向量的表示方法：

几何表示法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB。

坐标表示法：a=xi+yj=(x,y)

3.向量的模：向量AB的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。

4.特殊的向量：

①长度为0的向量叫零向量，记作0，方向是任意的。

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。

5.相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作-a。

6.相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。向量a与b相等，记作a=b。

7.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a//b。平行向量也称共线向量。规定零向量与任意向量平行。

8.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(≤θ≤π)叫a与b的夹角。

说明：

1）当θ=0时，a与b同向；

2）当θ=π时，a与b反向；

3）当θ=π/2时，a与b垂直，记a⊥b；规定零向量和任意向量都垂直。

4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤θ≤180.

9.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

Ⅰ）λa=λ|a|；

Ⅱ）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向是任意的。

10.两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b=|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积）。

规定·a=bcosθ=|b|cosθ为向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为|b|；当θ=180°时投影为-|b|。

11.向量的投影：

定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，投影的绝对值称为射影。

量加法

将向量b的起点与向量a的终点重合，以向量a为起点，以向量b为终点，连接两向量的起点和终点，所得向量为a+b 几何意义：平移

坐标表示：a+b=(x1+x2,y1+y2)

向量减法

将向量b取反，即将b的方向反向，再按向量加法规则进行运算，即a-b=a+(-b)

几何意义：平移

坐标表示：a-b=(x1-x2,y1-y2)

数与向量的乘积

将数k与向量a的长度相乘，再将方向与向量a相同的向量取出，其长度为|k|*|a|，方向与a相同（k>0）或相反（k<0）

几何意义：伸缩

坐标表示：k*a=(kx1,ky1)

向量数量积

将两个向量的对应坐标分别相乘，再将所有积相加所得的数，即为向量a和向量b的数量积，记作a·b

几何意义：投影

坐标表示：a·b=x1x2+y1y2

数量积的性质：

1）交换律：a·b=b·a

2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c 3）结合律：k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)，其中k为实数

4）若a·b=0，则a与b垂直

向量夹角的余弦

cosθ=a·b/|a|·|b|

其中，θ为a和b的夹角

坐标表示：cosθ=(x1x2+y1y2)/[√(x1^2+y1^2)√(x2^2+y2^2)]

向量夹角的性质：

1）若a·b>0，则0°<θ<90°，即a和b的夹角为锐角

2）XXX<0，则90°<θ<180°，即a和b的夹角为钝角

3）若a·b=0，则θ=90°，即a和b垂直

向量的加法有两种方法：平行四边形法则和三角形法则。平行四边形法则是指将两个向量的起点相同，终点相连，形成一个平行四边形，以对角线为新向量。三角形法则有两种形式：首尾相接和首尾连，它们都是指将两个向量首尾相连，形成一个三角形，以第三边为新向量。向量加法满足交换律和结合律。

向量的减法使用三角形法则，即将两个向量首首相接，尾尾相连，指向被减的向量，以第三边为新向量。向量减法也可以表示为向量加上它的相反数。向量的相反数指的是方向相反，但长度相同的向量。

实数与向量的积是一个向量，记作λa。当λ大于0时，λa与a同向，当λ小于0时，λa与a异向，当λ等于0时，λa等于零向量。任意方向的向量可以表示为（λx，λy）的形式。向量的乘法满足分配律和结合律。

向量的数量积等于两个向量长度的乘积与它们夹角的余弦的乘积。数量积可以表示为a·b=|a||b|cosθ的形式。特别注意，向量乘法不满足结合律和消去律。乘法公式成立，即(a+b)(a-b)=a2-b2和(a±b)=a±2a·b+b=|a|±2a·b+|b|2.

线段的定比分点公式是指，如果点P分有向线段P1P2，则P1P与PP2所成的比为λ，即PP1/PP2=λ。

线段定比分点的坐标公式为：当点P在线段AB上，且AP:PB = λ:1时，设A(x1.y1)，B(x2.y2)，则P的坐标为(x1 +

λx2)/(1+λ)，(y1 + λy2)/(1+λ)。当λ=1时，得中点公式：OP=(OP1+OP2)/2.平移公式：设点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(x',y')，则P'的坐标为x'=x+h，y'=y+k。曲线y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为：y-k=f(x-h)。

正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形的外接圆半径）。

余弦定理：在三角形ABC中，b=a*cosB+c*cosC-2acosBcosC，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，三角形面积S=1/2*a*h=1/2*bc*sinA=1/2*ab*sinC=1/2*ac*sinB。

附：△ABC的判定：c^2=a^2+b^2（直角三角形）；c^2a^2+b^2（锐角三角形）。

在△ABC中，有XXX。

三角形的四个“心”：重心、外心、内心、垂心。

非零向量a与a/|a|有关系是：a/|a|是a方向上的单位向量。

练题：

一、平面向量的概念及其运算

1、若向量a、b满足a+b=a+b，则a与b必须满足的条件为a、b方向相同。

2、若AB=b，AC=c，则BC等于c-b。

3、正六边形ABCDEF中，XXX。

4、在正方形ABCD中，设AB=a。AD=b。AC=c，则a-b+c=25.

5、在三角形ABC中，BC=3BD，则AD等于1/4(AC+2AB)。

6、在三角形ABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若AB=a。AC=b，则EF等于1/2(a+b)。

7、已知向量a,b同向，且a=3,b=7，则2a-b=1.

8、若AB=3i。CD=-5i，且AD=BC，则四边形ABCD是等腰梯形。

9、已知A(-2,4)。B(3,-1)。C(-3,-4)且CM=3CA。CN=2CB，求点M、N和MN的坐标（M(-2,0)。N(9,2)。MN=(-11,-2)）。

10、已知向量a=(-3,-4)，则与a同向的单位向量是(-3/5,-4/5)。 11、已知A(-3,2)。AB=(8,k)，则线段AB中点的坐标是(1,2)。

12、若三点P(1,1)。A(2,-4)。B(x,-9)共线，求x（x=3）。

13、若向量a=(x。x^2-3x-4)与AB相等，已知A(-1,2)。B(1,2)，则x的值为-1或-4.

14、已知A、B、C三点在同一条直线上，且A(3,-6)，B(-5,2)，若点C的横坐标为6，求点C分AB所成的比及点C的纵坐标（比为-3，纵坐标为-9）。

15、若线段AB的端点A(logx,logy)。B(-6,3)，中点M(-2,y)，则x=100，y=-3.

16、已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线OA上，且OP=OB的坐标为(4,2)，则点B的坐标为(2,1)。

17、已知直线l与x轴，y轴分别交于点A(-1,3)，B(3,-1)，则AB中点坐标为(1,1)。△AOB的重心为(1,1)。

18、已知三个点A(-2,1)。B(1,4)。D(4,-3)，点C在AB上，且2AC=CB，连结DC并延长至E，使CE=DE，则E点的坐标为(7,-2)。

1.PA，又P是OB的中点，则2A．（-4，-3）

已知点P是OB的中点，因此OP=PB。根据勾股定理，可以列出以下方程：

begin{cases}

x^2+(y-5)^2=OP^2 \\

x+8)^2+(y+19)^2=PB^2

end{cases}

将OP=PB代入第二个方程中，得到：

x+8)^2+(y+19)^2=(x-8)^2+(y-19)^2$$

化简得到：

x=-4.y=-3$$

因此，点A的坐标是(-4,-3)。

2.已知点A(x,5)关于P(1,y)对称点是B(-2,-3)，则点(x,y)到原点的距离是（D）

设点M为点A关于点P的对称点，则根据对称性质，可以列出以下方程：

begin{cases}

x-1=1-x_1 \\

5-y=y_1