二次函数与二次方程

二次函数与一元二次方程

知识要点梳理： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等

价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物

线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两

个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：

(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)

一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根

△=b2-4ac>0。

(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点

一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，

(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点

一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根

△=b2-4ac<0.

(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况

方程ax2+bx+c=h的根的情况。

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况

方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。典例精讲

例1（2008枣庄）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且

．

（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；

（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐

标．

例2已知二次函数y=x2-〔m2＋8〕x＋2〔m2＋6〕,

⑴求证;不论m取任何实数，此函数图象都与x轴有两个交点，且两个

交点都在x轴的正半轴上。

⑵设抛物线顶点为A,与X轴交于B,C两点，问是否存在实数M,使三角

形ABC为等腰直角角形？如果存在，求出M的值；如果不存在，请说明

理由。

例3（2009遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横

坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使

PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求

出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

基础练习

1.不论x为何值，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件（

）。

A.a＞0，b2-4ac＜0 B .a＞0，b2-4ac＞0 C. a＜0，b2-4ac＜0

D. a＜0，b2-4ac＞0

2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=1，且二次函数

y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）。

3.已知二次函数y=-x2+（3-k）x+2k-1的图像与y轴的交点位于（0,1）的

上方，则k的取值范围（ ）。

对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的

距离，则的值是（ ）。

A． B． C． D．

5.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x轴交于

A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=　_________　．

6．（2010包头）已知二次函数

的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④

．其中正确结论的个数是 个．

7. （2010自贡）y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取

值范围是

1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）。

A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3

8. （2008武汉）下列命题：①若，则；

②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；

③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；

④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.

其中正确的是（ ）．

Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②能力提升

1、（2011•荆州）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y

轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx﹣1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2﹣（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求

m的值．

2、（2011•南京）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

3、（2011•新疆）已知抛物线y=﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点（A点

在B点左侧），顶点为P．

（1）求A、B、P三点的坐标；

（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象

写出x取何值时，函数值大于零；

（3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数

表达式．

x

y

4、（2010•镇江）已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一

个公共点．

（1）求C1的顶点坐标；

（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个

交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点

坐标；

（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n

的取值范围．

5、（2010•咸宁）已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标

分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．

（1）证明4c=3b2；

（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．

6、（2010•十堰）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．

（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交

点间的距离为2时，求抛物线的解析式；

（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问

题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范

围．

7、（2010•汕头）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴

的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．

（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．

8、（2010•娄底）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两

点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣2，0），点B在x轴的正半轴

上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x2﹣

10x+24=0的两个根．

（1）求B、C两点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．

9、（2009•肇庆）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．

（1）求q关于p的关系式；

（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；

（3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M，且与x轴相交于A（x1，0）、

B（x2，0）两点，求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．

10、（2009•黔东南州）已知二次函数y=x2+ax+a﹣2．

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；

（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次

函数的解析式；

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在

点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理

由．

11、（2009•宁夏）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y

轴交于C点．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）证明△ABC为直角三角形；

（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角

三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

12、（2008•长春）已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1=a（x﹣

k）2+2（k＞0），y1+y2=x2+6x+12；当x=k时，y2=17；且二次函数y2

的图象的对称轴是直线x=﹣1．

（1）求k的值；

（2）求函数y1，y2的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？

请说明理由．

13、（2009•黄石）已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）

（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；

（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范

围．

14、（2009•娄底）已知关于x的二次函数y=x2﹣（2m﹣1）

x+m2+3m+4．

（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；

（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且

x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．

15、（2008•北京）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）

x+2m+2=0（m＞0）．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m

的函数，且y=x2﹣2x1，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围

满足什么条件时，y≤2m．