立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

立体几何中外接球与内切球模型归纳

在立体几何中，外接球和内切球是两个重要的概念。外接球和内切球分别指在几何体上找到的可以用一个球切割出来的最大和最小的球形结构。在实际应用中，外接球和内切球可以应用到各种领域，例如机械制造、建筑设计等。

一、外接球

外接球是指能够切割几何体上所有顶点的球，也就是说，外接球的球心在几何体的所以顶点上。常见的外接球有以下几种类型：

1. 立方体的外接球

立方体的外接球是一个边长等于立方体对角线长度的球。由于立方体的对角线长度是边长的$\sqrt{3}$倍，因此，立方体的外接球半径为边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍。

圆锥的外接球是一个球心位于圆锥顶点上，且半径等于圆锥母线长度的一半的球。圆锥的外接球直径等于底面圆的直径加上圆锥高的二倍，即外接球直径等于$\sqrt{d^2+4h^2}$。

二、内切球

立方体的内切球是一个正八面体，正八面体的体心即为立方体重心。

2. 正四面体的内切球

正四面体的内切球是一个球心位于四面体重心处，且半径等于四面体高的$\frac{1}{3}$倍的球。

4. 圆锥的内切球

圆锥的内切球是一个球心位于圆锥顶点上，且半径等于圆锥母线长度与底面半径之差的一半的球。

专题4.2 与球相关的外接与内切问题

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。

研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：

（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.

（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.

（3）球自身的对称性与多面体的对称性；

二．解题策略

类型一 柱体与球

【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCDABCD的表面积为208，118ABBCAA，则该长方体的外接球的表面积为（ ）

A．116 B．106 C．56 D．53

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得出11118104ABBCAAABBCBCAAABAA，由这两个等式计算出2221ABBCAA，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.

【详解】依题意，118ABBCAA，11104ABBCBCAAABAA，

所以，222211112116ABBCAAABBCAAABBCBCAAABAA，

故外接球半径2221292ABBCAAr，

因此，所求长方体的外接球表面积24116Sr.故选：A.

【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.

【举一反三】

1.（2020·河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为3的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．73

B．113 C．5 D．8

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外接球与内切八大模型—老师专用

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

cab图1CPAB abc图2PCBA abc图4PCO2BA

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(cbaR，即2222cbaR，求出R

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）

A．16 B．20 C．24 D．32

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9

解：（1）162haV，2a，24164442222haaR，24S，选C；

（2）933342R，942RS

（3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且MNAM,若侧棱23SA,则正三棱锥ABCS外接球的表面积是 。36

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

如图（3）-1，取BCAB,的中点ED,，连接CDAE,，CDAE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，ABSH，

BCAC，BDAD，ABCD，AB平面SCD，

SCAB，同理：SABC，SBAC，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， MNAM，MNSB//，

SBAM，SBAC，SB平面SAC，

SASB，SCSB，SASB，SABC，

SA平面SBC，SCSA，

故三棱锥ABCS的三棱条侧棱两两互相垂直，

36)32()32()32()2(2222R，即3642R，

正三棱锥ABCS外接球的表面积是36(3)题-1HEDBACS(3)题-2MNABCS传播优秀Word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！

空间正方体的外接球和内切球问题

外接球

外接球是一个与正方体相切于所有顶点的球体。换句话说，外接球的球心与正方体的顶点相重合，并且球体的半径刚好与正方体的边长相等。由于正方体的六个顶点之间的距离是相等的，所以外接球也是一个等边球体。

外接球的性质有以下几点：

1. 外接球的球心与正方体的中心重合。

2. 外接球的半径等于正方体的边长。

内切球

内切球是一个与正方体的六个面相切的球体。换句话说，内切球的球心位于正方体的中心，并且球体的半径刚好与正方体的边长的一半相等。

内切球的性质有以下几点：

1. 内切球的球心与正方体的中心重合。

2. 内切球的半径等于正方体的边长的一半。

外接球和内切球的关系如下：

1. 外接球的半径等于内切球半径的两倍。

2. 外接球的球心和内切球的球心重合。

外接球和内切球的问题在几何学和工程学中具有一定的应用价值。通过研究它们的性质和特点，可以帮助我们更好地理解立体几何和球体的关系。

本文只是简单介绍了空间正方体的外接球和内切球问题，希望能对您有所帮助。如需深入了解此问题，还需进一步研究和探索。