《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修1-2)学案第2章推理与证明2.1.3(1)

章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2， F1， F2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x 、 y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x 、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为 是抛物线 y 2 ＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点， 已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法， 但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、 定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x ＋y ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、 右极点 )， 4 3A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法， 其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．22 例 5 已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆 x y ＝ 1 M 是椭圆上的动点，求25＋ 9 内的两定点，点MA ＋ MB 的最值．2 y 2例 6 已知 F 1、 F 2 为椭圆 x ＋ 2 ＝ 1 的上、下两个焦点， AB 是过焦点 F 1 的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为 x 2 y 2a 2－b 2＝ 1 (a>0，b>0) ． c∵ e ＝ ＝ 2，∴ c ＝ 2a.由双曲线的定义，得 |PF 1－ PF 2|＝ 2a ＝ c ，在△ PF 1F 2 中，由余弦定理，得：F 1 F 22＝ PF 21＋ PF 22－ 2PF 1·PF 2cos 60 °＝ (PF 1－ PF 2)2＋ 2PF 1·PF 2(1－ cos60 )°，即 4c 2＝ c 2 ＋PF 1·PF 2.①又 S △ PF 1F 2＝ 12 3，1∴ 2PF 1·PF 2sin 60 ＝°12 3，即 PF 1·PF 2＝ 48.②由①②，得 c 2＝ 16， c ＝ 4，则 a ＝ 2， b 2＝ c 2－ a 2＝ 12，2 2 ∴所求的双曲线方程为x － y ＝ 1. 4 12例 2 (1) 解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为： y ＝ k(x －2) ．把 y ＝ k(x － 2)代入 y 2 ＝2x ， 2 2 2 2＝0，消去 y 得 k x － (4k ＋ 2)x ＋ 4k 因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k 2≠0且 ＝ (4k 2＋ 2)2－ 16k 4＝ 16k 2＋ 4>0 ，2 x 1x 2＝ 4， x 1＋ x 2＝ 4＋ k 2，∵ M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21 ·y 22＝ 4x 1·x 2＝ 16，而y 1·y 2<0 ，∴ y 1y 2＝－ 4.→ →， y 2)，（ 2）证明 ∵OM (x 1， y 1 )， ON ＝(x 2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ k从而 k OM＝k2－ 1k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为(x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2＋ y2＝1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2， F1， F2为左、右焦点， P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 12 3，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x、 y来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为是抛物线 y 2＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点， 已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法， 但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、 定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x 4 ＋y3 ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、 右极点 )，A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法，其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．x2y2例 5已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆25＋9＝ 1 内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋ MB 的最值．例 6已知F、F2y2AB 是过焦点 F的一条动弦，为椭圆 x ＋＝ 1 的上、下两个焦点，1221求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为x2y2a2－b2＝1 (a>0，b>0)．c∵ e＝a＝ 2，∴ c＝ 2a.得 |PF1－ PF2|＝ 2a＝ c，在△ PF1F2中，由余弦定理，得：F1 F22＝ PF21＋ PF22－ 2PF1·PF2cos 60 °＝(PF1－ PF2)2＋ 2PF1·PF2(1－ cos60 )°，即 4c2＝ c2＋PF1·PF2.①又 S△ PF1F2＝ 12 3，1∴2PF1·PF2sin 60 ＝°12 3，即 PF1·PF2＝ 48.②由①②，得c2＝ 16， c＝ 4，则 a＝ 2， b2＝ c2－ a2＝ 12，∴所求的双曲线方程为x2－y2＝ 1.4 12例 2 (1) 解过点P(2,0)且斜率为k 的直线方程为：y＝ k(x －2) ．把 y＝ k(x － 2)代入 y2＝2x，消去 y 得 k2x2－ (4k2＋ 2)x＋ 4k2＝0，因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝ 4， x1＋ x2＝ 4＋k2，∵M 、N 两点在抛物线上，∴y21·y22＝ 4x1·x2＝ 16，而 y1·y2<0 ，∴ y1y2＝－ 4.（ 2）证明→→， y2)，∵OM(x1， y1 )， ON ＝(x2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ kk2－ 1从而 k OM＝k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以 (2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2y2＋＝ 1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.。

第二章推理与证明2.1.1合情推理1.归纳推理学习目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

学习过程：一、课前预习：1、称为推理2、通过对本节引言的三个推理案例的预习，思考几个推理各有什么特点？3、（1）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

（2）三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒.由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒（3）221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）这种的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想。

二、课堂训练：例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。

例2:已知数列{a n }的第1项a 1=1且nn n a a a +=+11(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式例3:数一数图中的凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.三、练习：1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：（1） (5)42011216121,431216121,326121,2121=+++=++=+=（2）1＝1，1-4＝－（1+2），1-4+9＝1+2+3，1-4+9-16＝－（1+2+3+4），……2、凸n 边形有多少条对角线？凸四边形有2条对角线凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；……凸n 边形有多少条对角线？猜想：3.在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；三条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？……六条直线相交，最多有几个交点？n 条直线相交，最多有几个交点？b a __b __===⋅⋅⋅===4均为实数），请推测总结：归纳推理的几个特点：1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.四、课后巩固：1、已知111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算: 35(2),(4)2,(8),22f f f =>> (16)3,f >7(32)2f >，推测当2n ≥时，有__________________________. 2、已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=，2223sin 5sin 65sin 1252++=。

第 2 章 圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义 .2.能依据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．1．圆锥面可当作一条直线绕着与它订交的另一条直线 l(两条直线不相互垂直 )旋转一周所形成的曲面．此中直线 l 叫做圆锥面的轴．2．圆锥面的截线的形状在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，可是圆锥极点的截面与轴π所成的角为α，则 α＝ 2时，截线的形状是圆；当πθ<α<时，截线的形状是椭圆；20≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝ θ时，截线的形状是抛物线．3．椭圆的定义平面内到 ______________________________ 等于常数 (大于 F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆， 两个定点 F 1， F 2 叫做椭圆的 ________．两焦点间的距离叫做椭圆的 ________．4．双曲线的定义平面内到 ____________________________________________ 等于常数 (小于 F 1F 2 的正数 ) 的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F 1， F 2 叫做双曲线的 ________，两焦点间的距离叫做双曲线的 ________．5．抛物线的定义平面内 __________________________________________________________ 的轨迹叫做抛物线， ________叫做抛物线的焦点，__________ 叫做抛物线的准线．6．椭圆、双曲线、抛物线统称为 ____________ ．一、填空题1．已知 A －1， 0 ，B 是圆 F ： x －1 2＋ y 2＝ 4 (F 为圆心 )上一动点，线段AB 的垂直22均分线交 BF 于 P ，则动点 P 的轨迹为 ________．2．方程 5 (x ＋2) 2＋ (y － 1)2＝ |3x ＋ 4y － 12|所表示的曲线是 ________．3． F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点， M 是椭圆上任一点，从焦点 F 2 向△F 1MF 2极点 M 的外角均分线引垂线，垂足为P ，延伸 F 2P 交 F 1M 的延伸线于G ，则 P 点的轨迹为__________( 写出全部正确的序号 )．①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上随意一点PP′，则线段PP′的中点 M 的轨迹是 ____________ ．5．一圆形纸片的圆心为O，点 Q 是圆内异于O 点的必定点，点A 纸片折叠使点 A 与点 Q 重合，而后抹平纸片，折痕CD 与 OA 交于P 向 x 轴作垂线段是圆周上一点，把P 点．当点 A 运动时点P 的轨迹是________．6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x＋ 5＝ 0 的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________．7．已知两点F1(－ 5,0)， F2(5,0) ，到它们的距离的差的绝对值是 6 的点M的轨迹是__________．8．一动圆与⊙C1： x2＋ y2＝ 1外切，与⊙C2： x2＋ y2－8x＋ 12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为 ______________ ．二、解答题9．已知圆 A ：(x＋ 3)2＋ y2＝ 100，圆 A 内必定点 B(3,0) ，动圆 P 过 B 点且与圆 A 内切，求证：圆心 P 的轨迹是椭圆．110.已知△ ABC 中， BC ＝ 2，且 sin B － sin C＝2sin A ，求△ ABC 的极点 A 的轨迹．能力提高11．如下图，在正方体 ABCD — A 1B1C1D 1中， P 是侧面 BB 1C1C 内一动点，若 P 到直线BC 与直线 C1D1的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ________(写出正确的全部序号 )．①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．12.如下图，已知点P 为圆 R：(x＋ c)2＋ y2＝ 4a2上一动点， Q(c,0) 为定点 (c>a>0，为常数 )， O 为坐标原点，求线段PQ 的垂直均分线与直线RP 的交点 M 的轨迹．1．椭圆定义中，常数 >F1 F2不行忽略，若常数 <F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.2．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以 F1、 F2为端点的两条射线．3．抛物线定义中F?l ，若 F∈ l ，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l 的直线．第 2 章圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线知识梳理3．两个定点4．两个定点F1， F2的距离的和焦点F1， F2距离的差的绝对值焦距焦点焦距5．到一个定点 F 和一条定直线l(F不在l 上 )的距离相等的点定点F定直线l6．圆锥曲线作业设计1．椭圆分析由已知，得PA＝ PB， PF＋BP ＝ 2，∴PA＋ PF＝2，且 PA＋PF>AF ，即动点 P 的轨迹是以 A 、 F 为焦点的椭圆．2．抛物线分析由题意知(x＋ 2)2＋ (y－ 1)2|3x＋ 4y－ 12|＝.5左边表示 (x，y)到定点 (－ 2,1)的距离，右边表示(x ，y)到定直线3x＋ 4y－12＝ 0 的距离，故动点轨迹为抛物线．3．①分析∵∠ F2MP ＝∠ GMP ，且 F2P⊥ MP，∴F2P＝ GP， MG ＝ MF 2.取 F1F2中点 O，连接 OP，则OP 为△ GF1F2的中位线．11∴ OP＝ F1G＝ (F1 M ＋MG)221＝2(F1 M ＋MF 2)．又 M 在椭圆上，∴ MF1＋ MF 2＝常数，设常数为 2a，则 OP＝ a，即 P 在以 F1 F2的中点为圆心， a 为半径的圆上．4．椭圆5．椭圆6．抛物线分析由题意知P 到 F 的距离与到直线x＝－ 4 的距离相等，因此点 P 的轨迹是抛物线．7．双曲线8．双曲线的一支9．证明设PB＝r.∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为10，∴两圆的圆心距PA＝ 10－ r，即 PA＋ PB＝ 10(大于 AB) ．∴点 P 的轨迹是以 A 、 B 两点为焦点的椭圆．10．解由正弦定理得：sin A ＝a， sin B＝b， sin C＝c.2R2R2R1代入 sin B － sin C＝2sin A得： b－ c＝12a，即 b－ c＝ 1，即 AC－AB ＝ 1 (<BC)∴ A 的轨迹是以B、 C 为焦点且凑近 B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．11．④分析∵ D1C1⊥面 BCC1B 1， C1P? 平面 BCC1B1，∴ D1C1⊥ C1P，∴点 P 到直线 C1D1的距离即为 C1P 的长度，由题意知，点P到点 C1的距离与点 P 到直线 BC 的距离相等，这恰切合抛物线的定义．12．解由题意，得 MP＝ MQ ，RP＝ 2a.MR －MQ ＝MR － MP＝ RP＝ 2a<RQ＝ 2c.∴点 M 的轨迹是以 R、Q 为两焦点，实轴长为 2a 的双曲线右支．。

第二章推理与证明2.1.2演绎推理学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

学习过程：一、预习：1、引言：小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。

由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。

但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？分析上面的问题：大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。

其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。

小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。

结论：小明犯了抢劫罪。

2、我们知道合情推理所得结论不一定正确,那么怎样推理所得的结论就一定正确呢?又怎样证明一个结论呢?3、三段论的基本格式：4、归纳：三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。

三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。

这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”，在两个前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小前提”。

演绎推理的特点:1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。

因此演绎推理是数学中严格的证明工具。

3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。

二、课堂训练：例1、把“函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论例2. 如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证：ED=AF.例3、已知a,b,m均为正实数，b<a，求证：b b m a a m++＜三、练习：1、把下列推理恢复成完全的三段论:1345225.ABC ABC y x ∆∆=+（）因为三边长依次为，，，所以是直角三角形；（）函数的图象是一条直线2、下面说法正确的有（ ）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。

2．5 圆锥曲线的统一定义[学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线．[预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c .要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2， ∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)． 规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值．解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)．又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c，根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2.将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1， 抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程．解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝95，a b ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a . 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95.因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45，根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。

2．3 双曲线 2．3.1 双曲线的标准方程[学习目标] 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．[知识链接]1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M 到两定点F 1、F 2距离之差的绝对值为定值2a ”中，“绝对值”三个字去掉．答：不能．否则所得轨迹仅是双曲线一支．2．如何判断双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点位置？答：x 2系数是正的焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上． [预习导引] 1．双曲线的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程要点一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9. (舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法． 跟踪演练1 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1 (a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1 (－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.要点二 由方程判断曲线的形状例2 已知0°≤α≤180°，当α变化时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解 (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin a >0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1.它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．规律方法 像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x 2和y 2的系数的正负来确定；②定量：以a 、b 的大小来确定． 跟踪演练2 方程ax 2＋by 2＝b (ab <0)表示的曲线是____________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 原方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∵ab <0，∴ba <0，知曲线是焦点在y 轴上的双曲线．要点三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为 x 22－y 26＝1(x >2)． 规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪演练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3<10＝F 1F 2.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).1．椭圆x 234－y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．答案 ±3解析 由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是________________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1.∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 3．过点(1,1)且ba ＝2的双曲线的标准方程是________________________．答案 x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1解析 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.4．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足PF 1－PF 2＝6，则动点P 的轨迹方程是______________． 答案 x 29－y 216＝1(x ≥3)解析 根据双曲线的定义可得．1.双曲线定义中|PF 1－PF 2|＝2a (2a <F 1F 2)不要漏了绝对值符号，当2a ＝F 1F 2时表示两条射线． 2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解．一、基础达标1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________．答案 4 3解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3. 2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．答案 m >－1解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.3．已知A (0，－5)、B (0,5)，P A －PB ＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为________________． 答案 双曲线一支或一条射线解析 当a ＝3时，2a ＝6，此时AB ＝10， ∴点P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点B )．当a ＝5时，2a ＝10，此时AB ＝10，∴点P 的轨迹为射线，且是以B 为端点的一条射线．4．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________． 答案 x 2－y 2＝1解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上， 且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有MB ＝r ，另设A (4，0)，则有MA ＝r ±4，即MA －MB ＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<AB ，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1.6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若AB ＝5，则△AF 1B 的周长为________． 答案 18解析 由双曲线定义可知AF 1＝2a ＋AF 2＝4＋AF 2； BF 1＝2a ＋BF 2＝4＋BF 2，∴AF 1＋BF 1＝8＋AF 2＋BF 2＝8＋AB ＝13. △AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝18.7．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形． 解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则 k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)．当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上； 当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)． 二、能力提升8．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________． 答案 x 216－y 29＝1解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过点P (42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.9．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 (1,3)解析 将方程化为x 2k －1－y 23－k ＝1，若表示焦点在x 轴上的双曲线，则有k －1>0且3－k >0，即1<k <3.10．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若PF 1＝17，则PF 2的值为________． 答案 33解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴|PF 1－PF 2|＝2a ＝16， 又PF 1＝17，∴PF 2＝1或PF 2＝33. 又PF 2≥c －a ＝2，∴PF 2＝33.11．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m 的值．解 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5， 则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7； (2)当焦点在y 轴上时，有m <0， 则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2； 综上，m ＝7或m ＝－2.12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．三、探究与创新13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状． 解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23，又F 1F 2＝25， 因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，而cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212·MF 2·F 1F 2<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。

2.1.2演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.知识点一演绎推理思考违法犯罪都要承担相应的法律责任，盗窃行为都是违法犯罪，所以盗窃行为都要承担相应的法律责任.上述推理过程是合情推理吗？有什么特点？答不是合情推理，是由一般性原理推出特殊性情况下的结论.1.含义：根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.2.特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.知识点二三段论思考前面“知识点一”中的推理中，“一般原理”与“特殊情况”分别指的是什么？答“一般原理”是指“违法犯罪都要承担相应的法律责任”，“特殊情况”是指“盗窃行为都是违法犯罪”.“三段论”是演绎推理的一般模式：类型一演绎推理例1将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B.解(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分. (结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的底角，(小前提)∠A＝∠B.(结论)反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练1把下列推断写成三段论的形式.(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数.解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，(大前提)△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，(小前提)△ABC是直角三角形. (结论)(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，(大前提)函数y＝2x＋5是一次函数，(小前提)函数y＝2x＋5的图象是一条直线. (结论)(3)三角函数是周期函数，(大前提)y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)y＝sin x(x∈R)是周期函数. (结论)类型二三段论在证明几何问题中的应用例2用三段论分析下题的证明过程.如图，点D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.证明过程如下：∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，又∵DE∥BA，∴四边形AFDE是平行四边形，∴ED＝AF.解上述推理过程应用了三次三段论.第一次省略大前提和小前提的部分内容；第二次省略大前提并承前省略了其中一组对边平行的条件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演绎推理过程如下：因为同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以FD∥AE. (结论)因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA，且FD∥AE，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形. (结论)因为平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提)所以ED＝AF. (结论)反思与感悟(1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提.(2)用三段论证明命题的步骤：①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推理过程用“三段论”表示出来.跟踪训练2有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为________.①大前提错误；②小前提错误；③推理形式错误；④非以上错误.答案①解析直线平行于平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误.类型三演绎推理在代数问题中的应用例3已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若“当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时，有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立”，则称函数f(x)为“友谊函数”.(1)若已知函数f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；(2)函数g(x)＝2x－1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由；(3)已知函数f(x)为“友谊函数”，且0≤x1<x2≤1，求证：f(x1)≤f(x2).(1)解取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，由f(0)≥0，得f(0)＝0.(2)解 显然函数g (x )＝2x －1在[0,1]上满足 ①g (x )≥0； ②g (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，且x 1＋x 2≤1，则有g (x 1＋x 2)－[g (x 1)＋g (x 2)]＝2x 1＋x 2－1－[(2x 1－1)＋(2x 2－1)]＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0. 故函数g (x )＝2x －1满足条件①②③， 所以函数g (x )＝2x －1为“友谊函数”.(3)证明 因为0≤x 1<x 2≤1，所以0<x 2－x 1≤1，则f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)≥f (x 1). 即f (x 1)≤f (x 2).反思与感悟 在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很烦琐，也不必要.因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范.跟踪训练3 已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，又b n ＝21na (n ＝1,2,3，…).证明：{b n }为等比数列. 证明 因为lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列， 所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，即a 22＝a 1a 4.若{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，a 1d ＝d 2， 从而d (d －a 1)＝0.①若d ＝0，{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列.②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝2n d ，b n ＝21n a ＝12n d. 这时{b n }是首项b 1＝12d ，公比为12的等比数列.综上，{b n }为等比数列.1.正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数.以上推理________.①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确. 答案 ③解析 由于函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数.故小前提不正确，故填③.2.三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的.”中的小前提是________.答案③解析本题中①为大前提，③为小前提，②为结论.3.在三段论“∵a＝(1,0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，∴a⊥b”中，大前提：______________________，小前提：______________________，结论：______________________.答案若a·b＝0，则a⊥b∵a＝(1,0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1,0)·(0，－1)＝0，∴a⊥b解析本题中，大前提“若a·b＝0，则a⊥b”被省略；“∵a＝(1,0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0”为小前提；“∴a⊥b”为结论.4.用三段论的形式写出下列命题：(1)Rt△ABC的内角和为180°；(2)通项公式a n＝3n＋2的数列{a n}是等差数列.解(1)三角形的内角和是180°，(大前提)Rt△ABC是三角形，(小前提)Rt△ABC的内角和为180°. (结论)(2)若n≥2时，a n－a n－1为常数，则数列{a n}是等差数列，(大前提)a n＝3n＋2，a n－a n－1＝3，(小前提)则数列{a n}是等差数列. (结论)1.演绎推理是一种由一般性命题推演出特殊性命题的推理方法.演绎推理的前提是一般性的原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理一般不能用于命题的证明.2.“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——据一般原理，对特殊情况作出的判断.3.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.一、填空题1.下列说法正确的是________.①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. 答案 ①③④解析 演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故①正确；演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实，推理的形式是否正确，故②不正确；演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论，故③正确；演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关，故④正确.综上可知有3个说法是正确的. 2.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证a ＜b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A ＜∠B ，∴a ＜b ，画线部分是演绎推理的________. ①大前提；②小前提；③结论；④三段论. 答案 ②解析 结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提.3.“指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)是R 上的增函数，而y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x 是R上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是________. ①大前提；②小前提；③大、小前提；④推理形式. 答案 ①解析 指数函数y ＝a x 当a ＞1时在R 上是增函数，当0＜a ＜1时，在R 上是减函数，故上述三段论的证明中，“大前提”出错. 4.下列几种推理过程是演绎推理的是________.①两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°；②我国地质学家李四光发现中国松辽平原和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油；③由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个奇质数的和；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式.答案 ①解析 ①中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，②为类比推理，③④都是归纳推理.5.“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等.”以上推理的大前提是________________________________________________________________________. 答案 矩形都是对角线相等的四边形解析 大前提为矩形都是对角线相等的四边形.6.在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是“当a 有意义时，a ≥0”；小前提是“log 2x －2有意义”；结论是“________________________”. 答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析 由log 2x －2≥0得x ≥4.7.有一段演绎推理： 大前提：整数是自然数； 小前提：－3是整数； 结论：－3是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写). 答案 大前提8.用三段论证明函数f (x )＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：如果函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)，那么函数f (x )在给定区间内是增函数.(大前提) ______________________________.(小前提) 所以函数f (x )＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数.(结论)答案 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2，由于1<x 1<x 2，故x 1－x 2<0，x 1x 2>1，故x 1x 2－1>0，所以f (x 1)<f (x 2)解析 小前提要说明函数f (x )＝x ＋1x 对(1，＋∞)内任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2).9.三段论“平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提)，平面内动点M 到两定点F 1(－2,0)、F 2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是________. 答案 大前提解析 大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，概念出错，不严密. 而因为F 1(－2,0)、F 2(2,0)间距离为F 1F 2＝4，所以平面内动点M 到两定点F 1(－2,0)、F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹应为线段而不是椭圆.10.以下推理中，错误的序号为________. ①∵ab ＝ac ，∴b ＝c ； ②∵a ≥b ，b >c ，∴a >c ；③∵75不能被2整除，∴75是奇数； ④∵a ∥b ，b ⊥平面α，∴a ⊥平面α. 答案 ①解析 当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立.11.已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：①若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则f (x )∈A ；②若函数f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；③若函数f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1、x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立.其中所有正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号) 答案 ②③解析 对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )·f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确；对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )中，令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数，∴③正确；对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，但x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2＝1>0，∴④错.二、解答题12.如图，在三棱锥V —ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，点O ，M 分别为AB ，VA 的中点. (1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V —ABC 的体积.(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ，又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 又平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，所以OC ⊥平面VAB ，又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥C —VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V —ABC 的体积与三棱锥C —VAB 的体积相等，所以三棱锥V —ABC 的体积为33.。

苏教版高中数学选修1-2导学案设计：2.1.1-合情推理(无答案)1 / 42.1.1合情推理（1）班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】能利用归纳方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用． 【教学重点】合情推理的含义，利用归纳方法进行简单的推理． 【教学难点】用归纳进行推理，做出猜想及归纳推理的正确性． 【教学过程】一、引入：1． 称为推理． 2．通过对本节引言的三个推理案例的预习，思考几个推理各有什么特点？二、新授内容：我们看几个类似的推理实例：1．（1）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的． （2）三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒． （3）221222221,,,331332333+++<<<+++L ，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m 均为正实数）． 这种 的推理，称为归纳推理.(简称：归纳) 2．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； （2）提出带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想．例1．已知数列{}n a 的每一项均为正数，11=a ，)(1*221N n a a n n ∈+=+，试归纳数列{}n a 的一个通项公式．【变式拓展】数列{}n a 的第1项11=a 且nnn a a a +=+11)(*N n ∈，试归纳数列的通项公式．第 2 页 共 4 页ICME －7 图甲O A 1A 2 A 3A 4A 5A 6 A 7 A 8图乙例2．如图第n 个图形是由正2+n 边形“扩展”而来 )(*N n ∈．则第n +2个图形中共有 个顶点．【变式拓展】仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．例3．从222112343345675=++=++++=L ，，，中， 归纳出一般结论为 ．【变式拓展】设010()sin ()()f x x f x f x '==，，211()()()()n n f x f x f x f x n N +''==∈L ，，，，则2014()f x ＝ ．三、课堂反馈：1．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====L ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA L L 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝_________．2．观察下列等式，并从中归纳出一般结论：（1）在首项为1a 、公差为d 的等差数列{}n a 中，1110a a a d ==+，2111a a d a d =+=+，3212a a d a d =+=+，4313a a d a d =+=+，L结论： ．（2）2222111321+3531+35+74=+=+=+=L ，，，， 反思：苏教版高中数学选修1-2导学案设计：2.1.1-合情推理(无答案)3 / 4结论： ．3．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形 的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,L 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定 摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层 之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；(4)_____f =．4．观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：1111211131111422263261242612205=+=++=+++=L ，，，， ．5．观察直线上的n 个点，发现2个点可以确定1条线段，3个点可以确定3条线段，4个点可以确定6 条线段，5个点可以确定10条线段，由此可以归纳出n )(*N n ∈个点可确定 条线段．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则=10a ．2．观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题： ① 4330sin 30sin 30sin 30sin 022=⋅++； ② 4320sin 40sin 20sin 40sin 022=⋅++． ．3．观察（1）tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=oooooo（2）tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=oooooo。

2.1.2 演绎推理课前预习学案一、预习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.二，预习内容1，对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？2，讨论：以上推理属于什么推理，结论一定正确吗？3，思考：有什么推理形式能使结论一定正确呢？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一，学习目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。

二、学习过程1. 填一填：①所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； ③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？3.小结：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为____________.要点：由_____到_____的推理.② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：_________________________________________；第二段：_________________________________________；第三段：____________________________________________.④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.例1：证明函数 log ()log log a a a x y x y +=+在 sin()x y +上是增函数.例2：在锐角三角形ABC 中， sin()sin sin x y x y +=+，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.当堂检测：讨论：因为指数函数 ()n ab 是增函数， ()n a b +是指数函数，则结论是什么？讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？课堂小结。

2.1.2演绎推理●三维目标1．知识与技能(1)让学生知道演绎推理的含义，以及演绎推理与合情推理的联系与差异．(2)能运用演绎推理的基本方法“三段论”进行一些简单的推理．2．过程与方法(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，引出演绎推理的概念．(2)通过对实际例子的分析，从中概括出演绎推理的推理过程．(3)通过一些证明题的实例，让学生体会“三段论”的推理形式．3．情感、态度与价值观让学生体会演绎推理的逻辑推理美，让学生亲身经历数学研究的过程，感受数学的魅力，进而激发自身的求知欲．了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．●重点难点重点：了解演绎推理的含义，理解合情推理与演绎推理的区别与联系，能利用“三段论”进行简单的推理．难点：利用三段论证明一些实际问题．通过比较合情推理与演绎推理的区别与联系，加深学生对概念的理解，在演绎推理的应用中要注意大前提、小前提的应用方法与技巧，注意推理形式的正确性．可将常见的证明题型分类研究，探究每种题型的特点，总结证明方法的特征，学以致用使所证问题化难为易．●教学建议建议本课运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究演绎推理与合情推理的区别与联系，了解演绎推理的作用和应用方式方法．教师指导重点应放在“三段论”的理解与应用上，师生共同研讨大前提、小前提、结论之间的关系，帮助学生分析大前提、小前提的作用及应用方法，引导学生挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程，总结规律方法，使学生能举一反三、触类旁通．本部分的练习题不在“多”，而在“精”，关键在理解．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识演绎推理的概念，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上完成例题1，总结三段论的特点．通过变式训练，总结此类问题易犯的错误．师生共同分析探究例题2的证明方法：找出大前提、小前提，利用三段论给出证明．引导学生完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．课标解读 1.理解演绎推理的意义．(重点)2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．(难点)3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.演绎推理【问题导思】看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．1．这两个问题中的第一句都说的是什么？【提示】都说的是一般原理．2．第二句又说的是什么？【提示】都说的是特殊示例．3．第三句呢？【提示】由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理． (2)特点：由一般到特殊的推理． 2．三段论一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M 是P 小前提 所研究的特殊情况 S 是M 结论根据一般原理，对特 殊情况做出的判断S 是P把演绎推理写成三段论形式将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)0.332·是有理数；(4)y ＝sin x(x ∈R )是周期函数．【思路探究】 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式． 【自主解答】 (1)向量是既有大小又有方向的量， 大前提零向量是向量，小前提所以零向量也有大小和方向．结论 (2)每一个矩形的对角线都相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等．结论(3)所有的循环小数都是有理数，大前提 0．332·是循环小数，小前提 0．332·是有理数．结论(4)三角函数是周期函数，大前提 y ＝sin x 是三角函数，小前提 y ＝sin x 是周期函数．结论用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数，大前提 －3是整数，小前提 －3是自然数．结论(2)常数函数的导函数为0，大前提 函数f(x)的导函数为0，小前提 f(x)为常数函数．结论(3)无理数是无限不循环小数，大前提 13(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提 13是无理数结论 【解】 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数.三段论在证明几何问题中的应用图2－1－4已知在梯形ABCD 中(如图2－1－4)，DC ＝DA ，AD ∥BC.求证：AC 平分∠BCD.(用三段论证明)【思路探究】 观察图形→DC ＝DA ⇒∠1＝∠2→AD ∥BC ⇒∠1＝∠3→∠2＝∠3 【自主解答】 ∵等腰三角形两底角相等，大前提 △ADC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， 小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论1．三段论推理的根据，从集合的观点来理解，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．试用更简洁的语言书写本例的证明过程．【解】在△DAC中，∵DA＝DC，∴∠1＝∠2，又∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.合情推理、演绎推理的综合应用图2－1－5如图2－1－5所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．(1)求证：O为△BCD的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明．【思路探究】(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的垂心．(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．【自主解答】 (1)∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ， ∴AD ⊥平面ABC ， ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， 且AD∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心．(2)猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ， 由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO·ED ，∴(12BC·AE)2＝(12BC·EO)·(12BC·ED)， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ，S 2△ABD＝S △BOD ·S △BCD . ∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．二者结合可以利用合情推理去发现问题，然后用演绎推理进行论证．已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ＝na 1＋n n －1d2n＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．数形结合思想在演绎推理中的应用数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．若函数f(x)＝log 2(x ＋1)，且c>b>a>0，则f a a 、f b b 、f cc的大小关系是( )A.f a a >f b b >f c cB.f c c >f b b >f aaC.f b b >f a a >f c c D ．f a a >f c c >f b b【思路点拨】 作出函数f(x)＝log 2(x ＋1)的图象―→找三点(a ，f(a))，(b ，f(b))，(c ，f(c))―→结论的几何意义―→结论【规范解答】 作出函数f(x)＝log 2(x ＋1)的图象如图所示，f a a 、f b b 、f c c 可看作三点与原点的连线的斜率．由图知A 项正确．【答案】 A运用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征．本题巧妙地应用了直线的斜率的几何意义，平凡中见神奇！1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【解析】函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C.【答案】 C2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是()A．①B．②C．①②D．③【解析】本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．【答案】 D3．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成三段论的形式为：大前提：________________________________________________________________________ 小前提：________________________________________________________________________ 结论：________________________________________________________________________ 【解析】根据题意可知，此三段论的大前提、小前提和结论分别为：不能被2整除的整数是奇数；35不能被2整除；35是奇数．【答案】不能被2整除的整数是奇数35不能被2整除35是奇数4．用三段论的形式写出下列命题：(1)Rt△ABC的内角和为180°；(2)通项公式a n＝2n＋3的数列{a n}是等差数列．【解】(1)三角形的内角和是180°，大前提Rt△ABC是三角形，小前提Rt△ABC的内角和为180°.结论(2)若n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}是等差数列，大前提a n＝3n＋2，a n－a n－1＝3，小前提则{a n}是等差数列．结论一、选择题1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的() A．大前提B．小前提C．结论D．三段论【解析】结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．【答案】 B2．“指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)是R上的增函数，而y＝(12)x是指数函数，所以y＝(12)x是R上的增函数”，上述三段论推理过程中导致结论错误的是()A．大前提B．小前提C．大、小前提D．推理形式【解析】指数函数y＝a x在a＞1时在R上是增函数，当0＜a＜1时，在R上是减函数，故上述三段论的证明中“大前提”出错．【答案】 A3．在不等边三角形中，a为最大边．要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2【解析】 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0， ∴b 2＋c 2－a 2<0，∴a 2>b 2＋c 2.【答案】 C4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 【解析】 B 、C 、D 选项是合情推理，A 选项是演绎推理．【答案】 A5．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】 大前提为矩形都是对角线相等的四边形．【答案】 B二、填空题6．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是“当a 有意义时，a≥0”；小前提是“log 2x －2有意义”；结论是________________________________________________________________________．【解析】 由log 2x －2≥0得x≥4.【答案】 “y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)”7．已知推理：因为△ABC 的三边长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________________________________________________________．【解析】 大前提：一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC 的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC 是直角三角形．【答案】一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形图2－1－68．如图2－1－6所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中应用的推理形式是________．【答案】演绎推理三、解答题9．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．【解】(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提(2100＋1)是奇数，小前提(2100＋1)不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论10．如图2－1－7，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．图2－1－7【证明】因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提 DE ∥BA ，且FD ∥AE ，小前提所以四边形AFDE 为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED 和AF 为平行四边形AFDE 的对边，小前提 所以ED ＝AF.结论11．已知函数f(x)＝a x＋bx ，其中a>0，b>0，x ∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．【解】 设0<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝(a x 1＋bx 1)－(a x 2＋bx 2) ＝(x 2－x 1)(a x 1x 2－b)． 当0<x 1<x 2≤a b时， 则x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，a x 1x 2>b ， ∴f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(0，a b ]上是减函数， 当x 2>x 1≥a b 时，则x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，a x 1x 2<b ， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在[a b，＋∞)上是增函数.已知函数f(x)＝a x ＋x －2x ＋1(a>1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 【思路探究】 利用三段论证明，题目中的大前提是增函数的定义，小前提是y ＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．【自主解答】 设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1. ∵a>1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0.又∵x 1>－1，x 2>－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0.∴f(x 1)－f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2)．∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．1．很多代数问题不论解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．2．在解题过程中常省略大前提，本例的大前提是增函数的定义，小前提是y ＝f(x)在(－1，＋∞)上符合增函数的定义．如图所示，A 、B 、C 、D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝2，等边三角形ADB 以AB 为轴转动．(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；(2)当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论．【解】 (1)取AB 中点E ，连接DE ，CE.(如图)∵△ADB 为等边三角形，∴DE ⊥AB.又∵平面ADB ⊥平面ABC ，且平面ADB∩平面ABC ＝AB ，∴DE ⊥平面ABC ，∴DE ⊥EC.由已知可得DE ＝32AB ＝3，EC ＝1. ∴在Rt △DEC 中，CD ＝DE 2＋CE 2＝2.(2)当△ADB 以AB 为轴转动时，总有AB ⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C、D都在AB的垂直平面分线上，∴CD⊥AB.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又AC＝BC，∴AB⊥CE.∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面DEC.∵DC⊂面DEC，∴AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。

“归纳推理”教学设计江苏省扬州大学附属中学数学组高建国 225002一、教材分析推理与证明是一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次,是新课标教材的亮点之一。

本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）中第二章《推理与证明》第一节合情推理的第一课时（苏教版P61-63）。

教材的设计紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，还原了归纳推理的本源，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化，教材中的阅读部分很好的体现了数学文化，能有效激发学生探究的欲望与学习兴趣，本节内容融知识、方法、思维和情感于一体，能够让学生更好地体会数学的本质．二、教学目标：1．知识与技能：了解归纳推理的概念，掌握归纳推理的思维过程、会利用归纳推理的方法和思维方式进行一些简单的探索。

2．过程与方法：通过学生探索活动，引领学生经历归纳推理概念的形成过程，体会并认识利用归纳推理探究和发现新事实、得出新结论的作用。

3．情感、态度、价值观：通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良思维品质；让学生体会到数学“源于生活，指导实践”的重要作用；让学生感受数学文化价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。

三、教学重点、难点1．重点：归纳推理的概念，归纳推理的一般步骤。

2．难点：归纳推理概念的形成过程和简单应用。

四、教学方法1、探究式教学：在进行本节课的教学时，学生已经有大量的运用归纳推理生活实例和数学实例，这些素材是学生探究本节课内容的重要基础，教学时可以充分利用这一教学条件，引导学生结合已有知识探究新学知识。

2、循环教学法：本学期我校推行教学改革，提倡课堂教学按照“提出问题-自主探究-合作交流-形成结论”的“循环”模式进行，本节课思维发散度大，涉及知识面宽，有一定难度，具备了循环教学的条件。

章末检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1. 在中，E 、F 分别为恥,/C 的中点，则有EF//BC,这个问题的大前提为 ____________________ . 答案三角形的中位线平行于第三边解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：防为厶 力的中位线；结论：EF//BC.2. 对大于或等于2的自然数的正整数幕运算有如下分解方式：22=1+332=1+3+542=1+3+5 + 72‘=3 + 53—7+9+11”=13+15+17+19根据上述分解规律，若=]+3+5 +・・・+ 11, /的分解中最小的正整数是21,则m +n =答案11.•.W =6.V23 = 3 + 5,33 = 7+9+11,4’= 13+15+17+19, A53 = 21+23 + 25 + 27 + 29,•・•/的分解中最小的数是21,/.n 3=53,刀=5, .•.加+畀=6+5=11.3. _____________________________________________________ 用反证法证明命题“迈+迈是无理数”时，其反证假设是 ___________________________________ .答案迈+羽是有理数解析应对结论进行否定，则V2+V3不是无理数，即V2+V3是有理数.解析当x=l 时，/(2)= 谥影=务缶, 当%=2时’人3)= 普才务命;当尸3时 何=施^=2=丄S 5,八切兀3)+ 2 5 4+T2故可猜想/(x)=命. 解析 •・•〃『=1 + 3 + 5 +・・・+ 11=上字X6 = 36, 4.已知几兀+1)=卅青，. Al)=l(xeN*),猜想/(x)的表达式为 ____________5.对“d, b, C是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a-ft)2+(fe-c)2+(c-a)Mo；②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立；③Q H C,方He, a工方不能同时成立.其中判断正确的个数为_______ .答案1解析若(a—Z>)2+(6—c)2+(c—a)2=0,则a = b=c,与"a, b, c是不全相等的正数"矛盾，故①正确.a=b与b=c及a=c中最多只能有一个成立，故②不正确.由于“a, b, c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.下列儿何体中，一定属于相似体的有 __________ 个.①两个球体；②两个长方体；③两个正四而体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥.答案2解析类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体.7.数列｛。

类比推理江苏省泗阳县众兴中学蔡月禄一、教学目标1知识与技能：〔1〕结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；〔2〕能利用类比进行简单的推理；〔3〕体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的根本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。

培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜测—证明〞的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程〔一〕复习：归纳推理的概念：根据一类事物中局部事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。

我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

1归纳推理的要点：由局部到整体、由个别到一般；2典型例子方法归纳。

〔二〕引入新课：问题一：从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班〔后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师〕一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他创造了锯子他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的这个推理过程是归纳推理吗？问题二：书本上的类比1、矩形对角线的平方等于长、宽的平方和；长方体的对角线的平方与长、宽、高具有怎样的关系呢答：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和。

变式：：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值〞，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？答：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。

2.1.3 推理案例赏析教学目标1. 了解合情推理和演绎推理的含义。

2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。

3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点、难点（1）了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别（2）了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。

教学过程一、自学导航合情推理和演绎推理的过程二、探究新知例1 正整数平方和公式的推导。

提出问题我们知道，前n 个正整数的和为1S (n)=1+2+3+…….+n= 21n(n+i) ①那么，前n 个正整数的平方和2S （n ）＝2222........321n ++++＝？ ②数学活动思路1 （归纳的方案） 参照课本 第36页 －37页 三表 猜想2S （n ）＝6)12)(1(++n n n思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？思路2 （演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。

2把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页左右两边分别相加，等号两边的2S（n）被消去了，所以无法从中求出2S（n）的值，尝试失败了。

（2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。

左右两边相加，终于导出了公式。

思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。

上面的案例说明：（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。

（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。

（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。

宁县五中导学案课题第二章推理与证明授课时间课型复习二次修改意见课时1 授课人科目数学主备任树峰教学目标知识与技能通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及初步应用，明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。

过程与方法对章节知识点进行归纳整理，通过典型例题对本节知识的应用，提高学生对本章知识的掌握程度;情感态度价值观培养学生探究意识，合作意识，应用用所学知识解决生活中的实际问题。

教材分析重难点章节知识点进行归纳整理，典型例题的解决思路及变式训练。

教学设想教法引导归纳，三主互位导学法学法归纳训练教具多媒体, 刻度尺课堂设计一、章节知识网络二、归纳专题专题一归纳推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，常见的归纳推理题目主要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳，其求解思路如下：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)由相同性质猜想得出一般性结论．需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常需要严格的推理证明．例 1 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 ………………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．【解析】由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是：n2＋n.【答案】n2＋n专题二类比推理类比推理是由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理．显然其特征是由特殊到特殊的推理，常见的类比情形有：平面与空间类比，向量与数的类比，不等与相等类比，等差数列同等比数列的类比等等．需注意一点，由类比推理得出的结论也未必正确，也需要严格证明．例2 已知：由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB.(1)试用类比的思想写出由图②所得的体积关系V P-A′B′C′V P-ABC＝______________________.(2)证明你的结论是正确的．【思路点拨】由面积关系，类比推测V P－A′B′C′V P－ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC，然后由体积公式证明．【规范解答】(1)VP-A′B′C′VP-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.(2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上，从而VP-A′B′C′VP-ABC＝VA′­PB′C′VA-PBC＝13S△PB′C′·A′O′13S△PBC·AO＝PB′·PC′·A′O′PB·PC·AO，∵A′O′AO＝PA′PA，∴VP-A′B′C′VP-ABC＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.专题三演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论．例3 如图2－2所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.【思路点拨】分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法推出结论．【规范解答】同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥FA，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提专题四直接证明与间接证明1.直接证明包括综合法和分析法两种，前一种方式是由因导果法，而后一种方式是执果索因法，在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程．2．间接证明，常用的是反证法，其思维过程：否定结论⇒推理过程中引出矛盾⇒否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题))．例4 已知α∈(0，π)，试求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.(综合法)∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0.∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·41－cos α＝4.当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，即α＝π3时取∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.作业布置课本46页第3,5题。

2．6.3 曲线的交点[学习目标] 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法．[知识链接]1．直线与椭圆有几个交点？ 答：两个交点、一个交点和无交点．2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点． [预习导引]1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同．2．设斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|.要点一 直线与圆锥曲线的交点问题例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解 依题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2， ①2x 2＋3y 2＝6，②①代入②整理得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. ∵Δ＝(12k )2－4×6(2＋3k 2)＝24(3k 2－2)， ∴当3k 2－2>0，即k >63或k <－63时，直线与曲线有两个公共点； 当3k 2－2＝0，即k ＝±63时，直线与曲线仅有一个公共点；当3k 2－2<0，即－63<k <63时，直线与曲线没有公共点．规律方法 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x (或y )后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系．跟踪演练1 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，①②①式代入②式，并整理，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (1)当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． 当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切． 当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交． 当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．(2)当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离． 要点二 弦长问题例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程．解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝12(x 1－x 2)，弦长为AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝54(x 1－x 2)2＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝145(a 2－8a ).∵AB ＝15， ∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12. ∴所求抛物线方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .规律方法 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|及公式|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |较为简单． 跟踪演练2 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1、x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1.又AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.要点三 与弦的中点有关的问题例3 抛物线y 2＝8x 上有一点P (2,4)，以点P 为一个顶点，作抛物线的内接△PQR ，使得△PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求QR 所在直线的方程． 解 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)．∵F 为△PQR 的重心，∴QR 的中点为M (2，－2)，如图所示．设Q (x 1，y 1)、R (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2，②①－②，得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝－4，∴直线QR 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝8－4＝－2.∴QR 所在直线的方程为y ＋2＝－2(x －2)， 即2x ＋y －2＝0.规律方法 本题设出Q 、R 的坐标，得出y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．跟踪演练3 直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，AB 中点坐标为(3,2)，求直线l 的方程．解 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，又因为y 1＋y 2＝4，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.所以直线l 的方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________． 答案3－1解析 2a ＝c ＋3c ，e ＝ca＝3－1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案33解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a ，由椭圆定义得3b 2a ＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33.3．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e ＝53，则此双曲线的方程是____________．答案 y 236－x 264＝1解析 焦点坐标为(0,10)， 故c ＝10，a ＝6，b ＝8.4．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 4解析 由抛物线方程x 2＝－4y 得p ＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A ，B 两点的纵坐标都为－1，从而AB ＝|y 1|＋|y 2|＋p ＝1＋1＋2＝4.1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0时，若消去y ，得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，这时，要考虑a ＝0和a ≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a ≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．2．求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，设其两根为x 1，x 2，则P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(b 2a 2－4ca).3．求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求)．即设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是圆锥曲线mx 2＋ny 2＝1上两点，P 0(x 0，y 0)是弦P 1P 2的中点，则由mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1相减，得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，从而kP 1P 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝－mx 0ny 0.一、基础达标1．若直线l 过点(3,0)且与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线共有________条． 答案 3解析 有两条与渐近线平行的直线：y ＝±23(x －3)，另外，还有一条切线x ＝3.2．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是________． 答案255解析 由交点坐标为(1,2)，求得a 、p 的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为255.3．曲线x 2＋y 2＝9与曲线x 2＝8y 的交点坐标是________． 答案 (±22，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝9，x 2＝8y ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＝±22，∴交点坐标为(±22，1)．4．过点(0,1)且与抛物线y 2＝x 只有一个公共点的直线有______条． 答案 3解析 一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共3条． 5．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0.令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.6．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为________．答案 相交解析 因为直线过的定点(1,1)恒在椭圆内，所以，直线与椭圆相交．7．如图，斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A 、B两点，求弦AB 的长．解 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85.所以AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×(83)2－4×5×85＝85.二、能力提升8．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为________． 答案 9或19．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是____________．答案 (－23，13)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0，所以x 1＋x 2＝－43，所以弦的中点的横坐标为－23，代入y ＝x ＋1，得中点坐标是(－23，13)．10．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则AB ＝________. 答案 3 2解析 设AB 的方程为y ＝x ＋b ，与y ＝－x 2＋3联立得： x 2＋x ＋b －3＝0，∴Δ＝1－4(b －3)>0，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3.∴AB 的中点C ⎝⎛⎭⎫－12，b －12在x ＋y ＝0上： 即－12＋b －12＝0，解得b ＝1符合Δ>0，∴弦长AB ＝1＋1·1－4×(－2)＝3 2.11．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点．设△AOB 的面积为S (O 为原点)，若S 的最小值为8，求此时的抛物线方程．解 如题干图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.又S △AOB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12·p 2·|y 1|＋12·p 2·|y 2|＝p 4(|y 1|＋|y 2|)≥p 4·2|y 1y 2|＝p 22.当且仅当|y 1|＝|y 2|＝p 时等号成立．故S min ＝p 22.由题意有p 22＝8，∴p ＝4.故所求的抛物线方程为y 2＝8x .12．已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 如图所示，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1，∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k4，∴N 点的坐标为(k 4，k 28)．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 y －k 28＝m (x －k 4)，将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0.∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8(mk 4－k 28)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB .故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行． (2)解 假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0， 则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴MN ＝12AB .由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 22＋4)＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴MN ＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. 又AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·(k 2)2－4×(－1)＝12k 2＋1·k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.即存在k ＝±2，使NA →·NB →＝0. 三、探究与创新13．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1，点A (3,0)、B (0,3)，求C 与线段AB 有两个不同交点时m 的取值范围．解 线段AB ：x ＋y －3＝0(0≤x ≤3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝－x 2＋mx －1.消去y ，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0.令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则方程f (x )＝0在[0,3]内有两个不同实数根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－4×1×4>0，0<m ＋12<3，f (0)＝4>0，f (3)＝32－3(m ＋1)＋4≥0，解得3<m ≤103.故所求m 的取值范围为{m |3<m ≤103}．。