必修4 复件 解三角形 学生

简单的三角恒等变换1、会利用已有的十一个公式进行简单的包等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.2 2 . 21、公式推导：试以cos a 表布sin — ,cos — ,tan 一.2 2 2二、积化和差、和差化积公式:一.1 .1、公式推导：(1 ) sina cosP =3 sin (« + s ) + sin(a - B )］；日+甲 e(2)sin&+sin 中=2sin --------- cos ----- .2 221 c o 2： cos ：= -----------2 . 2 tan ： 1 - c 。

2二二、本章节公式汇编:2 tan a tan 2a = ------ 2—1 —tan a a=P口tan o(± tanPtan(a ± P)=七------------ -1 + tana tan P相除I相除S oH3cos2 1___ 2 _._2= cos : -sin2= 2cos「.—12=1 -2 sin :sin 2 : - 2sin 二cos ; S:-- C:：移项:■ ■■ 2 :■2 :.1 cos： =2cos 22 ：■1 —cos： - 2sin2变形e 1 r n …sin ot cos P = 3 b in(ot +P) + sin(ot -P)]口1 r . 口口1 cosasin ^ =~ fe in(a+ P)-sin(a - B)]D 1 r口口i cos a cos P = ? cos(a+ P)+ cos°t -P )]1 1 r . - n ，. n ，1 sin，sin - - - cos : - cos ：■ ■ ■,1 -cos ; sin —二---------2 1 21 cos 上cos一2 \ 2相除, 1 1 -cos：tan i ---- -----2 1 cos ; _ sin 工1-cos工1 cos 工sin 工A +B A -Bsin A + sin B = 2sin----- c os------2 2A +B A -Bsin A -sin B =2cos------- sin-----2 2A +B A -B cosA - cosB = 2 cos------ cos2 2A +B A-B cosA -cosB =-2sin sin -----2 24 4 A cos A sin A 例1已知一2一十—2—cos B sin B4 4cos B sin B /:1 求证：-22—=1.cos A sin A1 1中,ABC是它的二个内角，记S= ---------- +-------- ，求证:S<1.1 tan A 1 tan B1 sin x 二例 2 证明-------- =tan（—+ 一）.cosx 4 2练习：已知 a , 8（0,彳）且满足：3sin2”+2sin3 =1,3sin2-2sin2 3 =0, a+2 的值.练习：在锐角三角形 ABC例3求证: sin（a ：）sin（：：■■）sin2 1 cos2 :=1 一些tan ;练习：1 sin4i - cos 41 1 sin 4y cos4i 1.求证：----------------- = ------------2 ----2sin ? 1 - tan i1、m,2.已知 sin 3 =m，sin(2 求证3tan( a + 3 )= tan a .1 - m3.若sin a^~ ,第E第二象限，则tan亘的值为（）13 2 1A.5B.-5C.一54.设5兀< 0 <6兀Rosa则sin —等于( )2 4 D.--.1 a . 1 - a2 . 25.已知 sin 。

第九章解三角形
9.1正弦定理与余弦定理
9.1.1正弦定理
9.1.2余弦定理
9.2正弦定理与余弦定理的应用
9.3数学探究活动:得到不可达两点之间的距离(略) 章末整合
第九章测评
第十章复数
10.1复数及其几何意义
10.1.1复数的概念
10.1.2复数的几何意义
10.2复数的运算
10.2.1复数的加法与减法
10.2.2复数的乘法与除法
*10.3复数的三角形式及其运算
章末整合
第十章测评
第十一章立体几何初步
11.1空间几何体
11.1.1空间几何体与斜二测画法
11.1.2构成空间几何体的基本元素
11.1.3多面体与棱柱11.1.4棱锥与棱台
11.1.5旋转体
11.1.6祖暅原理与几何体的体积
11.2平面的基本事实与推论
11.3空间中的平行关系
11.3.1平行直线与异面直线
11.3.2直线与平面平行
11.3.3平面与平面平行
11.4空间中的垂直关系
11.4.1直线与平面垂直
11.4.2平面与平面垂直
章末整合
第十一章测评。

应用举例时间：45分钟 分值：100分A 学习达标一、选择题1．在△ABC 中，已知C ＝60°，b ＝43，则BC 边上的高等于( ) A. 3B ．2 3C ．4 3D ．6解析：BC 边上的高等于b sin C ＝6.答案：D2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由12×BC ×AC sin C ＝33，得12×4×3sin C ＝33， 所以sin C ＝32.所以C ＝60°或120°. 又△ABC 是锐角三角形，所以C ＝60°.答案：B3．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32或 3 B.32或34 C.3或34 D. 3解析：由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝32.∵B ＝30°，∴0°<C <150°，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，S △ABC ＝12bc sin A ＝32；当C ＝120°时，S △ABC ＝12bc sin A ＝34. 答案：B4．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.152B.15 C ．2D ．3 解析：b 2－bc －2c 2＝0 ∴(b －2c )(b ＋c )＝0∴b ＝2c∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 解得c ＝2，b ＝4.∵cos A ＝78 ∴sin A ＝158∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×158＝152. 答案：A5．△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则角A 的对边长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：a ＋b ＋c ＝20 ∴b ＋c ＝20－a即b 2＋c 2＋2bc ＝400－40a ＋a 2∴b 2＋c 2－a 2＝400－40a －2bc ① 又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12∴b 2＋c 2－a 2＝bc ②又S △＝12bc ·sin A ＝10 3 ∴bc ＝40 ③由①②③可知a ＝7.答案：C6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( ) A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3解析：∵2b ＝a ＋c ，平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac .又S △ABC ＝32且B ＝30°，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin30°＝ac 4＝32，得ac ＝6，∴a 2＋c 2＝4b 2－12.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2－44＝32，又b >0，解得b ＝1＋ 3. 答案：B二、填空题7．在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，sin C ＝________. 解析：△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3，解得c ＝4.所以b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13.所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－1313.所以sin C ＝21339.答案：213398．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积等于________． 解析：由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos30°∴AC 2－23AC ＋3＝0.∴AC ＝ 3.∴S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝12×2×3×12＝32.答案：329．若在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ， ①根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x24x ＝4－x24x ，将其代入①式得S △ABC ＝x 1－4－x 24x 2＝128－x 2－12216，由三角形三边关系有⎩⎨⎧ 2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2.答案：2 2三、解答题10．若△ABC 的面积为32，c ＝2，A ＝60°，求b 、a 的值．解：∵S ＝12bc ·sin A ＝b sin60°＝32，∴b ＝1. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，∴a ＝ 3. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值． 解：(1)因为cos A 2＝255. 所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB →·AC →＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5.因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6.所以b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，所以a ＝2 5.B 创新达标12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．解：(1)因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝35. 于是sin C ＝sin(2π3－A ) ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又因为B ＝π3，b ＝3，所以在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝b sin A sin B ＝65. 于是△ABC 的面积S ＝12ab sin C＝12×65×3×3＋4310 ＝36＋9350.。

三角函数解三角形一、三角函数的基本概念（一）任意角与弧度制1、任意角：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边；▲规定：按照逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，当射线没有做任何旋转时形成的角叫做零角；2、象限角、轴上角（轴线角）与区间角：（1）象限角：在平面直角坐标系内，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就成这个角为第几象限角，角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限；（2）轴上角（轴线角）：角的终边落在坐标轴上的角称为轴上角（或称为轴线角）；（3）区间角：用区间表示角的大小区域称为区间角；3、弧度制：（1）1弧度的角：在圆周上，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，“弧度”用符号“”表示，读作弧度；（2）角的弧度数的顺序性：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0；（3）角度值与弧度制的互化：；；（4）弧度制与实数一一对应；4、弧度制与扇形弧长面积公式：设扇形圆心角的度数为，半径为，则扇形的弧长和面积公式：；；（二）任意角的三角函数1、任意角三角函数的定义：（1）单位圆（以原点为圆心，单位长度为半径的圆）中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为 ，则定义角 的三角函数：,，，，，；（2）已知角 的终边上的任意一点 ，定义 ，则定义角 的三角函数：,，，，，； （3）我们将 ， ， ， ， ， 分别叫做正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数和余割函数，它们统称为任意角 的三角函数； 2、三角函数值在各个象限内的符号：一全正，二正弦（余割），三两切，四余弦（正割）； 3、三角函数线：（1）三角函数线的做法：在单位圆中，设角 的终边交圆于点 ，设点 为圆与 正向的交点，过 作 轴于 ，过点 作圆的切线交角 的终边（或其延长线）于点 ，则有向线段 ， ， 分别称为角 的正弦线、余弦线和正切线，统称为三角函数线，有向线段的数量就是三角函数值的大小。

§1.2 同角三角函数的基本关系（第2课时）【教学目标】⒈能熟练选取同角三角函数的两种关系的不同变形进行三角函数的化简求值与证明；⒉在解决三角函数化简求值及证明的过程中，提升学生对数学式子的恒等变形能力，树立转化与化归的思想；⒊培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感，培养学生学习数学的兴趣和信心。

【教材分析】本节课是《同角三角函数的基本关系》第2课时，重点在于两个基本关系式的变形运用，体现在化简、求值和证明三种题型上，教材上的例5、例6旨在化简求值，例7旨在恒等式证明，针对性强，但对ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二的问题，只在课后习题和作业中体现，为了加强对学生的指导，特设置了例1。

【教学重点】熟练应用同角三角函数的两种关系进行化简求值与证明【教学难点】关系式在解题中的灵活选取，及应用同角三角函数的两种关系对数学式子进行变形、转化【教学方法与手段】教师启发引导，学生合作探究，突出学生在解题教学中的主体作用【教学过程】一、 知识检查 利用和 填空： ⒈α2sin = ，α2sin = ，1= .⒉⋅=ααtan sin ( )⒊()=+2cos sin αα ；()=-2cos sin αα . 设计目的：检查公式，灵活变形二、 例题探究 例1 已知α是第二象限角，51cos sin =+αα，求下列各式的值： 1cos sin 22=+αααααcos sin tan =⑴ααcos sin ⋅ ⑵ααcos sin -设计目的：ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二，整体代换 解：⑴由51cos sin =+αα得()251cos sin 2=+αα 251cos cos sin 2sin 22=++αααα 1251cos sin 2-=αα 2512cos sin -=αα ⑵()()ααααααcos sin 4cos sin cos sin 22-+=- =)2512(4251-⨯- =2549 ∵α是第二象限角∴0sin >α，0cos <α∴0cos sin >-αα ∴57cos sin =-αα 例2 化简02620cos 1-设计目的：综合运用诱导公式及 进行化简解：原式=0620sin =()0000080sin 80sin 100sin 100720sin ===-例3 化简θθθθcos cos 1sin 1sin 22-+- 设计目的：化简时渗透分类讨论的意识解：原式=θθθθcos sin cos sin + 1cos sin 22=+αα=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+<<++<<+-+<<++<<ππθππππθππθππθππππθπθ22232,02322,tan 2222,0222,tan 2k k k k k k k k Z k ∈ 例4 求证： 设计目的：通过一题多解，培养学生的发散思维，提高学生思维的深刻性、敏捷性证法1 ∵()()()()0cos sin 1cos cos cos sin 1sin 1sin 1cos cos sin 1sin 1cos 222=--=----=+--θθθθθθθθθθθθθ ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=- 证法2 左边=()()θθθθθθθθcos sin 1cos 1cos sin 1cos sin 1cos 22--=-=- ()()()θθθθcos sin 1sin 1sin 1-++= θθcos sin 1+==右边 ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=-证法3 ∵()()θθθθ22cos sin 1sin 1sin 1=-=-+0sin 1≠-θ，0cos ≠θ ∴θθθθcos sin 1sin 1cos +=- 三、 课堂练习⒈化简：⑴θθtan cos ⑵θθ22sin 211cos 2-- 解：⑴θθθsin tan cos =θθθθcos sin 1sin 1cos +=-⑵()()1sin cos sin cos sin 2cos sin cos sin cos 2sin 211cos 2222222222222=--=-++-=--θθθθθθθθθθθθ ⒉求证：⑴αααα2244cos sin cos sin -=-⑵1cos cos sin sin 2224=++x x x x证明：⑴左边=()()=-+αααα2222cos sin cos sin αα22cos sin -=右边∴αααα2244cos sin cos sin -=-⑵左边=x x x x 2224cos cos sin sin ++=x x x x 2222cos )cos (sin sin ++=1cos sin 22=+x x∴1cos cos sin sin 2224=++x x x x四、 课堂小结利用2-3分钟让学生总结本节课的主要内容与思想方法，让其他同学补充完善，老师作强调：⒈同角三角函数基本关系的三种应用：求值，化简，证明⒉思想方法： 分类讨论⒊证明三角恒等式的一般思路五、 作业布置习题3-1 A 组 5、6 B 组 1、2教学反思:⒈为了体现灵活变形、整体代换在解决ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin ⋅知一求二问题中的优越性，设计了例1，从实际操作来看，学生更易想到将其与联立，解二元方程组，在角的范围没有已知的情况下，就需要分类讨论，一来运算量大，二来也容易出现错误，所以这种题型还需要在后续课中加强。

正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用正、余弦定理解三角形1,2,7与三角形面积有关的计算6,8三角形形状的判断3几何计算问题12,13实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b等于(　D　)(A)(B)(C)2(D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3（b=-舍去）,选D.2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(　D　)(A)(B)(C)(D)解析: 如图,设BC边上的高为AD,因为B=,所以∠BAD=.所以BD=AD,又AD=BC,所以DC=2AD,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin 45°cos∠DAC+cos45°sin∠DAC=×+×=.故选D.3.(2018·杭州模拟)在△ABC中,cos =,则△ABC一定是(　A　)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)无法确定解析:由cos =得2cos2-1=cos A=cos B,所以A=B,故选A.4.(2018·通辽模拟)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(　D　)(A)10n mile(B)n mile(C)5n mile (D)5n mile解析:由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=5.5.(2018·南宁模拟)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(　C　)(A)(0,］(B)［,π)(C)(0,］(D)［,π)解析:由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.所以b2+c2-a2≥bc,所以cos A=≥,所以0<A≤.6.(2018·淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有周长为2+的△ABC满足:sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1).试用“三斜求积术”求得△ABC 的面积为(　A　)(A)(B)(C)(D)解析:因为sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1),由正弦定理得a∶b∶c=(-1)∶∶(+1).因为a+b+c=2+,所以a=-1,b=,c=+1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S==.故选A.7.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .解析:由正弦定理=得=,所以sin B=,又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案:75°8.(2017·浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= . 解析:依题意作出图形,如图所示.则sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cos∠ABC=,sin∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-==,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.答案:　能力提升(时间:15分钟)9.(2018·宁波模拟)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b=,则c∶sin C等于(　D　)(A)3∶1(B)∶1(C)∶1(D)2∶1解析:由cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得2cos2B-3cos B+1=0,解得cosB=1(舍去)或cos B=,所以sin B=,所以由正弦定理知c∶sin C=b∶sin B=2∶1.10.(2018·石家庄一模)在△ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(　D　)(A)(B)2(C)3(D)4解析:由正弦定理可得,====4.因为A+B=.所以AC+BC=4sin B+4sin A=4sin B+4sin(-B)=4sin B+4(cos B+sin B)=2cos B+10sin B=4sin(B+θ)(tan θ=),因为0<B<,故AC+BC的最大值为4.11. (2018·内蒙古赤峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为 m.(取≈1.4,≈1.7)解析: 如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21 000(m).又在△ABC中,=,所以BC=×sin 15°=10 500(-)(m).因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin ∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:2 65012. (2018·四川泸州二珍)如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=b(sin C+cos C).若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,则四边形ABDC面积的最大值为 .解析:因为a=b(sin C+cos C),所以由正弦定理得sin A=sin∠ABC(sin C+cos C).即sin(∠ABC+C)=sin∠ABC(sin C+cos C),所以cos∠ABCsin C=sin∠ABCsin C.因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以tan∠ABC=1.又∠ABC∈(0,π),所以∠ABC=.在△BCD中,因为DB=2,DC=1,所以BC2=12+22-2×2×1·cos D=5-4cos D.又因为A=,∠ABC=,所以△ABC为等腰直角三角形.所以S△ABC=BC2=-cos D.又因为S△BCD=·BD·CD·sin D=sin D.所以S四边形ABDC=-cos D+sin D=+sin(D-).所以当D=时,S四边形ABDC最大.最大值为+.答案:+13. (2018·福建宁德一检)如图,△ABC中,D为AB边上一点,BC=1, B=.(1)若△BCD的面积为,求CD的长;(2)若A=,=,求的值.解:(1)BC=1,B=,S△BCD=BC·BD·sin B=×1×BD×=,BD=.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=1+2-2×1××=1,所以CD=1.(2)在△ACD中,由正弦定理得=,所以sin ∠ACD===,在△BCD中,由正弦定理得=,所以sin ∠DCB===,所以==×=.14.(2018·江西联考)已知函数f(x)=2sin 2x-2sin 2(x-),x∈R. (1)求函数y=f(x)的对称中心;(2)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f（+）=,△ABC的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.解:由f(x)=1-cos 2x-（1-cos[2（x-）］=cos(2x-)-cos 2x=cos2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).(1)令2x-=kπ(k∈Z),则x=+(k∈Z),所以函数y=f(x)的对称中心为(+,0),k∈Z.(2)由f(+)=得sin（B+）=⇒sin B+cos B=⇒asin B+acos B=b+c,由正弦定理得sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin C⇒sin AsinB=sin B+cos Asin B,又因为sin B≠0,所以sin A-cos A=1⇒sin(A-)=.由0<A<π得-<A-<,所以A-=,即A=.又△ABC的外接圆的半径为,所以a=2sin A=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=.即b+c≤6,当且仅当b=c时取等号,所以△ABC周长的最大值为9.。

45,C∠.求边长能够很好地激发学生的求知欲望。

在新的问题产生时这个时候也正是产生知识缺陷, 急需新知识的时候教师活动2探究一: 直角三角形边角关系如图：在中, 是最大的角, 所对的斜边是最大的边, 探究边角关系。

探究二: 斜三角形边角关系实验1: 如图, 在等边中, ,对应边的边长, 验证是否成立？实验2: 如图, 在等腰中, , , 对应边的边长, 验证是否成立？实验3：借助多媒体演示, 发现随着三角形的任意变换, 的值相等。

通过这样的一些实验, 我们可以猜想。

学生活动2探究一: 在中, 设, 根据正弦函数定义可得:cbBcaA==∴sin;sincBbAa==∴sinsin又1sin=CCcBbAasinsinsin==∴探究二: 学生通过计算验证结论是否正确探究二：学生通过计算验证结论是否正确活动意图说明从已有的知识结构出发, 不让学生在思维上出现跳跃, 逐层递进, 通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点, 再对特殊的斜三角形进行验证, 过渡到一般的斜三角形边角关系的探究。

让学亲自体验数学实验探究的过程, 逐层递进, 激发学生的求知欲和好奇心, 体会到数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。

多媒体技术的引入演示, 让学生更加直观感受到变换, 加深理解。

环节三:教的活动3证明猜想, 得到定理学的活动3分组讨论证明方法并展示活动意图说明经历猜想到证明的过程, 让学生体会到数学新知识得获得仅仅靠猜想和演绎推理是不够的,必须经过严密的数学推导进行证明才可以。

在这个过程中, 也进一步促进学生数学思维思维品质的提升。

7.板书设计（板书完整呈现教与学活动的过程, 最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点。

使用PPT应注意呈现学生学习过程的完整性）课题一、正弦定理定理: 例题练习。

太多的事物不仅与表示它的量的大小有关，而且也与方向有关．三角恒等变换左图为世界著名的艺术殿堂——法国卢浮宫，它的正门入口处有一个金字塔建筑，它的设计者就是著名的美籍华人建筑师贝聿铭．那么在测量这类建筑物的高度时(如右图)，我们需要来解复合角∠DAC ＝α－β的正、余弦值，这就需要对两角差的正、余弦进行变换．事实上，变换是数学的重要工具，同时也是高中数学学习的主要对象之一．其中代数变换我们已经在初中学习过，而且在必修4的第一章也涉及同角三角函数的变换．与代数变换一样，三角变换也是一种只变其形，不改变其本质的一种变换.两角差的余弦公式我们知道cos45°＝22，cos30°＝32.请同学们思考这样一个问题：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°成立吗？答案当然是不成立，因为cos15°的值应该是一个正值，而cos45°－cos30°是一个负值，那么cos15°的值与cos45°和cos30°之间到底存在什么关系呢？两角和与差的正弦、余弦变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果，那么在三角函数中，两角和与差的正弦余弦之间又有怎样的变换呢？两角和与差的正切坐在教室里，需要一个合适视角才能看清楚黑板；在足球比赛中，若你从所守球门附近带球过人沿直线推进，要想把球准确地踢进大门去，需要确定一个最佳位置，这些实际生活中的问题可不是仅仅一个角度就可以解决的，其中涉及到至少两个角度的因素，只有把问题分析全面，才能稳操胜券．怎样确定两角之间的关系呢？二倍角的正弦、余弦、正切公式在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？三角恒等变换变换是生活中的常态，换一个环境，换一种心情，换一个角度，或许就柳暗花明又一村了，我们经常看到的魔术更是如此．可见，变换已深入到我们生活中的每一个角落．在前面几节的学习中，我们已经领略了三角变换的风采，那么，对于前面学习的和角公式，通过对各公式做加减运算，又能得到什么样的变换呢？解三角形在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？1992年9月21日，中国政府决定实施载人航天工程，并确定了三步走的发展战略。

3.2 简单的三角恒等变换整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点. 推进新课 新知探究 提出问题 ①α与2a有什么关系? ②如何建立cos α与sin22a之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?⑤证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin22a ,将公式中的α用2a代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=2cos 22a -1, 所以cos 22a =2cos 1a +. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a =±aa cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2a所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β后，解相应的以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入(1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, 即sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.① 设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-.把α,β的值代入①, 即得sin θ+sin φ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-.教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(见活动）.应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin50°(1+3解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+∙=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41,即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611.点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________. 答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证.活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BAB A , ∴c os 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos +B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴=+A B A B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 证明二:令BAa B A sin sin ,cos cos cos 22==sin α,则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2k π(k∈Z ),即B=2k π+α(k∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1.点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1.证明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(4π+2x )=2sin2cos 2sin2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x,得x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++ 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,①3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,② ①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β, 两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β). ∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π-2β)>0. 又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π.结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -==βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+=βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立. 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证.2.已知sin β=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tan α. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sin β=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]⇒(1-m)·sin(α+β)cos α=(1+m)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm-+11tan α. 知能训练1.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2a 的值为( )A.5B.-5C.51D.51-2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a-- 3.已知sin θ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________.解答:1.A2.D3.-3 课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业课本习题3.2 B 组2.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换第2课时导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开. 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能. 推进新课 新知探究 提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？ 活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2k π（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是k π（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题. 我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx，y=cosx 的周期是2k π（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1. ②—③(略)见活动. 应用示例思路1 例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值. 解:在Rt△OBC 中,BC=cos α,BC=sin α, 在Rt△OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sin α. 所以AB=OB-OA=cos α33-sin α. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63.由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点. 变式训练 (2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx-6π)-2cos 22x ω,x∈R (其中ω(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间. 解:(1)f(x)=23sin ωx+21cos ωx+23sin ωx-21cos ωx-(cos ωx+1)=2(23sin ωx-21cos ωx)-1=2sin(ωx-6π)-1.由-1≤sin(ωx-6π)≤1,得-3≤2sin(ωx-6π)-1≤1, 可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2k π-2π≤2x -6π≤2k π+2π(k∈Z ),解得 k π-6π≤x≤k π+3π(k∈Z ). 所以y=f(x)的单调增区间为［k π-6π,k π+3π］(k∈Z ). 点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间. 活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π). 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π].点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值. 解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1. 所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.思路2例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值. 活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练.解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cos φsin ωx=cos φsin ωx 对任意x 都成立. 又ω>0,所以,得cos φ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x). 取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+k π,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题. 变式训练已知如图2的Rt△ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cos θ-sin θ=4(cos2C B +-cos 2CB -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt△BAD 中,m AB =cos 2B,在Rt△B AC 中,a AB =sinC,∴mcos 2B=asinC.图2同理,ncos 2C=asinB. ∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC.而a 2=2mn, ∴cos2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81.积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2CB -)=-1, 若存在θ使等式cos θ-sin θ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1,∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π, ∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在. 点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2 已知tan(α-β)=21，tan β=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34.从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=.又∵tan α=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tan β=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cos α;若α∈(2π-,2π)，则求sin α等.变式训练若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ① 3sin αcos α=sin2β， ②①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cos αcos2β-sin αsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π.知能训练课本本节练习4. 解答:4.(1)y=21sin4x.最小正周期为2π,递增区间为[28,28ππππk k ++-](k∈Z ),最大值为21; (2)y=cosx+2.最小正周期为2π,递增区间为[π+2k π,2π+2k π](k∈Z ),最大值为3; (3)y=2sin(4x+3π).最小正周期为2π,递增区间为[224,2245ππππk k ++-](k∈Z ),最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学. 作业课本复习参考题A 组10、11、12.设计感想1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大.应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点.。

高一数学必修4_解三角形测试卷一、选择题（12×5=60）1、 在∆ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有2个解的是（ ） A . b=10，A= 45，C= 70 B .a=60，c=48，B=60 C .a=7，b=5，A=80D .a=14，b=16，A=452、在∆ABC 中，24,34,60===⋅b a A ，则B 等于（ ） A.13545或 B.135 C.45 D. 以上答案都不对3、∆ABC 中，)1+3(:6:2=sin :sin :sin C B A ，则三角形的最小内角是（ ） A.60 B.45 C.30 D.以上答案都不对 4、 在∆ABC 中，A =60，b=1，面积为3，求CB A cb a sin sin sin ++++的值为（ ）A.3392 B. 13 C. ２13 D.339 5、在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则∙的值为（ ） A. 19B. -14C. -18D. -196、 A 、B 是△ABC 的内角，且53cos =A ，135sin =B ，则C sin 的值为（ ） A.65156563-或 B.6563C.65636516-或 D.6516 7、∆ABC 中，a=2，A=30，C=45，则∆ABC 的面积为（ ） A. 2 B. 22 C. 1+3 D. )1+3(218、在ABC ∆中，2cossin sin 2AC B =⋅，则∆ABC 是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形 9、已知∆ABC 中， AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（ ） A. 60π≤<C B. 20π<<C C.26ππ<<C D.36ππ≤<C10、若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是（ ） A. 1<x<5 B. 5<<5x C. 13<<1x D. 13<<5x11、在ABC ∆中，已知 75,60,8===C B a ，则b = （ ） （A ）24 （B ）34 （C ）64 （D ）332 12、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）3400米 B.33400米 C. 2003米 D. 200米 二、填空题（每题5分，共20分）13、三角形两条边长分别为3cm ，5cm ，其夹角的余弦是方程06752=--x x 的根，则三角形面积为 。