b知识梳理第二十四讲 二次函数与函数图像一、二次函数的图像性质二次函数 y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移， k 负下移”．（1） 当 a ＞0 时，函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图像开口向上；顶点坐标为(- b 4ac - b 2, ) ，对称轴为 2a 4ab b b直线 x ＝－ ；当 x ＜ - 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x ＞ - 时，y 随着 x 的增大而增大；2a 2a b2a 4ac - b 2当 x ＝ - 时，函数取最小值 y ＝ ． 2a 4ab 4ac - b 2（2） 当 a ＜0 时，函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图像开口向下；顶点坐标为(- , ) ，对称轴为 2a 4ab b b直线 x ＝－ ；当 x ＜ - 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x ＞ - 时，y 随着 x 的增大而减小；2a 2a b2a 4ac - b 2当 x ＝ - 时，函数取最大值 y ＝ ．2a 4aybx ＝－2aO二、二次函数的最值A (- , 2ax4ac - b 2)4a一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，求 f ( x ) 在 x ∈[m ，n ] 上的最大值与最小值．分析：将 f ( x ) 配方，得对称轴方程 x = - b，2ab 当a > 0 时，抛物线开口向上，若-∈[m ，n ] 必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取2a得最大值；若- b2a∉[m ，n ] ，当a > 0 时，抛物线开口向上，此时函数在[m ，n ]上具有单调性，yA (- , b 4ac - b 22a 4aOxbx ＝－2a)⎪⎨ ⎪ ⎨ ⎨m in 故在离对称轴 x = - b 2a较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a < 0 时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下： 当a > 0 时⎧ b 1 ⎧f (n )，- b 2a > n (如图3)f (x ) max ⎪ f (m )，- 2a ⎨ b ≥ (m + n )(如图1) 2 1f (x ) min ⎪ = ⎪ f (- b )，m ≤ - b 2a 2a ≤ n (如图4) ⎪ f (n )，- ⎩ 2a < (m + n )(如图2) 2 ⎪ ⎪ f (m )，- b ⎩2a < m (如图5)当a < 0 时⎧ f (n )，- b 2a> n (如图6) ⎧ f (m )， - b≥ 1 (m + n )(如图9)f (x ) max ⎪ = ⎪ f (- b )，m ≤ - b 2a 2a≤ n (如图7) f (x ) = ⎪ ⎪ 2a 2 b 1 ⎪ b ⎪f (n )， - < (m + n )(如图10) ⎪ f (m )，- ⎩2a < m (如图8)⎩ 2a 2三、根的分布问题设方程ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的不等两根为 x , x 且 x < x ，相应的二次函数为1212f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ，方程的根即为二次函数图像与 x 轴的交点，它们的简单分布情况见下表⎪ ⎪=分布情况两根都小于 k 即 x 1 < k , x 2 < k 两根都大于 k 即x 1 > k , x 2 > k 一个根小于 k ，一个大于 k 即x 1 < k < x 2a ⋅ f (0) < 02a ⎪⎩a ⋅ f (0) > 0⎪ ⎨ ⎪ - b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩a ⋅ f (0) > 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0 af (0) > 02a ⎪⎩ f (0) < 0⎪ ⎨ ⎪- b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩ f (0) < 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0a < 0f (0) < 02a ⎪⎩ f (0) > 0⎪ ⎨ ⎪ - b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩ f (0) > 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0a > 0大致图像（）得出的结论大致图像（）得出的结论综合结论（不讨论 ）大致图像（综合结论（不讨论）- -- -- -⎪<⎪>⎪<⎪>⎪<⎪>ka > 0 kk⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak f (k )< 0⎪⎩f(k)>0⎪⎩f(k)>0 a < 0⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak f (k )> 0⎪⎩f(k)<0⎪⎩f(k)<0⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak a ⋅f (k )< 0⎪⎩a⋅f(k)>0a⎪⎩a⋅f(k)>0分布情况两根都在(m, n)内两根有且仅有一根在(m, n)内（图像有两种情况，只画了一种）一根在(m, n)内，另一根在(p, q)内，m <n <p <q）得出的结论大致图像（）得出的结论综合结论（不讨论）⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨a > 0⎧ ∆ > 0 ⎪ f (m ) > 0 ⎧ f (m ) > 0⎪f (n ) < 0⎧⎪ f (m ) f (n ) < 0 或 ⎨ ⎪f (n ) > 0 ⎪ bf (m )⋅ f (n ) < 0⎨ f ( p ) < 0 f (q ) > 0 ⎩⎪ f ( p ) f (q ) < 0 ⎪m < - < n⎩⎩⎪2a a < 0⎧ ∆ > 0 ⎪f (m ) < 0 ⎪ f (n ) < 0f (m )⋅ f (n ) < 0⎧ f (m ) < 0⎪f (n ) > 0 ⎨或f (m ) f (n ) < 0 ⎪b ⎪ f ( p ) > 0 ⎪⎩ f ( p ) f (q ) < 0 ⎪m < - < n⎪ f (q ) < 0⎩⎪2a⎩a ——————f (m )⋅ f (n ) < 0⎧ f (m )f (n ) < 0 ⎪ ⎨ ⎪⎩ f (p ) f (q ) < 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m , n )外，即在区间两侧 x < m , x > n ，（图12形分别如下）需满足的条件是⎪ 大致图像（）得出的结论大致图像（）得出的结论( ) ( ) 2 2⎧⎪ f (m ) < 0（1） a > 0 时， ⎨ ⎪⎩ f n < 0 ⎧⎪ f (m ) > 0；（2） a < 0 时， ⎨⎪⎩ fn > 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在(m , n )内有以下特殊情况：1︒ 若 f (m ) = 0 或 f (n ) = 0 ，则此时 f (m ) f (n ) < 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或 n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m , n )内，从而可以求出参数的值．如 方 程 mx 2-(m + 2) x + 2 = 0 在 区 间 (1, 3)上 有 一 根 ， 因 为f (1) = 0， 所 以mx 2 -(m + 2) x + 2 = ( x -1)(mx - 2) ，另一根为 2 ，由1 < < 3 得 < m < 2 即为所求；m m 3 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间(m , n )内，即∆ = 0 ，此时由∆ = 0 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程 x 2 - 4mx + 2m + 6 = 0 有且一根在区间(-3, 0) 内，求 m 的取值范围．分析：①由f (-3) f (0) < 0 即 (14m +15)(m + 3) < 0 得 出 -3 < m < -1514； ② 由 ∆ = 0 即 16m 2 - 4(2m + 6) = 0 得出m = -1或 m = 3，当m = -1时，根 x = -2 ∈(-3, 0) ，即 m = -1满足题2意；当 m = 3 时，根 x = 3∉(-3, 0) ，故 m = 3 不满足题意；综上分析，得出 -3 < m < - 15或 m = -12 2 14 四、函数的图像 （一）、画图像的方法——描点法和图象变换法；由函数解析式，用描点法作图像应①化简解析式；②分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、 对称性、周期性等；③选算对应值，列表，描点，连线．（二）、常见的图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等． 1、平移变换< = < y = f ( x ) −a −>−0,−右−移−→ a < 0, 左移y = f ( x - a ) ；y = f ( x ) −b −>−0,−上−移−→y = f ( x ) + b ； b < 0,下移2、 伸缩变换：y = f ( x ) −0−<−ω−< 1−, 伸−（−横−向−）→ y = f (ωx ); ω> 1, 缩（横向）y = f ( x ) −0−<−A −< 1−, 缩−（−纵−向−）→ y = Af (x ) ． A > 1, 伸（纵向）【教学建议】在讲解平移与伸缩变换时，可举三角函数的图像变换实例予以说明．3、对称变换：（1） y = f ( x ) −−x 轴−→ y = - f ( x ) （即把( x , y ) 换成( x , - y ) ）； 对称 （2） y = f ( x ) −−y 轴−→ y = f (-x ) （即把( x , y ) 换成(-x , y )）； 对称（3） y = f ( x ) −直−线−x −=−a → y = f (2a - x ) （即把( x , y ) 换成(2a - x , y )）； 对称 （4） y = f ( x ) −原−点−→ y = - f (-x ) （即把( x , y ) 换成(-x , - y )）； 对称（5） y = f ( x )−直−线−y −=−x → y = f -1 ( x ) （即把( x , y ) 换成( y , x )）； 对称（6） y = f ( x )−保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f ( x )；并作关于y 轴对称图像【教学建议】可先分析函数 y = f ( x )的奇偶性，易知其为偶函数，即图像关于 y 轴对称，再对函 数 y = f ( x ) 分段，发现当 x ≥ 0 时其 y = f ( x )= f ( x ) ，从而易得图像的画法如上所述．（7） y = f ( x ) −−−保−留−x −轴−上−方图−像−−−→ y = 把下方图像对称到x 轴上方f ( x ) ；*（8） y = f ( x ) −如−何−变−换−?−→ y = 方法一：f (| x + a |)y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f ( x +a ) −保−留−x −=−a 右−边−图−像−，−去−掉−x =−a −左−边−图−像−→ y = f (| x + a |)a 0, 右移 并作关于x a 对称图像 方法二：y = f ( x ) −保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f (| x + a |) *（9） 并作关于y 轴对称图像a < 0, 右移 y = f ( x ) −如−何−变−换−?−→ y = f (| x | + a )y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f ( x +a ) −保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f (| x + a |)a 0, 右移 并作关于y 轴对称图像【教学建议】（8）（9）两条变换是难点，也是重点分析内容，可举实例让学生自主探索，（如f ( x ) = x 2 - 4x - 5 ，画出 y = f ( x ) ， y = f ( x +1)， y = f ( x + 1 ) ， y = f ( x + 1) 等图像比较并自行探索分析）教师再总结归纳，综合例题巩固（如例 1（4，6）与其同类变,3,4，5），让学生加深印象．五、函数的周期性与对称性（一）、周期性1、定义：对于 f ( x ) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数T ，使得 f ( x + T ) = f ( x ) 恒成立， 则称函数 f ( x ) 具有周期性，T 叫做 f ( x ) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z , k ≠ 0) 也是 f ( x ) 的周期，所有周期中的最小正数叫最小正周期．1、函数自身的对称性 （1） 轴对称若函数 f ( x ) 满足 f (x + a ) = f (b - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = a + b对称；2（由“ x 的和一半 x =(a + x ) + (b - x ) ”确定）．2特例：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = f (a - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = a 对称；若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = f (-x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = 0 （ y 轴）对称；（2） 中心对称若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = - f (b - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点⎛ a + b , 0 ⎫对称；2 ⎪ ⎝ ⎭特例：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = - f (a - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点(a , 0) 对称；若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = - f (-x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点(0, 0) （即原点）对称；*拓展：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) + f (b - x ) = c ，则 f ( x ) 的图像关于点⎛ a + b , c ⎫对称； 22⎪⎝⎭综上：可以看出“内同则周期，内反则对称” ． 2、不同函数之间的对称性 （1） 轴对称函数 y = f (a + x ), y = f (b - x ) 的图像关于直线 x = b - a 对称（由相等求出 x 即 a + x = b - x2决定）．特例：函数 y = f (a + x ), y = f (a - x ) 的图像关于直线 x = 0 对称．（2） 中心对称函数 y = f (a + x ), y = - f (b - x ) 的图像关于⎛ b - a , 0⎫对称（由相等求出 x 即 a + x = b - x2⎪ ⎝ ⎭决定）．（三）对称性与周期性（1） 若 y = T = 2 a - b ；f ( x ) 的图像关于直线 x = a 、 x = b (a ≠ b ) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期特例：若 y = f ( x ) 是偶函数且其图像关于直线 x = a 对称，则周期T = 2 a ；（2） 若 y = （3） 若 y =f ( x ) 关于点(a , 0)、(b , 0) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期T = 2 a - b ； f ( x ) 的图像关于直线 x = a 、对称中心(b , 0)(a ≠ b ) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期T = 4 a - b ；特例：若 y = f ( x ) 是奇函数且其图像关于直线 x = a 对称，则周期T = 4 a综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数． 【教学建议】以上的知识讲解比较抽象，建议一边利用抽象函数取相关点分析、证明，一边举实例予以说明， 如在讲解“三、对称性与周期性”时可举 y = sin x 函数的对称性验证说明： 其图像关于 x = π， x = 3π对称，则周期T = 2 ⎛ 3π- π⎫ = 2π；图像关于(0, 0),(π, 0)对称，则 2 2 2 2 ⎪ ⎝ ⎭周期T = 2(π- 0) = 2π；图像关于(0, 0), x = π对称，则周期T = 4 ⋅π= 2π22一、二次函数图像和性质 【例 1】设函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ,对任意实数t 都有 f (2 + t ) = f (-1), f (1), f (2), f (5) 中,最小的一个不可能是 ．【例 2】求函数 y ＝|x 2＋2x －3|的增区间与减区间．f (2 - t ) 成立,则函数值【例 3】函数 f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2 在[－1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围．例题解析【例4】已知a 为实数，试求函数 f (x) =x2+x -a + 1 的最小值．⎧⎪ax2+2x+1,x≥0,【例5】已知函数f (x) =⎨⎪⎩-x2+bx+c,x<0是偶函数，直线y =t 与函数f ( x) 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若| AB |=| BC | ，则实数t 的值为．【例6】已知二次函数f(x)=ax2+bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x 的实数x 称为函数f(x) 的不动点，若函数f(x)有且仅有一个不动点，（1）求f(x)的解析式；（2）若函数g(x)= f(x)+ kx+1x2在(0，2 3]上是单调减函数，求实数k 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．【巩固训练】1．（1）已知二次函数g(x)满足g(1)=1，g(-1)=5，图像过原点，求g(x)；（2）已知二次函数h(x) 与x 轴的两交点为(-2, 0) ，(3, 0) ，且h(0) =-3 ，求h(x) ；（3）已知二次函数F (x) ，其图像的顶点是(-1, 2) ，且经过原点，求F (x) .62.已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3 的抛物线，试比较大小：（1）f(6)与f(4) (2)f(2)与f( 15)3．已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) （）A．在区间(-1，0)内是减函数B．在区间(0，1)内是减函数C．在区间(-2，0)内是增函数D．在区间(0，2)内是增函数4.已知不等式a ≤3x2 - 3x + 4 ≤b 的解集为[a, b] ，则a +b 的值为．45.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2 月1 日起的300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图a 表示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图b 表示的抛物线段表示（1）写出图（a）表示市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；（2）写出图(b)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)（3）认定市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时上市的西红柿纯收益最大？5．设函数f (x) =形区域，则a 的值为．(a < 0) 的定义域为D ，若所有点(s, f (t))(s, t ∈D) 构成一个正方ax2 +bx +c1 2 1二、一元二次方程根的分布【例 7】已知实系数一元二次方程 x 2 + (1 + a )x + a + b + 1 = 0 的两个实根为 x ， x 且0 < x< 1 ，x > 1，则 b的取值范围是（ ） 2a 121A ． (-1,- 1 ) 2B ． (-1,- 1]2C ． (-2,- 1]2 D ． (-2,- 1)2【例 8】已知 f (x ) =| x 2 - 1 | + x 2 + kx ．（1）若k = 2 ，求方程 f ( x ) = 0 的解；（2）若关于 x 的方程 f ( x ) = 0 在(0,2) 上有两个解 x 1 ， x 2 ，求 k 的取值范围．【例 9】设关于 x 的方程 4x 2-4(m+n)x+m 2+n 2=0 有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则 m,n 必须满足的关系是 ．【例 10】设二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a > 0) ，方程 f ( x ) - x = 0 的两个根 x, x 满足0 < x 1 < x 2 < a．（1）当 x ∈(0, x 1 ) 时，证明 x < f ( x ) < x 1 ；（2）设函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = x 0 对称，证明 x < x1 ． 0 2【例11】已知函数f (x)=kx2+x +k 有两个不同的零点，且一个零点在区间(0,1)内，另一个在区间(1,3)，求k 的取值范围．【例12】已知m、n、α、β∈ R,m <n,α<β，若α、β是函数f ( x) = 2( x-m)( x-n) - 7 的零点，则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是．（用符号“<”连接起来）【巩固训练】1.已知函数f (x) =-x 2+ax +b(a, b∈R) 的值域为(-∞,0] ，若关于x 的不等式f ( x) >c -1 的解集为(m - 4, m + 1) ，则实数c 的值为．2.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0 是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4 在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围．3.已知关于x 的一元二次方程：x2–kx+2k–3=0 有两个实数根．(1)若两个根满足：一个根大于1，另一个根小于1，求实数k 的取值范围；(2)求方程的两个实数根的平方和的最小值，并写出此时实数k 的值．4．已知函数 f (x ) = 3x 2+ ( p + 2)x + 3 ， p 为实数．（1） 若函数 y = f ( x ) 是偶函数，试求函数 f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的值域； （2） 已知α：函数 f ( x ) 在区间[-1, +∞) 上是增函数， β：方程 f ( x ) = p 有小于-2 的实根．试 2问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明理由．三、恒成立及有解问题【例 13】已知函数 y = f (x ) =x 2+ 3x + 2a, xx ∈[2, +∞) ． （1） 当 a = 1时，求函数 f (x ) 的最小值；2 （2） 若对任意x ∈[2, +∞), f (x ) > 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．【例 14】若关于 x 的方程 2 x 2 - x + 2 + a = 0 有解，则实数a 的取值范围是 ．【例 15】已知 k ∈ N ， k 为常数，方程 x 2 -(4k + a ) x + 4k 2 = 0 在区间(2k -1, 2k +1]上有两个不等的实根，求 a 的范围．【例16】已知函数f (x) =x 2- 1 ，g ( x) =a | x - 1 | ．(1)若关于x 的方程| f ( x) |=g (x) 只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2)若当x ∈R 时，不等式f ( x) ≥g (x) 恒函数成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数h( x) =| f ( x) | +g ( x) 在区间[-2,2]上的最大值（直．接．写．出．结．果．，不．需．给．出．演．算．步．骤．）．【巩固训练】1.已知f ( x) =x | x - 6 | -m 有三个不同零点，则实数m∈．2.已知关于x 的方程x2 - 6x + 5 =a 有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是．3.若关于x 的不等式x -1 >x2+a 仅有负数解，则实数a 的取值范围是．四、函数图像变换【例16】分别画出以下函数的图像：（1）y = 2 - x（2）y = - 2- x1（3）y = - 2 - x1（4）y = lg(1-x)（5）y = 2 x - 1 （6）y =-x + 2⎪ 【例 17】分别画出以下函数的图像：（1） y =| x - x 2| （4） y = lg | x -1|（2） y = x 2- | x | （5） y = (x -1)-2+ 3（3） y =| x 2+ 2x | -3 （6） y = lg ( x - 2)2【例 18】用min (a , b ) 表示 a , b 两数中的最小值，若函数 f ( x ) = min{ x , x + t }的图像关于直线x = - 1对称，则t 的值为（ ）2A 、 -2B 、2C 、 -1D 、1⎧ lg x , 0 < x ≤ 10, 【例 19】已知函数 f ( x ) = ，若a , b , c 互不相等，且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，⎨- 1x + 6, x > 10⎩⎪ 2则abc 的取值范围是（）A 、(1,10)B 、(5, 6)C 、(10,12)D 、(20, 24)【例 20】已知 且 ,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（）1 1 1 1【巩固训练】 1. 函数 y =| x 2 + 2x | -3 与函数 y = a 交点的个数可能为．2. 若直线y = 2a 与函数 y = a x-1 (a ＞0，a ≠ 1) 的图像有两个公共点，则a 的取值范围是．3．方程lg(x -100)2= 7- (| x | -200)(| x | -202) 的解的个数为（）2（A ）2（B ）4（C ）6（D ）84 ． 已知函数 f ( x ) = lg | x -1| ， 若 x 1 < x 2 < x 3 < x 4 ， 且 f (x 1 ) = f (x 2 ) = f (x 3 ) = f (x 4 ) ， 则+ + + = ．x 1 x 2 x 3 x 4五、函数的周期性与对称性【例 21】定义在 R 上的函数 f (x + 2)+ f (x )= 0 ，且 y = f (x -1)是奇函数，给出下列命题：①函【例 22】设 y = f ( x ) 的定义域为 R ，且 y = f (2x + 1) 为偶函数，则 y = 2f (2 x ) 图像关于对称， y = f ( x ) 关于对称．【例 23】已知函数 y = f ( x ) 对一切实数 x 满足 f (2 - x ) = f (4 + x ) ，且方程 f ( x ) = 0 有 5 个实根， 则这 5 个实根之和为（ ）A 、5B 、10C 、15D 、18⎩ 【例 24】在 R 上定义的函数 f (x ) 是偶函数，且 f (x ) = f (2 - x ) .若 f (x ) 在区间[1, 2] 上是减函数，则 f (x ) ( )A. 在区间[-2, -1] 上是增函数，在区间[3, 4] 上是增函数B. 在区间[-2, -1] 上是增函数，在区间[3, 4] 上是减函数C. 在区间[-2, -1] 上是减函数，在区间[3, 4] 上是增函数D. 在区间[-2, -1] 上是减函数，在区间[3, 4] 上是减函数【例 25】定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (x ) = ⎧log 2 (1- x ), x ≤ 0，则 f (2014 ) 的值为．⎨f (x -1) - f (x - 2), x > 0【例 26】设 g ( x ) 是定义在 R 上，以周期为 1 的函数，若函数 f ( x ) = x + g ( x ) 在区间[3, 4] 上的值域为[-2,5] ，则 f ( x ) 在区间[-10,10] 上的值域为．【 例 27 】 f (x ) 为 R 上的偶函数, g (x ) 为 R 上的奇函数且过 (-1,3) , g (x ) =f (x - 1) , 则f (2012) + f (2013) =．【巩固训练】1. 对于定义在 R 上的函数 f (x ) ，有下述命题：①若 f (x ) 是奇函数，则 f ( x - 1) 的图像关于点 A （1，0）对称； ②若函数 f ( x - 1) 的图像关于直线 x = 1对称，则 f (x ) 为偶函数； ③若对 x ∈ R ，有 f (x - 1) = - f (x ),则2 是 f (x ) 的一个周期； ④函数 y = f (x -1)与y = f (1 - x ) 的图像关于直线 x = 1 对称． 其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的序号）．2. 设函数 y =f ( x ) 的定义域为 R ，则下列命题中，①若 y = f ( x ) 是偶函数，则 y = f ( x + 2) 图像关于 y 轴对称； ② 若 y = f ( x + 2) 是偶函数， 则 y = f ( x ) 图像关于直线 x = 2 对称； ③ 若 f ( x - 2) = f (2 - x ) ，则函数 y = f ( x ) 图像关于直线 x = 2 对称；④ y = f ( x - 2) 与 y = f (2 - x ) 图像关于直线 x = 2 对称，其中正确命题序号为 ．反思总结课后练习3.已知函数 f (x ) = 14 - 2 x的图像关于点 P 对称，则点 P 的坐标是（ ）（A ） (2, 1 ) 2 （B ） (2, 1 ) 4 （C ） (2, 1) 8（D ） (0, 0)4. 已知函数 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 和 x = 4 都对称，且当0 ≤ x ≤ 1时， f( x ) = x ．求 f (19.5)的值．5. ． 已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) , 满足 f (x - 4) = - f (x ) , 且在区间[0,2] 上是增函数, 若函数F (x ) = f (x ) - m (m > 0) 在 区 间 [- 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 零 点 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 则 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = .1、研究二次函数问题牢牢抓住“三根主心骨”：开口，对称轴，判别式；2、最值问题四大类：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间；3、根的分布问题额外讨论区间端点的正负号；4、函数图像是高考的必考内容，其中包括作图、识图、用图．作图一般有两种方法：描点法、图像变换法．图像变换法中，有平移变换、对称变换和伸缩变换，要记住它们的变换规律．利用描点法作函数图像其基本步骤是①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．识图时，要留意它们的变化趋势，以及坐标轴的交点及一些特殊点.特别是对称性、周期性等图 形特点，应引起足够的重视．用图，主要是数形结合思想的应用．1.函数f(x)= x2+2(a－1)x+2 在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是（）A. [-3, +∞)B. (-∞, -3]C. (－∞,5)D. [3, +∞)2.若函数y =f ( x -1) 是偶函数，则y =f ( x) 的图象关于直线对称．3.已知函数f (x) = 2ax 2 + 4(a -3)x + 5 在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是．4.设f ( x) 是定义在R 上的以3 为周期的函数，若f (-1) >1, f (2) =2a -3，则实数a 的取值范围a +1是．5．方程lg x2 = 4 -(| x | -200)(| x | -202) 的解的个数为（）（A）2 (B）4 （C）6 （D）86.如果实数x、y 满足x + y = 4 ，则x 2 + y 2的最小值是（）A. 4.B. 6.C. 8 .D. 10 .7.函数y = f ( x) 的图象沿x 轴正方向平移2 个单位，得图象c1 ，图象c1 关于y 轴对称图象为c2 ，那么c2对应的函数解析式是．8.定义在R 上的函数f ( x) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程f ( x) = 0在闭区间[-T ,T ]上的根的个数记为n ，则n 至少为．9.定义域和值域均为[-a, a]（常数a > 0 ）的函数y =列四个命题：（1）方程f[g(x)]= 0 有且仅有三个解；（2）方程g[f(x)]= 0 有且仅有三个解；（3）方程f[f(x)]= 0 有且仅有九个解；（4）方程g[g(x)]=0 有且仅有一个解．那么，其中正确命题的个数是（）f (x)和y =g(x)的图像如图所示，给出下（A）1 （B）2 （C）3 （D）4⎩ 12 ⎧x +1, x ∈[-1, 0), 7.已知 f (x ) = ⎨x 2 +1, x ∈[0,1],则下列函数的图像错误的是（ ）(A) f ( x - 1) 的图像 (B) f (- x ) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x ) |的图像8. 已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx 满足 f (2) = 0 且方程 f ( x ) = x 有等根．（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）问是否存在实数m , n (m < n ) 使 f ( x ) 的定义域为[m , n ] ，值域为[2m ,2n ] ．如存在，求出m , n 的值，若不存在说明理由．9. 已知函数 f (x ) = x 2 - kx + 2k - 3 有两个实数零点 x , x ，求这两个零点的平方和的最小值．10. 已知 a 为实数，函数 f ( x ) = 2x 2 + ( x - a ) x - a ．⑴若 f (0) ≥ 1，求 a 的取值范围；⑵求 f ( x ) 的最小值．11.已知函数f (x) =m(x +1) 的图象与函数h(x) =1(x +1) + 2 的图象关于点A(0,1) 对称．x 4 x（1）求m 的值；（2）若g(x) =f (x) + a在(0, 2]上为减函数，求a 的取值范围．4x12.如果定义域D 为函数f (x)同时满足以下两个条件：① f (x)在D 上是单调函数；②存在区间[a, b]⊆D ，使得f (x)在[a, b]上的值域也是[a, b]。
