3、整式的运算(2)

整式的运算法则整式的加减法：〔1〕去括号；〔2〕合并同类项。

整式的乘法：),(都是正整数n m aa a nm nm+=•),(都是正整数）（n m aa mnn m =)()(都是正整数n b a ab nn n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m aa a nm n m 都是正整数【注意】〔1〕单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

〔2〕单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。

〔3〕计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。

〔4〕多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

〔5〕公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

〔6〕),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-〔7〕多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

一、选择〔每题2分，共24分〕1．以下计算正确的选项是〔〕．A．2x2·3x3=6x3B．2x2+3x3=5x5C．〔－3x2〕·〔－3x2〕=9x5D．54x n·25x m=12x m+n2．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为〔〕．A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－13．以下运算正确的选项是〔〕．A．a2·a3=a5B．〔a2〕3=a5C．a6÷a2=a3D．a6－a2=a44．以下运算中正确的选项是〔〕．A．12a+13a=15a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0二、填空〔每题2分，共28分〕6．－xy2的系数是______，次数是_______．8．x_______=x n+1；〔m+n〕〔______〕=n2－m2；〔a2〕3·〔a3〕2=______．9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时， 假设坐飞机飞行这么远的距离需_________．10．a2+b2+________=〔a+b〕2a2+b2+_______=〔a－b〕2〔a－b〕2+______=〔a+b〕211．假设x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．三、计算〔每题3分，共24分〕13．〔2x2y－3xy2〕－〔6x2y－3xy2〕14．〔－32ax4y3〕÷〔－65ax2y2〕·8a2y17．〔x－2〕〔x+2〕－〔x+1〕〔x－3〕18．〔1－3y〕〔1+3y〕〔1+9y2〕19．〔ab+1〕2－〔ab－1〕2四、运用乘法公式简便计算〔每题2分，共4分〕20．〔998〕221．197×203五、先化简，再求值〔每题4分，共8分〕22．〔x+4〕〔x－2〕〔x－4〕，其中x=－1．23．[〔xy+2〕〔xy－2〕－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25．六、解答题〔每题4分，共12分〕24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．幂的运算一、同底数幂的乘法〔重点〕1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

整式的基本概念1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式． 说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如xy 2就不是一个单项式． a 2是一个单项式，因为a 2可以看作是a ·a ．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35 ，x ，2x等都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x 3yz 4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x 3－x 2y 2＋x 中，单项式x 3的次数是3，单项式－x 2y 2的次数是4，单项式x 的次数是1，所以多项式x 3－x 2y 2＋x 的次数是4．（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。

说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2．（7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如： x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4－7＝2x 4y ＋x 3－7xy 3－y 4－7 ①＝－7－y 4－7xy 3＋x 3＋2x 4y ②＝－y 4－7xy 3＋2x 4y ＋x 3－7 ③＝－7＋x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4④其中，①是按x 的降幂排列；②是按x 的升幂排列；③是按y 的降幂排列；④是按y 的升幂排列．（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x 2，x 等都是整式，多项式3－x ，－x 3－x ＋1等都是整式；在整式2x ，x 4－1中，2x 是单项式，x 4－1是多项式．探究引导：216b π是二次单项式，这里要注意π是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b ，它的指数是2，216b π就是一个二次单项式。

整式的运算法则整式是由数字及其系数和字母及其指数通过加减乘除等运算符号连接而成的代数式。

在代数运算中，整式的运算法则是非常重要的，它包括了加法、减法、乘法和除法四种基本运算法则。

本文将分别介绍这四种运算法则，并通过例题进行详细说明。

一、加法法则加法法则是指将同类项相加时，保持其字母部分不变，将其系数相加即可。

例如，对于整式3x^2+5x^2，将其同类项3x^2和5x^2的系数相加，得到8x^2。

二、减法法则减法法则与加法法则相似，也是将同类项相减时，保持其字母部分不变，将其系数相减即可。

例如，对于整式7x^3-4x^3，将其同类项7x^3和4x^3的系数相减，得到3x^3。

三、乘法法则乘法法则是指将整式相乘时，按照分配律和乘法交换律进行计算。

例如，对于整式2x(3x+4)，首先将2x分别乘以3x和4，得到6x^2+8x。

四、除法法则除法法则是指将整式相除时，首先进行除数的分解，然后利用乘法的逆运算进行计算。

例如，对于整式6x^2÷2x，首先将6x^2分解为2x*3x，然后进行约分，得到3x。

以上就是整式的四种基本运算法则，下面通过例题进行详细说明。

例题1：计算整式的和已知整式3x^2+5x^2+2x-4x，求其和。

解：根据加法法则，将同类项相加，得到8x^2-2x。

例题2：计算整式的差已知整式7x^3-4x^3-2x^2+5x^2，求其差。

解：根据减法法则，将同类项相减，得到3x^3+3x^2。

例题3：计算整式的积已知整式2x(3x+4)，求其积。

解：根据乘法法则，将2x分别乘以3x和4，得到6x^2+8x。

例题4：计算整式的商已知整式6x^2÷2x，求其商。

解：根据除法法则，首先将6x^2分解为2x*3x，然后进行约分，得到3x。

通过以上例题的计算，我们可以看到整式的运算法则是非常简单的，只需要按照规则进行操作即可得到结果。

在代数运算中，整式的运算法则是非常基础的，也是后续学习更复杂代数式和方程的基础。

整式的加减（二）—去括号与添括号（基础） 【学习目标】1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；2. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．【要点梳理】要点一、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．要点诠释：(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．要点二、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．要点诠释：(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：()a b c a b c +-+-添括号去括号， ()a b c a b c -+--添括号去括号要点三、整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．要点诠释：（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．【典型例题】类型一、去括号1．去括号：(1)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-1)+(-x+y)．【答案与解析】(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c ；(2)-(-xy-1)+(-x+y)＝xy+1-x+y ．【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号． 举一反三【变式1】去掉下列各式中的括号：(1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n).【答案】(1). 8m-(3n+5)＝8m-3n-5.(2). n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.(3). 2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.【变式2】（2015•济宁）化简﹣16（x ﹣0.5）的结果是（ ）A ． ﹣16x ﹣0.5B ． ﹣16x+0.5C ． 16x ﹣8D ． ﹣16x+8【答案】D类型二、添括号2．在各式的括号中填上适当的项，使等式成立．(1). 2345()()x y z t +-+=-=+2()x =-23()x y =+-； (2). 23452()2()x y z t x x -+-=+=-23()45()x y z t =--=--．【答案】（1）2345x y z t --+-，2345x y z t +-+，345y z t -+-，45z t -.（2）345y z t -+-，345y z t -+，45z t -+，23x y -+.【解析】(1)2345x y z t +-+ (2345)x y z t =---+-(2345)x y z t =++-+2(345)x y z t =--+-23(45)x y z t =+--；(2)2345x y z t -+-2(345)x y z t =+-+-2(345)x y z t =--+23(45)x y z t =---+45(23)z t x y =---+．【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．举一反三【变式】()()1 a b c d a -+-=-；()()22 ;x y z +-=-()()()()()22222223 ;4 a b a b a b a b a b a a -+-=-+---=--．【答案】b c d -+；2x y z --+；a b -；2b b +. 类型三、整式的加减3．（2016•邢台二模）设A ，B ，C 均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A +B”，得到结果是C ，其中A=x 2+x ﹣1，C=x 2+2x ，那么A ﹣B=（ ）A ．x 2﹣2xB ．x 2+2xC ．﹣2D ．﹣2x【思路点拨】根据题意得到B=C ﹣A ，代入A ﹣B 中，去括号合并即可得到结果．【答案】C ．【解析】解：根据题意得：A ﹣B=A ﹣（C ﹣A ）=A ﹣C+A=2A ﹣C=2（x 2+x ﹣1）﹣（x 2+2x ）=x 2+2x ﹣2﹣x 2﹣2x=﹣2， 故选C.【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．类型四、化简求值4. 先化简，再求各式的值：22131222,2,;22333x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 【答案与解析】原式=2221312232233x x y x y x y -+-+=-+, 当22,3x y =-=时，原式=22443(2)()66399-⨯-+=+=. 【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题的书写格式一般为：当……时，原式=？ 举一反三【变式1】先化简再求值：(-x 2+5x+4)+(5x-4+2x 2)，其中x ＝-2．【答案】 (-x 2+5x+4)+(5x-4+2x 2)＝-x 2+5x+4+5x-4+2x 2＝x 2+10x.当x ＝-2，原式=(-2)2+10×(-2)＝-16．【变式2】先化简，再求值：3(2)[3()]2y x x x y x +----，其中,x y 化为相反数.【答案】3(2)[3()]236322()y x x x y x y x x x y x x y +----=+-+--=+因为,x y 互为相反数，所以0x y +=所以3(2)[3()]22()200y x x x y x x y +----=+=⨯=5. 已知2xy =-，3x y +=，求整式(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-的值．【答案与解析】由2xy =-，3x y +=很难求出x ，y 的值，可以先把整式化简，然后把xy ，x y +分别作为一个整体代入求出整式的值．原式310(5223)xy y x xy y x =++--+3105223xy y x xy y x =++--+5310232x x y y xy xy =++-+-88x y xy =++8()x y xy =++．把2xy =-，3x y +=代入得，原式83(2)24222=⨯+-=-=．【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便． 举一反三【变式】已知代数式2326y y -+的值为8，求2312y y -+的值．【答案】∵ 23268y y -+=，∴ 2322y y -=．当2322y y -=时，原式＝211(32)121222y y -+=⨯+=．6. 如果关于x 的多项式22(8614)(865)x ax x x ++-++的值与x 无关．你知道a 应该取什么值吗？试试看．【答案与解析】所谓多项式的值与字母x 无关，就是合并同类项，结果不含有“x ”的项，所以合并同类项后，让含x 的项的系数为0即可．注意这里的a 是一个确定的数．(8x 2+6ax+14)-(8x 2+6x+5)＝8x 2+6ax+14-8x 2-6x-5＝6ax-6x+9＝(6a-6)x+9由于多项式(8x 2+6ax+14)-(8x 2+6x+5)的值与x 无关，可知x 的系数6a-6＝0．解得a ＝1．【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x 无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x ”的项．【巩固练习】一、选择题1.（2015•江西模拟）计算：a ﹣2（1﹣3a ）的结果为（ ）A.7a ﹣2B.﹣2﹣5aC.4a ﹣2D.2a ﹣22.（2016•黄陂区模拟）下列式子正确的是（ ）A ．x ﹣（y ﹣z ）=x ﹣y ﹣zB ．﹣（x ﹣y+z ）=﹣x ﹣y ﹣zC ．x+2y ﹣2z=x ﹣2（z+y ）D ．﹣a+c+d+b=﹣（a ﹣b ）﹣（﹣c ﹣d ）3．计算-(a-b)+(2a+b)的最后结果为( )．A ．aB ．a+bC ．a+2bD ．以上都不对4. (2010·山西)已知一个多项式与3x 2+9x 的和等于3x 2+4x-1，则这个多项式是( )A ．-5x-1B ．5x+1C ．-13x-1D ．13x+15．代数式2332333103(2)(672)x y x x y x y x y x --++--+的值( )．A ．与x ，y 都无关B ．只与x 有关C ．只与y 有关D ．与x 、y 都有关6．如图所示，阴影部分的面积是( )．A ．112xy B ．132xy C ．6xy D ．3xy 二、填空题7．添括号：（1）.331(___________)3(_______)p q q -+-=+=-．（2）.()()[(_______)][(_______)]a b c d a b c d a a -+-+-+=-+．8.（2015•镇江一模）化简：5（x ﹣2y ）﹣4（x ﹣2y ）=________.9．若221m m -=则2242008m m -+的值是________．10．（2016•河北）若mn=m+3，则2mn+3m ﹣5mn+10= ．11．已知a ＝-(-2)2，b ＝-(-3)3，c ＝-(-42)，则-[a-(b-c)]的值是________．12．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n 是正整数)个图案中由________个基础图形组成．三、解答题13. 化简 (1).（2015•宝应县校级模拟）2（3x 2﹣2xy ）﹣4（2x 2﹣xy ﹣1） (2). 22222323xy xy y x y x -++- (3). m n mn m n mn mn n m 222238.0563--+--(4). )45(2)2(32222ab b a ab b a ---(5).(6).14.化简求值： （1）. 已知：2010=a ，求)443()842()33(232332-+++-++-+--a a a a a a a a a 的值.（2）. 2222131343223a b a b abc a c a c abc ⎡⎤⎛⎫------ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,其中a = -1, b = -3, c = 1. （3）. 已知3532++y x 的值是6，求代数式 71494322-++--y x y x 的值．15. 有一道题目：当a=2,b=-2时，求多项式:3a 3b 3-2a 2b+b-(4a 3b 3-a 2b-b 2)+(a 3b 3+a 2b)-2b 2+3的值.甲同学做题时把a=2错抄成a=-2，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样。

教案：初中数学整式运算
教学目标：
1. 理解整式的概念，掌握整式的基本运算规则。

2. 能够进行整式的加减、乘除运算。

3. 能够解决实际问题，运用整式运算的知识。

教学重点：
1. 整式的概念及其基本运算规则。

2. 整式的加减、乘除运算方法。

教学难点：
1. 整式运算的推理和计算。

2. 实际问题的解决。

教学准备：
1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入整式的概念，让学生回顾已学的代数知识。

2. 提问：什么是整式？整式有哪些基本运算规则？
二、新课讲解（20分钟）
1. 讲解整式的加减运算规则，举例说明。

2. 讲解整式的乘除运算规则，举例说明。

3. 通过实际问题，让学生运用整式运算的知识解决问题。

三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师批改练习题，及时发现并纠正学生的错误。

四、总结与拓展（5分钟）
1. 总结整式运算的规则，让学生加深记忆。

2. 提问：整式运算在实际生活中有哪些应用？
3. 举例说明整式运算在其他学科中的应用。

教学反思：
本节课通过讲解整式的概念和基本运算规则，让学生掌握了整式运算的方法。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，巩固了所学知识。

在总结与拓展环节，学生了解了整式运算在实际生活和其他学科中的应用。

但在教学过程中，发现部分学生对整式运算的推理和计算仍存在困难，需要在今后的教学中加强训练和指导。

专题 整式的运算☞2年中考【2015年题组】 1．（2015北海）下列运算正确的是（ ）A ．3412a b a +=B ．326()ab ab = C ．222(5)(42)3a ab a ab a ab --+=- D ．1262x x x ÷=【答案】C ． 【解析】试题分析：A ．3a 与4b 不是同类项，不能合并，故错误；B ．3226()ab a b =，故错误； C ．正确；D ．1266x x x ÷=，故错误；故选C ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．同底数幂的除法． 2．（2015南宁）下列运算正确的是（ ）A ．ab a ab 224=÷B ．6329)3(x x =C ．743a a a =•D ．236=÷【答案】C ．考点：1．整式的除法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．二次根式的乘除法． 3．（2015厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）A ．22xy -B ．23xC ．32xyD ．32x【答案】D ． 【解析】试题分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．A ．22xy -系数是﹣2，错误；B ．23x 系数是3，错误；C ．32xy 次数是4，错误；D ．32x 符合系数是2，次数是3，正确； 故选D ．考点：单项式．4．（2015厦门）32-可以表示为（ ）A ．2522÷ B ．5222÷ C ．2522⨯ D ．(2)(2)(2)-⨯-⨯-【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．2522÷=252-=2522÷，故正确；B ．5222÷=32，故错误； C ．2522⨯=72，故错误；D ．(2)(2)(2)-⨯-⨯-=3(2)-，故错误；故选A ．考点：1．负整数指数幂；2．有理数的乘方；3．同底数幂的乘法；4．同底数幂的除法． 5．（2015镇江）计算3(2)4(2)x y x y --+-的结果是（ ） A ．2x y - B ．2x y + C ．2x y -- D ．2x y -+ 【答案】A ．考点：整式的加减． 6．（2015广元）下列运算正确的是（ ）A ．23222()()ab ab ab -÷=-B ．2325a a a +=C ．22(2)(2)2a b a b a b +-=-D ．222(2)4a b a b +=+【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．23222()()ab ab ab -÷=-，正确；B ．325a a a +=，故错误；C ．22(2)(2)4a b a b a b +-=-，股错误； D ．222(2)44a b a b ab +=++，故错误． 故选A ．考点：1．平方差公式；2．合并同类项；3．同底数幂的除法；4．完全平方公式．7．（2015十堰）当x=1时，1ax b ++的值为－2，则()()11a b a b +---的值为的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ．16 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵当x=1时，1ax b ++的值为﹣2，∴12a b ++=-，∴3a b +=-，∴()()11a b a b +---=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．故选A ．考点：整式的混合运算—化简求值． 8．（2015黄冈）下列结论正确的是（ ）A ．2232a b a b -= B ．单项式2x -的系数是1-C ．使式子2+x 有意义的x 的取值范围是2x >-D ．若分式112+-a a 的值等于0，则1a =±【答案】B ．考点：1．合并同类项；2．单项式；3．分式的值为零的条件；4．二次根式有意义的条件．9．（2015佛山）若n mx x x x ++=-+2)1()2(，则m n +=（ ） A ．1 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．2【答案】C ． 【解析】试题分析：∵(2)(1)x x +-=2+2x x -=2x mx n ++，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选C ．考点：多项式乘多项式． 10．（2015天水）定义运算：a ⊗b=a （1﹣b ）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a ⊗b=b ⊗a ，③若a+b=0，则（a ⊗a ）+（b ⊗b ）=2ab ，④若a ⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④ 【答案】A ．考点：1．整式的混合运算；2．有理数的混合运算；3．新定义． 11．（2015邵阳）已知3a b +=，2ab =，则22a b +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵3a b +=，2ab =，∴22a b +=2()2a b ab +-=9﹣2×2=5，故选C ．考点：完全平方公式．12．（2015临沂）观察下列关于x 的单项式，探究其规律： x ，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2015个单项式是（ ）A ．2015x2015B ．4029x2014C ．4029x2015D ．4031x2015 【答案】C ． 【解析】 试题解析：系数的规律：第n 个对应的系数是2n ﹣1．指数的规律：第n 个对应的指数是n ．故第2015个单项式是4029x2015．故选C ． 考点：1．单项式；2．规律型． 13．（2015日照）观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++； 33223()33a b a a b ab b +=+++； 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是（ ）A ．36B ．45C ．55D ．66【答案】B ．考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．14．（2015连云港）已知m n mn +=，则(1)(1)m n --= ． 【答案】1． 【解析】试题分析：(1)(1)m n --=mn ﹣（m+n ）+1，∵m+n=mn ，∴（m ﹣1）（n ﹣1）=mn ﹣（m+n ）+1=1，故答案为：1．考点：整式的混合运算—化简求值．15．（2015珠海）填空：2+10x x + =2(_____)x +．【答案】25；5． 【解析】试题分析：∵10x=2×5x ，∴2+1025x x +=2(5)x +．故答案为：25；5．考点：完全平方式． 16．（2015郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为 ．【答案】12．考点：1．列表法与树状图法；2．完全平方式．17．（2015大庆）若若52=n a ，162=n b ，则()nab = ． 【答案】45±． 【解析】试题分析：∵52=n a ，162=n b ，∴2280n na b ⋅=，∴2()80nab =，∴()n ab =45±，故答案为：45±．考点：幂的乘方与积的乘方．18．（2015牡丹江）一列单项式：2x -，33x ，45x -，57x ，…，按此规律排列，则第7个单项式为 ． 【答案】213x -．【解析】试题分析：第7个单项式的系数为﹣（2×7﹣1）=﹣13，x 的指数为8，所以，第7个单项式为213x -．故答案为：213x -．考点：1．单项式；2．规律型．19．（2015安顺）计算：201320111(3)()3-⋅-= ．【答案】9．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的乘法．20．（2015铜仁）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则6()a b += ．【答案】654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++． 【解析】试题分析：6()a b +=654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．故本题答案为：654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．考点：1．完全平方公式；2．规律型：数字的变化类；3．综合题． 21．（2015南宁）先化简，再求值：(1)(1)(2)1x x x x +-++-，其中12x =．【答案】2x ，1． 【解析】试题分析：先利用乘法公式展开，再合并得到答案，然后把12x =代入计算即可．试题解析：原式=22121x x x -++-=2x ，当12x =时，原式=2×12=1．考点：整式的混合运算—化简求值． 22．（2015无锡）计算： （1）02(5)3)3--+-；（2）2(1)2(2)x x +--． 【答案】（1）1；（2）25x +．考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂．23．（2015内江）填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ； 3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 【答案】（1） 22a b -，33a b -，44a b -；（2） n na b -；（3）342． 【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -； 3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；（2）由（1）的规律可得：原式=nna b -，故答案为：nna b -；（3）令98732222...222S =-+-+-+，∴987321222...2221S -=-+-+-+-=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．24．（2015咸宁）（1）计算：0 128(2)-++-；（2）化简：2232(2)()a b ab b b a b--÷--．【答案】（1）32；（2）22b-．考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂．25．（2015随州）先化简，再求值：5322(2)(2)(5)3()a a a ab a b a b+-+-+÷-，其中12ab=-．【答案】42ab-，5．【解析】试题分析：利用平方差公式、单项式乘以多项式法则、单项式除法运算，合并得到最简结果，把ab的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=22453a a ab ab-+-+=42ab-，当12ab=-时，原式=4+1=5．考点：整式的混合运算—化简求值．26．（2015北京市）已知22360a a+-=．求代数式3(21)(21)(21)a a a a+-+-的值．【答案】7．【解析】试题分析：利用单项式乘以多项式法则、平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．试题解析：∵22360a a+-=，即2236a a+=，∴原式=226341a a a+-+=2231a a++=6+1=7．考点：整式的混合运算—化简求值．27．（2015茂名）设y ax=，若代数式()(2)3()x y x y y x y+-++化简的结果为2x，请你求出满足条件的a 值． 【答案】a=﹣2或0． 【解析】试题分析：因式分解得到原式=2()x y +，再把当y ax =代入得到原式=22(1)a x +，所以当2(1)1a +=满足条件，然后解关于a 的方程即可．试题解析：原式=2()x y +，当y ax =时，代入原式得222(1)a x x +=，即2(1)1a +=，解得：a=﹣2或0．考点：1．整式的混合运算；2．平方根． 28．（2015河北省）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：（1）求所捂的二次三项式； （2）若16+=x ，求所捂二次三项式的值．【答案】（1）221x x -+；（2）6．考点：整式的混合运算—化简求值．【2014年题组】 1．（2014年百色中考） 下列式子正确的是（ ） A ．（a ﹣b ）2=a2﹣2ab+b2 B ． （a ﹣b ）2=a2﹣b2 C ．（a ﹣b ）2=a2+2ab+b2 D ．（a ﹣b ）2=a2﹣ab+b2 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．（a ﹣b ）2=a2﹣2ab+b2，故A 选项正确；B ．（a ﹣b ）2≠a2﹣b2，故B 选项错误；C ．（a ﹣b ）2≠a2+2ab+b2，故C 选项错误；D ．（a ﹣b ）2≠a2﹣ab+b2，故D 选项错误；故选A ．考点：完全平方公式．A.()339x x = B.()332x 6x -=- C.22x x x -= D.632x x x ÷=【答案】A ．考点：1.幂的乘方和积的乘方；2.合并同类项；3.同底幂乘除法． 3.（2014年常州中考）下列运算正确的是（ ） A. 33a a a⋅= B.()33ab a b= C.()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C ．【解析】试题分析：根据同底幂乘法，同底幂乘除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A. 31343a a aa a+⋅==≠，选项错误； B.()3333ab a b a b=≠，选项错误；C.()23326a a a ⨯==，选项正确； D. 848442a a aa a -÷==≠，选项错误.故选C ．考点：1.同底幂乘法；2.同底幂乘除法；3.幂的乘方和积的乘方． 4.（2014年抚顺中考）下列运算正确的是（ ） A ．-2（a-1）=-2a-1B ．（-2a ）2=-2a2C ．（2a+b ）2=4a2+b2 D ． 3x2-2x2=x2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：A 、-2（a-1）=-2a+2，故A 选项错误；B 、（-2a ）2=4a2，故B 选项错误；C 、（2a+b ）2=4a2+4ab+b2，故C 选项错误；D 、3x2-2x2=x2，故D 选项正确． 故选D ．考点：1.完全平方公式；2.合并同类项；3.去括号与添括号；4.幂的乘方与积的乘方． 5.（2014年眉山中考）下列计算正确的是（ ）A ．235x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236()x x =D ．632x x x ÷=【答案】C ．考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方．A．a3+a4=a7 B． 2a3•a4=2a7 C．（2a4）3=8a7 D． a8÷a2=a4【答案】B．【解析】试题分析：A、a3和a4不能合并，故A错误；B、2a3•a4=2a7，故B正确；C、（2a4）3=8a12，故C错误；D、a8÷a2=a6，故D错误；故选B．考点：整式的运算．7.（2014年镇江中考）化简：()()x1x11+-+=．【答案】2x．【解析】试题分析：第一项利用平方差公式展开，去括号合并即可得到结果：()()22x1x11x11x+-+=-+=．考点：整式的混合运算．8.（2014年吉林中考）先化简，再求值：x（x+3）﹣（x+1）2，其中x=+1．【答案】x﹣1；2．【解析】试题分析：先利用整式的乘法和完全平方公式计算，再进一步合并化简，最后代入数值即可．试题解析：原式=x2+3x﹣x2﹣2x﹣1=x﹣1，当x=2+1时，原式=2+1﹣1=2．考点：1．整式的运算；2．化简求值．9.（2014年绍兴中考）先化简，再求值：()()()2a a3b a b a a b-++--，其中1a1b2 ==-，．【答案】a2+b2,5 4．考点：整式的混合运算—化简求值．10.（2014年杭州中考）设y kx=，是否存在实数k，使得代数式2222222(x y )(4x y )3x (4x y )--+-能化简为4x ？若能，请求出所有满足条件的k 值，若不能，请说明理由． 【答案】能． 【解析】试题分析：化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k 的方程求解即可 试题解析：∵y kx =，∴222222222222222(x y )(4x y )3x (4x y )(4x y )(x y 3x )(4x y )--+-=--+=- ()2222242(4x k x )x 4k =-=-．∴要使代数式22222224(x y )(4x y )3x (4x y )x --+-=，只要()224k1-=．∴24k 1-=±，解得k=±3或k=±5．考点：1. 代数式的化简；2. 代数式恒等的条件；3.解高次方程．☞考点归纳归纳 1：整式的有关概念 基础知识归纳：整式：单项式与多项式统称整式． （1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项．2. 同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.基本方法归纳：要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同． 注意问题归纳：1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；2、多项式的次数是指次数最高的项的次数．3、同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同． 【例1】下列式子中与3m2n 是同类项的是（ ） A.3mn B.3nm2 C.4m D.5n 【答案】B ．考点：同类项． 归纳 2：幂的运算 基础知识归纳：（1）同底数幂相乘：am ·an ＝am ＋n （m ，n 都是整数，a ≠0） （2）幂的乘方：（am ）n ＝amn （m ，n 都是整数，a ≠0）（3）积的乘方：（ab ）n ＝an ·bn （n 是整数，a ≠0，b ≠0） （4）同底数幂相除：am ÷an ＝am －n （m ，n 都是整数，a ≠0） 注意问题归纳：（1）幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；（2）在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理． 【例2】下列运算正确的是（ ） A. 33a a a⋅= B.()33ab a b= C.()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C ．考点：幂的运算．归纳 3：整式的运算 基础知识归纳：1.整式的加减法:，实质上就是合并同类项 1.整式乘法①单项式乘多项式：m （a ＋b ）＝ma+mb ； ②多项式乘多项式：（a ＋b ）（c ＋d ）＝ac+ad+bc+bd ③乘法公式：平方差公式:（a+b ）（a-b ）=a2-b2；完全平方公式：（a ±b ）2=a2±2ab+b2． 3.整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．注意问题归纳：注意整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．【例3】下列计算正确的是（ ） A ．2x －x ＝x B ．a3·a2＝a6 C ．（a －b ）2＝a2－b2 D ．（a ＋b ）（a －b ）＝a2＋b2 【答案】A ．【解析】A 、原式=x ，正确；B 、原式=x5，错误；C 、原式=a2-2ab+b2，错误；D 、原式=a2-b2，故选A ．考点：整式的运算．【例4】先化简，再求值：()()()22a b a b b a b b +-++-，其中1a =、2b =-．【答案】-1．【解析】原式222222a b ab b b a ab =-++-=+；当1a =、2b =-时，原式()2112121=+⨯-=-=-．考点：整式的混合运算—化简求值．【例5】计算21()(21)(41)2x x x +-÷-【答案】12．【解析】原式=12（2x+1）（2x ﹣1）÷[（2x ﹣1）（2x+1）]=12．考点：整式的混合运算． ☞1年模拟 1、（2015届云南省剑川县九上第三次统一模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．6a ÷2a ＝3aB ．22532a a a -=C ．235()a a a -⋅=D ．527a b ab +=【答案】C ．考点：整式的运算． 2．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）．A ．623a a a =⋅ B ．6223)(b a ab = C ．222)(b a b a -=- D ．235=-a a【答案】B ． 【解析】试题分析：因为32235a a a a +⋅==，所以A 错误；因为6223)(b a ab =，所以B 正确；因为222()2a b a ab b -=-+，所以C 错误；因为532a a a -=，所以D 错误；故选B ．考点：1.幂的运算；2.整式的加减． 3．（2015届重庆市合川区清平中学等九年级模拟联考数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．23a a ⋅＝6aB ．33()y y x x = C ．55a a a ÷= D ．326()a a =【答案】D ．考点：1．同底数幂的除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．同底数幂的乘法． 4．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．642a a a =+ B ．523)(a a =C ．2328=+D ．222))((b ab a b a b a ---=---【答案】C ．【解析】试题分析：A ．2a 和4a 不能合并，故错误；B ．3265()a a a =≠，故错误；C 8222232==D ．2222()()()a b a b a b a b ---=--=-+，故错误；故选C ．考点：1．二次根式的混合运算；2．整式的混合运算． 5．（2015届山东省日照市中考一模）观察下列各式及其展开式： （a+b ）2=a2+2ab+b2（a+b ）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b ）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b ）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …请你猜想（a+b ）10的展开式第三项的系数是（ ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66 【答案】B ．考点：完全平方公式．6．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）若3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算，则21m +=_________________；【答案】－1或9．【解析】试题分析：∵3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算，∴2258m m m -=+，即：2340m m --=，解得：1m =-或4m =，①当1m =-时，21m +=－1，②当4m =时，21m +=9．故答案为：－1或9．考点：1、同类项；2、解一元二次方程-因式分解法；3、分类讨论．7．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）已知a2-2a-3=0，求代数式2a （a-1）-（a+2）（a-2）的值． 【答案】7．考点：整式的混合运算—化简求值．。

整式的运算复习（2）【总分120】 班级： 姓名： 得分：完全平方式常见的变形有:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ ab b a b a 4)(22=--+）（ bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++一、选择题（3*10=30分）1.下列运算结果是24221m n mn -+的是（ ）A ．22(1)mn -B ．22(1)m n -C ．22(1)mn --D ．22(1)mn +2. 若x 、y 是有理数，设22=3218835N x y x y +-++，则 ( )A ． N 一定是负数B ． N 一定不是负数C ． N 一定是正数D ． N 的正负与x 、y 的取值有关3.平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（ ）A ．只能是数B ．只能是单项式C ．只能是多项式D ．以上都可以4. 若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－55.若a m =3,a n =2,则a 2m －3n 等于（ ）A.0B.1C.23D.89 6.下列叙述中，正确的是（ ） A 、单项式y x 2的系数是0，次数是3 B 、a 、π、0、22都是单项式C 、多项式12323++a b a 是六次三项式D 、2n m +是二次二项式 7.计算)108()106(53⨯⋅⨯的结果是（ ）A 、91048⨯ B 、 9108.4⨯ C 、9108.4⨯ D 、151048⨯ 8.如果多项式92++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A 、±3B 、3C 、±6D 、69.如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是（ ）A 、－4B 、4C 、－16D 、1610.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是A.27y 2B.249y 2C.449y 2D.49y 2二、填空题（3*8=24分）1.()22269x x xy y +=++； 2. 222112424x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 3.()9_________49137122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab4.()222a b a b +=-+ =2()a b +- ． 5. 若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=6.若216x mx ++是一个关于x 的完全平方式，则m =7.若2510x x -+=，则22x x -+=8.若7,12,a b ab +==则22a ab b -+=三．计算题 （4*6=24分）(1)106×10－2÷107×(－10)5; (2)(2x －y )·(y －2x )3÷(2x －y )4;(3)3(a 2－4a +3)+5(－5a 2+a －2).（4）()()3223332a a a a -+-+⋅（5）()()()1122+--+x x x（6）()()z y x z y x -+++四、解方程（6分）解方程：()()()152212=-+-+x x x五、化解求值（6分）化简求值：()()[]()xy y x xy xy ÷+--+422222，其中10=x ，251-=y六、解答题（5*6=30分）1. 若12x x -=，求代数式的值：①221x x + ②441x x+2.已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax 的值3.已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值4.已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值5.试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。

整式的乘法运算整式是由数字、字母和乘法、加法运算符组成的代数表达式。

在数学中，整式的乘法运算是一项基本且常见的操作。

通过对整式的乘法运算，我们可以得到一个新的整式，从而求解复杂的代数问题。

下面将介绍整式的乘法运算及其相关概念和规则。

1. 整式的乘法定义整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，得到一个新的整式。

整式的乘法运算通常涉及到乘法分配律和乘法合并同类项的规则。

乘法分配律表示：对于任意的整式a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c。

乘法合并同类项是指将相同字母的乘积合并为一个同类项。

例如，将3x与2x 相乘得到6x²，其中6是系数，x²是字母的乘积。

2. 整式的乘法规则在进行整式的乘法运算时，需要注意以下几个规则：(1) 系数相乘：将两个整式的系数相乘得到新的系数。

(2) 字母相乘：将两个整式中相同字母的指数相加得到新的指数。

(3) 合并同类项：将相同字母的乘积合并为一个同类项。

(4) 乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b = b×a。

3. 实例演示为了更好地理解整式的乘法运算，我们来看几个实例：(1) 将3x²与2x相乘。

3x² × 2x = 6x³通过系数相乘，得到6；通过字母相乘，x²与x相乘得到x³，因此结果是6x³。

(2) 将4ab²与(-5a²b³)相乘。

4ab² × (-5a²b³) = -20a³b⁵系数相乘得到-20，字母相乘时，a与a²相乘得到a³，b²与b³相乘得到b⁵，因此结果是-20a³b⁵。

4. 注意事项在进行整式的乘法运算中，需要注意一些特殊情况和要点：(1) 乘法的顺序：乘法运算符具有优先级，在计算整式的乘法时，需要按照从左到右的顺序进行计算。

整式的运算（二）知识点1：整式的乘法知识点2：平方差公式知识点3：完全平方公式知识点4：整式的除法典型题解：1.计算：单项式乘单项式232⋅-a bx ab xy(1)5(3)单项式乘多项式232-+-x x x(2)(3)(21)多项式乘多项式(3)(2)(3)++x y a b2.观察下列计算结果：222x x x x x x x x x x x x x x x x++=++--=-++-=---+=+-)6(1)(2)(3)56(（1）把发现的规律用式子表示出来，并用语言进行总结。

式子表达：（）语言归纳：（）（2）根据上面的规律计算：(1)(3)(7)(2)(6)(9)(3)(1)(3)-++-+-++a a y y x y x y3.若22++-+的积中没有含23(3)(3)x nx x x m和项，求m和n的值？x x4.计算111 +++ ()2345.（6.我如：+(2)(a b（1（2（37.8.1)1+9.你能将2000写成两个数的平方差吗？10.正整数156加上一个正整数的平方后得到一个新的正整数的平方数，那么加上的这个平方数是（）。

11.观察下列等式：22222,⨯=-⨯=-⨯3941401,4请你把发现的规律用字母表示出来：m n⋅=（）。

12.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。

如：222222420,1242,2064=-=-=-，因此4，12，20这三个数都是神秘数。

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）4（313.14.已知15.若(x16.计算：2x y z-+;(23)++，并用它的结果直接计算2a b c()17.如图为杨辉三角，它的作用在于按规律写出()n a b +的展开式的系数（n 为非负数），如1222(),()2a b a b a b a ab b +=++=++⋅⋅⋅试在下面写出7()a b +的展开式的系数并写出其展开式？18.已知19.的自然215=（1（220.21.22.已知4325x x ax bx c -+++能被2(1)x -整除，试求2()a b c ++的值？23.在有理数范围内，是否存在m,n 的值，使32619x x mx n -++能被26113x x ++整除？若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由。

整式的概念和运算整式是代数学中的一个重要概念，它是由字母和常数按照一定的规则组合而成的代数表达式。

整式的运算是代数学中的基础知识之一，它包括了整式的加法、减法、乘法以及整式的因式分解等内容。

下面我们将分别介绍整式的概念以及它的运算规则。

一、整式的概念整式是由字母和常数按照加法、减法的规则组合而成的代数表达式。

字母表示未知数或变量，常数则表示具体的数值。

整式的组成部分可以是单个字母或常数，也可以是字母或常数的组合。

整式的例子包括：3x^2 - 5xy + 2y^2、4a + 7b、-2xyz等。

其中，3x^2 - 5xy + 2y^2是一个二次整式，4a + 7b是一个一次整式，-2xyz是一个三次整式。

整式的次数是指整式中各个项次数的最大值。

例如，3x^2 - 5xy +2y^2的次数为2，4a + 7b的次数为1，-2xyz的次数为3。

二、整式的运算1. 整式的加法和减法整式的加法和减法遵循一般代数表达式的运算规则，即按照同类项相加或相减。

同类项是指具有相同字母部分，并且各个字母的指数也相同的项。

例如，3x^2和2x^2是同类项，因为它们具有相同的字母x和指数2；但是3x^2和2xy^2就不是同类项。

在整式的加法和减法中，我们只需要按照同类项的规则，将各个项的系数相加或相减，同时保持字母和指数不变即可。

例如，对于整式3x^2 - 5xy + 2y^2 和 2x^2 + 3xy - y^2来说，我们可以将它们的同类项相加得到：(3x^2 + 2x^2) + (-5xy + 3xy) + (2y^2 - y^2) = 5x^2 - 2xy + y^2。

2. 整式的乘法整式的乘法是指将两个整式相乘的运算。

在整式的乘法中，需要注意以下几点：（1）对于整式的乘法，一般使用分配律进行计算。

即将一个整式的每一项与另一个整式中的每一项分别相乘，然后将所得的各个乘积相加得到最终结果。

例如，将整式3x^2 - 5xy + 2y^2与2x - y进行乘法运算，我们可以将这两个整式中的每一项分别相乘，并将结果相加：(3x^2)(2x) +(3x^2)(-y) + (-5xy)(2x) + (-5xy)(-y) + (2y^2)(2x) + (2y^2)(-y) = 6x^3 -3x^2y - 10x^2y + 5xy^2 + 4xy^2 - 2y^3 = 6x^3 - 13x^2y + 9xy^2 - 2y^3。

第二章 整式的加减2.2 整式的加减 第2课时 整式的加减学习目标：1.熟练进行整式的加减运算.2.能根据题意列出式子，表示问题中的数量关系.重点：熟练进行整式的加减运算.难点：能根据题意列出式子，表示问题中的数量关系.一、知识链接1.同类项：必须同时具备的两个条件（缺一不可）：①所含的 相同；②相同 也相同. 合并同类项，就是把多项式中的同类项合并成一项.方法：把同类项的 相加，而 不变. 2.去括号法则：①如果括号外的因数是 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ；②如果括号外的因数是 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 .去括号法则的依据实际是.二、新知预习做一做：小亮和小莹到希望小学去看望小同学，小亮买了10支钢笔和5本字典作为礼物；小莹买了6支钢笔、4本字典和2个文具盒作为礼物品.钢笔的售价为每支a元，字典的售价为每本b元，文具盒的售价为每个c 元.请你计算：（1）小亮花了________元；小莹花了__________元；小亮和小莹共花___________________元.（2）小亮比小莹多花_______________元.想一想：如何进行整式的加减运算？【自主归纳】整式加减运算的基础是__________、_____________，运算结果仍是____________．三、自学自测1.求单项式24xy2xy,2-的和.5x y，22x y-,22.求2x xy467+-的差.x xy-+与231一、要点探究探究点1：整式的加减合作探究：如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 .交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是 .将这两个数相加可得： + = .结论：这些和都是_________的整数倍.做一做：任意写一个三位数交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数，两个数相减.你又发现什么规律了吗？例如：原三位数728，百位与个位交换后的数为827,由728 －827= －99.你能看出什么规律并验证它吗？任意一个三位数可以表示成100a+10b+c设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为100c+10b+a，它们的差为：(100a+10b+c)－( 100c+10b+a)= 100a+10b+c－100c－10b－a=99a－99c=99(a －c).议一议：在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？例1 计算： (1)(2a-3b)+(5a+4b)；(2)(8a-7b)-(4a-5b)例2 求多项式 2453x x -+ 与多项式 2273x x -+- 的和与差.练一练：求上述两多项式的差.总结归纳：1. 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．2. 整式加减实际上就是：去括号、合并同类项.3. 对于运算结果，常将多项式按某个字母（如 x ）的降幂（升幂）排列. 探究点2：整式的加减的应用例3 一种笔记本的单价是x 元，圆珠笔的单价是y 元.小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？例4 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）:（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？总结归纳：整式加减解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意列代数式；（2）去括号、合并同类项；（3）得出最后结果.例5 求2211312()()2323x x y x y --+-+的值,其中32,2=-=y x .【能力提升】有这样一道题“当a ＝2，b ＝－2时，求多项式3a 3b 3－12a 2b ＋b －（4a 3b 3－14a 2b －b 2）＋（a 3b 3＋14a 2b ）－2b 2＋3的值”，马小虎做题时把a ＝2错抄成a ＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.二、课堂小结1.已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（ ） A ．B ．C ．D ．2.长方形的一边长等于3a+2b,相邻边比它大a-b,那么这个长方形的周长是（ ）A.14a+6bB.7a+3bC.10a+10bD.12a+8b3.若A 是一个二次二项式，B 是一个五次五项式，则B －A 一定是（ ） A.二次多项式 B.三次多项式 C.五次三项式 D. 五次多项式4.多项式32281x x x -+-与多项式323253x mx x +-+的和不含二次项，则m 为（ ）A.2B.-2C.4D.-4 5.已知，，则=_______________________.6.若mn=m+3,则2mn+3m-5mn+10=__________.7.计算：8.某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？若将三个小圆改为n 个小圆，又会得到什么结论？1232+-=a a A 2352+-=a a B BA 32-思路：设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3，分别表示两个图形的周长，再结合r1+r2+r3=R，化简式子比较大小.参考答案自主学习一、知识链接1.字母字母的指数系数字母的指数2.正数相同负数相反分配律二、新知预习做一做：（1）（10a+5b）（6a+4b+2c）（16a+9b+2c）（2）（4a+b-2c）想一想：有括号先去括号，然后再合并同类项.【自主归纳】去括号合并同类项整式三、自学自测1.和为x²y.2.差为-x²-7xy+8.课堂探究一、要点探究合作探究：10a+b 10b+a 10a+b 10b+a 11a+11b= 11(a + b) 结论：这些和都是 11 的倍数.议一议：整式的加减运算，去括号、合并同类项解： (1)原式=7a+b. （2）原式=4a-2b.2 解：4-5x2+3x +（-2x+7x2-3）=4-5x2+3x-2x+7x2-3=（-5x2+7x2）+（3x-2x）+（4-3）=2x2+x+1.练一练：-5x2+3x -（-2x+7x2-3）=4-5x2+3x+2x-7x2+3=（-5x2-7x2）+（3x+2x）+（4+3）= -12x2+5x+7.3 解：小红买笔记本和圆珠笔共花费 (3x + 2y) 元，小明买笔记本和圆珠笔共花费 (4x + 3y) 元.小红和小明一共花费(单位：元)(3x + 2y)+ (4x + 3y) = 7x+5y，则小红与小明一共花费（7x+5y）元．另解：小红和小明买笔记本共花费 (3x + 4x) 元，买圆珠笔共花费 (2y + 3y) 元.小红和小明一共花费(单位：元)(3x + 4x) + (2y + 3y) = 7x + 5y.4 解：小纸盒的表面积是 ( 2ab+2bc+2ac ) cm²；大纸盒的表面积是( 6ab+ 8bc+ 6ca ) cm²（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（6ab+ 8bc+ 6ca ）=8ab+10bc+8ac.（2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2）（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）=4ab+6bc+4ac.【能力提升】解：将原多项式化简后，得－b2＋b＋3. 因为这个式子的值与a的取值无关，所以即使把a抄错，最后的结果都会一样.当堂检测1.A2.A3.D4.C5. -9a2+5a-46. 18. 设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3，则图（1）的周长为4πR，图（2）的周长为2πR+2πr1+2πr2+2π r3=2πR+2π（r1+ r2+ r3），因为2 r1+2 r2+2 r3=2R，所以r1+ r2+ r3=R，因此图（2）的周长为2πR+2πR=4πR．这两种方案，用材料一样多.将三个小圆改为n个小圆，用料还是一样多．第11页共11页。

整式教学目标：（1）理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。

（2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想；会求代数式的值。

（3）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握平方差公式、两数和（差）的平方公式。

（4）理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1时的十字相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。

（5）理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式的加、减、乘、除运算。

（6）理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，掌握有关整数指数幂的乘（除）、乘方等运算的法则。

说明 ①在求代数式的值时，不涉及繁难的计算；②不涉及繁难的整式运算，多项式除法中的除式限为单项式；③在因式分解中，被分解的多项式不超过四项，不涉及添项、拆项等技巧；④不涉及繁复的分式运算。

重点和难点重点是整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。

难点是选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。

一、知识梳理：1、有理式整式与分式统称为有理式单项式和多项式统称为整式分式是两个整式A 、B 的商，表示为A B(B 中含有字母) 2、同类项相同字母的指数也相同的单项式同类项可以合并3、幂的运算法则和乘法公式 ,(0),()m n m n m n m n m n mn a a a a a a a a a +-⋅=÷=≠=()(,)n n n ab a b m n =其中都是正整数22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b ±=±+4、因式分解将一个多项式化成几个整式的积的形式方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法，求根公式法，分组分解法二、例题1、计算：62()()a a -÷-2、计算：(2)(2)a b a b -++- (231)(231)x y x y +--+3、计算：4322(432)(2)x x x x --÷-4、因式分解：228x - 224129a ab b -+，268x x -+ 2231x x --22x bx a ab --+， 22144x xy y --+5、已知2220x x --=，将下列式子先化简后求值。