【高中数学】人教A版选修1-2创新应用： 阶段质量检测(三) Word版含解析

模块综合质量测评一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在复平面内，复数(－)对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵＝(－)＝－＝＋，∴复数在复平面内的对应点为()，在第一象限．答案：．设有一个回归方程＝－，变量每增加一个单位时，变量平均( )．增加个单位．增加个单位．减少个单位．减少个单位解析：＝－的斜率为－，故每增加一个单位，就减少个单位．答案：．下列框图中，可作为流程图的是( )解析：流程图具有动态特征，只有答案符合．答案：．下列推理正确的是( )．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖．因为>，>，所以－>－．若，均为正实数，则＋≥．若为正实数，<，则＋＝－≤－＝－解析：中推理形式错误，故错；中，关系不确定，故错；中，正负不确定，故错．答案：．设，是复数，则下列命题中的假命题是( )．若－＝，则＝．若＝，则＝．若＝，则·＝·．若＝，则＝解析：结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解．，－＝⇒－＝⇒＝⇒＝，真命题；，＝⇒＝＝，真命题；，＝⇒＝⇒·＝·，真命题；，当＝时，可取＝，＝，显然＝，＝－，即≠，假命题．答案：．已知数列{}满足＋＝－－(≥，且∈)，＝，＝，记＝＋＋…＋，则下列选项中正确的是( )．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－，＝－．＝－，＝－解析：＝－＝－，＝＋＋＝；＝－＝－，＝＋＝－；＝－＝－，＝＋＝－；＝－＝－，＝＋＝；＝－＝，＝＋＝.通过观察可知，都是项一重复，所以由归纳推理得＝＝－，＝＝－，故选.答案：．三点()，()，()的线性回归方程是( )＝－＝－＋＝－＝＋解析：由三点()，()，()，可得＝＝，＝＝，即样本中心点为()，∴＝＝，＝－×＝，所以＝＋.答案：．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )．②①③．③①②．①②③．②③①解析：①是结论形式，③是小前提．答案：．阅读如下程序框图，如果输出＝，那么空白的判断框中应填入的条件是( )。

阶段质量检测（三）(卷学业水平达标)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．设复数满足＋＝－，则＝( )．－＋．－．＋．－解析：选由＋＝－得＝－，∴＝＋，故选.．已知集合{，}，为虚数单位，＝{}，∩＝{}，则复数＝( )．－．．－．解析：选由∩＝{}，知∈，故＝，故＝＝＝－.．设，∈，是虚数单位，则“＝”是“复数＋为纯虚数”的()．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分又不必要条件解析：选∵＝，∴＝或＝.由复数＋＝－为纯虚数，得＝且≠.∴“＝”是“复数＋为纯虚数”的必要不充分条件．．复数＝的共轭复数是()．＋．－．－－．－＋解析：选＝＝＝＝－＋，所以其共轭复数为＝－－.．在复平面内，复数，(为虚数单位)对应的点分别为，，若点为线段的中点，则点对应的复数为()．．解析：选＝－，＝＋，故在复平面内对应的点，，故点，对应的复数为.．(安徽高考)设是虚数单位，表示复数的共轭复数．若＝＋，则＋·＝()．－．－．．解析：选因为＝＋，所以＋·＝－＋＋＋＝.．(陕西高考)设，是复数，则下列命题中的假命题是()．若－＝，则＝．若＝，则＝．若＝，则·＝·．若＝，则＝解析：选对于，－＝⇒＝⇒＝，是真命题；对于、，易判断是真命题；对于，若＝，＝＋，则＝，但＝，＝－＋，是假命题．．在复平面内，若＝(＋)－(＋)－所对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是()．(－∞，－)．()．()．(－)解析：选整理得＝(－)＋(－－)，对应的点位于第二象限，则(\\(－＜，－－＞，))解得＜＜.．定义运算＝－，则符合条件－))＝＋的复数为()．＋．－．－．＋解析：选由定义知－))＝＋，得＋＝＋，即＝＝－.．若＋是关于的实系数方程＋＋＝的一个复数根，则()．＝－，＝．＝，＝．＝，＝－．＝－，＝－解析：选因为＋是实系数方程的一个复数根，所以－也是该方程的根，则＋＋－＝＝－，(＋)(－)＝＝，解得＝－，＝.二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．若为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是，复平面内点表示复数，则复数的共轭复数是．解析：由题图知＝＋，则＝＝＝，其共轭复数是－.答案：－。

第三章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z ＝－i 2，则z 的虚部为( C ) A ．－1 B ．－i C ．0D ．1[解析] z ＝－i 2＝1，∴z 的虚部为0．2．(2018·北京卷，2)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [解析]11－i ＝12＋i 2，其共轭复数为12－i2，对应点位于第四象限．故选D ．3．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数时，必有a －b ＝0，即a ＝b ，但当a ＝b 时，(a －b )＋(a ＋b )i 不一定为纯虚数，例如a ＝b ＝0时．4．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，所以复数z 对应的点Z (4，－2)在第四象限． 5．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2等于( C )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i[解析] 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ．6．设复数z 满足(1＋i)z ＝i 2021，则复数z 的虚部为( A ) A ．－12B ．12C ．12iD ．－12i[解析] ∵i 4＝1，∴i 2021＝(i 4)505·i ＝i ， ∴z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i －i 22＝1＋i 2＝12＋12i ， ∴z ＝12－12i ，∴z 的虚部为－12，故选A ．7．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为( B ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0． 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0．而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2． 因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2， 所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ， 所以p 4为真命题，故选B ．8．已知a ∈R ，复数z ＝(a －i )(1＋i )i ，若z ＝z ，则a ＝( B )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析] 复数z ＝(a －i )(1＋i )i ＝(a －1)－(a ＋1)i ，由z ＝z ，可知a ＋1＝0，即a ＝－1．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，那么( BD ) A ．z 的虚部为i B ．z 的虚部为1 C ．z ＝－34－iD ．z ＝34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1，∴z ＝34＋i.∴z 的虚部为1．10．已知i 为虚数单位，z 为复数，则下列叙述不正确的是( ABC ) A ．z －z 为纯虚数 B ．任何数的偶数次幂均为非负数 C ．i ＋1的共轭复数为i －1D ．2＋3i 的虚部为3[解析] 当z 为实数时，z －z 不为纯虚数，A 错误；由i 2＝－1，知B 错误；由共轭复数的定义，知1＋i 的共轭复数为1－i ，C 错误；D 正确，故选ABC ．11．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N )，则集合{x |x ＝f (n )}的元素有( ABC )A ．2B ．0C ．－2D ．1[解析] f (n )＝i n ＋(－i)n ，当n ＝4k (k ∈N )时，f (n )＝2；当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，f (n )＝0；当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，f (n )＝－2；当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，f (n )＝0.所以集合中共有－2,0,2这3个元素．12．对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1、z 2、z 3，下列运算正确的是( AB )A ．(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1][解析] ∵ω1]． ∴A 中，左边＝(z 1＋z 2)z 3，右边＝z 1z 3＋z 2z 3＝(z 1＋z 2)z 3，左边＝右边，正确．B 中，左边＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)，右边＝z 1z 2＋z 1z 3＝z 1(z 2＋z 3)，左边＝右边，正确．C 中，左边＝(z 1z 2)z 3，右边＝z 1(z 2z 3)＝z 1(z 2z 3)，左边≠右边，不正确．D 中，左边＝z 1z 2，右边＝z 2z 1，左边≠右边，不正确，选AB ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2018·江苏，2)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为__2__．[解析] 由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ，∴ z 的实部为2． 14．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有非零实数根，则实数m ＝__1__． [解析] 设实数根为x 0(x 0≠0)， 则x 20＋(2－i)x 0＋(2m －4)i ＝0，即(x 20＋2x 0)＋(2m －4－x 0)i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋2x 0＝02m －4－x 0＝0x 0≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2m ＝1．15．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝__76－4i__．[解析] 设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3b ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76b ＝－4.∴z ＝76－4i ．16．设复数z ＝2－1－i (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则在复平面内，复数z i 对应的点的坐标为__(1，－1)__．[解析] 因为z ＝2－1－i＝－1＋i ， 所以z i ＝(－1－i)i ＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ [解析] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ． (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2，求f (1)＋f (2i)＋f ⎝⎛⎭⎫12i ＋f (3i)＋f ⎝⎛⎭⎫13i ＋f (4i)＋f ⎝⎛⎭⎫14i 的值．[解析] 设a ∈N ＋，且a ≥2，∵f (a i)＋f ⎝⎛⎭⎫1a i ＝－a 21－a 2＋－1a 21－1a2＝a 2a 2－1－1a 2－1＝1， ∴所求式＝f (1)＋⎣⎡⎦⎤f (2i )＋f ⎝⎛⎭⎫12i ＋⎣⎡⎦⎤f (3i )＋f ⎝⎛⎭⎫13i ＋⎣⎡⎦⎤f (4i )＋f ⎝⎛⎭⎫14i ＝12＋3＝72． 19．(本题满分12分)已知z 1＝m 2＋1m ＋1i ，z 2＝(2m －3)＋12i ，m ∈R ，i 为虚数单位，且z 1＋z 2是纯虚数．(1)求实数m 的值； (2)求z 1·z 2的值．[解析] (1)z 1＋z 2＝(m 2＋2m －3)＋(1m ＋1＋12)i ，∵z 1＋z 2是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝01m ＋1＋12≠0，解得m ＝1． (2)由(1)知z 1＝1＋12i ，z 2＝－1＋12i ，∴z 2＝－1－12i ，∴z 1z 2＝(1＋12i)·(－1－12i)＝－1－12i －12i ＋14＝－34－i ．20．(本题满分12分)已知复数z ＝1－i ． (1)设w ＝z (1＋i)－1－3i ，求|w |； (2)如果z 2＋az ＋b1＋i＝i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)∵z ＝1－i ，所以w ＝(1－i)(1＋i)－1－3i ＝1－3i ． ∴|w |＝10．(2)由题意得z 2＋az ＋b ＝(1＋i)i ．∵z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝a ＋b －(2＋a )i ， (1＋i)i ＝－1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2． 21．(本题满分12分)已知复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ＋i.求： (1)z 1＋z 2；(2)|z 1＋z 2|的最大值．[解析] (1)z 1＋z 2＝(cos θ＋i)＋(sin θ＋i)＝sin θ＋cos θ＋2i ＝2sin(θ＋π4)＋2i ．(2)|z 1＋z 2|2＝22＋[2sin(θ＋π4)]2＝4＋2sin 2(θ＋π4)，∵sin 2(θ＋π4)的最大值为1，∴|z 1＋z 2|2有最大值6．故θ＝π4＋k π，k ∈Z 时，|z 1＋z 2|max ＝6．22．(本题满分12分)已知复数z 1＝i(1－i)3， (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．[解析] (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， ∴|z 1|＝22＋(－2)2＝22．(2)解法一：|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2 ＝9＋42sin (θ－π4)．当sin(θ－π4)＝1时，|z －z 1|取得最大值9＋42， 从而得到|z －z 1|的最大值22＋1．解法二：|z |＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z 1对应坐标系中的点(2，－2)． ∴|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z －z 1|max ＝22＋1．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)．(·福建高考)若(＋)＋(－)＝＋(，∈，是虚数单位)，则，的值分别等于( )．．，－．－．，－【解析】(＋)＋(－)＝－＝＋，所以＝，＝－.【答案】．(·广东高考)若复数＝(－)(是虚数单位)，则＝( )．＋．－．－．＋【解析】∵＝(－)＝－＝＋，∴＝－.【答案】．(·衡阳高二检测)若(＋)＝＋(，∈)，则复数＋的模是( )．．．．【解析】由(＋)＝＋，得－＋＝＋，解得＝，＝－，所以复数＋的模为＝.【答案】．(·广东高考)已知复数满足(－)＝，则＝( )．－＋．－－．＋．－【解析】由(－)＝，得＝＝＝＋，故选.【答案】．(·天津高二检测)“＝”是“复数＝(＋)(＋)(∈，为虚数单位)为纯虚数”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】＝(＋)(＋)＝＋＋－＝(－)＋(＋)，若＝，则＝为纯虚数；若为纯虚数，则＝.故选.【答案】．设∈，若为纯虚数，则在复平面上的对应点落在( )【导学号：】．实轴上．虚轴上．直线＝±(≠)上．以上都不对【解析】设＝＋(，∈)，∵＝－＋为纯虚数，∴(\\(－＝，))∴＝±，即在复平面上的对应点在直线＝±(≠)上．【答案】．设复数满足＝，则＋＝( )．．．【解析】∵＝，∴＝＝＝－，∴＋＝－＝.【答案】．设是虚数单位，是复数的共轭复数，若·＋＝，则＝( )．＋．－．－＋．－－【解析】设＝＋(，∈)，由·＋＝，得(＋)(－)＋＝(＋)，即(＋)＋＝＋，由复数相等的条件得(\\(＋＝，＝，))得(\\(＝，＝，))∴＝＋.【答案】。

第三章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是导学号 21325053( D ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的全部向量 B ．一个平面的全部法向量相互平行C ．假如两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．假如a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确．2．(2021·浙江温州高二检测)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 相互垂直，则k 的值是导学号 21325054( D )A ．1B ．15C ．35D ．75[解析] 由于k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且k a ＋b 与2a －b 相互垂直，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0⇒k ＝75.3．(2021·贵州贵阳高二检测)若a ＝(2,2,0)，b ＝(1,3，z )，〈a ，b 〉＝π3，则z 等于导学号 21325055( C )A ．22B ．－22C ．±22D ．±42[解析] cos 〈a ，b 〉＝cos π3＝a·b|a||b|＝2×1＋2×3＋0×z 22＋22＋02×12＋32＋z 2＝12，∴z ＝±22. 4．(2021·广州市华美试验中学月考)下列各组向量平行的是导学号 21325956( A ) A ．a ＝(1,1，－2)，b ＝(－3，－3,6) B ．a ＝(0,1,0)，b ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,1，－1)，b ＝(0，－2,1) D ．a ＝(1,0,0)，b ＝(0,0,1)[解析] 对A ，a ＝－3b ，∴A 正确；对B 、C 、D ，不存在λ，使a ＝λb ，∴a 、b 不共线，B 、C 、D 不正确．故选A ．5．(2021·山东烟台高二检测)已知A (2，－5,1)，B (2，－4，2)，C (1，－4,1)，则AB →与AC →的夹角为导学号 21325057( B )A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°[解析] 由题意得AB →＝(0,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，cos 〈A B →，A C →〉＝A B →·A C →|A B →||A C →|＝12×2＝12，所以A B →与A C →的夹角为60°.6．(2021·安徽合肥高二检测)已知平面α的法向量为n ＝(2，－2,4)，AB →＝(－3,1,2)，点A 不在α内，则直线AB 与平面α的位置关系为导学号 21325058( D )A ．AB ⊥αB ．AB ⊂αC ．AB 与α相交不垂直D ．AB ∥α[解析] ∵n ·AB →＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，∴n ⊥AB →，而点A 不在α内，故AB ∥α.7．已知四周体ABCD 的全部棱长都是2，点E 、F 分别是AD 、DC 的中点，则EF →·BA →＝导学号 21325059( B )A ．1B ．－1C ．3D ．－ 3[解析] 如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·B A →＝12A C →·(－AB →)＝－12×2×2cos60°＝－1，故选B ．8．(2021·安徽亳州市涡阳四中高二期末)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为导学号 21325060( A )A ．64 B ．63C ．26D ．23[解析] 如图所示：∵B 1B ⊥平面ABCD ，∴∠BCB 1是B 1C 与底面所成角， ∴∠BCB 1＝60°.∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴∠CDC 1是C 1D 与底面所成的角， ∴∠CDC 1＝45°.连接A 1D ，A 1C 1，则A 1D ∥B 1C .∴∠A 1DC 1或其补角为异面直线B 1C 与C 1D 所成的角． 不妨设BC ＝1，则CB 1＝DA 1＝2，BB 1＝CC 1＝3＝CD ， ∴C 1D ＝6，A 1C 1＝2.在等腰△A 1C 1D 中，cos ∠A 1DC 1＝12C 1D A 1D ＝64.故选A ．9．设O －ABC 是四周体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为导学号 21325061( A )A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34 C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13 D ．⎝⎛⎭⎫23，23，23 [解析] 连AG 1交BC 于E ，则E 为BC 中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)，AG 1→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)，∵OG →＝3GG 1→＝3(OG 1→－OG →)，∴OG ＝34OG 1，∴OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34(OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →) ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A ． 10．已知A (－1,1,2)、B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD →＝2DB →，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为导学号 21325062( B )A ．116B ．－116C ．12D ．13[解析] 设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x ＋1，y －1，z －2)，AB →＝(2，－1，－3)，DB →＝(1－x ，－y ，－1－z )， ∵AD →＝2DB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2(1－x )y －1＝－2yz －2＝－2－2z，∴⎩⎨⎧x ＝13y ＝13z ＝0.∴D (13，13，0)，CD →＝(13－λ，－λ，－1－λ)，∵CD →⊥AB →，∴CD →·AB →＝2(13－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－116.11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为导学号 21325063( C )A ．1B ．52C ．62D ．32[解析] 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)、F (2,1，22)，所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C ．12．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为导学号 21325064( C )A ．12B ．22C ．13D ．16[解析] 如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)、E (1,1,0)、A (1,0,0)、C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)、AC →＝(－1,2,0)、AD 1→＝(－1,0,1)， 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0－a ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2ba ＝c.令a ＝2，则n ＝(2,1,2)． 所以点E 到平面ACD 1的距离为 h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2,1,3)，b ＝(－4,5，x )，若a ⊥b ，则x ＝_1__.导学号 21325065 [解析] ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2×(－4)＋1×5＋3x ＝0，∴x ＝1.14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__14__.导学号 21325066[解析] 设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2，∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°，设棱台高为h ，则tan60°＝h 2－22，∴h ＝62， ∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)， ∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)，∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14.15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为_45°__.导学号 21325067[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2， ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°， 取BC 边中点E ，则 PE ＝22，AE ＝22， 又P A ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠P AE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 为直线P A 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__102__.导学号 21325068 [解析] 如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N .则可求得AM ＝12、BM ＝32、CN ＝12、DN＝32、MN ＝1. 由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →.导学号 21325069[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c . 18．(本小题满分12分)(2021·黑龙江哈师大附中高二期中测试)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝π2，D 是棱AC 的中点，且AB ＝BC ＝BB 1＝2.导学号 21325070(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成的角． [解析] (1)如图，连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD .∵O 为B 1C 的中点，D 为AC 的中点，∴OD ∥AB 1. ∵AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D .(2)建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .则B (0,0,0)、A (0,2,0)、C 1(2,0,2)、B 1(0,0,2)． ∴AB 1→＝(0，－2,2)、BC 1→＝(2,0,2)．cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝0＋0＋422×22＝12，设异面直线AB 1与BC 1所成的角为θ，则cos θ＝12，∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3.19．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，△ABC ，△ACD 都为等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，△P AC 是边长为2的等边三角形，PB ＝2，E 为P A 的中点.导学号 21325071(1)求证：BE ⊥平面P AD ； (2)求二面角C －P A －D 的余弦值．[解析] (1)证明：△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ACD ＝90°， ∴∠ACB ＝∠DAC ＝45°，AC ＝2BC ， ∴BC ∥AD ，AB ＝BC ＝2，∵E 为P A 的中点，且AB ＝PB ＝2，∴BE ⊥P A ， 在△PBC 中，PC 2＝PB 2＋BC 2，∴BC ⊥PB . 又∵BC ⊥AB ，且PB ∩AB ＝B ，∴BC ⊥平面P AB . ∵BC ⊂平面P AB ，∴BE ⊥BC ， 又∵BC ∥AD ，∴BE ⊥AD ， 又∵P A ∩AD ＝A ，∴BE ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BC ，AB ，BP 两两垂直，以B 为原点，BC ，AB ，BP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，2，0)，B (0,0,0)，C (2，0,0)，P (0,0，2)，则AC →＝(2，－2，0)，AP →＝(0，－2，2)．设平面P AC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AP →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y －z ＝0，∴取m ＝(1,1,1)又由(1)知BE ⊥平面P AD ，故BE →＝(0，22，22)为平面P AD 的一个法向量，∴cos 〈m ，BE →〉＝23＝63，故二面角C －P A －D 的余弦值63.20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1.导学号 21325072(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D 1(0,0,5)、E (0,0,1)、F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)、AF →＝(0,2,4)、BE →＝(－2，－2,1)、AE →＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A . ∴BE ⊥平面ACF .(2)由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量， ∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53.故点E 到平面ACF 的距离为53.21．(本小题满分12分)(2022·四川理，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.导学号 21325073(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值． [解析] (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 为所求的一个点．理由如下：由已知，BC ∥ED ，且BC ＝ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形． 从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)方法一 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD .所以∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE .所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22. 在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322， 所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.方法二 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)，所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)，设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0，设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13. 所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.22．(本小题满分14分)(2021·天津理，17)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.导学号 21325074(1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)求二面角C －EM －N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． [解析] 如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0,0,1)，N (1,2,0)．(1)证明：DE →＝(0,2,0)，DB →＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n ＝(1,0,1)，又MN →＝(1,2，－1)，可得MN →·n ＝0. 由于MN ⊄平面BDE ， 所以MN ∥平面BDE .(2)解：易知n 1＝(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量．设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EM →＝0，n 2·MN →＝0.由于EM →＝(0，－2，－1)，MN →＝(1,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0.不妨设y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)． 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－421， 于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521. 所以二面角C －EM －N 的正弦值为10521. (3)解：依题意，设AH ＝(0≤h ≤4)，则H (0,0，h )，进而可得NH →＝(－1，－2，h )，BE →＝(－2,2,2)． 由已知得|cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE →||NH →||BE →|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721， 整理得10h 2－21h ＋8＝0， 解得h ＝85或h ＝12.所以线段AH 的长为85或12.。

阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选B按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.2．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.则正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．3．(山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0 至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根解析：选A“至少有一个实根”的否定是“没有实根”，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．5．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n解析：选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.6．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足[f (x )]y ＝f (xy )”的是( )A ．指数函数B ．对数函数C ．一次函数D ．余弦函数解析：选A 当函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)时，对任意的x >0，y >0，有[f (x )]y ＝(a x )y ＝a xy＝f (xy )，即指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)满足[f (x )]y ＝f (xy )，可以检验，B 、C 、D 选项均不满足要求．7．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )， 则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4； f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11. 通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)， 则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18； f (7)＝f (5)＋f (6)＝29； f (8)＝f (6)＋f (7)＝47； f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12 B.－1 C ．2D ．3 解析：选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)，∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，则a ＝________，b ＝________. 解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab 中：a＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3512．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝113．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图： 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，{a n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项a n ＝a m ＋(n －m )d ；②若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ③若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ； ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．解：在等比数列{b n }中，公比为λ(λ≠0)，前n 项和为S n ′，{b n }有如下性质：(m ，n ，p ，q ∈N *)①通项b n ＝b m ·λn－m；②若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ； ③若m ＋n ＝2p ，则b m ·b n ＝b 2p ；④S n ′，S 2n ′－S n ′，S 3n ′－S 2n ′(S n ′≠0)构成等比数列． 16．(本小题满分12分)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋cos (60°＋2α)－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12⎝⎛⎭⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.17．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与cb 的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B 不可能是钝角． 解：(1) b a ＜ cb.证明如下： 要证b a ＜c b ，只需证b a ＜c b .∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥2 1ac， ∴b 2≤ac .又∵a ，b ，c 均不相等， ∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．18．(本小题满分14分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式． 解：(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.其前n 项和公式S n＝⎩⎨⎧5n2，n 为偶数，5(n －1)2＋2＝5n －12，n 为奇数.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了三段论，但大前提使用错误D ．使用了三段论，但小前提使用错误解析：选D 应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．2．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的小前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选B 三段论中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y ＝x 3满足(B 卷 能力素养提升)增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．由a n＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：数列{a n}的前n项和S n＝n2 B．由f(x)＝x cos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝x cos x为奇函数C．由半径为r的圆的面积S＝πr2，推断单位圆的面积S＝πD．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2＞2n解析：选A选项A：为归纳推理，且∵a n＝2n－1，∴{a n}是等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，则S n＝n＋n(n－1)2×2＝n2，故A正确；选项B：为演绎推理；选项C：为类比推理；选项D：为归纳推理，当n＝7时，(n＋1)2＝82＝64<2n＝27＝128，故结论错误．故选A.4．命题“关于x的方程f(x)＝0有唯一解”的结论的否定是()A．无解B．两解C．至少有两解D．无解或至少有两解答案：D5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解析：选B先观察已知等式的左边，可得第n(n∈N*)个等式的左边应为9(n－1)＋n；再观察已知等式的右边结果1,11,21,31，…，知它们构成以1为首项，10为公差的等差数列，所以第n(n∈N*)个等式的右边应为1＋10(n－1)＝10n－9，故选B.6．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的面积最有可能是()A．πa2B．πb2C．πab D．π(ab)2解析：选C圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即a＝b时的情形，因为S圆＝πr2，可以类比出椭圆的面积最有可能是S＝πab.7．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析：选C P2＝(a＋a＋7)2＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝(a＋3＋a＋4)2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12，∴P 2<Q 2.又∵P >0，Q >0，∴P <Q .8．已知a ，b ∈R ，若a ≠b ，且a ＋b ＝2，则( ) A ．1<ab <a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1解析：选B ∵b ＝2－a ，∴ab ＝a (2－a )＝－(a 2－2a )＝－(a －1)2＋1<1， a 2＋b 22＝a 2＋(2－a )22＝2a 2－4a ＋42＝a 2－2a ＋2 ＝(a －1)2＋1>1，故选B.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2， ∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.10．记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，…由此可以推测A ＝( ) A ．－112 B.114 C ．－116 D.118解析：选A 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以16＋12＋512＋A ＝1，解得A ＝－112.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)12．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 解析：因为函数y ＝a 1－x的图象所过的定点为A (1，1)，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1. 又因为mn >0，所以必有m >0，n >0， 于是1m ＋1n ＝(m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋2 n m ·mn ＝4.答案：413．给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ……记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则 (1)a 54＝________；(2)a nm ＝________. 解析：由前4行的特点，归纳可得： 若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1， ∴a 54＝(4,5－4＋1)＝(4,2)， a nm ＝(m ，n －m ＋1)．答案：(1)(4,2) (2)(m ，n －m ＋1) 14．请阅读下面材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论是________．解析：类比给出的材料，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即可得到结论．故答案为a1＋a2＋…＋a n≤n.答案：a1＋a2＋…＋a n≤n三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)·(x2＋y2－1)－18≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求证：xy≤2.解：(1)由(x2＋y2)2＋(x2＋y2)－20≤0得(x2＋y2＋5)(x2＋y2－4)≤0.因为x2＋y2＋5>0，所以有0≤x2＋y2≤4，即x2＋y2的取值范围为[0,4]．(2)证明：由(1)知x2＋y2≤4，由基本不等式得xy≤x2＋y22≤42＝2，所以xy≤2.16．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的．证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又∵α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．结论是错误的，这两个平面也可能相交．17．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝32，sin2 5°＋sin2 65°＋sin 2 125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋ 1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． 将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32也正确 18．(本小题满分14分)如右图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p 2， 代入抛物线方程，可得y 2－2pmy －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上， 所以点C 的坐标是⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2， 故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .。

课下能力提升(三)[学业水平达标练]题组数(式)中的归纳推理．已知数列，＋，＋＋，＋＋＋，…，则数列的第项是( )．＋＋＋…＋．－＋＋…＋－．－＋＋…＋．－＋＋…＋－．如图所示，个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从到的箭头方向依次为( )．→↑．↑→．↓→．→↓．根据给出的等式猜测×＋等于( )×＋＝×＋＝×＋＝×＋＝×＋＝．．．．．设函数()＝(＞)，观察：()＝()＝，()＝(())＝，()＝(())＝，()＝(())＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当∈*且≥时，()＝(－())＝.题组图形中的归纳推理．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第颗珠子应是什么颜色( )．白色．黑色．白色可能性大．黑色可能性大．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{}的前项，则这个数列的一个通项公式为( )．＝－．＝．＝－．＝－＋－．如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成条线段，将圆最多分割成部分；画三条线段，彼此最多分割成条线段，将圆最多分割成部分；画四条线段，彼此最多分割成条线段，将圆最多分割成部分．猜想：在圆内画(≥)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？题组类比推理．已知{}为等比数列，＝，且…＝.若{}为等差数列，＝，则{}的类似结论为( )．…＝．＋＋…＋＝．…＝×．＋＋…＋＝×．在平面中，△的∠的平分线分△面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥-中，平面平分二面角--且与交于，则类比的结论为．．在矩形中，对角线与两邻边所成的角分别为α，β，则α＋β＝，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．[能力提升综合练]．观察下列各式：＝＝＝，…，则的末两位数字为( )．．．．．定义*，*，*，*依次对应下列个图形：那么下列个图形中，可以表示*，*的分别是( )．()，() ．()，()．()，() ．()，()．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图()中的，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图()中的，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()．．．．．设等差数列{}的前项和为，则，－，－，－成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}的前项积为，则，，，成等比数列．．将正整数排成下表：……则在表中数字出现在第行，第列．．已知椭圆具有以下性质：若，是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为，时，与之积是与点的位置无关的定值．试对双曲线－＝(＞，＞)写出具有类似特征的性质，并加以证明．．如图所示为行＋列的士兵方阵(∈*，≥)．()写出一个数列，用它表示当分别是，…时，方阵中士兵的人数；()若把()中的数列记为{}，归纳该数列的通项公式；()求，并说明表示的实际意义；()已知＝，问是数列第几项？答案[学业水平达标练]．解析：选利用归纳推理可知，第项中第一个数为－，且第项中有项，且次数连续，故第项为－＋＋…＋－.．解析：选观察总结规律为：以个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，到的箭头方向和到的箭头方向是一致的．故选.．解析：选由题中给出的等式猜测，应是各位数都是的七位数，即 .．解析：根据题意知，分子都是，分母中的常数项依次是，…，可知()的分母中常数项为，分母中的系数为－，故()＝.答案：．解析：选由图，知三白二黑周期性排列，＝×＋，故第颗珠子的颜色为白色．．解析：选∵＝，＝，＝，＝，∴猜想＝－.．解：设圆内两两相交的条线段，彼此最多分割成的线段为()条，将圆最多分割为()部分．()＝＝，()＝；()＝＝，()＝＝＋；()＝＝，()＝＝＋＋；()＝＝，()＝＝＋＋＋；猜想：()＝，()＝＋＋＋＋…＋＝＋＝.即圆内两两相交的(≥)条线段，彼此最多分割为条线段，将圆最多分割为部分．．解析：选等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得＋＋…＋＝×.．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有＝.答案：＝．解：如图①，在矩形中，α＋β＝＋＝＝＝.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则α＋β＋γ＝，证明如下：如图②，α＋β＋γ＝＋＋＝＝＝.[能力提升综合练]．解析：选因为＝＝＝＝，＝＝，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期＝.又＝×，所以的末两位数字与的末两位数字相同，为.．解析：选由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母代表竖线，字母代表大矩形，字母代表横线，字母代表小矩形，∴*是()，*是()．．解析：选记三角形数构成的数列为{}，则＝，＝＝＋，＝＝＋＋，＝＝＋＋＋，可得通项公式为＝＋＋＋…＋＝.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为＝.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得都为正整数的只有.．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{}的前项积为，则，，，成等比数列．答案：．解析：第行有－个数字，前行的数字个数为＋＋＋…＋(－)＝.∵＝＝，且＜＜，∴在第行．又－＝，且第行有×－＝个数字，∴在第－＝列．答案：．解：类似的性质为：若，是双曲线－＝(＞，＞)上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为，时，与之积是与点的位置无关的定值．证明如下：设点，的坐标分别为(，)，(，)，则(－，－)．因为点(，)在已知的双曲线上，所以－＝，得＝－.同理，＝－，则－＝(－)．所以·＝·＝＝·＝(定值)．所以与之积是与点的位置无关的定值．．解：()当＝时，表示一个行列的士兵方阵，共有人，依次可以得到当＝，…时的士兵人数分别为，….故所求数列为，….()因为＝×，＝×，＝×，…，所以猜想＝(＋)(＋)，∈*.()＝×＝表示行列的士兵方阵的人数为.()令(＋)(＋)＝，所以＝，即是数列的第项，此时方阵为行列．。

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综合质量评估
(第一至第四章)
(分钟分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
.变量与之间的回归方程( )
.表示与之间的函数关系
.表示与之间的确定关系
.反映与之间的真实关系
.反映与之间真实关系达到最大限度的吻合
【解析】选.回归方程是表示与具有相关关系，相关关系是一种非确定性关系，而回归方程是由最小二乘法求得的，它反映了与之间真实关系达到最大限度的吻合.
.(·上海高二检测)计算机系统、硬件系统、软件系统、、存储器的知识结构图为( )
【解析】选.由于、存储器属于硬件，故由元素间的从属关系知正确.
.(·全国卷Ⅱ)设复数满足，则( )
【解题指南】先解关于的一元一次方程，再求其共轭复数.
【解析】选.由得，，.
【补偿训练】(·西安高二检测)定义，若复数满足，则等于( ) 【解题指南】利用新定义直接化简，则，求出复数，它的分子、分母同乘分母的
共轭复数，进行化简可得答案.。

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单元质量评估(三)(第三、四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2016·北京高考)复数=( )A.iB.1+iC.-iD.1-i【解题指南】复数作除法运算时，分子分母同乘分母的共轭复数.【解析】选A.===i.2.(2016·吉林高二检测)i是虚数单位，计算i+i2+i3=( )A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.i+i2+i3=i-1-i=-1.3.(2016·台州高二检测)设x∈R，则“x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的( )A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.z是纯虚数⇔⇔x=1，故选A.4.若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )A.-2B.4C.-6D.6【解析】选C.因为==为纯虚数，所以所以a=-6.5.如图所示的知识结构图为________结构.( )A.树形B.环形C.对称形D.左右形【解析】选A.由框图知，此类框图是由一个框分成若干个框，所以是树形结构.6.下面是一商场某一个时间制定销售计划的局部结构图，则“计划”受影响的主要因素有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由结构图知“计划”的上位要素有：政府行为、策划部、社会需求.故有3个.7.已知下列命题：①复数a+bi不是实数；②若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±2；③若复数z=a+bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选A.根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a∈R且b=0时，a+bi是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x=2，当x=-2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没强调a，b∈R.8.(2016·哈尔滨高二检测)若复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值为( )A.-1B.1C.-D.【解题指南】首先将复数(a+i)2化为复数的代数形式，再根据条件确定实数a的值.【解析】选A.因为(a+i)2=a2-1+2ai，又复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，所以即a=-1.9.复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2+3i，3+2i，-2-3i，则D点对应的复数是( )A.-2+3iB.-3-2iC.2-3iD.3-2i【解析】选 B.设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得所以所以D(-3，-2).所以对应复数为-3-2i.10.(2016·山东高考)若复数z=，其中i为虚数单位，则=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解题指南】先去掉分母，求z，再求其共轭复数.【解析】选B.z==1+i，所以=1-i.11.设z的共轭复数是，若z+=4，z·=8，则等于( )A.iB.-iC.±1D.±i【解析】选D.设z=x+yi(x，y∈R)，则=x-yi，由z+=4，z·=8得，即解得所以===±i.12.某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是( )A.11小时B.13小时C.15小时D.17小时【解析】选A.组装工序可以通过三个方案分别完成：A→B→E→F→G，需要2+4+4+2=12(小时)；A→E→F→G，需要5+4+2=11(小时)；A→C→D→F→G，需要3+4+4+2=13(小时).因此组装该产品所需要的最短时间是11小时.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若复数z=1-2i(i为虚数单位)，则z·+z=__.【解析】因为z=1-2i，所以z·=5，所以z·+z=6-2i.答案：6-2i14.设a，b∈R，a+bi=(i为虚数单位)，则a+b的值为________.【解析】a+bi====5+3i，依据复数相等的充要条件可得a=5，b=3.从而a+b=8.答案：815.a为正实数，i为虚数单位，||=2，则a=________.【解析】==1-ai，则||=|1-ai|==2，所以a2=3.又因为a为正实数，所以a=.答案：16.如图是向量运算的知识结构图，如果要加入“向量共线的充要条件”，则应该是______的下位.【解析】向量共线的充要条件是其中一个向量能用另一个非零向量的数乘形式表示.答案：“数乘”三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i，m∈R，当m为何值时，z分别是：(1)实数.(2)纯虚数.【解析】(1)要使z∈R，则⇔m=-1或m=-2，所以当m=-1或m=-2时，z为实数.(2)要使z为纯虚数，则即所以所以m=3.所以当m=3时，z为纯虚数.18.(12分)已知复数z=，是z的共轭复数，求z·的值.【解析】z===-·=-(+i)(1-i)=-(-i)，z·=·=.19.(12分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i，z2=a-2-i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1-|<|z1|，求a的取值范围.【解析】因为z1==2+3i，z2=a-2-i，=a-2+i，所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=，又因为|z1|=，|z1-|<|z1|，所以<，所以a2-8a+7<0，解得1<a<7.所以a的取值范围是(1，7).20.(12分)画出“直线与方程”这一部分的知识结构图.【解析】知识结构图如图所示：21.(12分)国内某知名网站设有房地产频道，其栏目结构图如图：(1)某人若上网搜索租房信息应如何操作？(2)某人在建材装修方面遇有法律咨询方面需求应如何办？【解析】房地产频道栏目设置较多，故结构图采用“树”形结构，如果采用从上到下画法，则由于篇幅限制，不易作出.本题结构图一目了然，各部分的逻辑从属关系由此可知.答：(1)搜索租房信息：打开网站→房地产频道→租房搜索.(2)建材装修方面法律咨询：打开网站→房地产频道→建材装修→律师楼.22.(12分)(2016·青岛高二检测)已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|=1，求|z-z1|的最大值.【解析】(1)|z1|=|i(1-i)3|=|2-2i|==2.(2)如图所示，由|z|=1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0，0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，-2).所以|z-z1|的最大值可以看成是点Z1(2，-2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-z1|max=|z1|+r(r为圆的半径)=2+1.【补偿训练】(2016·大连高二检测)已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(1)求复数z.(2)求的模.【解题指南】(1)设z=a+bi(a，b∈R)，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得a，b 的值，则复数z可求.(2)把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式可得.【解析】(1)设z=a+bi(a，b∈R)，所以z+2i=a+(b+2)i，由a+(b+2)i为实数，可得b=-2，又因为=为实数，所以a=4.则z=4-2i.(2)==1-3i，所以的模为.【拓展延伸】复数问题实数化在求复数时，常设复数z=x+yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，这就是复数问题实数化的基本思想.关闭Word文档返回原板块。

章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A．3，－2B．3,2C．3，－3 D．－1,4【解析】(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋b i，所以a＝3，b＝－2.【答案】 A2．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．2－3i B．2＋3iC．3＋2i D．3－2i【解析】∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.【答案】 A3．(2016·衡阳高二检测)若i(x＋y i)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋y i 的模是()A．2B．3C．4D．5【解析】由i(x＋y i)＝3＋4i，得－y＋x i＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋y i的模为42＋(－3)2＝5.【答案】 D4．(2014·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i【解析】由(3－4i)z＝25，得z＝253－4i＝25(3＋4i)(3－4i)(3＋4i)＝3＋4i，故选D.【答案】 D5．(2016·天津高二检测)“m＝1”是“复数z＝(1＋m i)(1＋i)(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】z＝(1＋m i)(1＋i)＝1＋i＋m i－m＝(1－m)＋(1＋m)i，若m＝1，则z＝2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m＝1.故选C.【答案】 C6．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()【导学号：19220054】A．实轴上B．虚轴上C．直线y＝±x(x≠0)上D．以上都不对【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，∵z2＝a2－b2＋2ab i为纯虚数，∴{a2－b2＝0，ab≠0.∴a＝±b，即z在复平面上的对应点在直线y＝±x(x≠0)上．【答案】 C7．设复数z满足1－z1＋z＝i，则|1＋z|＝()A．0 B．1 C. 2 D．2【解析】∵1－z1＋z＝i，∴z＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－i，∴|z＋1|＝|1－i|＝ 2. 【答案】 C8．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得{ a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，得{ a ＝1，b ＝1，∴z ＝1＋i.【答案】 A9．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos 2θ－sin 2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴{ sin 2θ＝0，cos 2θ＝－1，∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选D. 【答案】 D 10．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 250＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2250＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2225＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.【答案】 D11．在复平面上，正方形OBCA 的三个顶点A ，B ，O 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点C 对应的复数是( )A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (－2,1)，O (0,0)， ∴设第四个顶点C 的坐标为(x ，y )， 则BC →＝OA →，∴(x ＋2，y －1)＝(1,2)． ∴{ x ＋2＝1，y －1＝2， ∴{ x ＝－1，y ＝3，∴第四个顶点C 的坐标为(－1,3)． 【答案】 D12．复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由于|z |＝2，所以(x －2)2＋y 2＝2，即(x －2)2＋y 2＝4，故点(x ，y )在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z ＋2|＝|x ＋y i|＝x 2＋y 2，它表示点(x ，y )与原点的距离，结合图形易知|z ＋2|的最大值为4，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)13．(2015·天津高考)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．【解析】 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.【答案】 －214．复数z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是________．【解析】 ∵z 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，z 2＝2－i 3＝2＋i ，∴P (－1,0)，Q (2,1)，∴PQ →＝(3,1)，即PQ →对应的复数为3＋i. 【答案】 3＋i 15．定义运算||a bc d ＝ad －bc ，则对复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )符合条件||z 1z 2i ＝3＋2i 的复数z 等于_________________________________．【导学号：19220055】【解析】 由定义运算，得||z 1z 2i ＝2z i －z ＝3＋2i ，则z ＝3＋2i－1＋2i＝(3＋2i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝15－85i.【答案】 15－85i16．复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________．【解析】 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以{ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2 ＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92， 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．【解】∵复数4－20i的共轭复数为4＋20i，∴x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，∴{x2＋x－2＝4，x2－3x＋2＝20，∴x＝－3.18．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－6m1－i－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是：(1)虚数；(2)纯虚数．【解】z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，(1)当m2－3m＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．(2)当{2m2－3m－2＝0，m2－3m＋2≠0，即m＝－12时，z为纯虚数．19．(本小题满分12分)设复数z＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．【解】z＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i＝2i＋3(1－i)2＋i＝3－i2＋i＝(3－i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝1－i.将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，所以{a＋b＝1，－(a＋2)＝1.所以{a＝－3，b＝4.20．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解】设z＝x＋y i，x，y∈R，因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，所以k OA＝k BC，|z C|＝|z B－z A|，即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42， 解得{ x 1＝－5，y 1＝0或{ x 2＝－3，y 2＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 【解】 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， ∴2ab ＝2.∴a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i. ∴点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. ∴点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， ∴S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1. 即△ABC 的面积为1.22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程：x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值.【导学号：19220056】【解】 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R )的实根， ∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，∴{b2－6b＋9＝0，a＝b，解得a＝b＝3.(2)设z＝x＋y i(x，y∈R)，由|z－3－3i|＝2|z|，得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示．当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，∵|OO1|＝2，半径r＝22，∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝ 2.。

阶段质量检测（三）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(江西高考)已知集合M {1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：选C 由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4， 故z ＝4i ＝4ii2＝－4i.2．复数z ＝(1－i)21＋i (i 为虚数单位)的虚部为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B 因为z ＝(1－i)2(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，所以复数z 的虚部为－1.3．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B ∵ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0.由复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，得a ＝0且b ≠0.∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．(A 卷 学业水平达标)4．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝－5＋5i5＝－1＋i ， 所以其共轭复数为＝－1－i.5．在复平面内，复数11＋i ，11－i (i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：选A 11＋i ＝12－12i ，11－i ＝12＋12i ，故在复平面内对应的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，对应的复数为12.6．(安徽高考)设i 是虚数单位，表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i解析：选C 因为z ＝1＋i ，所以zi ＋i·z ＝－i ＋1＋i ＋1＝2.7．(陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D 对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B 、C ，易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．8．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)解析：选D 整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应的点位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＜0，m 2－m －6＞0，解得3＜m ＜4. 9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ， 得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i＝3－i.10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是该方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ， (1＋2i)(1－2i)＝3＝c ， 解得b ＝－2，c ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 1－2i的共轭复数是________．解析：由题图知z ＝2＋i ， 则z1－2i ＝2＋i 1－2i ＝(2＋i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝i ， 其共轭复数是－i. 答案：－i12．计算：[(1＋2i)·i 100－i]2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 230＝________.解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－215(－i)215＝(1＋i)2＋i ＝3i. 答案：3i13．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________.解析：a ＋i i ＝(a ＋i)·(－i)i ·(－i)＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又因为a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案： 314．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b1－2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i＝53＋i， 即a (1＋i)2＋b (1＋2i)5＝3－i 2，∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10， ∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限． 答案：四三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 满足下列条件？(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0， 即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.16．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i)2.求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2. 解：因为z 2＝15－5i (2＋i)2＝15－5i3＋4i＝(15－5i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i) ＝25－75i 25＝1－3i ，所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i)(1＋3i)(1－3i)(1＋3i)＝11＋3i 10＝1110＋310i. 17．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，求a 的取值范围．解：∵z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2＋4.又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|＜|z 1|， ∴(4－a )2＋4＜13，∴a 2－8a ＋7＜0，解得1＜a ＜7. ∴a 的取值范围是(1,7)．18．(本小题满分14分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z 2－i＝x －2i 2－i＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z 2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0.解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下面三个命题： ①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立； ③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1. 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A ①中实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i(B 卷 能力素养提升)的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是否是实数．2．若复数 z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C. 2D. 3解析：选C 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则由z (1＋i)＝2i ，得(a ＋b i)·(1＋i)＝2i ， 所以(a －b )＋(a ＋b )i ＝2i ， 由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝2，解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i ， 故|z |＝12＋12＝ 2. 法二：由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i(1－i)2＝i －i 2＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)·i 为“等部复数”，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A 由已知可得z ＝(1＋a i)·i＝－a ＋i ， 所以－a ＝1，即a ＝－1.4．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵0<a <1，∴a >0且a －1<0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．故选D.5．已知复数z ＝1＋3i1－i ，则z 的实部为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1解析：选D 因为z ＝1＋3i 1－i ＝(1＋3i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－2＋4i2＝－1＋2i ，故z 的实部为－1.6．已知a ，b 是实数，设i 是虚数单位，若a ＋i ＝b i 1＋i，则复数a ＋b i 为( )A ．2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．1－2i解析：选C 因为a ＋i ＝b i 1＋i，整理得(a ＋i)(1＋i)＝b i ，∴(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ， 由复数相等的条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， ∴a ＋b i ＝1＋2i ，故选C.7．在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量CB 对应的复数是－1－3i ，则向量CA 对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i 解析：选D CA ＝CB －AB ＝－1－3i －2－i ＝－3－4i.8．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D |z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2＝(|x |＋|y |)2＝|x |＋|y |，D 正确．9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad ＋bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．－1－3i解析：选D 由已知得z i －z ＝4＋2i ， ∴z ＝4＋2i －1＋i ＝(4＋2i)(－1－i)2＝－1－3i.10．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f (1＋i)3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 因为f (1＋i)3＋i ＝2i 3＋i ＝15＋35i ，所以选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2. 答案：2 212．设复数z 满足i z ＝－3＋i(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：由i z ＝－3＋i ，得z ＝－3＋i i ＝(－3＋i)(－i)i(－i)＝1＋3i ，则z 的实部为1. 答案：113．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为________．解析：z 1z 2＝3－a i 1＋2i ＝(3－a i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝3－2a 5－6＋a 5i ， 因为z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a >0，6＋a >0⇒－6<a <32. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－6，32 14．对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数ω1，ω2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为________． 解析：设OP 1＝x 1＋y 1i ，OP 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，∵ω1⊙ω2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴OP 1⊥OP 2，∴∠P 1OP 2＝π2. 答案：π2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i(a ＋b i)＝2i·i·(a ＋b i) ＝－2a －2b i ，由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，∴|z |＝|z －z |，把z ＝－2a －2b i 代入化简，得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限内，∴a <0，b <0.由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求a ＝－3，b ＝－1. 16．(本小题满分12分)已知z ＝a －i 1－i (a >0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω. 解：由已知，ω＝a －i 1－i ×a ＋11－i＝(a ＋1)(a －i)－2i ＝(a ＋1)(1＋a i)2＝a ＋12＋a (a ＋1)2i ， ∴a (a ＋1)2－a ＋12＝32， ∴a ＝2(a >0)，∴ω＝32＋3i. 17．(本小题满分12分)已知z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根．(1)求实数a ，b 的值．(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．解：(1)把z ＝i －1代入z 2＋az ＋b ＝0得(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，∴a ＝2，b ＝2.(2)猜测：－1－i 是方程的另一个根．证明：设另一个根为x 2，由根与系数的关系，得i －1＋x 2＝－2，∴x 2＝－1－i.把x 2＝－1－i 代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i －2－2i ＋2＝0＝右边，∴x 2＝－1－i 是方程的另一个根．18．(本小题满分14分)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b .(1)求实数a ，b 的值．(2)若复数z 满足|z －a ＋b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)的实数根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a －b ＝0.解得a ＝b ＝3. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z －3＋3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时，|z |有最大值或最小值．∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值，且|z |min ＝ 2.。

阶段质量检测(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中()A．小前提错误B．大前提错误C．推理形式错误D．结论正确2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－103．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．□D．○4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．1996．已知c>1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b大小不定7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋28．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1367B.⎝⎛⎭⎫1368C.⎝⎛⎭⎫13111D.⎝⎛⎭⎫13112 9．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2C.n (n ＋1)2D.n (n ＋1)2f (1)10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1)11．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 812．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 016等于( )A.12B ．－1C ．2D ．3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．15．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．16．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n >2)个图形中共有________个顶点．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca＜ 3.18．(本小题12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c中至少有一个不小于1.19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 20．(本小题12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列． (1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．21．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝a n2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列．22．通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1； 32－22＝2×2＋1； 42－32＝2×3＋1； …(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．答案1．解析：选B 可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值相反，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，故选B.2．解析：选B 由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n －1)＋n ＝10n －9. 3．解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确．4．解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．5．解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )， 则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4， f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7； f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)， 则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18； f (7)＝f (5)＋f (6)＝29； f (8)＝f (6)＋f (7)＝47; f (9)＝f (7)＋f (8)＝76； f (10)＝f (8)＋f (9)＝123. 所以a 10＋b 10＝123.6．解析：选B 要比较a 与b 的大小，由于c >1， 所以a >0，b >0，故只需比较1a 与1b 的大小即可，而1a ＝1c ＋1－c ＝c ＋1＋c ， 1b ＝1c －c －1＝c ＋c －1， 显然1a >1b，从而必有a <b .7．解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.8．解析：选D 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝⎛⎭⎫13112.故选D.9．解析：选C f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ⋮f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n (n ＋1)2f (1)．所以A ，D 正确．又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝⎛⎭⎫n (n ＋1)2，所以B 也正确．故选C.10．解析：选B ∵当n ＝1时，S 1＝1；当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33；∴归纳猜想S n ＝n 3，故选B.11．解析：选A b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4)＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2)＝－b 4(q －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34. ∵b n ＞0，q ＞1，∴－b 4(q －1)2·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34＜0， ∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.12．解析：选C ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 016＝a 3＋3×671＝a 3＝2.13．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．答案：x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)14．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝115．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33216．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n ＝(n ＋2)＋(n ＋2)·(n ＋2)，a n －2＝n 2＋n . 答案：n 2＋n17．证明：因为a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0. 要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ， 即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2， 即(a －c )(2a ＋c )＞0，因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0， 所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立， 故原不等式成立．18．证明：假设a ，b ，c 都小于1， 即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则a ＋b ＋c ＜3.∵a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3，且x 为实数， ∴2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3， 即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1. 19．解：(1)选择(2)式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.20．解：(1)b a＜c b. 证明如下： 要证b a＜c b ，只需证b a ＜c b . ∵a ，b ，c ＞0， ∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c成等差数列，b ac ac∴b 2≤ac .又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac .故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＞2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与cos B ＜0矛盾， 故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 是最大边， 即b ＞a ，b ＞c ， 所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾， 故假设不成立．所以角B 不可能是钝角． 21．证明：(1)因为S n ＋1＝4a n ＋2， 所以S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)， 即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )， 因为b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)， 所以b n ＋1＝2b n ，由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列． (2)由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1， 得a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3. 故b n ＝3·2n －1.因为c n ＝a n2n (n ＝1,2，…)，所以c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n2＋2＋将b n ＝3·2n－1代入得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)．由此可知，数列{c n }是公差d ＝34的等差数列．22．解：23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， 将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋32＋…＋n 2 ＝13⎣⎡⎦⎤(n ＋1)3－1－n －3×n (n ＋1)2 ＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。

选修1－2 综合学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( C ) A ．i(1＋i)2 B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)[解析] A 中，i(1＋i)2＝i(1＋2i －1)＝－2；B 中，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ；C 中，(1＋i)2＝1＋2i －1＝2i ；D 中，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，故选C ．2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，复数z 1，z 3在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3＋2i ，则z 2z 3＝( C )A ．－13B ．13C ．－5＋12iD ．－5－12i[解析] 由题意知z 2＝3－2i ，z 3＝－3＋2i ， 所以z 2z 3＝(3－2i)(－3＋2i) ＝－9＋6i ＋6i ＋4 ＝－5＋12i ． 故选C ．3．执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S 等于( B )A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2[解析] 第一次循环，T ＝1，S ＝1，K ＝2； 第二次循环，T ＝12，S ＝1＋12，K ＝3；第三次循环，T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3，K ＝4；第四次循环，T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，K ＝5，循环结束，输出S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，故选B ． 4．由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中( A )A ．正方体的体积取得取大B ．正方体的体积取得取小C ．正方体各棱长之和取得取大D ．正方体各棱长之和取得取小[解析] 利用类比猜想得“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得取大”，故选A ．5．下列是用“三段论”形式写出的演绎推理：因为指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在(－∞，＋∞)上是减函数，y ＝2x 是指数函数，所以y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是减函数．该结论显然是错误的，其原因是( A )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能[解析] 大前提是：指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在(－∞，＋∞)上是减函数，显然不正确，故选A ．6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是( D )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在零点，故选D ．7．某考察团对全国10大城市的职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)进行统计调查后发现，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( A )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%[解析] 因为(x ，7.765)在回归直线y ^＝0.66x ＋1.562上，所以7.765＝0.66x ＋1.562，则x ＝9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为7.7659.4×100%≈83%．8．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( D )A ．32B ．33C ．12D ． 3[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤3．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题是真命题的是( ABC ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，故A 为真命题；②由复数相等的条件z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 为真命题；③令z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如当z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，而z 1≠z 2，故C 为真命题；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D 为假命题．故选ABC ．10．下列说法正确的是( ACD )A ．相关关系是一种非确定性关系B ．线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^，至少经过其样本数据点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合效果好[解析] 对于A ，相关关系是一种非确定的关系，而函数关系是一种确定的关系，A 选项正确；对于B ，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的中心点(x ，y )，但并不一定过样本数据中的某一个点，B 选项错误；C 、D 显然正确，故选ACD ．11．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表.算得K 2＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616．附表参照附表，得到的结论不正确的是( ABD )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”[解析] ∵K 2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选ABD ．12．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分为预赛和决赛两个阶段，下表为10学生的预赛成绩，其中有三个数据漏记了(见表中空白处)在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则以下判断不正确的为( ABC )A ．4号学生一定进入30秒跳绳决赛B ．5号学生一定进入30秒跳绳决赛C ．9号学生一定进入30秒跳绳决赛D ．10号学生一定进入30秒跳绳决赛[解析] 进入立定跳远决赛的学生是1、3、4、6、7、8、9、10号的8个学生，由同时进入两项决赛有6人可知，1、3、4、6、7、8、9、10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3、6、7号学生成绩依次排名为1、2、3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，所以1、3、6、7、10进入30秒跳绳决赛，故选ABC ．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．复数z ＝－1＋3i2－i，则|z |＝．[解析] 解法一：z ＝－1＋3i 2－i ＝(－1＋3i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，∴|z |＝(－1)2＋12＝2．解法二：∵z ＝－1＋3i 2－i ，∴|z |＝|－1＋3i 2－i |＝(－1)2＋3222＋(－1)2＝105＝2．14．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的回归方程为y ^＝1.3x －1，则m ＝__3.1__.[解析] 由已知得x ＝14×(1＋2＋3＋4)＝2.5．y ＝14(0.1＋1.8＋m ＋4)＝14×(5.9＋m )．∵(x ，y )在直线y ^＝1.3x －1上，所以y ^＝1.3×2.5－1＝2.25， ∴14×(5.9＋m )＝2.25，解得m ＝3.1．15．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__． [解析] 第1个等式有1项，从1开始； 第2个等式有3项，从2开始； 第3个等式有5项，从3开始； 第4个等式有7项，从4开始．每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81．16．为了研究某班学生的脚长x (单位：cm)和身高y (单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.已知∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝110y i ＝1 600，b ^＝4，该班某学生的脚长为24 cm ，据此估计其身高为__166__cm ．[解析] ∵∑i ＝110x i ＝225，∴x ＝110∑i ＝110x i ＝22.5．∵∑i ＝110y i ＝1 600，∴y ＝110∑i ＝110y i ＝160．又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70． 则线性回归方程为y ^＝4x ＋70 将x ＝24代入得y ＝166． ∴其身高约为166 cm ．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(1)计算(1＋i 2)2＋5i3＋4i ；(2)复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )满足z ＋2i z －＝3＋i ，求复数z 的对应点Z 所在的象限． [解析] (1)原式＝2i2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i ．(2)由z ＋2i z －＝3＋i 得 (x ＋2y )＋(y ＋2x )i ＝3＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3y ＋2x ＝1， 解得x ＝－13，y ＝53，∴z ＝－13＋53i ，∴复数z 对应点Z 的坐标为(－13，53)，即在第二象限．18．(本题满分12分)关于复数z 的方程z 2－(a ＋i)z －(i ＋2)＝0(a ∈R )． (1)若此方程有实数解，求a 的值；(2)用反证法证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根．[解析] (1)设z ＝m ∈R ，代入方程可得m 2－(a ＋i)m －(i ＋2)＝0，即m 2－am －2＋(－m －1)i ＝0，则m 2－am －2＝0，且－m －1＝0，故m ＝－1，a ＝1．(2)假设原方程有纯虚数根，令z ＝n i ，n ∈R 且n ≠0，则有(n i)2－(a ＋i)n i －(i ＋2)＝0，整理可得－n 2＋n －2＋(－an －1)i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋n －2＝0 ①－an －1＝0 ②，对于①，判别式Δ＜0，方程无解，故方程组无解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根．19．(本题满分12分)近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：参考数据：(参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )根据调查的数据，是否有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由； [解析] K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(20×20－40×20)260×40×60×40＝400×400×1005 760 000≈2.778>2.706所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”． 20．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －bb＋a ＋b －cc>3． [解析] 解法一：(分析法)要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3，只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋bc －1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc>6．而事实上，由a 、b 、c 是全不相等的正实数， 得b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2． 从而b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6．故b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证． 解法二：(综合法) ∵a 、b 、c 全不相等，∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等． ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2． 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b －1)＋(a c ＋bc －1)>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3． 21．(本题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形中包含f (n )个小正方形．(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． [解析] (1)由图可知，f (1)＝1，f (2)＝1＋4＝5，f (3)＝1＋4＋8＝13， f (4)＝1＋4＋8＋12＝25， ∴f (5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41．(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2；f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，∴f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，将上述n －1个式子相加得f (n )－f (1)＝4[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝4×[1＋(n －1)](n －1)2＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，∴f (n )＝f (1)＋2n 2－2n ＝2n 2－2n ＋1．(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＋1－1＝12(1n －1－1n )，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n)＝1＋12(1－1n )＝32－12n． 22．(本题满分12分)某工厂每日生产一种产品x (x ≥1)吨，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y 万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了x ，Y 的一组统计数据，如下表：日产量x (吨) 1 2 3 4 5 日销售额Y (万元)512161921(1)请判断y ＝bx ＋a 与y ＝d ln x ＋c 中，哪个模型更适合刻画x ，Y 之间的关系，可从函数增长趋势方面给出简单的理由；(2)根据你的判断及下面的数据和公式，求出Y 关于x 的回归方程，并估计当日产量x ＝6时，日销售额是多少．(结果保留整数)参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x ·y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^·x ．参考数据：ln 1＋ln 2＋ln 3＋ln 4＋ln 55≈0.96,5ln 1＋12ln 2＋16ln 3＋19ln 4＋21ln 5≈86，ln 6≈1.8，(ln 1)2＋(ln 2)2＋(ln 3)2＋(ln 4)2＋(ln 5)2≈6.2．[解析] (1)y ＝d ln x ＋c 更适合刻画x ，Y 之间的关系．理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为7,4,3,2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的增长存在较大差异，故y ＝d ln x ＋c 更适合刻画x ，Y 之间的关系．(2)令z ＝ln x ，由题意得y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 55＝735＝14.6，所以d ^＝∑i ＝15z i y i －5z ·y∑i ＝15z 2i －5z2≈86－5×0.96×14.66.2－5×0.962＝10，c ^＝y －d ^·z ≈14.6－10×0.96＝5，所以所求的回归方程为y ^＝10ln x ＋5.当x ＝6时，销售额为y ^＝10ln 6＋5≈23(万元)．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

阶段质量检测(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i3．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设a 是实数，且a1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．25．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．16．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．27．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )|n ∈N }的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个8．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量对应的复数是() A.10 B ．－3－iC ．1＋iD ．3＋i9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2＋2iD ．－2－2i11．定义运算＝ad －bc ，则符合条件＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.14．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________． 15．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________.16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.18．(本小题12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z的值． 19．(本小题12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2.求： (1)z 1·z 2；(2)z 1z 2. 20．(本小题12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值． 21．(本小题12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．22．(本小题12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3m －3为纯虚数． (1)求m 对应的点的轨迹；(2)求|z |的最大值、最小值．答案1．解析：选D 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.2．解析：选A ∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i.3．解析：选D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)．4．解析：选B a 1＋i＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ， 由题意可知1－a 2＝0，即a ＝1. 5．解析：选B 由已知⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2得⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2，所以 1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.6．解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝1－2i ＋i 22＝－i ＝a ＋b i ，所以a ＝0，b ＝－1，所以a 2－b 2＝0－1＝－1. 7．解析：选B f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ， f (2)＝i 2－i －2＝0，f (3)＝i 3－i －3＝－2i ， 由i n 的周期性知{f (n )|n ∈N }＝{0，－2i,2i}．8．解析：选D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.9．解析：选A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件．由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，故“m ＝1”不是“z 1＝z 2”的必要条件．10．解析：选A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，∴z ＝2－2i.11．解析：选A 由定义知＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i 1＋i ＝3－i. 12．解析：选B 由题意可得(1＋2i)2＋b (1＋2i)＋c ＝0⇒－1＋b ＋c ＋(22＋2b )i ＝0，13．解析：由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得{ a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i14．解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45.答案：4515．解析：设m ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，方程的实根为x 0，则x 20＋(2－i)x 0＋(2b i －4)i ＝0，即(x 20＋2x 0－2b )－(x 0＋4)i ＝0，解得x 0＝－4，b ＝4.故m ＝4i.答案：4i16．解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限．答案：四17．解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数．18．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵|z |＝1＋3i －z ，∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i. 19．解：z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i. 20．解：(1)因为ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ，所以|ω|＝(－1)2＋(－1)2＝ 2.(2)由条件z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，得(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ，即(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝1－i.所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以{ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得{ a ＝－1，b ＝2.21．解：∵z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ， ∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|，∴(4－a )2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．22．解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则m ＋3m －3＝(x ＋3)＋y i (x －3)＋y i ＝(x 2＋y 2－9)－6y i (x －3)2＋y 2， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴{ x 2＋y 2－9＝0，y ≠0，即{ x 2＋y 2＝32，y ≠0. ∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．(2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)，∴|z －(3＋33i)|＝3.∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9； 最小值为|3＋33i|－3＝3.。

学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误【解析】 合情推理得出的结论不一定正确，故A 错；合情推理必须有前提有结论，故B 对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C 错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D 错．【答案】 B2．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc(c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 【解析】 由实数运算的知识易得C 项正确．【答案】 C3．(2016·大连高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2­1­7所示，图2­1­7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2【解析】从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.【答案】 C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A．一条中线上的点，但不是中心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．【答案】 D5．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A二、填空题6．把正数排列成如图2­1­8甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图2­1­8乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n＝2 017，则n＝__________.【导学号：19220014】12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16甲 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16乙 图2­1­8【解析】 图乙中第k 行有k 个数，第k 行最后的一个数为k 2，前k 行共有k k ＋12个数，由44×44＝1 936,45×45＝2 025知a n ＝2017出现在第45行，第45行第一个数为1 937，第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，所以n ＝4444＋12＋41＝1 031. 【答案】 1 0317．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.【解析】 因为V ＝8πr 3，所以W ＝2πr 4，满足W ′＝V . 【答案】 2πr 48．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 三、解答题9．已知数列8×112×32，8×232×52，…，8×n2n －122n ＋12，…，S n为其前n 项和，计算S 1，S 2，S 3，S 4，观察计算结果，并归纳出S n 的公式．【解】 S 1＝8×112×32＝89＝32－132＝2×1＋12－12×1＋12，S 2＝89＋8×232×52＝2425＝52－152＝2×2＋12－12×2＋12，S 3＝2425＋8×352×72＝4849＝72－172＝2×3＋12－12×3＋12，S 4＝4849＋8×472×92＝8081＝92－192＝2×4＋12－12×4＋12，由此归纳猜想S n ＝2n ＋12－12n ＋12.10．(2016·咸阳高二检测)在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a .类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】 类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a .证明：设M 是正四面体P ­ABC 内任一点，M 到平面ABC ，平面PAB ，平面PAC ，平面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P ­ABC ＝V M ­ABC ＋V M ­PAB ＋V M ­PAC ＋V M ­PBC ＝13·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，而S △ABC ＝34a 2，V P ­ABC ＝212a 3，故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝63a (定值)．[能力提升]1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝11 111； 12 345×9＋6＝111 111； A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.【答案】 B2．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1.【答案】 C3．(2016·温州高二检测)如图2­1­9所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于_________________________．【导学号：19220015】图2­1­9【解析】 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0， 所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．【答案】 1＋52。