人教版 28.2.2解直角三角形的应用(1)

军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）

课堂小结
解 直 角 三 角 形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至 少有一个是边），就可以求出余下的三个未 知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
B
CD
A
对接中考
B
C D
A
课后作业 请完成课本后习题第1题.
12 、能者上，庸者下，平者让。谁砸企业的牌子，企业就砸谁的饭碗。 19 、生活中的许多事，并不是我们不能做到，而是我们不相信能够做到。 5 、当你手中抓住一件东西不放时，你只能拥有一件东西，如果你肯放手，你就有机会选择更多。（ ） 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 17 、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 17 、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 15 、如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼。因为你自己的内心，你放不下。 19 、你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 7 、如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功。 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 19 、经营信为本，买卖礼当先。心态决定成败，有志者事竟成。 10 、人生有顺境也有逆境，输什么也不能输了心情;人生有进有退，输什么也不要输掉自己。 7 、成功在于好的心态与坚持，心态决定状态，心胸决定格局，眼界决定境界。 7 、喜欢一个人不是回复他每条动态，而是研究下面可疑的评论。 13 、用冷静的目光去看待人世间的一切，才能活得坦荡，活得超然。 6 、人的一生要面临许多选择，而每次选择都会带来一阵阵剧痛，而这种剧痛叫做成长。 12 、天下没有免费的午餐，一切成功都要靠自己的努力去争取。机会需要把握，也需要创造。 6 、大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。 16 、并不是先有了勇气才敢于说话，而是在说话的同时培养了勇气。 13 、不要在你的智慧中夹杂着傲慢，不要使你的谦虚心缺乏智慧。 12 、你希望别人怎样对待自己，你首先应该怎样来对待别人。

2.创设更多生活情境，让学生在实际问题中发现数学的价值；
3.引导学生独立思考，培养他们解决问题的能力；
4.在小组讨论环节，加强引导，确保讨论内容紧扣主题；
5.不断反思和调整教学方法，以提高教学效果。
3.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过解直角三角形的过程，学会运用正弦、余弦、正切函数进行论证和分析；
4.培养学生的团队协作和交流能力，通过小组讨论、分享解题思路，提高合作解决问题的能力，形成良好的学习氛围。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握直角三角形中各角度与边长的关系，尤其是正弦、余弦、正切函数的定义及其应用；
28.2.2解直角三角形的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级下册数学《解直角三角形的应用》章节，主要内容为28.2.2节，着重探讨以下知识点：
1.利用直角三角形的边角关系解决实际问题；
2.应用正弦、余弦、正切函数求解直角三角形中的未知角度；
3.通过具体案例，如测量高度、距离等，掌握解直角三角形的应用方法。
此外，在学生小组讨论环节，我注意到了一些有趣的现象。学生们在讨论中能够积极发表自己的观点，但有时候会出现偏离主题的情况。作为教师，我需要在讨论过程会倾听他人的意见，提高他们的交流与协作能力。
1.关注学生的个体差异，因材施教，确保每个学生都能跟上课程进度；
（2）在实际问题中，如何建立直角三角形模型，确定已知量和未知量，学生往往感到困惑；
（3）在进行计算时，学生可能会忽视单位换算或角度制与弧度制的转换，导致解答错误。
举例：
（1）在求解直角三角形中的未知角度时，学生需要根据已知边长和角度，选择合适的正弦、余弦、正切函数。例如，已知斜边和一个锐角，求解另一个锐角，学生应使用正弦或余弦函数，但容易混淆；

A 60°
B
D
F
30°
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？ A
P
65°
C
34°
B
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° P
tan 50°≈1.1918 A B
50°
45°
C
D
40m
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度， 要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取 ∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么 开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精 确到0.1m） cos 50°≈0.6428 A B
a
c
B
A 的邻边 b B 的邻边 a cos A B 斜边 c cos 斜边 c
B 的对边 b sin B 斜边 c
A 的对边 a B 的对边 b tan A tan B A 的邻边 b B 的邻边 a

α
A
C
因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
9
所成的角大约是66° 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
例4：热气球的探测器显示，从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为30度，看这栋高楼底部的 俯角为60度，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果保留小数点后一位)?
P
答案: (2003200)米
O
14
45°
30°
B 400米 A
习题
2、如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的 顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30° A
15
45°
200米
O
B
L
U
方法一 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶
合作与探究
变式：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处， 测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°， 求飞机与大楼之间的水平距离.
A
答案: (3001003) 米
P
45° 30°
O
200米
D
13
B
习题 1、如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P 点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端 测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角 A B
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
140°
C
E
cosBDE DE
BD
5
D E c o s B D E B D
50°
c o s 5 0 5 2 0 0 . 6 4 5 2 0 3 3 2 . 8

例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35 ，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
在△ABC中，∠C为直角，AC=6， 的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三)巩固练习
2解决问题要结合图形。
作业
设计
必做
教科书P92：1、2
选做
练习册
教
学
反
思
态 度
价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点
直角三角形的解法．
教学难点
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“预习课文、学习袋、学习用具”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图

（二）讲授新知
在导入新课后，我开始讲授解直角三角形的相关知识。首先，我讲解直角三角形的定义和性质，让学生理解直角三角形的特殊地位。接着，我引入勾股定理，并通过几何图形和实例讲解勾股定理的应用。最后，我讲解如何利用三角函数解决直角三角形的问题。在讲授过程中，我注重与学生的互动，提问和引导学生思考，确保学生能够理解和掌握解直角三角形的知识。
问题导向是本节课的重要教学策略。在教学过程中，教师应提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。例如，可以提出“如何利用勾股定理计算直角三角形的边长？”“在实际问题中，如何确定直角三角形的各个角度？”等问题。通过问题导向，激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学组织形式。教师可以将学生分成若干小组，让学生在小组内进行讨论、交流和合作。例如，可以设计一个小组活动，让学生共同解决一个关于直角三角形的实际问题。通过小组合作，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的实践能力。
五、案例亮点
1.贴近生活实际：本案例以实际问题为背景，让学生在解决问题的过程中自然引入解直角三角形的知识和方法。这种贴近生活实际的教学方式能够激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系，从而提高学习的积极性和主动性。
2.问题导向：本案例通过提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。问题导向的教学策略能够激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。在解决问题的过程中，学生能够深入理解和掌握解直角三角形的知识和方法。
在教学过程中，我发现许多学生在学习这一章节时，往往对直角三角形的理解不够深入，无法将理论知识与实际问题相结合。因此，我设计了本节教学案例，以帮助学生更好地理解和应用解直角三角形的知识。
本案例以一个实际问题为切入点，让学生在解决问题的过程中，自然而然地引入解直角三角形的概念和方法。通过案例的引导和学生的积极参与，使学生能够掌握解直角三角形的技巧，提高解决问题的能力。同时，本案例还注重培养学生的合作意识和创新精神，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识，提高自己的综合素质。

解直角三角形的应用（1）--- 测量问题
一、预习导学 （二）活动1：如图（1）所示，为了测量一池塘的宽度 DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m,在DC的延长线 上找一点A，测得AC= 5m， 过点A作AB∥DE交EC的延 则池塘的宽度DE为（ A ） 长线于B，测得AB=4m ，
30m 28m D、 A、 24m B、 26m C、
3、从高出海平面55cm的灯塔处收到一艘 帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 210，帆船距灯塔有多远（结果保留三角函 数）？
根据题意，请你先画出它的平面示意图 A 解：∵∠B=210，∠C=900 0
21
55
AC tan B BC
55 BC AC tan B 0 tan 21
补：（2）如图： DE∥BC，AD=2,DB=1
A 2 D 3 1 ? B
E
E
√? 30
D
C
CA 5√ 4
图（1） B
4.5 DE=3,则 BC=___ 注：在测量中，相似法 ______ 是一种常用的方法之一.
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（三）活动2： ∠1 ∠2 COA BOA ；俯角是 1、如图（2），仰角是 ____ ____.
在Rt 解： BDA中，
?
AB tanBDA= AD AD AB tan BDA 3 又在Rt CDA 中， AC tan CDA AD AC 3 ta资源请到 新世纪教 BC AC 3 3 3( m) 育网AB -
4、如图（7）是某货物站传送货物的平面示 E 意图，为了提高传送过程的安全性，工人师 91 傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45° E 改为30°. 已知原传送带AB长4米. 图（8） 1）求新传送带AC的长度； A 2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道， 试判断距离B点4米的货物MNQP N Q ？ 4 是否需要挪走，并说明理由.

3、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
30°
三角函数
sin a
1
2
45°
60°
2
2
3
2
cos a
3
2
2
2
tan a
3
3
1
1
2
3
向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅垂线
视线
水平线
仰角
俯角
视线
情境问题1.
如图，某飞机于空中A处探测到地面目标C，此时飞行高度
x
B
30°
400米
A
解题思想与方法小结：
1.将实际问题转化为解直角三角形的问题，如
果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助
线，构造出直角三角形. （转化思想）
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数
或方程去解直角三角形。
（数形结合思想）
（方程思想）
布置作业：
1、课本78页第3/4/8题。
2、练习册：第2课时。



=

CE=120
E
A
30米
CD=30+120
B
120米
D
？
小试牛刀!
1、如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观察
旗杆顶部A的仰角为60°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆
的高度. （结果保留根号）
巩固提升一：
热气球的探测器显示，从热
气球看一栋高楼顶部的仰角为
AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角为300，求飞机A

A
B
D
F
E
C
面图形，转化为解直角三角形的问题）； 2、解直角三角形； 3、答
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
必做题： 书本P78/3、4，P79/8题．
选做题：设计测山高方案
更上一层楼
如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在
同一条直线上，小红在D处观测旗杆部A的仰角为47°，观
测旗杆底部B的仰角为42°，已知点D到地面的距离为
1.56m，EC＝21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结
果保留小数点后一位)．参考数据：tan47°≈1.07，
tan42°≈0.90．
练习：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的 仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
答案: (1003300) 米
O
x
C
X-200
30° A
45°
200米
B
各显神通
练习：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的 仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
B
A
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端A、B的 俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
α
β
β
α
B
O
AO
B
A
合作与探究