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高三数学第一轮复习：不等式的综合应用【本讲主要内容】一. 本周教学内容：不等式的综合应用【知识掌握】【知识点精析】等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美。
不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其它问题，诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系。
许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题。
不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程。
总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其它知识综合运用的特点比较突出。
不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值X 围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题。
1、解答不等式应用题，一般可分为如下四步：（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系。
初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向。
（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向。
（3）讨论不等式关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值。
【大高考】（五年高考真题）2016届高考数学复习 第十四章 不等式选讲 理（全国通用）考点一 解绝对值不等式1．(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 解析 由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝－1或x ＝a 时取得，若f (－1)＝2|－1－a |＝5，a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6. 答案 4或－62．(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}． 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}3．(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.解析 依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解．当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.答案 －34．(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，易求得f (x )min ＝52，依题意得a 2＋12a ＋2≤52⇔－1≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5．(2013·山东，14)在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．解析 当x ≤－1时，原不等式变为－(x ＋1)＋(x －2)≥1，即－3≥1，不成立； 当－1<x <2时，原不等式变为x ＋1－(2－x )≥1， 即x ≥1，∴1≤x <2；当x ≥2时，原不等式变为(x ＋1)－(x －2)≥1，即3≥1，∴x ≥2. 综上所述，不等式的解集是[1，＋∞)．对于区间[－3，3]，只有在区间[1，3]取值时不等式才能成立，故在区间[－3，3]随机取值，使不等式成立的概率是P ＝26＝13.答案 136．(2013·江西，15(2))在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 解析 由||x －2|－1|≤1得：－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2， 所以－2≤x －2≤2，即0≤x ≤4， 故不等式的解集是{x |0≤x ≤4}． 答案 {x |0≤x ≤4}7．(2013·重庆，16)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥5，8，－3<x <5，－2x ＋2，x ≤－3，可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a ≤8，故a 的取值范围是(－∞，8]． 法二 由绝对值不等式，得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解时，a 的取值范围为(－∞，8]．答案 (－∞，8]8．(2012·陕西，15A)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案 [－2，4]9．(2012·广东，9)不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．解析 由题意知，－2和0将R 分成三部分．(1)当x ≤－2时，原不等式可化简为－(x ＋2)－(－x )≤1， 即－2≤1，∴x ≤－2.(2)当－2<x <0时，化简为(x ＋2)＋x ≤1，即2x ≤－1， ∴x ≤－12，∴－2<x ≤－12.(3)当x ≥0时，化简为x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时无解．综上可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1210．(2011·陕西，15A)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 |x ＋1|＋|x －2|表示数轴上一点A (x )到B (－1)与C (2)的距离之和，而|BC |＝3.∴|AB |＋|AC |≥3，∴|a |≥3， ∴a ≤－3或a ≥3.法二 设f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，（x <－1）3，（－1≤x ≤2）2x －1，（x >2）∴f (x )的图象如图所示，∴f (x )≥3，∴|a |≥3，∴a ≤－3或a ≥3. 法三 ∵|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a |≥3.∴a ≤－3或a ≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)11．(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1， 即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.12．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．13．(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.14．(2013·辽宁，24)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2， 解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.考点二 不等式的证明1．(2012·湖北，6)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则 a ＋b ＋cx ＋y ＋z 等于( )A.14B.13C.12D.34解析 法一 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＋4c 2＝40， ①x 2＋y 2＋z 2＝40， ②4ax ＋4by ＋4cz ＝80. ③①＋②－③：(2a －x )2＋(2b －y )2＋(2c －z )2＝0，∴x ＝2a ，y ＝2b ，z ＝2c ， ∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.法二 由题设及柯西不等式得 |ax ＋by ＋cz |≤（a 2＋b 2＋c 2）（x 2＋y 2＋z 2）＝20， 当且仅当a x ＝b y ＝c z时取等号，此时令a x ＝b y ＝c z ＝k ，易知k ＝12，∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝12，故选C.答案 C2．(2013·湖南，10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析 由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，即最小值为12. 答案 123．(2013·湖北，13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.解析 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当x 1＝y 2＝z3时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14， ∴x ＝1414，y ＝21414，z ＝31414. ∴x ＋y ＋z ＝61414＝3147.答案31474．(2013·陕西，15A)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析 (am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时等号成立)． 答案 25．(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |， 则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．6．(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}．可得，A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )qn －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)·q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以，s <t .。
专题30 不等式的综合应用考纲导读：考纲要求:掌握应用基本不等式解决实际问题;掌握应用不等式知识解决函数、方程等方面的问题.考纲解读: 考查不等式在实际生活中的应用,考查了均值不等式等号成立的条件.不等式的应用题作为大题的考查已有所降低,其作为选择填空的可能性较大,解题的关键在于关系式的列式及限制条件的挖掘.考点精析：考点1、应用基本不等式解决实际问题用基本不等式知识解决实际问题是不等式应用的一个重要内容，常出现在选择与填空题中,属中档题.【考例1】 (·天津理15文15)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．解题思路：本题考查了不等式在实际生活中的应用,考查了均值不等式等号成立的条件.正确答案：由题意得总费用40044y x x =⋅+， 由均值不等式有：4004480(y x x =⋅+≥当且仅当40044x x⋅=即20x =时取“=”） 回顾与反思：不等式的应用考查常突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.知识链接：加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.【考例2】 (·郑州模)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处.解题思路：本小题主要考查建立函数关系、均值不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.正确答案：由已知y 1=x20；y 2=0.8x (x 为仓库与车站距离)费用之和 y =y 1+y 2=0.8x + x 20≥2x x 208.0⋅=8.(当且仅当0.8x =x20即x =5时“=”成立.) 回顾与反思：加强化归思想的复习，均值不等式的应用过程是一个把已知条件向要最值的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视.知识链接：加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力.考点2、不等式与函数交汇的命题用不等式知识解决函数问题是不等式应用的一个重要内容，也是高考的一个热点和难点，常以压轴题的形式出现.【考例1】(·陕西模)某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即10x ，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y =ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值； (2)若y =32x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围. 解题思路：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.正确答案：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p (1+10x )元、n (1－10y )元、npz 元，因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=，在y =ax 的条件下，z =1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1，则0＜aa )1(5-≤10. 要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x =aa )1(5-. (2)由z =1001 (10+x )(10－32x )＞1，解得0＜x ＜5. 回顾与反思：函数定义域通常都是解不等式得到，利用不等式方法可以求出函数值的取值范围.知识链接：如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误.【考例2】(·扬州二模)已知定义在区间(-m ,m )(m ＞0)上,值域为R 的函数f (x )满足:①当0＜x ＜m 时,f (x )＞0;②对于定义域内任意的实数a 、b 均满足:f (a +b )=()()1()()f a f b f a f b +-. (1)试求f (0);(2)判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若函数f (x )存在反函数g (x )，当x ∈N 时，求证：g (17)+g (113)+…+g (2133n n ++)＜g (12) 解题思路：此题考查函数关系、不等式性质等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.考查数学建模能力、证明不等式的方法.正确答案：（1）令a =0,b =0,则有f (0)=2(0)(0),(0)0.1(0)f f f f +∴=- (2)令a =x ,b =-x ,得f (x )+f (-x )=0.所以函数f (x )为奇函数.设任意的x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2＜m ,则m ＞x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＞0且f (x 2)、f (x 1) ＞0.∴f (x 2)-f (x 1) =f (x 2)+f (-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］［1-f (x 2)f (-x 1)］=f (x 2-x 1)［1+ f (x 2)f (x 1)］＞0，∴函数f (x )在区间(0,m )(m ＞0)上单调递增.又函数f (x )为奇函数且f (0)=0,因此函数f (x )在区间(-m ,m )(m ＞0)上单调递增.(3)∵函数f (x )在区间(-m ,m )( m ＞0)上单调递增,∴函数f (x )必存在反函数g(x),且g (x )也为奇函数,∴函数g (x )在R 上单调递增;且当x ＞0时, m ＞g (x )＞0.由f (a +b )=()()1()()f a f b f a f b +-可得a +b =g ［()()1()()f a f b f a f b +-］, 令f (a )=x ,f (b)=y ,则a =g (x ), b =g ( y ),则上式可改写为:g (x )+g (y )=g (1x y xy+-)对任意的x ,y ∈R 都成立 ∴211111(1)(2)12,11123(1)(2)111(1)(2)12n n n n n n n n n n n n -++++===+++++++++++ ∴211111()()()()().331212g g g g g n n n n n n =+-=-++++++ g (17)+g 2111()()...()132133g g n n +++++ =［11()()23g g -］+［11()()34g g -］+…+［11()()12g g n n -++］ =11()()22g g n -+＜1()2g .证毕. 回顾与反思：函数中很多知识和方法与不等式是紧密相关的，不等式问题也经常利用函数的图象和性质等知识转化为函数问题来解决，因此函数与不等式密不可分，常常互相转化.知识链接：恒成立的不等式经常转化为最值问题解决，其方法有二，把所有项移到一边，形成()0f x >形式，由()0f x >恒成立，得()0f x >最小值，从而转化为()f x 的最值问题.在实际应用问题中常有求最值的问题，解法通常是先将要求最值的量表示为某个变量的函数，利用不等式知识和方法求该函数的最值.考点3、不等式与解析几何、数列等知识交汇的命题不等式与解析几何、数列的综合问题在近年的高考中时有出现，近两年更是以压轴题形式出现，因此不等式与数列的综合题是高考的重点和难点.【考例1】 (·浙江理)已知函数32()f x x x =+，数列{}(0)n n x x >的第一项11x =，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线与经过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线平行（如图），求证：当*n N ∈时 （1）221132n n n n x x x x +++=+；（2）1211()()22n n n x --≤≤. 解题思路：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力正确答案：证明：（I ）因为'2()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率121132.n n n k x x +++=+ 因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x +所以221132n n n n x x x x +++=+.（II ）因为函数2()h x x x =+当0x >时单调递增，而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+，所以12n n x x +≤，即11,2n n x x +≥ 因此1121211().2n n n n n n x x x x x x x ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ 又因为12212(),n n n n x x x x +++≥+令2,n n n y x x =+则11.2n n y y +≤ 因为21112,y x x =+=所以12111()().22n n n y y --≤⋅= 因此221(),2n n n n x x x -≤+≤ 故1211()().22n n n x --≤≤ 回顾与反思：在全面考查数列与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.知识链接：纵观近几年高考题，凡涉及不等式问题往往会出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式问题成为高考的难点问题.【考例2】设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx +c （a ＞0），方程f （x ）－x ＝0的两根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a1． （Ⅰ）当x ∈（0，x 1）时，证明：x ＜f （x ）＜x 1； （Ⅱ）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，证明：x 0＜21x ．解题思路：此题考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查证明不等式的方法.正确答案：（1）令F （x ）=f （x ）－x ，由x 1、x 2是方程f （x ）－x =0的两根，有F （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）当x ∈（0，x 1）时，由x 1≤x 2，及a ＞0，有F （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）＞0，即F （x ）=f （x ）－x ＞0，f （x ）＞x ．又x 1－f （x ）=x 1－［x ＋F （x ）］＝x 1－x －a （x －x 1）（x －x 2）＝（x 1－x ）［1＋a （x －x 2）］ 因为0＜x ＜x 1＜x 2＜a1,所以x 1－x ＞0，1＋a （x －x 2）＝1＋ax －ax 2＞1－ax 2＞0 得x 1＞f （x ），所以x ＜f （x ）＜x 1. （2）依题意x 0＝－ab 2，因x 1、x 2是f （x ）－x =0的根，即x 1、x 2是方程 ax 2＋（b －1）x +c =0的根,所以x 1＋x 2＝a b 1--， aax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-= 因为ax 2＜1，即ax 2－1＜0，故x 0＝22211121x a ax a ax ax =<-+． 回顾与反思：在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.知识链接：数列中常有求范围和求最值的问题，解决这些问题经常要用到解不等式、重要不等式、变量分离处理恒成立问题等不等式知识和方法.数列中的不等式证明经常用的方法是比较法、数学归纳法、放缩法.创新探究：【探究1】已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0. (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围.创新思路：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力. 解析: (1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2) , ∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数.(2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.【探究2】已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥0.(1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.创新思路：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解析: (1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.方法归纳：1.应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性.2.对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题.过关必练：一、选择题:1.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）A.800～900元B.900～1200元C.1200～1500元D.1500～2800元2. （05·黄冈模）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种B.6种C.7种D.8种3. (·北京理8文8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内， 则( )A. 123x x x >>B. 132x x x >>C. 231x x x >>D. 321x x x >> 4. 一个正常人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg ml ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08/mg ml ,那么喝了少量酒的驾驶员，至少过( )小时才能开车.(精确到1小时)A. 3B. 4C. 5D. 65. 方程1+=ax x 有一个负根且无正根，则a 的取值范围是 （ ）A.1->aB. 1=aC. a ≤1D. a ≥1二、填空题:6. 已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.7. (·江苏模)二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx +c >0的解集是_______________________.8. 已知点A n (n,a n )为函数F 1: y =12+x 上的点，点B n (n,b n )为函数F 2:y =x 上的点,其中n∈N +，设c n = a n -b n (n ∈N),则c n 与c n+1的大小关系为 .9. 设)2,0(),cos (sin log 2πθθθ∈+=x ，则xx 1--的最大值为 . 10. 若关于x 的不等式x x k k k k -+-<+-122)232()232(的解集是),21(+∞，则实数k 的取值范围是____________．三、 解答题:11. (·上海)已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g .（1）求b k ,的值； （2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值.12. 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0．2＋30＝110（元）.设购买商品得到的优惠率＝商品的标价购买商品获得的优惠额.试问： （1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率? 13. 某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=15km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
不等式的综合应用不等式的综合应用一、知识热点及复习策略运用不等式解决函数、方程、数列、带有实际意义或在相关学科、生产、生活中的问题时，关键在于把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中，要注意等价性；在应用均值不等式处理相关问题时，有时要对式子的结构进行调整，创造所需形式。
二、例题分析：例题1. 求函数值域：()123f x x x =−++例题2. 某粮食批发市场每天随行情定价，某甲、乙两名采购员在每月同一天去该市场购买同一种大米，甲每次购买a 公斤，乙每次购买b 元，问该方案实施三次后，谁的购买方式平均价格更低。
例题3. 四边形ABCD 对角线交于O 点，AOB Δ面积为4，COD Δ面积为16，求四边形ABCD 面积的最小值。
例题4. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+−≤−−0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是最大值为12，求23a b+的最小值.例题5. 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。
已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？例题6. 过P(1,0)做曲线C:((0,),,1)ky x x k N k +=∈+∞∈>的切线，切点为1Q ，设1Q 在x 轴上的投影为1P ，又过1P 做曲线C 的切线，切点为2Q ，设2Q 在x 轴上的投影为2P ，L ，依次下去得到一系列点123,,,n Q Q Q Q L ，设n Q 的横坐标为n a ，求证： 21(1)(2)1(3)11n n n n i ik n i a a k k k k a =⎛⎞=≥+<−⎜⎟−−⎝⎠∑。
